Laikoma, kad apskritimas yra įrašytas į ribas taisyklingas daugiakampis, jei jis guli jo viduje, liečiant tiesias linijas, kurios eina per visas puses. Pažiūrėkime, kaip rasti apskritimo centrą ir spindulį. Apskritimo centras bus taškas, kuriame susikerta daugiakampio kampų pusiausvyros. Spindulys apskaičiuojamas: R=S/P; S yra daugiakampio plotas, P yra apskritimo pusiau perimetras.
Trikampyje
IN taisyklingas trikampisįrašyti tik vieną apskritimą, kurio centras vadinamas centru; jis yra vienodu atstumu nuo visų pusių ir yra pusiausvyros sankirta.
Keturkampyje
Dažnai jūs turite nuspręsti, kaip čia rasti įrašyto apskritimo spindulį geometrinė figūra. Jis turi būti išgaubtas (jei nėra savaiminių susikirtimų). Į jį galima įrašyti apskritimą tik tada, kai sumos yra lygios priešingos pusės: AB+CD=BC+AD.
Šiuo atveju įbrėžto apskritimo centras, įstrižainių vidurio taškai, yra toje pačioje tiesėje (pagal Niutono teoremą). Atkarpa, kurios galai yra ten, kur susikerta priešingos taisyklingo keturkampio kraštinės, yra toje pačioje tiesėje, vadinama Gauso tiesia. Apskritimo centras bus taškas, kuriame trikampio aukščiai susikerta su viršūnėmis ir įstrižainėmis (pagal Brokaro teoremą).
Rombe
Jis laikomas lygiagretainiu, kurio kraštinės yra vienodo ilgio. Jame įrašyto apskritimo spindulį galima apskaičiuoti keliais būdais.
- Norėdami tai padaryti teisingai, suraskite įbrėžto rombo apskritimo spindulį, jei žinomas rombo plotas ir jo kraštinės ilgis. Naudojama formulė r=S/(2Xa). Pavyzdžiui, jei rombo plotas yra 200 mm kvadrato, kraštinės ilgis yra 20 mm, tada R = 200/(2X20), tai yra 5 mm.
- Yra žinomas vienos iš viršūnių smailusis kampas. Tada reikia naudoti formulę r=v(S*sin(α)/4). Pavyzdžiui, 150 mm ploto ir žinomos anglies 25 laipsnių kampu, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 mm.
- Visi rombo kampai yra lygūs. Šioje situacijoje į rombą įbrėžto apskritimo spindulys bus lygus pusei duotosios figūros vienos kraštinės ilgis. Jei samprotaujame pagal Euklido, kuris teigia, kad bet kurio keturkampio kampų suma yra 360 laipsnių, tai vienas kampas bus lygus 90 laipsnių; tie. tai pasirodys kvadratas.
Į trikampį įbrėžtas apskritimas
Į trikampį įbrėžto apskritimo egzistavimas
Prisiminkime apibrėžimą kampo pusiausvyros .
1 apibrėžimas .Kampo bisektorius vadinamas spindulys, dalijantis kampą į dvi lygias dalis.
Teorema 1 (pagrindinė kampo pusiausvyros savybė) . Kiekvienas kampo bisektoriaus taškas yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių (1 pav.).
Ryžiai. 1
Įrodymas D , guli ant kampo bisektoriausBAC , Ir DE Ir DF kampo šonuose (1 pav.).Dešinieji trikampiai ADF Ir ADE lygus , nes jų smailieji kampai yra vienodiDAF Ir DAE , ir hipotenuzė AD – generolas. Vadinasi,
DF = DE,
Q.E.D.
2 teorema ( atvirkštinė teorema prie 1 teoremos) . Jei šiek tiek, tada jis guli ant kampo bisektoriaus (2 pav.).
Ryžiai. 2
Įrodymas . Apsvarstykite savavališką taškąD , guli kampo vidujeBAC ir esantis tokiu pat atstumu nuo kampo kraštų. Nukreipkime nuo esmėsD statmenai DE Ir DF kampo šonuose (2 pav.).Dešinieji trikampiai ADF Ir ADE lygus , nes jie turi lygias kojasDF Ir DE , ir hipotenuzė AD – generolas. Vadinasi,
Q.E.D.
2 apibrėžimas . Apskritimas vadinamas kampu įbrėžtas apskritimas , jei tai yra šio kampo kraštinės.
3 teorema . Jei apskritimas įbrėžtas į kampą, tai atstumai nuo kampo viršūnės iki apskritimo sąlyčio taškų su kampo kraštinėmis yra lygūs.
Įrodymas . Tegul taškas D – į kampą įbrėžto apskritimo centrasBAC , ir taškai E Ir F – apskritimo sąlyčio taškai su kampo kraštinėmis (3 pav.).
3 pav
a , b , c - trikampio kraštinės, S - kvadratas,
r – įbrėžto apskritimo spindulys, p – pusiau perimetras
Peržiūrėkite formulės išvestį
a – pusėje lygiašonis trikampis , b – bazė, r – įrašytas apskritimo spindulys
a r – įrašytas apskritimo spindulys
Peržiūrėkite formulės išvestį
,
Kur
tada lygiašonio trikampio atveju, kai
gauname
ko ir reikėjo.
7 teorema . Už lygybę
Kur a - lygiakraščio trikampio kraštinė,r – įbrėžto apskritimo spindulys (8 pav.).
Ryžiai. 8
Įrodymas .
,
tada lygiakraštio trikampio atveju, kada
b = a,
gauname
ko ir reikėjo.
komentuoti . Rekomenduoju kaip pratimą išvesti įbrėžto apskritimo spindulio formulę lygiakraštis trikampis, tiesiogiai, t.y. nenaudojant bendrosios formulėsįbrėžtų apskritimų spinduliams savavališkas trikampis arba į lygiašonį trikampį.
8 teorema . Stačiajam trikampiui galioja ši lygybė:
Kur a , b - stačiojo trikampio kojos, c – hipotenuzė , r – įbrėžto apskritimo spindulys.
Įrodymas . Apsvarstykite 9 pav.
Ryžiai. 9
Kadangi keturkampisCDOF yra , kuris turi gretimas pusesDARYK Ir OF yra lygūs, tada šis stačiakampis yra . Vadinasi,
CB = CF = r,
Pagal 3 teoremą yra teisingos šios lygybės:
Todėl, taip pat atsižvelgdami į , gauname
ko ir reikėjo.
Užduočių pasirinkimas tema „Trikampyje įbrėžtas apskritimas“.
1.
Į lygiašonį trikampį įbrėžtas apskritimas padalija vieną iš šoninių kraštinių sąlyčio taške į dvi atkarpas, kurių ilgiai yra 5 ir 3, skaičiuojant nuo viršūnės, esančios priešais pagrindą. Raskite trikampio perimetrą.
2.
3
IN trikampis ABC AC=4, BC=3, kampas C yra 90º. Raskite įbrėžto apskritimo spindulį.
4.
Lygiašonio stačiojo trikampio kojos yra 2+. Raskite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulį.
5.
Į lygiašonį stačiakampį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys lygus 2. Raskite šio trikampio hipotenuzę c. Atsakyme nurodykite c(–1).
Pateikiame daugybę Vieningo valstybinio egzamino problemų su sprendimais.
Į lygiašonį stačiakampį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys lygus . Raskite šio trikampio hipotenuzę. Prašome nurodyti savo atsakyme.
Trikampis yra stačiakampis ir lygiašonis. Tai reiškia, kad jo kojos yra vienodos. Tegul kiekviena koja yra lygi. Tada hipotenuzė yra lygi.
Užrašykime plotą trikampis ABC dviem būdais:
Sulyginę šiuos posakius, gauname tai
. Kadangi, mes tai suprantame
. Tada.
Užrašysime atsakymą.
Atsakymas:.
2 užduotis.
1. Laisvoje yra dvi 10 cm ir 6 cm kraštinės (AB ir BC). Raskite apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų spindulius
Problema sprendžiama savarankiškai komentuojant.
Sprendimas:
IN.
1) Rasti: 
2) Įrodykite:
ir susirask CK
3) Raskite: apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų spindulius
Sprendimas:
6 užduotis.
R į kvadratą įbrėžto apskritimo spindulys yra. Raskite apie šį kvadratą apibrėžto apskritimo spindulį.Duota :
Rasti: OS=?
Sprendimas: V šiuo atveju problemą galima išspręsti naudojant Pitagoro teoremą arba R formulę. Antrasis atvejis bus paprastesnis, nes R formulė yra išvesta iš teoremos. 
7 užduotis.
Į lygiašonį stačiakampį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys lygus 2. Raskite hipotenuząSu šis trikampis. Prašome nurodyti atsakyme.
S – trikampio plotas
Mes nežinome nei trikampio kraštinių, nei jo ploto. Kojas pažymėkime x, tada hipotenuzė bus lygi:
Ir trikampio plotas bus 0,5x 2 .
Reiškia
Taigi hipotenuzė bus lygi:
Savo atsakyme turite parašyti:
Atsakymas: 4
8 užduotis.
Trikampyje ABC AC = 4, BC = 3, kampas C lygus 90 0. Raskite įbrėžto apskritimo spindulį.
Naudokime trikampyje įbrėžto apskritimo spindulio formulę:
kur a, b, c yra trikampio kraštinės
S – trikampio plotas
Žinomos dvi pusės (tai yra kojos), galime apskaičiuoti trečiąją (hipotenuzę), taip pat galime apskaičiuoti plotą.
Pagal Pitagoro teoremą:
Raskime sritį:
Taigi:
Atsakymas: 1
9 užduotis.
Šonai lygiašonio trikampio lygūs 5, pagrindas lygus 6. Raskite įbrėžto apskritimo spindulį.
Naudokime trikampyje įbrėžto apskritimo spindulio formulę:
kur a, b, c yra trikampio kraštinės
S – trikampio plotas
Visos pusės žinomos, paskaičiuokime plotą. Jį galime rasti naudodami Herono formulę:
Tada
Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios. Todėl jis paveldi visas lygiagretainio savybes. Būtent:
- Rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos.
- Rombo įstrižainės yra jo vidinių kampų pusiausvyros.
Apskritimas gali būti įrašytas į keturkampį tada ir tik tada, kai priešingų kraštinių sumos yra lygios.
Todėl apskritimas gali būti įrašytas į bet kurį rombą. Įbrėžto apskritimo centras sutampa su rombo įstrižainių susikirtimo centru.
Įbrėžto apskritimo spindulys rombe gali būti išreikštas keliais būdais
1 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombu per aukštį
Rombo aukštis lygus įbrėžto apskritimo skersmeniui. Tai išplaukia iš stačiakampio, kurį sudaro įbrėžto apskritimo skersmuo ir rombo aukštis, savybės – priešingos stačiakampio kraštinės yra lygios.
Todėl rombe įbrėžto apskritimo spindulio aukščio formulė:
2 metodas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombu per įstrižaines
Rombo plotas gali būti išreikštas įbrėžto apskritimo spinduliu
, Kur R– rombo perimetras. Žinodami, kad perimetras yra visų keturkampio kraštinių suma, turime P= 4×a. Tada
Tačiau rombo plotas taip pat lygus pusei jo įstrižainių sandaugos 
Sulyginus dešiniąsias ploto formulių puses, gauname tokią lygybę 
Dėl to gauname formulę, leidžiančią apskaičiuoti įbrėžto apskritimo spindulį rombe per įstrižaines
Į rombą įbrėžto apskritimo spindulio apskaičiavimo pavyzdys, jei žinomos įstrižainės
Raskite į rombą įbrėžto apskritimo spindulį, jei žinoma, kad įstrižainių ilgiai yra 30 cm ir 40 cm
Leiskite ABCD- tada rombas A.C. Ir BD jo įstrižainės. AC= 30 cm ,BD= 40 cm
Tegul taškas APIE- tai rombu įrašyto centro centras ABCD apskritimas, tada jis taip pat bus jo įstrižainių susikirtimo taškas, dalijantis jas per pusę. 
kadangi rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai trikampis AOB stačiakampio formos. Tada pagal Pitagoro teoremą 
, pakeiskite anksčiau gautas reikšmes į formulę
AB= 25 cm
Taikydami anksčiau išvestą apibrėžto apskritimo spindulio rombu formulę, gauname 
3 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombe per atkarpas m ir n
Taškas F– apskritimo sąlyčio taškas su rombo kraštine, dalijančia jį į atkarpas A.F. Ir B.F.. Leiskite AF=m, BF=n.
Taškas O– rombo įstrižainių ir jame įrašyto apskritimo centro susikirtimo centras.
Trikampis AOB– stačiakampis, nes rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu.
, nes yra apskritimo liestinės taško spindulys. Vadinasi OF– trikampio aukštis AOBį hipotenuzę. Tada A.F. Ir BF kojų projekcijos į hipotenuzę.
Aukštis viduje stačiakampis trikampis, nuleistas iki hipotenuzės yra vidurkis proporcingas tarp kojų projekcijų į hipotenuzą. 
Į rombą per atkarpas įrašyto apskritimo spindulio formulė yra lygi šių atkarpų sandaugos, į kurią apskritimo liesties taškas dalija rombo kraštinę, sandaugai.
Kaip rasti apskritimo spindulį? Šis klausimas visada aktualus planimetriją studijuojantiems moksleiviams. Žemiau apžvelgsime kelis pavyzdžius, kaip galite susidoroti su šia užduotimi.
Priklausomai nuo problemos sąlygų, apskritimo spindulį galite rasti taip.
1 formulė: R = L / 2π, kur L yra ir π yra konstanta, lygi 3,141...
2 formulė: R = √(S / π), kur S yra apskritimo plotas.
1 formulė: R = B/2, kur B yra hipotenuzė.
2 formulė: R = M*B, kur B yra hipotenuzė, o M yra į ją nubrėžta mediana.
Kaip rasti apskritimo spindulį, jei jis yra apibrėžtas aplink taisyklingą daugiakampį
Formulė: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), kur A yra vienos iš figūros kraštinių ilgis, o n yra šios geometrinės figūros kraštinių skaičius.
Kaip rasti įbrėžto apskritimo spindulį
Įbrėžtuoju apskritimu vadinamas, kai jis liečia visas daugiakampio kraštines. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
1 formulė: R = S / (P/2), kur - S ir P yra atitinkamai figūros plotas ir perimetras.
2 formulė: R = (P/2 - A) * tg (a/2), kur P yra perimetras, A yra vienos iš kraštinių ilgis ir kampas, priešingas šiai pusei.
Kaip rasti apskritimo spindulį, jei jis įrašytas į stačią trikampį
Formulė 1:
Į rombą įbrėžto apskritimo spindulys
Apskritimas gali būti įrašytas į bet kurį rombą, tiek lygiakraštį, tiek nelygų.
1 formulė: R = 2 * H, kur H yra geometrinės figūros aukštis.
2 formulė: R = S / (A*2), kur S yra ir A yra jos kraštinės ilgis.
3 formulė: R = √((S * sin A)/4), kur S yra rombo plotas, o sin A yra sinusas aštrus kampasšios geometrinės figūros.
4 formulė: R = B*G/(√(B² + G²), kur B ir G yra geometrinės figūros įstrižainių ilgiai.
5 formulė: R = B*sin (A/2), kur B – rombo įstrižainė, o A – kampas įstrižainę jungiančiose viršūnėse.
Į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys
Jei uždavinio teiginyje pateikiami visų figūros kraštinių ilgiai, tada pirmiausia apskaičiuokite (P), o tada pusperimetrą (p):
P = A+B+C, kur A, B, C – geometrinės figūros kraštinių ilgiai.
1 formulė: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).
Ir jei, žinant visas tas pačias tris puses, jums taip pat duota viena, tuomet reikiamą spindulį galite apskaičiuoti taip.
2 formulė: R = S * 2 (A + B + C)
3 formulė: R = S/n = S / (A+B+B)/2), kur - n yra geometrinės figūros pusperimetras.
4 formulė: R = (n - A) * tan (A/2), kur n yra trikampio pusiau perimetras, A yra viena iš jo kraštinių, o tan (A/2) yra pusės kampo liestinė priešinga šiai pusei.
Toliau pateikta formulė padės rasti įbrėžto apskritimo spindulį
5 formulė: R = A * √3/6.
Apskritimo, įbrėžto į stačiąjį trikampį, spindulys
Jei užduotyje pateikiami kojų ilgiai, taip pat hipotenuzė, tada įbrėžto apskritimo spindulys nustatomas taip.
1 formulė: R = (A+B-C)/2, kur A, B yra kojos, C yra hipotenuzė.
Jei jums suteikiamos tik dvi kojos, laikas prisiminti Pitagoro teoremą, kad surastumėte hipotenuzą ir panaudotumėte aukščiau pateiktą formulę.
C = √(A²+B²).
Į kvadratą įbrėžto apskritimo spindulys
Į kvadratą įbrėžtas apskritimas sąlyčio taškuose padalija visas 4 kraštines tiksliai per pusę.
1 formulė: R = A/2, kur A yra kvadrato kraštinės ilgis.
2 formulė: R = S / (P/2), kur S ir P yra atitinkamai kvadrato plotas ir perimetras.
Šiame straipsnyje kalbėsime apie tai, kaip per šio apskritimo spindulį išreikšti daugiakampio plotą, į kurį galima įrašyti apskritimą. Verta iš karto pažymėti, kad ne kiekvienas daugiakampis gali tilpti apskritime. Tačiau, jei tai įmanoma, formulė, pagal kurią apskaičiuojamas tokio daugiakampio plotas, tampa labai paprasta. Perskaitykite šį straipsnį iki galo arba žiūrėkite pridėtą vaizdo įrašą ir sužinosite, kaip išreikšti daugiakampio plotą jame įrašyto apskritimo spinduliu.
Daugiakampio ploto formulė pagal įbrėžto apskritimo spindulį
Nubrėžkime daugiakampį A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, nebūtinai teisingas, bet toks, į kurį galima įrašyti apskritimą. Leiskite jums priminti, kad įbrėžtas apskritimas yra apskritimas, kuris liečia visas daugiakampio puses. Paveikslėlyje tai žalias apskritimas, kurio centras yra taške O:
Kaip pavyzdį paėmėme 5 gon. Bet iš tikrųjų tai neturi didelės reikšmės, nes tolesnis įrodymas galioja ir 6, ir 8 gon, ir apskritai bet kokiam savavališkam „gonui“.
Jei įbrėžto apskritimo centrą sujungsite su visomis daugiakampio viršūnėmis, tada jis bus padalintas į tiek trikampių, kiek duotame daugiakampyje yra viršūnių. Mūsų atveju: 5 trikampiams. Jei sujungsime tašką O su visais įrašyto apskritimo liesties taškais su daugiakampio kraštinėmis, tada gausite 5 atkarpas (paveiksle žemiau tai yra atkarpos Oi 1 , Oi 2 , Oi 3 , Oi 4 ir Oi 5), kurios yra lygios apskritimo spinduliui ir statmenos daugiakampio, į kurį jie nubrėžti, kraštinėms. Pastaroji tiesa, nes spindulys, nubrėžtas į sąlyčio tašką, yra statmenas liestine:
Kaip rasti mūsų apibrėžto daugiakampio plotą? Atsakymas paprastas. Turite pridėti visų gautų trikampių plotus:
Panagrinėkime, koks yra trikampio plotas. Žemiau esančiame paveikslėlyje jis paryškintas geltonai:
Jis lygus pusei pagrindo sandaugos A 1 A 2 iki aukščio Oi 1 nupieštas prie šios bazės. Bet, kaip jau išsiaiškinome, šis aukštis yra lygus įrašyto apskritimo spinduliui. Tai yra, trikampio ploto formulė yra tokia: 
, Kur r— įbrėžto apskritimo spindulys. Visų likusių trikampių plotai randami panašiai. Dėl to reikalingas daugiakampio plotas yra lygus:
Matyti, kad visose šios sumos sąvokose yra bendras daugiklis, kurį galima išimti iš skliaustų. Rezultatas bus tokia išraiška:
Tai yra tai, kas lieka skliausteliuose, yra tiesiog visų daugiakampio kraštinių suma, tai yra jo perimetras P. Dažniausiai šioje formulėje išraiška tiesiog pakeičiama p ir jie šią raidę vadina „pusperimetriu“. Dėl to galutinė formulė yra tokia:
Tai yra daugiakampio plotas, į kurį įrašytas apskritimas žinomas spindulys, yra lygus šio spindulio ir daugiakampio pusės perimetro sandaugai. Tai yra rezultatas, kurio mes siekėme.
Galiausiai jis pastebės, kad apskritimas visada gali būti įrašytas į trikampį, o tai yra ypatingas daugiakampio atvejis. Todėl trikampiui ši formulė visada gali būti taikoma. Kituose daugiakampiuose, kurių kraštinės yra daugiau nei 3, pirmiausia turite įsitikinti, kad juose galima įrašyti apskritimą. Jei taip, galite saugiai naudoti paprasta formule ir naudokite jį šio daugiakampio plotui rasti.
Medžiagą parengė Sergejus Valerjevičius
