Kaip rasti pagrindinę lygčių sistemos sprendinių sistemą. Fundamentali sprendimų sistema

Leiskite M 0 – daug sprendimų vienalytė sistema (4) tiesines lygtis.

Apibrėžimas 6.12. Vektoriai Su 1 ,Su 2 , …, su p, kurios yra vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendiniai, vadinami esminis sprendimų rinkinys(sutrumpintai FNR), jei

1) vektoriai Su 1 ,Su 2 , …, su p tiesiškai nepriklausomi (t. y. nė vienas iš jų negali būti išreikštas kitais);

2) bet kuris kitas vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinys gali būti išreikštas sprendiniais Su 1 ,Su 2 , …, su p.

Atkreipkite dėmesį, kad jei Su 1 ,Su 2 , …, su p– bet koks f.n.r., tada posakis k 1× Su 1 + k 2× Su 2 + … + k p× su p galite apibūdinti visą rinkinį M 0 sistemos (4) sprendinių, todėl ji vadinama bendras sistemos sprendimo vaizdas (4).

6.6 teorema. Bet kuri neapibrėžta vienalytė tiesinių lygčių sistema turi esminį sprendinių rinkinį.

Būdas rasti pagrindinį sprendimų rinkinį yra toks:

Rasti bendrą homogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendimą;

Sukurti ( n – r) šios sistemos daliniai sprendiniai, o laisvųjų nežinomųjų reikšmės turi sudaryti tapatybės matricą;

Išrašyk bendras vaizdasįtraukti sprendimai M 0 .

6.5 pavyzdys. Raskite pagrindinį sprendimų rinkinį kita sistema:

Sprendimas. Raskime bendrą šios sistemos sprendimą.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Šioje sistemoje yra penki nežinomieji ( n= 5), iš kurių yra du pagrindiniai nežinomieji ( r= 2), yra trys laisvi nežinomieji ( n – r), tai yra, pagrindinėje sprendinių aibėje yra trys sprendinių vektoriai. Pastatykime juos. Turime x 1 ir x 3 – pagrindiniai nežinomieji, x 2 , x 4 , x 5 – laisvi nežinomieji

Laisvų nežinomųjų vertybės x 2 , x 4 , x 5 sudaro tapatybės matricą E trečioji tvarka. Turite tuos vektorius Su 1 ,Su 2 , Su 3 forma f.n.r. šios sistemos. Tada šios vienalytės sistemos sprendinių rinkinys bus M 0 = {k 1× Su 1 + k 2× Su 2 + k 3× Su 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Dabar išsiaiškinkime homogeninės tiesinių lygčių sistemos nulinių sprendinių egzistavimo sąlygas, kitaip tariant, pamatinės sprendinių aibės egzistavimo sąlygas.

Vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinius sprendinius, tai yra neaišku, ar

1) pagrindinės sistemos matricos rangas mažesnis skaičius nežinomas;

2) vienalytėje tiesinių lygčių sistemoje lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių;

3) jei vienalytėje tiesinių lygčių sistemoje lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinės matricos determinantas lygus nuliui(ty | A| = 0).

6.6 pavyzdys. Esant kokiai parametro vertei a vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinius sprendimus?

Sprendimas. Sudarykime pagrindinę šios sistemos matricą ir suraskime jos determinantą: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Šios matricos determinantas yra lygus nuliui ties a = –4.

Atsakymas: –4.

7. Aritmetika n- matmenų vektorinė erdvė

Pagrindinės sąvokos

Ankstesniuose skyriuose jau buvome susidūrę su realiųjų skaičių rinkinio koncepcija tam tikra tvarka. Tai eilučių matrica (arba stulpelių matrica) ir tiesinių lygčių sistemos sprendimas su n nežinomas. Šią informaciją galima apibendrinti.

Apibrėžimas 7.1. n-matmenų aritmetinis vektorius vadinamas užsakytu rinkiniu n realūs skaičiai.

Reiškia A= (a 1 , a 2 , …, a n), kur a iО R, i = 1, 2, …, n– bendras vektoriaus vaizdas. Skaičius n paskambino matmuo vektoriai ir skaičiai a i yra vadinami jo koordinates.

Pavyzdžiui: A= (1, –8, 7, 4, ) – penkiamatis vektorius.

Viskas sukomplektuota n-dimensiniai vektoriai dažniausiai žymimi kaip Rn.

Apibrėžimas 7.2. Du vektoriai A= (a 1 , a 2 , …, a n) Ir b= (b 1 , b 2 , …, b n) tokio paties dydžio lygus tada ir tik tada, kai atitinkamos jų koordinatės yra lygios, ty a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Apibrėžimas 7.3.Suma du n- matmenų vektoriai A= (a 1 , a 2 , …, a n) Ir b= (b 1 , b 2 , …, b n) vadinamas vektoriumi a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+ b n).

Apibrėžimas 7.4. Darbas realus skaičius kį vektorių A= (a 1 , a 2 , …, a n) vadinamas vektoriumi k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Apibrėžimas 7.5. Vektorius O= (0, 0, …, 0) vadinamas nulis(arba nulinis vektorius).

Nesunku patikrinti vektorių sudėjimo ir jų dauginimo veiksmus (operacijas). realus skaičius turėti šias savybes: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Apibrėžimas 7.6. Daugelis Rn su vektorių sudėjimo ir jų dauginimo iš jame pateikto realaus skaičiaus operacijos vadinamos aritmetinė n matmenų vektorinė erdvė.

Homogeninės tiesinės sistemos algebrines lygtis

Kaip pamokų dalis Gauso metodas Ir Nesuderinamos sistemos/sistemos su bendru sprendimu svarstėme nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos, Kur laisvas narys(kuri paprastai yra dešinėje) bent vienas iš lygčių skyrėsi nuo nulio.
Ir dabar, po gero apšilimo su matricos rangas, toliau šlifuosime techniką elementarios transformacijos įjungta vienalytė tiesinių lygčių sistema.
Remiantis pirmomis pastraipomis, medžiaga gali atrodyti nuobodi ir vidutiniška, tačiau toks įspūdis yra apgaulingas. Be tolesnio techninės technikos tobulinimo, bus daug nauja informacija, todėl stenkitės nepamiršti šiame straipsnyje pateiktų pavyzdžių.

Kas yra vienalytė tiesinių lygčių sistema?

Atsakymas rodo pats. Tiesinių lygčių sistema yra vienalytė, jei laisvasis narys visi sistemos lygtis lygi nuliui. Pavyzdžiui:

Visiškai aišku, kad vienalytė sistema visada yra nuosekli ty visada turi sprendimą. Ir, visų pirma, į akis krenta vadinamasis trivialus sprendimas . Trivialus, tiems, kurie visiškai nesupranta būdvardžio reikšmės, reiškia be pasipuikavimo. Žinoma, ne akademinis, bet suprantamas =) ...Kam muštis, pažiūrėkime, ar ši sistema turi kitų sprendimų:

1 pavyzdys

Sprendimas: norint išspręsti vienarūšę sistemą reikia parašyti sistemos matrica o elementarių transformacijų pagalba atnešti ją į laiptuotas vaizdas. Atkreipkite dėmesį, kad čia nereikia užrašyti vertikalios juostos ir nulio stulpelio nemokami nariai- juk kad ir ką darytum su nuliais, jie liks nuliais:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –3.

(2) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1.

Trečią eilutę dalinti iš 3 nėra prasmės.

Elementariųjų transformacijų rezultate gaunama ekvivalentiška vienalytė sistema , ir naudojant atvirkštinį Gauso metodą, nesunku patikrinti, ar sprendimas yra unikalus.

Atsakymas:

Suformuluokime akivaizdų kriterijų: vienalytė tiesinių lygčių sistema turi tik trivialus sprendimas, Jei sistemos matricos rangas(V šiuo atveju 3) lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju – 3 vnt.).

Sušildykime ir priderinkime radiją prie elementarių transformacijų bangos:

2 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę tiesinių lygčių sistemą

Iš straipsnio Kaip rasti matricos rangą? prisiminti racionali technika lygiagretus matricos skaičių mažinimas. Priešingu atveju turėsite pjaustyti dideles ir dažnai kandžias žuvis. Apytikslis pavyzdys užduoties atlikimas pamokos pabaigoje.

Nuliai yra gerai ir patogūs, tačiau praktikoje atvejis yra daug dažnesnis, kai sistemos matricos eilutės tiesiškai priklausomas. Ir tada neišvengiamas pasirodymas bendras sprendimas:

3 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę tiesinių lygčių sistemą

Sprendimas: užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą. Pirmuoju veiksmu siekiama ne tik gauti vieną reikšmę, bet ir sumažinti skaičius pirmame stulpelyje:

(1) Prie pirmosios eilutės buvo pridėta trečia eilutė, padauginta iš –1. Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Viršuje kairėje gavau bloką su „minusu“, kuris dažnai yra daug patogesnis tolimesnėms transformacijoms.

(2) Pirmosios dvi eilutės yra tos pačios, viena iš jų ištrinta. Sąžiningai, aš nepritaikiau sprendimo – taip išėjo. Jei atliksite transformacijas šablono būdu, tada tiesinė priklausomybė linijos būtų atskleistos kiek vėliau.

(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 3.

(4) Pirmos eilutės ženklas buvo pakeistas.

Dėl elementariųjų transformacijų buvo gauta lygiavertė sistema:

Algoritmas veikia lygiai taip pat kaip ir nevienalytės sistemos. Kintamieji „sėdi ant laiptelių“ yra pagrindiniai, kintamasis, kuris negavo „žingsnio“, yra laisvas.

Išreikškime pagrindinius kintamuosius per laisvąjį kintamąjį:

Atsakymas: bendras sprendimas:

Įtrauktas trivialus sprendimas bendroji formulė, ir atskirai jo rašyti nebūtina.

Patikrinimas taip pat atliekamas pagal įprastą schemą: gautas bendras sprendimas turi būti pakeistas į kairėje pusėje kiekvieną sistemos lygtį ir gauti teisinį nulį visiems pakaitalams.

Galima būtų tai užbaigti tyliai ir taikiai, tačiau dažnai reikia pavaizduoti homogeniškos lygčių sistemos sprendimą V vektorinė forma naudojant pamatinė sprendimų sistema. Prašome kol kas apie tai pamiršti analitinė geometrija, nes dabar kalbėsime apie vektorius bendrąja algebrine prasme, kurią šiek tiek atidariau straipsnyje apie matricos rangas. Nereikia glaistyti terminijos, viskas yra gana paprasta.

Paslaugos paskirtis. Internetinis skaičiuotuvas skirtas rasti nebanalų ir esminį SLAE sprendimą. Gautas sprendimas išsaugomas Word faile (žr. sprendimo pavyzdį).

Instrukcijos. Pasirinkite matricos matmenis:

Tiesinių vienarūšių lygčių sistemų savybės

Teorema. Sistema tuo atveju, kai m=n turi ne trivialus sprendimas tada ir tik tada, kai šios sistemos determinantas lygus nuliui.

Teorema. Bet koks tiesinis sistemos sprendimų derinys yra ir tos sistemos sprendimas.
Apibrėžimas. Tiesinių vienarūšių lygčių sistemos sprendinių aibė vadinama pamatinė sprendimų sistema, jei šią aibę sudaro tiesinis nepriklausomi sprendimai ir bet koks sistemos sprendimas yra tiesinis šių sprendimų derinys.

Teorema. Jei sistemos matricos rangas r yra mažesnis už nežinomųjų skaičių n, tada egzistuoja pagrindinė sprendinių sistema, susidedanti iš (n-r) sprendinių.

Tiesinių vienarūšių lygčių sistemų sprendimo algoritmas

1. Matricos rango radimas.
2. Mes pasirenkame pagrindinį minorą. Skiriame priklausomus (pagrindinius) ir laisvuosius nežinomuosius.
3. Išbraukiame tas sistemos lygtis, kurių koeficientai neįtraukti į bazinį mažąjį, nes yra kitų pasekmės (pagal teoremą ant pagrindo minor).
4. Lygčių, kuriose yra laisvųjų nežinomųjų, sąlygas perkeliame į dešinėje pusėje. Dėl to gauname lygčių sistemą su r nežinomaisiais, lygiavertę duotajam, kurios determinantas yra nulis.
5. Išsprendžiame gautą sistemą pašalindami nežinomus dalykus. Mes randame ryšius, išreiškiančius priklausomus kintamuosius per laisvuosius.
6. Jei matricos rangas nėra lygus kintamųjų skaičiui, tada randame pagrindinį sistemos sprendimą.
7. Tuo atveju, kai skambėjo = n, turime trivialų sprendimą.

Pavyzdys. Raskite vektorių sistemos pagrindą (a 1, a 2,...,a m), reitinguokite ir išreikškite vektorius pagal bazę. Jei 1 =(0,0,1,-1) ir 2 =(1,1,2,0) ir 3 =(1,1,1,1) ir 4 =(3,2,1 ,4) ir 5 =(2,1,0,3).
Užrašykime pagrindinę sistemos matricą:

Duotos matricos

Raskite: 1) aA - bB,

Sprendimas: 1) Surandame jį nuosekliai, naudodamiesi matricos dauginimo iš skaičiaus ir matricų pridėjimo taisyklėmis.

2. Raskite A*B, jei

Sprendimas: Mes naudojame matricos daugybos taisyklę

Atsakymas:

3. Pateiktoje matricoje raskite mažąjį M 31 ir apskaičiuokite determinantą.

Sprendimas: Mažasis M 31 yra matricos, gautos iš A, determinantas

perbraukus 3 eilutę ir stulpelį 1. Randame

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformuokime matricą A nekeisdami jos determinanto (1 eilutėje padarykime nulius)

Dabar apskaičiuojame matricos A determinantą skaidydami pagal 1 eilutę

Atsakymas: M 31 = 0, detA = 0

Išspręskite Gauso metodu ir Cramerio metodu.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Sprendimas: Patikrinkim

Galite naudoti Cramerio metodą

Sistemos sprendimas: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Taikykime Gauso metodą.

Sumažinkime išplėstinę sistemos matricą į trikampę formą.

Kad būtų lengviau apskaičiuoti, pakeiskime eilutes:

Padauginkite 2 eilutę iš (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ir pridėti prie 3:

1-ąją eilutę padauginkite iš (k = -2 / 2 = -1 ) ir prie 2 pridėkite:

Dabar pradinę sistemą galima parašyti taip:

x 1 = 1 – (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 – (6 x 3)

Iš 2 eilutės išreiškiame

Iš 1-os eilutės išreiškiame

Sprendimas yra tas pats.

Atsakymas: (2; -5; 3)

Raskite bendrą sistemos ir FSR sprendimą

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Sprendimas: Taikykime Gauso metodą. Sumažinkime išplėstinę sistemos matricą į trikampę formą.

Padauginkite 1 eilutę iš (-11). Padauginkime 2 eilutę iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

Padauginkite 2 eilutę iš (-5). Padauginkime 3 eilutę iš (11). Pridėkime 3-ią eilutę prie 2-osios:

Padauginkite 3 eilutę iš (-7). Padauginkime 4 eilutę iš (5). Pridėkime 4 eilutę prie 3:

Antroji lygtis yra tiesinis kitų derinys

Raskime matricos rangą.

Paryškintas nepilnametis turi aukščiausia tvarka(iš galimų nepilnamečių) ir yra ne nulis (it lygus produktui elementai atvirkštinėje įstrižainėje), taigi rangas (A) = 2.

Šis nepilnametis yra pagrindinis. Ji apima koeficientus nežinomiems x 1 , x 2 , o tai reiškia, kad nežinomieji x 1 , x 2 yra priklausomi (pagrindiniai), o x 3 , x 4 , x 5 yra laisvi.

Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir yra tokia:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Naudodami nežinomųjų pašalinimo metodą, randame bendras sprendimas:

x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5

x 1 = – 1/3 x 3

Randame fundamentalią sprendinių sistemą (FSD), kurią sudaro (n-r) sprendiniai. Mūsų atveju n=5, r=2, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš 3 sprendinių ir šie sprendiniai turi būti tiesiškai nepriklausomi.

Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad iš eilutės elementų sudarytos matricos rangas būtų lygus eilučių skaičiui, ty 3.

Pakanka pateikti laisvųjų nežinomųjų x 3 , x 4 , x 5 reikšmes iš 3 eilės determinanto, ne nulio, eilučių ir apskaičiuoti x 1 , x 2 .

Paprasčiausias ne nulis determinantas yra tapatybės matrica.

Bet čia patogiau pasiimti

Mes randame naudodami bendrą sprendimą:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

aš FSR sprendimas: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR tirpalas: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

III sprendimas FSR: (0; – 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Duota: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Raskite: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Sprendimas: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Atsakymas: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Vienalytė sistema visada yra nuosekli ir turi trivialų sprendimą
. Kad egzistuotų netrivialus sprendimas, būtina, kad matricos rangas buvo mažesnis nei nežinomųjų skaičius:

.

Fundamentali sprendimų sistema vienalytė sistema
iškvieskite sprendinių sistemą stulpelių vektorių pavidalu
, kurie atitinka kanoninį pagrindą, t.y. pagrindas, kuriame savavališkos konstantos
pakaitomis nustatomi lygūs vienetui, o likusi dalis yra lygi nuliui.

Tada bendras homogeninės sistemos sprendimas turi tokią formą:

Kur
- savavališkos konstantos. Kitaip tariant, bendras sprendimas yra linijinis pagrindinės sprendimų sistemos derinys.

Taigi pagrindinius sprendinius galima gauti iš bendrojo sprendinio, jei laisviesiems nežinomiesiems paeiliui suteikiama vieneto reikšmė, visus kitus prilyginant nuliui.

Pavyzdys. Raskime sistemos sprendimą

Priimkime , tada gausime sprendimą tokia forma:

Dabar sukurkime pagrindinę sprendimų sistemą:

.

Bendras sprendimas bus parašytas taip:

Vienalyčių tiesinių lygčių sistemos sprendiniai turi šias savybes:

Kitaip tariant, bet koks tiesinis vienalytės sistemos sprendinių derinys vėl yra sprendimas.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas matematikus domino kelis šimtmečius. Pirmieji rezultatai gauti XVIII a. 1750 metais G. Krameris (1704–1752) paskelbė savo darbus apie kvadratinių matricų determinantus ir pasiūlė atvirkštinės matricos paieškos algoritmą. 1809 m. Gaussas išdėstė naują sprendimo metodą, žinomą kaip pašalinimo metodas.

Gauso metodas arba nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas susideda iš to, kad elementariųjų transformacijų pagalba lygčių sistema redukuojama į lygiavertę žingsninės (arba trikampės) formos sistemą. Tokios sistemos leidžia nuosekliai surasti visus nežinomus tam tikra tvarka.

Tarkime, kad sistemoje (1)
(kas visada įmanoma).

(1)

Pirmąją lygtį padauginus po vieną iš vadinamųjų tinkami skaičiai

o sudėję daugybos rezultatą su atitinkamomis sistemos lygtimis, gauname lygiavertė sistema, kurioje visose lygtyse, išskyrus pirmąją, nebus nežinomųjų X 1

(2)

Dabar padauginkime antrąją sistemos (2) lygtį iš tinkamų skaičių, darydami prielaidą, kad

,

o pridėję jį su žemesniaisiais pašaliname kintamąjį iš visų lygčių, pradedant nuo trečiosios.

Tęsiant šį procesą, po
gauname žingsnį:

(3)

Jei bent vienas iš skaičių
nėra lygus nuliui, tada atitinkama lygybė yra prieštaringa, o sistema (1) yra nenuosekli. Ir atvirkščiai, bet kuriai jungtinei skaičių sistemai
yra lygūs nuliui. Skaičius yra ne kas kita, kaip sistemos (1) matricos rangas.

Perėjimas iš sistemos (1) į (3) vadinamas tiesiai į priekį Gauso metodas ir nežinomųjų radimas iš (3) – atvirkščiai .

komentuoti : Transformacijas patogiau atlikti ne su pačiomis lygtimis, o su išplėstine sistemos matrica (1).

Pavyzdys. Raskime sistemos sprendimą

.

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

.

Pridėkime pirmąjį prie 2,3,4 eilučių, padaugintų atitinkamai iš (-2), (-3), (-2):

.

Sukeiskime 2 ir 3 eilutes, tada gautoje matricoje 2 eilutę pridėkite prie 4 eilutės, padaugintą iš :

.

Pridėti prie 4 eilutės 3 eilutė padauginta iš
:

.

Tai akivaizdu
, todėl sistema yra nuosekli. Iš gautos lygčių sistemos

randame sprendimą atvirkštiniu pakeitimu:

,
,
,
.

2 pavyzdys. Raskite sistemos sprendimą:

.

Akivaizdu, kad sistema nesuderinama, nes
, A
.

Gauso metodo privalumai :

Mažiau darbo jėgos nei Cramerio metodas.

Vienareikšmiškai nustato sistemos suderinamumą ir leidžia rasti sprendimą.

Leidžia nustatyti bet kurios matricos rangą.