Aritmetinė progresija. Aritmetinė ir geometrinė progresija

Užduotys skirtos aritmetinė progresija egzistavo jau senovėje. Jie pasirodė ir reikalavo sprendimo, nes turėjo praktinį poreikį.

Taigi, viename iš papirusų Senovės Egiptas turintys matematinis turinys, - Rhindo papirusas (XIX a. pr. Kr.) - yra tokia užduotis: padalinkite dešimt duonos matų dešimčiai žmonių, jei skirtumas tarp jų bus viena aštuntadalis.

O senovės graikų matematiniuose darbuose yra elegantiškų teoremų, susijusių su aritmetine progresija. Taigi, Aleksandrijos Hypsicles (II a., o tai buvo daug įdomių užduočių ir kuris prie Euklido elementų pridėjo keturioliktąją knygą, suformulavo mintį: „Aritmetine progresija, kuri lyginis skaičius 2-osios pusės terminų suma yra didesnė už 1-osios terminų sumą 1/2 terminų skaičiaus kvadratu.

Seka žymima an. Sekos skaičiai vadinami jos nariais ir paprastai žymimi raidėmis su indeksais, nurodančiais šio nario eilės numerį (a1, a2, a3 ... skaitykite: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd“ ir taip toliau).

Seka gali būti begalinė arba baigtinė.

Kas yra aritmetinė progresija? Turime omenyje tą, kuris gaunamas sudėjus ankstesnį terminą (n) su tuo pačiu skaičiumi d, kuris yra progresijos skirtumas.

Jei d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tada tokia progresija laikoma didėjančia.

Aritmetinė progresija vadinama baigtine, jei atsižvelgiama tik į keletą pirmųjų jos narių. Labai dideli kiekiai nariai, tai jau begalinis progresas.

Bet kokia aritmetinė progresija apibrėžiama pagal šią formulę:

an =kn+b, o b ir k yra kai kurie skaičiai.

Visiškai teisingas priešingas teiginys: jei seka pateikiama panašia formule, tai būtent aritmetinė progresija turi savybių:

1. Kiekvienas progresijos narys yra ankstesnio ir paskesnio nario aritmetinis vidurkis.
2. Atvirkščiai: jei, pradedant nuo 2-osios, kiekvienas narys yra ankstesnio ir paskesnio nario aritmetinis vidurkis, t.y. jei sąlyga įvykdyta, tai ši seka yra aritmetinė progresija. Ši lygybė taip pat yra progresavimo požymis, todėl ji dažniausiai ir vadinama būdinga savybė progresija.
   Lygiai taip pat teisinga ir teorema, atspindinti šią savybę: seka yra aritmetinė progresija tik tuo atveju, jei ši lygybė yra teisinga bet kuriam sekos nariui, pradedant 2-uoju.

Bet kurių keturių aritmetinės progresijos skaičių būdingą savybę galima išreikšti formule an + am = ak + al, jei n + m = k + l (m, n, k yra progresijos skaičiai).

Aritmetinėje progresijoje bet kuris būtinas (N-asis) terminas gali būti rastas naudojant tokią formulę:

Pavyzdžiui: pirmasis aritmetinės progresijos narys (a1) yra lygus trims, o skirtumas (d) lygus keturiems. Turite rasti keturiasdešimt penktąjį šios progresijos terminą. a45 = 1+4(45-1)=177

Formulė an = ak + d(n - k) leidžia nustatyti n-asis terminas aritmetinė progresija per bet kurį jos k-tą narį, jei ji žinoma.

Aritmetinės progresijos narių suma (tai reiškia 1 n narių baigtinė progresija) apskaičiuojamas taip:

Sn = (a1+an) n/2.

Jei žinomas ir 1-asis terminas, tada skaičiavimui patogu naudoti kitą formulę:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Aritmetinės progresijos, kurią sudaro n narių, suma apskaičiuojama taip:

Skaičiavimų formulių pasirinkimas priklauso nuo uždavinių sąlygų ir pradinių duomenų.

Natūralioji bet kokių skaičių serija, pvz., 1,2,3,...,n,...- paprasčiausias pavyzdys aritmetinė progresija.

Be aritmetinės progresijos, yra ir geometrinė progresija, kuri turi savo savybes ir ypatybes.

Na, draugai, jei jūs skaitote šį tekstą, tai vidinis gaubtas-įrodymas man sako, kad jūs dar nežinote, kas yra aritmetinė progresija, bet tikrai (ne, taip: TAIP!) norite žinoti. Todėl nekankinsiu jūsų ilgomis įžangomis ir eisiu tiesiai prie reikalo.

Pirma, pora pavyzdžių. Pažvelkime į keletą skaičių rinkinių:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ką bendro turi visi šie rinkiniai? Iš pirmo žvilgsnio nieko. Bet iš tikrųjų kažkas yra. Būtent: kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi.

Spręskite patys. Pirmasis rinkinys yra tiesiog iš eilės einantys skaičiai, kurių kiekvienas yra vienu daugiau nei ankstesnis. Antruoju atveju skirtumas tarp serijų stovintys numeriai jau lygus penkiems, tačiau šis skirtumas vis tiek yra pastovus. Trečiuoju atveju iš viso yra šaknų. Tačiau $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ir $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.y. ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas tiesiog padidėja $\sqrt(2)$ (ir nebijokite, kad šis skaičius yra neracionalus).

Taigi: visos tokios sekos vadinamos aritmetine progresija. Pateikime griežtą apibrėžimą:

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas kitas lygiai tiek pat skiriasi nuo ankstesnio, vadinama aritmetine progresija. Pati suma, kuria skiriasi skaičiai, vadinama progresijos skirtumu ir dažniausiai žymima raide $d$.

Žymėjimas: $\left(((a)_(n)) \right)$ yra pati progresija, $d$ yra jos skirtumas.

Ir tik pora svarbių pastabų. Pirma, atsižvelgiama tik į progresą užsakyta skaičių seka: juos leidžiama skaityti griežtai ta tvarka, kuria jie parašyti – ir nieko daugiau. Skaičių negalima pertvarkyti ar sukeisti.

Antra, pati seka gali būti baigtinė arba begalinė. Pavyzdžiui, aibė (1; 2; 3) akivaizdžiai yra baigtinė aritmetinė progresija. Bet jei ką nors rašai dvasia (1; 2; 3; 4; ...) – tai jau begalinė progresija. Elipsė po keturių tarsi sufleruoja, kad laukia dar nemažai skaičių. Pavyzdžiui, be galo daug :)

Taip pat norėčiau pažymėti, kad progresas gali didėti arba mažėti. Jau matėme didėjančius – tą patį rinkinį (1; 2; 3; 4; ...). Štai mažėjančio progresavimo pavyzdžiai:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Gerai, gerai: paskutinis pavyzdys gali atrodyti pernelyg sudėtinga. Bet visa kita, manau, jūs suprantate. Todėl pateikiame naujus apibrėžimus:

Apibrėžimas. Aritmetinė progresija vadinama:

1. didėja, jei kiekvienas kitas elementas yra didesnis už ankstesnį;
2. mažėja, jei, priešingai, kiekvienas paskesnis elementas yra mažesnis nei ankstesnis.

Be to, yra vadinamųjų „stacionarių“ sekų - jas sudaro tas pats pasikartojantis skaičius. Pavyzdžiui, (3; 3; 3; ...).

Lieka tik vienas klausimas: kaip atskirti didėjančią progresą nuo mažėjančios? Laimei, čia viskas priklauso tik nuo to, koks yra skaičiaus $d$ ženklas, t.y. progresavimo skirtumai:

1. Jei $d \gt 0$, tai progresija didėja;
2. Jei $d \lt 0$, tai progresija akivaizdžiai mažėja;
3. Galiausiai yra atvejis $d=0$ – šiuo atveju visa progresija redukuojama į stacionarią seką identiški skaičiai: (1; 1; 1; 1; ...) ir kt.

Pabandykime apskaičiuoti skirtumą $d$ trims pirmiau pateiktoms mažėjančioms pakopoms. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kuriuos du gretimus elementus (pavyzdžiui, pirmąjį ir antrąjį) ir atimti skaičių kairėje iš skaičiaus dešinėje. Tai atrodys taip:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kaip matome, visame trys atvejai skirtumas iš tikrųjų pasirodė neigiamas. Ir dabar, kai daugiau ar mažiau išsiaiškinome apibrėžimus, laikas išsiaiškinti, kaip aprašomos progresijos ir kokios jos savybės.

Progresavimo terminai ir pasikartojimo formulė

Kadangi mūsų sekų elementai negali būti sukeisti, jie gali būti sunumeruoti:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \teisingai\)\]

Atskiri šios aibės elementai vadinami progresijos nariais. Jie žymimi skaičiumi: pirmasis narys, antrasis narys ir kt.

Be to, kaip jau žinome, gretimi progresijos terminai yra susieti pagal formulę:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rodyklė dešinėn ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Trumpai tariant, norėdami rasti progresijos $n$-ąjį narį, turite žinoti $n-1$-ąjį narį ir skirtumą $d$. Ši formulė vadinama pasikartojančia, nes jos pagalba bet kurį skaičių galite rasti tik žinodami ankstesnį (o iš tikrųjų – visus ankstesnius). Tai labai nepatogu, todėl yra gudresnė formulė, kuri sumažina visus skaičiavimus iki pirmojo termino ir skirtumo:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Tikriausiai jau esate susidūrę su šia formule. Jie mėgsta tai pateikti visokiose žinynuose ir probleminėse knygose. Ir bet kuriame protingame matematikos vadovėlyje jis yra vienas iš pirmųjų.

Tačiau siūlau šiek tiek pasitreniruoti.

Užduotis Nr.1. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius, jei $((a)_(1))=8,d=-5$.

Sprendimas. Taigi, mes žinome pirmąjį terminą $((a)_(1))=8$ ir progresijos skirtumą $d=-5$. Naudokime ką tik pateiktą formulę ir pakeiskime $n=1$, $n=2$ ir $n=3$:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: (8; 3; -2)

tai viskas! Atkreipkite dėmesį: mūsų progresas mažėja.

Žinoma, $n=1$ pakeisti negalima – pirmasis terminas mums jau žinomas. Tačiau, pakeitę vienybę, buvome įsitikinę, kad net pirmą kadenciją mūsų formulė veikia. Kitais atvejais viskas susivedė į banalią aritmetiką.

2 užduotis. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius, jei jos septintasis narys yra lygus –40, o septynioliktasis – –50.

Sprendimas. Parašykime problemos sąlygą pažįstamais terminais:

\[((a)_(7)) = -40;\quad ((a)_(17)) = -50.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(lygiuoti) \teisingai.\]

Įdėjau sistemos ženklą, nes šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Dabar atkreipkime dėmesį, kad jei iš antrosios lygties atimame pirmąjį (turime teisę tai padaryti, nes turime sistemą), gausime:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(lygiuoti)\]

Štai kaip lengva rasti progresavimo skirtumą! Belieka rastą skaičių pakeisti bet kuria sistemos lygtimi. Pavyzdžiui, pirmajame:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1)) = -40 + 6 = -34. \\ \end(matrica)\]

Dabar, žinant pirmąjį terminą ir skirtumą, belieka rasti antrą ir trečią terminus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(lygiuoti)\]

Pasiruošę! Problema išspręsta.

Atsakymas: (-34; -35; -36)

Atkreipkite dėmesį į įdomią progresavimo savybę, kurią mes atradome: jei paimsime $n$-ąją ir $m$-ąją dalį ir atimsime juos vieną iš kitos, gausime progresijos skirtumą, padaugintą iš $n-m$ skaičiaus:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Paprasta, bet labai naudingą turtą, kurį būtinai turite žinoti – jo pagalba galite žymiai pagreitinti daugelio progresavimo problemų sprendimą. Štai aiškus pavyzdys:

Užduotis Nr.3. Penktasis aritmetinės progresijos narys yra 8,4, o dešimtasis – 14,4. Raskite penkioliktą šios progresijos narį.

Sprendimas. Kadangi $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ir turime rasti $((a)_(15))$, atkreipiame dėmesį į šiuos dalykus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(lygiuoti)\]

Bet pagal sąlygą $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, taigi $5d=6$, iš kurios turime:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: 20.4

tai viskas! Nereikėjo kurti jokių lygčių sistemų ir skaičiuoti pirmojo nario bei skirtumo – viskas buvo išspręsta vos per kelias eilutes.

Dabar pažvelkime į kitą problemos tipą – neigiamų ir teigiamų progreso terminų paiešką. Ne paslaptis, kad jei progresija didėja, o pirmasis jos terminas yra neigiamas, anksčiau ar vėliau joje atsiras teigiami terminai. Ir atvirkščiai: mažėjančios progresijos sąlygos anksčiau ar vėliau taps neigiamos.

Tuo pačiu metu ne visada įmanoma rasti šį momentą „priešais“ nuosekliai pereinant elementus. Dažnai uždaviniai rašomi taip, kad nežinant formulių skaičiavimai užtruktų kelis popieriaus lapus – tiesiog užmigtume, kol rastume atsakymą. Todėl pabandykime šias problemas išspręsti greičiau.

4 užduotis. Kiek neigiamų narių yra aritmetinėje progresijoje −38,5; −35,8; ...?

Sprendimas. Taigi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, iš kur iškart randame skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad skirtumas yra teigiamas, todėl progresija didėja. Pirmasis narys yra neigiamas, todėl iš tikrųjų tam tikru momentu mes suklupsime ant teigiamų skaičių. Tik klausimas, kada tai įvyks.

Pabandykime išsiaiškinti, kiek laiko (t. y. iki kokio natūraliojo skaičiaus $n$) išlieka terminų neigiamumas:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n)) \lt 0\Rodyklė dešinėn ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rodyklė dešinėn ((n)_(\max ))=15. \\ \end(lygiuoti)\]

Paskutinė eilutė reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Taigi žinome, kad $n \lt 15\frac(7)(27)$. Kita vertus, mus tenkina tik sveikosios skaičiaus reikšmės (be to: $n\in \mathbb(N)$), todėl didžiausias leistinas skaičius yra būtent $n=15$ ir jokiu būdu ne 16 .

Užduotis Nr.5. Aritmetine progresija $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Raskite pirmojo teigiamo šios progresijos nario skaičių.

Tai būtų lygiai tokia pati problema kaip ir ankstesnė, bet mes nežinome $((a)_(1))$. Tačiau kaimyniniai terminai yra žinomi: $((a)_(5))$ ir $((a)_(6))$, todėl galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

Be to, penktąjį terminą pabandysime išreikšti pirmuoju ir skirtumu standartinė formulė:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar tęsiame pagal analogiją su ankstesnė užduotis. Sužinokime, kuriame mūsų sekos taške atsiras teigiami skaičiai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rodyklė dešinėn ((n)_(\min ))=56. \\ \end(lygiuoti)\]

Minimalus sveikųjų skaičių sprendimas šios nelygybės- 56 numeris.

Atkreipkite dėmesį: paskutinėje užduotyje viskas baigėsi griežta nelygybė, todėl variantas $n=55$ mums netiks.

Dabar, kai išmokome spręsti paprastas problemas, pereikime prie sudėtingesnių. Bet pirmiausia išstudijuokime dar vieną labai naudingą aritmetinių progresijų savybę, kuri ateityje sutaupys daug laiko ir nevienodų langelių :)

Aritmetinis vidurkis ir lygios įtraukos

Panagrinėkime kelis iš eilės didėjančios aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius. Pabandykime pažymėti juos skaičių eilutėje:

Aš konkrečiai pažymėjau savavališkus terminus $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, o ne kokius nors $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ir kt. Kadangi taisyklė, apie kurią dabar papasakosiu, galioja bet kokiems „segmentams“.

O taisyklė labai paprasta. Prisiminkime pasikartojančią formulę ir užrašykite ją visiems pažymėtiems terminams:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(lygiuoti)\]

Tačiau šias lygybes galima perrašyti skirtingai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(lygiuoti)\]

Taigi ką? Ir tai, kad terminai $((a)_(n-1))$ ir $((a)_(n+1))$ yra tokiu pat atstumu nuo $((a)_(n)) $ . Ir šis atstumas lygus $d$. Tą patį galima pasakyti apie terminus $((a)_(n-2))$ ir $((a)_(n+2))$ – jie taip pat pašalinami iš $((a)_(n) )$ tuo pačiu atstumu, lygiu $2d$. Galime tęsti iki begalybės, bet prasmę puikiai iliustruoja paveikslėlis

Ką tai reiškia mums? Tai reiškia, kad $((a)_(n))$ galima rasti, jei žinomi gretimi skaičiai:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Išvedėme puikų teiginį: kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui! Be to: galime atsitraukti nuo savo $((a)_(n))$ į kairę ir į dešinę ne vienu žingsniu, o $k$ žingsniais – ir formulė vis tiek bus teisinga:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. nesunkiai galime rasti $((a)_(150))$, jei žinome $((a)_(100))$ ir $((a)_(200))$, nes $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad šis faktas mums nieko naudingo neduoda. Tačiau praktiškai daugelis uždavinių yra specialiai pritaikyti naudoti aritmetinį vidurkį. Pažiūrėkite:

6 užduotis. Raskite visas $x$ reikšmes, kurių skaičiai $-6((x)^(2))$, $x+1$ ir $14+4((x)^(2))$ yra nuoseklūs aritmetinė progresija (nurodyta tvarka).

Sprendimas. Kadangi nurodytus skaičius yra progresijos nariai, jiems tenkinama aritmetinio vidurkio sąlyga: centrinis elementas$x+1$ gali būti išreikštas gretimais elementais:

\[\begin(lygiuoti) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Tai pasirodė klasika kvadratinė lygtis. Jo šaknys: $x=2$ ir $x=-3$ yra atsakymai.

Atsakymas: −3; 2.

Užduotis Nr.7. Raskite $$ reikšmes, kurioms skaičiai $-1;4-3;(()^(2))+1$ sudaro aritmetinę progresiją (ta tvarka).

Sprendimas. Vidurinį terminą vėl išreikškime gretimų terminų aritmetiniu vidurkiu:

\[\begin(lygiuoti) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Vėl kvadratinė lygtis. Ir vėl yra dvi šaknys: $x=6$ ir $x=1$.

Atsakymas: 1; 6.

Jei spręsdami problemą sugalvojate žiaurius skaičius arba nesate visiškai tikri dėl rastų atsakymų teisingumo, tada yra puiki technika, leidžianti patikrinti: ar teisingai išsprendėme problemą?

Tarkime, užduotyje Nr. 6 gavome atsakymus −3 ir 2. Kaip galime patikrinti, ar šie atsakymai teisingi? Tiesiog prijunkite juos prie pradinės būklės ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Priminsiu, kad turime tris skaičius ($-6(()^(2))$, $+1$ ir $14+4(()^(2))$), kurie turi sudaryti aritmetinę progresiją. Pakeiskime $x=-3$:

\[\begin(lygiuoti) & x=-3\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(lygiuoti)\]

Gavome skaičius −54; −2; 50, kurie skiriasi 52, neabejotinai yra aritmetinė progresija. Tas pats atsitinka su $x=2$:

\[\begin(lygiuoti) & x=2\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(lygiuoti)\]

Vėl progresija, bet su 27 skirtumu. Taigi, problema buvo išspręsta teisingai. Antrą problemą norintys gali pasitikrinti patys, bet iš karto pasakysiu: ten irgi viskas teisinga.

Apskritai, sprendžiant naujausios užduotys, aptikome dar vieną įdomus faktas, kurį taip pat reikia atsiminti:

Jei trys skaičiai yra tokie, kad antrasis yra vidurinis pirmiausia aritmetika ir paskutinis, tada šie skaičiai sudaro aritmetinę progresiją.

Ateityje šio teiginio supratimas leis mums tiesiogine prasme „projektuoti“ būtinos progresijos, atsižvelgiant į problemos sąlygas. Tačiau prieš įsitraukdami į tokią „statybą“, turėtume atkreipti dėmesį į dar vieną faktą, kuris tiesiogiai išplaukia iš to, kas jau buvo aptarta.

Elementų grupavimas ir sumavimas

Grįžkime prie skaičių ašis. Pažymėkime keletą progreso narių, tarp kurių galbūt. yra vertas daugelio kitų narių:

Pabandykime išreikšti „kairę uodegą“ per $((a)_(n))$ ir $d$, o „dešinę uodegą“ – per $((a)_(k))$ ir $d$. Tai labai paprasta:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar atkreipkite dėmesį, kad šios sumos yra lygios:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(lygiuoti)\]

Paprasčiau tariant, jei pradėsime du progreso elementus, kurie iš viso yra lygūs tam tikram skaičiui $S$, ir tada pradedame pereiti nuo šių elementų į priešingos pusės(vienas kito link arba atvirkščiai, kad pasitrauktumėte), tada elementų sumos, į kurias atsidursime, taip pat bus lygios$S$. Aiškiausiai tai galima pavaizduoti grafiškai:

Supratimas šis faktas leis mums išspręsti problemas iš esmės daugiau aukšto lygio sunkumų, nei minėjome aukščiau. Pavyzdžiui, šie:

8 užduotis. Nustatykite aritmetinės progresijos skirtumą, kai pirmasis narys yra 66, o antrojo ir dvyliktojo narių sandauga yra mažiausia įmanoma.

Sprendimas. Užsirašykime viską, ką žinome:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(lygiuoti)\]

Taigi, progresijos skirtumo $d$ nežinome. Tiesą sakant, visas sprendimas bus sukurtas atsižvelgiant į skirtumą, nes produktas $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ gali būti perrašytas taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(lygiuoti)\]

Tiems, kurie yra bake: išėmiau bendras daugiklis 11 iš antrojo skliausto. Taigi norima sandauga yra kvadratinė funkcija kintamojo $d$ atžvilgiu. Todėl apsvarstykite funkciją $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – jos grafikas bus parabolė su šakomis į viršų, nes jei išplėsime skliaustus, gausime:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (lygiuoti)\]

Kaip matote, didžiausio termino koeficientas yra 11 - tai yra teigiamas skaičius, todėl mes iš tikrųjų susiduriame su parabole su aukštyn šakomis:

tvarkaraštį kvadratinė funkcija- parabolė

Atkreipkite dėmesį: minimali vertėši parabolė užima $((d)_(0))$ savo viršūnėje su abscisėmis. Žinoma, šią abscisę galime apskaičiuoti naudodami standartinę schemą (yra formulė $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), bet daug protingiau būtų pastebėti kad norima viršūnė yra ant parabolės ašies simetrijos, todėl taškas $((d)_(0))$ yra vienodu atstumu nuo lygties $f\left(d \right)=0$ šaknų:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(lygiuoti)\]

Štai kodėl aš neskubėjau atidaryti skliaustų: originalios formos šaknis buvo labai labai lengva rasti. Todėl abscisė yra lygi vidurkiui aritmetiniai skaičiai–66 ir –6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ką mums suteikia atrastas skaičius? Su juo paima reikiamą produktą mažiausia vertė(beje, mes niekada neskaičiavome $((y)_(\min ))$ – to iš mūsų nereikalaujama). Kartu šis skaičius yra pradinės progresijos skirtumas, t.y. radome atsakymą :)

Atsakymas: −36

Užduotis Nr.9. Tarp skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac(1)(6)$ įterpkite tris skaičius, kad kartu su šiais skaičiais sudarytų aritmetinę progresiją.

Sprendimas. Iš esmės turime sudaryti penkių skaičių seką, kurių pirmasis ir paskutinis skaičiai jau žinomi. Trūkstamus skaičius pažymėkime kintamaisiais $x$, $y$ ir $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius $y$ yra mūsų sekos „viduris“ – jis yra vienodu atstumu nuo skaičių $x$ ir $z$ bei nuo skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac. (1) (6) $. Ir jei iš skaičių $x$ ir $z$ mes patenkame šiuo metu negalime gauti $y$, tada situacija kitokia su progreso galais. Prisiminkime aritmetinį vidurkį:

Dabar, žinodami $y$, rasime likusius skaičius. Atminkite, kad $x$ yra tarp skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $y=-\frac(1)(3)$, kurį ką tik radome. Štai kodėl

Remdamiesi panašiais samprotavimais, randame likusį skaičių:

Pasiruošę! Mes radome visus tris skaičius. Parašykime juos atsakyme tokia tvarka, kokia jie turėtų būti įterpti tarp pradinių skaičių.

Atsakymas: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

10 užduotis. Tarp skaičių 2 ir 42 įterpkite kelis skaičius, kurie kartu su šiais skaičiais sudaro aritmetinę progresiją, jei žinote, kad pirmojo, antrojo ir paskutinio įterptų skaičių suma yra 56.

Sprendimas. Dar sudėtingesnė problema, kuri vis dėlto sprendžiama pagal tą pačią schemą kaip ir ankstesnės – per aritmetinį vidurkį. Problema ta, kad mes tiksliai nežinome, kiek skaičių reikia įterpti. Todėl aiškumo dėlei darykime prielaidą, kad viską įdėjus bus lygiai $n$ skaičiai, iš kurių pirmasis yra 2, o paskutinis – 42. Tokiu atveju reikiamą aritmetinę progresiją galima pavaizduoti forma:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;(a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \dešinė\)\]

\[((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1)) = 56\]

Tačiau atkreipkite dėmesį, kad skaičiai $((a)_(2))$ ir $((a)_(n-1))$ gaunami iš skaičių 2 ir 42 kraštuose vienu žingsniu vienas kito link, t.y. į sekos centrą. O tai reiškia, kad

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Bet tada aukščiau parašyta išraiška gali būti perrašyta taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+(a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(lygiuoti)\]

Žinodami $((a)_(3))$ ir $((a)_(1))$, galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rodyklė dešinėn d=5. \\ \end(lygiuoti)\]

Belieka rasti likusius terminus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(lygiuoti)\]

Taigi, jau 9 žingsnyje pateksime į kairįjį sekos galą – skaičių 42. Iš viso reikėjo įterpti tik 7 skaičius: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atsakymas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Žodinės problemos su progresais

Baigdamas norėčiau apsvarstyti keletą santykinų paprastos užduotys. Na, taip paprasta: daugumai mokinių, kurie mokykloje mokosi matematikos ir neskaitė to, kas parašyta aukščiau, šios problemos gali atrodyti sunkios. Nepaisant to, tokios problemos atsiranda OGE ir vieningame valstybiniame matematikos egzamine, todėl rekomenduoju su jomis susipažinti.

11 užduotis. Sausio mėnesį komanda pagamino 62 dalis, o kiekvieną kitą mėnesį pagamino 14 dalių daugiau nei praėjusį mėnesį. Kiek dalių komanda pagamino lapkritį?

Sprendimas. Akivaizdu, kad dalių skaičius, išvardytas pagal mėnesį, parodys didėjančią aritmetinę progresiją. Be to:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(lygiuoti)\]

Lapkritis yra 11 metų mėnuo, todėl turime rasti $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Todėl lapkritį bus pagamintos 202 dalys.

12 užduotis. Įrišimo cechas sausio mėnesį įrišo 216 knygų, o kiekvieną kitą mėnesį įrišo 4 knygomis daugiau nei praėjusį. Kiek knygų seminaras įrišo gruodžio mėnesį?

Sprendimas. Viskas tas pats:

$\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(lygiuoti)$

Gruodis yra paskutinis, 12 metų mėnuo, todėl ieškome $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Tai yra atsakymas – gruodžio mėnesį bus įrišta 260 knygų.

Na, o jei perskaitėte iki šiol, skubu jus pasveikinti: sėkmingai baigėte „jaunojo kovotojo kursą“ aritmetinėje progresijoje. Galite saugiai pereiti prie kitos pamokos, kurioje išnagrinėsime progreso sumos formulę, taip pat svarbius ir labai naudingų pasekmių nuo jos.

Aritmetinės progresijos suma.

Aritmetinės progresijos suma yra paprastas dalykas. Ir prasme, ir formule. Tačiau šia tema yra visokių užduočių. Nuo pagrindinio iki gana tvirto.

Pirmiausia supraskime sumos prasmę ir formulę. Ir tada mes nuspręsime. Savo malonumui.) Sumos reikšmė paprasta kaip moo. Norėdami rasti aritmetinės progresijos sumą, tereikia atidžiai pridėti visus jos terminus. Jei šių terminų nedaug, galite pridėti be jokių formulių. Bet jei daug, ar daug... papildymas erzina.) Tokiu atveju gelbsti formulė.

Sumos formulė paprasta:

Išsiaiškinkime, kokios raidės yra įtrauktos į formulę. Tai daug ką išaiškins.

S n - aritmetinės progresijos suma. Papildymo rezultatas visi nariai, su pirma Autorius paskutinis. Tai svarbu. Jie tiksliai sumuojasi Visi nariai iš eilės, nepraleidžiant ir nepraleidžiant. Ir, būtent, pradedant nuo pirma. Tokiose problemose kaip trečiojo ir aštunto terminų sumos arba terminų nuo penkto iki dvidešimto sumos radimas - tiesioginis taikymas formulės nuvils.)

a 1 - pirma progresijos narys. Čia viskas aišku, viskas paprasta pirma eilutės numeris.

a n- paskutinis progresijos narys. Paskutinis numeris eilė. Nelabai pažįstamas pavadinimas, bet pritaikius prie sumos, labai tinka. Tada pamatysite patys.

n - paskutinio nario numeris. Svarbu suprasti, kad formulėje šis skaičius sutampa su pridėtų terminų skaičiumi.

Apibrėžkime sąvoką paskutinis narys a n. Sudėtingas klausimas: kuris narys bus paskutinis jei duota begalinis aritmetinė progresija?)

Norint atsakyti užtikrintai, reikia suprasti elementarią aritmetinės progresijos prasmę ir... atidžiai perskaityti užduotį!)

Atliekant užduotį rasti aritmetinės progresijos sumą, paskutinis narys visada pasirodo (tiesiogiai arba netiesiogiai), kuris turėtų būti ribojamas. Kitu atveju galutinė, konkreti suma tiesiog neegzistuoja. Sprendimui nesvarbu, ar progresija pateikta: baigtinė ar begalinė. Nesvarbu, kaip jis pateikiamas: skaičių serija ar n-ojo nario formulė.

Svarbiausia suprasti, kad formulė veikia nuo pirmojo progreso nario iki termino su skaičiumi n. Tiesą sakant, visas formulės pavadinimas atrodo taip: aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma.Šių pačių pirmųjų narių skaičius, t.y. n, lemia tik užduotis. Užduotyje visa ši vertinga informacija dažnai yra užšifruota, taip... Bet nesvarbu, toliau pateiktuose pavyzdžiuose atskleidžiame šias paslaptis.)

Užduočių, susijusių su aritmetinės progresijos suma, pavyzdžiai.

Visų pirma, naudingos informacijos:

Pagrindinis sunkumas atliekant užduotis, susijusias su aritmetinės progresijos suma, yra teisingas apibrėžimas formulės elementai.

Užduočių autoriai šiuos elementus užšifruoja su beribe fantazija.) Svarbiausia čia nebijoti. Suvokus elementų esmę, pakanka juos tiesiog iššifruoti. Išsamiai pažvelkime į kelis pavyzdžius. Pradėkime nuo užduoties, pagrįstos tikru GIA.

1. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a n = 2n-3.5. Raskite pirmųjų 10 jo terminų sumą.

Geras darbas. Lengva.) Ką turime žinoti, norėdami nustatyti sumą pagal formulę? Pirmasis narys a 1, paskutinė kadencija a n, taip paskutinio nario numeris n.

Kur galiu gauti paskutinio nario numerį? n? Taip, čia, su sąlyga! Sakoma: surask sumą pirmieji 10 narių. Na, su kokiu numeriu bus? paskutinis, dešimtas narys?) Nepatikėsite, jo skaičius yra dešimtas!) Todėl vietoj a n pakeisime į formulę a 10, o vietoj to n- dešimt. Pasikartosiu, paskutinio nario skaičius sutampa su narių skaičiumi.

Belieka nustatyti a 1 Ir a 10. Tai nesunkiai apskaičiuojama naudojant n-ojo nario formulę, kuri pateikta problemos teiginyje. Nežinote, kaip tai padaryti? Dalyvaukite ankstesnėje pamokoje, be šios nėra jokio būdo.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Išsiaiškinome visų aritmetinės progresijos sumos formulės elementų reikšmę. Belieka juos pakeisti ir suskaičiuoti:

tiek. Atsakymas: 75.

Kita užduotis, pagrįsta GIA. Šiek tiek sudėtingiau:

2. Duota aritmetinė progresija (a n), kurios skirtumas lygus 3,7; a 1 = 2,3. Raskite pirmųjų 15 jo terminų sumą.

Iš karto parašome sumos formulę:

Ši formulė leidžia mums rasti bet kurio termino reikšmę pagal jo skaičių. Ieškome paprasto pakaitalo:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Belieka visus elementus pakeisti aritmetinės progresijos sumos formulėje ir apskaičiuoti atsakymą:

Atsakymas: 423.

Beje, jei sumos formulėje vietoj a n Mes tiesiog pakeičiame formulę n-tuoju nariu ir gauname:

Atnešime panašių, gauname nauja formulė aritmetinės progresijos narių sumos:

Kaip matote, n-asis terminas čia nereikalingas a n. Kai kuriose problemose ši formulė labai padeda, taip... Galite prisiminti šią formulę. Ar įmanoma į tinkamas momentas lengva jį parodyti, kaip čia. Juk visada reikia atsiminti sumos formulę ir n-ojo nario formulę.)

Dabar užduotis trumpo šifravimo forma):

3. Raskite visų teigiamų dalykų sumą dviženklius skaičius, trijų kartotiniai.

Oho! Nei pirmas tavo narys, nei paskutinis, nei progresas... Kaip gyventi!?

Teks mąstyti galva ir iš sąlygos ištraukti visus aritmetinės progresijos sumos elementus. Mes žinome, kas yra dviženkliai skaičiai. Jie susideda iš dviejų skaičių.) Koks bus dviženklis skaičius pirma? 10, tikriausiai.) A paskutinis dviženklis skaičius? 99, žinoma! Triženkliai seks paskui jį...

Trijų kartotiniai... Hm... Tai skaičiai, kurie dalijasi iš trijų, štai! Dešimt nesidalija iš trijų, 11 nesidalija... 12... dalijasi! Taigi, kažkas atsiranda. Jau galite užsirašyti seriją pagal problemos sąlygas:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ar ši serija bus aritmetinė progresija? tikrai! Kiekvienas terminas nuo ankstesnio skiriasi griežtai trimis. Jei prie termino pridėsite 2 ar 4, tarkime, rezultatas, t.y. naujas skaičius nebedalinamas iš 3. Iš karto galite nustatyti aritmetinės progresijos skirtumą: d = 3. Tai pravers!)

Taigi, galime saugiai užrašyti kai kuriuos progreso parametrus:

Koks bus skaičius? n paskutinis narys? Kas galvoja, kad 99 – mirtinai klysta... Skaičiai visada eina iš eilės, bet mūsų nariai peršoka per tris. Jie nesutampa.

Čia yra du sprendimai. Vienas iš būdų – itin darbštiems. Galite užsirašyti progresą, visą skaičių seką ir pirštu suskaičiuoti narių skaičių.) Antrasis būdas – mąstantiems. Reikia atsiminti n-ojo termino formulę. Jei pritaikysime formulę savo problemai, pamatysime, kad 99 yra trisdešimtasis progresijos narys. Tie. n = 30.

Pažiūrėkime į aritmetinės progresijos sumos formulę:

Žiūrime ir džiaugiamės.) Iš problemos teiginio ištraukėme viską, ko reikia sumai apskaičiuoti:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Lieka tik elementari aritmetika. Pakeičiame skaičius į formulę ir apskaičiuojame:

Atsakymas: 1665 m

Kitas populiarus galvosūkių tipas:

4. Pateikta aritmetinė progresija:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Raskite terminų sumą nuo dvidešimties iki trisdešimt keturių.

Žiūrime į sumos formulę ir... susinerviname.) Formulė, priminsiu, apskaičiuoja sumą nuo pirmos narys. Ir užduotyje reikia apskaičiuoti sumą nuo dvidešimties... Formulė neveiks.

Žinoma, galite surašyti visą eigą iš eilės ir pridėti terminus nuo 20 iki 34. Bet... tai kažkaip kvaila ir užtrunka ilgai, tiesa?)

Yra ir daugiau elegantiškas sprendimas. Padalinkime seriją į dvi dalis. Pirma dalis bus nuo pirmos kadencijos iki devynioliktos. Antra dalis - nuo dvidešimt iki trisdešimt keturių. Aišku, kad jei paskaičiuotume pirmosios dalies sąlygų sumą S 1-19, pridėkime jį prie antrosios dalies terminų suma S 20-34, gauname progresijos sumą nuo pirmos iki trisdešimt ketvirtosios S 1-34. kaip tai:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iš to matome, kad suraskite sumą S 20-34 galima atlikti paprastu atėmimu

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Svarstomos abi sumos dešinėje pusėje nuo pirmos narys, t.y. standartinė sumos formulė jiems yra gana tinkama. Pradėkime?

Progresavimo parametrus ištraukiame iš problemos teiginio:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Norint apskaičiuoti pirmųjų 19 ir pirmųjų 34 terminų sumas, mums reikės 19 ir 34 terminų. Apskaičiuojame juos naudodami n-ojo nario formulę, kaip ir 2 uždavinyje:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nieko nebelieka. Iš 34 terminų sumos atimkite 19 terminų sumą:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Atsakymas: 262,5

Vienas svarbi pastaba! Yra labai naudingas triukas sprendžiant šią problemą. Vietoj tiesioginio skaičiavimo ko jums reikia (S 20-34), suskaičiavome kažkas, ko, atrodo, nereikia - S 1-19. Ir tada jie nusprendė S 20-34, pašalindami nereikalingus dalykus iš viso rezultato. Toks „apgaudinėjimas su ausimis“ dažnai gelbsti nuo baisių problemų.)

Šioje pamokoje nagrinėjome uždavinius, kuriems pakanka suprasti aritmetinės progresijos sumos reikšmę. Na, jūs turite žinoti keletą formulių.)

Praktinis patarimas:

Sprendžiant bet kokį uždavinį, susijusį su aritmetinės progresijos suma, rekomenduoju nedelsiant išrašyti dvi pagrindines formules iš šios temos.

N-ojo termino formulė:

Šios formulės iš karto pasakys, ko ieškoti ir kokia kryptimi galvoti, norint išspręsti problemą. Padeda.

O dabar savarankiško sprendimo užduotys.

5. Raskite visų dviženklių skaičių, kurie nesidalija iš trijų, sumą.

Šaunu?) Užuomina paslėpta pastaboje apie 4 uždavinį. Na, 3 uždavinys padės.

6. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite pirmųjų 24 jo terminų sumą.

Neįprasta?) Tai pasikartojanti formulė. Apie tai galite perskaityti ankstesnėje pamokoje. Neignoruokite nuorodos, tokios problemos dažnai aptinkamos Valstybinėje mokslų akademijoje.

7. Vasja sutaupė pinigų atostogoms. Net 4550 rublių! Ir nusprendžiau savo mylimam žmogui (sau) padovanoti kelias laimės dienas). Gyvenk gražiai, nieko sau neneigdamas. Pirmą dieną išleiskite 500 rublių, o kiekvieną kitą dieną išleiskite 50 rublių daugiau nei praėjusią! Kol baigsis pinigai. Kiek dienų Vasya turėjo laimės?

Ar sunku?) Padės papildoma formulė iš 2 uždavinio.

Atsakymai (netvarkingai): 7, 3240, 6.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Arba aritmetika yra sutvarkytos skaitinės sekos tipas, kurio savybės tiriamos mokyklos kursas algebra. Šiame straipsnyje išsamiai aptariamas klausimas, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą.

Kokia tai progresija?

Prieš pereinant prie klausimo (kaip rasti aritmetinės progresijos sumą), verta suprasti, apie ką mes kalbame.

Bet kuri realiųjų skaičių seka, gauta pridedant (atimant) tam tikrą reikšmę iš kiekvieno ankstesnio skaičiaus, vadinama algebrine (aritmetine) progresija. Šis apibrėžimas, išverstas į matematinę kalbą, įgyja tokią formą:

Čia i yra eilutės elemento a i serijos numeris. Taigi, žinodami tik vieną pradinį numerį, galite lengvai atkurti visą seriją. Parametras d formulėje vadinamas progresijos skirtumu.

Galima lengvai parodyti, kad nagrinėjamai skaičių serijai galioja ši lygybė:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Tai yra, norėdami rasti n-ojo elemento reikšmę eilės tvarka, skirtumą d prie pirmojo elemento a turėtumėte pridėti 1 n-1 kartą.

Kokia yra aritmetinės progresijos suma: formulė

Prieš pateikiant nurodytos sumos formulę, verta apsvarstyti paprastą ypatingas atvejis. Pateikiama progresija natūraliuosius skaičius nuo 1 iki 10, reikia rasti jų sumą. Kadangi progresijoje (10) yra mažai terminų, problemą galima išspręsti tiesiai, ty susumuoti visus elementus iš eilės.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vienas dalykas, kurį verta apsvarstyti įdomus dalykas: kadangi kiekvienas narys skiriasi nuo kito ta pačia reikšme d = 1, tada poromis susumavus pirmąjį su dešimtuoju, antrojo su devintuoju ir t. t. bus gautas toks pat rezultatas. Tikrai:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kaip matote, šių sumų yra tik 5, tai yra lygiai du kartus mažiau nei serijos elementų skaičius. Tada padauginę sumų skaičių (5) iš kiekvienos sumos rezultato (11), gausite rezultatą, gautą pirmame pavyzdyje.

Jei apibendrinsime šiuos argumentus, galime parašyti tokią išraišką:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ši išraiška rodo, kad visai nebūtina susumuoti visų elementų iš eilės, pakanka žinoti pirmojo a 1 ir paskutinio a n reikšmę, taip pat bendras skaičius n terminai.

Manoma, kad Gaussas pirmasis pagalvojo apie šią lygybę, kai ieškojo tam tikros problemos sprendimo. mokyklos mokytoja Užduotis: susumuokite pirmuosius 100 sveikųjų skaičių.

Elementų suma nuo m iki n: formulė

Ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė atsako į klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą (pirmuosius elementus), tačiau dažnai uždaviniuose reikia sumuoti skaičių seką progresijos viduryje. Kaip tai padaryti?

Lengviausias būdas atsakyti į šį klausimą yra apgalvoti sekantis pavyzdys: tegul reikia rasti terminų sumą nuo m-osios iki n-osios. Norėdami išspręsti problemą, nurodytą progreso atkarpą nuo m iki n turėtumėte pavaizduoti kaip naują skaičių serija. Šiame m-oji atstovybė terminas a m bus pirmasis, o a n bus sunumeruotas n-(m-1). Tokiu atveju, taikant standartinę sumos formulę, bus gauta tokia išraiška:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulių naudojimo pavyzdys

Žinant, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą, verta apsvarstyti paprastą aukščiau pateiktų formulių naudojimo pavyzdį.

Žemiau pateikiama skaičių seka, turėtumėte rasti jo terminų sumą, pradedant nuo 5 ir baigiant 12:

Pateikti skaičiai rodo, kad skirtumas d yra lygus 3. Naudodami n-ojo elemento išraišką galite rasti 5 ir 12 progresijos narių reikšmes. Pasirodo:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Žinodami skaičių reikšmes duotųjų galuose algebrinė progresija, taip pat žinodami, kokius skaičius eilutėje jie užima, galite naudoti ankstesnėje pastraipoje gautos sumos formulę. Tai paaiškės:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Verta paminėti, kad šią reikšmę galima gauti skirtingai: pirmiausia pagal standartinę formulę suraskite pirmųjų 12 elementų sumą, tada pagal tą pačią formulę apskaičiuokite pirmųjų 4 elementų sumą, tada iš pirmosios sumos atimkite antrąją.

Pavyzdžiui, seka \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas paskesnis elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):

Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.

Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šeši.

Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.

Aritmetinės progresijos žymėjimas

Pažanga nurodoma maža lotyniška raide.

Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami narių(arba elementai).

Jie žymimi ta pačia raide kaip aritmetinė progresija, bet su skaitine indeksu, lygiu elemento skaičiui.

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.

Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmetinės progresijos uždavinių sprendimas

Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti (įskaitant ir OGE siūlomas).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_5=23\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite šios progresijos pirmojo neigiamo nario reikšmę.
Sprendimas:

Atsakymas: \(-3\)

Pavyzdys (OGE). Duoti keli iš eilės aritmetinės progresijos elementai: \(…5; x; 10; 12.5...\) Raskite elemento, pažymėto raide \(x\), reikšmę.
Sprendimas:

Atsakymas: \(7,5\).

Pavyzdys (OGE). Pateikiama aritmetinė progresija toliau nurodytomis sąlygomis: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_6=9\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(d=7\).

Svarbios aritmetinės progresijos formulės

Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos problemų galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką - kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas paskesnis šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio ( progresavimo skirtumas).

Tačiau kartais būna situacijų, kai apsispręsti „prieš akis“ yra labai nepatogu. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Ar turėtume pridėti keturis \(385\) kartus? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Pavargsite skaičiuoti...

Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia dalykų „priešais“, o naudoja specialias aritmetinei progresijai išvestas formules. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir \(n\) pirmųjų narių sumos formulė.

\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) – progresijos su skaičiumi \(n\) terminas.

Ši formulė leidžia greitai rasti net trijų šimtųjų ar milijonų elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.

Pavyzdys. Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_(246)=1850\).

Pirmųjų n terminų sumos formulė: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) – paskutinis sumuojamas terminas;

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(25)=1090\).

Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:

Pirmųjų n terminų sumos formulė: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – reikiama \(n\) pirmųjų elementų suma;
\(a_1\) – pirmasis sumuojamas terminas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – elementų skaičius sumoje.

Pavyzdys. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(33)=-231\).

Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos

Dabar jūs turite viską reikalinga informacija beveik bet kokiam aritmetinės progresijos uždaviniui išspręsti. Užbaikime temą apsvarstydami uždavinius, kuriuose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek pagalvoti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)

Pavyzdys (OGE). Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S=1683\).

Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau jūs galite lengvai juos rasti.