Raskite bendrą sprendimą ir parašykite jį fsr. Homogeninės lygčių sistemos

Dar mokykloje kiekvienas iš mūsų studijavo lygtis ir, greičiausiai, lygčių sistemas. Tačiau nedaugelis žino, kad yra keletas būdų jas išspręsti. Šiandien mes išsamiai išanalizuosime visus linijinės sistemos sprendimo būdus algebrines lygtis, kurią sudaro daugiau nei dvi lygybės.

Istorija

Šiandien žinoma, kad lygčių ir jų sistemų sprendimo menas atsirado m Senovės Babilonas ir Egiptas. Tačiau lygybės pažįstama forma atsirado po to, kai pasirodė lygybės ženklas „=“, kurį 1556 m. įvedė anglų matematikas Record. Beje, šis ženklas pasirinktas ne veltui: tai reiškia du lygiagrečius lygus segmentui. Ir tai tiesa geriausias pavyzdys lygybės negalima sugalvoti.

Modernaus įkūrėjas raidžių pavadinimai Nežinomieji ir eksponentų ženklai yra prancūzų matematikas Tačiau jo pavadinimai gerokai skyrėsi nuo šiandieninių. Pavyzdžiui, kvadratas nežinoma data jis žymėjo raidę Q (lot. „quadratus“), o kubą – raidę C (lot. „cubus“). Šis žymėjimas dabar atrodo nepatogus, tačiau tuo metu tai buvo pats suprantamiausias būdas rašyti tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Tačiau to meto sprendimo metodų trūkumas buvo tas, kad matematikai tik svarstė teigiamų šaknų. Galbūt taip yra dėl to, kad neigiamos reikšmės jokių neturėjo praktinis pritaikymas. Vienaip ar kitaip, bet suskaičiuok pirmas neigiamos šaknys Tai buvo italų matematikai Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ir Raphaelis Bombelli, kurie jį pradėjo XVI amžiuje. A moderni išvaizda, pagrindinis sprendimo būdas (per diskriminantą) buvo sukurtas tik XVII amžiuje Dekarto ir Niutono darbų dėka.

XVIII amžiaus viduryje šveicarų matematikas Gabrielis Krameris rado naujas būdas kad būtų galima rasti sistemų sprendimą tiesines lygtis paprastesnis. Šis metodas vėliau buvo pavadintas jo vardu ir jį naudojame iki šiol. Tačiau apie Cramerio metodą pakalbėsime šiek tiek vėliau, bet dabar aptarkime tiesines lygtis ir jų sprendimo būdus atskirai nuo sistemos.

Tiesinės lygtys

Tiesinės lygtys yra paprasčiausios lygtys su kintamuoju (kintamaisiais). Jie klasifikuojami kaip algebriniai. parašyta bendra forma taip: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Vėliau, kurdami sistemas ir matricas, turėsime jas pavaizduoti šia forma.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemos

Šio termino apibrėžimas yra toks: tai lygčių rinkinys, turintis bendrų nežinomų dydžių ir bendras sprendimas. Paprastai mokykloje visi sprendė sistemas su dviem ar net trimis lygtimis. Tačiau yra sistemų su keturiais ar daugiau komponentų. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip juos užrašyti, kad ateityje būtų patogu spręsti. Pirma, linijinių algebrinių lygčių sistemos atrodys geriau, jei visi kintamieji bus parašyti kaip x su atitinkamu indeksu: 1, 2, 3 ir pan. Antra, visos lygtys turėtų būti sumažintos iki kanoninė forma: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Po visų šių veiksmų galime pradėti kalbėti apie tai, kaip rasti tiesinių lygčių sistemų sprendimus. Tam labai pravers matricos.

Matricos

Matrica yra lentelė, susidedanti iš eilučių ir stulpelių, o jų sankirtoje yra jos elementai. Tai gali būti ir konkrečias vertybes, arba kintamieji. Dažniausiai, norint nurodyti elementus, po jais dedami apatiniai indeksai (pavyzdžiui, 11 arba 23). Pirmasis indeksas reiškia eilutės numerį, o antrasis - stulpelio numerį. Virš matricų, kaip ir per bet kurią kitą matematinis elementas galite atlikti įvairias operacijas. Taigi galite:

2) Padauginkite matricą iš bet kurio skaičiaus arba vektoriaus.

3) Transponuoti: matricos eilutes paverskite stulpeliais, o stulpelius – eilėmis.

4) Padauginkite matricas, jei vienos iš jų eilučių skaičius lygus kitos stulpelių skaičiui.

Aptarkime visas šias technikas plačiau, nes jos mums pravers ateityje. Atimti ir sudėti matricas yra labai paprasta. Kadangi imame matricas tokio pat dydžio, tada kiekvienas vienos lentelės elementas koreliuoja su kiekvienu kitos lentelės elementu. Taigi šiuos du elementus pridedame (atimame) (svarbu, kad jie savo matricose stovėtų tose pačiose vietose). Dauginant matricą iš skaičiaus arba vektoriaus, jūs tiesiog padauginate kiekvieną matricos elementą iš to skaičiaus (arba vektoriaus). Perkėlimas yra labai įdomus procesas. Labai įdomu kartais jį pamatyti tikras gyvenimas, pavyzdžiui, keičiant planšetinio kompiuterio ar telefono orientaciją. Piktogramos darbalaukyje vaizduoja matricą, o pasikeitus pozicijai ji persikelia ir tampa platesnė, bet mažėja.

Pažvelkime į kitą procesą, pavyzdžiui: nors mums to nereikės, vis tiek bus naudinga tai žinoti. Dvi matricas galite padauginti tik tuo atveju, jei stulpelių skaičius vienoje lentelėje yra lygus eilučių skaičiui kitoje. Dabar paimkime vienos matricos eilutės elementus, o kitos – atitinkamo stulpelio elementus. Padauginkime juos vieną iš kito ir tada sudėkime (ty, pavyzdžiui, elementų a 11 ir a 12 sandauga iš b 12 ir b 22 bus lygi: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Taip gaunamas vienas lentelės elementas, kuris toliau pildomas panašiu būdu.

Dabar galime pradėti svarstyti, kaip sprendžiama tiesinių lygčių sistema.

Gauso metodas

Ši tema pradedama gvildenti mokykloje. Mes gerai žinome sąvoką „dviejų tiesinių lygčių sistema“ ir žinome, kaip jas išspręsti. Bet ką daryti, jei lygčių skaičius yra didesnis nei dvi? Tai mums padės

Žinoma, šį metodą patogu naudoti, jei iš sistemos sudarote matricą. Bet jūs neturite jo transformuoti ir išspręsti gryna forma.

Taigi, kaip šis metodas išsprendžia tiesinių Gauso lygčių sistemą? Beje, nors šis metodas pavadintas jo vardu, jis buvo atrastas senovėje. Gaussas siūlo taip: atlikti operacijas su lygtimis, kad galiausiai visa rinkinys būtų pasiektas laiptuotas vaizdas. Tai yra, būtina, kad iš viršaus į apačią (jei išdėstyta teisingai) nuo pirmosios lygties iki paskutinės nežinomasis mažėtų. Kitaip tariant, reikia pasirūpinti, kad gautume, tarkime, tris lygtis: pirmoje – trys nežinomieji, antroje – du, trečioje – vienas. Tada iš paskutinės lygties randame pirmąjį nežinomąjį, jo reikšmę pakeičiame antrąja arba pirmąja lygtimi ir randame likusius du kintamuosius.

Cramerio metodas

Norint įvaldyti šį metodą, labai svarbu turėti matricų pridėjimo ir atėmimo įgūdžių, taip pat reikia mokėti rasti determinantus. Todėl, jei visa tai darysite prastai arba visai nežinote, kaip, teks mokytis ir praktikuotis.

Kokia šio metodo esmė ir kaip jį padaryti taip, kad būtų gauta tiesinių Cramerio lygčių sistema? Tai labai paprasta. Turime sudaryti tiesinių algebrinių lygčių sistemos skaitinių (beveik visada) koeficientų matricą. Norėdami tai padaryti, tiesiog paimame skaičius priešais nežinomuosius ir išdėstome juos lentelėje tokia tvarka, kokia jie yra parašyti sistemoje. Jei prieš skaičių yra ženklas „-“, tada užrašome neigiamą koeficientą. Taigi, mes sudarėme pirmąją nežinomųjų koeficientų matricą, neįskaitant skaičių po lygybės ženklų (natūralu, lygtis turėtų būti sumažinta iki kanoninės formos, kai tik skaičius yra dešinėje, o visi nežinomieji su koeficientais yra įjungti kairėje). Tada reikia sukurti dar kelias matricas – po vieną kiekvienam kintamajam. Norėdami tai padaryti, kiekvieną stulpelį pakeičiame koeficientais pirmoje matricoje, paeiliui skaičių stulpeliu po lygybės ženklo. Taigi gauname keletą matricų ir randame jų determinantus.

Kai tik randame lemiančius veiksnius, tai jau smulkmena. Turime pradinę matricą ir yra keletas gautų matricų, atitinkančių skirtingus kintamuosius. Norėdami gauti sistemos sprendimus, gautos lentelės determinantą padalijame iš pradinės lentelės determinanto. Gautas skaičius yra vieno iš kintamųjų reikšmė. Panašiai randame visus nežinomuosius.

Kiti metodai

Yra dar keletas būdų, kaip gauti tiesinių lygčių sistemų sprendimus. Pavyzdžiui, vadinamasis Gauss-Jordan metodas, kuris naudojamas ieškant sistemos sprendimų kvadratines lygtis taip pat yra susijęs su matricų naudojimu. Taip pat yra Jacobi metodas, skirtas tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti. Tai lengviausiai pritaikoma prie kompiuterio ir naudojama kompiuterijoje.

Sudėtingi atvejai

Sudėtingumas paprastai atsiranda, kai lygčių skaičius mažesnis skaičius kintamieji. Tada galime tvirtai pasakyti, kad arba sistema yra nenuosekli (ty neturi šaknų), arba jos sprendimų skaičius linkęs į begalybę. Jei turime antrąjį atvejį, tai turime užrašyti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Jame bus bent vienas kintamasis.

Išvada

Čia mes priėjome prie pabaigos. Apibendrinkime: išsiaiškinome, kas yra sistema ir matrica, ir išmokome rasti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Be to, svarstėme ir kitus variantus. Sužinojome, kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą: Gauso metodą ir kalbėjome apie tai sunkių atvejų ir kitais būdais rasti sprendimus.

Tiesą sakant, ši tema yra daug platesnė, ir jei norite ją geriau suprasti, rekomenduojame perskaityti daugiau specializuotos literatūros.

Tiesinė lygtis vadinama vienalytis, jei jo laisvas narys lygus nuliui, o kitaip heterogeniškas. Sistema, susidedanti iš vienarūšės lygtys, vadinamas vienarūšiu ir turi bendrą formą:

Akivaizdu, kad kiekviena vienalytė sistema yra nuosekli ir turi nulinį (trivialų) sprendimą. Todėl, pritaikius vienarūšėms tiesinių lygčių sistemoms, dažnai tenka ieškoti atsakymo į klausimą apie nulinių sprendinių egzistavimą. Atsakymas į šį klausimą gali būti suformuluotas kaip tokia teorema.

Teorema . Vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių .

Įrodymas: Tarkime, kad sistema, kurios rangas yra lygus, turi nulinį sprendimą. Akivaizdu, kad jis neviršija. Jei sistema turi vienintelis sprendimas. Kadangi vienalyčių tiesinių lygčių sistema visada turi nulinį sprendimą, nulinis sprendimas bus šis unikalus sprendimas. Taigi nuliniai sprendimai galimi tik .

1 išvada : Vienalytė lygčių sistema, kurioje lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, visada turi nulinį sprendinį.

Įrodymas: Jeigu lygčių sistema turi , tai sistemos rangas neviršija lygčių skaičiaus, t.y. . Taigi sąlyga yra įvykdyta, todėl sistema turi nulinį sprendimą.

2 išvada : Vienalytė lygčių sistema su nežinomaisiais turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos determinantas yra lygus nuliui.

Įrodymas: Tarkime, kad tiesinių vienarūšių lygčių sistema, kurios matrica su determinantu , turi nulinį sprendinį. Tada, pagal įrodytą teoremą, ir tai reiškia, kad matrica yra vienaskaita, t.y. .

Homogeninė tiesinių algebrinių lygčių sistema.

M tiesinių lygčių sistema su n kintamųjų vadinama tiesinių vienarūšių lygčių sistema, jei visos laisvi nariai yra lygūs 0. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema visada yra nuosekli, nes jis visada turi bent nulinį sprendimą. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos kintamųjų koeficientų matricos rangas yra mažesnis už kintamųjų skaičių, t.y. rangui A (n. Bet koks tiesinis derinys

Lin sistemos sprendimai. vienalytis. ur-ii taip pat yra šios sistemos sprendimas.

Tiesinių nepriklausomų sprendinių e1, e2,...,еk sistema vadinama fundamentalia, jeigu kiekvienas sistemos sprendinys yra tiesinis sprendinių derinys. Teorema: jei koeficiento matricos rangas r ties sistemos kintamieji tiesinės vienarūšės lygtys yra mažesnės už kintamųjų skaičių n, tada bet kuri pagrindinė sistemos sprendinių sistema susideda iš n-r sprendimai. Todėl bendras tiesinės sistemos sprendimas. vienadienis ur-th turi formą: c1e1+c2e2+...+skek, kur e1, e2,..., ek – bet kokia fundamentali sprendinių sistema, c1, c2,..., ck – savavališki skaičiai ir k=n-r. M tiesinių lygčių sistemos su n kintamųjų bendras sprendinys yra lygus sumai

jį atitinkančios sistemos bendrojo sprendinio yra vienalytis. tiesines lygtis ir savavališką konkretų šios sistemos sprendimą.

7. Linijinės erdvės. Potarpiai. Pagrindas, matmuo. Linijinis apvalkalas. Linijinė erdvė vadinama n matmenų, jei jame yra tiesinė sistema nepriklausomi vektoriai, ir bet kuri sistema nuo daugiau vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Skambina numeriu matmuo (matmenų skaičius) linijinė erdvė ir yra paskirtas. Kitaip tariant, erdvės matmuo yra maksimalus skaičius tiesiškai nepriklausomi šios erdvės vektoriai. Jei toks skaičius egzistuoja, tada erdvė vadinama baigtine. Jei kam natūralusis skaičius n erdvėje yra sistema, susidedanti iš tiesiškai nepriklausomų vektorių, tada tokia erdvė vadinama begalinės dimensijos (parašyta: ). Toliau, jei nenurodyta kitaip, bus nagrinėjamos baigtinių matmenų erdvės.

n-matės tiesinės erdvės pagrindas yra tvarkinga tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys ( baziniai vektoriai).

8.1 teorema apie vektoriaus plėtimąsi pagrindu. Jei yra n-matės tiesinės erdvės pagrindas, tada bet kurį vektorių galima pavaizduoti kaip tiesinį bazinių vektorių derinį:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
ir, be to, vieninteliu būdu, t.y. koeficientai nustatomi vienareikšmiškai. Kitaip tariant, bet koks erdvės vektorius gali būti išplėstas į pagrindą ir, be to, unikaliu būdu.

Iš tiesų, erdvės matmuo yra . Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma (tai yra pagrindas). Pridėję bet kurį vektorių prie pagrindo, gauname tiesiškai priklausoma sistema(nes ši sistema susideda iš vektorių n matmenų erdvė). Naudodami 7 tiesiškai priklausomų ir tiesiškai nepriklausomų vektorių savybę, gauname teoremos išvadą.

Duotos matricos

Raskite: 1) aA - bB,

Sprendimas: 1) Surandame jį nuosekliai, naudodamiesi matricos dauginimo iš skaičiaus ir matricų pridėjimo taisyklėmis.

2. Raskite A*B, jei

Sprendimas: Mes naudojame matricos daugybos taisyklę

Atsakymas:

3. Pateiktoje matricoje raskite mažąjį M 31 ir apskaičiuokite determinantą.

Sprendimas: Mažasis M 31 yra matricos, gautos iš A, determinantas

perbraukus 3 eilutę ir stulpelį 1. Randame

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformuokime matricą A nekeisdami jos determinanto (1 eilutėje padarykime nulius)

Dabar apskaičiuojame matricos A determinantą išplėtimu išilgai 1 eilutės

Atsakymas: M 31 = 0, detA = 0

Išspręskite Gauso metodu ir Cramerio metodu.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Sprendimas: Patikrinkim

Galite naudoti Cramerio metodą

Sistemos sprendimas: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Taikykime Gauso metodą.

Sumažinkime išplėstinę sistemos matricą į trikampę formą.

Kad būtų lengviau apskaičiuoti, pakeiskime eilutes:

Padauginkite 2 eilutę iš (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ir pridėti prie 3:

1-ąją eilutę padauginkite iš (k = -2 / 2 = -1 ) ir prie 2 pridėkite:

Dabar pradinę sistemą galima parašyti taip:

x 1 = 1 – (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 – (6 x 3)

Iš 2 eilutės išreiškiame

Iš 1 eilutės išreiškiame

Sprendimas yra tas pats.

Atsakymas: (2; -5; 3)

Raskite bendrą sistemos ir FSR sprendimą

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Sprendimas: Taikykime Gauso metodą. Sumažinkime išplėstinę sistemos matricą į trikampę formą.

Padauginkite 1 eilutę iš (-11). Padauginkime 2 eilutę iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

Padauginkite 2 eilutę iš (-5). Padauginkime 3 eilutę iš (11). Pridėkime 3 eilutę prie 2:

Padauginkite 3 eilutę iš (-7). Padauginkime 4 eilutę iš (5). 4-ą eilutę pridėkime prie 3-osios:

Antroji lygtis yra tiesinis kitų derinys

Raskime matricos rangą.

Pasirinktas nepilnametis turi aukščiausią eilę (iš galimų nepilnamečių) ir yra ne nulis (it lygus produktui elementai atvirkštinėje įstrižainėje), taigi rangas (A) = 2.

Šis nepilnametis yra pagrindinis. Ji apima koeficientus nežinomiems x 1 , x 2 , o tai reiškia, kad nežinomieji x 1 , x 2 yra priklausomi (pagrindiniai), o x 3 , x 4 , x 5 yra laisvi.

Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir turi tokią formą:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Naudodami nežinomųjų pašalinimo metodą, randame bendras sprendimas:

x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5

x 1 = – 1/3 x 3

Randame fundamentalią sprendinių sistemą (FSD), kurią sudaro (n-r) sprendiniai. Mūsų atveju n=5, r=2, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš 3 sprendinių ir šie sprendiniai turi būti tiesiškai nepriklausomi.

Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad iš eilutės elementų sudarytos matricos rangas būtų lygus eilučių skaičiui, ty 3.

Pakanka pateikti laisvųjų nežinomųjų x 3 , x 4 , x 5 reikšmes iš 3 eilės determinanto, ne nulio, eilučių ir apskaičiuoti x 1 , x 2 .

Paprasčiausias ne nulis determinantas yra tapatybės matrica.

Bet čia patogiau pasiimti

Mes randame naudodami bendrą sprendimą:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

aš FSR sprendimas: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR tirpalas: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III sprendimas FSR: (0; – 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Duota: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Raskite: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Sprendimas: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Atsakymas: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemų sprendimas neabejotinai yra svarbiausia kurso tema tiesinė algebra. Didžiulis skaičius visų matematikos šakų uždaviniai redukuojami iki tiesinių lygčių sistemų sprendimo. Šie veiksniai paaiškina šio straipsnio priežastis. Straipsnio medžiaga parinkta ir susisteminta taip, kad jos pagalba galėtumėte

• pasiimti optimalus metodas jūsų tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimai,
• studijuoti pasirinkto metodo teoriją,
• Išspręskite savo tiesinių lygčių sistemą peržiūrėdami išsamius sprendimus tipiniai pavyzdžiai ir užduotis.

Trumpas straipsnio medžiagos aprašymas.

Pirmiausia atiduokime viską būtini apibrėžimai, sąvokas ir įvesti žymes.

Toliau apžvelgsime linijinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir kurios turi unikalų sprendimą, sprendimo būdus. Pirma, mes sutelksime dėmesį į Cramerio metodą, antra, parodysime matricos metodą tokioms lygčių sistemoms spręsti, trečia, analizuosime Gauso metodą (metodas nuoseklus pašalinimas nežinomi kintamieji). Norėdami įtvirtinti teoriją, neabejotinai išspręsime keletą SLAE skirtingais būdais.

Po to pereisime prie tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo bendras vaizdas, kurioje lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra vienaskaita. Suformuluokime Kronecker-Capelli teoremą, kuri leidžia nustatyti SLAE suderinamumą. Išanalizuokime sistemų (jei jos yra suderinamos) sprendimą naudodamiesi matricos bazinio minoro sąvoka. Taip pat apsvarstysime Gauso metodą ir išsamiai apibūdinsime pavyzdžių sprendimus.

Būtinai apsistosime ties vienarūšių ir nehomogeniškų tiesinių algebrinių lygčių sistemų bendrojo sprendinio sandara. Pateikiame koncepciją pagrindinė sistema sprendimus ir parodykite, kaip bendrasis SLAE sprendimas parašytas naudojant pagrindinės sprendinių sistemos vektorius. Norėdami geriau suprasti, pažvelkime į keletą pavyzdžių.

Apibendrinant, mes apsvarstysime lygčių sistemas, kurias galima redukuoti į tiesines, taip pat įvairios užduotys, kurią sprendžiant atsiranda SLAE.

Puslapio naršymas.

Apibrėžimai, sąvokos, pavadinimai.

Nagrinėsime p tiesinių algebrinių lygčių sistemas su n nežinomų kintamųjų (p gali būti lygus n) formos

Nežinomi kintamieji – koeficientai (kai kurie realūs arba kompleksiniai skaičiai), - laisvieji terminai (taip pat realieji arba kompleksiniai skaičiai).

Ši SLAE įrašymo forma vadinama koordinuoti.

IN matricos forma rašant šią lygčių sistemą yra tokia forma,
Kur - pagrindinė sistemos matrica, - nežinomų kintamųjų stulpelių matrica, - laisvųjų terminų stulpelių matrica.

Jei prie matricos A kaip (n+1) stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricą-stulpelį, gausime vadinamąjį. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai išplėstinė matrica žymima raide T, o laisvųjų terminų stulpelis yra atskirtas vertikali linija iš likusių stulpelių, ty

Tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas vadinamas nežinomų kintamųjų reikšmių rinkiniu, kuris visas sistemos lygtis paverčia tapatybėmis. Matricinė lygtis nurodytoms nežinomų kintamųjų reikšmėms taip pat tampa tapatybe.

Jei lygčių sistema turi bent vieną sprendinį, tada ji vadinama jungtis.

Jei lygčių sistema neturi sprendinių, tada ji vadinama ne sąnarių.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras; jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada – neapibrėžtas.

Jei visų sistemos lygčių laisvieji nariai lygūs nuliui , tada sistema iškviečiama vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Elementariųjų tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o jos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui, tada tokie SLAE bus vadinami elementarus. Tokios lygčių sistemos turi unikalų sprendimą, o vienalytės sistemos atveju visi nežinomi kintamieji yra lygūs nuliui.

Mes pradėjome studijuoti tokius SLAE m vidurinę mokyklą. Jas spręsdami paėmėme vieną lygtį, vieną nežinomą kintamąjį išreiškėme kitomis ir pakeitėme į likusias lygtis, tada paėmėme sekančią lygtį, išreiškė kitą nežinomą kintamąjį ir pakeitė jį į kitas lygtis ir pan. Arba jie naudojo pridėjimo metodą, ty pridėjo dvi ar daugiau lygčių, kad pašalintų kai kuriuos nežinomus kintamuosius. Mes nenagrinėsime šių metodų išsamiai, nes jie iš esmės yra Gauso metodo modifikacijos.

Pagrindiniai elementariųjų tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai yra Cramerio metodas, matricinis metodas ir Gauso metodas. Sutvarkykime juos.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Kramerio metodu.

Tarkime, kad turime išspręsti tiesinių algebrinių lygčių sistemą

kurioje lygčių skaičius lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o sistemos pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio, tai yra, .

Leisti būti pagrindinės sistemos matricos determinantas ir - determinantai matricų, kurios gaunamos iš A pakeičiant 1, 2, …, n stulpelyje atitinkamai į laisvųjų narių stulpelį:

Naudojant šį žymėjimą, nežinomi kintamieji apskaičiuojami naudojant Cramerio metodo formules as . Taip Kramerio metodu randamas tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas.

Pavyzdys.

Cramerio metodas .

Sprendimas.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą . Apskaičiuokime jo determinantą (jei reikia, žr. straipsnį):

Kadangi sistemos pagrindinės matricos determinantas nėra nulis, sistema turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti Cramerio metodu.

Sudėkime ir apskaičiuokime reikiamus determinantus (determinantą gauname pakeitę pirmąjį A matricos stulpelį laisvųjų terminų stulpeliu, determinantą pakeitę antrąjį stulpelį laisvųjų terminų stulpeliu, o trečiąjį A matricos stulpelį pakeitę laisvųjų terminų stulpeliu) :

Nežinomų kintamųjų paieška naudojant formules :

Atsakymas:

Pagrindinis Cramerio metodo trūkumas (jei jį galima pavadinti trūkumu) yra determinantų skaičiavimo sudėtingumas, kai lygčių skaičius sistemoje yra didesnis nei trys.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas matricos metodu (naudojant atvirkštinę matricą).

Tegul tiesinių algebrinių lygčių sistema pateikiama matricos pavidalu, kur matricos A matmenys yra n x n, o jos determinantas nėra lygus nuliui.

Kadangi , matrica A yra apverčiama, tai yra, yra atvirkštinė matrica. Jei padauginsime abi lygybės puses iš kairės, gausime formulę, kaip rasti nežinomų kintamųjų matricą-stulpelį. Taip gavome tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą matricos metodas.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą matricos metodas.

Sprendimas.

Perrašykime lygčių sistemą matricine forma:

Nes

tada SLAE galima išspręsti naudojant matricos metodą. Naudojant atvirkštinė matricašios sistemos sprendimą galima rasti kaip .

Sukurkime atvirkštinę matricą naudodami matricą iš algebriniai priedai A matricos elementai (jei reikia, žr. straipsnį):

Belieka apskaičiuoti nežinomų kintamųjų matricą padauginus atvirkštinę matricą į laisvų narių matricą-stulpelį (jei reikia, žr. straipsnį):

Atsakymas:

arba kitu žymėjimu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Pagrindinė problema ieškant sprendimų tiesinių algebrinių lygčių sistemoms naudojant matricos metodą yra atvirkštinės matricos paieškos sudėtingumas, ypač kvadratinės matricos tvarka didesnis nei trečdalis.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu.

Tarkime, kad turime rasti n tiesinių lygčių su n nežinomų kintamųjų sistemos sprendimą
kurios pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Gauso metodo esmė susideda iš nuoseklaus nežinomų kintamųjų išskyrimo: pirma, x 1 neįtraukiamas į visas sistemos lygtis, pradedant nuo antrosios, tada x 2 neįtraukiamas iš visų lygčių, pradedant nuo trečiosios ir tt, kol tik nežinomas kintamasis x n lieka paskutinėje lygtyje. Šis sistemos lygčių transformavimo procesas, siekiant nuosekliai pašalinti nežinomus kintamuosius, vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Atlikus Gauso metodo eigą į priekį, iš paskutinės lygties randamas x n, naudojant šią reikšmę iš priešpaskutinės lygties, apskaičiuojamas x n-1 ir taip toliau, iš pirmosios lygties randamas x 1. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas, pereinant nuo paskutinės sistemos lygties prie pirmosios, vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Trumpai apibūdinkime nežinomų kintamųjų pašalinimo algoritmą.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti sukeisdami sistemos lygtis. Pašalinkime nežinomą kintamąjį x 1 iš visų sistemos lygčių, pradėdami nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, prie antrosios sistemos lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , prie trečiosios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir .

Mes būtume gavę tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje būtume išreiškę x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeitę visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su dalimi gautos sistemos, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , prie ketvirtoji lygtis pridėkime antrąjį, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame antrąjį, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Tada pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo ir panašiai elgiamės su paveiksle pažymėta sistemos dalimi

Taigi mes tęsiame tiesioginį Gauso metodo progresą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinį Gauso metodą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudodamiesi gauta x n reikšmę randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir tt randame x 1 iš pirmosios lygties .

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išskirkime nežinomą kintamąjį x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, prie abiejų antrosios ir trečiosios lygčių pusių pridedame atitinkamas pirmosios lygties dalis, padaugintas atitinkamai iš ir iš:

Dabar pašaliname x 2 iš trečiosios lygties, pridėdami prie jos kairės ir dešinėje pusėje antrosios lygties kairės ir dešinės pusės, padaugintos iš:

Tai užbaigia Gauso metodo eigą į priekį;

Iš gautos lygčių sistemos paskutinės lygties randame x 3:

Iš antrosios lygties gauname .

Iš pirmosios lygties randame likusį nežinomą kintamąjį ir taip užbaigiame Gauso metodo atvirkštinį variantą.

Atsakymas:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

IN bendras atvejis sistemos p lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi n:

Tokie SLAE gali neturėti sprendimų, turėti vieną sprendimą arba turėti be galo daug sprendimų. Šis teiginys taip pat taikomas lygčių sistemoms, kurių pagrindinė matrica yra kvadratinė ir vienaskaita.

Kronecker-Capelli teorema.

Prieš randant tiesinių lygčių sistemos sprendimą, būtina nustatyti jos suderinamumą. Atsakymą į klausimą, kada SLAE yra suderinamas, o kada nenuoseklus, pateikia Kronecker-Capelli teorema:
Kad p lygčių sistema su n nežinomųjų (p gali būti lygi n) būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad sistemos pagrindinės matricos rangas būtų lygus išplėstinės matricos rangui, t.y. , Reitingas(A)=Reitingas(T).

Panagrinėkime, kaip pavyzdį, Kronecker-Capelli teoremos taikymą tiesinių lygčių sistemos suderinamumui nustatyti.

Pavyzdys.

Sužinokite, ar tiesinių lygčių sistema turi sprendimus.

Sprendimas.

. Naudokime nepilnamečių ribojimo metodą. Antrosios eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio. Pažvelkime į trečiosios eilės nepilnamečius, besiribojančius su juo:

Kadangi visi besiribojantys trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, pagrindinės matricos rangas yra lygus dviem.

Savo ruožtu išplėstinės matricos rangas yra lygus trims, nes nepilnametis yra trečios eilės

skiriasi nuo nulio.

Taigi, Diapazonas (A), todėl, naudodamiesi Kronecker-Capelli teorema, galime daryti išvadą, kad pradinė tiesinių lygčių sistema yra nenuosekli.

Atsakymas:

Sistema neturi sprendimų.

Taigi, mes išmokome nustatyti sistemos nenuoseklumą naudodami Kronecker-Capelli teoremą.

Bet kaip rasti SLAE sprendimą, jei nustatytas jo suderinamumas?

Norėdami tai padaryti, mums reikia matricos pagrindinės mažosios sąvokos ir teoremos apie matricos rangą.

Nepilnametis aukščiausia tvarka vadinama matrica A, kuri skiriasi nuo nulio pagrindinis.

Iš bazinio minoro apibrėžimo išplaukia, kad jo eilė lygi matricos rangui. Nenulinei matricai A gali būti keli pagrindiniai minorai;

Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą .

Visi šios matricos trečiosios eilės minoriniai yra lygūs nuliui, nes šios matricos trečiosios eilės elementai yra atitinkamų pirmosios ir antrosios eilučių elementų suma.

Šie antros eilės nepilnamečiai yra pagrindiniai, nes jie nėra nuliniai

Nepilnamečiai nėra pagrindiniai, nes jie lygūs nuliui.

Matricos rango teorema.

Jei matricos, kurios eilės p pagal n, rangas yra lygus r, tai visi matricos eilutės (ir stulpelio) elementai, kurie nesudaro pasirinkto pagrindo minor, yra tiesiškai išreiškiami atitinkamų eilutės (ir stulpelio) elementų forma. pagrindas nepilnametis.

Ką mums sako matricos rango teorema?

Jei pagal Kronecker-Capelli teoremą nustatėme sistemos suderinamumą, tada pasirenkame bet kurią pagrindinės sistemos matricos bazinę mažąją (jo eilė lygi r) ir iš sistemos pašaliname visas lygtis, kurios nesudaro pasirinkto pagrindo nepilnamečio. Tokiu būdu gautas SLAE bus lygiavertis pradiniam, nes išmestos lygtys vis dar yra perteklinės (pagal matricos rango teoremą, tai yra tiesinis likusių lygčių derinys).

Dėl to, atmetus nereikalingas sistemos lygtis, galimi du atvejai.

Jei lygčių skaičius r gautoje sistemoje yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, tada jis bus apibrėžtas ir vienintelis sprendimas gali būti rastas Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Pavyzdys.

.

Sprendimas.

Sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus dviem, nes nepilnametis yra antros eilės skiriasi nuo nulio. Išplėstas matricos reitingas taip pat yra lygus dviem, nes tik trečiosios eilės nepilnametis yra nulis

o pirmiau aptartas antros eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio. Remdamiesi Kronecker-Capelli teorema, galime teigti pirminės tiesinių lygčių sistemos suderinamumą, nes Rank(A)=Rank(T)=2.

Kaip pagrindą priimame nepilnametį . Jį sudaro pirmosios ir antrosios lygčių koeficientai:


Trečioji sistemos lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį mažąjį, todėl ją ištraukiame iš sistemos pagal teoremą apie matricos rangą:


Taip gavome elementarią tiesinių algebrinių lygčių sistemą. Išspręskime tai naudodami Cramerio metodą:


Atsakymas:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jei lygčių r skaičius gautoje SLAE yra mažesnis už nežinomų kintamųjų skaičių n, tada kairėje lygčių pusėse paliekame pagrindą sudarančius terminus mažuosius, o likusius narius perkeliame į dešines sistemos lygtys su priešingu ženklu.

Nežinomi kintamieji (r iš jų), likę kairėje lygčių pusėje, vadinami pagrindinis.

Nežinomi kintamieji (yra n - r gabalų), kurie yra dešinėje pusėje, yra vadinami nemokamai.

Dabar manome, kad laisvi nežinomi kintamieji gali turėti savavališkas reikšmes, o r pagrindiniai nežinomi kintamieji bus išreikšti laisvaisiais nežinomais kintamaisiais unikaliu būdu. Jų išraišką galima rasti sprendžiant gautą SLAE naudojant Cramer metodą, matricos metodą arba Gauso metodą.

Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių algebrinių lygčių sistemą .

Sprendimas.

Raskime pagrindinės sistemos matricos rangą nepilnamečių ribojimo būdu. Paimkime 1 1 = 1 kaip pirmos eilės mažąjį nulį. Pradėkime ieškoti antros eilės minorinio, kuris skiriasi nuo nulio, besiribojančio su šia minora:


Taip suradome antrojo laipsnio minorą be nulio. Pradėkime ieškoti ne nulio besiribojančio trečios eilės nepilnamečio:


Taigi pagrindinės matricos rangas yra trys. Išplėstinės matricos rangas taip pat lygus trims, tai yra, sistema yra nuosekli.

Pagrindiniu imame rastą ne nulį trečios eilės minorą.

Aiškumo dėlei parodome elementus, kurie sudaro pagrindinį mažąjį:


Terminus, susijusius su baziniu minoru, paliekame kairėje sistemos lygčių pusėje, o likusius perkeliame iš priešingi ženklaiį dešines puses:


Suteikime laisviesiems nežinomiems kintamiesiems x 2 ir x 5 savavališkas reikšmes, tai yra, priimame , kur yra savavališki skaičiai. Tokiu atveju SLAE bus tokia forma


Išspręskime gautą elementarią tiesinių algebrinių lygčių sistemą naudodami Cramerio metodą:


Vadinasi,.

Savo atsakyme nepamirškite nurodyti laisvų nežinomų kintamųjų.

Atsakymas:

Kur yra savavališki skaičiai.

Apibendrinkime.

Norėdami išspręsti bendrųjų tiesinių algebrinių lygčių sistemą, pirmiausia nustatome jos suderinamumą naudodami Kronecker-Capelli teoremą. Jei pagrindinės matricos rangas nėra lygus išplėstinės matricos rangui, tada darome išvadą, kad sistema nesuderinama.

Jei pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui, tada pasirenkame bazinį mažąjį ir atmetame sistemos lygtis, kurios nedalyvauja formuojant pasirinktą bazinį mažąjį.

Jeigu įsakymas pagrindo nepilnametis lygus skaičiui nežinomų kintamųjų, tada SLAE turi unikalų sprendimą, kurį randame bet kokiu mums žinomu metodu.

Jei pagrindinės mažosios eilės tvarka yra mažesnė už nežinomų kintamųjų skaičių, tada kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame terminus su pagrindiniais nežinomais kintamaisiais, likusius terminus perkeliame į dešines puses ir suteikiame savavališkas reikšmes. laisvieji nežinomi kintamieji. Iš gautos tiesinių lygčių sistemos randame pagrindinius nežinomuosius kintamieji pagal metodą Kramerio, matricos metodas arba Gauso metodas.

Gauso metodas bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti.

Gauso metodas gali būti naudojamas sprendžiant bet kokios rūšies tiesinių algebrinių lygčių sistemas, prieš tai nepatikrinus jų nuoseklumo. Nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo procesas leidžia padaryti išvadą tiek apie SLAE suderinamumą, tiek nesuderinamumą, o jei yra sprendimas, jį galima rasti.

Skaičiavimo požiūriu pirmenybė teikiama Gauso metodui.

Stebėkite tai išsamus aprašymas ir straipsnyje išanalizavo Gauso metodo bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo pavyzdžius.

Bendrojo vienarūšių ir nehomogeninių tiesinių algebrinių sistemų sprendinio rašymas naudojant pamatinių sprendinių sistemos vektorius.

Šiame skyriuje kalbėsime apie vienalaikes vienarūšes ir nehomogenines tiesinių algebrinių lygčių sistemas, kurios turi begalinį sprendinių skaičių.

Pirmiausia panagrinėkime vienarūšes sistemas.

Fundamentali sprendimų sistema vienalytė p tiesinių algebrinių lygčių sistema su n nežinomų kintamųjų yra (n – r) tiesiškai nepriklausomų šios sistemos sprendinių rinkinys, kur r yra pagrindinės sistemos matricos bazinio minoro tvarka.

Jeigu žymėsime tiesiškai nepriklausomi sprendimai vienalytės SLAE kaip X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) yra stulpelių matricos, kurių matmenys n x 1 ), tada bendras sprendimas šiai vienalytei sistemai vaizduojama kaip linijinis pagrindinės sprendinių sistemos vektorių derinys su savavališkais pastovūs koeficientai C 1, C 2, ..., C (n-r), tai yra, .

Ką reiškia terminas homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos bendrasis sprendimas (oroslau)?

Reikšmė paprasta: viską nustato formulė galimi sprendimai pradinis SLAE, kitaip tariant, imant bet kokią savavališkų konstantų C 1, C 2, ..., C (n-r) reikšmių rinkinį, naudodamiesi formule gausime vieną iš pradinio vienalyčio SLAE sprendinių.

Taigi, jei rasime pagrindinę sprendinių sistemą, visus šio vienalyčio SLAE sprendimus galime apibrėžti kaip .

Parodykime pagrindinės vienalytės SLAE sprendimų sistemos konstravimo procesą.

Parenkame pradinės tiesinių lygčių sistemos bazinį minorą, iš sistemos pašaliname visas kitas lygtis ir visus terminus, kuriuose yra laisvųjų nežinomų kintamųjų, perkeliame į dešiniąsias sistemos lygčių puses su priešingais ženklais. Duokime nemokamų nežinomųjų kintamos reikšmės 1,0,0,…,0 ir apskaičiuokite pagrindinius nežinomuosius, bet kokiu būdu išspręsdami gautą elementarią tiesinių lygčių sistemą, pavyzdžiui, Cramerio metodu. Taip bus X (1) – pirmasis pagrindinės sistemos sprendimas. Jei laisviesiems nežinomiesiems duosime reikšmes 0,1,0,0,…,0 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (2) . Ir taip toliau. Jei laisviesiems nežinomiems kintamiesiems priskirsime reikšmes 0,0,...,0,1 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (n-r) . Tokiu būdu bus sukurta pagrindinė vienalytės SLAE sprendimų sistema ir jos bendras sprendimas gali būti parašytas forma .

Nehomogeninėms tiesinių algebrinių lygčių sistemoms bendrasis sprendimas pateikiamas forma , kur yra atitinkamos vienalytės sistemos bendras sprendinys ir originalios sistemos konkretus sprendimas nevienalytis SLAE, kurią gauname laisviesiems nežinomiesiems suteikdami reikšmes 0,0,...,0 ir apskaičiuodami pagrindinių nežinomųjų reikšmes.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite pagrindinę sprendinių sistemą ir bendrą homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą .

Sprendimas.

Vienarūšių tiesinių lygčių sistemų pagrindinės matricos rangas visada yra lygus išplėstinės matricos rangui. Raskime pagrindinės matricos rangą ribojimo su nepilnamečiais metodu. Kaip pirmos eilės mažąjį nulį, imame pagrindinės sistemos matricos elementą a 1 1 = 9. Raskime antros eilės besiribojantį ne nulį mažą:

Rastas antros eilės nepilnametis, kitoks nei nulis. Pereikime per trečios eilės nepilnamečius, besiribojančius su juo, ieškodami nulinio vieneto:

Visi trečiosios eilės besiribojantys nepilnamečiai yra lygūs nuliui, todėl pagrindinės ir išplėstinės matricos rangas yra lygus dviem. Paimkime. Aiškumo dėlei atkreipkime dėmesį į ją sudarančius sistemos elementus:

Trečioji originalios SLAE lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį mažąjį, todėl ją galima atmesti:

Sąvokas, kuriose yra pagrindiniai nežinomieji, paliekame dešiniosiose lygčių pusėse, o terminus su laisvaisiais nežinomaisiais perkeliame į dešinę:

Sukurkime pagrindinę pirminės vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemą. Pagrindinė šio SLAE sprendinių sistema susideda iš dviejų sprendinių, nes pradiniame SLAE yra keturi nežinomi kintamieji, o jo bazinio minoro tvarka yra lygi dviem. Norėdami rasti X (1), laisviesiems nežinomiems kintamiesiems suteikiame reikšmes x 2 = 1, x 4 = 0, tada randame pagrindinius nežinomus iš lygčių sistemos
.

Vadinama tiesinių lygčių sistema, kurioje visi laisvieji nariai lygūs nuliui vienalytis :

Bet kuri vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes ji visada buvo nulis (trivialus ) sprendimas. Kyla klausimas, kokiomis sąlygomis bus vienalytė sistema ne trivialus sprendimas.

5.2 teorema.Vienalytė sistema turi netrivialų sprendimą tada ir tik tada, kai pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už jos nežinomųjų skaičių.

Pasekmė. Kvadratinė vienalytė sistema turi netrivialų sprendimą tada ir tik tada, kai pagrindinės sistemos matricos determinantas nėra lygus nuliui.

5.6 pavyzdys. Nustatykite parametro l reikšmes, kurioms esant sistema turi netrivialius sprendimus, ir raskite šiuos sprendimus:

Sprendimas. Ši sistema turės ne trivialų sprendimą, kai pagrindinės matricos determinantas yra lygus nuliui:

Taigi sistema yra netriviali, kai l=3 arba l=2. Jei l=3, pagrindinės sistemos matricos rangas yra 1. Tada paliekant tik vieną lygtį ir darant prielaidą, kad y=a Ir z=b, gauname x=b-a, t.y.

Jei l=2, sistemos pagrindinės matricos rangas yra 2. Tada, kaip pagrindą pasirenkant mažąją:

gauname supaprastintą sistemą

Iš čia mes tai randame x=z/4, y=z/2. Tikėdamas z=4a, gauname

Visų vienalytės sistemos sprendinių rinkinys turi labai svarbų linijinė savybė : jei X stulpeliai 1 ir X 2 - vienalytės sistemos sprendiniai AX = 0, tada bet koks tiesinis jų derinys a X 1 + b X 2 taip pat bus šios sistemos sprendimas. Tiesa, nuo AX 1 = 0 Ir AX 2 = 0 , Tai A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Būtent dėl ​​šios savybės, jei tiesinė sistema turi daugiau nei vieną sprendinį, tai šių sprendinių bus be galo daug.

Tiesiškai nepriklausomi stulpeliai E 1 , E 2 , Ek, kurie yra vienalytės sistemos sprendiniai, vadinami pamatinė sprendimų sistema vienalytė tiesinių lygčių sistema, jei šios sistemos bendrąjį sprendimą galima parašyti kaip tiesinį šių stulpelių derinį:

Jei vienalytė sistema turi n kintamieji, o sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus r, Tai k = n-r.

5.7 pavyzdys. Raskite pagrindinę sprendimų sistemą kita sistema tiesinės lygtys:

Sprendimas. Raskime pagrindinės sistemos matricos rangą:

Taigi susidaro šios lygčių sistemos sprendinių aibė linijinė poerdvė matmenys n-r= 5 - 2 = 3. Pagrindu parinksime minorą

.

Tada palikdami tik pagrindines lygtis (likusioji bus tiesinė šių lygčių kombinacija) ir pagrindinius kintamuosius (likusius, vadinamuosius laisvuosius kintamuosius, perkeliame į dešinę), gauname supaprastintą lygčių sistemą:

Tikėdamas x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, randame

, .

Tikėdamas a= 1, b = c= 0, gauname pirmąjį pagrindinį sprendinį; tikėdamas b= 1, a = c= 0, gauname antrąjį pagrindinį sprendinį; tikėdamas c= 1, a = b= 0, gauname trečiąjį pagrindinį sprendinį. Dėl to įgis įprastinė pamatinė sprendimų sistema

Naudojant pagrindinę sistemą, bendras homogeninės sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Atkreipkime dėmesį į kai kurias nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinių savybes AX = B ir jų ryšį su atitinkama vienarūše lygčių sistema AX = 0.

Bendras heterogeninės sistemos sprendimasyra lygi atitinkamos vienalytės sistemos bendrojo sprendinio AX = 0 ir savavališko nehomogeninės sistemos konkretaus sprendinio sumai. Tikrai, tegul Y 0 yra savavališkas konkretus nehomogeninės sistemos sprendimas, t.y. AY 0 = B, Ir Y- heterogeninės sistemos bendras sprendimas, t.y. AY=B. Vieną lygybę atėmę iš kitos gauname
A(Y-Y 0) = 0, t.y. Y-Y 0 yra atitinkamos vienalytės sistemos bendras sprendinys AX=0. Vadinasi, Y-Y 0 = X, arba Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Tegul nehomogeninė sistema turi formą AX = B 1 + B 2 . Tada bendras tokios sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip X = X 1 + X 2 , kur AX 1 = B 1 ir AX 2 = B 2. Ši savybė išreiškia universalią bet kurio savybę tiesinės sistemos(algebrinė, diferencinė, funkcinė ir kt.). Fizikoje ši savybė vadinama superpozicijos principas, elektros ir radijo inžinerijos srityje - superpozicijos principas. Pavyzdžiui, tiesinės teorijos elektros grandinės srovę bet kurioje grandinėje galima gauti kaip algebrinė suma srovės, kurias sukelia kiekvienas energijos šaltinis atskirai.