Matricų redukavimo į Jordano formą pavyzdžiai

1°. . Šaknys charakteristikos lygtis: l 1, 2, 3 = 1. .

Savieji vektoriai A pagal λ = 1, t.y. šerdis A 1:

, o tai reiškia pagrindą N(A 1): .

Operatoriaus vaizdas A 1 M(A 1) iš santykių randame:

; pagrindu M(A 1) f 3 (1, 2, –1) ir kt. f 3 = 2f 1 – f 2, tada f 3 Оℒ( f 1 , f 2).

Tada: pagrindas bus vektorius ; vektorius, papildantis pagrindą prieš pagrindą bus bet kuris iš vektorių, pavyzdžiui, vektorius; ir pagrindas Prie pagrindo nera ka pridurti, nes .

Prototipas A 1 adresu= (1, 2, –1) Þ adresu 1 – adresu 2 – adresu 3 = 1, pavyzdžiui (1, 0, 0).

Beje: sistema A 1 adresu= (1, 0, 0) neturi sprendinių, t.y. vektoriui (1, 2, –1) nėra atvirkštinio antrojo sluoksnio vaizdo.

Todėl Jordanijos operatoriaus pagrindas A: .

Ir galiausiai turime operatoriaus matricos Jordan formą A: .

2°. Raskite normalią Jordano matricos formą linijinis operatorius A = ir pagrindas, kuriame operatorių matrica turi Jordano formą.

Δ. Linijinei operatorių matricai A = Sudarykime ir išspręskime charakteristikų lygtį: det( A-l E) = 0 .

= .

Tada: = 0 ir todėl l 1, 2 = –1; l 3, 4 = 1.

a) Apsvarstykite operatorių A -1 = A-l E= A+E= A jei l = - 1, ty operatoriaus branduolys A-1. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame keturių tiesių sistemą vienarūšės lygtys su matrica A-1. Iš trečios ir ketvirtosios lygtys sistema aišku, kad . Tada galima nesunkiai nustatyti, kad. Vektorius f 1 (1, 1, 0, 0) – vienintelis operatoriaus savasis vektorius A, atitinkanti savąją reikšmę l = -1 ir sudaro operatoriaus branduolio pagrindą A–1. Toliau ieškome operatoriaus vaizdo pagrindo A –1:

.

Pažymėtina, kad vektoriams f 2 , f 3 , f 4 yra ryšys: f 3 + f 4 – f 2 = (0, 0, 0, 1), raskite operatoriaus atvaizdo pagrindą A –1:

(j 1 (1, 1, 0, 0), j 2 (0, –1, 1, 1), j 3 (0, 0, 0, 1).

Pažymėtina, kad vektoriai f 1 ir sutampa, darome išvadą, kad šis vektorius sudaro vaizdo ir operatoriaus branduolio sankirtos pagrindą A -1 .

Šaknies λ = -1 dauginys yra du, o savasis vektorius, atitinkantis šią savąją reikšmę, yra tik vienas. Todėl tikime g 1 lygus vektoriui, ir mes ieškome kito Jordano pagrindo vektoriaus kaip atvirkštinio pirmojo sluoksnio atvaizdo . Nuspręskime nevienalytė sistema tiesines lygtis ir raskite antrąjį vektorių g 2 (1, 3/4, 0, 0) Jordano pagrindas, atitinkantis kartotinių dviejų savąją reikšmę l = -1. Šiuo atveju, kas yra būdinga, vektorius neturi atvirkštinio antrojo sluoksnio vaizdo, nes sistema su išplėstine matrica

neturi sprendimų. Tai neatsitiktinai, nes daugybos 2 savoji reikšmė l= -1 turi atitikti du operatoriaus Jordano pagrindo vektorius. A:

g 1 (1, 1, 0, 0); g 2 (1, 3/4, 0, 0).

Tuo pačiu pažymime, kad:

b) Dabar apsvarstykite savąją reikšmę l = 1 ir atitinkamai operatorių A 1 =A+E:

.

Raskime šio operatoriaus branduolį, t.y. savieji vektoriai operatorius A esant λ = 1.

.

Vektorius f 1 (1, 1, 1, 1) sudaro operatoriaus branduolio pagrindą A 1 ir yra vienintelis operatoriaus savasis vektorius A, atitinkančią savąją reikšmę l = 1.

Ieškome įvaizdžio pagrindo M(A 1) operatorius A 1 .

.

Pastebėjus tai f 1 = f 2 + f 3 + f 4, darome išvadą: branduolio ir operatoriaus atvaizdo susikirtimo pagrindas A 1 yra vektorius f 1 .

Kadangi yra tik vienas savasis vektorius, o savosios reikšmės daugyba yra 2, turime rasti kitą Jordano pagrindo vektorių. Todėl mes tikime g 3 lygus vektoriui y 1 (1, 1, 1, 1), ir ieškome kito Jordano pagrindo vektoriaus kaip atvirkštinio pirmojo sluoksnio atvaizdo y 1 (1, 1, 1, 1). Norėdami tai padaryti, išsprendžiame nehomogenišką tiesinių lygčių sistemą A 1 g 4 = j 1 ir raskite vektorių g 4 (0, 1/2, 0, 1/2) Jordano pagrindas, atitinkantis savąją reikšmę l = 1 iš kartotinių dviejų. Šiuo atveju vektorius y 1 (1, 1, 1, 1) neturi atvirkštinio antrojo sluoksnio vaizdo, nes sistema A 1 y = g 4 su išplėstine matrica neturi sprendimų. Ir vėlgi, tai neatsitiktinai, nes daugybos 2 savoji reikšmė l= 1 turi atitikti du Jordano pagrindo vektorius, ir jie jau rasti:

g 3 (1, 1, 1, 1); g 4 (0, 1/2, 0, 1/2).

Tuo pačiu pažymime, kad: Ag 3 = g 1 , Ag 4 = g 3 + g 4. Operatoriui A randamas Jordano pagrindas: . Tuo pačiu metu A G= . ▲

3°. ; det( A-l E) = 0 l 1, 2 = 1; l 3, 4 = 2.

Δ a) Apsvarstykite operatorių A 1: A 1 -E= . Ieškome operatoriaus savųjų vektorių A kai l = 1, t.y. operatoriaus branduolys A 1 .

. Vektoriai ( f 1 ,f 2) suformuoti pagrindą N(A 1).

Kadangi vektoriai f 1 , f 2 , f 3 , f 4 – tiesiškai nepriklausomas, tada , ir bazę papildantys vektoriai prie pagrindo – vektoriai.

Yra žinoma, kad tiesinio operatoriaus matrica savųjų vektorių pagrindu gali būti sumažinta iki įstrižainės. Tačiau realiųjų skaičių aibėje tiesinis operatorius gali neturėti savųjų reikšmių, taigi ir savųjų vektorių. Per daugybę kompleksiniai skaičiai bet kuris tiesinis operatorius turi savuosius vektorius, bet jų gali nepakakti pagrindui. Yra dar viena kanoninė linijinės operatoriaus matricos forma, iki kurios galima sumažinti bet kurią matricą, viršijančią kompleksinių skaičių aibę.

10.1 teorema. Bet kuri matrica su kompleksiniais elementais gali būti sumažinta kompleksinių skaičių C aibėje iki Jordano 14 normaliosios formos.

Pateiksime reikiamus apibrėžimus:

Apibrėžimas 10.1. Kvadratinės tvarkos matrica n, kurio elementai yra savavališko laipsnio polinomai kintamajame λ su koeficientais iš kompleksinių skaičių aibės C, vadinamas λ- matrica(arba daugianario matrica, arba daugianario matrica).

Polinominės matricos pavyzdys yra charakteringoji matrica A – λ E savavališkas kvadratinė matrica A. Pagrindinėje įstrižainėje yra pirmojo laipsnio daugianariai, už jos – nulinio laipsnio arba nulių. Pažymime tokią matricą kaip A(λ).

10.1 pavyzdys. Tegul matrica duota A= , tada A– λ E = =
= A(λ).

Apibrėžimas 10.2. Elementarios transformacijosλ-matricos vadinamos tokiomis transformacijomis:

bet kurios matricos eilutės (stulpelio) dauginimas A(λ) į bet kurį skaičių, nelygų nuliui;

priedas prie bet kurio i- ta linija ( i stulpelis) matricos A(λ) bet kuri kita j-toji eilutė ( j stulpelis), padaugintas iš savavališko daugianario (  ).

λ-matricos savybės

1) Naudojant šias transformacijas matricoje A(λ) bet kurios dvi eilutės arba du stulpeliai gali būti pertvarkyti.

2) Naudojant šias transformacijas įstrižinėje matricoje A(λ) įstrižainės elementus galima sukeisti.

10.2 pavyzdys. 1) 

  .

2)


.

Apibrėžimas 10.3. Matricos A(λ) ir B(λ) vadinami lygiavertis, jei nuo A(λ) galime eiti į B(λ) naudojant baigtinis skaičius elementarios transformacijos.

Tikslas yra kiek įmanoma supaprastinti matricą A(λ).

Apibrėžimas 10.4. Kanoninis λ- matrica vadinama λ matrica, turinti šias savybes:

matrica A(λ) įstrižainė;

kiekvienas daugianario e i (), i = 1, 2, …, n yra visiškai dalijamas iš e i –1 ();

kiekvieno daugianario pirmaujantis koeficientas e i (), i = 1, 2, …, n yra lygus 1, arba šis daugianomas lygus nuliui.

A(λ) =
.

komentuoti. Jei tarp daugianario e i() atsiranda nuliai, jie užima pagrindinę įstrižainę paskutinės vietos(pagal 2 savybę), jei yra nulinio laipsnio daugianario, tada jie lygūs 1 ir užima pirmąsias vietas pagrindinėje įstrižainėje.

Nulio ir tapatumo matricos yra kanoninės λ matricos.

Teorema10.2. Kiekviena λ matrica yra lygiavertė kokiai nors kanoninei λ matricai (tai yra, ją galima sumažinti elementariomis transformacijomis į kanoninė forma)

10.3 pavyzdys. Sumažinti matricą A(λ) =
į kanoninę formą.

Sprendimas. Transformacijų eiga panaši į transformacijas Gauso metodu, o viršutinis kairysis matricos elementas, redukuojant jį į kanoninę formą, yra ne nulis ir turi mažiausią laipsnį.

A(λ) =
 (sukeisti pirmą ir antrą stulpelius) 
 (prie antrojo stulpelio pridedame pirmą stulpelį, padaugintą iš ( – 2)) 
 (prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš ( – 2)) 
 (sukeisti antrą ir trečią stulpelius) 
 (prie trečiojo stulpelio pridedame antrą stulpelį, padaugintą iš ( – 2) 3) 
 (prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš ( – 2)) 
.

1. Tegu pateikiamas koks nors daugianaris su koeficientais iš lauko

Apsvarstykite eilės kvadratinę matricą

. (36)

Nesunku patikrinti, ar daugianomas yra būdingas matricos polinomas:

.

Kita vertus, būdingo determinanto elemento minoras yra lygus . Todėl , .

Taigi matrica turi unikalų nevienetinį invariantinį daugianarį, lygų .

Matricą vadinsime lydinčia polinomo matrica.

Tegu pateikta matrica su nekintamaisiais daugianariais

Čia yra visi daugianariai turi laipsnį aukštesnį už kulką, ir kiekvienas iš šių daugianario, pradedant nuo antrojo, yra ankstesnio daliklis. Šių daugianarių lydinčias matricas pažymime .

Tada kvazi-įstrižainės matrica th eilės

(38)

kaip nekintamieji daugianariai turi polinomus (37) (žr. 4 teoremą 145 psl.). Kadangi matricos ir turi tuos pačius nekintamus daugianarius, jos yra panašios, t.y., visada egzistuoja nevienaskaitinė matrica,

Matrica vadinama pirmąja natūralia normalia matricos forma. Šiai normaliai formai būdinga: 1) beveik įstrižainė išvaizda (38), 2) ypatinga įstrižinių ląstelių struktūra (36) ir 3) papildoma sąlyga: įstrižainių langelių charakteringų daugianario serijoje kiekvienas daugianomas, pradedant nuo antrojo, yra ankstesnio daliklis.

2. Dabar pažymėkime pagal

(39)

elementariosios matricos dalikliai skaičių lauke. Atitinkamas lydinčias matricas žymime

.

Kadangi yra vienintelis elementarusis matricos daliklis, tai pagal 5 teoremą kvazi-įstrižainė matrica

(40)

turi daugianarius (39) kaip jo elementariuosius daliklius.

Matricos ir turi tuos pačius elementariuosius daliklius lauke. Todėl šios matricos yra panašios, t. y. visada egzistuoja ne vienaskaita matrica,

Matrica vadinama antrąja natūralia normalia matricos forma. Šiai normaliajai formai būdinga: 1) beveik įstrižainė forma (40), 2) speciali įstrižinių ląstelių struktūra (36) ir 3) papildoma sąlyga: kiekvienos įstrižainės ląstelės būdingas daugianomas yra daugianario neredukuojamumo laipsnis. lauke.

komentuoti. Elementariosios matricos dalikliai, skirtingai nei nekintamieji polinomai, iš esmės yra susiję su tam tikru skaičių lauku. Jei vietoj pradinio skaitinio lauko imsime kitą skaitinį lauką (kuriam taip pat priklauso šios matricos elementai), tada elementarieji dalikliai gali pasikeisti. Kartu su elementariais dalikliais keisis ir antroji natūrali normalioji matricos forma.

Taigi, pavyzdžiui, duokime matricą su tikraisiais elementais. Šios matricos charakteringasis daugianomas turės realius koeficientus. Tuo pačiu metu šis daugianomas gali turėti sudėtingos šaknys. Jei yra realiųjų skaičių laukas, tai tarp elementariųjų daliklių gali būti ir neredukuojamųjų laipsnių kvadratiniai trinariai su realiais koeficientais. Jei yra kompleksinių skaičių laukas, tada kiekvienas elementarus daliklis turi formą .

3. Dabar darykime prielaidą, kad skaičių laukelyje yra ne tik matricos elementai, bet ir visi būdingi šios matricos skaičiai. Tada elementarieji matricos dalikliai turi formą

. (41)

Panagrinėkime vieną iš šių elementarių daliklių

ir susiekite ją su tokia eilės matrica:

. (42)

Nesunku patikrinti, ar ši matrica turi tik vieną elementarųjį daliklį. Matricą (42) vadinsime Jordano langeliu, atitinkančiu elementarųjį daliklį .

Jordano langeliai, atitinkantys elementariuosius daliklius (41), žymimi

Tada kvazi-įstrižainė matrica

turi elementarius galios daliklius (41).

Matricą taip pat galima parašyti taip:

Kadangi matricos ir turi tuos pačius elementariuosius daliklius, jos yra panašios viena į kitą, t. y. egzistuoja ne vienaskaita matrica,

Matrica vadinama normaliąja Jordano forma arba tiesiog Jordano matricos forma. Jordano formai būdinga beveik įstrižainė išvaizda ir ypatinga įstrižų įstrižų 1-osios eilės ląstelių struktūra (42).

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei , tada kiekviena iš matricų

,

turi tik vieną elementarųjį daliklį: . Todėl ne vienaskaitos matricai, turinčiai elementariuosius daliklius (41), kartu su (III) ir (IV), galioja šie vaizdiniai:

Savo gerą darbą pateikti žinių bazei lengva. Naudokite žemiau esančią formą

Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.

Įrodymas: Nes Matricos redukuojamumas į įstrižainę yra lygiavertis redukuojamumui į Jordano formą, kurios visi Jordano langeliai yra 1 eilės. Visi A matricos elementarieji dalikliai turi būti pirmojo laipsnio daugianariai. Nes visi kintamieji matricos A - lE faktoriai yra daugianario e n (l) dalikliai, tada pastaroji sąlyga yra lygiavertė tam, kad visi e n (l) elementarieji dalikliai turi 1 laipsnį, ką ir reikėjo įrodyti.

1.6 Minimalus daugianario

Apsvarstykite eilės kvadratinę matricą A n su elementais iš lauko P. Jeigu

f (l) = b 0 l k + b 1 l k -1 + ... + b k -1 l + b k

Savavališkas polinomas iš žiedo P[l], tada matrica

f(A) = b 0 A k + b 1 A k-1 + … + b k-1 A + b k E

bus vadinama daugianario reikšme f (l) kai l = A; Atkreipkime dėmesį į tai, kad nemokamas narys daugianario f (k) padauginamas iš matricos A nulinio laipsnio, t.y. į tapatybės matricą E.

Apibrėžkime matricos šaknį.

Jei daugianario f (k) yra panaikintas matricos A, t.y. f (A) = 0, tada bus iškviesta matrica A matricos šaknis arba, jei tai nesukelia painiavos, tiesiog daugianario šaknis f (l) .

Matrica A taip pat yra šaknis tokiems daugianariams, kurių pirmaujantys koeficientai lygūs vienetui – paimkite bet kurį nulinį daugianarį, kurį panaikina matrica A, ir padalykite šį daugianarį iš pirminio koeficiento.

Apibrėžimas: Mažiausio laipsnio daugianario su pirminiu koeficientu 1, kurį panaikina matrica A, vadinamas matricos A minimaliu polinomu ir žymimas m A .

Teorema: Kiekviena matrica A turi tik vieną minimalų daugianarį.

Įrodymas: Tarkime, kad, pavyzdžiui, būtų du minimalūs daugianariai m 1 (l) ir m 2 (k), tada jų skirtumas būtų žemesnio laipsnio nenulinis daugianomas, kurio šaknis vėl buvo matrica A. Padalijus šį skirtumą iš pirminio koeficiento, gautume daugianarį, kurio pirminis koeficientas yra 1, šaknis iš kurių būtų matrica A ir kurios laipsnis būtų žemesnis nei minimalūs daugianariai m 1 (l) ir m 2 (l), o tai prieštarauja minimalių daugianario apibrėžimui.

Teorema: Bet koks daugianomas f(l), kurios šaknis yra matrica A, dalijasi be liekanos iš minimalaus daugianario m(k) šios matricos.

Įrodymas: Leiskite f k) nedalomas iš m(l). Pažymėkime pagal q k) privatus, per r k) likusi dalis f(l) įjungta m(l), turėsime

f(l) = m(l) q(l) + r(l).

Čia pakeičiant l = A ir naudojant faktą, kad

m(l) = f(l) = 0,

r(l) = 0.

Bet likučio laipsnis r l) mažesnė už daliklio laipsnį m(l). Štai kodėl r(k) yra nulinis daugianomas, kurio šaknis yra matrica A ir kurio laipsnis yra mažesnis už minimalaus daugianario laipsnį m l), kuris yra prieštaringas. Teiginys pasitvirtino.

Yra žinoma, kad panašios matricos turės tą patį būdingą daugianarį. Minimalus daugianario taip pat turi šią savybę: panašios matricos turi tuos pačius minimalius daugianario. Tačiau minimalių daugianarių lygybė nėra pakankama būklė matricos panašumas.

Norėdami įrodyti kitą teoremą, pateikiame apibrėžimas susijusi matrica.

Tegul A ij(1) - matricos A algebriniai papildiniai. Mes apibrėžiame adjunktinę matricą A, žymėjimu A v , perkeltą į matricą algebriniai priedai už A. Taigi

A v = .

Teorema: Paskutinis elementarus daliklis e n(l) būdinga matrica A -lE yra minimalus daugianario m A.

Įrodymas: Parašykime lygybę

(-1)n | A - lE | = d n -1 (l) e n (l).

Iš to išplaukia, kad d n -1 (l) ir e n (l) nebus lygūs nuliui. Tegu B(l) žymi adjungtinę matricą su matrica A - lE.

B(l) = (A – lE) (1)

Lygybė yra sąžininga

(A – lE) B(l) = | A - lE | E. (2)

Kita vertus, nes matricos B(l) elementai yra matricos A - lE (n - 1) eilės mažieji, paimti su pliuso arba minuso ženklais ir tik jie, o daugianariai d n -1 (l) yra bendrieji didžiausias daliklis tai visi šie nepilnamečiai

B(l) = d n -1 (l) C(l), (3)

ir didžiausias bendras daliklis matricos elementai C(n) lygūs 1.

Lygybės (3), (2) ir (1) reiškia lygybę

(A - lE) d n -1 (l) C (l) = (-1) n d n -1 (l) e n (l) E.

Šią lygybę sumažiname nuliniu koeficientu d n -1 (l). Atkreipkite dėmesį, kad jei μ(n) yra nulinis daugianomas,

D(l) = (d ij (l))

Nenulinė l-matrica ir tegul d st (l) ? 0, tai matricoje c(l) D(l) vietoje (s, t) bus nulinis elementas c(l) d st (l). Tai.

(A – lE) C(l) = (-1) n e n (l) E,

e n (l) E = (lE - A) [(-1) n+1 C(l)]. (4)

Iš šios lygybės aišku, kad l-matricos kairiosios dalybos liekana kairėje pagal dvinarį lE - A yra lygi nuliui. Iš 3 skyriuje įrodytos lemos išplaukia, kad ši liekana yra lygi matricai

e n (A) E = e n (A).

Tiesą sakant, matricą e n (n) E galima užrašyti kaip matricos n-polinarį, kurio koeficientai yra skaliarinės matricos, t.y. važinėti su matrica A.

tie. daugianarį e n (n) iš tikrųjų panaikina matrica A. Tai reiškia, kad daugianomas e n (n) visiškai dalijasi iš minimalaus daugianario m k) matricos A,

e (l) = m (l) q (l). (5)

aišku, kad daugianario pirmaujantis koeficientas q(-1) n +1 (n) yra lygus vienetui.

Nes m (A) = 0, tada vėl, atsižvelgiant į tą pačią 3 pastraipos lemą, likusią kairiojo n matricos padalos dalį m (l) E ant dvinario lE - A yra lygus nuliui, t.y.

m (l) E = (lE - A) Q(l). (6)

Lygybės (5), (4) ir (6) redukuojamos į lygybę

(lE - A) [(-1) n+1 C(l)] = (lE - A) .

Abi šios lygybės pusės gali būti sumažintos bendras daugiklis(lE - A), nes pirmaujantis šio koeficientas E matricos l-polinomas yra nevienetinė matrica. Tai.,

C(l) = (-1) n +1 Q(l) q(l).

Matricos C(n) elementų didžiausias bendras daliklis lygus 1. Todėl daugianario q(n) laipsnis turi būti nulis, o kadangi jo pirminis koeficientas yra 1, tai

Taigi, atsižvelgiant į (5),

e n (l) = m (l),

Q.E.D.

2 skyrius. Problemų sprendimas

1 pavyzdys. Sumažinkite l matricą iki kanoninės formos

Sprendimas: Sumažinkime šią matricą A(n) į kanoninę formą, atlikdami elementariąsias transformacijas.

1) Pridėkite antrąją eilutę prie pirmosios, tada padauginkite pirmąją eilutę iš (-l) ir (-l 2 -1) ir atitinkamai sudėkite antrąją ir trečiąją eilutes. Pridėkite pirmąjį ir antrąjį stulpelius, pirmąjį stulpelį padaugindami iš (-l 2 -l). Gautoje matricoje sukeiskite antrą ir trečią stulpelius. Antrąją eilutę padauginkime iš (-l) ir pridėkime prie trečiosios. Tada pridėkite antrąjį stulpelį, padaugintą iš (-l 2 -l + 1). Antrąją ir trečiąją eilutes padauginkite iš (-1).

A(l) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = A(l).

Gauta matrica yra kanoninė, nes jis turi įstrižainės formą ir kiekvienas paskesnis pagrindinės įstrižainės daugianomas yra padalintas iš ankstesnio.

Atsakymas:

2 pavyzdys.Įrodykite l-matricų ekvivalentiškumą

Sprendimas: Sumažinkime matricą A(n) iki kanoninės formos.

1) Matricoje A(l) sukeiskite pirmą ir trečią stulpelius:

2) Iš pirmosios eilutės atimkite antrąją:

3) Pirmąją eilutę padauginkite iš (l+1) ir iš jos atimkite trečiąją:

4) Padauginkite pirmąjį stulpelį iš () ir () ir atitinkamai atimkite antrąjį ir trečiąjį stulpelius:

5) Sukeiskite antrąją ir trečiąją eilutes:

6) Padauginkite trečią eilutę iš () ir iš jos atimkite antrąją eilutę:

7) Padauginkite trečią eilutę iš (-1):

A(l) ~ = B(l).

Atsakymas: A(l) ~ B(l).

Atkreipkite dėmesį, kad matrica B(n) yra kanoninė.

3 pavyzdys.Įrodyk tai duota matrica A(l) yra vienamodulis. Sumažinti iki įstrižainės.

Unimodulinės matricos determinantas nėra lygus nuliui ir nepriklauso nuo l. Paskaičiuokime? A:

Padauginkite pirmąjį stulpelį iš (- l 2) ir pridėkite jį prie antrosios, gauname:

A(l) ~~ ~ ~ ~ ~ ~

Atsakymas: matrica A(n) yra vienamodulinė.

4 pavyzdys. Naudodami invariantinius veiksnius raskite Jordano matricą

a) A matrica:

b) matrica B:

c) matrica C:

Sprendimas: Matricai A sudarome elementariųjų daliklių lentelę. Pirmajame lentelės stulpelyje rašome paskutinio nekintamo koeficiento elementariuosius daliklius: .

Naudodamiesi elementariųjų daliklių lentele, sudarome Jordano matricą. Kiekvienam elementariajam dalikliui rašome atitinkamą Jordano langelį: J 1 (1), J 1 (2), J 1 (3), J 1 (4). Padėję šias ląsteles ant pagrindinės matricos įstrižainės, gauname norimą Jordano matricą:

Matricai B sudarome elementariųjų daliklių lentelę. Pirmajame lentelės stulpelyje rašome vienintelį paskutinio nekintamo koeficiento elementarųjį daliklį, antrame stulpelyje - priešpaskutinį kintamąjį koeficientą:

Nekintamieji veiksniai

Matricai C sudarome elementariųjų daliklių lentelę. Pirmajame lentelės stulpelyje rašome vienintelį paskutinio nekintamo koeficiento elementarųjį daliklį, antrame stulpelyje - priešpaskutinio koeficiento, trečiame stulpelyje -

Naudodamiesi elementariųjų daliklių lentele, sudarome Jordano matricą. Kiekvienam elementariajam dalikliui rašome atitinkamą Jordano langelį J 2 (1), J 1 (1), J 1 (1). Padėję šias ląsteles ant pagrindinės matricos įstrižainės, gauname norimą Jordano matricą:

Atsakymas:

5 pavyzdys. Sumažinkite šias matricas į normalią Jordano formą:

Sprendimas: 1. Matricai A randame normalią Jordano matricą, pateikdami ją į kanoninę formą. Charakteristinės matricos sudarymas

matricos Jordano forma

2. Sumažinkime matricą A - lE į kanoninę formą.

1) Sukeiskite pirmą ir antrą stulpelius

2) Padauginkite pirmąją eilutę iš (l - 4) ir (-1) ir pridėkite atitinkamai su antrąja ir trečia eilute

3) Pridėkite trečią ir antrą stulpelius

4) Pridėkite pirmąjį stulpelį prie antrojo, padaugindami pirmąjį stulpelį iš (l).

5) Padauginkite antrą ir trečią eilutes iš (-1), tada pakeiskite antrą ir trečią stulpelius bei antrą ir trečią eilutes

Nekintamieji matricos veiksniai

e 1 (l) = 1, e 2 (l) = l - 2

e 3 (l) = = = .

3. Naudodami gautus nekintamuosius koeficientus e 1 (l) ir e 2 (l), sudarome elementariųjų daliklių lentelę, o elementarieji dalikliai, lygūs vienetui, į lentelę neįtraukiami.

Kiekvienam elementariajam dalikliui rašome atitinkamą Jordano langelį J 1 (2), J 2 (2). Padėję šias ląsteles ant pagrindinės matricos įstrižainės, gauname norimą Jordano matricą:

J A = .

Per nepilnamečius sumažinkime matricą B į normalią Jordano formą.

1. Sudarykite charakteristikų matricą

2. Raskime kintamuosius veiksnius. Pirmosios eilės nepilnamečiai turi didžiausią daliklį

Raskime visus antros eilės nepilnamečius:

Didžiausias bendras šių daugianario daliklis

Trečios eilės minoras sutampa su matricos determinantu

det (B - lE) = =.

Paimkime didžiausią bendrą daliklį, kurio pirminis koeficientas lygus 1.

Raskime invariantinius veiksnius:

e 1 (l) = d 1 (l) = 1, e 2 (l) = =

3. Naudodamiesi gautais nekintamaisiais koeficientais e 2 (l) ir e 3 (l), sudarome elementariųjų daliklių lentelę.

4. Kiekvienam elementariajam dalikliui užrašome atitinkamą Jordano langelį J 1 (-1), J 2 (-1). Padėję šias ląsteles ant pagrindinės matricos įstrižainės, gauname norimą Jordano matricą:

J B = .

Atsakymas:

J A =

J B = .

6 pavyzdys. Parodykite, kad būdingas matricos daugianomas

jai yra niekinis.

Sprendimas. Determinanto radimas būdingas daugianario matricos A.

Vietoj kintamojo l pakeitę matricą A, gauname

A = 3 A 2 - A 3 = 3 = 3 = 0,

ką ir reikėjo parodyti.

7 pavyzdys. Raskite matricos minimalų daugianarį

Sprendimas. Pirmas būdas. 1. Sudarykite charakteristikų matricą

2. Sumažiname šią l matricą į normalią įstrižainę. Sukeiskime pirmą ir trečią eilutes. Kaip pagrindinį elementą pasirinkime vienetą, esantį kairėje viršutinis kampas matricos. Mes darome naudodami pagrindinį elementą lygus nuliui likę pirmosios eilutės ir pirmojo stulpelio elementai:

Paimame pagrindinį elementą (-l) ir visus kitus antros eilutės ir antrojo stulpelio elementus padarome lygius nuliui. Tada antrą ir trečią eilutes padauginame iš (-1), kad įstrižainių elementų pirminiai koeficientai būtų lygus vienam. Gauname įprastą įstrižainės vaizdą:

Minimalus matricos polinomas

m A (l) =e 3 (l) =.

Antras būdas. 1. Sudarome charakteringą matricą;

2. raskite charakteringąjį daugianarį

A (l) = 3l 2 - l 3.

3. Raskite charakteristikų matricos (A - lE) antros eilės minorinius. Apsiribokime nepilnamečiais, esančiais pirmose dviejose eilutėse:

M 12 12 = =, M 13 12 = = -l, M 23 12 = = l.

Likusių nepilnamečių išraiška sutampa su rastaisiais. Didžiausias bendras daugianario daliklis, (-l), l lygus l, t.y.

4. Pagal formulę

gauname:

Norėdami patikrinti, paskaičiuokime

m A (A) =A 2 -3A =

Atkreipkite dėmesį, kad minimalus daugianomas m A (A) yra naikinantis, t.y.

Atsakymas: .

8 pavyzdys.Šalies gyventojų skaičius. Suskirstykime šalies gyventojus į keturias amžiaus grupes:

(0,20], (20,40]), (40,60], (60,) metų. (1)

X(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t))

Žmonių skaičius šiose grupėse laiku t. mus domina gyventojų skaičius šiuose pogrupiuose (t.y. šalies gyventojų amžiaus struktūra) 20, 40, 60,... metų (t.y. X(20), X(40), X(60)... ). Tai apskaičiuosime iš vektoriaus X(0) koordinačių ir gimstamumo bei mirtingumo rodiklių, kuriuos paimsime kuo arčiau gyvybės.

Sukurkime lygtį ateičiai.

Po 20 metų beveik visi žmonės iš 1-os grupės pereis į antrąją. Kai kurie mirs nuo ligų, nelaimingų atsitikimų ir pan. Tegul 0,95 žmonės iš 1-os grupės pereina į antrąją grupę per 20 metų. Tai yra 1–2 grupės koeficientas:

x 2 (t + 20) = 0,95 x 1 (t). (2)

Be to, nedidelė dalis jaunimo iš šios grupės turės laiko susituokti ir susilaukti vaikų iki 20 metų, o tai suteikia I grupės indėlį į 1 grupę (po 20 metų). Tegul šis indėlis yra 0,01 1-os grupės gyventojų. O 2 ir 3 grupės taip pat prisidės prie 1 grupės (vaikų pavidalu). Tegul 2 grupės įnašo vertė = 0,5 jos skaičiaus (visi susituokę ir kiekvienoje šeimoje yra po vieną vaiką), o 3 grupės įnašas = 0,02 jos skaičiaus. Tada

X 1 (t + 20) = 0,01 x 1 (t) + 0,5 x 2 (t) + 0,02 x 3 (t). (3)

Išgyvenamumą antroje grupėje nustatykime 0,8, t.y.

X 3 (t + 20) = 0,8 x 2 (t). (4)

O 3 ir 4 grupėse atitinkamai 0,7 ir 0,4:

X 4 (t + 20) = 0,7 x 3 (t) + 0,5 x 4 (t). (5)

Pateiktus ryšius (2, 3, 4, 5) perrašome matricos forma:

X(t + 20) = AX(t). (6)

Kai įtakos koeficientų matrica A yra:

Jis sudarytas pagal principą:

įvesties numeris = stulpelio numeris,

išvesties numeris = eilutės numeris.

Taigi 1-os grupės įtakos koeficientas 2-ajai turėtų būti rašomas 1-ame stulpelyje, 2-oje eilutėje.

Pagal (6) formulę, jei operatorius A veikia gyventojų sudėtį X(t) momentu t, tada populiacijos sudėtis X(t + 20) bus gauta po 20 metų. Todėl operatorius A vadinamas pamainos operatoriumi (šioje užduotyje 20 metų pamaina).

Iš (6) formulės išplaukia, kad

X(t + 40) = AX(t + 20) = AAX(t) = A 2 X(t)

X(t + 60) = AX(t + 40) = AA 2 X(t) = A 3 X(t)

X(t + 20n) = A n X(t) (8)

Taigi, norime skaičiuoti gyventojų skaičių po 20, 40, 60,... (darant prielaidą, kad nei gimstamumas, nei mirtingumas nesikeičia) – t.y. apskaičiuokite AX(0), A 2 X(0), A 3 X(0),… Produktą

A n X(0) = AAAA…AX(0)

Galima skaičiuoti įvairiomis sekomis. Tai galite padaryti:

A(A…(AX(0))). (9)

Arba galite padaryti taip: pirmiausia A n, tada

Šioje užduotyje, jei reikia apskaičiuoti būsimą gyventojų skaičių tik keliems laiko momentams (pavyzdžiui, 200 metų į priekį), tada operacijų skaičiui sumažinti naudosime formulę (9). Bet jei norime pasirinkti skaitiniai elementai matrica A (pavyzdžiui, raskite gimstamumą, prie kurio šalies gyventojų skaičius stabilizuojasi tame pačiame lygyje), tada (10) metodas yra patogesnis. Taigi, šiandien gyventojų skaičius bus:

X 1 (0) = 30, x 2 (0) = 40, x 3 (0) = 30, x 4 (0) = 25 (milijonai žmonių).

Dabar atlikime skaičiavimus n= 2, 3...10 pagal (9) bet kurioje iš matematinių kompiuterių programų (pavyzdžiui, Mathematics, MathCAD, Maple V). Aš naudoju kai kuriuos kompiuterine programa, gauname rezultatus, kuriuos įrašome į lentelę.

Matome, kad per 200 metų šalyje, kurios gyventojų skaičius panašus į šiuolaikinė Rusija, sumažėjo iki gyventojų Leningrado sritis. Atkreipkime dėmesį į tai, kaip visuomenė sensta (pagyvenusių žmonių dalis didėja). Tai yra privalomas gyventojų skaičiaus mažėjimo veiksnys. Iš tikrųjų viskas yra daug blogiau: sumažėjus gyventojų skaičiui toje pačioje teritorijoje, jauniems žmonėms sunku susitikti ir tuoktis, mažėja šalies turtas ir dėl to blogėja. medicininė priežiūra ir tt ir tt Kitaip tariant, sumažėjus gyventojų skaičiui sumažėtų ir A lentelėje esantys skaičiai.

Palyginimui, nustatykime gimstamumą 2 grupėje skirtingai, 4 vaikų šeimoje lygiu.

Tada tie patys skaičiavimai mums suteikia:

Per 140 metų dabartinė Rusija būtų pasivijusi Kinijos milijardus gyventojų, o pusę sudarytų jauni žmonės.

Natūralu, kad jei mus domintų tik tokia paprasta prognozė, galėtume apsiriboti paprastas skaičiavimas pagal (9) ir Jordano formos teorijos nereikėtų. Bet mus domina galimybė valdyti procesą, neleidžiant žūti šaliai ar katastrofiškai nepadaugėti gyventojų. Todėl mus domina trys klausimai:

· Ar galima stabilizuoti gyventojų skaičių pasirenkant gimstamumą (lengviau jį padidinti, nei sumažinti mirtingumą);

· koks turėtų būti gimstamumas, kad šalies gyventojų skaičius stabilizuotųsi;

· kaip bus suformuota populiacijos struktūra (santykis tarp jaunimo ir pagyvenusių žmonių), esant pastoviam gyventojų skaičiui (šis santykis lemia, kiek pensininkų turi išmaitinti kiekvienas dirbantis darbuotojas, todėl kartu su darbo našumu lemia ir gyvenimo lygį ).

Skaitinis eksperimentas, tai yra tokių lentelių apskaičiavimas įvairių dydžių gimstamumo rodiklis pagal (9), galbūt, leis pasirinkti gimstamumo reikšmę. Bet mes gausime rezultatą su mums nežinoma klaida dėl to, kad neįmanoma atlikti skaičiavimų neribotą laiką ir dėl sunkumų suprasti skaičių elgesį atskiros grupės. Iš tiesų: vertės x 3 (t) ir x 4 (t) in paskutinė lentelė dvejoti. Jei šiek tiek pakeisite vaisingumo parametrą, svyravimai šiek tiek pasikeis.

Pagal (8), mūsų šalies gyventojų skaičius per 20n metų yra lygus

X(20n) = A n X(0), (12)

Kur matrica A pateikta (7). Mes tai žinome

A n = S J n S -1 (13)

Kur S yra perėjimo į naują pagrindą matrica, susidedanti iš pastovūs skaičiai, o J yra Jordano normalioji matricos A forma.

Norėdami apskaičiuoti J, mums reikia matricos A savųjų reikšmių. Skaičiavimams naudojame kompiuterį. Klevas V mūsų matricai A pateikia keturias savąsias reikšmes:

l 1 = 0,7095891332

l 2 = - 0,667497875

l 4 = - 0,0320912582

Kadangi skirtingų savųjų reikšmių skaičius yra 4, tai reiškia, kad visos Jordano ląstelės matricoje J turi 1 eilę, t.y. matrica J yra grynai įstrižainė, o jos n-oji galia turi tokią formą:

Taigi gauname (12):

X(20n) = l 1 n V + l 2 n V + l 3 n V + l 4 n V, (14)

kur raidės V žymi kai kuriuos skaitinius (pastovius) stulpelių vektorius.

(14) formulės struktūra parodo X elgseną didėjant n. Visi terminai mažėja dėl to, kad savosios reikšmės yra mažesnės nei 1 absoliučia verte, t.y. X linkęs į 0 vektorių. Paskutiniai trys terminai mažėja greičiau nei pirmasis. Dėl pakankamai didelių n pirmasis terminas bus pagrindinis šios sumos terminas. Antrasis narys mažėja greičiau nei pirmasis, bet dėl ​​antrosios savosios reikšmės neigiamumo jis arba pridedamas prie pirmosios (net n), arba iš jo atimama (nelyginiam n), tai yra sukuria slopinami svyravimai elgsenoje X. Šie svyravimai atitinka tikrovę, nes šių svyravimų ciklą lemia savavališkai pasirinktas intervalas (20 metų). Suskirstant gyventojus į didesnis skaičius amžiaus grupėse neigiamos savosios vertės sukeltų virpesius trumpesniu laikotarpiu.

Jei yra didelis gimstamumas, X(20n) formulė vis tiek turi formą (14), tačiau joje bus kitos didesnės savosios reikšmės. Esant dideliam gimstamumui, pirmoji savoji reikšmė yra didesnė už vieną, todėl mes stebime eksponentinis augimas gyventojų.

Iš to, kas parašyta aukščiau, galime daryti išvadą: jei norime stabilizuoti šalies gyventojų skaičių, gimstamumą reikia parinkti taip, kad pirmoji savoji reikšmė būtų lygi 1, o visos kitos savivertės absoliučiai būtų mažesnės už 1 Tai užtikrins, kad paskutiniai trys lygties nariai būtų lygūs (14), o tada V 1 bus norima stabili populiacijos būsena.

Toliau pasirinksime gimstamumą. Grįžkime prie (7) pateiktos matricos A. 2 grupės (pirma eilė, antra stulpelis) vaikų gimstamumo rodiklis bus pakeistas raide g. Kaip žinoma, matricos A savoji reikšmė turi būti jai būdingos lygties šaknis. Kadangi mums reikia l = 1, apskaičiuojame determinantą det(A - E).

Mes gauname

det = 0,584880 - 0,57006 g

o iš lygybės det = 0 randame g = 1.026. Šią gimstamumo reikšmę pakeičiame A matrica (1 eilutė, 2 stulpelis) ir vėl apskaičiuojame šalies gyventojų skaičių 200 metų intervalu, naudodami (9).

Jie 200 metų pakoregavo gimstamumą taip, kad užtikrintų šalies gyventojų stabilumą. Ji svyruoja apie 130 mln. Atskirų grupių skaičiaus svyravimai yra gana dideli. Šių svyravimų priežastis yra ta, kad matrica A dabar turi dvi savąsias reikšmes, modulio artimas vienai, ir viena iš jų yra neigiama. Tai yra, mes turime tokį rezultatą

X(20n) = V 1 + (-1) n V 2 + l 3 n V 3 + l 4 n V 4 , (15)

Paskutiniai du terminai mažėja didėjant n dėl to, kad trečiosios ir ketvirtosios savųjų reikšmių absoliučios reikšmės yra mažesnės nei 1. O antrasis narys užtikrina, kad X svyruoja nuo reikšmės V 1 - V 2 iki vertės V 1 + V 2 ir atgal.

Atsižvelgiant į apytikslę g reikšmę, matrica A neturi savosios reikšmės, tiksliai lygios 1. Todėl grupių dydis šių didelių svyravimų fone kinta lėtai. Žinoma, galite pabandyti pakoreguoti vaisingumą, kad pasiektumėte savąją reikšmę, kuri dar tiksliau lygi 1, ir tada sužinoti, kiek antroji savoji reikšmė yra arti (-1). Tačiau, žinoma, nėra prasmės išaiškinti šios problemos savąsias reikšmes, nes pradines vertes o pati matrica A pateikta su didele paklaida (o tikslus vaisingumo ir mirtingumo matavimas iš principo nesuteikia pagrindo tiksliems skaičiavimams, nes jų neįmanoma pataisyti). Tobulinant šį modelį reikėtų atsižvelgti į kitas visuomenės priklausomybes. Tačiau grynai teoriniu požiūriu mes išsprendėme ribos egzistavimo klausimą (14): jei viena iš savųjų reikšmių yra lygi 1, o likusios yra mažesnės absoliučia verte, tada riba egzistuoja.

Išvada

Matricos pirmą kartą paminėtos m senovės Kinija, tada vadinamas „stebuklinguoju kvadratu“. Pagrindinis matricų taikymas buvo tiesinių lygčių sprendimas. Taip pat magiškuosius kvadratus kiek vėliau pažinojo arabų matematikai, maždaug tada atsirado matricų sudėjimo principas. XVII amžiaus pabaigoje sukūręs determinantų teoriją, Gabrielis Crameris (1704–1752) pradėjo plėtoti savo teoriją XVIII amžiuje ir paskelbė Cramerio valdymą 1751 m. Maždaug tuo pačiu laikotarpiu atsirado „Gausso metodas“. Matricos teorija prasidėjo XIX amžiaus viduryje Williamo Hamiltono ir Arthuro Cayley darbais. Fundamentalūs matricų teorijos rezultatai priklauso Karlui Weierstrassui (1815 - 1897), Jordanui, Frobeniui (1849 - 1917). Terminą matrica sukūrė Jamesas Sylvesteris 1850 m.

Matricos yra visur. Pavyzdžiui, daugybos lentelė yra matricų sandauga. Fizikoje ar kt taikomieji mokslai matricos yra duomenų įrašymo ir jų transformavimo priemonė. Programuojant – rašant programas. Jie taip pat vadinami masyvais. Plačiai naudojamas technikoje. Pavyzdžiui, bet koks paveikslėlis ekrane yra dvimatė matrica, kurios elementai yra taškų spalvos. Psichologijoje termino supratimas yra panašus į šį terminą matematikoje, bet vietoj to matematiniai objektai tam tikras" psichologiniai objektai“ – pavyzdžiui, testai. Be to, matricos plačiai naudojamos ekonomikoje, biologijoje, chemijoje ir net rinkodaroje. Taip pat yra abstraktus modelis - santuokų teorija primityvi visuomenė, kur matricų pagalba buvo parodytos leistinos santuokos galimybės konkrečios genties atstovams ir net palikuonims.

Matematikoje matricos plačiai naudojamos kompaktiškai rašyti SLAE arba sistemas diferencialines lygtis. Matricos aparatas leidžia sumažinti SLAE sprendimą iki operacijų su matricomis.

Jordano normalioji matricos forma naudojama apskaičiuojant gyventojų skaičių, kuris bus šalyje, regione ar pasaulyje po tam tikro laiko. Tokia matrica suteikia supratimą apie gyventojų skaičiaus pokyčius priklausomai nuo konkrečių sąlygų: gimstamumo ir mirtingumo, neleidžiant nei šaliai žūti, nei katastrofiškai padidėti gyventojų skaičiui.

Matricos teorija nereikalinga mokyklos mokymo programa studijuoja matematiką. Mokyklose, kuriose yra išplėstinės matematikos klasės, pagrindinės matricos teorijos sąvokos dėstomos paviršutiniškai. Matricos plačiau aptariamos studijuojant aukštąją matematiką.

Darbą galima rekomenduoti studentams plėsti savo žinias matricos teorijos srityje, aukštųjų mokyklų studentams ir matematikos mokytojams susipažinti su bendrosios sąvokos matricos teoriją kaip dalį savo matematinio horizonto išplėtimo.

Darbe iškelti uždaviniai išspręsti, tikslas pasiektas.

Naudotos literatūros sąrašas

1. Kvashko, L. P. Tiesinės algebros pagrindai: vadovėlis. pašalpa / L. P. Kvaško. - Chabarovskas: leidykla DVGUPS, 2012. - 78 p. : serga.

2. Rašytiniai, D. T. Paskaitų konspektai apie aukštoji matematika: [2 val.]. 1 dalis / D. T. Parašyta. - 6-asis leidimas. - M.: Iris-press, 2006. - 288 p.: iliustr.

3. Mishina, A. P. Aukštoji algebra. / I. V. Proskuryakovas. - M., Fizmatlit, 1962. - 300 p.

4. Romannikovas, A.N. Tiesinė algebra: Vadovėlis. vadovas // Maskva valstybinis universitetas ekonomika, statistika ir informatika. - M., 2003. - 124 p.

5. Okunev, L. Ya aukštoji algebra. / L. Okunevas. - M.: Išsilavinimas, 1966. - 335 p.

6. Faddejevas, D.K. Paskaitos apie algebrą: Proc. pašalpa./ D.K. Faddejevas.-4-as leid., ištrintas..- Sankt Peterburgas: Lan, 2005.- 416 p. - (Vadovėliai universitetams. Specialioji literatūra. Geriausi klasikiniai vadovėliai. Matematika).

7. Butuzov, V.F. Tiesinė algebra klausimais ir uždaviniuose: vadovėlis. pagalba studentams universitetai/ V.F. Butuzovas – 3 leid., pataisyta – Sankt Peterburgas: Lan, 2008. – 256 p. - (Vadovėliai universitetams. Specialioji literatūra).

8. Voevodin, V.V. Tiesinė algebra: vadovėlis. pašalpa/ V.V. Voevodin.-4-as leid., ištrintas..- Sankt Peterburgas: Lan, 2008.- 416 p. -(Vadovėliai universitetams. Specialioji literatūra)

9. Kurosh, A. G. Aukštosios algebros kursas: vadovėlis. pašalpa./ A.G. Kurošas. 17 leid., - Sankt Peterburgas: Lan Publishing House, 2008. - 432 p.: iliustr. - (Vadovėliai universitetams. Specialioji literatūra).

10. Gelfand, I.M. Paskaitos apie tiesinė algebra./ I.M. Gelfandas. - 5-asis leidimas, red. - M.: Dobrosvet, Maskvos tęstinio centro centras matematikos išsilavinimą, 1998. - 320 p.

11. Maltsevas, A.I. Tiesinės algebros pagrindai: vadovėlis. pašalpa./A.I. Malcevas. 5 leidimas, ištrintas. - Sankt Peterburgas: Lan Publishing House, 2009. - 480 p.: iliustr. - (Vadovėliai universitetams. Specialioji literatūra).

12. Gantmakher, F. R. Matricų teorija. Vadovėlis vadovas universitetams./ F.R. Gantmakheris, – M. Mokslas. 1967. - 576 p.

13. Algebros paskaitos. 2 semestras. II laida. Jordano normalioji matricos forma: Mokomasis ir metodinis vadovas/ S.N. Troninas. -- Kazanė: Kazansky (Privolzhsky) federalinis universitetas, 2012. - 78 p.

14. Van der Waerden B.L. Algebra / B.L. van der Waerden; Per. su juo. A.A. Belskis.-3 leid., ster.- Sankt Peterburgas: Lan, 2004.- 624 p.

15. Alferova, Z.V. Algebra ir skaičių teorija. Edukacinis ir metodinis kompleksas/ Z.V. Alferova, E.L. Baliukevičius, A.N. Romannikovas. - M.: Eurazijos atvirasis institutas, 2011. - 279 p.

16. Lancaster, P., Matricų teorija / P. Lancaster - M.: „Mokslas“ 1973, 280 p.

17. Schreyer O. Matricų teorija / E. Sperner. - L.: ONTI, 1936. - 156 p.

18. Shneperman, L.B. Algebros ir skaičių teorijos uždavinių rinkinys: vadovėlis. pašalpa./ L.B. Shneperman.-3-ias leidimas, ištrintas..- Sankt Peterburgas: Lan, 2008.- 224 p. -(Vadovėliai universitetams. Specialioji literatūra).

19. Proskuryakov, I. V. Tiesinės algebros uždavinių rinkinys. Vadovėlis pašalpa / I.V. Proskurjakovas. – 13 leid., ištrintas. - Sankt Peterburgas: leidykla "Lan", 2010. - 480 p. -- (Vadovėliai universitetams. Specialioji literatūra).

20. Algebros uždavinių rinkinys: uždavinių knyga / red. A.I. Kostrikina. - M.: MTsNMO, 2009. - 404 p.

21. Suškova M. V. Matematika universitete / Sankt Peterburgo valstybinio politechnikos universiteto interneto žurnalas. - 2002. - Nr. 2. - URL: https://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_002/Sushkova/par_02.html.

Paskelbta Allbest.ru

Panašūs dokumentai

Pagrindinės operacijos su matricomis ir jų savybės. Matricų sandauga arba matricų daugyba. Blokų matricos. Determinanto samprata. Matricos įrankių juosta. Perkėlimas. Daugyba. Kvadratinės matricos determinantas. Vektorinis modulis.

santrauka, pridėta 2003-06-04


Matricų ir jų tipų naudojimas (lygus, kvadratas, įstrižainė, vienetas, nulis, eilutės vektorius, stulpelio vektorius). Veiksmų su matricomis (matricų daugyba iš skaičiaus, sudėtis, atėmimas, daugyba ir perkėlimas) pavyzdžiai ir gautų matricų savybės.

pristatymas, pridėtas 2013-09-21


Įrašymo forma ir sistemos sprendimo būdai algebrines lygtis su n nežinomųjų. Vektorių ir matricų daugyba ir normos. Matricinių determinantų savybės. Savosios vertybės ir savieji vektoriai. Naudojimo pavyzdžiai skaitinės charakteristikos matricos

santrauka, pridėta 2009-12-08


Matricų samprata, tipai ir algebra. Kvadratinės matricos determinantai ir jų savybės, Laplaso teorema ir panaikinimas. Koncepcija atvirkštinė matrica ir jo unikalumas, konstravimo algoritmas ir savybės. Tik kvadratinių matricų tapatybės matricos apibrėžimas.

santrauka, pridėta 2010-12-06


Stačiakampių ir vienetinė matrica. Pagrindiniai matricų determinantai. Apibrėžimas kompleksinis kvadratas neišsigimęs ir vienaskaitos matricos. Determinanto radimo metodai. Dodgsono kondensacijos metodas. Pasvirusi simetriška polilinijinės eilutės funkcija.

kursinis darbas, pridėtas 2015-04-06


Įmonės piniginių sąnaudų gaminiams gaminti apskaičiavimas, išreiškiant jų vertę matricomis. Lygčių sistemos suderinamumo patikrinimas ir jų sprendimas naudojant Cramerio formules ir naudojant atvirkštinę matricą. Algebrinių lygčių sprendimas Gauso metodu.

testas, pridėtas 2014-09-28


Algebrinių matricų grupių, klasikinių matricų grupių pavyzdžiai: bendroji, specialioji, simplektinė ir ortogonalioji. Algebrinės grupės komponentai. Matricos rangas, grįžimas prie lygčių, suderinamumas. Tiesiniai atvaizdavimai, operacijos su matricomis.

kursinis darbas, pridėtas 2009-09-22


Apverčiamosios matricos virš lauko Zp. 2 eilės apverčiamųjų matricų skaičiavimo formulė. 3 eilės apverčiamųjų matricų skaičiavimo formulė. Bendroji formulė apverčiamųjų matricų skaičiavimas per lauką Zp. Apverčiamosios matricos virš Zn.

baigiamasis darbas, pridėtas 2007-08-08


Skaičiavimo metodas taškinis produktas duoti vektoriai. Matricų determinantų ir eilių skaičiavimas, atvirkštinių matricų radimas. Lygčių skyrimas naudojant Cramerio metodą, atvirkštinę matricą ir integruotą lsolve funkciją. Gautų rezultatų analizė.

laboratorinis darbas, pridėtas 2014-10-13


Pagrindiniai veiksmai virš matricų. Sprendimas matricines lygtis naudojant atvirkštinę matricą ir naudojant elementarios transformacijos. Atvirkštinių ir transponuotų matricų sąvokos. Matricinių lygčių sprendimas įvairių tipų: AX=B, HA=B, AXB=C, AX+XB=C, AX=HA.