Stačiojo trikampio savybės

Mieli septintokai, jūs jau žinote, kokios geometrinės figūros vadinamos trikampiais, žinote, kaip įrodyti jų lygybės požymius. Taip pat žinote apie specialius trikampių atvejus: lygiašonius ir stačius kampus. Jūs puikiai žinote lygiašonių trikampių savybes.

Tačiau stačiakampiai trikampiai taip pat turi daug savybių. Vienas akivaizdus dalykas yra susijęs su sumos teorema vidiniai kampai Trikampis: Stačiakampio trikampio smailių kampų suma yra 90°. Labiausiai nuostabi nuosavybė apie statųjį trikampį sužinosite 8 klasėje, kai studijuosite garsiąją Pitagoro teoremą.

Dabar pakalbėsime apie dar du svarbios savybės. Vienas skirtas 30° stačiakampiams trikampiams, o kitas – atsitiktiniams stačiakampiams trikampiams. Suformuluokime ir įrodykime šias savybes.

Jūs puikiai žinote, kad geometrijoje įprasta formuluoti teiginius, kurie yra priešingi įrodytam, kai teiginio sąlyga ir išvada keičiasi vietomis. Priešingi teiginiai ne visada teisingi. Mūsų atveju abu priešingi teiginiai yra teisingi.

Turtas 1.1 Stačiakampiame trikampyje koja priešinga 30° kampui lygus pusei hipotenuzė.

Įrodymas: Apsvarstykite stačiakampį ∆ ABC, kuriame ÐA=90°, ÐB=30°, tada ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, todėl ką reikėjo įrodyti.

1.2 ypatybė (priešingai nei 1.1 ypatybė) Jei stačiakampio trikampio kojelė yra lygi pusei hipotenuzės, tada kampas priešais ją yra 30°.

Turtas 2.1 Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės.

Panagrinėkime stačiakampį ∆ ABC, kuriame РВ=90°.

BD mediana, tai yra AD = DC. Įrodykime tai.

Norėdami tai įrodyti, mes padarysime papildoma statyba: tęskite BD už taško D, kad BD = DN, ir sujunkite N su A ir C. gif" width="616" height="372 src=">

Duota: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, nes stačiakampyje ∆BCE smailiųjų kampų suma yra 90o

2. BE = 14 cm (1 savybė)

3. ÐABE=30o, nes ÐA+ÐABE=ÐBEC (savybė išorinis kampas trikampis) todėl ∆AEB lygiašonis AE=EB=14cm.

BC=2AN=20 cm (2 savybė).

3 užduotis. Įrodykite, kad stačiojo trikampio, paimto į hipotenuzą, aukštis ir mediana sudaro kampą, lygus skirtumui smailieji trikampio kampai.

Duota: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-mediana, AH-aukštis.

Įrodykite: RMAN = RS-RV.

Įrodymas:

1)РМАС=РС (pagal savybę 2 ∆ AMC-lygiašonis, AM = SM)

2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.

Belieka įrodyti, kad РНАС=РВ. Tai išplaukia iš to, kad ÐB+ÐC=90° (∆ ABC) ir ÐNAS+ÐC=90° (iš ∆ ANS).

Taigi, RMAN = RС-РВ, ką ir reikėjo įrodyti.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Duota: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN aukštis, .

Rasti: РВ, РС.

Sprendimas: imkime medianą AM. Tegul AN=x, tada BC=4x ir

VM=MS=AM=2x.

Stačiakampėje ∆AMN hipotenuzė AM yra 2 kartus didesnė už koją AN, todėl ÐAMN=30°. Kadangi VM=AM,

РВ=РВAM100%">

Išplėskime AC už taško A, kad AD=AC. Tada ∆ABC=∆ABD (ant 2 kojų). BD=BC=2AC=CD, taigi ∆DBC-lygiakraščiai, ÐC=60o ir ÐABC=30o.

5 problema

Lygiašoniame trikampyje vienas iš kampų yra 120°, pagrindas 10 cm. Raskite į šoną nubrėžtą aukštį.

Sprendimas: pirmiausia atkreipiame dėmesį, kad 120° kampas gali būti tik trikampio viršūnėje ir į šoną nubrėžtas aukštis kris jo tęsinyje.

AB - laiptinė, K - kačiukas.

Bet kurioje kopėčių padėtyje, kol galiausiai nukrenta ant žemės, ∆ABC yra stačiakampis. MC – mediana ∆ABC.

Pagal 2 savybę SK = 1/2AB. Tai yra, bet kuriuo laiko momentu atkarpos SK ilgis yra pastovus.

Atsakymas: taškas K judės apskritimo lanku, kurio centras C ir spindulys CK=1/2AB.

Savarankiško sprendimo problemos.

Vienas iš stačiojo trikampio kampų yra 60°, o skirtumas tarp hipotenuzės ir trumpesnės kojos yra 4 cm. Raskite hipotenuzės ilgį. Stačiakampėje ∆ ABC, kurios hipotenuzė BC ir kampas B lygus 60°, brėžiamas aukštis AD. Raskite DC, jei DB = 2 cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - aukštis, BC=2ВD. Įrodykite, kad AD=3ВD. Stačiojo trikampio aukštis padalija hipotenuzą į 3 cm ir 9 cm dalis. Raskite trikampio kampus ir atstumą nuo hipotenuzės vidurio iki ilgesnės kojos. Bisektorius padalija trikampį į dvi dalis lygiašonis trikampis. Raskite pradinio trikampio kampus. Mediana padalija trikampį į du lygiašonius trikampius. Ar įmanoma rasti kampus

Originalus trikampis?

Gyvenime dažnai teks susidurti matematikos uždaviniai: mokykloje, universitete, o vėliau padėti vaikui baigti namų darbai. Tam tikrų profesijų žmonės su matematika susidurs kasdien. Todėl naudinga prisiminti arba prisiminti matematines taisykles. Šiame straipsnyje apžvelgsime vieną iš jų: stačiojo trikampio kraštinės radimą.

Kas yra stačiakampis trikampis

Pirmiausia prisiminkime, kas yra stačiakampis trikampis. Statusis trikampis yra geometrinė figūra iš trijų atkarpų, jungiančių taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, o vienas iš šios figūros kampų yra 90 laipsnių. Šonai, sudarantys stačią kampą, vadinami kojomis, o pusė, kuri yra priešinga stačiu kampu– hipotenuzė.

Stačiojo trikampio kojos radimas

Yra keletas būdų, kaip sužinoti kojos ilgį. Norėčiau juos išsamiau apsvarstyti.

Pitagoro teorema stačiojo trikampio kraštinei rasti

Jei žinome hipotenuzę ir koją, galime rasti ilgį garsioji koja pagal Pitagoro teoremą. Tai skamba taip: „Kipotenuzės kvadratas lygi sumai kojų kvadratai“. Formulė: c²=a²+b², kur c – hipotenuzė, a ir b – kojos. Transformuojame formulę ir gauname: a²=c²-b².

Pavyzdys. Hipotenuzė yra 5 cm, o kojelė yra 3 cm Transformuojame formulę: c²=a²+b² → a²=c²-b². Toliau sprendžiame: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonometriniai santykiai stačiojo trikampio kojai rasti

Taip pat galite rasti nežinomą koją, jei žinote bet kurią kitą stačiojo trikampio kraštinę ir smailųjį kampą. Yra keturi būdai, kaip rasti koją naudojant trigonometrinės funkcijos: pagal sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą. Norėdami išspręsti problemas, mums padės toliau pateikta lentelė. Apsvarstykime šias galimybes.

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami sinusą

Kampo sinusas (sin) yra santykis priešinga pusėį hipotenuzę. Formulė: sin=a/c, kur a yra koja, priešinga duotam kampui, o c yra hipotenuzė. Toliau transformuojame formulę ir gauname: a=sin*c.

Pavyzdys. Hipotenuzė yra 10 cm, kampas A yra 30 laipsnių. Naudodamiesi lentele apskaičiuojame kampo A sinusą, jis lygus 1/2. Tada, naudodami transformuotą formulę, išsprendžiame: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kosinusą

Kampo kosinusas (cos) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Formulė: cos=b/c, kur b yra gretima kojelė šis kampas, o c yra hipotenuzė. Transformuokime formulę ir gaukime: b=cos*c.

Pavyzdys. Kampas A lygus 60 laipsnių, hipotenuzė lygi 10 cm Naudodami lentelę apskaičiuojame kampo A kosinusą, jis lygus 1/2. Toliau sprendžiame: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami liestinę

Kampo liestinė (tg) yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis. Formulė: tg=a/b, kur a – kampui priešinga pusė, o b – gretima. Transformuokime formulę ir gaukime: a=tg*b.

Pavyzdys. Kampas A lygus 45 laipsniams, hipotenuza lygi 10 cm Naudodamiesi lentele apskaiciuojame kampo A liestine, jis lygus Spręsti: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kotangentą

Kampo kotangentas (ctg) yra gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis. Formulė: ctg=b/a, kur b yra koja, esanti greta kampo, ir yra priešinga koja. Kitaip tariant, kotangentas yra „apversta liestinė“. Gauname: b=ctg*a.

Pavyzdys. Kampas A yra 30 laipsnių, priešinga kojelė yra 5 cm. Pagal lentelę kampo A liestinė yra √3. Skaičiuojame: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Taigi dabar jūs žinote, kaip rasti koją stačiakampiame trikampyje. Kaip matote, tai nėra taip sunku, svarbiausia atsiminti formules.

Instrukcijos

Kampai, priešingi kojoms a ir b, atitinkamai žymimi A ir B. Pagal apibrėžimą hipotenuzė yra stačiojo trikampio kraštinė, kuri yra priešinga stačiajam kampui (tuo tarpu hipotenuzė sudaro smailius kampus su kitomis trikampio kraštinėmis). trikampis). Hipotenuzės ilgį žymime c.

Jums reikės:
Skaičiuoklė.

Naudokite šią kojos išraišką: a=sqrt(c^2-b^2), jei žinote hipotenuzės ir kitos kojos reikšmes. Ši išraiška yra kilusi iš Pitagoro teoremos, teigiančios, kad trikampio hipotenuzės kvadratas yra kojų kvadratų suma. sqrt operatorius ištraukia kvadratines šaknis. Ženklas „^2“ reiškia pakėlimą į antrą laipsnį.

Naudokite formulę a=c*sinA, jei žinote hipotenuzę (c) ir kampą, priešingą norimam (šį kampą pažymėjome kaip A).
Norėdami rasti koją, naudokite išraišką a=c*cosB, jei žinote hipotenuzę (c) ir kampą, esantį šalia norimos kojos (šį kampą pažymėjome kaip B).
Apskaičiuokite koją iš a=b*tgA tuo atveju, kai duota kojelė b ir kampas, priešingas norimai kojai (sutarėme šį kampą žymėti kaip A).

Atkreipkite dėmesį:
Jei jūsų problemos koja nerasta nė vienu iš aprašytų būdų, greičiausiai ją galima sumažinti iki vieno iš jų.

Naudingi patarimai:
Visos šios išraiškos gaunamos iš gerai žinomų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų, todėl, net ir pamiršę vieną iš jų, visada galite greitai ją išvesti naudodami paprastas operacijas. Taip pat naudinga žinoti trigonometrinių funkcijų reikšmes dažniausiai pasitaikantiems 30, 45, 60, 90, 180 laipsnių kampams.

Video tema

Šaltiniai:

• „Matematikos vadovas stojantiems į universitetus“, – red. G.N. Jakovleva, 1982 m
• stačiojo trikampio kojelė

Kvadratinis trikampis tiksliau vadinamas stačiu trikampiu. Šios geometrinės figūros kraštinių ir kampų ryšiai išsamiai aptariami trigonometrijos matematinėje disciplinoje.

Jums reikės

• - popieriaus lapas;
• - rašiklis;
• - Bradis stalai;
• - skaičiuotuvas.

Instrukcijos

Rasti trikampis naudojant Pitagoro teoremą. Pagal šią teoremą hipotenuzos kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: c2 = a2+b2, kur c yra hipotenuzė trikampis, a ir b yra jo kojos. Norėdami tai pritaikyti, turite žinoti bet kurių dviejų stačiakampio kraštinių ilgį trikampis.

Jei sąlygos nurodo kojų matmenis, suraskite hipotenuzės ilgį. Norėdami tai padaryti, naudokite kvadratinė šaknis nuo kojų sumos, kurių kiekviena pirmiausia turi būti kvadratuota.

Apskaičiuokite vienos kojos ilgį, jei žinomi hipotenuzės ir kitos kojos matmenys. Naudodami skaičiuotuvą ištraukite kvadratinę šaknį iš skirtumo tarp hipotenuzės ir žinomos kojos, taip pat kvadratinės.

Jei problema nurodo hipotenuzą ir vieną iš šalia jos esančių smailiųjų kampų, naudokite Bradis lenteles. Jie rodo trigonometrinių funkcijų reikšmes didelis skaičius kampus Naudokite skaičiuotuvą su sinuso ir kosinuso funkcijomis, taip pat trigonometrijos teoremas, apibūdinančias kraštinių ir stačiakampio santykius trikampis.

Raskite kojeles naudodami pagrindines trigonometrines funkcijas: a = c*sin α, b = c*cos α, kur a – kampui α priešinga kojelė, b – kampui α esanti kojelė. Tuo pačiu būdu apskaičiuokite kraštų dydį trikampis, jei pateikta hipotenuzė ir kitas smailusis kampas: b = c*sin β, a = c*cos β, kur b yra kampui β priešinga kojelė ir kampui β esanti koja.

A ir gretimo smailiojo kampo β atveju nepamirškite, kad stačiakampio trikampio smailiųjų kampų suma visada lygi 90°: α + β = 90°. Raskite kampo, priešingo kojai a, reikšmę: α = 90° – β. Arba naudokite trigonometrines redukcijos formules: sin α = sin (90° – β) = cos β; tan α = įdegis (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

Video tema

Šaltiniai:

• Kaip rasti stačiojo trikampio kraštines pagal koją ir aštrus kampas 2019 metais

3 patarimas: kaip rasti smailųjį kampą stačiakampiame trikampyje

Tiesiogiai anglies trikampis yra bene vienas garsiausių, su istorinis taškas vizija, geometrines figūras. Pitagoro „kelnės“ gali konkuruoti tik su „Eureka! Archimedas.

Jums reikės

• - trikampio brėžinys;
• - liniuotė;
• - transporteris

Instrukcijos

Trikampio kampų suma yra 180 laipsnių. Stačiakampyje trikampis vienas kampas (tiesus) visada bus 90 laipsnių, o likusieji smailūs, t.y. mažiau nei 90 laipsnių. Norėdami nustatyti, koks kampas yra stačiakampyje trikampis yra tiesus, liniuote išmatuokite trikampio kraštines ir nustatykite didžiausią. Tai hipotenuzė (AB) ir yra priešais stačią kampą (C). Likusios dvi kraštinės sudaro stačią kampą ir kojeles (AC, BC).

Kai nustatote, kuris kampas yra smailus, galite naudoti transporterį, kad apskaičiuotumėte kampą matematines formules.

Norėdami nustatyti kampą naudodami transporterį, sulygiuokite jo viršų (žymime raide A) su specialiu žymeniu ant liniuotės, esančios transporterio kojelės centre, AC turi sutapti su jo viršutine briauna. Pažymėkite puslankiu transporterio dalyje tašką, per kurį įdubusi AB. Vertė šiame taške atitinka kampą laipsniais. Jei ant transporterio nurodytos 2 reikšmės, smailiam kampui reikia pasirinkti mažesnį, buku kampą - didesnį.

Raskite gautą vertę Bradis žinynuose ir nustatykite, kurį kampą atitinka gauta vertė skaitinė reikšmė. Mūsų močiutės naudojo šį metodą.

Mūsų atveju pakanka paimti su skaičiavimo funkcija trigonometrines formules. Pavyzdžiui, įmontuotas Windows skaičiuotuvas. Paleiskite programą „Skaičiuoklė“, meniu elemente „View“ pasirinkite „Inžinerija“. Apskaičiuokite norimo kampo sinusą, pavyzdžiui, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Perjunkite skaičiuotuvą į atvirkštinių funkcijų režimą, spustelėdami mygtuką INV skaičiuotuvo ekrane, tada spustelėkite arcsininės funkcijos mygtuką (ekrane rodoma kaip sin minus pirmoji galia). Skaičiavimo lange atsiras toks pranešimas: asind (0,5) = 30. T.y. norimo kampo vertė yra 30 laipsnių.

Vidutinis lygis

Statusis trikampis. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

STAČIAKAMPIS TRIKAMPIS. ĮĖJIMO LYGIS.

Problemose stačias kampas visai nereikalingas - apatinis kairysis, todėl turite išmokti atpažinti stačią trikampį šioje formoje,

ir šiame

ir šiame

Kuo geras stačiakampis trikampis? Na... visų pirma, yra ypatingų gražūs vardai už jo puses.

Dėmesio piešimui!

Prisiminkite ir nesupainiokite: yra dvi kojos ir tik viena hipotenuzė(vienintelis, unikalus ir ilgiausias)!

Na, mes aptarėme pavadinimus, dabar svarbiausias dalykas: Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema.

Ši teorema yra daugelio problemų, susijusių su stačiu trikampiu, sprendimas. Pitagoras tai visiškai įrodė neatmenami laikai, ir nuo tada ji atnešė daug naudos ją pažįstantiems. Ir geriausia, kad tai paprasta.

Taigi, Pitagoro teorema:

Ar prisimenate pokštą: „Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios!

Nupieškime tuos pačius Pitagoro kelnės ir pažiūrėkime į juos.

Ar tai neatrodo kaip šortai? Na, iš kurių pusių ir kur jie yra lygūs? Kodėl ir iš kur kilo pokštas? Ir šis pokštas yra susijęs būtent su Pitagoro teorema, o tiksliau su tuo, kaip pats Pitagoras suformulavo savo teoremą. Ir jis tai suformulavo taip:

"Suma kvadratų plotai, pastatytas ant kojų, yra lygus kvadratinis plotas, pastatytas ant hipotenuzės“.

Ar tikrai skamba šiek tiek kitaip? Taigi, kai Pitagoras nubrėžė savo teoremos teiginį, išėjo būtent toks paveikslas.

Šiame paveikslėlyje mažų kvadratų plotų suma yra lygi didelio kvadrato plotui. O kad vaikai geriau įsimintų, jog kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, kažkas šmaikštus sugalvojo šį pokštą apie pitagoro kelnes.

Kodėl dabar formuluojame Pitagoro teoremą?

Ar Pitagoras kentėjo ir kalbėjo apie aikštes?

Matote, senovėje nebuvo... algebros! Nebuvo jokių ženklų ir pan. Nebuvo jokių užrašų. Ar įsivaizduojate, kaip baisu buvo vargšams senovės studentams viską prisiminti žodžiais?! Ir galime džiaugtis, kad turime paprasta formuluotė Pitagoro teorema. Pakartokime dar kartą, kad geriau prisimintume:

Dabar turėtų būti lengva:

Na, štai pagrindinė teorema diskutuota apie statųjį trikampį. Jei jus domina, kaip tai įrodoma, perskaitykite šiuos teorijos lygius, o dabar pereikime prie... tamsus miškas... trigonometrija! Prie baisių žodžių sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje.

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet aš tikrai nenoriu, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

Kodėl viskas tik už kampo? Kur yra kampas? Norėdami tai suprasti, turite žinoti, kaip žodžiais rašomi teiginiai nuo 1 iki 4. Žiūrėk, suprask ir prisimink!

1.
Iš tikrųjų tai skamba taip:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga (kampui) koja? Žinoma, yra! Tai koja!

O kaip kampas? Atidžiai pažiūrėk. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, koja. Tai reiškia, kad kampui koja yra greta, ir

Dabar atkreipkite dėmesį! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, kaip tai šaunu:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar galiu tai užrašyti žodžiais? Kokia koja yra kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai - jis „guli“ priešais kampą. O koja? Šalia kampo. Taigi ką mes turime?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis apsikeitė vietomis?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Tęsti

Trumpai surašykime viską, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiųjų trikampių teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei nelabai gerai, tai pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Visai gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Pažiūrėkite, kaip sumaniai suskirstėme jo puses į ilgius ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs patys žiūrite į piešinį ir galvojate, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito su hipotenomis. Kas atsitiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „pjūvių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Konvertuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus santykiui priešinga hipotenuzės pusė

Smailaus kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smailiojo kampo liestinė lygi priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui.

Smailiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos ir priešingos pusės santykiui.

Ir dar kartą visa tai tabletės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Iš dviejų pusių

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

a)

b)

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NĖRA LYGI, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Tai būtina abiejuose trikampiuose koja buvo greta arba abiejuose buvo priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei trys jų elementai turi būti lygūs: dvi kraštinės ir kampas tarp jų, du kampai ir kraštinė tarp jų arba trys kraštinės. Tačiau stačiųjų trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, tiesa?

Apytiksliai tokia pati situacija ir su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Išilgai smailiojo kampo

II. Iš dviejų pusių

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Vietoj stačiakampio apsvarstykite visą stačiakampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

1. - mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad yra ir priešingai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Atidžiai pažiūrėk. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, nuo kurio atstumai nuo visų trijų trikampio viršūnių yra lygūs, ir tai yra APRATUMO CENTRAS. Taigi kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime ir.

Tačiau panašūs trikampiai turi vienodus kampus!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo?

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Reikia labai gerai atsiminti abi šias formules ir naudoti patogesnę. Užrašykime juos dar kartą

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: .

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• iš dviejų pusių:
• pagal koją ir hipotenuzę: arba
• išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
• išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
• pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai:

• vienas ūmus kampas: arba
• iš dviejų kojų proporcingumo:
• nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

• Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
• Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis: .

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje iš stačiojo kampo viršūnės nubrėžta mediana yra lygi pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

• per kojas:

Vidutinis lygis

Statusis trikampis. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

STAČIAKAMPIS TRIKAMPIS. ĮĖJIMO LYGIS.

Problemose stačias kampas visai nereikalingas - apatinis kairysis, todėl turite išmokti atpažinti stačią trikampį šioje formoje,

ir šiame

ir šiame

Kuo geras stačiakampis trikampis? Na... pirma, jos šonams yra ypatingi gražūs pavadinimai.

Dėmesio piešimui!

Prisiminkite ir nesupainiokite: yra dvi kojos ir tik viena hipotenuzė(vienintelis, unikalus ir ilgiausias)!

Na, mes aptarėme pavadinimus, dabar svarbiausias dalykas: Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema.

Ši teorema yra daugelio problemų, susijusių su stačiu trikampiu, sprendimas. Tai Pitagoras įrodė visiškai neatmenamais laikais ir nuo tada tai davė daug naudos žinantiems. Ir geriausia, kad tai paprasta.

Taigi, Pitagoro teorema:

Ar prisimenate pokštą: „Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios!

Nupieškime tas pačias Pitagoro kelnes ir pažiūrėkime į jas.

Ar tai neatrodo kaip šortai? Na, iš kurių pusių ir kur jie yra lygūs? Kodėl ir iš kur kilo pokštas? Ir šis pokštas yra susijęs būtent su Pitagoro teorema, o tiksliau su tuo, kaip pats Pitagoras suformulavo savo teoremą. Ir jis tai suformulavo taip:

"Suma kvadratų plotai, pastatytas ant kojų, yra lygus kvadratinis plotas, pastatytas ant hipotenuzės“.

Ar tikrai skamba šiek tiek kitaip? Taigi, kai Pitagoras nubrėžė savo teoremos teiginį, išėjo būtent toks paveikslas.

Šiame paveikslėlyje mažų kvadratų plotų suma yra lygi didelio kvadrato plotui. O kad vaikai geriau įsimintų, jog kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, kažkas šmaikštus sugalvojo šį pokštą apie pitagoro kelnes.

Kodėl dabar formuluojame Pitagoro teoremą?

Ar Pitagoras kentėjo ir kalbėjo apie aikštes?

Matote, senovėje nebuvo... algebros! Nebuvo jokių ženklų ir pan. Nebuvo jokių užrašų. Ar įsivaizduojate, kaip baisu buvo vargšams senovės studentams viską prisiminti žodžiais?! Ir galime pasidžiaugti, kad turime paprastą Pitagoro teoremos formuluotę. Pakartokime dar kartą, kad geriau prisimintume:

Dabar turėtų būti lengva:

Na, o svarbiausia teorema apie stačiuosius trikampius buvo aptarta. Jei jus domina, kaip tai įrodoma, skaitykite šiuos teorijos lygius, o dabar eikime toliau... į tamsų mišką... trigonometriją! Prie baisių žodžių sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje.

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet aš tikrai nenoriu, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

Kodėl viskas tik už kampo? Kur yra kampas? Norėdami tai suprasti, turite žinoti, kaip žodžiais rašomi teiginiai nuo 1 iki 4. Žiūrėk, suprask ir prisimink!

1.
Iš tikrųjų tai skamba taip:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga (kampui) koja? Žinoma, yra! Tai koja!

O kaip kampas? Atidžiai pažiūrėk. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, koja. Tai reiškia, kad kampui koja yra greta, ir

Dabar atkreipkite dėmesį! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, kaip tai šaunu:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar galiu tai užrašyti žodžiais? Kokia koja yra kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai - jis „guli“ priešais kampą. O koja? Šalia kampo. Taigi ką mes turime?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis apsikeitė vietomis?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Tęsti

Trumpai surašykime viską, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiųjų trikampių teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei nelabai gerai, tai pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Visai gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Pažiūrėkite, kaip sumaniai suskirstėme jo puses į ilgius ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs patys žiūrite į piešinį ir galvojate, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito su hipotenomis. Kas atsitiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „pjūvių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Konvertuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui

Smailaus kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smailiojo kampo liestinė lygi priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui.

Smailiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos ir priešingos pusės santykiui.

Ir dar kartą visa tai tabletės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Iš dviejų pusių

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

a)

b)

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NĖRA LYGI, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Tai būtina abiejuose trikampiuose koja buvo greta arba abiejuose buvo priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei trys jų elementai turi būti lygūs: dvi kraštinės ir kampas tarp jų, du kampai ir kraštinė tarp jų arba trys kraštinės. Tačiau stačiųjų trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, tiesa?

Apytiksliai tokia pati situacija ir su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Išilgai smailiojo kampo

II. Iš dviejų pusių

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Vietoj stačiakampio apsvarstykite visą stačiakampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

1. - mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad yra ir priešingai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Atidžiai pažiūrėk. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, nuo kurio atstumai nuo visų trijų trikampio viršūnių yra lygūs, ir tai yra APRATUMO CENTRAS. Taigi kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime ir.

Tačiau panašūs trikampiai turi vienodus kampus!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo?

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Reikia labai gerai atsiminti abi šias formules ir naudoti patogesnę. Užrašykime juos dar kartą

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: .

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• iš dviejų pusių:
• pagal koją ir hipotenuzę: arba
• išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
• išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
• pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai:

• vienas ūmus kampas: arba
• iš dviejų kojų proporcingumo:
• nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

• Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
• Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis: .

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje iš stačiojo kampo viršūnės nubrėžta mediana yra lygi pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

• per kojas: