Pamokos tema: Funkcija y=a ir jos savybės.
Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymasis.
Pamokos tikslai:
Pamokos tikslai:
Forma:
gebėjimas pritaikyti savybes kvadratinė funkcija;
gebėjimas grafuoti funkcijas;
gebėjimas suformuluoti kvadratinės funkcijos savybes;
gebėjimas reikšti savo nuomonę ir daryti išvadas;
Lavinti: mąstymą, atmintį, gebėjimą vykdyti savarankiška veikla klasėje.
Mokymo metodai
pagal žinių šaltinį: pokalbis, pratimai;
iš prigimties pažintinė veikla: paieška, aiškinamoji ir iliustracinė, reprodukcinė.
Treniruočių formos: priekinė.
Pamokos žingsneliai:
Organizacinis momentas(1 min.).
Atnaujinti pagrindines žinias ir veikimo būdai (5 min.).
Naujos medžiagos mokymasis (15 min.).
Pradinis naujos medžiagos panaudojimas (20 min.).
Namų darbų ruošimas (1 min.).
Pamokos apibendrinimas (3 min.).
| Mokytojų veikla | Studentų veikla |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Organizacinis momentas |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Sveiki vaikinai, sėskite į vietą. | Mokiniai sėdi ir klauso mokytojo. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Pagrindinių žinių ir veiksmų metodų atnaujinimas |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Taigi pradėkime. Atidarykite sąsiuvinius, užsirašykite numerį, puikus darbas. Šiandien klasėje mokysimės nauja medžiaga. Prieš pereidami prie naujos temos, atsakykite į keletą klausimų. Mokytojas užduoda mokiniams klausimus - Kas yra funkcija? Kaip vadinamas funkcijos grafikas? Su kokio tipo funkcijomis esate susipažinę? Kaip vadinama tiesinė funkcija? Kas yra kvadratinė funkcija? Su kokio tipo kvadratine funkcija jau dirbote? Kaip atsirado ši funkcija ir kaip ji vadinasi? Šiandien susipažinsite su naujo tipo kvadratine funkcija. Todėl užsirašome nauja tema: „Funkcija ir jos savybės“. | Užsirašykite numerį į sąsiuvinį, puikus darbas. Atsakykite į mokytojų klausimus - Funkcija – priklausomybė nuo vieno kintamo dydžio iš kito. Funkcijos grafikas yra visų taškų aibė koordinačių plokštuma, kurių abscisės lygios nepriklausomo kintamojo reikšmėms, o ordinatės lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms. Su tiesine ir kvadratine. Linijinė funkcija vadinama formos funkcija . - Kvadratinė funkcija yra funkcija, kur yra duota realūs skaičiai, yra tikras kintamasis. Ši funkcija vadinama parabole. Kadangi kvadratinė funkcija turi formą , parabolė gaunama su koeficientais Užsirašykite naują temą į sąsiuvinį |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Naujos medžiagos mokymasis |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Kai a=1, formulė įgauna formą . Jau sakėme, kad šios funkcijos grafikas yra parabolė. Todėl sukurkime funkcijos grafiką. Užsirašykime užduotį Nr.1: Sukurkite funkcijos grafiką. Pakvieskime ką nors į valdybą.
Kaip ir bet kuriai kitai funkcijai, mes sukuriame verčių lentelę. Kokį tvarkaraštį gavome? Kita užduotis: Nubraižykite funkciją Eis į valdybą... Mokytojas pakviečia mokinį prie lentos Mes taip pat sprendžiame pagal analogiją su ankstesniu pavyzdžiu. Dabar sukurkime grafiką naudodami šiuos taškus. Sujungkime taškus lygia kreive. Jei palygintume funkcijų grafikus Kaip manote, kokie bus tvarkaraščiai? Kur tada bus nukreiptos grafiko parabolės šakos? Po visų išspręstų pavyzdžių kokią išvadą galime padaryti apie funkciją? Dabar pakalbėkime apie funkcijos savybes. Funkcijos grafikai užrašomi lentoje, mokytojas jais paaiškina savybes. 1)Jei a0, tada funkcija paima teigiamas vertes adresu ; jei a priima neigiamos reikšmės adresu ; funkcijos reikšmė yra 0 tik tada, kai x=0. 2) Parabolė yra simetriška koordinačių ašiai. 3) Jei a0, tada funkcija didėja ir mažėja, jei mažėja ir didėja. | Mokytojai klauso
Užduotis Nr. 1: Sudarykite funkcijos grafiką. Jie sprendžia kartu su mokytoju.
Mes turime parabolę. Pirmąją užduotį užsirašykite į sąsiuvinį Užduotis Nr. 2: Nubraižykite funkciją Jie sprendžia kartu su mokytoju. Vienas iš mokinių ateina prie lentos Jie bus simetriški, nes grafikas turės priešingas grafiko reikšmes. Parabolės šakos bus nukreiptos žemyn. Funkcijos grafikas taip pat yra parabolė. Ties a0 šakos nukreiptos į viršų, ties a Mokytojai klauso |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Pradinis naujos medžiagos naudojimas |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dabar pabandykime įgytas žinias pritaikyti praktikoje. Atsiverčiame vadovėlius 161 puslapyje ir užrašome numerius sąsiuviniuose. Mokytojas kviečia mokinius prie lentos spręsti uždavinius Išanalizuokime Nr.596 žodžiu. Nustatykite parabolės šakų kryptį: Sąsiuvinyje Nr. 597 (1,3) rašome: Sukurkite funkcijų grafikus vienoje koordinačių plokštumoje Mokytojas pakviečia mokinį prie lentos | Atsiverskite vadovėlius ir į sąsiuvinį užsirašykite numerį Mokiniai prie lentos sprendžia uždavinius Žodžiu ištarkite problemos sprendimą 1) – aukštyn, nes a0 2) – aukštyn, nes a0 3) - žemyn, nes a 4) -žemyn, nes a Vienas iš mokinių ateina prie lentos |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Namų darbų nustatymas |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Mokytojas praneša namų darbai. Mūsų pamoka baigėsi. Užsirašykite savo namų darbus. Mokytojas rašo namų darbus lentoje. P 37 p 157. Sužinokite savybes. №595(2): Ant milimetrinio popieriaus nubraižykite funkcijos grafiką. Naudodamiesi grafiku, apytiksliai raskite x reikšmes, jei y=9; 6; 2; 8; 1.3. №597 (2,4): Sukurkite funkcijų grafikus vienoje koordinačių plokštumoje Naudodami grafikus išsiaiškinkite, kuri iš šių funkcijų didėja intervale. | Užsirašykite namų darbus. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Apibendrinant pamoką |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ko mes išmokome klasėje? Ar tau viskas buvo aišku? Tuo mūsų pamoka baigta. Studentai, kurie atėjo į lentą, ateikite pas mane su savo dienoraščiais. Viso gero! | Mokiniai atsako į klausimus: Mes studijavome nauja išvaizda kvadratinė funkcija ir jos savybės. Atsisveikink su mokytoju. Jie ateina su dienoraščiais. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, tada pastebėsime, kad to paties x funkcijos reikšmė yra 2 kartus 
, tada pastebėsime, kad kiekvieną grafiko tašką galima gauti iš funkcijos grafiko taško su ta pačia abscise, sumažinus jo ordinatę 2 kartus. Vadinasi, funkcijos grafikas gaunamas 2 kartus suspaudus funkcijos grafiką iki Ox ašies išilgai Oy ašies.
?Apsvarstykite ax 2 + bx + c formos išraišką, kur a, b, c yra tikrieji skaičiai, o a skiriasi nuo nulio. Tai matematinė išraiškažinomas kaip kvadratinis trinaris.
Prisiminkite, kad ah 2 yra didžiausias terminas kvadratinis trinaris, a yra jo pirmaujantis koeficientas.
Tačiau kvadratinis trinaris ne visada turi visus tris narius. Paimkime, pavyzdžiui, išraišką 3x 2 + 2x, kur a=3, b=2, c=0.
Pereikime prie kvadratinės funkcijos y=ax 2 +in+c, kur a, b, c yra bet kurie savavališki skaičiai. Ši funkcija yra kvadratinė, nes joje yra antrojo laipsnio narys, ty x kvadratas.
Gana lengva sudaryti kvadratinės funkcijos grafiką, pavyzdžiui, galite naudoti tobulo kvadrato išskyrimo metodą.
Panagrinėkime funkcijos y grafiko sudarymo pavyzdį, lygų -3x 2 - 6x + 1.
Norėdami tai padaryti, pirmiausia prisimename viso kvadrato išskyrimo trinalyje -3x 2 - 6x + 1 schemą.
Paimkime -3 iš pirmųjų dviejų terminų. Turime -3 kartus sumą x kvadratą plius 2x ir pridedame 1. Skliausteliuose sudėjus ir atėmus vieną, gauname sumos kvadrato formulę, kurią galima sutraukti. Gauname -3 padauginus iš sumos (x+1) kvadrato atėmus 1 pridedant 1. Skliaustų atidarymas ir atvedimas panašius terminus, išeina išraiška: -3 padauginus iš sumos kvadrato (x+1) pridėkite 4.
Sukurkime gautos funkcijos grafiką, pereidami prie pagalbinės koordinačių sistemos, kurios pradžia yra taške su koordinatėmis (-1; 4).
Vaizdo įrašo paveikslėlyje ši sistema pažymėta punktyrinėmis linijomis. Funkciją y lygi -3x2 susiekime su sudaryta koordinačių sistema. Kad būtų patogiau, paimkime valdymo taškus. Pavyzdžiui, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Tuo pačiu mes juos atidėsime į šalį sukonstruotoje koordinačių sistemoje. Konstravimo metu gauta parabolė yra mums reikalingas grafikas. Nuotraukoje tai raudona parabolė.
Naudodami pilno kvadrato išskyrimo metodą, gauname kvadratinę formos funkciją: y = a*(x+1) 2 + m.
Parabolės y = ax 2 + bx + c grafiką galima lengvai gauti iš parabolės y = ax 2 lygiagrečiame vertime. Tai patvirtina teorema, kurią galima įrodyti išskiriant tobulas kvadratas dvinario. Išraiška ax 2 + bx + c po viena po kitos einančios transformacijos virsta formos išraiška: a*(x+l) 2 + m. Nubraižykime grafiką. Atlikime lygiagretų parabolės y = ax 2 judėjimą, viršūnę sulygiuodami su tašku koordinatėmis (-l; m). Svarbu tai, kad x = -l, o tai reiškia -b/2a. Tai reiškia, kad ši tiesė yra parabolės ax 2 + bx + c ašis, jos viršūnė yra taške, kurio abscisė x nulis yra lygi minus b, padalintas iš 2a, o ordinatės apskaičiuojamos naudojant sudėtingą formulę 4ac - b 2 /. Bet jūs neprivalote prisiminti šios formulės. Kadangi funkciją pakeitę abscisių reikšmę, gauname ordinates.
Norėdami nustatyti ašies lygtį, jos šakų kryptį ir parabolės viršūnės koordinates, apsvarstykite šį pavyzdį.
Paimkime funkciją y = -3x 2 - 6x + 1. Sudarę parabolės ašies lygtį, gauname, kad x = -1. Ir ši reikšmė yra parabolės viršūnės x koordinatė. Belieka tik surasti ordinatas. Į funkciją pakeitę reikšmę -1, gauname 4. Parabolės viršūnė yra taške (-1; 4).
Funkcijos y = -3x 2 - 6x + 1 grafikas gautas, kai lygiagretus perdavimas funkcijos y = -3x 2 grafikas, o tai reiškia, kad ji elgiasi panašiai. Pirmaujantis koeficientas yra neigiamas, todėl šakos nukreiptos žemyn.
Matome, kad bet kuriai funkcijai, kurios formos y = ax 2 + bx + c, lengviausias klausimas yra paskutinis klausimas, tai yra, parabolės šakų kryptis. Jei koeficientas a yra teigiamas, tada šakos yra aukštyn, o jei neigiamos, tada šakos yra žemyn.
Kitas sunkiausias klausimas yra pirmasis, nes reikia papildomų skaičiavimų.
Ir labiausiai sunkus antrasis, kadangi, be skaičiavimų, būtina žinoti ir formules, pagal kurias x yra nulis, o y yra nulis.
Sukurkime funkcijos y = 2x 2 - x + 1 grafiką.
Mes nustatome iš karto - grafikas yra parabolė, šakos nukreiptos aukštyn, nes pagrindinis koeficientas yra 2, o tai teigiamas skaičius. Naudodami formulę nustatome, kad abscisė x yra lygi nuliui, ji lygi 1,5. Norėdami rasti ordinatę, atminkite, kad y nulis yra lygus funkcijai 1,5, kai skaičiuojame, gauname -3,5.
Į viršų – (1,5;-3,5). Ašis – x=1,5. Paimkime taškus x=0 ir x=3. y = 1. Pažymėkime šiuos taškus. Per tris žinomų taškų Sukuriame reikiamą grafiką.
Norėdami nubraižyti funkcijos ax 2 + bx + c grafiką, jums reikia:
Raskite parabolės viršūnės koordinates ir pažymėkite jas paveikslėlyje, tada nubrėžkite parabolės ašį;
O ašyje paimkite du taškus, kurie yra simetriški parabolės ašies atžvilgiu, suraskite funkcijos reikšmę šiuose taškuose ir pažymėkite juos koordinačių plokštumoje;
Sukurkite parabolę per tris taškus, jei reikia, galite paimti dar kelis taškus ir pagal juos sudaryti grafiką.
IN sekantį pavyzdį išmoksime rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos -2x 2 + 8x - 5 reikšmes segmente.
Pagal algoritmą: a=-2, b=8, tai reiškia, kad x nulis yra 2, o y nulis yra 3, (2;3) yra parabolės viršūnė, o x=2 yra ašis.
Paimkime reikšmes x=0 ir x=4 ir raskime šių taškų ordinates. Tai yra -5. Sukonstruojame parabolę ir ją nustatome mažiausia vertė funkcijos -5, kai x=0, o didžiausios 3, kai x=2.
Kaip rodo praktika, užduotys apie kvadratinės funkcijos savybes ir grafikus sukelia rimtų sunkumų. Tai gana keista, nes kvadratinę funkciją jie mokosi 8 klasėje, o paskui visą pirmąjį 9 klasės ketvirtį „kankina“ parabolės savybes ir kuria jos grafikus įvairiems parametrams.
Taip yra dėl to, kad versdami mokinius konstruoti paraboles jie praktiškai neskiria laiko grafikų „skaitymui“, tai yra nepraktikuoja suvokti iš paveikslėlio gaunamos informacijos. Matyt, daroma prielaida, kad sukonstravęs ar keliasdešimt grafikų, protingas mokinys pats atras ir suformuluos ryšį tarp koeficientų formulėje ir išvaizda grafika. Praktiškai tai neveikia. Tokiam apibendrinimui reikalinga rimta matematinių mini tyrimų patirtis, kurios dauguma devintokų, žinoma, neturi. Tuo tarpu Valstybinė inspekcija siūlo koeficientų požymius nustatyti naudojant grafiką.
Iš moksleivių nereikalausime neįmanomo ir tiesiog pasiūlysime vieną iš tokių problemų sprendimo algoritmų.
Taigi, formos funkcija y = ax 2 + bx + c vadinamas kvadratiniu, jo grafikas yra parabolė. Kaip rodo pavadinimas, pagrindinis terminas yra kirvis 2. Tai yra A neturėtų būti lygus nuliui, likę koeficientai ( b Ir Su) gali būti lygus nuliui.
Pažiūrėkime, kaip jos koeficientų ženklai įtakoja parabolės išvaizdą.
Paprasčiausia koeficiento priklausomybė A. Dauguma moksleivių užtikrintai atsako: „jeigu A> 0, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų, o jei A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
IN šiuo atveju A = 0,5
O dabar už A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
Šiuo atveju A = - 0,5
Koeficiento įtaka Su Tai taip pat gana lengva sekti. Įsivaizduokime, kad norime rasti funkcijos reikšmę taške X= 0. Pakeiskite nulį formulėje:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Pasirodo, kad y = c. Tai yra Su yra parabolės ir y ašies susikirtimo taško ordinatės. Paprastai šį tašką lengva rasti grafike. Ir nustatykite, ar jis yra aukščiau nulio, ar žemiau. Tai yra Su> 0 arba Su < 0.
Su > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Su < 0
y = x 2 + 4x - 3
Atitinkamai, jei Su= 0, tada parabolė būtinai pereis per pradžią:
y = x 2 + 4x
Su parametru sunkiau b. Taškas, kuriame jį rasime, priklauso ne tik nuo b bet ir iš A. Tai yra parabolės viršus. Jo abscisė (ašies koordinatė X) randama pagal formulę x in = - b/(2a). Taigi, b = - 2ax in. Tai yra, mes elgiamės taip: randame parabolės viršūnę grafike, nustatome jos abscisės ženklą, tai yra, žiūrime į dešinę nuo nulio ( x in> 0) arba į kairę ( x in < 0) она лежит.
Tačiau tai dar ne viskas. Taip pat turime atkreipti dėmesį į koeficiento ženklą A. Tai yra, pažiūrėkite, kur nukreiptos parabolės šakos. Ir tik po to, pagal formulę b = - 2ax in nustatyti ženklą b.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Šakos nukreiptos į viršų, o tai reiškia A> 0, parabolė kerta ašį adresužemiau nulio, tai yra Su < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Taigi b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Su < 0.
