Kas yra kvadratinės šaknies apibrėžimas. Kas yra aritmetinė kvadratinė šaknis

Mokiniai visada klausia: „Kodėl aš negaliu naudoti skaičiuoklės matematikos egzamine? Kaip be skaičiuotuvo išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus? Pabandykime atsakyti į šį klausimą.

Kaip išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus be skaičiuoklės pagalbos?

Veiksmas kvadratinė šaknis atvirkštinis kvadratavimo veiksmui.

√81= 9 9 2 =81

Jei paimsite teigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį ir gaukite rezultatą kvadratu, gausite tą patį skaičių.

Iš mažų skaičių, kurie yra tikslūs natūraliųjų skaičių kvadratai, pavyzdžiui, 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, žodžiu galima išgauti kvadratines šaknis. Paprastai mokykloje jie moko natūralių skaičių iki dvidešimties kvadratų lentelės. Žinant šią lentelę, nesunku iš skaičių 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 ištraukti kvadratines šaknis. Iš skaičių, didesnių nei 400, galite juos išgauti pasirinkdami pasirinkdami keletą patarimų. Pabandykime pažvelgti į šį metodą su pavyzdžiu.

Pavyzdys: Ištraukite skaičiaus 676 šaknį.

Pastebime, kad 20 2 = 400 ir 30 2 = 900, o tai reiškia 20< √676 < 900.

Natūraliųjų skaičių tikslūs kvadratai baigiasi 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Skaičius 6 pateikiamas 4 2 ir 6 2.
Tai reiškia, kad jei šaknis paimta iš 676, tada ji yra arba 24, arba 26.

Belieka patikrinti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Atsakymas: √676 = 26 .

Daugiau pavyzdys: √6889 .

Kadangi 80 2 = 6400 ir 90 2 = 8100, tada 80< √6889 < 90.
Skaičius 9 pateikiamas iš 3 2 ir 7 2, tada √6889 yra lygus 83 arba 87.

Patikrinkime: 83 2 = 6889.

Atsakymas: √6889 = 83 .

Jei jums sunku išspręsti taikant atrankos metodą, galite atsižvelgti į radikalią išraišką.

Pavyzdžiui, rasti √893025.

Suskaičiuokime skaičių 893025, atminkite, kad tai padarėte šeštoje klasėje.

Gauname: √893025 = √3 6∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Daugiau pavyzdys: √20736. Paskaičiuokime skaičių 20736:

Gauname √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Žinoma, faktorizacija reikalauja žinių apie dalijimosi ženklus ir faktorizavimo įgūdžių.

Ir pagaliau yra kvadratinių šaknų ištraukimo taisyklė. Susipažinkime su šia taisykle pavyzdžiais.

Apskaičiuokite √279841.

Norėdami išgauti kelių skaitmenų sveikojo skaičiaus šaknį, padalijame jį iš dešinės į kairę į veidus, sudarytus iš 2 skaitmenų (krašto kairiajame krašte gali būti vienas skaitmuo). Rašome taip: 27’98’41

Norėdami gauti pirmąjį šaknies skaitmenį (5), paimame kvadratinę šaknį iš didžiausio tobulo kvadrato, esančio pirmame kairėje pusėje (27).
Tada šaknies pirmojo skaitmens kvadratas (25) atimamas iš pirmojo paviršiaus, o kitas veidas (98) pridedamas prie skirtumo (atimamas).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 298 parašykite šaknies dviženklį skaitmenį (10), padalinkite iš jo visų anksčiau gauto skaičiaus dešimčių skaičių (29/2 ≈ 2), patikrinkite koeficientą (102 ∙2 = 204). turėtų būti ne daugiau kaip 298) ir po pirmojo šaknies skaitmens parašykite (2).
Tada gautas koeficientas 204 atimamas iš 298 ir prie skirtumo (94) pridedama kita briauna (41).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 9441 parašykite dvigubą šaknies skaitmenų sandaugą (52 ∙2 = 104), padalinkite visų skaičiaus 9441 dešimčių skaičių (944/104 ≈ 9) iš šio sandaugos, išbandykite koeficientas (1049 ∙9 = 9441) turi būti 9441 ir užrašykite jį (9) po antrojo šaknies skaitmens.

Gavome atsakymą √279841 = 529.

Ištraukite panašiai dešimtainių trupmenų šaknys. Tik radikalus skaičius turi būti padalintas į veidus, kad kablelis būtų tarp veidų.

Pavyzdys. Raskite reikšmę √0,00956484.

Tiesiog atminkite, kad jei dešimtainėje trupmenoje yra nelyginis skaičius po kablelio, kvadratinės šaknies iš jos paimti negalima.

Taigi dabar matėte tris būdus, kaip išgauti šaknį. Pasirinkite sau tinkamiausią ir praktikuokite. Norint išmokti spręsti problemas, reikia jas spręsti. Ir jei turite klausimų, registruokitės į mano pamokas.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Neneigiama teigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis vadinama aritmetinė kvadratinė šaknis ir žymimas radikalo ženklu.

Sudėtingi skaičiai

Kompleksinių skaičių lauke visada yra du sprendiniai, besiskiriantys tik ženklu (išskyrus nulio kvadratinę šaknį). Šaknis iš kompleksinis skaičius dažnai žymimas kaip , tačiau šį pavadinimą reikia vartoti atsargiai. Dažna klaida:

Norint išgauti kompleksinio skaičiaus kvadratinę šaknį, patogu naudoti kompleksinio skaičiaus rašymo eksponentinę formą: jei

kur modulio šaknis suprantama ta prasme aritmetinė vertė, o k gali įgyti reikšmes k=0 ir k=1, todėl atsakymas gaunasi dviem skirtingais rezultatais.

Apibendrinimai

Kvadratinės šaknys įvedamos kaip kitų objektų formos lygčių sprendiniai: matricos, funkcijos, operatoriai ir kt. Kaip operacija gali būti naudojamos gana savavališkos daugybos operacijos, pavyzdžiui, superpozicija.

Kvadratinė šaknis kompiuterių moksle

Daugelyje funkcijų lygio programavimo kalbų (taip pat ir žymėjimo kalbose, pvz., LaTeX), kvadratinės šaknies funkcija parašyta kaip kv(iš anglų kalbos kvadratinė šaknis„kvadratinė šaknis“).

Kvadratinės šaknies paieškos algoritmai

Kvadratinės šaknies radimas arba apskaičiavimas duotas numeris paskambino gavyba(kvadratinė) šaknis.

Taylor serijos išplėtimas

Aritmetinė kvadratinė šaknis

Skaičių kvadratams yra teisingos šios lygybės:

Tai yra, jūs galite sužinoti visą skaičiaus kvadratinės šaknies dalį, atėmę iš jos viską nelyginiai skaičiai eilės tvarka, kol liekana bus mažesnė už kitą atimamą skaičių arba lygi nuliui, ir skaičiuojant atliktų veiksmų skaičių. Pavyzdžiui, taip:

Atlikti 3 žingsniai, kvadratinė šaknis iš 9 yra 3.

Šio metodo trūkumas yra tas, kad jei išgaunama šaknis nėra sveikasis skaičius, galite sužinoti tik visą jos dalį, bet ne tiksliau. Tuo pačiu metu šis metodas yra gana prieinamas vaikams, kurie gali išspręsti paprastas problemas. matematikos uždaviniai, reikalingas kvadratinės šaknies ištraukimas.

Apytikslis įvertinimas

Daug skaičiavimo algoritmų kvadratinės šaknys nuo pozityvo realus skaičius S reikalauja tam tikros pradinės vertės. Jeigu pradinė vertė per toli nuo tikrosios šaknies vertės, skaičiavimai sulėtėja. Todėl naudinga turėti apytikslį įvertinimą, kuris gali būti labai netikslus, tačiau jį lengva apskaičiuoti. Jeigu S≥ 1, tegul D bus skaitmenų skaičius Sį kairę nuo kablelis. Jeigu S < 1, пусть D bus iš eilės einančių nulių skaičius kablelio dešinėje, paimtas su minuso ženklu. Tada apytikslis įvertinimas atrodo taip:

Jeigu D keista, D = 2n+ 1, tada naudokite Jeigu D net, D = 2n+ 2, tada naudokite

Du ir šeši naudojami, nes Ir

Dirbant dvejetainėje sistemoje (kaip kompiuterių viduje), reikėtų naudoti kitokį vertinimą (čia D yra dvejetainių skaitmenų skaičius).

Geometrinė kvadratinė šaknis

Norint rankiniu būdu išgauti šaknį, naudojamas žymėjimas, panašus į ilgąjį padalijimą. Užrašomas skaičius, kurio šaknies ieškome. Į dešinę nuo jo palaipsniui gausime norimos šaknies skaičius. Paimkime skaičiaus c šaknį po kablelio. Norėdami pradėti, mintyse arba su ženklais, skaičių N padalijame į dviejų skaitmenų grupes kairėje ir dešinėje nuo kablelio. Jei reikia, grupės užpildomos nuliais – kairėje pusėje rašoma sveikoji dalis, dešinėje – trupmeninė. Taigi 31234.567 gali būti pavaizduotas kaip 03 12 34. 56 70. Skirtingai nuo padalijimo, griovimas vykdomas tokiomis 2 skaitmenų grupėmis.

Vizualus algoritmo aprašymas:

Kvadratas kvadratinis sklypas sklypas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas lygus 81 dm², tai X² = 81. Kvadratinės pusės ilgis – teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 = - 9, nes 9² = 81 ir (- 9)² = 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami 81 kvadratinėmis šaknimis.

Atkreipkite dėmesį, kad viena iš kvadratinių šaknų X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus A.

Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir - 6 yra skaičiaus 36 kvadratinės šaknys. Tačiau skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² = 36. Skaičius - 6 nėra aritmetinė šaknis.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis Ažymimas taip: √ A.

Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; A- vadinama radikalia išraiška. Išraiška √ A skaityti kaip šitaip: aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad mes kalbame apie apie aritmetinę šaknį jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis iš A«.

Skaičiaus kvadratinės šaknies radimo veiksmas vadinamas kvadratine šaknimi. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratui.

Galite kvadratuoti bet kurį skaičių, bet negalite ištraukti kvadratinės šaknies iš bet kurio skaičiaus. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² = - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas skaičius.

Išraiška √ A prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Lygybė (√ A)² = A galioja a ≥ 0. Taigi, siekiant užtikrinti, kad kvadratinė šaknis neneigiamas skaičius A lygus b, ty tuo, kad √ A =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratinė trupmenos šaknis

Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkime, ar galioja lygybė.

Nes ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, .

Teorema: Jeigu A≥ 0 ir b> 0, tai yra trupmenos šaknis lygus šaknims iš skaitiklio, padalyto iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir .

Nuo √ A≥0 ir √ b> 0, tada .

Apie trupmenos pakėlimo laipsnį savybę ir kvadratinės šaknies apibrėžimą teorema įrodyta. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite naudodami įrodytą teoremą .

Antras pavyzdys: įrodykite tai , Jei A ≤ 0, b < 0. .

Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .

.

Kvadratinės šaknies konversija

Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo. Tegul išraiška pateikiama. Jeigu A≥ 0 ir b≥ 0, tada naudodamiesi sandaugos šaknies teorema galime parašyti:

Ši transformacija vadinama faktoriaus pašalinimu iš šaknies ženklo. Pažvelkime į pavyzdį;

Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje veda į sudėtingi skaičiavimai. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsite veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.

Taigi, pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo, radikali išraiška pavaizduojama sandaugos forma, kurioje vienas ar keli veiksniai yra neneigiamų skaičių kvadratai. Tada pritaikykite sandaugos šaknies teoremą ir paimkite kiekvieno veiksnio šaknį. Panagrinėkime pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, iš po šaknies ženklo išimdami veiksnius iš pirmųjų dviejų terminų, gausime:. Pabrėžkime tą lygybę galioja tik A≥ 0 ir b≥ 0. jei A < 0, то .

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Atėjo laikas tai sutvarkyti šaknų ištraukimo metodai. Jie pagrįsti šaknų savybėmis, visų pirma lygybe, kuri galioja bet kuriam neneigiamam skaičiui b.

Žemiau apžvelgsime pagrindinius šaknų išgavimo būdus po vieną.

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – šaknų ištraukimas iš natūraliųjų skaičių naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Jei lentelės iš kvadratų, kubelių ir kt. Jei jo neturite po ranka, logiška naudoti šaknies išskyrimo metodą, kuris apima radikalaus skaičiaus skaidymą į pirminius veiksnius.

Atskirai verta paminėti, kas įmanoma šaknims su nelyginiais rodikliais.

Galiausiai apsvarstykime metodą, leidžiantį nuosekliai rasti šaknies reikšmės skaitmenis.

Pradėkime.

Naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Daugumoje paprasti atvejai kvadratų, kubelių ir tt lentelės leidžia išgauti šaknis. Kas yra šios lentelės?

Sveikųjų skaičių nuo 0 iki 99 imtinai kvadratų lentelė (parodyta toliau) susideda iš dviejų zonų. Pirmoji lentelės zona yra pilkame fone, pasirinkus konkrečią eilutę ir stulpelį, ji leidžia sudaryti skaičių nuo 0 iki 99. Pavyzdžiui, pasirinkime 8 dešimčių eilutę ir 3 vienetų stulpelį, taip pataisydami skaičių 83. Antroji zona užima likusią stalo dalį. Kiekvienas langelis yra tam tikros eilutės ir tam tikro stulpelio sankirtoje ir yra atitinkamo skaičiaus kvadratas nuo 0 iki 99. Mūsų pasirinktos 8 dešimčių eilutės ir 3 vienetų stulpelio sankirtoje yra langelis su skaičiumi 6889, kuris yra skaičiaus 83 kvadratas.

Kubų lentelės, skaičių nuo 0 iki 99 ketvirtųjų laipsnių lentelės ir pan., panašios į kvadratų lentelę, tik jose antroje zonoje yra kubelių, ketvirtųjų laipsnių ir pan. atitinkamus skaičius.

Kvadratų, kubelių, ketvirtųjų laipsnių lentelės ir kt. leidžia išgauti kvadratines šaknis, kubo šaknys, ketvirtosios šaknys ir kt. atitinkamai iš šiose lentelėse pateiktų skaičių. Paaiškinkime jų naudojimo principą išgaunant šaknis.

Tarkime, kad reikia išgauti n-ąją skaičiaus a šaknį, o skaičius a yra n-ųjų laipsnių lentelėje. Naudodami šią lentelę randame skaičių b, kad a=b n. Tada , todėl skaičius b bus norima n-ojo laipsnio šaknis.

Kaip pavyzdį parodykime, kaip naudoti kubo lentelę, norint išgauti 19 683 kubo šaknį. Kubų lentelėje randame skaičių 19 683, iš jo randame, kad šis skaičius yra skaičiaus 27 kubas, todėl .

Aišku, kad n-ųjų galių lentelės labai patogios šaknims išgauti. Tačiau jų dažnai nėra po ranka, o jų sudarymas reikalauja šiek tiek laiko. Be to, dažnai reikia išgauti šaknis iš skaičių, kurių nėra atitinkamose lentelėse. Tokiais atvejais turite naudoti kitus šaknų ištraukimo būdus.

Radikalaus skaičiaus faktorinavimas į pirminius veiksnius

Užteks patogiu būdu, leidžiantis išskirti šaknį iš natūraliojo skaičiaus (jei, žinoma, šaknis išskirta), yra radikalinio skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius. Jo esmė tokia: po to gana paprasta jį pavaizduoti kaip laipsnį su norimu laipsniu, kuris leidžia gauti šaknies reikšmę. Paaiškinkime šį dalyką.

Tegu paimama n-oji natūraliojo skaičiaus a šaknis ir jos reikšmė lygi b. Šiuo atveju lygybė a=b n yra teisinga. Skaičius b kaip ir bet kuris natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip visų pirminių faktorių p 1 , p 2 , …, p m sandauga forma p 1 · p 2 · … · p m , o radikalinis skaičius a šiuo atveju pavaizduotas kaip (p 1 · p 2 · … · p m) n. Kadangi skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius yra unikalus, radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius turės formą (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, todėl bus galima apskaičiuoti šaknies reikšmę. kaip .

Atkreipkite dėmesį, kad jei radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius negali būti pavaizduotas forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, tada tokio skaičiaus a n-oji šaknis nėra visiškai išskirta.

Išsiaiškinkime tai spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Paimkite kvadratinę šaknį iš 144.

Sprendimas.

Jei pažvelgsite į ankstesnėje pastraipoje pateiktą kvadratų lentelę, aiškiai pamatysite, kad 144 = 12 2, iš kurios aišku, kad 144 kvadratinė šaknis yra lygi 12.

Tačiau atsižvelgiant į tai, mus domina, kaip šaknis išgaunama išskaidžius radikalųjį skaičių 144 į pirminius veiksnius. Pažvelkime į šį sprendimą.

Išskaidykime 144 prie pagrindinių veiksnių:

Tai yra, 144=2·2·2·2·3·3. Remiantis gautu skaidymu, gali būti atliekamos šios transformacijos: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Vadinasi, .

Naudojant laipsnio savybes ir šaknų savybes, tirpalą būtų galima suformuluoti kiek kitaip: .

Atsakymas:

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite dar dviejų pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite šaknies vertę.

Sprendimas.

Radikalio skaičiaus 243 pirminis faktorius turi formą 243=3 5 . Taigi, .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Ar šaknies reikšmė yra sveikasis skaičius?

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į šį klausimą, suskirstykime radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius ir pažiūrėkime, ar jį galima pavaizduoti kaip sveikojo skaičiaus kubą.

Turime 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Gautas išplėtimas nevaizduojamas kaip sveikojo skaičiaus kubas, nes laipsnis pagrindinis veiksnys 7 nėra trijų kartotinis. Todėl negalima visiškai išgauti 285 768 kubo šaknies.

Atsakymas:

Nr.

Šaknų ištraukimas iš trupmeninių skaičių

Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip išgauti šaknį trupmeninis skaičius. Tegul trupmeninis radikalinis skaičius užrašomas kaip p/q. Pagal koeficiento šaknies savybę teisinga tokia lygybė. Iš šios lygybės išplaukia trupmenos šaknies ištraukimo taisyklė: trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknies daliniui, padalytam iš vardiklio šaknies.

Pažvelkime į šaknies ištraukimo iš trupmenos pavyzdį.

Pavyzdys.

Kas yra kvadratinė šaknis bendroji trupmena 25/169 .

Sprendimas.

Naudodamiesi kvadratų lentele, nustatome, kad pradinės trupmenos skaitiklio kvadratinė šaknis yra lygi 5, o vardiklio kvadratinė šaknis lygi 13. Tada . Tai užbaigia paprastosios frakcijos 25/169 šaknies išgavimą.

Atsakymas:

Dešimtainės trupmenos arba mišraus skaičiaus šaknis išgaunama radikalius skaičius pakeitus paprastosiomis trupmenomis.

Pavyzdys.

Paimkite dešimtainės trupmenos 474.552 kubinę šaknį.

Sprendimas.

Įsivaizduokime originalą dešimtainis kaip bendroji trupmena: 474,552=474552/1000. Tada . Belieka išskirti kubo šaknis, kurios yra gautos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Nes 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 ir 1 000 = 10 3, tada Ir . Belieka tik užbaigti skaičiavimus .

Atsakymas:

.

Neigiamojo skaičiaus šaknies paėmimas

Verta pasilikti ties šaknų ištraukimu iš neigiamų skaičių. Tirdami šaknis sakėme, kad kai šaknies rodiklis yra nelyginis skaičius, tada po šaknies ženklu gali būti neigiamas skaičius. Šiems įrašams suteikėme tokią reikšmę: neigiamam skaičiui −a ir nelyginiam šaknies 2 n−1 rodikliui, . Ši lygybė suteikia įsišaknijimo taisyklė nelyginis laipsnis iš neigiamų skaičių: norėdami išgauti neigiamo skaičiaus šaknį, turite paimti priešingo teigiamo skaičiaus šaknį ir prieš rezultatą įdėti minuso ženklą.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite šaknies vertę.

Sprendimas.

Transformuokime pradinę išraišką taip, kad po šaknies ženklu būtų teigiamas skaičius: . Dabar mišrus skaičius pakeiskite paprastąja trupmena: . Taikome paprastosios trupmenos šaknies ištraukimo taisyklę: . Belieka apskaičiuoti gautos trupmenos skaitiklio ir vardiklio šaknis: .

Duokim trumpa pastaba sprendimai: .

Atsakymas:

.

Šakninės vertės nustatymas bitais

IN bendras atvejis po šaknimi yra skaičius, kuris, naudojant aukščiau aptartus metodus, negali būti vaizduojamas kaip bet kurio skaičiaus n-asis laipsnis. Tačiau tuo pat metu reikia žinoti prasmę duota šaknis, bent jau iki tam tikro ženklo. Tokiu atveju, norėdami išgauti šaknį, galite naudoti algoritmą, leidžiantį gauti nuosekliai pakankamas kiekis reikiamo skaičiaus skaitmenų reikšmės.

Pirmajame žingsnyje šio algoritmo reikia išsiaiškinti, kas yra svarbiausia šakninės vertės bitė. Tam skaičiai 0, 10, 100, ... paeiliui keliami iki laipsnio n, kol gaunamas momentas, kai skaičius viršija radikalųjį skaičių. Tada skaičius, kurį ankstesniame etape padidinome iki laipsnio n, parodys atitinkamą reikšmingiausią skaitmenį.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šį algoritmo veiksmą, kai ištraukite kvadratinę šaknį iš penkių. Paimkite skaičius 0, 10, 100, ... ir padėkite juos kvadratu, kol gausime skaičių, didesnį už 5. Turime 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, o tai reiškia, kad svarbiausias skaitmuo bus vienas. Šio bito, kaip ir žemesniųjų, reikšmė bus rasta kituose šaknies ištraukimo algoritmo žingsniuose.

Visi tolesni algoritmo veiksmai yra skirti nuosekliai išsiaiškinti šaknies reikšmę, surandant norimos šaknies reikšmės kitų bitų reikšmes, pradedant nuo aukščiausios ir pereinant prie mažiausių. Pavyzdžiui, šaknies reikšmė pirmame žingsnyje pasirodo esanti 2, antrajame – 2,2, trečiame – 2,23 ir tt 2,236067977…. Apibūdinkime, kaip randamos skaitmenų reikšmės.

Skaičiai randami juos ieškant galimas vertes 0, 1, 2, …, 9. Šiuo atveju lygiagrečiai skaičiuojami atitinkamų skaičių n-ieji laipsniai ir lyginami su radikalus skaičius. Jei tam tikru etapu laipsnio reikšmė viršija radikalų skaičių, tada skaitmens, atitinkančio ankstesnę reikšmę, reikšmė laikoma rasta ir pereinama prie kito šaknies ištraukimo algoritmo žingsnio, jei tai neįvyksta; tada šio skaitmens reikšmė lygi 9.

Paaiškinkime šiuos taškus naudodami tą patį penkių kvadratinės šaknies ištraukimo pavyzdį.

Pirmiausia randame vienetų skaitmens reikšmę. Mes eisime per reikšmes 0, 1, 2, ..., 9, atitinkamai apskaičiuodami 0 2, 1 2, ..., 9 2, kol gausime reikšmę, didesnę už radikalų skaičių 5. Visus šiuos skaičiavimus patogu pateikti lentelės pavidalu:

Taigi vienetų skaitmens reikšmė yra 2 (nuo 2 2<5 , а 2 3 >5). Pereikime prie dešimtosios vietos vertės nustatymo. Tokiu atveju skaičius 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 padalinsime kvadratu, gautas reikšmes lygindami su radikaliu skaičiumi 5:

Nuo 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tada dešimtosios vietos reikšmė yra 2. Galite pradėti ieškoti šimtosios vietos vertės:

Taip rasta kitą vertęšaknis iš penkių, ji yra lygi 2,23. Taigi galite ir toliau ieškoti vertybių: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, mes analizuosime šaknies ištraukimą šimtųjų dalių tikslumu, naudodami nagrinėjamą algoritmą.

Pirmiausia nustatome reikšmingiausią skaitmenį. Norėdami tai padaryti, supjaustome skaičius 0, 10, 100 ir kt. kol gausime skaičių, didesnį už 2 151 186. Turime 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , todėl reikšmingiausias skaitmuo yra dešimties skaitmuo.

Nustatykime jo vertę.

Nuo 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, tada dešimties vietos reikšmė yra 1. Pereikime prie vienetų.

Taigi vienetų skaitmenų reikšmė yra 2. Pereikime prie dešimtųjų.

Kadangi net 12,9 3 yra mažesnis už radikalųjį skaičių 2 151,186, tai dešimtosios vietos reikšmė yra 9. Belieka atlikti paskutinį algoritmo žingsnį, jis duos mums šaknies reikšmę reikiamu tikslumu.

Šiame etape šaknies reikšmė nustatoma šimtųjų dalių tikslumu: .

Baigdamas šį straipsnį norėčiau pasakyti, kad yra daug kitų būdų išgauti šaknis. Tačiau daugeliui užduočių pakanka aukščiau išnagrinėtų užduočių.

Nuorodos.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 klasei. švietimo įstaigos.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).