Racionalioji funkcija yra formos trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai arba daugianario sandauga.

1 pavyzdys. 2 veiksmas.

.

Neapibrėžtus koeficientus padauginame iš polinomų, kurie nėra šioje atskiroje trupmenoje, bet yra kitose gautose trupmenose:

Atidarykite skliaustus ir prilyginkite pradinio integrando skaitiklį gautai išraiškai:

Abiejose lygybės pusėse ieškome terminų su vienodomis x galiomis ir iš jų sudarome lygčių sistemą:

.

Atšaukiame visus X ir gauname lygiavertė sistema lygtys:

.

Taigi galutinis integrando išplėtimas į sumą paprastosios trupmenos:

.

2 pavyzdys. 2 veiksmas. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Dabar pradedame ieškoti neapibrėžtų koeficientų. Norėdami tai padaryti, funkcijos išraiškos pradinės trupmenos skaitiklį prilyginame išraiškos skaitikliui, gautam sumažinus trupmenų sumą iki bendro vardiklio:

Dabar reikia sukurti ir išspręsti lygčių sistemą. Norėdami tai padaryti, kintamojo koeficientus prilyginame atitinkamam laipsniui pradinės funkcijos išraiškos skaitiklyje ir panašius koeficientus išraiškoje, gautoje ankstesniame žingsnyje:

Mes išsprendžiame gautą sistemą:

Taigi, iš čia

.

3 pavyzdys. 2 veiksmas. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

Pradedame ieškoti neapibrėžtų koeficientų. Norėdami tai padaryti, funkcijos išraiškos pradinės trupmenos skaitiklį prilyginame išraiškos skaitikliui, gautam sumažinus trupmenų sumą iki bendro vardiklio:

Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, sudarome lygčių sistemą:

Sumažiname x ir gauname lygiavertę lygčių sistemą:

Išsprendę sistemą, gauname šias vertes neapibrėžti koeficientai:

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

.

4 pavyzdys. 2 veiksmas. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Iš ankstesnių pavyzdžių jau žinome, kaip prilyginti pradinės trupmenos skaitiklį su išraiška skaitiklyje, gauta išskaidžius trupmeną į paprastųjų trupmenų sumą ir suvedus šią sumą į bendrą vardiklį. Todėl tik valdymo tikslais pateikiame gautą lygčių sistemą:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtųjų koeficientų reikšmes:

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

5 pavyzdys. 2 veiksmas. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Šią sumą nepriklausomai sumažiname iki bendro vardiklio, prilygindami šios išraiškos skaitiklį pradinės trupmenos skaitikliui. Rezultatas turėtų būti kita sistema lygtys:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtųjų koeficientų reikšmes:

.

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

.

6 pavyzdys. 2 veiksmas. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

Su šia suma atliekame tuos pačius veiksmus, kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose. Rezultatas turėtų būti tokia lygčių sistema:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtųjų koeficientų reikšmes:

.

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

.

7 pavyzdys. 2 veiksmas. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Atlikus tam tikrus veiksmus su gauta suma, reikia gauti tokią lygčių sistemą:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtųjų koeficientų reikšmes:

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

.

8 pavyzdys. 2 veiksmas. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Pakeiskime veiksmus, kurie jau buvo automatizuoti, kad gautume lygčių sistemą. Yra dirbtinė technika, kuri kai kuriais atvejais padeda išvengti nereikalingų skaičiavimų. Suvedę trupmenų sumą į bendrą vardiklį, gauname ir prilyginę šios išraiškos skaitiklį pradinės trupmenos skaitikliui, gauname.

BAŠKORTO STANO RESPUBLIKOS MOKSLO IR ŠVIETIMO MINISTERIJA

SAOU SPO Baškirijos architektūros ir civilinės inžinerijos koledžas

Khaliullin Askhat Adelzyanovič,

matematikos mokytojas Baškirijoje

Architektūros ir statybos inžinerijos kolegija

UFA

2014 m

Įvadas __________________________________________________________3

skyrius aš. Teoriniai aspektai naudojant metodą neapibrėžti koeficientai ______________________________________________4

skyrius II. Neapibrėžtinių koeficientų metodu ieško daugianarių uždavinių sprendimų______________________________________7

2.1. Polinomo faktorinavimas_________________________ 7

2.2. Problemos su parametrais___________________________________________ 10

2.3. Lygčių sprendimas_______________________________________________14

2.4. Funkcinės lygtys___________________________________19

Išvada_________________________________________________________________23

Naudotos literatūros sąrašas_______________________________________________24

Taikymas ________________________________________________25

Įvadas.

Šis darbas yra skirtas teoriniams ir praktiniams neapibrėžtųjų koeficientų metodo įdiegimo į mokyklinį matematikos kursą aspektams. Šios temos aktualumą lemia šios aplinkybės.

Niekas nesiginčys su tuo, kad matematika kaip mokslas nestovi vienoje vietoje, ji nuolat tobulėja, atsiranda naujų problemų padidėjęs sudėtingumas, o tai dažnai sukelia tam tikrų sunkumų, nes šios užduotys dažniausiai yra susijusios su tyrimais. Tokios užduotys pastaraisiais metais buvo siūlomi mokykloje, rajone ir respublikinėje matematikos olimpiados, jie taip pat yra prieinami Vieningo valstybinio egzamino parinktys. Todėl buvo būtina specialus metodas, kuris leistų bent dalį jų išspręsti greičiausiai, efektyviausiai ir nebrangiai. Šiame darbe aiškiai pateikiamas neapibrėžtųjų koeficientų metodo, plačiai taikomo įvairiose matematikos srityse, turinys – nuo ​​bendrojo lavinimo kurso klausimų iki pažangiausių jo dalių. Ypač įdomūs ir veiksmingi yra neapibrėžtųjų koeficientų metodo taikymai sprendžiant parametrų uždavinius, trupmenines racionaliąsias ir funkcines lygtis; jie gali lengvai sudominti visus, besidominčius matematika. Pagrindinis tikslas Siūlomų darbų ir problemų atrankos tikslas yra suteikti plačias galimybes tobulinti ir ugdyti gebėjimą rasti trumpus ir novatoriškus sprendimus.

Šis darbas susideda iš dviejų skyrių. Pirmajame aptariami teoriniai naudojimo aspektai

neapibrėžtųjų koeficientų metodas ir, antra, praktiniai ir metodologiniai tokio naudojimo aspektai.

Darbo priede nurodytos sąlygos konkrečias užduotis Už savarankiškas sprendimas.

skyrius aš . Teoriniai naudojimo aspektai neapibrėžtųjų koeficientų metodas

„Žmogus... gimė būti šeimininku,

valdovas, gamtos karalius, bet išmintis,

su kuria jis turi valdyti, jam nėra duota

nuo gimimo: tai įgyjama mokantis“

N.I.Lobačevskis

Yra įvairių būdų ir problemų sprendimo būdai, tačiau vienas patogiausių, efektyviausių, originaliausių, elegantiškiausių ir kartu labai paprastų bei visiems suprantamų yra neapibrėžtųjų koeficientų metodas. Neapibrėžtų koeficientų metodas yra matematikoje naudojamas metodas, leidžiantis rasti išraiškų, kurių forma yra žinoma iš anksto, koeficientus.

Prieš svarstant neapibrėžtųjų koeficientų metodo taikymą sprendžiant įvairių tipų uždavinius, pateikiame nemažai teorinės informacijos.

Tegul jie būna duoti

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

daugianario santykinis X su bet kokiais šansais.

Teorema. Du daugianariai, priklausantys nuo vieno ir tie patys argumentai yra vienodai lygūs tada ir tik tadan = m o jų atitinkami koeficientai yra lygūsa 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m Ir T. d.

Akivaizdu, kad visoms reikšmėms taikomi vienodi daugianariai X tos pačios vertybės. Ir atvirkščiai, jei dviejų daugianario reikšmės yra vienodos visoms reikšmėms X, tada daugianariai yra lygūs, tai yra, jų koeficientai ties lygiais laipsniais X rungtynės.

Todėl neapibrėžtųjų koeficientų metodo taikymo uždaviniams spręsti idėja yra tokia.

Leiskite mums žinoti, kad dėl kai kurių transformacijų gaunama išraiška tam tikro tipo ir tik šios išraiškos koeficientai nežinomi. Tada šie koeficientai žymimi raidėmis ir laikomi nežinomais. Tada sukonstruojama lygčių sistema šiems nežinomiesiems nustatyti.

Pavyzdžiui, daugianarių atveju šios lygtys sudaromos iš sąlygos, kad koeficientai yra lygūs toms pačioms laipsnėms X dviem vienodiems daugianariams.

Tai, kas buvo pasakyta aukščiau, parodysime toliau konkrečių pavyzdžių, ir pradėkime nuo paprasčiausio.

Taigi, pavyzdžiui, remiantis teoriniais samprotavimais, trupmena

gali būti pavaizduota suma

, Kur a , b Ir c - nustatomi koeficientai. Norėdami juos rasti, antrąją išraišką prilyginame pirmajai:

=

ir išsivaduoti iš vardiklio ir rinkti terminus su tokiomis pat galiomis kairėje X, gauname:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Kadangi paskutinė lygybė turi būti teisinga visoms vertybėms X, tada koeficientai tomis pačiomis galiomisX dešinė ir kairė turi būti vienodi. Taigi, trims nežinomiems koeficientams nustatyti gaunamos trys lygtys:

a+b+c = 2

b - c = - 5

A= 1, iš kur a = 1 , b = - 2 , c = 3

Vadinasi,

=
,

šios lygybės pagrįstumą lengva patikrinti tiesiogiai.

Tarkime, kad taip pat reikia pavaizduoti trupmeną

formoje a + b
+ c
+ d
, Kur a , b , c Ir d- nežinomas racionalūs koeficientai. Antrąją išraišką prilyginame pirmajai:

a + b
+ c
+ d
=
arba, atsikratyti vardiklio, ištraukti, kur įmanoma, racionalius veiksnius iš po šaknų ženklų ir atnešti panašių narių kairėje pusėje gauname:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Bet tokia lygybė įmanoma tik tuo atveju, kai abiejų dalių racionalūs nariai ir tų pačių radikalų koeficientai yra lygūs. Taigi nežinomiems koeficientams rasti gaunamos keturios lygtys a , b , c Ir d :

a- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, iš kur a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , tai yra
= -
+
.

II skyrius. Ieško daugianario uždavinių sprendimų neapibrėžtų koeficientų metodas.

„Niekas neprisideda prie dalyko įvaldymo geriau nei

koks veiksmas su juo skirtingos situacijos »

Akademikas B. V. Gnedenko

2. 1. Dauginamo koeficientas.

Polinomų faktoringo metodai:

1) bendro koeficiento išdėstymas iš skliaustų 2) grupavimo metodas; 3) paraiška pagrindinės formulės daugyba; 4) pagalbinių terminų įvedimas 5) preliminarus duoto daugianario transformavimas naudojant tam tikras formules; 6) išplėtimas ieškant duoto daugianario šaknų; 7) parametro įvedimo būdas; 8)neapibrėžtų koeficientų metodas.

1 uždavinys. Padalinkite daugianarį į realiuosius veiksnius X 4 + X 2 + 1 .

Sprendimas. Tarp šio daugianario laisvojo nario daliklių nėra šaknų. Negalime rasti daugianario šaknų naudodami kitas elementarias priemones. Todėl neįmanoma atlikti reikiamo išplėtimo, pirmiausia suradus šio daugianaro šaknis. Belieka ieškoti problemos sprendimo įvedant pagalbinius terminus arba neapibrėžtų koeficientų metodu. Tai akivaizdu X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Gauti kvadratiniai trinaliai neturi šaknų, todėl yra nesuskaidomi į tikrus tiesinius veiksnius.

Aprašytas metodas yra techniškai paprastas, tačiau sudėtingas dėl savo dirbtinumo. Iš tiesų, labai sunku sugalvoti reikiamus pagalbinius terminus. Tik spėjimas mums padėjo rasti šį skilimą. Bet

yra daugiau patikimi metodai tokių problemų sprendimus.

Galima elgtis taip: manyti, kad duotasis daugianomas suskaidomas į sandaugą

(X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

du kvadratiniai trinaliai su sveikaisiais koeficientais.

Taigi, mes tai turėsime

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

Belieka nustatyti koeficientusa , b , c Ir d .

Padauginę polinomus dešinėje paskutinės lygybės pusėje, gauname:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (skelbimas + bc ) x + bd .

Bet kadangi mums reikia dešinėje pusėješi lygybė virto tuo pačiu daugianario, kuris yra kairėje pusėje, reikalaujame įvykdymo šias sąlygas:

a + c = 0

b + A c + d = 1

skelbimas + bc = 0

bd = 1 .

Rezultatas yra keturių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemaa , b , c Ir d . Iš šios sistemos nesunku rasti koeficientusa = 1 , b = 1 , c = -1 Ir d = 1.

Dabar problema visiškai išspręsta. Gavome:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

2 uždavinys. Padalinkite daugianarį į realiuosius veiksnius X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Sprendimas. Pavaizduokime šį daugianarį formoje

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + c), kur a , b Ir Su - koeficientai dar nenustatyti. Kadangi du daugianariai yra identiški tada ir tik tada, kai tų pačių laipsnių koeficientaiX tada yra lygūs, atitinkamai prilyginant koeficientusX 2 , X ir nemokamos sąlygos, mes gauname sistemą trys lygtys su trimis nežinomaisiais:

a+b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Šios sistemos sprendimas bus labai supaprastintas, jei atsižvelgsime į tai, kad skaičius 3 (laisvojo termino daliklis) yra šaknis duota lygtis, ir todėla = - 3 ,

b = - 3 Ir Su = 5 .

Tada X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Taikomas neapibrėžtųjų koeficientų metodas, palyginti su minėtu pagalbinių terminų įvedimo metodu, neturi nieko dirbtinio, tačiau tam reikia naudoti daugybę teorinės nuostatos ir jį lydi gana dideli skaičiavimai. Dėl daugianario daugiau aukštas laipsnisŠis neapibrėžtų koeficientų metodas lemia sudėtingas lygčių sistemas.

2.2.Užduotys ir su parametrais.

Pastaraisiais metais unifikuoto valstybinio egzamino versijose buvo pasiūlytos užduotys su parametrais. Jų sprendimas dažnai sukelia tam tikrų sunkumų. Spręsdami parametrų problemas, kartu su kitais metodais, galite gana efektyviai naudoti neapibrėžtų koeficientų metodą. Būtent šis metodas leidžia labai supaprastinti jų sprendimą ir greitai gauti atsakymą.

3 užduotis. Nustatykite, kokiomis parametro reikšmėmis A 2 lygtis X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0 turi lygiai dvi šaknis.

Sprendimas. 1 būdas. Naudojant išvestinę.

Pavaizduokime šią lygtį dviejų funkcijų pavidalu

2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

f (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X– 3 ir φ( X ) = – A .

Panagrinėkime funkcijąf (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 naudojant išvestinę ir schematiškai sukonstruoti jos grafiką (1 pav.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

3. Raskime kritinius taškus funkcija, jos didėjimo ir mažėjimo intervalai, ekstremumai. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , todėl visus kritinius funkcijos taškus rasime išsprendę lygtį f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 pagal teoremą, teoremos atvirkščiai Vieta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maks - min +

2 3 x

f / (x) > 0 visiems X< – 2 ir X > 3, o funkcija yra ištisinė taškuosex =– 2 ir X = 3, todėl jis didėja kiekviename intervale (- ; - 2] ir [3; ).

f / (x ) < 0 prie - 2 < X< 3, todėl intervale jis mažėja [- 2; 3 ].

X = - 2 maksimalus taškas, nes šioje vietoje vedinio ženklas keičiasi iš„+“ į „-“.

f (– 2) = 2 · (– 8) – 3,4 – 36 · (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 minimalus taškas, nes šioje vietoje keičiasi išvestinės ženklas„-“ į „+“.

f (3) = 2,27 – 3,9 – 36,3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

Funkcijos φ(X ) = – A yra tiesi linija, lygiagreti x ašiai ir einanti per tašką su koordinatėmis (0; – A ). Grafikai turi du bendrų taškų prie -A= 41, t.y. a =– 41 ir – A= – 84, t.y. A = 84 .

adresu

41φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 metodas. Neapibrėžtų koeficientų metodas.

Kadangi pagal uždavinio sąlygas ši lygtis turi turėti tik dvi šaknis, lygybė akivaizdi:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Dabar lyginant koeficientus tais pačiais laipsniais X, gauname lygčių sistemą

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

Iš pirmųjų dviejų sistemos lygčių randameb 2 + b – 6 = 0, iš kur b 1 = - 3 arba b 2 = 2. Atitinkamos reikšmėsSu 1 ir Su 2 lengva rasti iš pirmosios sistemos lygties:Su 1 = 9 arba Su 2 = - 11 . Galiausiai norimą parametro reikšmę galima nustatyti pagal paskutinę sistemos lygtį:

A = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 arba a 2 = 84.

Atsakymas: ši lygtis turi lygiai dvi skirtingas

šaknis ties A= - 41 ir A= 84 .

4 problema.Rasti didžiausia vertė parametrasA , kuriai lygtisX 3 + 5 X 2 + Oi + b = 0

su sveikaisiais koeficientais turi tris skirtingas šaknis, iš kurių viena lygi – 2.

Sprendimas. 1 būdas. Pakeitimas X= - 2 V kairėje pusėje lygtis, gauname

8 + 20 – 2 A + b= 0, o tai reiškia b = 2 a – 12 .

Kadangi skaičius - 2 yra šaknis, galime išimti bendras daugiklis X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oi + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oi + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oi + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a – 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Pagal sąlygą yra dar dvi lygties šaknys. Tai reiškia, kad antrojo veiksnio diskriminantas yra teigiamas.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, tai yra A < 8,25 .

Atrodytų, atsakymas būtų a = 8. Tačiau pakeičiant skaičių 8 į pradinė lygtis gauname:

X 3 + 5 X 2 + Oi + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

tai yra, lygtis turi tik dvi skirtingas šaknis. Bet kada a = 7 iš tikrųjų gamina tris skirtingas šaknis.

2 metodas. Neapibrėžtų koeficientų metodas.

Jei lygtis X 3 + 5 X 2 + Oi + b = 0 turi šaknį X = - 2, tada visada galite pasiimti skaičiusc Ir d kad visų akivaizdojeX lygybė buvo tiesa

X 3 + 5 X 2 + Oi + b = (X + 2)(X 2 + Su x + d ).

Norėdami rasti skaičiusc Ir d Atidarykime skliaustus dešinėje pusėje, pridėkime panašius terminus ir gaukime

X 3 + 5 X 2 + Oi + b = X 3 + (2 + Su ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Koeficientų prilyginimas atitinkamiems laipsniams X mes turime sistemą

2 + Su = 5

2 Su + d = a

2 d = b , kur c = 3 .

Vadinasi, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 arba

d < 2.25, taigi d (- ; 2 ].

Problemos sąlygas tenkina vertė d = 1. Galutinė norima parametro reikšmėA = 7.

ATSAKYMAS: kada a = 7 ši lygtis turi tris skirtingas šaknis.

2.3. Lygčių sprendimas.

„Atminkite, kad spręsdami mažas problemas jūs

pasiruoškite susidoroti su dideliais ir sudėtingais

naujos užduotys“.

Akademikas S. L. Sobolevas

Spręsdami kai kurias lygtis, galite ir turėtumėte parodyti išradingumą ir sąmojį bei naudoti specialius metodus. Matematikoje didelę reikšmę turi įvairių transformacijos technikų įvaldymas ir gebėjimas atlikti loginį samprotavimą. Vienas iš šių gudrybių yra pridėti ir atimti tam tikrą gerai parinktą išraišką ar skaičių. Pats konstatuotas faktas, be abejo, visiems puikiai žinomas – pagrindinis sunkumas yra konkrečioje konfigūracijoje įžvelgti tas lygčių transformacijas, kurioms patogu ir tikslinga jį taikyti.

Pavaizduokime vieną naudodami paprastą algebrinę lygtį nestandartinė technika sprendžiant lygtis.

5 uždavinys. Išspręskite lygtį

=
.

Sprendimas. Abi šios lygties puses padauginkime iš 5 ir perrašykime taip

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 arba
= 0

Išspręskime gautas lygtis neapibrėžtų koeficientų metodu

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + aha + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (skelbimas + bc ) x++ bd

Sulyginus koeficientus ties X 3 , X 2 , X ir nemokamos sąlygos, mes gauname sistemą

a + c = -1

b + A c + d = 0

skelbimas + bc = -7

bd = -3, iš kur randame:A = -2 ; b = - 1 ;

Su = 1 ; d = 3 .

Taigi X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 arba X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
jokių šaknų.

Panašiai turime ir mes

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

kur X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Atsakymas: X 1,2 =

6 uždavinys. Išspręskite lygtį

= 10.

Sprendimas. Norėdami išspręsti šią lygtį, turite pasirinkti skaičiusA Ir b kad abiejų trupmenų skaitikliai būtų vienodi. Todėl turime tokią sistemą:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Taigi užduotis yra suderinti skaičiusA Ir b , kuriems galioja lygybė

(+ 6) X 2 + aha - 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Dabar, remiantis daugianario lygybės teorema, būtina, kad dešinė šios lygybės pusė pavirstų tuo pačiu daugianario, kuris yra kairėje.

Kitaip tariant, santykiai turi būti patenkinti

+ 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b , iš kur randame vertesA = - 5 ;

b = - 5 .

Esant šioms vertybėmsA Ir b lygybė A + b = - 10 taip pat yra teisinga.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 arba X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Atsakymas: X 1,2 =
, X 3,4 =

7 uždavinys. Išspręskite lygtį

= 4

Sprendimas. Ši lygtis yra sudėtingesnė nei ankstesnė, todėl ją sugrupuosime taip: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Iš dviejų daugianario lygybės sąlygos

Oi 2 + (+ 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

gauname ir išsprendžiame nežinomų koeficientų lygčių sistemąA Ir b :

A = 1

+ 6 = b + 11

12 = – 3 b , kur a = 1 , b = - 4 .

Polinomai – 3 – 6X + cx 2 + 8 cx Ir X 2 + 21 + 12 d – dx yra vienodi vienas kitam tik tada, kai

Su = 1

8 Su - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Su = 1 , d = - 2 .

Su vertybėmisa = 1 , b = - 4 , Su = 1 , d = - 2

lygybė
= - 4 yra teisinga.

Dėl to ši lygtis įgauna tokią formą:

= 0 arba
= 0 arba
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Iš nagrinėjamų pavyzdžių aišku, kaip sumaniai naudojant neapibrėžtų koeficientų metodą,

padeda supaprastinti gana sudėtingos, neįprastos lygties sprendimą.

2.4. Funkcinės lygtys.

« Aukščiausias paskyrimas matematika... susideda

yra rasti paslėptą tvarką

mus supa chaosas"

N. Wiener

Funkcinės lygtys yra labai bendroji klasė lygtys, kuriose reikiama funkcija yra tam tikra funkcija. Pagal funkcinę lygtį in siaurąja prasmežodžiai supranta lygtis, su kuriomis susijusios ieškomos funkcijos žinomos funkcijos vienas ar keli kintamieji, naudojant sudėtingos funkcijos formavimo operaciją. Funkcinė lygtis taip pat gali būti laikoma tam tikrą funkcijų klasę apibūdinančios savybės išraiška

[pavyzdžiui, funkcinė lygtis f ( x ) = f (- x ) apibūdina lygiųjų funkcijų klasę, funkcinę lygtįf (x + 1) = f (x ) – funkcijų klasė, turinti 1 periodą ir kt.].

Viena iš paprasčiausių funkcinių lygčių yra lygtisf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Šios funkcinės lygties ištisiniai sprendiniai turi formą

f (x ) = Cx . Tačiau klasėje nepertraukiamos funkcijosši funkcinė lygtis turi kitus sprendimus. Susijusios su nagrinėjama funkcine lygtimi yra

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

tęstiniai sprendimai, kurie atitinkamai turi formą

e cx , SUlnx , x α (x > 0).

Taigi šie funkcines lygtis gali būti naudojamas eksponentinėms, logaritminėms ir galios funkcijoms nustatyti.

Labiausiai paplitęs gautos lygtys sudėtingose ​​funkcijose, kurių ieškomos išorinės funkcijos. Teoriniai ir praktiniai pritaikymai

kaip tik šios lygtys paskatino puikūs matematikaiį jų studiją.

Taigi, pvz. adresu lygiavimas

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N.I.Lobačevskisnaudojamas nustatant lygiagretumo kampą mano geometrijoje.

Pastaraisiais metais matematikos olimpiadose gana dažnai siūlomi uždaviniai, susiję su funkcinių lygčių sprendimu. Jų sprendimas nereikalauja žinių už matematikos programos ribų vidurines mokyklas. Tačiau funkcinių lygčių sprendimas dažnai sukelia tam tikrų sunkumų.

Vienas iš būdų rasti funkcinių lygčių sprendinius yra neapibrėžtųjų koeficientų metodas. Jis gali būti naudojamas, kai išvaizda galima nustatyti lygtis bendras vaizdas norimą funkciją. Tai visų pirma taikoma tiems atvejams, kai lygčių sprendinių reikia ieškoti tarp sveikųjų skaičių arba trupmenų. racionalios funkcijos.

Išspręsdami šias problemas, apibūdinkime šios technikos esmę.

8 užduotis. Funkcijaf (x ) yra apibrėžtas visiems realiesiems x ir tenkina visusX R sąlyga

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Rastif (x ).

Sprendimas. Kadangi kairėje šios lygties pusėje yra nepriklausomas kintamasis x ir funkcijos reikšmėsf vykdomi tik linijinės operacijos, o dešinioji lygties pusė yra kvadratinė funkcija, tada natūralu manyti, kad norima funkcija taip pat yra kvadratinė:

f (X) = kirvis 2 + bx + c , Kura, b, c – nustatytini koeficientai, tai yra neapibrėžtieji koeficientai.

Pakeitę funkciją į lygtį, gauname tapatybę:

3(kirvis 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

kirvis 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Du daugianariai bus identiški, jei jie yra lygūs

tų pačių kintamojo laipsnių koeficientai:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Iš šios sistemos randame koeficientus

a = 1 , b = - , c = , Taip pattenkinalygybė

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 ant visų rinkinio realūs skaičiai. Tuo pačiu yra ir tokiųx 0 Užduotis 9. Funkcijay =f(x) visiems x yra apibrėžtas, tęstinis ir tenkina sąlygąf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Raskite dvi tokias funkcijas.

Sprendimas. Su norima funkcija atliekami du veiksmai – sudėtingos funkcijos sudarymo operacija ir

atimti. Atsižvelgiant į tai, kad dešinioji lygties pusė yra tiesinė funkcija, natūralu manyti, kad norima funkcija taip pat yra tiesinė:f(x) = ah +b , KurA Irb – neapibrėžtieji koeficientai. Pakeičiant šią funkciją įf (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , kurie yra funkcinės lygties sprendiniaif (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Išvada.

Apibendrinant reikėtų pažymėti, kad šis darbas tikrai prisidės prie tolesnio originalo ir efektyvus metodas sprendimai įvairiems matematines problemas, kurios yra užduotys padidėjęs sunkumas ir reikalauja gilių matematikos mokyklinio kurso žinių bei aukštos loginės kultūros Kiekvienas norintis savarankiškai pagilinti matematikos žinias, taip pat šiame darbe ras medžiagos apmąstymams ir įdomių užduočių, kurio sprendimas atneš naudos ir pasitenkinimą.

Darbe esamoje mokyklos mokymo programa o efektyviam suvokimui prieinama forma pateikiamas neapibrėžtųjų koeficientų metodas, padedantis pagilinti mokyklinį matematikos kursą.

Žinoma, visos neapibrėžtųjų koeficientų metodo galimybės negali būti pademonstruotos viename darbe. Tiesą sakant, šis metodas vis dar reikalauja tolesnių tyrimų ir tyrimų.

Naudotos literatūros sąrašas.

Glazer G.I..Matematikos istorija mokykloje.-M.: Edukacija, 1983 m.

Gomonovas S.A. Funkcinės lygtys mokyklos kursas matematika // Matematika mokykloje. – 2000. –№10 .

Dorofejevas G.V., Potapovas M.K., Rozovas N.H.. Matematikos vadovas - M.: Nauka, 1972 m.

Kurosh A.G. Savavališkų laipsnių algebrinės lygtys - M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikovas L.M.. Elementarus įvadas į funkcines lygtis. – Sankt Peterburgas. : Lan, 1997 m.

Manturovas O.V., Solncevas Yu.K., Sorokinas Yu.I., Fedinas N.G.. Aiškinamasis matematinių terminų žodynas.-M.: Švietimas, 1971 m.

Modenovas V.P.. Matematikos vadovas. 1 dalis.-M.: Maskvos valstybinis universitetas, 1977 m.

Modenovas V.P.. Problemos su parametrais - M.: Egzaminas, 2006 m.

Potapovas M.K., Aleksandrovas V.V., Pasičenko P.I.. Algebra ir elementariųjų funkcijų analizė - M.: Nauka, 1980 m.

Khaliullin A.A.. Galite tai lengviau išspręsti // Matematika mokykloje. – 2003 . - №8 .

Khaliullinas.

4. Išplėskite 2 daugianarįX 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 daugintuvams su sveikųjų skaičių koeficientais.

5. Kokia verte A X 3 + 6X 2 + Oi+ 12 proc X+ 4 ?

6. Esant kokiai parametro verteiA lygtisX 3 +5 X 2 + + Oi + b = 0 su sveikaisiais koeficientais turi dvi skirtingas šaknis, iš kurių viena yra 1 ?

7. Tarp daugianario šaknų X 4 + X 3 – 18X 2 + Oi + b su sveikųjų skaičių koeficientais yra trys vienodi sveikieji skaičiai. Raskite vertę b .

8. Raskite didžiausią sveikąjį parametro reikšmę A, kurioje lygtis X 3 – 8X 2 + aha +b = 0 su sveikaisiais koeficientais turi tris skirtingas šaknis, iš kurių viena yra lygi 2.

9. Kokiomis vertybėmis A Ir b padalijimas atliekamas be liekanos X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oi + b įjungta X 2 – 3X + 2 ?

10. Dauginamieji koeficientai:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 d)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Išspręskite lygtis:

A)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Rasti f (X) .

13. Funkcija adresu= f (X) visų akivaizdoje X apibrėžtas, tęstinis ir tenkinantis sąlygą f ( f (X)) = f (X) + X. Raskite dvi tokias funkcijas.

Metodas taikomas norint sumažinti bet kokio kintamųjų skaičiaus logines algebros funkcijas.

Panagrinėkime trijų kintamųjų atvejį. Būlio funkcija DNF gali būti pavaizduota visų rūšių jungtiniais terminais, kurie gali būti įtraukti į DNF:

kur kО(0,1) yra koeficientai. Metodas susideda iš koeficientų parinkimo taip, kad gautas DNF būtų minimalus.

Jei dabar nustatysime visas galimas kintamųjų reikšmes nuo 000 iki 111, gautume 2 n (2 3 = 8) lygtis koeficientams nustatyti k:

Atsižvelgdami į aibes, kurioms funkcija įgyja nulinę reikšmę, nustatykite koeficientus, lygius 0, ir išbraukite juos iš lygčių, kurių dešinėje yra 1. Iš likusių kiekvienos lygties koeficientų vienas koeficientas prilyginamas vienetui, kuris lemia žemiausio rango konjunkcija. Likę koeficientai lygūs 0. Taigi vienetiniai koeficientai k nustatyti tinkamą minimalią formą.

Pavyzdys. Sumažinkite nurodytą funkciją

jei reikšmės žinomos:
;
;
;
;
;
;
;
.

Sprendimas.

Nubraukę nulinius koeficientus, gauname:

=1;

=1;

=1;

=1.

Koeficientą prilyginkime vienybei , atitinkantis žemiausio rango konjunkciją ir paskutines keturias lygtis paverčiant 1, o pirmoje lygtyje koeficientą patartina prilyginti 1 . Likę koeficientai nustatomi į 0.

Atsakymas: sumažintos funkcijos tipas.

Pažymėtina, kad neapibrėžtųjų koeficientų metodas yra efektyvus, kai kintamųjų skaičius mažas ir neviršija 5-6.

Daugiamatis kubas

Panagrinėkime grafinį funkcijos vaizdavimą daugiamačio kubo pavidalu. Kiekviena viršūnė n- matmenų kubas gali būti suderintas su vieneto sudedamąja dalimi.

Pažymėtų viršūnių poaibis yra susiejimas su n-dimensinis Būlio funkcijos kubas iš n kintamieji SDNF.

Norėdami rodyti funkciją nuo n kintamuosius, pateiktus bet kuriame DNF, būtina nustatyti jo miniterminų ir elementų atitikimą n- matmenų kubas.

Miniterminis (n-1) rangas
galima laikyti dviejų miniterminų klijavimo rezultatu n-th rangas, t.y.

=

Įjungta n-dimensinis kubas tai atitinka dviejų viršūnių, kurios skiriasi tik koordinačių reikšmėmis, pakeitimą X i, jungiantis šias viršūnes su briauna (sakoma, kad briauna dengia į ją patenkančias viršūnes).

Taigi mažieji terminai ( n-1) eilė atitinka n-mačio kubo briaunas.

Panašiai mini terminų atitikimas ( n-2)-osios eilės veidai n-dimensinis kubas, kurio kiekviena dengia keturias viršūnes (ir keturias briaunas).

Elementai n-dimensinis kubas, pasižymintis S išmatavimai vadinami S-kubeliai

Taigi viršūnės yra 0 kubelių, briaunos yra 1 kubeliai, paviršiai yra 2 kubeliai ir tt.

Apibendrinant galime pasakyti, kad miniterminas ( n-S) funkcijos DNF reitingas n rodomi kintamieji S- kubas, kiekvienas S-kubas apima visus tuos žemesnio matmens kubus, kurie yra sujungti tik su jo viršūnėmis.

Pavyzdys. Fig. atsižvelgiant į kartografiją

Čia yra mini terminai
Ir
atitinka 1 kubelius ( S=3-2=1), ir miniterminas X 3 rodomas 2 kubeliais ( S=3-1=2).

Taigi, bet koks DNF yra susietas su n-iš viso matmenų kubas S-kubai, apimantys visas viršūnes, atitinkančias sudedamuosius vienetus (0-kubas).

Sudedamosios dalys. Dėl kintamųjų X 1 ,X 2 ,…X n išraiška
vadinamas vieneto sudedamąja dalimi ir
- nulio sudedamoji dalis ( reiškia arba , arba ).

Ši vieneto (nulio) sudedamoji dalis virsta vienu (nuliu) tik turint vieną atitinkamą kintamųjų reikšmių rinkinį, kuris gaunamas, jei visi kintamieji prilyginami vienetui (nulis), o jų neigimai lygūs nuliui (vienas).

Pavyzdžiui: sudedamasis vienetas
atitinka aibę (1011), o sudedamoji dalis yra nulis
- rinkinys (1001).

Kadangi SD(K)NF yra vieneto (nulio) sudedamųjų dalių disjunkcija (konjunkcija), galima teigti, kad jai atstovaujama Būlio funkcija f(x 1 , x 2 ,…, x n) virsta vienu (nuliu) tik kintamųjų reikšmių rinkiniams x 1 , x 2 ,…, x n, atitinkantis šias kolegas. Kituose rinkiniuose ši funkcija paverčiama 0 (vienas).

Teisingas ir priešingas teiginys, kuriuo jis grindžiamas bet kokio atstovavimo būdas Būlio funkcija, nurodyta lentelėje.

Norėdami tai padaryti, turite parašyti vieneto (nulio) sudedamųjų dalių disjunkcijas (jungtukus), atitinkančias kintamųjų reikšmių rinkinius, kuriuose funkcija įgauna reikšmę, lygią vienetui (nulis).

Pavyzdžiui, lentelės pateikta funkcija

atitinka

Gautas išraiškas galima konvertuoti į kitą formą, remiantis logikos algebros savybėmis.

Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jeigu koks nors rinkinys S-kubai apima visų viršūnių aibę, atitinkančią funkcijos vienetų reikšmes, tada disjunkciją, atitinkančią šias funkcijas S-miniterminų kubeliai yra šios funkcijos išraiška DNF.

Sako, tokia kolekcija S-kubeliai (arba juos atitinkantys miniterminai) sudaro funkcijos dangą. Minimalios formos troškimas intuityviai suprantamas kaip tokio apdangalo, skaičiaus paieška S-kurių kubelių būtų mažiau, ir jų matmenys S- daugiau. Aprėptis, atitinkanti minimalią formą, vadinama minimalia.

Pavyzdžiui, dėl funkcijos adresu=
danga atitinka ne minimalią formą:

ryžiai a) adresu=,

ryžių danga b) adresu=
, ryžiai c) adresu=
minimalus.

Ryžiai. Funkcijų aprėptis adresu=:

a) ne minimalus; b), c) minimumas.

Rodoma funkcija įjungta n-dimensiškai aiškiai ir paprastai su n3. Keturmatis kubas gali būti pavaizduotas taip, kaip parodyta pav., kuriame parodyta keturių kintamųjų funkcija ir jo minimali aprėptis, atitinkanti išraišką. adresu=

Naudojant šį metodą, kai n>4 reikalauja tokių sudėtingų darinių, kad praranda visus savo privalumus.

Integracija trupmeninė racionali funkcija.
Neaiškių koeficientų metodas

Mes ir toliau dirbame integruodami trupmenas. Pamokoje jau apžvelgėme kai kurių tipų trupmenų integralus ir šią pamoką tam tikra prasme galima laikyti tęsiniu. Norint sėkmingai suprasti medžiagą, reikalingi pagrindiniai integravimo įgūdžiai, todėl jei ką tik pradėjote mokytis integralų, tai yra, esate pradedantysis, turite pradėti nuo straipsnio Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Kaip bebūtų keista, dabar mes užsiimsime ne tiek integralų paieška, kiek... sistemų sprendimu tiesines lygtis. Šiuo atžvilgiu skubiai Rekomenduoju lankyti pamoką. Būtent, jūs turite gerai išmanyti pakeitimo metodus („mokyklos“ metodą ir sisteminių lygčių sudėties (atėmimo) metodą).

Kas yra trupmeninė racionali funkcija? Paprastais žodžiais, trupmeninė-racionali funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario arba daugianario sandaugų. Be to, trupmenos yra sudėtingesnės nei aptariamos straipsnyje Kai kurių trupmenų integravimas.

Tinkamos trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas

Iškart pavyzdys ir standartinis algoritmas trupmeninės racionalios funkcijos integralo sprendiniai.

1 pavyzdys

1 veiksmas. Pirmas dalykas, kurį VISADA darome spręsdami trupmeninės racionalios funkcijos integralą, yra išsiaiškinti kitas klausimas: ar trupmena tinkama? Šis žingsnis yra daroma žodžiu, o dabar paaiškinsiu, kaip:

Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis daugianario:

Pirmaujanti skaitiklio galia yra du.

Dabar žiūrime į vardiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis vardiklis. Akivaizdus būdas yra atidaryti skliaustus ir atnešti panašius terminus, bet jūs galite tai padaryti lengviau kiekviena skliausteliuose raskite aukščiausią laipsnį

ir mintyse padauginkite: - taigi, didžiausias vardiklio laipsnis lygus trims. Visiškai akivaizdu, kad jei iš tikrųjų atidarysime skliaustus, negausime laipsnio didesnio nei trys.

Išvada: Pagrindinis skaitiklio laipsnis GRIEŽTAI yra mažesnė už didžiausią vardiklio laipsnį, o tai reiškia, kad trupmena yra tinkama.

Jei į šiame pavyzdyje skaitiklyje buvo daugianario 3, 4, 5 ir kt. laipsnių, tada trupmena būtų negerai.

Dabar nagrinėsime tik teisingas trupmenines racionalias funkcijas. Atvejis, kai skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio laipsniui, bus aptartas pamokos pabaigoje.

2 veiksmas. Išskaidykime vardiklį faktoriais. Pažvelkime į mūsų vardiklį:

Paprastai tariant, tai jau yra veiksnių rezultatas, bet vis dėlto klausiame savęs: ar įmanoma dar ką nors išplėsti? Kankinimo objektas neabejotinai bus kvadratinis trikampis. Nuspręskime kvadratinė lygtis:

Diskriminuojantis didesnis už nulį, o tai reiškia, kad trinalį tikrai galima koeficientuoti:

Bendra taisyklė: VISKAS, ką GALI būti įtraukta į vardiklį – mes tai įvertiname

Pradėkime formuluoti sprendimą:

3 veiksmas. Naudodamiesi neapibrėžtųjų koeficientų metodu, integrandą išplečiame į paprastųjų (elementariųjų) trupmenų sumą. Dabar bus aiškiau.

Pažvelkime į mūsų integrando funkciją:

Ir, žinote, kažkaip intuityvi mintis iškyla, kad būtų malonu turėti mūsų didelė frakcija pavirsti į keletą mažų. Pavyzdžiui, taip:

Kyla klausimas, ar tai apskritai įmanoma padaryti? Atsikvėpkime, atitinkama teorema matematinė analizė tvirtina – GALIMA. Toks skilimas egzistuoja ir yra unikalus.

Yra tik vienas laimikis, šansai yra tokie Iki pasimatymo Mes nežinome, todėl pavadinimas - neapibrėžtų koeficientų metodas.

Kaip atspėjote, vėlesni kūno judesiai yra tokie, neskubėkite! bus siekiama tiesiog juos ATPAŽINTI – išsiaiškinti, kam jie prilygsta.

Būkite atsargūs, išsamiai paaiškinsiu tik vieną kartą!

Taigi, pradėkime šokti nuo:

Kairėje pusėje sumažiname išraišką iki bendro vardiklio:

Dabar galime saugiai atsikratyti vardiklių (nes jie yra vienodi):

Kairėje pusėje atidarome skliaustus, bet kol kas nelieskite nežinomų koeficientų:

Tuo pačiu kartojame mokyklinę daugianario daugybos taisyklę. Kai buvau mokytojas, išmokau ištarti šią taisyklę tiesiu veidu: Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario.

Iš požiūrio taško aiškus paaiškinimas Koeficientus geriau dėti skliausteliuose (nors aš asmeniškai niekada to nedarau, kad sutaupyčiau laiko):

Sudarome tiesinių lygčių sistemą.
Pirmiausia ieškome vyresniųjų laipsnių:

Ir mes įrašome atitinkamus koeficientus į pirmąją sistemos lygtį:

Gerai atsiminkite sekantį dalyką. Kas nutiktų, jei dešinėje pusėje iš viso nebūtų s? Tarkime, ar jis tiesiog pasirodytų be jokio kvadrato? Šiuo atveju sistemos lygtyje reikėtų dešinėje dėti nulį: . Kodėl nulis? Bet kadangi dešinėje pusėje visada galite priskirti tą patį kvadratą su nuliu: Jei dešinėje pusėje nėra kintamųjų ir (arba) laisvas narys, tada atitinkamų sistemos lygčių dešiniosiose pusėse dedame nulius.

Į antrąją sistemos lygtį įrašome atitinkamus koeficientus:

Ir galiausiai, mineralinis vanduo, atrenkame laisvus narius.

Ech, kažkaip pajuokavau. Juokaujame – matematika yra rimtas mokslas. Mūsų instituto grupėje niekas nesijuokė, kai docentė pasakė, kad išbarstys terminus išilgai skaičių tiesės ir išrinks didžiausius. Būkime rimti. Nors... kas gyvena iki šios pamokos pabaigos, vis tiek tyliai šypsosis.

Sistema paruošta:

Mes išsprendžiame sistemą:

(1) Iš pirmosios lygties ją išreiškiame ir pakeičiame 2 ir 3 sistemos lygtimis. Tiesą sakant, buvo galima išreikšti (ar kitą raidę) iš kitos lygties, bet šiuo atveju pravartu tiksliai išreikšti iš 1-osios lygties, nes ten mažiausi šansai.

(2) Panašius terminus pateikiame 2-oje ir 3-ioje lygtyse.

(3) 2 ir 3 lygtis pridedame po termino, gaudami lygybę , iš kurios išplaukia, kad

(4) Mes pakeičiame į antrąją (arba trečiąją) lygtį, iš kur tai randame

(5) Pakeiskite ir į pirmąją lygtį, gaudami .

Jei kyla problemų dėl sistemos sprendimo būdų, praktikuokite juos klasėje. Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?

Išsprendus sistemą visada pravartu pasitikrinti – pakeisti rastas reikšmes kas sistemos lygtis, todėl viskas turėtų „susivesti“.

Beveik ten. Buvo rasti koeficientai ir:

Baigtas darbas turėtų atrodyti maždaug taip:

Kaip matote, pagrindinis užduoties sunkumas buvo sudaryti (teisingai!) ir išspręsti (teisingai!) tiesinių lygčių sistemą. Ir paskutiniame etape viskas nėra taip sunku: mes naudojame tiesiškumo savybes neapibrėžtas integralas ir integruoti. Atkreipkite dėmesį, kad kiekviename iš trijų integralų turime „nemokamą“ sudėtinga funkcija, kalbėjau apie jo integravimo klasėje ypatybes Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Patikrinkite: išskirkite atsakymą:

Gauta pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas buvo rastas teisingai.
Tikrinimo metu turėjome sumažinti išraišką iki bendro vardiklio, ir tai neatsitiktinai. Neapibrėžtų koeficientų metodas ir išraiškos redukavimas į bendrą vardiklį yra abipusiai atvirkštiniai veiksmai.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Grįžkime prie pirmojo pavyzdžio trupmenos: . Nesunku pastebėti, kad vardiklyje visi veiksniai yra SKIRTINGI. Kyla klausimas, ką daryti, jei, pavyzdžiui, pateikiama ši trupmena: ? Čia mes turime laipsnius vardiklyje arba, matematiškai, kartotiniai. Be to, yra kvadratinis trinaris, kurio negalima koeficientuoti (nesunku patikrinti, ar lygties diskriminantas yra neigiamas, todėl trinario negalima koeficientuoti). Ką daryti? Išplėtimas į elementariųjų trupmenų sumą atrodys maždaug taip su nežinomais koeficientais viršuje ar dar kažkas?

3 pavyzdys

Įveskite funkciją

1 veiksmas. Tikrinama, ar turime tinkamą trupmeną
Pagrindinis skaitiklis: 2
Aukščiausias vardiklio laipsnis: 8
, o tai reiškia, kad trupmena yra teisinga.

2 veiksmas. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Akivaizdu, kad ne, viskas jau išdėstyta. Kvadratinis trinaris dėl aukščiau nurodytų priežasčių nesuyra į kūrinį. Gaubtas. Mažiau darbo.

3 veiksmas.Įsivaizduokime trupmeninę-racionaliąją funkciją kaip elementariųjų trupmenų sumą.
Šiuo atveju išplėtimas turi tokią formą:

Pažvelkime į mūsų vardiklį:
Išskaidžius trupmeninę-racionaliąją funkciją į elementariųjų trupmenų sumą, galima išskirti tris pagrindinius dalykus:

1) Jei vardiklyje yra „vienišas“ pirmosios laipsnio koeficientas (mūsų atveju), tada viršuje (mūsų atveju) dedame neapibrėžtą koeficientą. 1, 2 pavyzdžiai susideda tik iš tokių „vienišų“ veiksnių.

2) Jei vardiklis turi daugkartinis daugiklis, tada jums reikia jį išskaidyti taip:
- tai yra, nuosekliai eikite per visus „X“ laipsnius nuo pirmojo iki n-ojo laipsnio. Mūsų pavyzdyje yra du keli veiksniai: ir , dar kartą pažvelkite į mano pateiktą išplėtimą ir įsitikinkite, kad jie yra išplėsti tiksliai pagal šią taisyklę.

3) Jei vardiklyje yra neišskaidomas antrojo laipsnio polinomas (mūsų atveju), tada skaidant skaitiklyje reikia parašyti tiesinė funkcija su neapibrėžtais koeficientais (mūsų atveju su neapibrėžtais koeficientais ir ).

Tiesą sakant, yra dar vienas 4-asis atvejis, bet aš apie tai tylėsiu, nes praktikoje tai yra labai reta.

4 pavyzdys

Įveskite funkciją kaip elementariųjų trupmenų su nežinomais koeficientais suma.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Griežtai laikykitės algoritmo!

Jei suprantate principus, pagal kuriuos reikia išplėsti trupmeninę-racionaliąją funkciją į sumą, galite peržvelgti beveik bet kurį nagrinėjamo tipo integralą.

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

1 veiksmas. Akivaizdu, kad trupmena teisinga:

2 veiksmas. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Gali. Čia yra kubelių suma . Vardiklį koeficientuokite naudodami sutrumpintą daugybos formulę

3 veiksmas. Naudodami neapibrėžtų koeficientų metodą, integrandą išplečiame į elementariųjų trupmenų sumą:

Atkreipkite dėmesį, kad daugianario negalima koeficientuoti (patikrinkite, ar diskriminantas yra neigiamas), todėl viršuje pateikiame tiesinę funkciją su nežinomais koeficientais, o ne tik viena raide.

Sukeliame trupmeną į bendrą vardiklį:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

(1) Išreiškiame iš pirmosios lygties ir pakeičiame ją antrąja sistemos lygtimi (tai yra racionaliausias būdas).

(2) Panašius terminus pateikiame antroje lygtyje.

(3) Antrąją ir trečiąją sistemos lygtis sudedame po terminą.

Visi tolesni skaičiavimai iš esmės yra žodiniai, nes sistema yra paprasta.

(1) Užrašome trupmenų sumą pagal rastus koeficientus.

(2) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes. Kas atsitiko antrajame integrale? Su šiuo metodu galite susipažinti paskutinėje pamokos pastraipoje. Kai kurių trupmenų integravimas.

(3) Dar kartą naudojame tiesiškumo savybes. Trečiajame integralu pradedame išskirti tobulas kvadratas(priešpaskutinė pamokos pastraipa Kai kurių trupmenų integravimas).

(4) Imame antrą integralą, trečiuoju pasirenkame visą kvadratą.

(5) Paimkite trečiąjį integralą. Paruošta.

Ši paslauga skirta formos trupmenoms skaidyti:

Paprastųjų trupmenų sumai. Ši paslauga bus naudinga sprendžiant integralus. žr. pavyzdį.

Instrukcijos. Įveskite trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Spustelėkite mygtuką Spręsti.

Funkcijos įvedimo taisyklės

Funkcijos įvedimo taisyklės

Neapibrėžtinių koeficientų metodo algoritmas

1. Vardiklio faktorius.
2. Trupmenos išskaidymas kaip paprastųjų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais suma.
3. Skaitiklio sugrupavimas su tokiomis pačiomis x galiomis.
4. Tiesinių algebrinių lygčių sistemos su neapibrėžtais koeficientais, kaip nežinomaisiais, gavimas.
5. SLAE sprendimas: Cramerio metodas, Gauso metodas, atvirkštinės matricos metodas arba nežinomųjų pašalinimo metodas.

Pavyzdys. Mes naudojame skaidymo į paprasčiausius metodą. Suskirstykime funkciją į paprasčiausius terminus:


Sulyginkime skaitiklius ir atsižvelgsime į tai, kad koeficientai yra vienodi X, stovint kairėje ir dešinėje turi sutapti
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Išspręsdami tai randame:
A = 1/16;B = -1/9;C = -5/12;D = 7/144;