Pradžia rusų literatūra 

Kvadratinė forma n kintamųjų f(x 1, x 2,...,x n) yra suma, kurios kiekvienas narys yra arba vieno iš kintamųjų kvadratas, arba dviejų skirtingų kintamųjų sandauga, paimta su tam tikru koeficientu: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji). Iš šių koeficientų sudaryta matrica A vadinama kvadratinės formos matrica. Tai visada

simetriškas matrica (t. y. pagrindinei įstrižainei simetriška matrica, a ij =a ji). IN

matricos žymėjimas

kvadratinė forma yra f(X) = X T AX, kur Tikrai Pavyzdžiui, įsirašykime

matricos forma

kvadratine forma.

Norėdami tai padaryti, randame kvadratinės formos matricą. Jo įstrižainės yra lygūs kvadratinių kintamųjų koeficientams, o likę elementai lygūs kvadratinės formos atitinkamų koeficientų pusėms. Štai kodėl

Tegu kintamųjų X matrica-stulpelis gaunamas nedegeneruota tiesine matricos-stulpelio Y transformacija, t.y. X = CY, kur C yra n-osios eilės vienaskaita matrica. Tada kvadratinė forma f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Taigi su neišsigimusia tiesine transformacija C kvadratinės formos matrica įgauna tokią formą: A * =C T AC. Pavyzdžiui, suraskime kvadratinę formą f(y 1, y 2), gautą iš kvadratinės formos f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 tiesine transformacija. Kvadratinė forma vadinama kanoninis(turi

kanoninis požiūris

), jei visi jo koeficientai ij = 0, kai i≠j, t. y. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = . Jo matrica yra įstrižainė.

Teorema (įrodymas čia nepateiktas). Bet kuri kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos, naudojant neišsigimusią tiesinę transformaciją. Pavyzdžiui, veskime prie

kanoninė forma kvadratinė forma f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3. Norėdami tai padaryti, pirmiausia pasirenkame

tobulas kvadratas

su kintamuoju x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) – (5/100) x 3 2 = = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 – (1/20) x 3 2.

Tada neišsigimęs tiesinė transformacija y 1 = x 1 + x 2 , y 2 = x 2 – (1/10) x 3 ir y 3 = x 3 suteikia šią kvadratinę formą į kanoninę formą f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 – 5 m. 2 2 – (1/20) m 3 2 .

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės formos kanoninė forma nustatoma dviprasmiškai (ta pati kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos įvairiais būdais 1). Tačiau gautas įvairiais būdais kanoninės formos turi nemažai bendrųjų savybių. Visų pirma, dėmenų, turinčių teigiamus (neigiamus) kvadratinės formos koeficientus, skaičius nepriklauso nuo formos sumažinimo iki šios formos metodo (pavyzdžiui, nagrinėjamame pavyzdyje visada bus du neigiami ir vienas teigiamas koeficientas). Ši savybė vadinama kvadratinių formų inercijos dėsnis.

Patvirtinkime tai, perkeldami tą pačią kvadratinę formą į kanoninę formą kitu būdu. Transformaciją pradėkime nuo kintamojo x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3 (x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 – (1/6) x 3 – (2) /3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, kur y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ir y 3 = x 1 . Čia yra teigiamas koeficientas 2 y 3 ir du neigiami koeficientai (-3) y 1 ir y 2 (ir naudojant kitą metodą, mes gavome teigiamą koeficientą 2 y 1 ir du neigiamus - (-5) y 2 ir (-1/20) y 3).

Taip pat reikia pažymėti, kad kvadratinės formos matricos rangas, vadinamas kvadratinės formos rangas, lygus skaičiui nenulinių koeficientų kanoninė forma ir nesikeičia tiesinių transformacijų metu.

Vadinama kvadratinė forma f(X). teigiamai(neigiamas)tam tikras, jei visoms kintamųjų reikšmėms, kurios vienu metu nėra nulis, jis yra teigiamas, t. y. f(X) > 0 (neigiamas, t. y. f(X)< 0).

Pavyzdžiui, kvadratinė forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 yra teigiama apibrėžtoji, nes yra kvadratų suma, o kvadratinė forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 yra neigiama apibrėžtoji, nes reiškia, kad jis gali būti pavaizduotas formaf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Daugumoje praktinių situacijų yra šiek tiek sunkiau nustatyti kvadratinės formos apibrėžtąjį ženklą, todėl tam naudojame vieną iš šių teoremų (suformuluosime jas be įrodymų).

), jei visi jo koeficientai ij = 0, kai i≠j, t. y. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .. Kvadratinė forma yra teigiama (neigiama) apibrėžta tada ir tik tada, kai viskas savąsias reikšmes jo matricos yra teigiamos (neigiamos).

Teorema (Sylvesterio kriterijus). Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai visi šios formos matricos pirmaujantys minorai yra teigiami.

Pagrindinis (kampinis) nepilnametis An-osios eilės k-osios eilės matricos vadinamos matricos determinantu, sudarytą iš pirmųjų k matricos A () eilučių ir stulpelių.

Atkreipkite dėmesį, kad neigiamoms apibrėžtinėms kvadratinėms formoms kaitaliojasi pagrindinių nepilnamečių ženklai, o pirmos eilės minorinis turi būti neigiamas.

Pavyzdžiui, panagrinėkime kvadratinę formą f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 ženklų apibrėžtumui.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 – 2- 3+ 2) – 4 = 2 – 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Todėl kvadratinė forma yra teigiama.

2 metodas. Matricos pirmos eilės pagrindinis minoras A  1 =a 11 = 2 > 0. Antrosios eilės pagrindinis minoras  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Todėl pagal Sylvesterio kriterijų kvadratinis forma yra teigiama.

Nagrinėjame kitą kvadratinę ženklo apibrėžtumo formą, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1 būdas. Sukurkime kvadratinės formos A = matricą. Charakteristinė lygtis atrodys = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Todėl kvadratinė forma yra neigiama apibrėžta.

2 metodas. Matricos A  1 =a 11 = = -2 pirmosios eilės pagrindinis minoras< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Todėl pagal Sylvesterio kriterijų kvadratinė forma yra neigiama apibrėžtoji (didžiųjų minorų ženklai kaitaliojasi, pradedant minusu).

Ir kaip kitą pavyzdį nagrinėjame ženklo nulemtą kvadratinę formą f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1 būdas. Sukurkime kvadratinės formos A = matricą. Būdingoji lygtis turės formą = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Vienas iš šių skaičių yra neigiamas, o kitas – teigiamas. Savųjų reikšmių ženklai yra skirtingi. Vadinasi, kvadratinė forma negali būti nei neigiama, nei teigiama apibrėžtoji, t.y. ši kvadratinė forma nėra apibrėžta ženklu (ji gali turėti bet kurio ženklo reikšmes).

2 metodas. Matricos A pirmos eilės pagrindinis minoras  1 =a 11 = 2 > 0. Antrosios eilės pagrindinis minoras 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Nagrinėjamas kvadratinės formos redukavimo į kanoninę formą patogu naudoti, kai su kintamųjų kvadratais susiduriama su nuliniais koeficientais. Jei jų nėra, vis tiek galima atlikti konversiją, tačiau turite naudoti kitus metodus. Pavyzdžiui, tegul f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2 x 1 x 2 = (x 1) + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 – x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, kur y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Apibrėžimas. Kvadratinė forma vadinama teigiama apibrėžtąja, jei visos jos vertės tikrosioms kintamųjų reikšmėms, kurios vienu metu nėra nulis, yra teigiamos. Akivaizdu, kad kvadratinė forma yra teigiama.

Apibrėžimas. Kvadratinė forma vadinama neigiama apibrėžtąja, jei visos jos reikšmės yra neigiamos, išskyrus nulinę reikšmę, kai kintamųjų reikšmės nėra nulinės.

Apibrėžimas. Sakoma, kad kvadratinė forma yra teigiama (neigiama) pusiau apibrėžta, jei ji neturi neigiamų (teigiamų) reikšmių.

Kvadratinės formos, atsižvelgiant tiek teigiamas, tiek neigiamos reikšmės, vadinami neapibrėžtais.

At n=1 kvadratinė forma yra arba teigiama apibrėžtoji (ties ), arba neigiama apibrėžtoji (ties ). Neapibrėžtos formos pasirodyti .

), jei visi jo koeficientai ij = 0, kai i≠j, t. y. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .(Sylvesterio testas teigiamam kvadratinės formos apibrėžtumui). Kad kvadratinė forma

buvo teigiamai apibrėžtas, būtina ir pakanka, kad būtų įvykdytos šios sąlygos:

.

Įrodymas. Mes naudojame indukciją kintamųjų, įtrauktų į , skaičiui. Jei kvadratinė forma priklauso nuo vieno kintamojo, o teoremos teiginys akivaizdus. Tarkime, kad teorema teisinga kvadratinei formai priklausomai nuo n-1 kintamasis.

1. Būtinumo įrodymas. Leiskite

teigiamas apibrėžtas. Tada kvadratinė forma

bus teigiamas neabejotinas, nes jei , Tada ne .

Pagal indukcijos hipotezę visos didžiosios formos minorinės yra teigiamos, t.y.

.

Belieka tai įrodyti.

Teigiama apibrėžtoji kvadratinė forma neišsigimusia tiesine transformacija X = BY sumažintas iki kanoninės formos

Kvadratinė forma atitinka įstrižainę matricą

su determinantu.

Tiesinė transformacija, apibrėžta ne vienaskaitos matrica IN, transformuoja matricą SU kvadratinę formą į matricą. Bet kadangi kad .

2. Pakankamumo įrodymas. Tarkime, kad visi kvadratinės formos pirmaujantys nepilnamečiai yra teigiami: .

Įrodykime, kad kvadratinė forma yra teigiama apibrėžtoji. Indukcijos prielaida reiškia teigiamą kvadratinės formos apibrėžtumą . Štai kodėl neišsigimusios tiesinės transformacijos būdu redukuojamas į normalią formą. Atlikę atitinkamą kintamųjų pakeitimą ir įdėję , gauname

Kur - kai kurie nauji koeficientai.

Atlikdami kintamųjų keitimą, gauname

.

Šios kvadratinės formos matricos determinantas yra lygus , Ir kadangi jo ženklas sutampa su ženklu , tada , taigi ir kvadratinė forma - teigiamas konkretus. Teorema įrodyta.

Kad kvadratinė forma būtų neigiama apibrėžtoji, būtina ir pakanka to

buvo teigiamas apibrėžtas, o tai reiškia, kad visi pagrindiniai matricos minorai

buvo teigiami. Bet tai reiškia, kad

tie. kad matricos pagrindinių nepilnamečių požymiai C pakaitomis, pradedant minuso ženklu.

Pavyzdys. Apskaičiuokite, ar kvadratinė forma yra teigiama (neigiama) apibrėžtoji ar neapibrėžta.

Sprendimas. Kvadratinės formos matrica turi tokią formą:

.

Apskaičiuokime pagrindinius matricos minorus SU:

Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta.

Sprendimas. Apskaičiuokime pagrindinius matricos minorus

Kvadratinė forma yra neapibrėžta.

Baigdami suformuluojame tokią teoremą.

), jei visi jo koeficientai ij = 0, kai i≠j, t. y. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .(kvadratinių formų inercijos dėsnis). Teigiamųjų ir neigiamų normaliosios formos kvadratų skaičius, iki kurių kvadratinė forma sumažinama neišsigimusiomis tiesinėmis transformacijomis, nepriklauso nuo šių transformacijų pasirinkimo.

7.5. Užduotys skirtos savarankiškas darbas apie 7 skyrių

7.1. Įrodykite, kad jei kvadratinė forma su matrica A yra teigiamas apibrėžtasis, tada kvadratinė forma su atvirkštinė matrica teigiamas apibrėžtas.

7.2. Rasti normali išvaizda rajone realūs skaičiai

7.3. Raskite normaliąją formą realiųjų skaičių srityje

Vienalytis kelių kintamųjų 2 laipsnio daugianomas vadinamas kvadratine forma.

Kvadratinė kintamųjų forma susideda iš dviejų tipų terminų: kintamųjų kvadratų ir jų porinių sandaugų su tam tikrais koeficientais. Kvadratinė forma paprastai rašoma kaip tokia kvadratinė diagrama:

Poros panašių narių rašomi su vienodais koeficientais, kad kiekvienas iš jų sudarytų pusę koeficiento su atitinkama kintamųjų sandauga. Taigi kiekviena kvadratinė forma yra natūraliai susijusi su jos koeficientų matrica, kuri yra simetriška.

Kvadratinę formą patogu pavaizduoti tokia matricos žyma. X pažymėkime kintamųjų stulpelį per X - eilutę, t.y. matricą, transponuotą X. Tada

Kvadratinės formos randamos daugelyje matematikos šakų ir jos pritaikymų.

Skaičių teorijoje ir kristalografijoje kvadratinės formos nagrinėjamos darant prielaidą, kad kintamieji turi tik sveikąsias reikšmes. IN analitinė geometrija kvadratinė forma yra eilės kreivės (arba paviršiaus) lygties dalis. Atrodo, kad mechanikoje ir fizikoje kvadratinė forma išreiškiama kinetinė energija sistemas per apibendrintų greičių dedamąsias ir pan. Bet, be to, kvadratinių formų tyrimas būtinas ir analizuojant daugelio kintamųjų funkcijas, kurių sprendimui svarbu išsiaiškinti, kaip šią funkciją esantis šalia nurodyto taško nukrypsta nuo artėjančio prie jo tiesinė funkcija. Tokio tipo problemos pavyzdys yra funkcijos maksimalaus ir minimumo tyrimas.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, dviejų kintamųjų funkcijos, turinčios nuolatines dalines išvestines, didžiausio ir minimumo tyrimo problemą. Būtina sąlyga Kad taškas duotų funkcijos maksimumą arba minimumą, taško eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui. Suteikime kintamiesiems x ir y mažus prieaugius ir k ir apsvarstykime atitinkamą funkcijos prieaugį. Pagal Taylor formulę šis prieaugis iki mažų aukštesnių laipsnių yra lygus kvadratinei formai, kur yra antrųjų išvestinių reikšmės. apskaičiuojamas taške Jei ši kvadratinė forma yra teigiama visoms ir k reikšmėms (išskyrus ), tada funkcija taške turi minimumą, jei ji yra neigiama, tada ji turi maksimumą. Galiausiai, jei forma turi ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes, tada nebus nei maksimumo, nei minimumo. Funkcijos iš daugiau kintamieji.

Kvadratinių formų tyrimas daugiausia susideda iš formų lygiavertiškumo vienos ar kitos kintamųjų tiesinių transformacijų rinkinio atžvilgiu problemos. Sakoma, kad dvi kvadratinės formos yra lygiavertės, jei vieną iš jų galima paversti kita per vieną iš tam tikros aibės transformacijų. Su lygiavertiškumo problema glaudžiai susijusi ir formos redukavimo problema, t.y. paverčiant jį kokia nors galbūt paprasčiausia forma.

simetriškas įvairių klausimų siejami su kvadratinėmis formomis, taip pat nagrinėjamos įvairios leistinų kintamųjų transformacijų rinkiniai.

Analizės klausimais naudojamos bet kokios neypatingos kintamųjų transformacijos; analitinės geometrijos tikslais didžiausias susidomėjimas yra stačiakampės transformacijos, ty tie, kurie atitinka perėjimą iš vienos kintamųjų sistemos Dekarto koordinatėsį kitą. Galiausiai skaičių teorijoje ir kristalografijoje nagrinėjamos tiesinės transformacijos su sveikųjų skaičių koeficientais ir determinantu, lygiu vienybei.

Išnagrinėsime dvi iš šių problemų: klausimą dėl kvadratinės formos redukavimo į paprasčiausią formą naudojant bet kokias nevienaskaites transformacijas ir tą patį klausimą dėl stačiakampių transformacijų. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip tiesinės kintamųjų transformacijos metu transformuojama kvadratinės formos matrica.

Tegu , kur A yra simetrinė formos koeficientų matrica, X yra kintamųjų stulpelis.

Atlikime tiesinę kintamųjų transformaciją, sutrumpintą užrašydami kaip . Čia C žymi šios transformacijos koeficientų matricą, X – naujų kintamųjų stulpelį. Tada ir todėl transformuotos kvadratinės formos matrica yra tokia

Matrica automatiškai pasirodo simetriška, kurią lengva patikrinti. Taigi kvadratinės formos redukavimo iki paprasčiausios formos problema yra lygiavertė simetrinės matricos redukavimo į paprasčiausią formą problemai, padauginus ją kairėje ir dešinėje iš tarpusavyje perkeltų matricų.

Kvadratinės formos.
Ženklo formų apibrėžtumas. Sylvesterio kriterijus

Būdvardis „kvadratinis“ iš karto rodo, kad kažkas čia yra susijęs su kvadratu (antrasis laipsnis), ir labai greitai mes sužinosime šį „kažką“ ir kokia forma. Paaiškėjo, kad tai liežuvis :)

Sveiki atvykę į mano naują pamoką ir kaip apšilimą pažvelgsime į dryžuotą formą linijinis. Linijinė forma kintamieji paskambino vienalytis 1-ojo laipsnio daugianario:

- kai kurie konkretūs skaičiai * (manome, kad bent vienas iš jų yra ne nulis), a yra kintamieji, kurie gali turėti savavališkas reikšmes.

* Šios temos rėmuose mes tik apsvarstysime realūs skaičiai .

Su terminu „homogeniškas“ jau susidūrėme pamokoje apie vienarūšės tiesinių lygčių sistemos, ir viduje šiuo atveju tai reiškia, kad daugianario pliuso konstanta nėra.

Pavyzdžiui: – dviejų kintamųjų tiesinė forma

Dabar forma yra kvadratinė. Pradžia kintamieji paskambino vienalytis 2 laipsnio daugianario, kurių kiekvienas terminas yra arba kintamojo kvadratas, arba dvejetai kintamųjų sandauga. Taigi, pavyzdžiui, dviejų kintamųjų kvadratinė forma yra tokia:

Dėmesio! Tai standartinis žymėjimas, ir nieko jame keisti nereikia! Nepaisant „baisios“ išvaizdos, čia viskas paprasta - dvigubi konstantų indeksai rodo, kurie kintamieji į kurį terminą įtraukti:
– šiame termine yra sandauga ir (kvadratas);
- štai darbas;
– Ir štai darbas.

– Iš karto numatau grubią klaidą, kai jie praranda koeficiento „minusą“, nesuprasdami, kad tai reiškia terminą:

Kartais dvasioje yra "mokyklos" dizaino variantas, bet tik kartais. Beje, atkreipkite dėmesį, kad konstantos čia mums visiškai nieko nesako, todėl sunkiau atsiminti „lengvą užrašą“. Ypač kai yra daugiau kintamųjų.

Ir kvadratinis forma iš trijų kintamieji jau turi šešis narius:

...kodėl „du“ veiksniai pateikiami „mišriais“ terminais? Tai patogu, ir netrukus paaiškės, kodėl.

Tačiau bendroji formulė Užsirašykime, patogu sudėti kaip „lapą“:

- mes atidžiai studijuojame kiekvieną eilutę - tame nėra nieko blogo!

Kvadratinėje formoje yra terminai su kintamųjų kvadratais ir terminai su jų poromis (cm. kombinacinė derinio formulė) . Nieko daugiau - jokio „vienišo X“ ir jokios papildomos konstantos (tada gausite ne kvadratinę formą, o nevienalytis 2-ojo laipsnio daugianario).

Kvadratinės formos matricinis žymėjimas

Priklausomai nuo reikšmių, nagrinėjama forma gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes, ir tas pats pasakytina apie bet kurią linijinę formą – jei bent vienas jos koeficientas skiriasi nuo nulio, tada jis gali būti teigiamas arba neigiamas (priklausomai nuo vertybes).

Ši forma vadinama kintamasis ženklas. O jei su linijinė forma viskas yra skaidru, tada su kvadratine forma viskas yra daug įdomiau:

Visiškai aišku, kad ši forma gali įgyti bet kurio ženklo reikšmę kvadratinė forma taip pat gali būti kintamoji.

O gal ne:

– visada, nebent tuo pačiu metu lygus nuliui.

– bet kam vektorius išskyrus nulį.

Ir apskritai, jei kam ne nulis vektorius , , tada vadinama kvadratine forma teigiamas apibrėžtas; jei taip tada neigiamas apibrėžtas.

Ir viskas būtų gerai, bet kvadratinės formos apibrėžtumas matomas tik viduje paprasti pavyzdžiai, ir šis matomumas prarandamas net esant nedidelei komplikacijai:
– ?

Galima daryti prielaidą, kad forma yra teigiamai apibrėžta, bet ar tikrai taip? Staiga atsiranda vertybių, kuriomis ji vadovaujasi mažiau nei nulis?

Yra a teorema: jei VISI savąsias reikšmes kvadratinės formos matricos yra teigiamos * , tada jis yra teigiamas. Jei visi yra neigiami, tada neigiami.

* Teoriškai įrodyta, kad visos tikrosios simetrinės matricos savosios reikšmės galioja

Parašykime aukščiau pateiktos formos matricą:
ir iš lygties. suraskime ją savąsias reikšmes:

Išspręskime seną gerą kvadratinė lygtis:

, o tai reiškia formą apibrėžiamas teigiamai, t.y. bet kokioms nulinėms vertėms tai didesnis už nulį.

Apsvarstytas metodas atrodo veikiantis, tačiau yra vienas didelis BET. Jau dabar trijų kartų matricoje tinkamų skaičių paieška yra ilga ir nemaloni užduotis; su didele tikimybe gausite 3 laipsnio daugianarį su neracionaliomis šaknimis.

Ką turėčiau daryti? Yra paprastesnis būdas!

Sylvesterio kriterijus

Ne, ne Sylvesteris Stallone :) Pirmiausia priminsiu, kas tai yra kampiniai nepilnamečiai matricos. Tai kvalifikacijos kurie „auga“ iš jos kairės viršutinis kampas:

o paskutinioji lygiai lygi matricos determinantui.

Dabar iš tikrųjų kriterijus:

1) Apibrėžiama kvadratinė forma teigiamai tada ir tik tada, kai VISOS jo kampinės mažumos yra didesnės už nulį: .

2) Apibrėžiama kvadratinė forma neigiamas tada ir tik tada, kai jo kampiniai nepilnamečiai kaitaliojasi ženkle, kai 1-asis nepilnametis yra mažesnis už nulį: , , jei – lyginis arba , jei – nelyginis.

Jei bent vienas kampinis nepilnametis priešingas ženklas, tada formą kintamasis ženklas. Jei kampiniai nepilnamečiai yra „to“ ženklo, bet tarp jų yra nulių, tai yra ypatingas atvejis, kurį aptarsiu šiek tiek vėliau, spustelėjus dažniau pasitaikančius pavyzdžius.

Išanalizuokime matricos kampinius minorus :

Ir tai iš karto parodo, kad forma nėra neigiamai apibrėžta.

Išvada: visi kampiniai nepilnamečiai yra didesni už nulį, taigi ir forma apibrėžiamas teigiamai.

Yra skirtumas su metodu savąsias reikšmes? ;)

Parašykime formos matricą iš 1 pavyzdys:

pirmasis yra jo kampinis minoras, o antrasis , iš to seka, kad forma yra kintamo ženklo, t.y. priklausomai nuo verčių, jis gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes. Tačiau tai jau akivaizdu.

Paimkime formą ir jos matricą iš 2 pavyzdys:

Jokiu būdu to išsiaiškinti be įžvalgos. Bet su Sylvesterio kriterijumi mums nerūpi:
, todėl forma tikrai nėra neigiama.

, ir tikrai ne teigiamas (nes visi kampiniai nepilnamečiai turi būti teigiami).

Išvada: forma kinta.

Apšilimo pavyzdžiai savarankiškas sprendimas:

4 pavyzdys

Ištirkite kvadratines formas ženklų apibrėžtumui nustatyti

A)

Šiuose pavyzdžiuose viskas sklandžiai (žr. pamokos pabaigą), bet iš tikrųjų, atlikti tokią užduotį Silvesterio kriterijaus gali nepakakti.

Esmė ta, kad yra „kraštinių“ atvejų, būtent: jei yra ne nulis vektorius, tada nustatoma forma neneigiamas, jei – tada neigiamas. Šios formos turi ne nulis vektoriai, kuriems .

Čia galite pacituoti tokį „akordeoną“:

Paryškinimas tobulas kvadratas, matome iš karto ne negatyvumas forma: , ir jis yra lygus nuliui bet kuriam vektoriui su vienodomis koordinatėmis, pavyzdžiui: .

„Veidrodis“ pavyzdys neigiamas tam tikra forma:

ir dar trivialesnis pavyzdys:
– čia bet kurio vektoriaus forma lygi nuliui , kur yra savavališkas skaičius.

Kaip atpažinti neneigiamas ar ne teigiamas formas?

Tam mums reikia koncepcijos pagrindinių nepilnamečių matricos. Didysis minoras yra šalutinis, sudarytas iš elementų, esančių eilučių ir stulpelių sankirtoje su tais pačiais skaičiais. Taigi, matrica turi dvi pagrindines pirmosios eilės minorines dalis:
(elementas yra 1-os eilutės ir 1-ojo stulpelio sankirtoje);
(elementas yra 2-os eilutės ir 2-ojo stulpelio sankirtoje),

ir vienas pagrindinis antrosios eilės minorinis:
– sudarytas iš 1, 2 eilučių ir 1, 2 stulpelių elementų.

Matrica yra „trys iš trijų“ Yra septyni pagrindiniai nepilnamečiai, ir čia turėsite sulenkti bicepsus:
– trys I eilės nepilnamečiai,
trys 2 eilės nepilnamečiai:
– sudarytas iš 1, 2 eilučių ir 1, 2 stulpelių elementų;
– sudarytas iš 1, 3 eilučių ir 1, 3 stulpelių elementų;
– sudarytas iš 2, 3 eilučių ir 2, 3 stulpelių elementų,
ir vienas 3 eilės nepilnametis:
– sudarytas iš 1, 2, 3 eilučių ir 1, 2 ir 3 stulpelių elementų.
Pratimai kad suprastumėte: užsirašykite visas pagrindines matricos minorines dalis .
Pamokos pabaigoje patikriname ir tęsiame.

Schwarzeneggerio kriterijus:

1) Apibrėžta ne nulis* kvadratinė forma neneigiamas jei ir tik tada, kai VISOS pagrindinės nepilnametės neneigiamas(didesnis arba lygus nuliui).

* Nulinės (išsigimusios) kvadratinės formos visi koeficientai lygūs nuliui.

2) Apibrėžiama nenulinė kvadratinė forma su matrica neigiamas jei ir tik tada:
– I eilės didieji nepilnamečiai ne teigiamas(mažiau arba lygus nuliui);
– II eilės didieji nepilnamečiai neneigiamas;
– III eilės stambių nepilnamečių ne teigiamas(prasidėjo kaitaliojimas);
…
– I eilės mažorinė ne teigiamas, jei – nelyginis arba neneigiamas, jei – net.

Jei bent vienas nepilnametis yra priešingo ženklo, tai forma yra kaitaliojama.

Pažiūrėkime, kaip veikia šis kriterijus aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose:

Sukurkime formos matricą ir visų pirma Paskaičiuokime kampuotus nepilnamečius – o jeigu jis apibrėžtas teigiamai ar neigiamai?

Gautos reikšmės atitinka ne Sylvesterio kriterijų, o antrą mažą ne neigiamas, ir dėl to būtina patikrinti 2-ąjį kriterijų (2-ojo kriterijaus atveju nebus įvykdytas automatiškai, t. y. iš karto daroma išvada apie formos ženklų kaitą).

Pagrindiniai 1 eilės nepilnamečiai:
- teigiamas,
2 eilės mažoras:
– ne neigiamas.

Taigi, VISI pagrindiniai nepilnamečiai nėra neigiami, o tai reiškia formą neneigiamas.

Parašykime formos matricą , kuriai Sylvesterio kriterijus akivaizdžiai nėra tenkinamas. Bet nesulaukėme ir priešingų ženklų (nes abu kampiniai nepilnamečiai lygūs nuliui). Todėl tikriname neneigiamumo/nepozityvumo kriterijaus įvykdymą. Pagrindiniai 1 eilės nepilnamečiai:
- ne teigiamas,
2 eilės mažoras:
– ne neigiamas.

Taigi pagal Schwarzeneggerio kriterijų (2 punktas) forma yra nepozityviai apibrėžta.

Dabar atidžiau pažvelkime į įdomesnę problemą:

5 pavyzdys

Išnagrinėkite kvadratinę formą dėl ženklo apibrėžtumo

Ši forma puošia tvarka „alfa“, kuri gali prilygti bet kam realus skaičius. Bet bus tik smagiau nusprendžiame.

Pirmiausia užsirašykime formos matricą, ko gero, daugelis žmonių jau įprato tai daryti žodžiu: įjungta pagrindinė įstrižainė Dedame kvadratų koeficientus, o simetriškose vietose dedame pusę atitinkamų „mišrių“ produktų koeficientų:

Apskaičiuokime kampinius nepilnamečius:

Išplėssiu trečią determinantą 3 eilutėje:

Kvadratinės formos

Pradžia n kintamųjų f(x 1, x 2,...,x n) yra suma, kurios kiekvienas narys yra arba vieno iš kintamųjų kvadratas, arba dviejų skirtingų kintamųjų sandauga, paimta su tam tikru koeficientu: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Iš šių koeficientų sudaryta matrica A vadinama kvadratinės formos matrica. Tai visada n kintamųjų f(x 1, x 2,...,x n) yra suma, kurios kiekvienas narys yra arba vieno iš kintamųjų kvadratas, arba dviejų skirtingų kintamųjų sandauga, paimta su tam tikru koeficientu: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji). matrica (t. y. pagrindinei įstrižainei simetriška matrica, a ij = a ji).

Matricos žymėjime kvadratinė forma yra f(X) = X T AX, kur

matricos žymėjimas

Pavyzdžiui, kvadratinę formą parašykime matricos forma.

Norėdami tai padaryti, randame kvadratinės formos matricą. Jo įstrižainės yra lygūs kvadratinių kintamųjų koeficientams, o likę elementai lygūs kvadratinės formos atitinkamų koeficientų pusėms. Štai kodėl

Tegu kintamųjų X matrica-stulpelis gaunamas nedegeneruota tiesine matricos-stulpelio Y transformacija, t.y. X = CY, kur C yra n-osios eilės vienaskaita matrica. Tada kvadratinė forma
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Taigi su neišsigimusia tiesine transformacija C kvadratinės formos matrica įgauna tokią formą: A * = C T AC.

Pavyzdžiui, suraskime kvadratinę formą f(y 1, y 2), gautą iš kvadratinės formos f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 tiesine transformacija.

Kvadratinė forma vadinama Pavyzdžiui, suraskime kvadratinę formą f(y 1, y 2), gautą iš kvadratinės formos f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 tiesine transformacija.(turi kanoninis), jei visi jo koeficientai a ij = 0, kai i ≠ j, t.y.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Jo matrica yra įstrižainė.

), jei visi jo koeficientai ij = 0, kai i≠j, t. y. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .(įrodymas čia nepateiktas). Bet kuri kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos, naudojant neišsigimusią tiesinę transformaciją.

Pavyzdžiui, kvadratinę formą sumažinkime iki kanoninės formos
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 – 3 x 2 2 – x 2 x 3.

Norėdami tai padaryti, pirmiausia pasirinkite visą kvadratą su kintamuoju x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 – x 2 x 3.

Dabar pasirenkame visą kvadratą su kintamuoju x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) – (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 – (1/20) x 3 2.

Tada neišsigimusi tiesinė transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ir y 3 = x 3 perkelia šią kvadratinę formą į kanoninę formą f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės formos kanoninė forma nustatoma dviprasmiškai (ta pati kvadratinė forma gali būti įvairiai redukuojama į kanoninę formą). Tačiau įvairiais metodais gautos kanoninės formos turi nemažai bendrosios savybės. Visų pirma, dėmenų, turinčių teigiamus (neigiamus) kvadratinės formos koeficientus, skaičius nepriklauso nuo formos sumažinimo iki šios formos metodo (pavyzdžiui, nagrinėjamame pavyzdyje visada bus du neigiami ir vienas teigiamas koeficientas). Ši savybė vadinama kvadratinių formų inercijos dėsnis.

Patvirtinkime tai, perkeldami tą pačią kvadratinę formą į kanoninę formą kitu būdu. Pradėkime transformaciją nuo kintamojo x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
– 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 – (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kur y 1 = – (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ir y 3 = x 1 . Čia yra teigiamas koeficientas 2 ties y 3 ir du neigiami koeficientai (-3) ties y 1 ir y 2 (ir naudojant kitą metodą gauname teigiamą koeficientą 2 ties y 1 ir du neigiamus koeficientus - (-5) y 2 ir (-1 /20) y 3).

Taip pat reikia pažymėti, kad kvadratinės formos matricos rangas, vadinamas kvadratinės formos rangas, yra lygus kanoninės formos nulinių koeficientų skaičiui ir nesikeičia atliekant tiesines transformacijas.

Vadinama kvadratinė forma f(X). teigiamai (neigiamas) tam tikras, jei visoms kintamųjų reikšmėms, kurios vienu metu nėra lygios nuliui, jis yra teigiamas, t.y. f(X) > 0 (neigiamas, t.y.
f(X)< 0).

Pavyzdžiui, kvadratinė forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 yra teigiama apibrėžtoji, nes yra kvadratų suma, o kvadratinė forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 yra neigiama apibrėžtoji, nes reiškia, kad jis gali būti pavaizduotas kaip f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Daugumoje praktinių situacijų yra šiek tiek sunkiau nustatyti kvadratinės formos apibrėžtąjį ženklą, todėl tam naudojame vieną iš šių teoremų (suformuluosime jas be įrodymų).

), jei visi jo koeficientai ij = 0, kai i≠j, t. y. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .. Kvadratinė forma yra teigiama (neigiama) apibrėžta tada ir tik tada, kai visos jos matricos savosios reikšmės yra teigiamos (neigiamos).

Teorema (Sylvesterio kriterijus). Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai visi šios formos matricos pirmaujantys minorai yra teigiami.

Pagrindinis (kampinis) nepilnametis N-osios eilės k-os eilės matrica A vadinama matricos determinantu, sudaryta iš pirmųjų k matricos A () eilučių ir stulpelių.

Atkreipkite dėmesį, kad neigiamoms apibrėžtinėms kvadratinėms formoms kaitaliojasi pagrindinių nepilnamečių ženklai, o pirmos eilės minorinis turi būti neigiamas.

Pavyzdžiui, panagrinėkime kvadratinę formą f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 ženklų apibrėžtumui.

= (2 - l)*
*(3 – l) – 4 = (6 – 2l – 3l + l 2) – 4 = l 2 – 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Todėl kvadratinė forma yra teigiama.

2 metodas. Matricos A pirmosios eilės pagrindinis minoras D 1 = a 11 = 2 > 0. Antrosios eilės pagrindinis minoras D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Todėl pagal Sylvesterio kriterijų kvadratinė forma yra teigiamas apibrėžtas.

Nagrinėjame kitą kvadratinę ženklo apibrėžtumo formą, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1 būdas. Sukurkime kvadratinės formos A = matricą. Būdingoji lygtis turės formą = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Todėl kvadratinė forma yra neigiama apibrėžta.