Supaprastinkite trigonometrines išraiškas internete naudodami išsamius sprendimus. Įrašai, pažymėti "supaprastinti trigonometrinę išraišką"

1 pamoka

Tema: 11 klasė (pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui)

Supaprastinimas trigonometrinės išraiškos.

Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas. (2 valandos)

Tikslai:

Sisteminti, apibendrinti, plėsti mokinių žinias ir įgūdžius, susijusius su trigonometrijos formulių naudojimu ir paprastų trigonometrinių lygčių sprendimu.

Įranga pamokai:

Pamokos struktūra:

Organizacinis momentas
Testavimas nešiojamuose kompiuteriuose. Rezultatų aptarimas.
Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas
Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas
Savarankiškas darbas.
Pamokos santrauka. Namų darbų užduoties paaiškinimas.

1. Organizacinis momentas. (2 min.)

Mokytojas pasisveikina su auditorija, paskelbia pamokos temą, primena, kad anksčiau buvo duota užduotis pakartoti trigonometrijos formules, paruošia mokinius testavimui.

2. Testavimas. (15 min + 3 min diskusija)

Tikslas – patikrinti trigonometrinių formulių žinias ir gebėjimus jas taikyti. Kiekvienas mokinys ant stalo turi nešiojamąjį kompiuterį su testo versija.

Gali būti daugybė variantų, pateiksiu vieną iš jų pavyzdį:

I variantas.

Supaprastinkite išraiškas:

a) pagrindinės trigonometrinės tapatybės

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) sudėjimo formulės

3. sin5x - sin3x;

c) sandaugos pavertimas suma

6. 2sin8y cos3y;

d) dvigubo kampo formules

7. 2sin5x cos5x;

e) puskampių formulės

e) trigubų kampų formulės

ir) universalus pakeitimas

h) laipsnio sumažinimas

16. cos 2 (3x/7);

Mokiniai mato savo atsakymus nešiojamajame kompiuteryje prie kiekvienos formulės.

Darbas akimirksniu patikrinamas kompiuteriu. Rezultatai rodomi dideliame ekrane, kad visi galėtų matyti.

Taip pat, baigus darbą, mokinių nešiojamuosiuose kompiuteriuose rodomi teisingi atsakymai. Kiekvienas mokinys mato, kur buvo padaryta klaida ir kokias formules jam reikia pakartoti.

3. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas. (25 min.)

Tikslas yra pakartoti, praktikuoti ir sustiprinti taikymą. pagrindinės formulės trigonometrija. Vieningo valstybinio egzamino B7 uždavinių sprendimas.

Šiame etape patartina suskirstyti klasę į stiprių mokinių (dirba savarankiškai su vėlesniais testais) ir silpnų mokinių, dirbančių su mokytoju, grupes.

Užduotis stipriems studentams (iš anksto paruošta spausdintu pagrindu). Pagrindinis dėmesys skiriamas mažinimo formulėms ir dvigubas kampas, remiantis Vieningo valstybinio egzamino 2011 m.

Supaprastinkite posakius (stipriems mokiniams):

Tuo pačiu metu mokytojas dirba su silpnais mokiniais, diskutuodamas ir sprendžiant užduotis ekrane pagal mokinių diktavimą.

Apskaičiuokite:

5) sin (270º – α) + cos (270º + α)

Supaprastinti:

Atėjo laikas aptarti stiprios grupės darbo rezultatus.

Atsakymai pasirodo ekrane, taip pat, naudojant vaizdo kamerą, atvaizduojami 5 skirtingų mokinių darbai (kiekvienam po vieną užduotį).

Silpnoji grupė mato sprendimo būklę ir būdą. Vyksta diskusija ir analizė. Naudojant techninėmis priemonėmis tai atsitinka greitai.

4. Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas. (30 min.)

Tikslas – pakartoti, susisteminti ir apibendrinti paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendinį bei užrašyti jų šaknis. Uždavinio B3 sprendimas.

Bet kuri trigonometrinė lygtis, nesvarbu, kaip ją išspręstume, veda į paprasčiausią.

Atlikdami užduotį, mokiniai turėtų atkreipti dėmesį į ypatingų atvejų lygčių šaknų užrašymą ir bendras vaizdas ir apie šaknų pasirinkimą paskutinėje lygtyje.

Išspręskite lygtis:

Užrašykite mažiausią teigiamą šaknį kaip savo atsakymą.

5. Savarankiškas darbas (10 min.)

Tikslas – išbandyti įgytus įgūdžius, nustatyti problemas, klaidas ir būdus joms pašalinti.

Siūlomas kelių lygių darbas studento pasirinkimui.

Variantas "3"

1) Raskite išraiškos reikšmę

2) Supaprastinkite išraišką 1 – sin 2 3α – cos 2 3α

3) Išspręskite lygtį

„4“ parinktis

1) Raskite išraiškos reikšmę

2) Išspręskite lygtį Savo atsakyme užrašykite mažiausią teigiamą šaknį.

„5“ parinktis

1) Raskite tanα, jei

2) Raskite lygties šaknį Užrašykite mažiausią teigiamą šaknį kaip savo atsakymą.

6. Pamokos santrauka (5 min.)

Mokytojas apibendrina tai, kas buvo kartojama ir sustiprinta pamokoje trigonometrines formules, sprendžiant paprastas trigonometrines lygtis.

Namų darbai skiriami (iš anksto ruošiami spausdintine forma) su atsitiktine patikra kitos pamokos metu.

Išspręskite lygtis:

10) Atsakyme nurodykite mažiausią teigiamą šaknį.

2 pamoka

Tema: 11 klasė (pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui)

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai. Šaknų pasirinkimas. (2 valandos)

Tikslai:

Apibendrinti ir sisteminti žinias apie įvairių tipų trigonometrinių lygčių sprendimą.
Skatinti vystymąsi matematinis mąstymas mokiniai, gebėjimas stebėti, lyginti, apibendrinti, klasifikuoti.
Skatinti mokinius įveikti sunkumus protinės veiklos procese, susivaldyti, įsigilinti į savo veiklą.

Įranga pamokai: KRMu, nešiojamieji kompiuteriai kiekvienam mokiniui.

Pamokos struktūra:

Organizacinis momentas
D/z ir savęs aptarimas. darbas iš paskutinės pamokos
Trigonometrinių lygčių sprendimo metodų apžvalga.
Trigonometrinių lygčių sprendimas
Šaknų parinkimas trigonometrinėse lygtyse.
Savarankiškas darbas.
Pamokos santrauka. Namų darbai.

1. Organizacinis momentas (2 min.)

Mokytojas pasisveikina su auditorija, paskelbia pamokos temą ir darbo planą.

2. a) Analizė namų darbai(5 min.)

Tikslas yra patikrinti vykdymą. Vienas darbas rodomas ekrane naudojant vaizdo kamerą, likusieji pasirinktinai surenkami mokytojo patikrinimui.

b) Analizė savarankiškas darbas(3 min.)

Tikslas – išanalizuoti klaidas ir nurodyti būdus joms įveikti.

Atsakymai ir sprendimai pateikiami ekrane; Analizė vyksta greitai.

3. Trigonometrinių lygčių sprendimo metodų apžvalga (5 min.)

Tikslas – prisiminti trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.

Paklauskite mokinių, kokius trigonometrinių lygčių sprendimo būdus jie žino. Pabrėžkite, kad yra vadinamieji pagrindiniai (dažnai naudojami) metodai:

kintamasis pakeitimas,
faktorizavimas,
vienalytės lygtys,

ir yra taikomi metodai:

naudojant formules sumai paversti sandauga ir sandaugai suma,
pagal formules laipsnio sumažinimas,
universalus trigonometrinis pakeitimas
įžanga pagalbinis kampas,
padauginus iš kai kurių trigonometrinė funkcija.

Taip pat reikėtų prisiminti, kad vieną lygtį galima išspręsti įvairiais būdais.

4. Trigonometrinių lygčių sprendimas (30 min.)

Tikslas – apibendrinti ir įtvirtinti žinias ir įgūdžius šia tema, pasiruošti C1 sprendimui iš vieningo valstybinio egzamino.

Manau, kad patartina kiekvieno metodo lygtis spręsti kartu su studentais.

Mokinys padiktuoja sprendimą, mokytojas užsirašo planšete, o visas procesas rodomas ekrane. Tai leis jums greitai ir efektyviai prisiminti anksčiau nagrinėtą medžiagą atmintyje.

Išspręskite lygtis:

1) pakeičiant kintamąjį 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizavimas 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) vienarūšės lygtys sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) sumos konvertavimas į sandaugą cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) sandaugą paverčiant suma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) laipsnio sin2x sumažinimas - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universalus trigonometrinis pakaitalas sinx + 5cosx + 5 = 0.

Sprendžiant šią lygtį, reikia pažymėti, kad naudojant šis metodas susiaurėja apibrėžimo diapazonas, nes sinusas ir kosinusas pakeičiami tg(x/2). Todėl prieš rašydami atsakymą turite patikrinti, ar skaičiai iš aibės π + 2πn, n Z yra šios lygties arkliai.

8) pagalbinio kampo įvedimas √3sinx + cosx - √2 = 0

9) daugyba iš kokios nors trigonometrinės funkcijos cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrinių lygčių šaknų parinkimas (20 min.)

Kadangi aršios konkurencijos sąlygomis stojant į universitetus vien išspręsti pirmąją egzamino dalį neužtenka, dauguma studentų turėtų atkreipti dėmesį į antrosios dalies užduotis (C1, C2, C3).

Todėl šio pamokos etapo tikslas – prisiminti anksčiau išstuduotą medžiagą ir pasiruošti spręsti Vieningo valstybinio egzamino 2011 uždavinį C1.

Yra trigonometrines lygtis, kuriame rašant atsakymą būtina pasirinkti šaknis. Taip yra dėl kai kurių apribojimų, pavyzdžiui: trupmenos vardiklis nėra lygus nuliui, išraiška po lygine šaknimi yra neneigiama, išraiška po logaritmo ženklu yra teigiama ir kt.

Tokios lygtys laikomos lygtimis padidėjęs sudėtingumas ir viduje Vieningo valstybinio egzamino versija yra antroje dalyje, būtent C1.

Išspręskite lygtį:

Trupmena lygi nuliui, jei tada naudojant vieneto ratas pasirenkame šaknis (žr. 1 pav.)

1 pav.

gauname x = π + 2πn, n Z

Atsakymas: π + 2πn, n Z

Ekrane šaknų pasirinkimas rodomas apskritime spalvotame paveikslėlyje.

Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui, o lankas nepraranda savo reikšmės. Tada

Naudodami vieneto apskritimą, pasirenkame šaknis (žr. 2 pav.)

Vaizdo pamoka „Trigonometrinių posakių supaprastinimas“ skirta ugdyti mokinių sprendimo įgūdžius trigonometrinės problemos naudojant pagrindines trigonometrines tapatybes. Vaizdo pamokos metu aptariami trigonometrinių tapatybių tipai ir uždavinių sprendimo pavyzdžiai juos naudojant. Taikymas vaizdinė pagalba, mokytojui lengviau pasiekti pamokos tikslus. Ryškus medžiagos pateikimas skatina įsiminimą svarbius punktus. Animacijos efektų naudojimas ir balso perdavimas leidžia visiškai pakeisti mokytoją medžiagos paaiškinimo etape. Taigi, naudodamas šią vaizdinę priemonę matematikos pamokose, mokytojas gali padidinti mokymo efektyvumą.

Vaizdo pamokos pradžioje skelbiama jos tema. Tada prisimename anksčiau tyrinėtas trigonometrines tapatybes. Ekrane rodomos lygybės sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kur t≠π/2+πk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, teisinga t≠πk, kur kϵZ, tg t· ctg t=1, kai t≠πk/2, kur kϵZ, vadinamos pagrindinėmis trigonometrinėmis tapatybėmis. Pažymima, kad šios tapatybės dažnai naudojamos sprendžiant problemas, kai reikia įrodyti lygybę ar supaprastinti išraišką.

Žemiau aptariame šių tapatybių taikymo sprendžiant problemas pavyzdžius. Pirma, siūloma apsvarstyti posakių supaprastinimo problemų sprendimą. 1 pavyzdyje reikia supaprastinti išraišką cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Norėdami išspręsti pavyzdį, pirmiausia padėkite jį iš skliaustų bendras daugiklis cos 2t. Dėl šios transformacijos skliausteliuose gaunama išraiška 1- cos 2 t, kurios reikšmė iš pagrindinės trigonometrijos tapatybės yra lygi sin 2 t. Transformavus išraišką, akivaizdu, kad iš skliaustų galima išimti dar vieną bendrą veiksnį sin 2 t, po kurio išraiška tampa tipo nuodėmė 2 t (sin 2 t+cos 2 t). Iš tos pačios pagrindinės tapatybės gauname reiškinio reikšmę skliausteliuose, lygius 1. Supaprastinimo rezultate gauname cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

2 pavyzdyje išraiška kaina/(1- sint)+ kaina/(1+ sint) turi būti supaprastinta. Kadangi abiejų trupmenų skaitiklyje yra išraiškos kaina, ją galima išimti iš skliaustų kaip bendrą veiksnį. Tada skliausteliuose esančios trupmenos sumažinamos iki bendras vardiklis dauginantis (1- sint)(1+ sint). Atnešus panašius terminus skaitiklis lieka 2, o vardiklis lieka 1 - sin 2 t. Dešinėje ekrano pusėje primenama pagrindinė trigonometrinė tapatybė sin 2 t+cos 2 t=1. Naudodamiesi juo randame trupmenos cos 2 t vardiklį. Sumažinus trupmeną gauname supaprastintą išraiškos kainą/(1- sint)+ savikaina/(1+ sint)=2/kaina.

Toliau nagrinėjame tapatybių įrodymų, kuriuose naudojamos įgytos žinios apie pagrindines trigonometrijos tapatybes, pavyzdžius. 3 pavyzdyje būtina įrodyti tapatybę (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Dešinėje ekrano pusėje rodomos trys tapatybės, kurių prireiks įrodymui – tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ir tg t=sin t/cos t su apribojimais. Tapatumui įrodyti pirmiausiai atveriami skliaustai, po kurių susidaro sandauga, atspindinti pagrindinės trigonometrinės tapatybės išraišką tg t·ctg t=1. Tada pagal tapatybę iš kotangento apibrėžimo transformuojamas ctg 2 t. Transformacijų rezultate gaunama išraiška 1-cos 2 t. Naudodamiesi pagrindine tapatybe, randame posakio prasmę. Taigi įrodyta, kad (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

4 pavyzdyje reikia rasti išraiškos tg 2 t+ctg 2 t reikšmę, jei tg t+ctg t=6. Norėdami apskaičiuoti išraišką, pirmiausia padėkite kvadratu dešinę ir kairę lygybės puses (tg t+ctg t) 2 =6 2. Sutrumpinta daugybos formulė primenama dešinėje ekrano pusėje. Atvėrus skliaustus kairėje išraiškos pusėje, susidaro suma tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, kuriai transformuoti galima pritaikyti vieną iš trigonometrinių tapatybių tg t·ctg t=1 , kurios forma primenama dešinėje ekrano pusėje. Po transformacijos gaunama lygybė tg 2 t+ctg 2 t=34. Kairioji lygybės pusė sutampa su uždavinio sąlyga, todėl atsakymas yra 34. Užduotis išspręsta.

Vaizdo pamoką „Trigonometrinių posakių supaprastinimas“ rekomenduojama naudoti tradicinėje mokyklos pamoka matematikos. Medžiaga taip pat bus naudinga mokytojui, įgyvendinančiam nuotolinis mokymasis. Siekiant lavinti trigonometrinių uždavinių sprendimo įgūdžius.

TEKSTO IŠKODAVIMAS:

"Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas".

Lygybės

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinuso kvadratas te plius kosinuso kvadratas te lygus vienetui)

2) tgt =, jei t ≠ + πk, kϵZ (liestinė te yra lygi sinuso te ir kosinuso te santykiui, kai te nėra lygi pi iš dviejų plius pi ka, ka priklauso zet)

3)ctgt = , kai t ≠ πk, kϵZ (kotangentas te lygus kosinuso te ir sinuso te santykiui, kai te nelygi pi ka, ka priklauso zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1, kai t ≠ , kϵZ (liestinės te sandauga su kotangentu te yra lygi vienetui, kai te nėra lygi smailei ka, padalinta iš dviejų, ka priklauso zet)

vadinamos pagrindinėmis trigonometrinėmis tapatybėmis.

Jie dažnai naudojami supaprastinant ir įrodant trigonometrines išraiškas.

Pažvelkime į šių formulių naudojimo pavyzdžius trigonometrinėms išraiškoms supaprastinti.

PAVYZDYS 1. Supaprastinkite išraišką: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (kosinuso kvadrato te išraiška atėmus ketvirto laipsnio kosinusą te plius ketvirto laipsnio te sinusus).

Sprendimas. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(atimame bendrąjį koeficientą kosinusas kvadratas te, skliausteliuose gauname skirtumą tarp vienybės ir kvadratinio kosinuso te, kuris lygus sinuso kvadratui te pagal pirmąją tapatybę. Gauname ketvirtojo laipsnio sinuso te sumą sandauga kosinuso kvadratas te ir sinuso kvadratas te Išimame bendrąjį koeficientą sinuso kvadratas te už skliaustų, o skliausteliuose gauname kosinuso ir sinuso kvadratų sumą, kuri iš esmės yra. trigonometrinė tapatybė lygus vienam. Dėl to gauname sinuso te kvadratą).

2 PAVYZDYS. Supaprastinkite išraišką: + .

(išraiška be yra dviejų trupmenų suma pirmojo kosinuso te skaitiklyje vardiklyje vienas atėmus sinusus te, antrojo kosinuso te skaitiklyje antrojo vardiklyje plius sinusus te).

(Išimkime bendrąjį koeficientą kosinusą te iš skliaustų, o skliausteliuose perkelkime jį į bendrą vardiklį, kuris yra vieno minus sinuso te sandauga iš vieno plius sinuso te.

Skaitiklyje gauname: vienas plius sinusas te plius vienas minus sinusas te, pateikiame panašius, skaitiklis lygus dviem atvedus panašius.

Vardiklyje galite taikyti sutrumpintą daugybos formulę (kvadratų skirtumas) ir gauti skirtumą tarp vieneto ir sinuso te kvadrato, kuris pagal pagrindinę trigonometrinę tapatybę

lygus kosinuso te kvadratui. Sumažinę kosinusu te gauname galutinį atsakymą: du padalinti iš kosinuso te).

Pažvelkime į šių formulių naudojimo pavyzdžius įrodant trigonometrines išraiškas.

3 PAVYZDYS. Įrodykite tapatybę (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (skirtumo tarp liestinės te ir sinuso te kvadratų sandauga su kotangento te kvadratu yra lygi kvadratui sine te).

Įrodymas.

Transformuokime kairėje pusėje lygybė:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Atverkime skliaustus; iš anksčiau gauto santykio žinoma, kad liestinės te kvadratų sandauga su kotangentu te lygi vienetui. Prisiminkite, kad kotangentas te lygus santykiui kosinusas te iš sinuso te, o tai reiškia, kad kotangento kvadratas yra kosinuso te kvadrato santykis su sinuso te kvadratu.

Sumažinus sinuso kvadratu te gauname skirtumą tarp vieneto ir kosinuso kvadrato te, kuris yra lygus sinuso kvadratui te). Q.E.D.

4 PAVYZDYS. Raskite išraiškos tg 2 t + ctg 2 t reikšmę, jei tgt + ctgt = 6.

(liestinės te ir kotangento te kvadratų suma, jei liestinės ir kotangento suma yra šeši).

Sprendimas. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Palyginkime abi pradinės lygybės puses:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (liestinės te ir kotangento te sumos kvadratas lygus šešiems kvadratams). Prisiminkime sutrumpinto daugybos formulę: Dviejų dydžių sumos kvadratas lygus kvadratui pirmasis plius du kartus pirmojo sandauga, o antrasis plius antrojo kvadratas. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Gauname tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (liestinė te kvadratas plius dvigubas liestinės te sandauga iš kotangento te plius kotangento kvadratas te lygus trisdešimt šeši).

Kadangi liestinės te ir kotangento te sandauga yra lygi vienetui, tada tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (liestinės te ir kotangento te ir du kvadratų suma yra lygi trisdešimt šešiems),

Jūsų prašymu.

6. Supaprastinkite išraišką:

Nes kampų, papildančių vienas kitą iki 90°, kofunkcijos yra lygios, tada trupmenos skaitiklyje sin50° pakeičiame cos40° ir skaitikliui pritaikome dvigubo argumento sinuso formulę. Skaitiklyje gauname 5sin80°. Sin80° pakeiskime cos10°, tai leis mums sumažinti trupmeną.

Taikomos formulės: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. IN aritmetinė progresija, kurių skirtumas yra 12, o aštuntasis narys yra 54, raskite neigiamų narių skaičių.

Sprendimo planas. Padarykime formulę generalinis narys pateiktą progresiją ir sužinokite, kokiomis n neigiamų narių reikšmėmis bus gautos. Norėdami tai padaryti, turėsime rasti pirmąjį progresavimo terminą.

Turime d = 12, a 8 = 54. Naudodami formulę a n =a 1 +(n-1)∙d rašome:

a 8 =a 1 +7d. Pakeiskime turimus duomenis. 54=a 1 +7∙12;

a 1 = -30. Pakeiskite šią reikšmę į formulę a n =a 1 +(n-1)∙d

a n =-30+(n-1)∙12 arba a n =-30+12n-12. Supaprastinkime: a n =12n-42.

Mes ieškome neigiamų terminų skaičiaus, todėl turime išspręsti nelygybę:

a n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Raskite šios funkcijos reikšmių diapazoną: y=x-|x|.

Atidarykime modulinius skliaustus. Jei x≥0, tai y=x-x ⇒ y=0. Grafikas bus Ox ašis į dešinę nuo pradžios. Jei x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Raskite dešiniojo apskrito kūgio šoninio paviršiaus plotą, jei jo generatorius yra 18 cm, o pagrindo plotas yra 36 cm 2 .

Pateiktas kūgis su ašine dalimi MAV. Generatorius VM=18, S pagrindinis. =36π. Kūgio šoninio paviršiaus plotą apskaičiuojame pagal formulę: S pusė. =πRl, kur l generatorius ir pagal sąlygą lygus 18 cm, R pagrindo spindulys, jį rasime pagal formulę: S cr. = πR 2 . Turime S kr. = S pagrindinis = 36π. Vadinasi, πR 2 =36π ⇒ R=6.

Tada S pusė. =π∙6∙18 ⇒ S pusė. =108π cm 2.

12. Logaritminės lygties sprendimas. Trupmena lygi 1, jei jos skaitiklis lygus jos vardikliui, t.y.

log(x 2 +5x+4) = 2logx, kai logx≠0. Dešiniajai lygybės pusei taikome skaičiaus po logaritmo ženklu galios savybę: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. Šie dešimtainiai logaritmai yra lygūs, todėl skaičiai po logaritmo ženklais yra lygūs , todėl:

x 2 +5x+4=x 2, taigi 5x=-4; gauname x=-0,8. Tačiau šios reikšmės negalima imti, nes po logaritmo ženklu gali būti tik teigiami skaičiai, todėl ši lygtis neturi sprendinių. Pastaba. Neturėtumėte rasti ODZ sprendimo pradžioje (švaistykite savo laiką!), geriau patikrinti (kaip mes darome dabar) pabaigoje.

13. Raskite išraiškos reikšmę (x o – y o), kur (x o; y o) yra lygčių sistemos sprendimas:

14. Išspręskite lygtį:

Jei padalinsite iš 2 ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį, išmoksite dvigubo kampo liestinės formulę. Rezultatas yra paprasta lygtis: tg4x=1.

15. Raskite funkcijos išvestinę: f(x)=(6x 2 -4x) 5.

Mums suteikta sudėtinga funkcija. Mes tai apibrėžiame vienu žodžiu – tai laipsnis. Todėl pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę randame laipsnio išvestinę ir padauginame ją iš šio laipsnio pagrindo išvestinės pagal formulę:

(u n)' = n ∙ u n -1 ∙ u'.

f ‘(x)= 5 (6 x 2 – 4 x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5 (6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4) = 5 (6x2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x2-4x) 4 .

16. Būtina rasti f ‘(1), jei funkcija

17. Lygiakraščio trikampio visų pusių suma yra 33√3 cm. Raskite trikampio plotą.

Lygiakraščio trikampio pusiausvyra yra ir mediana, ir aukštis. Taigi šio trikampio aukščio BD ilgis lygus

Raskime kraštinę AB iš stačiakampio Δ ABD. Kadangi sin60° = BD : AB, tada AB = BD : sin60°.

18. Apskritimas įrašytas į lygiakraštį trikampį, kurio aukštis yra 12 cm. Raskite apskritimo plotą.

Apskritimas (O; OD) įrašytas į lygiakraštį Δ ABC. Aukštis BD taip pat yra pusiausvyra ir mediana, o apskritimo centras, taškas O, yra BD.

O – aukščių, bisektorių ir medianų susikirtimo taškas dalija medianą BD santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Todėl OD=(1/3)BD=12:3=4. Apskritimo spindulys R=OD=4 cm Apskritimo plotas S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Taisyklingos keturkampės piramidės šoninės briaunos yra 9 cm, o pagrindo kraštinė – 8 cm. Raskite piramidės aukštį.

Taisyklingos keturkampės piramidės pagrindas yra kvadratas ABCD, aukščio MO pagrindas – kvadrato centras.

20. Supaprastinti:

Skaitiklyje skirtumo kvadratas sulankstytas.

Vardiklį faktorinuojame naudodami terminų grupavimo metodą.

21. Apskaičiuokite:

Kad būtų galima išgauti aritmetinę kvadratinę šaknį, radikalioji išraiška turi būti tobulas kvadratas. Pavaizduokime išraišką po šaknies ženklu kaip skirtumo tarp dviejų išraiškų kvadratą naudodami formulę:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, darant prielaidą, kad a 2 +b 2 =10.

22. Išspręskite nelygybę:

Pavaizduokime kairę nelygybės pusę kaip sandaugą. Dviejų kampų sinusų suma lygi dvigubai šių kampų pusės sumos sinuso ir šių kampų pusės skirtumo kosinuso sandaugai: