Tolygaus judėjimo koordinatės priklausomybė nuo laiko turi tokią formą: . Kaip minėta aukščiau, tai tiesinė priklausomybė. Tokio ryšio grafikas yra tiesi linija

Paveikslėlyje parodyta keletas būdingi grafikai koordinačių priklausomybė nuo laiko vienodam judėjimui. Tiesės susikirtimo su x ašimi taškas atitinka pradinę koordinatę x0. Tiesės nuolydis nustatomas pagal greičio projekciją į X ašį Jei vx > 0, tai tiesė kyla aukštyn, o jei vx< 0, то вниз. Угол наклона прямой определяется величиной проекции скорости. А именно, если угол наклона прямой к оси времени равен б, то.

Ciolkovskio darbų reikšmė astronautikai

Kūno judėjimas, atsirandantis daliai jo masės atsiskyrus nuo jo tam tikru greičiu, vadinamas reaktyviuoju. Visi judesių tipai, išskyrus reaktyvųjį, yra neįmanomi be tam tikros sistemos išorės jėgų, t. y. be tam tikros sistemos kūnų sąveikos su aplinką, ir įgyvendinimui reaktyvinis varymas nereikia jokios sąveikos tarp kūno ir aplinkos. Iš pradžių sistema yra ramybės būsenoje, ty jos bendras impulsas yra lygus nuliui. Kai dalis jo masės tam tikru greičiu pradeda išmesti iš sistemos, tada (nuo viso impulso uždara sistema pagal impulso tvermės dėsnį turi išlikti nepakitęs) sistema gauna priešinga kryptimi nukreiptą greitį. Išties, kadangi m1v1+m2v2=0, tai m1v1=-m2v2, t.y.

Iš šios formulės išplaukia, kad greitis v2, kurį gauna sistema, kurios masė m2, priklauso nuo išmetamosios masės m1 ir jos išmetimo greičio v1.

Šilumos variklis, kurio traukos jėga, atsirandanti reaguojant į išeinančių karštų dujų srovę, veikiama tiesiai į jo korpusą, vadinamas reaktyviuoju varikliu. Skirtingai nuo kitų transporto priemonių prietaisas su reaktyvinis variklis gali judėti kosmose.

Teorijos pradininkas skrydžiai į kosmosą yra iškilus rusų mokslininkas Ciolkovskis (1857 - 1935). Jis davė bendrieji pagrindai reaktyvinio judėjimo teorija, sukūrė pagrindinius reaktyvinio veikimo principus ir schemas lėktuvas, įrodė būtinybę naudoti daugiapakopę raketą tarpplanetiniams skrydžiams. Ciolkovskio idėjos statybos metu buvo sėkmingai įgyvendintos SSRS dirbtiniai palydovaiŽemė ir erdvėlaiviai.

Harmoninės vibracijos ir jų charakteristikos

Virpesiai yra judesiai arba procesai, kuriems būdingas tam tikras pakartojamumas laikui bėgant. Virpesiai yra plačiai paplitę aplinkiniame pasaulyje ir gali turėti labai skirtingą pobūdį. Jie gali būti mechaniniai (švytuoklė), elektromagnetiniai ( virpesių grandinė) ir kitų tipų vibracijas.

Laisvieji arba natūralūs svyravimai yra svyravimai, atsirandantys sistemoje, paliktoje sau po to, kai išorinė įtaka išvedė ją iš pusiausvyros. Pavyzdys galėtų būti rutulio, pakabinto ant stygos, virpesiai.

Turi ypatingą vaidmenį virpesių procesuose paprasčiausia forma vibracijos – harmoninės vibracijos. Harmoninės vibracijos yra pagrindas bendras požiūris tiriant vibracijas skirtingo pobūdžio, kadangi gamtoje ir technikoje randami virpesiai dažnai yra artimi harmoningiems, o periodiniai skirtingos formos procesai gali būti pavaizduoti kaip harmoninių virpesių superpozicija.

Harmoniniai svyravimai – tai tie svyravimai, kurių virpesių dydis laikui bėgant kinta pagal sinuso arba kosinuso dėsnį.

Harmoninių virpesių lygtis yra tokia:

čia A – svyravimų amplitudė (didžiausio sistemos nuokrypio nuo pusiausvyros padėties dydis); - apskritas (ciklinis) dažnis. Periodiškai kintantis kosinuso argumentas vadinamas svyravimo faze. Virpesių fazė lemia svyruojančio dydžio poslinkį iš pusiausvyros padėties šiuo metu laikas t. Konstanta q reiškia fazės reikšmę momentu t = 0 ir vadinama pradine svyravimo faze. Pradinės fazės vertė nustatoma pagal atskaitos taško pasirinkimą. X reikšmė gali būti nuo -A iki +A.

Laikotarpis T, per kurį kartojasi tam tikros virpesių sistemos būsenos, vadinamas svyravimo periodu. kosinusas - periodinė funkcija su 2p periodu, todėl per laikotarpį T, po kurio virpesių fazė gaus prieaugį, lygų 2p, kartosis harmoninius virpesius atliekančios sistemos būsena. Šis laikotarpis T vadinamas harmoninių virpesių periodu.

Harmoninių svyravimų periodas lygus: T = 2р/.

Virpesių skaičius per laiko vienetą vadinamas virpesių dažniu n.

Harmoninių virpesių dažnis lygus: n = 1/T. Dažnio vienetas yra hercas (Hz) – vienas svyravimas per sekundę.

Apvalus dažnis = 2р/T = 2рn parodo virpesių skaičių per 2р sekundes.

Virpesių periodas yra laikas, per kurį įvyksta vienas svyravimas. Virpesių periodas matuojamas laiko vienetais – sekundėmis, minutėmis ir kt.

Virpesių dažnis – tai svyravimų, atliekamų per 1 s, skaičius. SI dažnio vienetas pavadintas hercu (Hz) vokiečių fiziko G. Hertzo (1857-1894) garbei.

Jei virpesių dažnis yra 1 Hz, tai reiškia, kad kas sekundę įvyksta vienas svyravimas. Jei, pavyzdžiui, dažnis v = 50 Hz, tai reiškia, kad kas sekundę įvyksta 50 svyravimų.

Svyravimų periodui T ir dažniui v galioja tos pačios formulės kaip ir sukimosi periodui ir dažniui, į kurias buvo atsižvelgta tiriant tolygų judėjimą apskritime.

1. Norint rasti svyravimų periodą, reikia padalyti laiką t, per kurį atliekami keli svyravimai, iš šių svyravimų skaičiaus n:

2. Norėdami rasti svyravimų dažnį, turite padalyti svyravimų skaičių iš laiko, per kurį jie įvyko:

Praktikoje skaičiuojant svyravimų skaičių, reikėtų aiškiai suprasti, kas yra vienas (pilnas) svyravimas. Jei, pavyzdžiui, švytuoklė pradeda judėti iš 1 padėties (žr. 30 pav.), tai vienas svyravimu laikomas jos judėjimas, kai ji, perėjusi pusiausvyros padėtį 0, ir tada kraštutinė padėtis 2 per pusiausvyros padėtį 0 vėl grįžta į 1 padėtį.

Palyginus (17.1) ir (17.2) formules, matome, kad svyravimų periodas ir dažnis yra tarpusavyje atvirkštiniai dydžiai, t.y.

Laikotarpis matematinė švytuoklė-- matematinės švytuoklės svyravimo periodas priklauso nuo sriegio ilgio: mažėjant sriegio ilgiui, svyravimo periodas mažėja

Matematinės švytuoklės atveju tenkinami kai kurie dėsniai:

• 1 įstatymas. Jei, išlaikydami vienodą švytuoklės ilgį, pakabinsime skirtingus apkrovimus (pavyzdžiui, 5 kg ir 100 kg), tada svyravimo periodas bus vienodas, nors apkrovų masės labai skiriasi. Matematinės švytuoklės periodas nepriklauso nuo apkrovos masės.
• 2-asis įstatymas. Jei švytuoklė nukreipiama skirtingais, bet mažais kampais, tada ji svyruos tuo pačiu laikotarpiu, nors ir skirtingomis amplitudėmis. Kol švytuoklės amplitudė maža, tol svyravimai savo forma bus panašūs į harmoninius, tada matematinės švytuoklės periodas nepriklauso nuo svyravimų amplitudės. Ši savybė vadinama izochronizmu.

Rezonansas yra reiškinys staigus padidėjimas amplitudės priverstiniai svyravimai, kuris atsiranda, kai išorinio poveikio dažnis sutampa su tam tikromis reikšmėmis (rezonansiniais dažniais), kurias lemia sistemos savybės. Amplitudės padidėjimas yra tik rezonanso pasekmė, o priežastis yra išorinio (jaudinančio) dažnio sutapimas su vidiniu (natūraliu) virpesių sistemos dažniu. Naudojant rezonanso reiškinį, galima išskirti ir (arba) sustiprinti net labai silpnus signalus. periodiniai svyravimai. Rezonansas yra reiškinys, kai tam tikru varomosios jėgos dažniu svyravimo sistema ypač reaguoja į šios jėgos veikimą. Reagavimo laipsnis virpesių teorijoje apibūdinamas kiekiu, vadinamu kokybės faktoriumi. Pirmą kartą rezonanso reiškinį aprašė Galilėjus Galilėjus 1602 m. darbuose, skirtuose švytuoklių ir muzikinių stygų tyrinėjimui.

Masės vienetas. Kūno savybė išlaikyti savo greitį nepakitusią, tai yra išlaikyti ramybės būseną arba vienodą linijinį judėjimą, kai jo nėra išorinių poveikių ant šio kūno arba jų tarpusavio kompensacija vadinama jo inercija. Kūnų inercija lemia tai, kad neįmanoma akimirksniu pakeisti kūno greičio - kito kūno poveikis jam turi trukti tam tikrą laiką. Kuo kūnas inertiškesnis, tuo mažiau kinta jo greitis laikui bėgant. duoto laiko, t.y., kuo mažesnis pagreitis šis kūnas.

Kūno inercijos kiekybinis matas vadinamas jo mase. Kuo inertiškesnis kūnas, tuo didesnė jo masė.

Stebėjimai rodo, kad bet kurių dviejų kūnų, sąveikaujančių vienas su kitu, nepriklausomai nuo jų sąveikos būdo, pagreičio modulių, gautų dėl šios sąveikos, santykis visada yra vienodas. Vadinasi, šis santykis priklauso nuo sąveikaujančių kūnų inercinių savybių, t.y. nuo jų masių.

Kaip minėta aukščiau, nei daugiau masės tuo mažiau pagreičio tam tikras kūnas gauna, kai kūnai sąveikauja vienas su kitu. Todėl galime daryti prielaidą, kad pagreičio modulių, gautų kūnų sąveikaudami tarpusavyje, santykis yra lygus šių kūnų masių santykio atvirkštiniam koeficientui, t.y. a1/a2=m2/m1. Iš (2.1) seka, kad m2=m1a1/a2. Paskutinė formulė suteikia galimybę išmatuoti kūnų mases. Iš jo aišku, kad norint nustatyti kūno masę, pirmiausia reikia atrinkti kūną, kurio masę me reikėtų laikyti masės vienetu.

Elastinės jėgos. Dėl deformacijų kietas jo dalelės (atomai, molekulės, jonai), esančios mazguose kristalinė gardelė, yra išstumti iš savo pusiausvyros padėties. Šį poslinkį neutralizuoja sąveikos jėgos tarp kieto kūno dalelių, kurios laiko šias daleles tam tikru atstumu viena nuo kitos. Todėl esant bet kokiai kūno elastinei deformacijai, vidines jėgas, užkertant kelią jo deformacijai.

Jėgos, atsirandančios kūne tamprios deformacijos metu ir nukreiptos prieš deformacijos sukeltą kūno dalelių poslinkio kryptį, vadinamos tamprumo jėgomis. Tamprumo jėgos veikia bet kurioje deformuoto kūno dalyje, taip pat jo sąlyčio su kūnu taške sukelia deformaciją. Vienpusio įtempimo ar suspaudimo atveju tamprumo jėga nukreipiama išilgai tiesės, išilgai kurios išorinė jėga, sukelianti kūno deformaciją, priešingą šios jėgos krypčiai ir statmeną kūno paviršiui. Gamta tamprumo jėgos elektrinis.

Nagrinėsime tamprumo jėgų atsiradimo atvejį vienpusio kieto kūno tempimo ir gniuždymo metu.

Huko dėsnis. Ryšį tarp tampriosios jėgos ir kūno tampriosios deformacijos (esant mažoms deformacijoms) eksperimentiškai nustatė Niutono amžininkas, anglų fizikas Hukas. Matematinė išraiška Huko dėsnis vienašalei tempimo (suspaudimo) deformacijai turi formą

čia f yra tamprumo jėga; x - kūno pailgėjimas (deformacija); k yra proporcingumo koeficientas, priklausantis nuo kūno dydžio ir medžiagos, vadinamas standumu. SI standumo vienetas yra niutonas vienam metrui (N/m).

Laisvas kūnų kritimas. Gravitacijos pagreitis

B11. Naudodami kūnų koordinačių priklausomybės nuo laiko grafikus (1 pav.), kiekvienam kūnui nustatykite:

a) pradinė koordinatė;

b) koordinuoti po 4 s;

c) greičio projekcija;

d) koordinačių lygtis (judesio lygtis);

e) kada koordinatė bus lygi 20 m?

Sprendimas

a) Nustatykite kiekvieno kūno pradinę koordinatę.

Grafinis metodas. Naudodami grafiką randame grafikų susikirtimo su ašimi taškų koordinates 0x(2a pav. šie taškai paryškinti):

x 01 = 30 m; x 02 = 10 m; x 03 = –10 m.

b) Nustatykite kiekvieno kūno koordinatę po 4 s.

Grafinis metodas. Naudodami grafiką randame grafikų susikirtimo su ašiai nubrėžtu statmenu taškų koordinates. 0t taške t = 4 s (2b pav. šie taškai paryškinti): x 1 (4 s) = 0; x 2 (4 s) = 10 m; x 3 (4 s) ≈ 20 m.

Analitinis metodas. Sukurkite judesio lygtį ir naudokite ją, kad nustatytumėte koordinatės reikšmę t= 4 s (žr. d punktą).

c) Nustatykite kiekvieno kūno greičio projekciją.

Grafinis metodas. Greičio projekcija \(~\upsilon_x = \tan \alpha = \frac(\Delta x)(\Delta t) = \frac(x_2 - x_1)(t_2-t_1)\), kur α yra polinkio kampas grafiką į ašį 0t; Δ t = t 2 – t 1 – savavališkas laikotarpis; Δ υ = υ 2 – υ 1 – greičio intervalas, atitinkantis laiko intervalą Δ t = t 2 – t 1 .

1 grafikui: tegul t 2 = 4 s, t 1 = 0 tada x 2 = 0, x 1 = 30 m ir υ 1x= (0 - 30 m)/(4 s - 0) = –7,5 m/s (3 a pav.).

2 diagramai: tegul t 2 = 6 s, t 1 = 0 tada x 2 = 10 m, x 1 = 10 m ir υ 2x= (10 m - 10 m)/(6 s - 0) = 0 (3 b pav.).

3 diagramoje: tegul t 2 = 5 s, t 1 = 0 tada x 2 = 30 m, x 1 = –10 m ir υ 3x= (30 - (-10 m))/(5 s - 0) = 8 m/s (3 c pav.).

Analitinis metodas. Parašykime vienodos koordinačių lygtį tiesus judesys V bendras vaizdas x = x 0 + υ x · t. Naudodami pradinės koordinatės reikšmes (žr. tašką a) ir koordinates, kai t = 4 s (žr. tašką b), randame greičio projekcijos reikšmę\[~\upsilon_x = \frac(x - x_0)( t)\] .

d) Nustatykite kiekvieno kūno koordinačių lygtį.

Tolygaus tiesinio judėjimo koordinačių lygtis bendra forma "x = x 0 + υ x · t .

Dėl 1 tvarkaraščio: nes x 01 = 30 m, υ 1x= –7,5 m/s, tada x 1 = 30 – 7,5t. Patikrinkime tašką b: x 1 (4 s) = 30 – 7,5 4 = 0, tai atitinka atsakymą.

Dėl 2 tvarkaraščio: nes x 02 = 10 m, υ 2x= 0, tada x 2 = 10. Patikrinkime tašką b: x 2 (4 s) = 10 (m), kas atitinka atsakymą.

Dėl 3 tvarkaraščio: nes x 03 = –10 m, υ 3x= 8 m/s, tada x 3 = –10 + 8t. Patikrinkime tašką b: x 3 (4 s) = –10 + 8 4 = 22 (m), kas maždaug atitinka atsakymą.

e) Nustatykite, kada kūno koordinatė bus 20 m?

Grafinis metodas. Naudodami grafiką randame grafikų susikirtimo su ašiai nubrėžtu statmenu taškų laiko reikšmes 0x taške x= 20 m (4 pav. šie taškai paryškinti): t 1 (20 m) ≈ 1,5 s; t 3 (20 m) ≈ 3,5 s.

2 grafikas yra lygiagretus statmenai, todėl kūno 2 koordinatė niekada nebus lygi 20 m.

Analitinis metodas. Užrašykite kiekvieno kūno koordinačių lygtį ir raskite, kuriuo momentu t koordinatė tampa lygi 20 m.

Vienodas judėjimas– tai judėjimas pastoviu greičiu, tai yra, kai greitis nekinta (v = const) ir nevyksta pagreitis arba lėtėjimas (a = 0).

Tiesios linijos judėjimas- tai judėjimas tiesia linija, tai yra, tiesinio judėjimo trajektorija yra tiesi linija.

Vienodas linijinis judėjimas- tai judėjimas, kai kūnas atlieka vienodus judesius per bet kokį vienodą laiko tarpą. Pavyzdžiui, jei tam tikrą laiko intervalą padalinsime į vienos sekundės intervalus, tada vienodu judesiu kūnas judės tuo pačiu atstumu kiekvienam iš šių laiko intervalų.

Tolygaus tiesinio judėjimo greitis nepriklauso nuo laiko ir kiekviename trajektorijos taške yra nukreiptas taip pat, kaip ir kūno judėjimas. Tai yra, poslinkio vektorius sutampa su greičio vektoriumi. Šiuo atveju vidutinis greitis bet kuriuo laikotarpiu yra lygus momentiniam greičiui:

Vienodo tiesinio judėjimo greitis yra fizikinis vektorinis dydis, lygus kūno judėjimo per bet kurį laikotarpį santykiui su šio intervalo t reikšme:

Taigi tolygaus tiesinio judėjimo greitis parodo, kiek judesių per laiko vienetą atlieka materialus taškas.

Judėjimas su vienodu linijiniu judesiu nustatoma pagal formulę:

Nuvažiuotas atstumas tiesiniu judesiu yra lygus poslinkio moduliui. Jei teigiama OX ašies kryptis sutampa su judėjimo kryptimi, tada greičio projekcija į OX ašį yra lygi greičio dydžiui ir yra teigiama:

v x = v, tai yra v > 0

Poslinkio projekcija į OX ašį yra lygi:

s = vt = x – x 0

kur x 0 yra pradinė kūno koordinatė, x yra galutinė kūno koordinatė (arba kūno koordinatė bet kuriuo metu)

Judėjimo lygtis, tai yra, kūno koordinačių priklausomybė nuo laiko x = x(t), yra tokia:

Jei teigiama OX ašies kryptis yra priešinga kūno judėjimo krypčiai, tai kūno greičio projekcija į OX ašį yra neigiama, greitis mažesnis už nulį (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Greičio, koordinačių ir kelio priklausomybė nuo laiko

Kūno greičio projekcijos priklausomybė nuo laiko parodyta fig. 1.11. Kadangi greitis yra pastovus (v = const), greičio grafikas yra tiesė, lygiagreti laiko ašiai Ot.

Ryžiai. 1.11. Kūno greičio projekcijos priklausomybė nuo laiko vienodam tiesiniam judėjimui.

Poslinkio projekcija ant koordinačių ašis skaitine prasme yra lygus stačiakampio OABC plotui (1.12 pav.), nes poslinkio vektoriaus dydis yra lygus greičio vektoriaus ir laiko, per kurį buvo atliktas poslinkis, sandaugai.

Ryžiai. 1.12. Kūno poslinkio projekcijos priklausomybė nuo laiko vienodam tiesiniam judėjimui.

Poslinkio ir laiko grafikas parodytas Fig. 1.13. Grafikas rodo, kad greičio projekcija lygi

v = s 1 / t 1 = tan α

čia α yra grafiko pasvirimo kampas į laiko ašį.

Kuo didesnis kampas α, tuo kūnas greičiau juda, tai yra, tuo didesnis jo greitis (kuo ilgiau kūnas nukeliauja per trumpesnį laiką). Koordinatės ir laiko grafiko liestinės liestinė yra lygi greičiui:

Ryžiai. 1.13. Kūno poslinkio projekcijos priklausomybė nuo laiko vienodam tiesiniam judėjimui.

Koordinatės priklausomybė nuo laiko parodyta fig. 1.14. Iš paveikslo aišku, kad

tan α 1 > tan α 2

todėl 1 kūno greitis yra didesnis už 2 kūno greitį (v 1 > v 2).

tan α 3 = v 3< 0

Jei kūnas yra ramybės būsenoje, koordinačių grafikas yra tiesi linija, lygiagreti laiko ašiai, ty

Ryžiai. 1.14. Kūno koordinačių priklausomybė nuo laiko vienodam tiesiniam judėjimui.

Ryšys tarp kampinių ir tiesinių dydžių

Atskiri besisukančio kūno taškai turi skirtingą linijinį greitį. Kiekvieno taško greitis, nukreiptas tangentiškai į atitinkamą apskritimą, nuolat keičia savo kryptį. Greičio dydis nustatomas pagal kūno sukimosi greitį ir aptariamo taško atstumą R nuo sukimosi ašies. Tegul kūnas per trumpą laiką pasisuka kampu (2.4 pav.). Taškas, esantis atstumu R nuo ašies, eina keliu, lygiu

Tiesinis taško greitis pagal apibrėžimą.

Tangentinis pagreitis

Naudodami tą patį ryšį (2.6) gauname

Taigi, tiek normalus, tiek tangentinis pagreitis didėja tiesiškai atsižvelgiant į taško atstumą nuo sukimosi ašies.

Pagrindinės sąvokos.

Periodinis svyravimas yra procesas, kurio metu sistema (pavyzdžiui, mechaninė) po tam tikro laiko grįžta į tą pačią būseną. Šis laikotarpis vadinamas virpesių periodu.

atkuriant jėgą- jėga, kuriai veikiant vyksta virpesių procesas. Ši jėga linksta kūną arba materialus taškas nukrypo nuo poilsio padėties, grįžkite į pradinę padėtį.

Atsižvelgiant į smūgio į svyruojantį kūną pobūdį, skiriamos laisvosios (arba natūralios) ir priverstinės vibracijos.

Laisvos vibracijos atsiranda, kai svyruojantį kūną veikia tik atkuriamoji jėga. Jei energija neišsisklaido, laisvos vibracijos yra neslopinti. Tačiau tikrieji virpesių procesai yra slopinami, nes svyruojantį kūną veikia pasipriešinimo judėjimui jėgos (daugiausia trinties jėgos).

Priverstinės vibracijos atliekami veikiant išorinei periodiškai besikeičiančiai jėgai, kuri vadinama prievarta. Daugeliu atvejų sistemos patiria svyravimus, kurie gali būti laikomi harmoningais.

Harmoninės vibracijos vadinami svyruojančiais judesiais, kuriuose kūno poslinkis iš pusiausvyros padėties vyksta pagal sinuso arba kosinuso dėsnį:

Norėdami iliustruoti fizinę reikšmę, apsvarstykite apskritimą ir pasukite spindulį OK su kampinis greitisω prieš laikrodžio rodyklę (7.1) kryptimi. Jei į pradžios momentas laikas OK gulėjo horizontalioje plokštumoje, tai po laiko t pasislinks kampu. Jei pradinis kampas nelygus nuliui ir lygus φ 0 , tada sukimosi kampas bus lygus Projekcija į XO 1 ašį lygi . Sukant spindulį OK, projekcijos dydis kinta, o taškas svyruos taško atžvilgiu – aukštyn, žemyn ir pan. Šiuo atveju didžiausia x reikšmė lygi A ir vadinama svyravimų amplitude; ω - žiedinis arba ciklinis dažnis - svyravimo fazė; Vienam taško K apsisukimui aplink apskritimą jo projekcija atliks vieną pilną virpesį ir grįš į pradinį tašką.

Laikotarpis T vadinamas vieno pilno svyravimo laiku. Po laiko T kartojasi visų fizikinių dydžių, apibūdinančių virpesius, reikšmės. Vienu periodu svyruojantis taškas eina keliu, skaitiniu požiūriu lygiu keturioms amplitudėms.

Kampinis greitis nustatomas iš sąlygos, kad per laikotarpį T spindulys OK padarys vieną apsisukimą, t.y. pasisuks 2π radianų kampu:

Virpesių dažnis- taško svyravimų skaičius per sekundę, t.y. virpesių dažnis apibrėžiamas kaip dydis atvirkštinis laikotarpis svyravimai:

Spyruoklės švytuoklės tamprumo jėgos.

Spyruoklinė švytuoklė susideda iš spyruoklės ir masyvaus rutulio, pritvirtinto ant horizontalaus strypo, kuriuo ji gali slysti. Leiskite rutulį su skylute pritvirtinti prie spyruoklės ir slysti išilgai kreipiančiosios ašies (stiebo). Pav. 7.2a rodoma rutulio padėtis ramybės būsenoje; pav. 7.2, b - didžiausias suspaudimas ir pav. 7.2,c - savavališka rutulio padėtis.

Veikiamas atkuriamosios jėgos, lygios suspaudimo jėgai, rutulys svyruos. Suspaudimo jėga F = -kx, kur k yra spyruoklės standumo koeficientas. Minuso ženklas rodo, kad jėgos F kryptis ir poslinkis x yra priešingi. Suspaustos spyruoklės potenciali energija

kinetinės

Norint išvesti rutulio judėjimo lygtį, reikia susieti x ir t. Išvada grindžiama energijos tvermės dėsniu. Bendra mechaninė energija yra lygi sistemos kinetinės ir potencinės energijos sumai. IN šiuo atveju:

. b pozicijoje): .

Kadangi nagrinėjamame judėjime yra įvykdytas mechaninės energijos tvermės dėsnis, galime rašyti:

. Iš čia nustatykime greitį:

Tačiau savo ruožtu ir todėl . Atskirkime kintamuosius . Integruodami šią išraišką gauname: ,

kur yra integravimo konstanta. Iš pastarojo išplaukia, kad

Taigi, veikiamas tamprios jėgos, kūnas atlieka harmoninius svyravimus. Kvazitampriosiomis vadinamos kitokios prigimties jėgos nei tampriosios, bet tenkinamos sąlyga F = -kx. Šių jėgų įtakoje kūnai taip pat atlieka harmonines vibracijas. Šiuo atveju:

Matematinė švytuoklė.

Matematinė švytuoklė – tai materialus taškas, pakabintas ant neištęsto ​​nesvario sriegio, atliekantis svyruojamąjį judesį vienoje vertikalioje plokštumoje, veikiamas gravitacijos.

Tokia švytuokle galima laikyti sunkų m masės rutulį, pakabintą ant plono siūlelio, kurio ilgis l yra daug didesnis už rutulio dydį. Jeigu jis nukrypsta kampu α (7.3 pav.) nuo vertikali linija, tada, veikiant jėgai F – vienai iš svorio P dedamųjų, ji svyruos. Į kitą komponentą, nukreiptą išilgai sriegio, neatsižvelgiama, nes yra subalansuotas sriegio įtempimu. Esant mažiems poslinkio kampams, x koordinatę galima išmatuoti horizontalia kryptimi. Iš 7.3 pav. aišku, kad sriegiui statmena svorio dedamoji lygi

Minuso ženklas dešinėje reiškia, kad jėga F nukreipta į mažėjantį kampą α. Atsižvelgiant į kampo α mažumą

Išvesti judėjimo dėsnį matematinės ir fizinės švytuoklės naudojame pagrindinę sukamojo judėjimo dinamikos lygtį

Jėgos momentas taško O atžvilgiu: ir inercijos momentas: M=FL. Inercijos momentas Jšiuo atveju kampinis pagreitis:

Atsižvelgdami į šias vertes, turime:

Jo sprendimas ,

Kaip matome, matematinės švytuoklės svyravimo periodas priklauso nuo jos ilgio ir gravitacijos pagreičio ir nepriklauso nuo svyravimų amplitudės.

Slopinti svyravimai.

Visi tikri osciliacinės sistemos yra skleidžiantys. Tokios sistemos mechaninių virpesių energija pamažu eikvojama darbui prieš trinties jėgas, todėl laisvosios vibracijos visada išnyksta – jų amplitudė palaipsniui mažėja. Daugeliu atvejų, kai nėra sausos trinties, kaip pirmą aproksimaciją galime daryti prielaidą, kad esant mažam judėjimo greičiui jėgos, sukeliančios mechaninių virpesių slopinimą, yra proporcingos greičiui. Šios jėgos, nepaisant jų kilmės, vadinamos pasipriešinimo jėgomis.

Perrašykime šią lygtį taip:

ir pažymėkite:

kur reiškia dažnį, kuriuo įvyktų sistemos laisvieji virpesiai, jei nebūtų atsparumo aplinkai, t.y. esant r = 0. Šis dažnis vadinamas natūraliu sistemos virpesių dažniu; β yra slopinimo koeficientas. Tada

Ieškosime (7.19) lygties sprendinio tokioje formoje, kur U yra kokia nors t funkcija.

Išskirkime šią išraišką du kartus pagal laiką t ir, pakeisdami pirmosios ir antrosios išvestinių reikšmes į (7.19) lygtį, gausime

Šios lygties sprendimas labai priklauso nuo koeficiento U ženklo. Panagrinėkime atvejį, kai šis koeficientas yra teigiamas. Įveskime žymėjimą, tada su realiu ω šios lygties sprendimas, kaip žinome, yra funkcija

Taigi, esant mažam terpės pasipriešinimui, lygties (7.19) sprendimas bus funkcija

Šios funkcijos grafikas parodytas fig. 7.8. Taškinės linijos rodo ribas, kuriose yra svyruojančio taško poslinkis. Dydis vadinamas natūraliu cikliniu sklaidos sistemos virpesių dažniu. Slopinti svyravimai yra neperiodiniai svyravimai, nes jie niekada nekartoja, pavyzdžiui, didžiausių poslinkio, greičio ir pagreičio verčių. Dydis paprastai vadinamas slopintų svyravimų periodu arba, tiksliau, sąlyginiu slopintų svyravimų periodu,

Natūralus logaritmas poslinkių amplitudių, einančių viena po kitos per tam tikrą laikotarpį, santykio, lygus laikotarpiui T vadinamas logaritminiu slopinimo mažėjimu.

Laiko tarpą, per kurį virpesių amplitudė sumažėja e kartų, pažymėkime τ. Tada

Vadinasi, slopinimo koeficientas yra fizikinis dydis, atvirkštinis laikotarpiui τ, per kurį amplitudė sumažėja e koeficientu. Dydis τ vadinamas atsipalaidavimo laiku.

Tegu N yra virpesių skaičius, po kurio amplitudė sumažėja e koeficientu, tada

Todėl logaritminio slopinimo mažėjimas δ yra fizinis kiekis, atvirkštinis virpesių skaičiui N, po kurio amplitudė sumažėja e kartų

Priverstinės vibracijos.

Esant priverstiniams virpesiams, sistema svyruoja veikiama išorinės (forsinės) jėgos, o dėl šios jėgos darbo periodiškai kompensuojami sistemos energijos nuostoliai. Priverstinių svyravimų dažnis (forsinis dažnis) priklauso nuo išorinės jėgos kitimo dažnio. Nustatykime kūno, kurio masė yra m, priverstinių virpesių amplitudę, atsižvelgiant į svyravimus neslopintus dėl nuolat veikiančios jėgos.

Tegul ši jėga keičiasi laikui bėgant pagal dėsnį, kur yra varomosios jėgos amplitudė. Jėgos ir pasipriešinimo jėgos atkūrimas Tada antrąjį Niutono dėsnį galima parašyti tokia forma.

Kaip pagal koordinačių priklausomybės grafiką

karts nuo karto x = x(t) sudaryti grafiką

kelias prieš laiką s = s(t)?

Atkreipkite dėmesį į šias grafiko ypatybes s = s(t):

1) tvarkaraštis s = s(t) visada prasideda nuo pradžios, nes pradiniu momentu nuvažiuotas atstumas visada lygus nuliui;

2) tvarkaraštis s = s(t) visada nemažėja: arba didėja, jei kūnas juda, arba nesikeičia, jei kūnas stovi;

3) funkcija s = s(t) negali turėti neigiamos reikšmės.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad grafikas X = X (t) sutampa su tvarkaraščiu s = s(t) tik tuo atveju, jei X(0) = 0 ir x(t) nemažėja visą laiką, t.y. kūnas juda tik teigiama kryptimi arba stovi vietoje.

Štai keletas diagramų sudarymo pavyzdžių: s = s(t) pagal šiuos grafikus X = X(t).

4.2 pavyzdys. Pagal grafiką X = = X(t) pav. 4.4, A sukurti grafiką s = s(t).

Tvarkaraštis X = X(t) didėja, bet prasideda ne taške, o taške (0, X 0). Norėdami gauti tvarkaraštį s = s(t) būtina praleisti grafiką X = X(t) įjungta x 0 žemyn (4.4 pav., b).

4.3 pavyzdys. Pagal grafiką X = X(t) pav. 4,5, A sukurti grafiką s = s(t).

Šiuo atveju X(0) = 0, bet kūnas juda neigiama kryptis kirvius X. Šiuo atveju tai tiesa s(t) = |x(t)|, ir brėžti s = s(t) tiesiog parodykite grafiką X = X(t) veidrodinis vaizdas į viršutinę pusplokštumą (4.5 pav., b).

Ryžiai. 4.5

4.4 pavyzdys. Pagal grafiką X = X(t) pav. 4.6, A sukurti grafiką s = s(t).

Pirmiausia sumažinkime grafiką X = X(t) įjungta X 0 iki X(0) = 0, kaip darėme 4.2 pavyzdyje, o tada tiesė 2 (4.6 pav., b) bus atspindimas viršutinėje pusiau plokštumoje, kaip tai padarėme 4.3 pavyzdyje.

Ryžiai. 4.6

4.5 pavyzdys. Pagal grafiką X = X(t) pav. 4.7, A sukurti grafiką s = s(t).

Ryžiai. 4.7

Tvarkaraštis X = X(t) susideda iš dviejų skyrių: pirmoje dalyje X(t) didėja, o antroje atkarpoje mažėja, t.y. kūnas juda neigiama ašies kryptimi X. Todėl nubraižyti grafiką s = s(t) pirmoji grafiko dalis X = X(t) paliekame nepakeistą, o antrąją dalį atspindime tiesės, einančios per posūkio tašką (2t, 2) atžvilgiu. X 0) lygiagrečiai ašiai t(4.7 pav.,b).

STOP! Išspręskite patys: C2 (a, b, c).

pareiškimas. Tegu pateikiamas priklausomybės grafikas υ x(t), X(t 1) = x 0 (4.8 pav.). Ploto reikšmės virš grafiko s + ir žemiau diagramos s– , išreikšti atsižvelgiant į svarstykles ilgio vienetais, yra žinomi. Tada kelias, nueitas per tam tikrą laikotarpį [ t 1 , t 2], yra lygus:

s = s – + s + . (4.2)

Koordinuoti laiku t 2 yra lygus:

X(t 2) = x 0 – s – + s + . (4.3)

4.2 problema. Pagal koordinačių ir laiko grafiką (4.9 pav. A) sudaryti priklausomybės grafikus υ x = υ x(t) Ir υ = υ (t).

Sprendimas. Apsvarstykime tam tikrą laikotarpį. Šiuo intervalu D X= = 1 m, D t= 1 s, taigi = 1 m/s, υ = = |υ x| = 1 m/s.

Apsvarstykime tam tikrą laikotarpį. Šiuo intervalu D X= 0, o tai reiškia υ x = υ = 0.

Apsvarstykime tam tikrą laikotarpį. Šiuo intervalu D X= (–2) – 1 = = –3 m, D t= 1 s, o tai reiškia = –3 m/s, υ = |υ x| = 3 m/s.

Apsvarstykime tam tikrą laikotarpį. Šiuo intervalu D X= 0, todėl υ x = υ = 0.

Grafikai parodyti pav. 4.9, b ir 4.9, V.

STOP! Išspręskite patys: Q3 (a, b, c).

4.3 problema. Pagal priklausomybės grafiką υ x = υ x(t) (4.10 pav.) Raskite nuvažiuoto kelio reikšmes ir koordinates momentais 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, jei X(0) = 2,0 m.

Sprendimas.

1. Apsvarstykite tam tikrą laikotarpį. Šiame intervale υ x(t) sumažėjo nuo 1 m/s iki 0, t.y. kūnas judėjo išilgai ašies X lėtai ir akimirksniu t= 1 s sustabdyta. Nuvažiuotas atstumas lygus plotui po diagrama svetainėje: m. šiuo metu t= 1 s yra lygus X(1) = X(0) + s 01 = 2,0 m + 0,5 m = 2,5 m.

2. Apsvarstykite tam tikrą laikotarpį. Šiame intervale υ x sumažėjo nuo 0 iki –1 m/s, t.y. kūnas įsibėgėja iš ramybės kryptimi priešinga kryptimi kirvius X. Kelias, nueitas per šį laikotarpį, yra lygus plotui virš grafiko υ x = υ x(t) intervalu: m. bendras keliasšiuo metu perkeliamas kūnas t= 2 s, lygus s(2) = s(1) + s 12 = 0,5 m + 0,5 m = 1,0 m t= 1 s yra lygus X(2) = X(1) – s 12 = 2,5 m – 0,5 m = 2,0 m.

3. Apsvarstykite tam tikrą laikotarpį. Per šį intervalą kūnas tolygiai juda neigiama ašies kryptimi X Su antžeminis greitis υ = 1 m/s. Nuvažiuotas atstumas yra s 23 = (1 m/s)´ ´(1 s) = 1,0 m. Todėl kelias nukeliavo iki momento t= 3 s, lygus s(3) = s(2) + s 23 = 1,0 m + 1,0 m = 2,0 m.

Koordinatė per šį laikotarpį sumažėjo nuvažiuoto atstumo dydžiu, nes kūnas pajudėjo atvirkštinė pusė: X(3) = X(2) – s 23 = 2,0 m – 1,0 m = 1,0 m.