Problema Nr.5922.
Savininkas susitarė su darbininkais, kad jie kasys šulinį tokiomis sąlygomis: už pirmą metrą sumokės 3500 rublių, o už kiekvieną paskesnį – 1600 rublių daugiau nei už ankstesnį. Kiek pinigų savininkas turės sumokėti darbuotojams, jei jie kasys 9 metrų gylio šulinį?
Kadangi mokėjimas už kiekvieną kitą skaitiklį skiriasi nuo mokėjimo už ankstesnį skaitiklį tuo pačiu numeriu, turime prieš mus.
Šioje eigoje - mokėjimas už pirmąjį skaitiklį, - mokėjimo skirtumas už kiekvieną paskesnį skaitiklį, - darbo dienų skaičius.
Narių suma aritmetinė progresija randama pagal formulę:
Pakeiskime šias problemas į šią formulę.
Atsakymas: 89100.
Problema Nr.5943.
Valiutos keitykloje galite atlikti vieną iš dviejų operacijų:
· už 2 auksines gausite 3 sidabrines ir vieną varinę;
· už 5 sidabrines monetas gausite 3 auksines ir vieną varinę.
Nikolajus turėjo tik sidabrines monetas. Po kelių apsilankymų keitykloje jo sidabrinės monetos tapo mažesnės, auksinių neatsirado, tačiau atsirado 100 varinių. Kiek sumažėjo Nikolajaus sidabrinių monetų skaičius??
Problema Nr.5960.
Žiogas šokinėja išilgai koordinačių linijos bet kuria kryptimi vieneto segmentas už šuolį. Kiek skirtingų taškų yra koordinačių tiesėje, kurioje žiogas gali atsidurti atlikęs lygiai 5 šuolius, pradedant nuo pradžios?
Jei žiogas atlieka penkis šuolius viena kryptimi (dešinėn arba kairėn), tada jis atsidurs taškuose, kurių koordinatės yra 5 arba -5:
Atkreipkite dėmesį, kad žiogas gali šokinėti ir į dešinę, ir į kairę. Jei jis padarys 1 šuolį į dešinę ir 4 šuolius į kairę (iš viso 5), jis atsidurs taške, kurio koordinatė -3. Panašiai, jei amūras padaro 1 šuolį į kairę ir 4 šuolius į dešinę (iš viso 5), jis atsidurs taške, kurio koordinatė 3:
Jei žiogas padarys 2 šuolius į dešinę ir 3 šuolius į kairę (iš viso 5), jis atsidurs taške, kurio koordinatė -1. Panašiai, jei amūras padaro 2 šuolius į kairę ir 3 šuolius į dešinę (iš viso 5), jis atsidurs taške, kurio koordinatė 1:
Atkreipkite dėmesį, kad jei bendras kiekisšuoliai yra nelyginiai, tada žiogas negrįš į koordinačių pradžią, tai yra, gali patekti tik į taškus su nelyginėmis koordinatėmis:
Yra tik 6 iš šių taškų.
Jei šuolių skaičius būtų lygus, tada žiogas galėtų grįžti į pradinį tašką ir visi taškai koordinačių tiesėje, į kuriuos galėtų pataikyti, turėtų lygias koordinates.
Atsakymas: 6
Problema Nr.5990
Sraigė per dieną užlipa į medį 2 m, o per naktį nuslysta 1 m. Medžio aukštis yra 9 m.
Atkreipkite dėmesį, kad šioje problemoje turėtume atskirti „dienos“ ir „dienos“ sąvokas.
Problema klausia, kiek tiksliai laiko dienų sraigė ropštės į medžio viršūnę.
Per vieną dieną sraigė pakyla iki 2 m, o per vieną dieną sraigė pakyla iki 1 m (dieną pakyla 2 m, o per naktį nusileidžia 1 m).
Per 7 dienas sraigė pakyla 7 metrus. Tai yra, 8 dienos ryte ji turės šliaužti 2 m į viršų, o aštuntą dieną ji įveiks šį atstumą.
Atsakymas: 8 dienos.
Problema Nr.6010.
Visuose namo įėjimuose tas pats numeris aukštų, o kiekviename aukšte yra tiek pat butų. Tuo pačiu metu namo aukštų skaičius daugiau numerio butų aukšte, butų skaičius aukšte yra didesnis nei įėjimų skaičius, o įėjimų skaičius yra daugiau nei vienas. Kiek aukštų yra pastate, jei iš viso yra 105 butai?
Norėdami sužinoti butų skaičių name, turite padauginti butų skaičių aukšte ( ) iš aukštų skaičiaus ( ) ir padauginti iš įėjimų skaičiaus ( ).
Tai yra, turime rasti ( ), remiantis šias sąlygas:
(1)
Paskutinė nelygybė atspindi būklę „Pastato aukštų skaičius yra didesnis nei butų viename aukšte, butų skaičius aukšte yra didesnis nei įėjimų skaičius, o įėjimų skaičius yra daugiau nei vienas.
Tai yra, ( ) yra didžiausias skaičius.
Išskaidykime 105 į pagrindiniai veiksniai:
Atsižvelgiant į (1) sąlygą, .
Atsakymas: 7.
Problema Nr.6036.
Krepšelyje yra 30 grybų: šafrano pieno kepurėlės ir pieno grybai. Yra žinoma, kad tarp bet kurių 12 grybų yra bent viena šafrano pieno kepurė, o tarp bet kurių 20 grybų yra bent vienas pieno grybas. Kiek šafrano pieno kepurėlių yra krepšelyje?
Nes tarp 12 grybų yra bent viena kupranugarinė(ar daugiau) pieno grybų skaičius turi būti mažesnis arba lygus.
Iš to išplaukia, kad šafrano pieno dangtelių skaičius yra didesnis arba lygus .
Nes tarp 20 grybų bent vienas grybas(ar daugiau), šafrano pieno dangtelių skaičius turi būti mažesnis arba lygus
Tada mes nustatėme, kad, viena vertus, šafrano pieno dangtelių skaičius yra didesnis arba lygus 19 , o kita vertus – mažesnis arba lygus 19 .
Todėl šafrano pieno kepurėlių skaičius lygus 19.
Atsakymas: 19.
Problema Nr.6047.
Sasha pakvietė Petją apsilankyti, sakydamas, kad jis gyvena septintame buto Nr. 333 įėjime, bet pamiršo pasakyti aukštą. Priėjusi prie namo Petja atrado, kad namas yra devynių aukštų. Kuriame aukšte gyvena Sasha? (Kiekviename aukšte butų skaičius yra vienodas; butų numeriai pastate prasideda nuo vieneto.)
Tegul kiekviename aukšte būna butai.
Tada butų skaičius pirmuose šešiuose įėjimuose yra lygus
Raskime maksimumą gamtinė vertė, tenkinantis nelygybę ( yra paskutinio buto numeris šeštajame įėjime, ir jis yra mažesnis nei 333.)
Iš čia
Paskutinio buto numeris šeštame įėjime yra
Septintasis įėjimas prasideda nuo 325 buto.
Todėl 333 butas yra antrame aukšte.
Atsakymas: 2
Problema Nr.6060.
Žemės rutulio paviršiuje flomasteriu buvo nubrėžta 17 paralelių ir 24 dienovidiniai. Į kiek dalių nubrėžtos linijos dalija Žemės rutulio paviršių? Meridianas – apskritimo lankas, jungiantis Šiaurės ir Pietų ašigalius. lygiagreti yra apskritimas, esantis plokštumoje, lygiagrečiai plokštumai pusiaujo.
Įsivaizduokime arbūzą, kurį supjaustome gabalėliais.
Padarę du pjūvius iš viršaus į apačią (nubrėžę du meridianus), supjaustysime arbūzą į dvi skilteles. Todėl padarę 24 pjūvius (24 meridianus), supjaustysime arbūzą į 24 skilteles.
Dabar supjaustysime kiekvieną griežinėlį.
Jei padarysime 1 skersinį pjūvį (lygiagrečiai), tai vieną griežinėlį supjaustysime į 2 dalis.
Jei padarysime 2 skersinius pjūvius (lygiagrečius), vieną griežinėlį supjaustysime į 3 dalis.
Tai reiškia, kad padarę 17 pjūvių vieną griežinėlį supjaustysime į 18 dalių.
Taigi, supjaustėme 24 griežinėlius į 18 dalių ir gavome gabalėlį.
Vadinasi, 17 paralelių ir 24 dienovidiniai padalija Žemės rutulio paviršių į 432 dalis.
Atsakymas: 432.
Problema Nr.6069
Lazda pažymėta skersinėmis raudonos, geltonos ir geltonos spalvos linijomis žalias. Jei perpjausite pagaliuką išilgai raudonų linijų, gausite 5 vnt., jei išilgai geltonų linijų - 7 vnt., o jei išilgai žalių linijų - 11 vnt. Kiek vienetų gausite, jei perpjausite pagaliuką pagal visas linijas trijų spalvų?
Jei padarysite 1 pjūvį, gausite 2 gabalus.
Jei padarysite 2 pjūvius, gausite 3 gabalus.
IN bendras atvejis: Jei padarysite pjūvius, gausite gabalėlį.
Atgal: norėdami gauti gabalus, turite padaryti pjūvį.
Raskime bendrą linijų, iš kurių buvo nupjauta lazda, skaičių.
Jei perpjausite pagaliuką išilgai raudonų linijų, gausite 5 gabalus - todėl buvo 4 raudonos linijos;
jei ant geltonos spalvos – 7 vnt. todėl buvo 6 geltonos linijos;
o jei ant žalių - 11 vnt. todėl buvo 10 žalių linijų.
Taigi bendras eilučių skaičius yra lygus . Jei perpjausite pagaliuką išilgai visų linijų, gausite 21 vnt.
Atsakymas: 21.
Problema Nr.9626.
Žiediniame kelyje yra keturios degalinės: A, B, B ir D. Atstumas tarp A ir B yra 50 km, tarp A ir B yra 40 km, tarp B ir D yra 25 km, tarp G ir A yra 35 km (visi atstumai matuojami išilgai žiedinis kelias trumpiausia kryptimi). Raskite atstumą tarp B ir C.
Pažiūrėkime, kaip gali būti degalinės. Pabandykime juos išdėstyti taip:
Tokiu būdu atstumas tarp G ir A negali būti lygus 35 km.
Pabandykime tai:
Tokiu būdu atstumas tarp A ir B negali būti 40 km.
Apsvarstykime šį variantą:
Ši parinktis atitinka problemos sąlygas.
Atsakymas: 10.
Problema Nr.10041.
Viktorinos užduočių sąrašą sudarė 25 klausimai. Už kiekvieną teisingą atsakymą mokinys gavo 7 balus, už neteisingą atsakymą iš jo buvo atimti 9 taškai, už neatsakymą – 0 balų. Kiek teisingų atsakymų pateikė mokinys, surinkęs 56 balus, jei žinoma, kad jis bent kartą klydo?
Tegul mokinys pateikia teisingus ir neteisingus atsakymus ( ). Kadangi galbūt buvo kitų klausimų, į kuriuos jis atsakė, gauname nelygybę:
Be to, atsižvelgiant į būklę,
Kadangi teisingas atsakymas prideda 7 taškus, o neteisingas – 9, o mokinys gauna 56 taškus, lygtis yra tokia:
Ši lygtis turi būti išspręsta sveikais skaičiais.
Kadangi 9 nesidalija iš 7, jis turi dalytis iš 7.
Tebūnie tada.
Šiuo atveju visos sąlygos yra įvykdytos.
Problema Nr.10056.
Stačiakampis yra padalintas į keturis mažus stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų plotai, pradedant nuo viršaus kairėje, o paskui pagal laikrodžio rodyklę, yra 15, 18, 24. Raskite ketvirtojo stačiakampio plotą.
Stačiakampio plotas lygus jo kraštinių sandaugai.
Geltonieji ir mėlynieji stačiakampiai turi bendrą kraštinę, todėl šių stačiakampių plotų santykis yra lygus kitų kraštinių ilgių santykiui (nelygus vienas kitam).
Baltas ir žalias stačiakampiai taip pat turi bendrą kraštinę, todėl jų plotų santykis yra lygus kitų kraštinių santykiui (nelygus vienas kitam), tai yra tas pats santykis:
Pagal proporcijos savybę gauname
Iš čia.
Problema Nr.10071.
Stačiakampis yra padalintas į keturis mažus stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų perimetrai, pradedant nuo viršaus į kairę, o po to pagal laikrodžio rodyklę, yra 17, 12, 13. Raskite ketvirtojo stačiakampio perimetrą.
Stačiakampio perimetras lygi sumai visų jos pusių ilgiai.
Pažymėkime stačiakampių kraštines, kaip parodyta paveikslėlyje, ir išreikškime stačiakampių perimetrus nurodytais kintamaisiais. Mes gauname:
Dabar turime išsiaiškinti, kokia yra išraiškos reikšmė.
Iš trečiosios lygties atimkime antrąją ir pridėkime trečiąją. Mes gauname:
Supaprastinus dešinę ir kairę puses, gauname:
Taigi,.
Atsakymas: 18.
Problema Nr.10086.
Lentelėje yra trys stulpeliai ir kelios eilutės. Kiekviename lentelės langelyje buvo įrašytas natūralusis skaičius, kad visų pirmame stulpelyje esančių skaičių suma būtų 72, antrajame – 81, trečiame – 91, o kiekvienos eilutės skaičių suma būtų didesnė nei 13. , bet mažiau nei 16. Kiek eilučių yra lentelėje?
Raskime visų lentelėje esančių skaičių sumą: .
Tegul lentelės eilučių skaičius yra .
Pagal uždavinį – skaičių suma kiekvienoje eilutėje daugiau nei 13, bet mažiau nei 16.
Kadangi skaičių suma yra natūralusis skaičius, šią dvigubą nelygybę tenkina tik du natūralūs skaičiai: 14 ir 15.
Jei darysime prielaidą, kad kiekvienos eilutės skaičių suma yra 14, tai visų lentelėje esančių skaičių suma yra lygi , ir ši suma tenkina nelygybę.
Jei darysime prielaidą, kad kiekvienos eilutės skaičių suma yra 15, tai visų lentelėje esančių skaičių suma yra lygi , ir šis skaičius tenkina nelygybę.
Taigi natūralusis skaičius turi tenkinti nelygybių sistemą:
Vienintelis natūralus dalykas, kuris tenkina šią sistemą, yra
Atsakymas: 17.
Apie natūraliuosius skaičius A, B ir C žinoma, kad kiekvienas iš jų yra didesnis nei 4, bet mažesnis už 8. Jie atspėjo natūralųjį skaičių, tada padaugino jį iš A, tada pridėjo prie gautos sandaugos B ir atėmė C. rezultatas buvo 165. Koks skaičius buvo atspėtas?
Natūralūs skaičiai A, B ir C gali būti lygūs skaičiams 5, 6 arba 7.
Tegul nežinomas natūralusis skaičius lygus .
Gauname: ;
Apsvarstykime įvairius variantus.
Tegu A=5. Tada B=6 ir C=7, arba B=7 ir C=6, arba B=7 ir C=7, arba B=6 ir C=6.
Patikrinkime: ;
(1)
165 dalijasi iš 5.
Skirtumas tarp skaičių B ir C yra lygus arba lygus 0, jei šie skaičiai yra lygūs. Jei skirtumas lygus , tai lygybė (1) neįmanoma. Todėl skirtumas yra 0 ir
Tegu A=6. Tada B=5 ir C=7, arba B=7 ir C=5, arba B=7 ir C=7, arba B=5 ir C=5.
Patikrinkime: ; (2) Skirtumas tarp skaičių B ir C yra lygus arba lygus 0, jei šie skaičiai yra lygūs. Jei skirtumas yra lygus arba 0, tada lygybė (2) neįmanoma, nes -
lyginis skaičius
, o suma (165 + lyginis skaičius) negali būti lyginis.
Tegu A=7. Tada B=5 ir C=6, arba B=6 ir C=5, arba B=6 ir C=6, arba B=5 ir C=5.
Patikrinkime: ;
Akivaizdu, kad pirmojo puslapio skaičius po numestų lapų yra didesnis nei 352, o tai reiškia, kad jis gali būti 532 arba 523.
Kiekviename numestame lape yra 2 puslapiai. Todėl yra lyginis puslapių skaičius. 352 yra lyginis skaičius. Jei prie lyginio skaičiaus pridedame lyginį skaičių, gauname lyginį skaičių. Todėl paskutinio išmesto puslapio numeris yra lyginis, o pirmojo puslapio numeris po išmestų lapų turi būti nelyginis, tai yra 523. Todėl paskutinio išmesto puslapio numeris yra 522. Tada rezultatas yra 
lakštai.
Atsakymas: 85
Maša ir lokys suvalgė 160 sausainių ir stiklainį uogienės, pradedant ir baigiant tuo pačiu metu. Iš pradžių Maša valgė uogienę, o Meškiukas – sausainius, bet kažkuriuo metu jie pasikeitė. Meška valgo abu tris kartus greičiau nei Maša. Kiek sausainių suvalgė Meškiukas, jei uogienę valgė vienodai?
Jei Maša ir Meška uogienę valgė vienodai, o lokys suvalgė tris kartus daugiau uogienės per laiko vienetą, tai jis uogienę suvalgė per tris kartus trumpesnį laiką nei Maša. Kitaip tariant, Maša valgė uogienę tris kartus ilgiau nei Meška. Bet kol Maša valgė uogienę, lokys valgė sausainius. Vadinasi, lokys valgė sausainius tris kartus ilgiau nei Maša. Be to, lokys per laiko vienetą suvalgė tris kartus daugiau sausainių nei Maša, todėl galiausiai jis suvalgė 9 kartus daugiau sausainių nei Maša.
Dabar nesunku sudaryti lygtį. Tegul Maša valgo sausainius, tada Lokys valgė sausainius. Kartu jie valgė sausainius. gauname lygtį:
Atsakymas: 144
Ant gėlių parduotuvės prekystalio stovi 3 vazos su rožėmis: oranžinė, balta ir mėlyna. Oranžinės vazos kairėje yra 15 rožių, o mėlynos vazos dešinėje – 12 rožių. Iš viso vazose yra 22 rožės. kiek rožių yra oranžinėje vazoje?
Kadangi 15+12=27, o 27>22, todėl gėlių skaičius vienoje vazoje buvo skaičiuojamas du kartus. Ir tai yra balta vaza, nes tai turėtų būti ta vaza, kuri stovi dešinėje nuo mėlynos ir kairėje nuo oranžinės. Taigi, vazos yra tokia tvarka: 
Iš čia gauname sistemą:
Iš trečiosios lygties atėmus pirmąjį, gauname O = 7.
Atsakymas: 7
Dešimt stulpų yra sujungti vienas su kitu laidais taip, kad iš kiekvieno stulpelio būtų lygiai 8 laidai. Kiek laidų yra tarp šių dešimties polių?
Sprendimas
Imituojame situaciją. Turėkime du stulpelius, kurie yra sujungti vienas su kitu laidais taip, kad iš kiekvieno stulpelio būtų lygiai 1 laidas. Tada pasirodo, kad iš polių eina 2 laidai. Bet mes turime tokią situaciją:
Tai yra, nors iš polių yra 2 laidai, tarp polių bus ištemptas tik vienas laidas. Tai reiškia, kad prailgintų laidų skaičius yra du kartus mažesnis nei išeinančių.
Gauname: - išeinančių laidų skaičių.
Ištrauktų laidų skaičius.
Atsakymas: 40
Iš dešimties šalių septynios draugystės sutartį pasirašė lygiai su dar trimis šalimis, o kiekviena iš likusių trijų pasirašė draugystės sutartį su lygiai septyniomis. Kiek sutarčių buvo pasirašyta?
Ši užduotis panaši į ankstesnę: dvi šalys pasirašo vieną bendras susitarimas. Kiekviena sutartis turi du parašus. Tai yra, pasirašytų sutarčių skaičius yra perpus mažesnis nei parašų.
Raskime parašų skaičių:
Raskime pasirašytų sutarčių skaičių:
Atsakymas: 21
Trys spinduliai, sklindantys iš vieno taško, padalija plokštumą į tris skirtingi kampai, matuojamas sveikais laipsnių skaičiais. Didžiausias kampas yra 3 kartus mažesnis. Kiek verčių gali užimti vidutinis kampas?
Tegul mažiausias kampas lygus , tada didžiausias kampas lygus . Kadangi visų kampų suma yra lygi, vidutinio kampo reikšmė yra lygi.
Vidutinis kampas turi būti didesnis už mažiausią ir mažesnis už didžiausią kampą.
Gauname nelygybių sistemą:
Todėl reikia nuo 52 iki 71 laipsnių, tai yra, visos galimos vertės.
Atsakymas: 20
Miša, Kolya ir Lesha žaidžia stalo tenisą: pralaimėjęs žaidėjas užleidžia vietą žaidėjui, kuris jame nedalyvavo. Galų gale paaiškėjo, kad Miša žaidė 12 žaidimų, o Kolya - 25. Kiek žaidimų žaidė Lesha?
Sprendimas
Reikėtų paaiškinti, kokia turnyro struktūra: turnyrą sudaro fiksuotas žaidimų skaičius; pralaimėtojas tam tikrame žaidime užleidžia vietą žaidėjui, kuris nedalyvavo šiame žaidime. Kito žaidimo pabaigoje pralaimėtojo vietą užima žaidėjas, kuris jame nedalyvavo. Vadinasi, kiekvienas žaidėjas dalyvauja bent viename iš dviejų žaidimų iš eilės.
Pažiūrėkime, kiek iš viso buvo žaidimų.
Kadangi Kolya žaidė 25 žaidimus, turnyre buvo sužaistos mažiausiai 25 rungtynės.
Misha žaidė 12 žaidimų. Kadangi jis tikrai dalyvavo kas antrame žaidime, todėl nebuvo žaidžiama daugiau nei partijų. Tai reiškia, kad turnyrą sudarė 25 žaidimai.
Jei Misha žaidė 12 žaidimų, tai Lesha žaidė likusius 13.
Atsakymas: 13
Ketvirčio pabaigoje Petya iš eilės surašė visus vieno dalyko pažymius, jų buvo 5, o tarp kai kurių sudėjo daugybos ženklus. Gautų skaičių sandauga pasirodė lygi 3495. Kokį balą Petja gauna iš šio dalyko ketvirčio, jei mokytojas įvertina tik 2, 3, 4 arba 5, o galutinis ketvirčio pažymys yra visų esamų pažymių aritmetinis vidurkis, suapvalintas pagal apvalinimo taisykles? (Pavyzdžiui, 3,2 suapvalintas iki 3; 4,5 - iki 5; 2,8 - iki 3)
Padalinkime 3495 į pirminius veiksnius. Paskutinis skaitmuo skaičius yra 5, todėl skaičius dalijasi iš 5; Skaičių suma dalijasi iš 3, todėl skaičius dalijasi iš 3.
Supratau
Todėl Petit įverčiai yra 3, 5, 2, 3, 3. Raskime aritmetinį vidurkį:
Atsakymas: 3
Aritmetinis vidurkis 6 skirtingi natūraliuosius skaičius yra lygus 8. Kiek reikėtų padidinti didžiausią iš šių skaičių, kad jų aritmetinis vidurkis būtų 1 didesnis?
Aritmetinis vidurkis lygus visų skaičių sumai, padalytai iš jų skaičiaus. Tegul visų skaičių suma yra lygi. Atsižvelgiant į problemos sąlygas, todėl.
Aritmetinis vidurkis tapo dar 1, tai yra tapo lygus 9. Jei vienas iš skaičių buvo padidintas , tada suma padidėjo ir tapo lygi .
Skaičių skaičius nepasikeitė ir yra lygus 6.
Gauname lygybę:
Vieningo valstybinio egzamino pagrindinio lygio matematikos užduotyje Nr. 5 turime apskaičiuoti išraiškos reikšmę naudojant skirtingos taisyklės: sutrumpintos daugybos formulės, trigonometrijos žinios, logaritmų savybės ir kt.
5 užduoties teorija
Šioje užduotyje, be operacijų su laipsniais, apie kurias kalbėjome ankstesnėse užduotyse, reikia atsiminti :
Be to, žinių užduotys yra labai dažnos logaritmo savybės :
Idėjos apie trigonometrinis ratas , pagal kuriuos galima nustatyti požymius trigonometrinės funkcijos:
Bazinio lygio matematikos vieningo valstybinio egzamino užduočių Nr.5 tipinių variantų analizė
Penktosios užduoties variantas (1)
Raskite posakio prasmę
Vykdymo algoritmas
- Pavaizduokime 390° kampą, atsižvelgdami į funkcijos tg periodiškumą mažesniu kampu.
- Padarykime daugybą.
Sprendimas:
Tai yra, tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)
tg 390° = tg (390° - 180°) = tg 210° = tg (210° - 180°) = tg 30°
Raskime trigonometrinių funkcijų verčių lentelę (in etaloninės medžiagos) gauto kampo tg reikšmė.
įdegis 30° = √3/3
20 · √3 · (√3/3) = (20 · √3 · √3) / 3 = (20 · 3) / 3 = 20
Sprendimas viduje bendras vaizdas
Apskaičiuokime išraišką, atsižvelgdami į tai, kad liestinės funkcija yra periodinė su π radianų arba 180° periodu. Todėl 390° kampas yra lygus kampui
ir gauname posakį:
Penktosios užduoties galimybė (2)
Raskite posakio prasmę
Vykdymo algoritmas
- Pavaizduokime 420° kampą, atsižvelgdami į funkcijos tg periodiškumą mažesniu kampu.
- Raskime trigonometrinių funkcijų verčių lentelę (etaloninėse medžiagose) gauto kampo reikšmę tg.
- Padarykime daugybą.
1 sprendimas:
Tg funkcija yra periodinė su 180° periodu, ty kiekvieną kartą, kai kampas padidėja arba sumažėja 180°, tg reikšmė kartojama.
tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)
tg 390° = tg (420° - 180°) = tg 240° tg (240° - 180°) = tg 60°
Raskime trigonometrinių funkcijų verčių lentelę (etaloninėse medžiagose) gauto kampo reikšmę tg.
Pakeiskime rastą reikšmę šia išraiška.
50 · √3 · √3 = -50 · 3 = -150
2 sprendimas:
Atkreipkite dėmesį, kad liestinės funkcija yra periodinė su π radianų arba 180° periodu. Todėl 420° kampo liestinė yra lygi kampo in tangentei
gauname:
Atsakymas: -150.
Penktosios užduoties galimybė (3)
Raskite posakio prasmę
Vykdymo algoritmas
- Sujungkime radikaliąsias išraiškas po viena šaknimi.
- Pridėkime trupmeną po šaknimi.
- Sumažinkime trupmeną po šaknimi.
- Išimkime veiksnius iš po šaknies.
- Padarykime daugybą.
Sprendimas:
Sujungkime radikaliąsias išraiškas po viena šaknimi. Mes turime teisę tai padaryti naudodami kvadratinės šaknies savybę.
5/3 · √27 · √3 = 5/3 · √ (27 · 3)
Pridėkime trupmeną po šaknimi.
Šaknis yra kvadratinė šaknis, todėl norėdami įvesti trupmeną po šaknies ženklu, turite ją kvadratuoti. Tai yra, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš savęs.
(5/3) 2 = (5 5) / (3 3)
Du kartus sumažinkime trupmeną po šaknimi.
Pavaizduokime sandaugą po šaknimi kaip antrųjų galių sandaugą.
Išimkime veiksnius iš po šaknies ir atliksime dauginimą.
Bendras sprendimas:
Penktosios užduoties parinktis (2018 m. demonstracinė versija)
Raskite cos α, jei sin α = 0,8 ir 90° ‹ α ‹ 180°.
Vykdymo algoritmas
- Pasirinkite šaknis, atitinkančias užduoties sąlygas.
Sprendimas:
Parašykime pagrindinį dalyką trigonometrinė tapatybė.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Pakeiskime visus žinomus duomenis į pagrindinę trigonometrinę tapatybę.
0,8 2 + cos 2 α = 1
Išspręskime gautą cos α lygtį.
cos 2 α – nežinomas terminas. Norėdami rasti nežinomą terminą, turite atimti žinomą terminą iš sumos.
cos 2 α = 1 - 0,8 2
Norėdami rasti antrąją skaičiaus laipsnį, turite skaičių padauginti iš savęs.
0,8 2 = 0,8 0,8 = 0,64
cos 2 α = 1 - 0,8 2 1 - 0,64 = 0,36
cos α = √0,36
cos α = 0,6 arba -0,6
Sąlyga 90° ‹ α ‹ 180° reiškia, kad -1 ‹ сos α ‹ 0.
Vadinasi ši sąlyga tenkina tik vieną šaknį -0,6.
Atsakymas: -0,6.
2017 m. penktosios užduoties pasirinkimas (1)
Raskite reiškinio reikšmę (2√13 −1)(2√13 +1).
Vykdymo algoritmas
Atlikdami šią užduotį, turite iš karto pastebėti sutrumpinto daugybos formulę – kvadratų skirtumą (paskutinė sutrumpinto daugybos formulė aukščiau pateiktoje teorijoje).
Sprendimas:
Po to problemos sprendimas yra toks:
(2√13 −1)(2√13 +1) = (2√13) 2 - 1 2 = 4 13 - 1 = 51
2017 m. penktosios užduoties pasirinkimas (2)
Raskite išraiškos reikšmę 5 log 5 6+1.
Vykdymo algoritmas
Pirmiausia atsiminkite laipsnių savybes ir išplėskite išraišką taip:
5 log 5 6 5 1
Tada prisiminkite logaritmo apibrėžimą ir savybę - tai antroji mūsų teorijos eilutė:
Sprendimas:
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas (1)
Raskite posakio prasmę 
Vykdymo algoritmas
- Taikome sutrumpintą daugybos formulę a 2 –b 2 =(a-b)(a+b).
- Mes naudojame kvadratinės šaknies apibrėžimą: (√ a) 2 =a.
- Raskite gautą sveikųjų skaičių skirtumą.
Sprendimas:
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas (2)
Raskite posakio prasmę 
Vykdymo algoritmas
- Taikome žurnalo tapatybę a (xy)=log a x+logas a y.
- Veiksnius pagal logaritmo ženklą paverčiame laipsniais.
- Mes naudojame, norėdami išreikšti po logaritmo ženklu šventąsias galias a x b x =(ab) x .
- Mes naudojame logaritmų savybes xžurnalas a b=log a b x.
- Taikome žurnalo tapatybę a a=1,.
Sprendimas:
log 6 27 + log 6 8 = log 6 27 8 = log 6 3 3 2 3 = log 6 (3 2) 3 = log 6 6 3 = 3 log 6 6 = 3
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas (3)
Raskite posakio prasmę 
Vykdymo algoritmas
- Koeficientą √6 dedame skliausteliuose.
- Atliekame daugybą √24 ir √6. Gauname √144. Šis skaičius yra tobulas kvadratas: (√12) 2 .
- Padauginkite √6 ir √6. Gauname (√6) 2 .
- Naudojant kvadratinės šaknies apibrėžimą (√ A) 2 =A, mes nustatome, kad (√12) 2 =12 ir (√6) 2 =6.
- Raskite skirtumą tarp gautų sveikųjų skaičių.
Sprendimas:
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas (4)
Rasti sinα jei 
Vykdymo algoritmas
- Taikykime pagrindinę trigonometrinę tapatybę. Pakeiskime tai sąlygoje tapatybe skaitinė reikšmė už kosinusą.
- Atliekame tapatybės transformaciją ir gauname skaitinį rezultatą.
- Rezultato ženklą nustatome pagal kampo α reikšmę.
Sprendimas:
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas (5)
Raskite posakio prasmę
Vykdymo algoritmas
- Atliekame 1-o prioriteto operaciją – eksponenciją (vardiklyje). Norėdami tai padaryti, naudojame šventuosius laipsnius (ab) 2 =a 2 b 2. Toliau koeficientui (√13) 2 taikome formulę, apibrėžiančią kvadratinės šaknies sąvoką: (√ A) 2 =A.
- Atliekame daugybą vardiklyje.
- Skaičius 39 skaitiklyje pavaizduojame kaip 3·13 sandaugą.
- Sumažinkite trupmeną 13.
- Išverčiame gautus bendroji trupmena po kablelio.
Sprendimas:
Atsakymas: 0,75
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas (6)
Raskite posakio prasmę
Vykdymo algoritmas
- Taikyti eksponentui 2log 3 7 šventųjų logaritmų žurnalas b y a x=(x/m)log b a. Gauname žurnalą 3 7 2 .
- Taikome logaritmų sakralumą ažurnalas a b=b. Dėl to logaritmo ženklas išnyksta, lieka tik išraiška 7 2, kuri buvo po logaritmo ženklu.
- 7 aikštė.
Sprendimas:
2log 3 7 log 3 7 2
3 = 3 = 7 2 = 49
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas (7)
Raskite posakio prasmę
Vykdymo algoritmas
- Mes naudojame šventas šaknis √(a·b)=√a·√b. Tokiu būdu √63 išskaidome į faktorius √9 ir √7.
- Sugrupuokime vienodus veiksnius √7. Gauname (√7) 2.
- Remiantis kvadratinės šaknies apibrėžimu (√ A) 2 =A, pavaizduokite √9=(√3) 2 .
- Gautus skaičius paverčiame kvadratu.
- Mes randame galutinį produktą.
Sprendimas:
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas (8)
Raskite posakio prasmę
Vykdymo algoritmas
- Mes naudojame šventuosius laipsnius x a+b =x a ·x b. Mes gauname 2 veiksnius, iš kurių pirmasis yra lygus 7, o antrasis yra laipsnis, kurio bazė yra 7 ir eksponentas, turintis logaritmą.
- Antrajam veiksniui taikome logaritmų savybes ažurnalas a b =b.
- Surandame gautą produktą.
Sprendimas:
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas(9)
Raskite posakio prasmę 
Vykdymo algoritmas
- Cos 390 0 naudojame redukcijos formulę cos (360 0 +α)=cos α. Gauname cos 30 0 =√3/2. Gautą išraišką įrašome kaip trupmeną, kurios vardiklis yra 2.
- Skaičiuojame sandaugą √3·√3, padidindami ją iki laipsnio. Norėdami tai padaryti, naudojame kvadratinės šaknies apibrėžimą: (√ A) 2 =A.
- Sumažinkite 20 skaitiklyje ir 2 vardiklyje 2.
- Mes randame galutinį produktą.
Sprendimas:
2019 m. penktosios užduoties pasirinkimas (10)
Raskite posakio prasmę 
Vykdymo algoritmas
- Transformuojame skliausteliuose paimtą išraiškos dalį. Norėdami tai padaryti, 49 pavaizduojame kaip 7 2. Tada naudojame logaritmų savybę log b a x =xžurnalas b a ir nuosavybės žurnalą a a=1. Mes gauname 2.
- Mes naudojame logaritmų log savybes a a=1.
1). Penki draugai paspaudė rankas. Kiek rankų paspaudimų buvo padaryta?
2). Į susitikimą atvyko 10 žmonių, kurie visi paspaudė vienas kitam ranką. Kiek buvo rankos paspaudimų?
3). Iš dešimties šalių trys yra pasirašiusios draugystės sutartį su lygiai dar šešiomis šalimis, o kiekviena iš likusių septynių pasirašė draugystės sutartį su lygiai dviem. Kiek sutarčių buvo pasirašyta?
4). Iš dešimties šalių septynios draugystės sutartį pasirašė lygiai su dar trimis šalimis, o kiekviena iš likusių trijų pasirašė draugystės sutartį su lygiai septyniomis. Kiek sutarčių buvo pasirašyta?
5). Septyni stulpai yra sujungti vienas su kitu laidais taip, kad iš kiekvieno stulpelio būtų lygiai 4 laidai. Kiek laidų yra tarp šių dešimties polių?
6). Dešimt stulpų yra sujungti vienas su kitu laidais taip, kad iš kiekvieno stulpelio būtų lygiai 8 laidai. Kiek laidų yra tarp šių dešimties polių?
Sprendimai youtube
1). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažesnius stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Viršutinio kairiojo ir apatinio dešiniojo stačiakampių perimetrai yra atitinkamai 45 ir 36, žr. Raskite pradinio stačiakampio perimetrą.
2). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažesnius stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų perimetrai, pradedant nuo viršutinio kairiojo krašto, o paskui pagal laikrodžio rodyklę, yra 67, 41 ir 27, žr. pav. Raskite ketvirtojo stačiakampio perimetrą.
3). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažus stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų perimetrai, pradedant nuo viršaus į kairę, o po to pagal laikrodžio rodyklę, yra 17, 15 ir 18. Raskite ketvirtojo stačiakampio perimetrą.
4). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažesnius stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų perimetrai, pradedant nuo viršaus į kairę, o po to pagal laikrodžio rodyklę, yra 20, 12 ir 11. Raskite ketvirtojo stačiakampio perimetrą.
Sprendimai
1). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažesnius stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Kvadratai po tris iš jų, pradedant nuo viršaus kairėje ir pagal laikrodžio rodyklę, yra 12, 18 ir 30. Raskite ketvirtojo stačiakampio plotą.
2). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažus stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų plotai, pradedant nuo viršutinio kairiojo kampo, o paskui pagal laikrodžio rodyklę, yra 3, 9 ir 21. Raskite ketvirtojo stačiakampio plotą.
3). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažesnius stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų plotai, pradedant nuo viršutinio kairiojo kampo, o po to pagal laikrodžio rodyklę, yra 3, 6 ir 10. Raskite ketvirtojo stačiakampio plotą.
4). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažesnius stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų plotai, pradedant nuo viršutinio kairiojo kampo, o po to pagal laikrodžio rodyklę, yra 5, 15 ir 33. Raskite ketvirtojo stačiakampio plotą.
5). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažesnius stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų plotai, pradedant nuo viršutinio kairiojo kampo, o paskui pagal laikrodžio rodyklę, yra 18, 15 ir 20. Raskite ketvirtojo stačiakampio plotą.
6). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažesnius stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų plotai, pradedant nuo viršaus kairėje, o paskui pagal laikrodžio rodyklę, yra 18, 27 ir 33. Raskite ketvirtojo stačiakampio plotą.
7). Stačiakampis yra padalintas į keturis mažesnius stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų plotai, pradedant nuo viršutinio kairiojo kampo, o paskui pagal laikrodžio rodyklę, yra 12, 15 ir 30. Raskite ketvirtojo stačiakampio plotą.
Sprendimai
1). Lentelėje yra trys stulpeliai ir kelios eilutės. Kiekviename lentelės langelyje buvo įdėtas natūralusis skaičius, kad visų pirmame stulpelyje esančių skaičių suma būtų 137, antrajame - 160, o trečiame - 185, o skaičių suma kiekvienoje eilutėje būtų didesnė nei 24, bet mažiau nei 27. Kiek eilučių yra lentelėje?
2). Lentelėje yra trys stulpeliai ir kelios eilutės. Kiekviename lentelės langelyje buvo įdėtas natūralusis skaičius, kad visų pirmame stulpelyje esančių skaičių suma būtų 93, antrajame - 107, o trečiame - 123, o kiekvienos eilutės skaičių suma būtų didesnė nei 19, bet mažiau nei 22. Kiek eilučių yra lentelėje?
Sprendimai
1). Žiogas šokinėja išilgai koordinačių linijos bet kuria kryptimi, atlikdamas vieneto atkarpą vienam šuoliui. Kiek skirtingų taškų yra koordinačių tiesėje, kurioje žiogas gali atsidurti atlikęs lygiai 5 šuolius, pradedant nuo pradžios?
2). Žiogas šokinėja išilgai koordinačių linijos bet kuria kryptimi, atlikdamas vieneto atkarpą vienam šuoliui. Kiek skirtingų taškų yra koordinačių tiesėje, į kurią žiogas gali atsidurti atlikęs lygiai 11 šuolių, pradedant nuo pradžios?
3). Žiogas šokinėja išilgai koordinačių linijos bet kuria kryptimi, atlikdamas vieneto atkarpą vienam šuoliui. Kiek skirtingų taškų yra koordinačių tiesėje, kurioje žiogas gali atsidurti atlikęs lygiai 12 šuolių, pradedant nuo pradžios?
Sprendimai
1). Lentelės 7 x 5 langeliai nudažyti juodai ir baltos spalvos. Kaimyninių ląstelių poros skirtingos spalvos Iš viso yra 27, yra tik 21 pora gretimų juodųjų ląstelių. Kiek porų yra gretimų baltųjų ląstelių?
2). 3 x 8 lentelės langeliai yra nudažyti juodai balta spalva, todėl yra 22 poros skirtingų spalvų gretimų langelių ir 11 porų gretimų juodų langelių. (Ląstelės laikomos gretimomis, jei jos turi bendra pusė). Kiek porų gretimų ląstelių yra baltos?
3). Lentelės 4 x 7 langeliai nudažyti juodai baltai. Yra tik 26 poros gretimų skirtingų spalvų langelių, o gretimų juodųjų langelių yra tik 9 poros. Kiek porų yra gretimų baltųjų langelių?
Sprendimai
1). Ant gėlių parduotuvės prekystalio stovi 3 vazos su rožėmis: oranžinė, balta ir mėlyna. Mėlynos vazos kairėje yra 15 rožių, o baltos vazos dešinėje - 11 rožių. Iš viso vazose yra 23 rožės. Kiek rožių yra oranžinėje vazoje?
2). Ant gėlių parduotuvės prekystalio stovi 3 vazos su rožėmis: balta, mėlyna ir raudona. Raudonos vazos kairėje yra 15 rožių, o mėlynos vazos dešinėje – 12 rožių. Iš viso vazose yra 22 rožės. Kiek rožių yra baltoje vazoje?
3). Ant gėlių parduotuvės prekystalio stovi 3 vazos su rožėmis: juoda, žalia ir oranžinė. Juodos vazos kairėje yra 32 rožės, o oranžinės vazos dešinėje - 9 rožės. Iš viso vazose yra 37 rožės. Kiek rožių yra žalioje vazoje?
Sprendimai
1). Lazda pažymėta skersinėmis raudonos, geltonos ir žalios spalvos linijomis. Jei perpjausite pagaliuką išilgai raudonų linijų, gausite 9 vnt., jei išilgai geltonų linijų - 7 vnt., o jei išilgai žalių linijų - 6 vnt. Kiek vienetų gausite, jei pagaliuką perpjausite pagal visų trijų spalvų linijas?
2). Lazda pažymėta skersinėmis raudonos, geltonos ir žalios spalvos linijomis. Jei perpjausite pagaliuką išilgai raudonų linijų, gausite 5 vnt., jei išilgai geltonų linijų - 7 vnt., o jei išilgai žalių - 11 vnt. Kiek vienetų gausite, jei pagaliuką perpjausite pagal visų trijų spalvų linijas?
Sprendimai
Juostoje prie skirtingos pusės nuo vidurio yra dvi plonos juostelės: mėlyna ir raudona. Jei nukirpsite juostelę išilgai raudonos juostelės, viena dalis bus 30 cm ilgesnė už kitą. Jei perkirpsite juostelę išilgai mėlynos juostelės, viena dalis bus 70 cm ilgesnė už kitą. Raskite atstumą (centimetrais) tarp raudonų ir mėlynų juostelių.
Sprendimas
1). Žiediniame kelyje yra keturios degalinės: A, B, C ir D. Atstumas tarp A ir B – 65 km, tarp A ir B – 50 km, tarp B ir D – 35 km, tarp G ir A – 45 km. km (visi atstumai matuojami žiediniu keliu trumpiausiu lanku). Raskite atstumą (kilometrais) tarp B ir C.
2). Žiediniame kelyje yra keturios degalinės: A, B, C ir D. Atstumas tarp A ir B – 35 km, tarp A ir B – 15 km, tarp B ir D – 25 km, tarp G ir A – 30 km. km (visi atstumai matuojami žiediniu keliu trumpiausiu lanku). Raskite atstumą (kilometrais) tarp B ir C.
Sprendimai
1). Trys spinduliai, sklindantys iš vieno taško, padalija plokštumą į 3 skirtingus kampus, išmatuotus sveiku laipsnių skaičiumi. Didžiausias kampas yra 3 kartus mažesnis. Kiek verčių gali užimti vidutinis kampas?
2). Trys spinduliai, sklindantys iš vieno taško, padalija plokštumą į 3 skirtingus kampus, išmatuotus sveiku laipsnių skaičiumi. Didžiausias kampas yra 4 kartus mažesnis. Kiek verčių gali užimti vidutinis kampas?
Sprendimai
1). Visuose namo įėjimuose yra vienodas aukštų skaičius, o visuose aukštuose – tiek pat butų. Šiuo atveju namo aukštų skaičius yra didesnis nei butų skaičius aukšte, butų skaičius aukšte yra didesnis nei įėjimų skaičius, o įėjimų skaičius yra daugiau nei vienas. Kiek aukštų yra pastate, jei jame yra 455 butai?
2). Visuose namo įėjimuose yra vienodas aukštų skaičius, kiekviename aukšte yra tiek pat butų. Šiuo atveju namo aukštų skaičius yra didesnis nei butų skaičius aukšte, butų skaičius aukšte yra didesnis nei įėjimų skaičius, o įėjimų skaičius yra daugiau nei vienas. Kiek aukštų yra pastate, jei iš viso yra 110 butų?
Sprendimai
Name yra penkiolika butų su numeriais nuo 1 iki 15. Kiekviename bute gyvena bent vienas ir ne daugiau trys žmonės. Butuose nuo 1 iki 12 imtinai gyvena tik 14 žmonių, o nuo 11 iki 15 – tik 13 žmonių. Kiek žmonių gyvena šiame name?
Sprendimas
Pastate yra septyniolika butų, kurių butų numeriai nuo 1 iki 17. Kiekviename bute gyvena ne mažiau kaip vienas ir ne daugiau kaip keturi žmonės. Butuose nuo 1 iki 11 imtinai iš viso gyvena 13 žmonių, o nuo 7 iki 17 imtinai – 31 žmogus. Kiek žmonių gyvena šiame name?
Sprendimas
Krepšelyje yra 35 grybai: šafrano pieno kepurėlės ir pieno grybai. Yra žinoma, kad tarp bet kurių 18 grybų yra bent viena šafrano pieno kepurė, o tarp bet kurių 19 grybų yra bent vienas pieno grybas. Kiek grybų yra krepšelyje?
Sprendimai
1). Maša ir lokys suvalgė 100 sausainių ir stiklainį uogienės, pradedant ir baigiant tuo pačiu metu. Iš pradžių Maša valgė uogienę, o Meškiukas – sausainius, bet kažkuriuo metu jie pasikeitė. Meška valgo abu tris kartus greičiau nei Maša. Kiek sausainių suvalgė Meškiukas, jei suvalgė tiek pat uogienės?
2). Maša ir lokys suvalgė 51 sausainį ir stiklainį uogienės, pradedant ir baigiant tuo pačiu metu. Iš pradžių Maša valgė uogienę, o Meškiukas – sausainius, bet kažkuriuo metu jie pasikeitė. Meška valgo abu keturis kartus greičiau nei Maša. Kiek sausainių suvalgė Meškiukas, jei suvalgė tiek pat uogienės?
Sprendimai
Viktorinos užduočių sąrašą sudarė 33 klausimai. Už kiekvieną teisingą atsakymą mokinys gavo 7 balus, už neteisingą atsakymą iš jo buvo atimta 12 balų, o už neatsakymą – 0 balų. Kiek teisingų atsakymų pateikė 70 balų surinkęs mokinys, jei žinoma, kad jis bent kartą klydo?
Sprendimas
Jei kiekvienas iš dviejų veiksnių būtų padidintas 1, jų produktas padidėtų 11. Tiesą sakant, kiekvienas iš dviejų veiksnių būtų padidintas 2. Kiek padidėjo produktas?
Sprendimas
1). Iš knygos iškrito keli lapai iš eilės. Paskutinio puslapio numeris prieš numestus lapus yra 476, pirmojo puslapio numeris po numestų lapų rašomas tais pačiais skaičiais, tik kita tvarka. Kiek lakštų iškrito?
2). Iš knygos iškrito keli popieriaus lapai iš eilės. Paskutinio puslapio numeris prieš numestus lapus yra 352, pirmojo puslapio numeris po numestų lapų rašomas tais pačiais skaičiais, tik kita tvarka. Kiek lakštų iškrito?
Sprendimai
Girą iš čiaupo galima nusipirkti buteliuose, o giros butelyje kaina susideda iš paties butelio ir į jį pilamos giros kainos. Butelio kaina nepriklauso nuo jo tūrio. 1 litro giros butelis kainuoja 44 rublius, 2 litrų – 80 rublių. Kiek rublių kainuos 0,5 litro giros butelis?
Sprendimas
Apie natūraliuosius skaičius A, B ir C žinoma, kad kiekvienas iš jų yra didesnis nei 5, bet mažesnis už 9. Jie atspėjo natūralųjį skaičių, tada padaugino jį iš A, tada pridėjo prie gautos sandaugos B ir atėmė C. Rezultatas buvo 164. Koks skaičius buvo atspėtas?
Sprendimas
1). 7 natūraliųjų skaičių aritmetinis vidurkis yra 12. Prie jų pridedamas aštuntasis skaičius, kad šių aštuonių skaičių aritmetinis vidurkis būtų 14. Raskite aštuntą skaičių.
2). 6 skirtingų natūraliųjų skaičių aritmetinis vidurkis yra 8. Kiek reikėtų padidinti didžiausią iš šių skaičių, kad jų aritmetinis vidurkis taptų 1 didesnis?
Sprendimai
1). Sraigė per dieną nušliaužia 4 m, o per naktį nušliaužia 2 m. Medžio aukštis yra 12 m bazė?
2). Sraigė per dieną nušliaužia 2 m aukštyn, o per naktį nušliaužia 1 m. Medžio aukštis – 11 m medis?
Sprendimai
1). Sasha pakvietė Petya apsilankyti, sakydamas, kad jis gyvena aštuntame įėjime bute Nr. 468, bet pamiršo pasakyti aukštą. Priėjusi prie namo Petja atrado, kad namas yra dvylikos aukštų. Kuriame aukšte gyvena Sasha? (Visuose aukštuose butų skaičius vienodas; butų numeracija pastate prasideda nuo vieno).
2). Sasha pakvietė Petya apsilankyti, sakydamas, kad jis gyvena dvyliktame įėjime bute Nr. 465, bet pamiršo pasakyti aukštą. Priėjusi prie namo Petja atrado, kad namas yra penkių aukštų. Kuriame aukšte gyvena Sasha? (Visuose aukštuose butų skaičius vienodas; butų numeracija pastate prasideda nuo vieno).
Sprendimai
Žemės rutulio paviršiuje flomasteriu nubrėžta 15 paralelių ir 20 meridianų. Į kiek dalių nubrėžtos linijos padalijo Žemės rutulio paviršių? Meridianas – apskritimo lankas, jungiantis Šiaurę ir Pietų ašigaliai. Lygiagretė yra apskritimas, esantis plokštumoje, lygiagrečioje pusiaujo plokštumai.
Sprendimas
1). Ketvirčio pabaigoje Petya iš eilės surašė visus vieno dalyko pažymius, jų buvo 5, o tarp kai kurių sudėjo daugybos ženklus. Gautų skaičių sandauga pasirodė lygi 3495. Kokį balą Petja gauna per ketvirtį iš šio dalyko, jei mokytojas duoda tik balus „2“, „3“, „4“ arba „5“ ir galutinį balas ketvirtyje yra visų esamų pažymių aritmetinis vidurkis, suapvalintas pagal apvalinimo taisykles?
2). Ketvirčio pabaigoje Petya iš eilės surašė visus vieno dalyko pažymius, jų buvo 5, o tarp kai kurių sudėjo daugybos ženklus. Gautų skaičių sandauga pasirodė lygi 1590. Kokį balą Petja gauna per ketvirtį iš šio dalyko, jei mokytojas duoda tik balus „2“, „3“, „4“ arba „5“ ir galutinį balas ketvirtyje yra visų esamų pažymių aritmetinis vidurkis, suapvalintas pagal apvalinimo taisykles?
