Kaip nuspręsti, kada diskriminantas yra 0. Visada būk nusiteikęs

Kvadratinės lygtys dažnai atsiranda sprendžiant įvairios užduotys fizika ir matematika. Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip išspręsti šias lygybes universaliu būdu„per diskriminantą“. Straipsnyje taip pat pateikiami įgytų žinių panaudojimo pavyzdžiai.

Apie kokias lygtis mes kalbėsime?

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta formulė, kurioje x yra nežinomas kintamasis ir lotyniškus rašmenis a, b, c reiškia kai kuriuos žinomus skaičius.

Kiekvienas iš šių simbolių vadinamas koeficientu. Kaip matote, skaičius „a“ yra prieš kintamąjį x kvadratu. Tai maksimalus laipsnis pateiktos išraiškos, todėl ji vadinama kvadratine lygtimi. Dažnai naudojamas kitas jo pavadinimas: antros eilės lygtis. Pati vertė yra kvadratinis koeficientas(stovi su kintamuoju kvadratu), b yra tiesinis koeficientas (jis yra šalia kintamojo, pakelto į pirmą laipsnį), galiausiai skaičius c yra laisvas narys.

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau esančiame paveikslėlyje parodytas lygties tipas yra bendra klasikinė kvadratinė išraiška. Be jo, yra ir kitų antros eilės lygčių, kuriose koeficientai b ir c gali būti lygūs nuliui.

Kai užduotis yra išspręsta aptariamai lygybei, tai reiškia, kad reikia rasti tokias kintamojo x reikšmes, kurios ją tenkintų. Čia pirmas dalykas, kurį reikia atsiminti, yra toks: kadangi didžiausias X laipsnis yra 2, tada šio tipo išraiškos negali turėti daugiau nei 2 sprendinius. Tai reiškia, kad jei sprendžiant lygtį būtų rastos 2 ją tenkinančios x reikšmės, tuomet galite būti tikri, kad 3-ojo skaičiaus nėra, jį pakeitus x, lygybė taip pat būtų teisinga. Matematikos lygties sprendiniai vadinami jos šaknimis.

Antros eilės lygčių sprendimo metodai

Norint išspręsti tokio tipo lygtis, reikia žinoti tam tikrą teoriją apie jas. IN mokyklos kursas algebra apsvarstykite 4 įvairių metodų sprendimus. Išvardinkime juos:

• naudojant faktorizaciją;
• naudojant tobulo kvadrato formulę;
• taikant atitinkamos kvadratinės funkcijos grafiką;
• naudojant diskriminantinę lygtį.

Pirmojo metodo pranašumas yra jo paprastumas, tačiau jis negali būti naudojamas visoms lygtims. Antrasis metodas yra universalus, bet šiek tiek sudėtingas. Trečiasis metodas išsiskiria aiškumu, tačiau jis ne visada patogus ir pritaikomas. Ir galiausiai, diskriminacinės lygties naudojimas yra universalus ir gana paprastas būdas rasti absoliučiai bet kokios antros eilės lygties šaknis. Todėl šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik tai.

Formulė lygties šaknims gauti

Kreipkimės į bendra išvaizda kvadratinė lygtis. Užsirašykime: a*x²+ b*x + c =0. Prieš naudodami metodą, kaip ją išspręsti „per diskriminantą“, visada turėtumėte pateikti lygybę į rašytinę formą. Tai reiškia, kad jį turi sudaryti trys terminai (arba mažiau, jei b arba c yra 0).

Pavyzdžiui, jei yra išraiška: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², pirmiausia turėtumėte perkelti visus jos terminus į vieną lygybės pusę ir pridėti terminus, kuriuose yra kintamasis x. tos pačios galios.

IN šiuo atvejuši operacija sukels tokią išraišką: -6*x²-4*x+8=0, kuri atitinka lygtį 6*x²+4*x-8=0 (čia padauginome kairę ir dešinę lygybė iš -1).

Aukščiau pateiktame pavyzdyje a = 6, b = 4, c = -8. Atkreipkite dėmesį, kad visos nagrinėjamos lygybės sąlygos visada sumuojamos, taigi, jei atsiranda „-“ ženklas, tai reiškia, kad atitinkamas koeficientas yra neigiamas, kaip šiuo atveju skaičius c.

Išnagrinėję šį tašką, pereikime prie pačios formulės, kuri leidžia gauti kvadratinės lygties šaknis. Tai atrodo taip, kaip parodyta toliau esančioje nuotraukoje.

Kaip matyti iš šios išraiškos, ji leidžia jums gauti dvi šaknis (atkreipkite dėmesį į „±“ ženklą). Norėdami tai padaryti, pakanka į jį pakeisti koeficientus b, c ir a.

Diskriminanto samprata

Ankstesnėje pastraipoje buvo pateikta formulė, leidžianti greitai išspręsti bet kurią antros eilės lygtį. Jame radikali išraiška vadinama diskriminantu, tai yra, D = b²-4*a*c.

Kodėl ši formulės dalis paryškinta ir netgi paryškinta tikras vardas? Faktas yra tas, kad diskriminantas sujungia visus tris lygties koeficientus į vieną išraišką. Paskutinis faktas reiškia, kad ji visiškai neša informaciją apie šaknis, kurią galima išreikšti šiame sąraše:

1. D>0: lygybė turi 2 įvairių sprendimų, kurie abu yra tikrieji skaičiai.
2. D=0: lygtis turi tik vieną šaknį ir yra tikrasis skaičius.

Diskriminanto nustatymo užduotis

Pateiksime paprastą pavyzdį, kaip rasti diskriminantą. Tegu yra tokia lygybė: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Atneškime į standartinis vaizdas, gauname: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, iš kurios gauname lygybę: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Čia a=-2, b=2, c=-11.

Dabar galite naudoti aukščiau pateiktą diskriminanto formulę: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Gautas skaičius yra užduoties atsakymas. Kadangi pavyzdyje diskriminantas mažiau nei nulis, tada galime pasakyti, kad ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų. Jo sprendimas bus tik kompleksinio tipo skaičiai.

Nelygybės per diskriminantą pavyzdys

Išspręskime kiek kitokio tipo uždavinius: esant lygybei -3*x²-6*x+c = 0. Reikia rasti c reikšmes, kurioms D>0.

Šiuo atveju yra žinomi tik 2 koeficientai iš 3, todėl neįmanoma apskaičiuoti tikslios diskriminanto reikšmės, tačiau žinoma, kad ji yra teigiama. Sudarant nelygybę naudojame paskutinį faktą: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Išsprendus gautą nelygybę, gaunamas rezultatas: c>-3.

Patikrinkime gautą skaičių. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame D 2 atvejams: c=-2 ir c=-4. Skaičius -2 tenkina gautą rezultatą (-2>-3), atitinkamas diskriminantas turės reikšmę: D = 12>0. Savo ruožtu skaičius -4 netenkina nelygybės (-4. Taigi bet kokie skaičiai c, didesni už -3, tenkins sąlygą.

Lygties sprendimo pavyzdys

Pateiksime problemą, kuri apima ne tik diskriminanto suradimą, bet ir lygties sprendimą. Būtina rasti lygybės -2*x²+7-9*x = 0 šaknis.

Šiame pavyzdyje diskriminantas yra kitą vertę: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada lygties šaknys bus nustatytos taip: x = (9±√137)/(-4). Tai tikslios vertėsšaknis, jei šaknį apskaičiuosite apytiksliai, tada gausite skaičius: x = -5,176 ir x = 0,676.

Geometrinė problema

Išspręsime problemą, kuriai reikės ne tik gebėjimo apskaičiuoti diskriminantą, bet ir įgūdžių pritaikymą abstraktus mąstymas ir žinių, kaip rašyti kvadratines lygtis.

Bobas turėjo 5 x 4 metrų antklodę. Berniukas norėjo prie jo prisiūti ištisinę gražaus audinio juostelę per visą perimetrą. Kokio storio bus ši juostelė, jei žinosime, kad Bobas turi 10 m² audinio.

Tegul juostelės storis yra x m, tada audinio plotas išilgai ilgosios antklodės pusės bus (5+2*x)*x, o kadangi yra 2 ilgi kraštai, turime: 2*x *(5+2*x). Trumpojoje pusėje pasiūto audinio plotas bus 4*x, kadangi šių pusių yra 2, gauname 8*x reikšmę. Atkreipkite dėmesį, kad vertė 2*x buvo pridėta prie ilgosios pusės, nes antklodės ilgis padidėjo šiuo skaičiumi. Bendras prie antklodės prisiūto audinio plotas 10 m². Todėl gauname lygybę: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Šiame pavyzdyje diskriminantas yra lygus: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jo šaknis yra 22. Naudodami formulę randame reikiamas šaknis: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Akivaizdu, kad pagal problemos sąlygas iš dviejų šaknų tinka tik skaičius 0,5.

Taigi, audinio juostelė, kurią Bobas prisiuva prie savo antklodės, bus 50 cm pločio.

Pavyzdžiui, trinario \(3x^2+2x-7\) diskriminantas bus lygus \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). O trinario \(x^2-5x+11\) jis bus lygus \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminantas žymimas \(D\) ir dažnai naudojamas sprendžiant. Be to, pagal diskriminanto reikšmę galite suprasti, kaip apytiksliai atrodo grafikas (žr. toliau).

Diskriminantas ir lygties šaknys

Diskriminacinė reikšmė rodo kvadratinių lygčių skaičių:
- jei \(D\) yra teigiamas, lygtis turės dvi šaknis;
- jei \(D\) lygus nuliui – yra tik viena šaknis;
- jei \(D\) yra neigiamas, šaknų nėra.

To nereikia mokyti, nesunku padaryti tokią išvadą, paprasčiausiai žinant, kad iš diskriminanto (ty \(\sqrt(D)\) yra įtraukta į lygties šaknų skaičiavimo formulę : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ir \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Pažvelkime į kiekvieną atvejį išsamiau.

Jei diskriminantas yra teigiamas

Šiuo atveju jo šaknis yra tam tikra teigiamas skaičius, o tai reiškia, kad \(x_(1)\) ir \(x_(2)\) turės skirtingas reikšmes, nes pirmoje formulėje \(\sqrt(D)\) pridedama, o antroje – atimama. Ir mes turime dvi skirtingas šaknis.

Pavyzdys : Raskite lygties \(x^2+2x-3=0\) šaknis
Sprendimas :

Atsakymas : \(x_(1)=1\); \(x_(2) = -3\)

Jei diskriminantas lygus nuliui

O kiek bus šaknų, jei diskriminantas lygus nuliui? Pamąstykime.

Šakninės formulės atrodo taip: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ir \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Ir jei diskriminantas yra nulis, tai jo šaknis taip pat yra nulis. Tada paaiškėja:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Tai yra, lygties šaknų reikšmės sutaps, nes nulio pridėjimas ar atėmimas nieko nekeičia.

Pavyzdys : Raskite lygties \(x^2-4x+4=0\) šaknis
Sprendimas :

Atsakymas : \(x=2\)

Kvadratinės lygtys mokomos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.

Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a, b ir c savavališki skaičiai ir a ≠ 0.

Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, atkreipkite dėmesį, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:

1. Neturi šaknų;
2. turėti tiksliai vieną šaknį;
3. Jie turi dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas kvadratines lygtis iš tiesinių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.

Diskriminuojantis

Tegu kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac.

Šią formulę turite žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Svarbus ir kitas dalykas: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:

1. Jeigu D< 0, корней нет;
2. Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
3. Jei D > 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų požymius, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis žmonių tiki. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:

Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:

1. x 2 – 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Išrašykime pirmosios lygties koeficientus ir raskime diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Taigi diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame panašiai:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė likusi lygtis yra tokia:
a = 1; b = –6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantas yra nulis – šaknis bus viena.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienos lygties koeficientai buvo užrašyti. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus, bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.

Beje, jei susigausite, po kurio laiko nereikės visų koeficientų užrašinėti. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50–70 išspręstų lygčių – apskritai ne tiek daug.

Kvadratinės lygties šaknys

Dabar pereikime prie paties sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:

Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris ir bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = –3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:

Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos

\[\begin(lygiuoti) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda pakeičiant neigiamus koeficientus į formulę. Čia vėl padės aukščiau aprašyta technika: pažiūrėkite į formulę pažodžiui, užrašykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratysite klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi, pristatykime naują koncepciją:

Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.

Žinoma, galimas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai lygūs nuliui: b = c = 0. Šiuo atveju lygtis įgauna formą ax 2 = 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknį: x = 0.

Panagrinėkime likusius atvejus. Tegu b = 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį formos ax 2 + c = 0. Truputį transformuokime:

Nuo aritmetikos kvadratinė šaknis egzistuoja tik nuo neneigiamas skaičius, paskutinė lygybė turi prasmę tik (-c /a) ≥ 0. Išvada:

1. Jeigu nepilnoje kvadratinėje lygtyje ax 2 + c = 0 tenkinama nelygybė (−c /a) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
2. Jei (-c /a)< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminanto neprireikė - nepilnose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingi skaičiavimai. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c /a) ≥ 0. Pakanka išreikšti reikšmę x 2 ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei jis neigiamas, šaknų iš viso nebus.

Dabar pažiūrėkime į ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka apskaičiuoti daugianarį:

Produktas lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, pažvelkime į kelias iš šių lygčių:

Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = –1,5.

Diskriminantas yra daugiareikšmis terminas. Šiame straipsnyje kalbėsime apie daugianario diskriminantą, leidžiantį nustatyti, ar tam tikrame daugianario sprendiniai yra tinkami. Kvadratinio daugianario formulę rasite mokykliniame algebros ir analizės kurse. Kaip rasti diskriminantą? Ko reikia lygčiai išspręsti?

Vadinamas kvadratinis daugianomas arba antrojo laipsnio lygtis i * w ^ 2 + j * w + k yra lygus 0, kur "i" ir "j" yra atitinkamai pirmasis ir antrasis koeficientai, "k" yra konstanta, kartais vadinama "atmetimo terminu" ir "w" yra kintamasis. Jo šaknys bus visos kintamojo, kuriam esant jis virsta tapatybe, reikšmės. Tokią lygybę galima perrašyti kaip i, (w - w1) ir (w - w2) sandaugą, lygią 0. Šiuo atveju akivaizdu, kad jei koeficientas "i" netampa nuliu, tada funkcija kairioji pusė taps nuliu tik jei x įgis reikšmę w1 arba w2. Šios reikšmės yra polinomo nustatymo į nulį rezultatas.

Norėdami rasti kintamojo, kuriame kvadratinis daugianario tampa nuliu, naudojama pagalbinė konstrukcija, pastatyta remiantis jos koeficientais ir vadinama diskriminantu. Ši konstrukcija apskaičiuojama pagal formulę D lygus j * j - 4 * i * k. Kodėl jis naudojamas?

1. Ji sako, ar tokių yra galiojančių rezultatų.
2. Ji padeda juos apskaičiuoti.

Kaip ši vertė parodo tikrų šaknų buvimą:

• Jei jis teigiamas, regione galime rasti dvi šaknis realūs skaičiai.
• Jei diskriminantas lygus nuliui, tai abu sprendiniai yra vienodi. Galima sakyti, kad yra tik vienas sprendimas, ir jis yra iš realiųjų skaičių lauko.
• Jei diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai daugianomas neturi realių šaknų.

Medžiagos tvirtinimo skaičiavimo galimybės

Jei suma (7 * w^2; 3 * w; 1) lygi 0 Apskaičiuojame D pagal formulę 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, gauname -19. Diskriminacinė reikšmė žemiau nulio rodo, kad tikrojoje eilutėje nėra rezultatų.

Jei laikysime 2 * w^2 - 3 * w + 1, atitinkančius 0, tada D apskaičiuojamas kaip (-3) kvadratas atėmus skaičių sandaugą (4; 2; 1) ir yra lygus 9–8, ty 1. Teigiama vertė sako, kad tikroje eilutėje yra du rezultatai.

Jei paimsime sumą (w ^ 2; 2 * w; 1) ir prilyginsime 0, D apskaičiuojamas kaip du kvadratai atėmus skaičių sandaugą (4; 1; 1). Ši išraiška bus supaprastinta iki 4–4 ir pasieks nulį. Pasirodo, rezultatai tokie patys. Jei atidžiai pažvelgsite į šią formulę, tada paaiškės, kad tai yra „ tobulas kvadratas“ Tai reiškia, kad lygybę galima perrašyti į formą (w + 1) ^ 2 = 0. Tapo akivaizdu, kad šios problemos rezultatas yra „-1“. Esant situacijai, kai D yra 0, kairėje pusėje Lygybės visada gali būti sutrauktos naudojant „sumos kvadrato“ formulę.

Diskriminanto naudojimas skaičiuojant šaknis

Ši pagalbinė konstrukcija ne tik parodo realių sprendimų skaičių, bet ir padeda juos rasti. Bendroji formulė Antrojo laipsnio lygties apskaičiavimas yra toks:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kur d yra 1/2 laipsnio diskriminantas.

Tarkime, kad diskriminantas yra žemiau nulio, tada d yra įsivaizduojamas, o rezultatai yra įsivaizduojami.

D yra nulis, tada d lygus D laipsniui 1/2 taip pat yra nulis. Sprendimas: -j / (2 * i). Vėlgi, atsižvelgiant į 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, randame rezultatus, lygiaverčius -2 / (2 * 1) = -1.

Tarkime, D > 0, tada d - realus skaičius, o atsakymas čia suskirstytas į dvi dalis: w1 = (-j + d) / (2 * i) ir w2 = (-j - d) / (2 * i). Abu rezultatai galios. Pažvelkime į 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Čia diskriminantas ir d yra vienodi. Pasirodo, w1 yra lygus (3 + 1), padalytas iš (2 * 2) arba 1, o w2 lygus (3 - 1), padalytas iš 2 * 2 arba 1/2.

Lygties rezultatas kvadratinė išraiška iki nulio apskaičiuojamas pagal algoritmą:

1. Kiekio nustatymas galiojantys sprendimai.
2. Skaičiavimas d = D^(1/2).
3. Rezultato radimas pagal formulę (-j +/- d) / (2 * i).
4. Gauto rezultato pakeitimas į pradinę lygybę patikrinimui.

Kai kurie ypatingi atvejai

Atsižvelgiant į koeficientus, sprendimas gali būti šiek tiek supaprastintas. Akivaizdu, kad jei kintamojo antrosios laipsnio koeficientas yra lygus nuliui, tada gaunama tiesinė lygybė. Kai kintamojo koeficientas iki pirmosios laipsnio yra lygus nuliui, galimi du variantai:

1. daugianaris išplečiamas į kvadratų skirtumą, kai laisvasis narys yra neigiamas;
2. teigiamai konstantai negalima rasti realių sprendimų.

Jei laisvasis narys yra nulis, tada šaknys bus (0; -j)

Tačiau yra ir kitų ypatingų atvejų, kurie supaprastina sprendimo paiešką.

Sumažinta antrojo laipsnio lygtis

Duota vadinama tokie kvadratinis trinaris, kur koeficientas prieš pagrindinį terminą yra vienas. Šiai situacijai taikytina Vietos teorema, kuri teigia, kad šaknų suma yra lygi kintamojo koeficientui iki pirmosios laipsnio, padaugintam iš -1, o sandauga atitinka konstantą „k“.

Todėl w1 + w2 lygus -j, o w1 * w2 lygus k, jei pirmasis koeficientas yra vienas. Norėdami patikrinti šio vaizdavimo teisingumą, galite išreikšti w2 = -j - w1 iš pirmosios formulės ir pakeisti ją antrąja lygybe w1 * (-j - w1) = k. Rezultatas yra pradinė lygybė w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Svarbu atkreipti dėmesį, kad i * w ^ 2 + j * w + k = 0 galima pasiekti padalijus iš „i“. Rezultatas bus toks: w^2 + j1 * w + k1 = 0, kur j1 lygus j/i, o k1 lygus k/i.

Pažiūrėkime į jau išspręstą 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 su rezultatais w1 = 1 ir w2 = 1/2. Reikia padalyti per pusę, kaip rezultatas w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Patikrinkime, ar teoremos sąlygos yra teisingos rastiems rezultatams: 1 + 1/2 = 3/ 2 ir 1*1/2 = 1/2.

Net antrasis veiksnys

Jei kintamojo koeficientas iki pirmosios laipsnio (j) dalijasi iš 2, tada bus galima supaprastinti formulę ir ieškoti sprendimo per ketvirtadalį diskriminanto D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. pasirodo w = (-j +/- d/2) / i, kur d/2 = D/4 iki 1/2 laipsnio.

Jei i = 1, o koeficientas j lygus, tada sprendimas bus sandauga iš -1 ir pusės kintamojo w koeficiento, plius/atėmus šios pusės kvadrato šaknį, atėmus konstantą "k". Formulė: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Didesnė diskriminacinė tvarka

Aukščiau aptartas antrojo laipsnio trinalio diskriminantas yra dažniausiai naudojamas ypatingas atvejis. Bendruoju atveju daugianario diskriminantas yra padaugintus šio daugianario šaknų skirtumų kvadratus. Todėl nuliui lygus diskriminantas rodo, kad yra bent du keli sprendimai.

Apsvarstykite i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Tarkime, kad diskriminantas viršija nulį. Tai reiškia, kad realiųjų skaičių srityje yra trys šaknys. Esant nuliui, yra keli sprendimai. Jeigu D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают neigiama reikšmė kai kvadratas, o taip pat viena šaknis yra tikra.

Vaizdo įrašas

Mūsų vaizdo įrašas išsamiai papasakos apie diskriminanto apskaičiavimą.

Negavai atsakymo į savo klausimą? Siūlykite temą autoriams.