Stacionarus atsitiktinis procesas. Stacionarus procesas

Stacionarus atsitiktinis procesas

svarbi speciali atsitiktinių procesų klasė (žr Atsitiktinis procesas), dažnai aptinkamas tikimybių teorijos taikymuose įvairiose gamtos mokslų ir technologijų šakose. Atsitiktinis procesas X(t) vadinamas stacionariu, jei visa tai tikimybinės charakteristikos laikui bėgant nesikeičia t(taigi, pavyzdžiui, kiekio tikimybės pasiskirstymas X(t) visų akivaizdoje t yra vienas ir tas pats, bet bendras paskirstymas kiekių tikimybės X(t 1) Ir X(t 2) priklauso tik nuo laikotarpio trukmės t 2 - t 1, y., dydžių porų skirstiniai (X(t 1), X(t 2)} Ir ( X(t 1 + s), X(t 2 + s)) yra vienodi visiems t 1, t 2 Ir s Ir T. d.).

Schema S. s. p., daugelis aprašomi gerai apytiksliai tikri reiškiniai, lydimas netvarkingų svyravimų. Pavyzdžiui, pulsacinė srovė arba įtampa elektros grandinė(elektros „triukšmas“) gali būti laikomas S. s. ir pan., jei ši grandinė yra stacionariojo režimo, t.y., jei visos jos makroskopinės charakteristikos ir visos sąlygos, dėl kurių per ją teka srovė, laikui bėgant nesikeičia; greičio pulsacijos turbulentinio srauto taške reiškia s.s. ir pan., jei jie nesikeičia bendrosios sąlygos, sukuriant nagrinėjamą srautą (t. y. srautas yra pastovus) ir kt. Šie ir kiti pavyzdžiai S. s. fizikos (ypač geo- ir astrofizikos), mechanikos ir technologijų objektai paskatino saulės sistemų tyrimų plėtrą. p.; Kartu reikšmingi pasirodė ir kai kurie socialinių sistemų sampratos apibendrinimai. (pavyzdžiui, atsitiktinio proceso su stacionariais žingsniais sąvoka duotas įsakymas, apibendrino S. s. ir vienalytis atsitiktinis laukas).

IN matematinė teorija S. s. Pagrindinis vaidmuo tenka proceso reikšmių tikimybių pasiskirstymo momentams X(t), būdamas paprasčiausias skaitinės charakteristikosšie paskirstymai. Ypač svarbūs pirmųjų dviejų įsakymų momentai: vidutinė S. s. punktas E X(t)= m -matematinis lūkestis atsitiktinis kintamasis X(t) Ir koreliacijos funkcija S. s. punktas E X(t 1) X(t 2)= B(t 2 - t 1) – matematinis gaminio lūkestis X(t 1)X(t 2) (paprasčiausiai išreiškiama kiekių dispersija X(t) ir koreliacijos koeficientą tarp X(t 1) Ir X(t 2); cm. Koreliacija). Daugelyje matematiniai tyrimai, skirta S. s. ir pan., apskritai tiriamos tik tos jų savybės, kurias visiškai lemia vien charakteristikos m ir B (τ) (vadinamieji koreliacijos teorija S. s. p.). Šiuo atžvilgiu atsitiktiniai procesai X(t), turinčios pastovią vidutinę vertę E X(t)= m ir koreliacijos funkcija B ( t 2 , t 1) = E X(t 1) X(t 2), priklausomai tik nuo t 2 - t 1, dažnai vadinamas S. s. p.c. plačiąja prasme(o konkrečiau atsitiktiniai procesai, kurių visos savybės laikui bėgant nekinta, šiuo atveju vadinami atsitiktiniais procesais siaurąja prasme).

Svarbi vieta socialinių mokslų matematinėje teorijoje. užima tyrimai, pagrįsti atsitiktinio proceso išplėtimu X(t) ir jos koreliacijos funkcija B ( t 2 - t 1) = B (τ) į Furjė arba Furjė – Stieltjeso integralą (žr. Furjė integralas). Pagrindinį vaidmenį čia vaidina Khinchino teorema, pagal kurią sistemos koreliacinė funkcija. p. X(t) visada gali būti pavaizduotas formoje

Kur F(λ) - monotoniškai nemažėjanti funkcija λ (o integralas dešinėje yra Stieltjes integralas); jei B (τ) mažėja pakankamai greitai kaip |τ|→∞ (kaip dažniausiai būna programose, su sąlyga, kad pagal X(t) iš tikrųjų suprantamas kaip skirtumas X(t) - m), tada integralas dešinėje (1) pusėje virsta įprastu Furjė integralu:

Kur f(λ) = F'(λ) - neneigiama funkcija. Funkcija F(λ) vadinama S. s spektrine funkcija. p. X(t), ir funkcija F(λ) [tais atvejais, kai galioja (2) lygybė] – jos spektrinis tankis. Iš Khinchino teoremos taip pat išplaukia, kad pats procesas X(t) pripažįsta Spektrinis skilimas malonus

Kur Z(λ) - yra atsitiktinė funkcija su nekoreliuotais prieaugiais, o integralas dešinėje suprantamas kaip atitinkamos integralinių sumų sekos kvadratinė riba. Dekompozicija (3) suteikia pagrindo svarstyti bet kokią sistemų sistemą. p. X(t) kaip nekoreliacijos superpozicija harmonines vibracijas skirtingi dažniai su atsitiktinėmis amplitudėmis ir fazėmis; tuo pačiu metu spektrinė funkcija F(λ) ir spektrinis tankis f(λ) nustato pasiskirstymą vidutinė energijaįtraukta į X(t) harmoninius virpesius išilgai dažnių spektro λ (taigi, in taikomieji tyrimai funkcija f(λ) dažnai dar vadinamas saulės sistemos energijos spektru arba galios spektru. p. X(t)).

S. s sąvokos identifikavimas. elementas ir pirmųjų su juo susijusių matematinių rezultatų gavimas yra E. E. Slutskio nuopelnas (žr. Slutskis) ir datuojami 20-ųjų pabaigoje ir 30-ųjų pradžioje. 20 a Ateityje svarbus darbas pagal S. s teoriją. daiktus atliko A. Ya. Khinčinas th , A.N. Kolmogorovas th , G. Krameris ohm , N. Wiener om ir kt.

Lit.: Slutsky E. E., Izbr. tr., M., 1960; Khinchin A. Ya., Stacionarių koreliacijos teorija stochastiniai procesai, „Sėkmės matematiniai mokslai“, 1938 m. 5, p. 42-51; Rozanov Yu A., Stacionarūs atsitiktiniai procesai, M., 1963; Prokhorov Yu., Rozanovas A., Tikimybių teorija. (Pagrindinės sąvokos. Ribinės teoremos. Atsitiktiniai procesai), 2 leidimas, M., 1973; Gikhman I. I., Skorokhod A. V., Atsitiktinių procesų teorija, 1 t., M., 1971; Hennan E., Daugiamatė laiko eilutė, vert. iš anglų k., M., 1974 m.

A. M. Jaglomas.

Didelis Sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .

Pažiūrėkite, kas yra „stacionarus atsitiktinis procesas“ kituose žodynuose:

Atsitiktinis procesas, apibrėžtas visiems laiko momentams, stochastinis. charakteristikos nepriklauso nuo atspirties taško pasirinkimo. atskaitos momentas (t. y. jie nesikeičia pakeitus. Tiksliau, tai reiškia, kad bet kokiam laikų rinkiniui t1,...,tn... ... Fizinė enciklopedija

Apibrėžimas [ | ]

Kur T (\displaystyle T) vadinama savavališka aibė atsitiktinė funkcija .

Terminija [ | ]

Ši klasifikacija nėra griežta. Visų pirma, terminas „atsitiktinis procesas“ dažnai vartojamas kaip absoliutus termino „atsitiktinė funkcija“ sinonimas.

Klasifikacija [ | ]

• Atsitiktinis procesas X (t) (\displaystyle X(t)) vadinamas procesu diskretiškas laike, jei sistema, kurioje ji atsiranda, savo būsenas keičia tik tam tikrais laiko momentais t 1 , t 2 , … (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ), kurių skaičius yra baigtinis arba skaičiuojamas. Atsitiktinis procesas vadinamas nuolatinis laiko procesas, jei perėjimas iš būsenos į būseną gali įvykti bet kuriuo metu.
• Atsitiktinis procesas vadinamas apdoroti su nuolatinės būsenos , jei atsitiktinio proceso reikšmė yra ištisinė atsitiktinis kintamasis. Atsitiktinis procesas vadinamas atsitiktinis procesas su atskiromis būsenomis, jei atsitiktinio proceso reikšmė yra diskretusis atsitiktinis kintamasis:
• Atsitiktinis procesas vadinamas stacionarus, jei visi daugiamačiai skirstymo dėsniai priklauso tik nuo santykinė padėtis akimirkos laike t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), bet ne pačių šių kiekių vertes. Kitaip tariant, atsitiktinis procesas vadinamas stacionariu, jei jo tikimybiniai modeliai laikui bėgant yra pastovūs. Priešingu atveju jis vadinamas nestacionarus.
• Atsitiktinė funkcija vadinama stacionarus plačiąja prasme, jei jo matematinė prognozė ir dispersija yra pastovios, o ACF priklauso tik nuo skirtumo tarp laiko momentų, kuriems paimtos ordinatės atsitiktinė funkcija. Sąvoką pristatė A. Ya.
• Atsitiktinis procesas vadinamas procesu su stacionariais žingsniais tam tikra tvarka, jei tokio prieaugio tikimybiniai modeliai laikui bėgant yra pastovūs. Tokius procesus svarstė Yaglomas.
• Jeigu atsitiktinės funkcijos ordinatės paklūsta normaliojo skirstinio dėsniui, vadinasi pati funkcija normalus.
• Atsitiktinės funkcijos, kurių ordinačių pasiskirstymo dėsnį ateityje visiškai lemia proceso ordinatės reikšmė dabarties akimirka laiko ir nepriklauso nuo proceso ordinačių reikšmės ankstesniais laikais Markovas.
• Atsitiktinis procesas vadinamas procesas nepriklausomais žingsniais, jei kokiam rinkiniui t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), Kur n > 2 (\displaystyle n>2), A t 1< t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1} , atsitiktiniai dydžiai (X t 2 − X t 1) (\displaystyle (X_(t_(2))-X_(t_(1)))), (X t 3 − X t 2) (\displaystyle (X_(t_(3))-X_(t_(2)))), … (\displaystyle \ldots ), (X t n − X t n − 1) (\displaystyle (X_(t_(n))-X_(t_(n-1)))) kolektyviai nepriklausomi.
• Jei, nustatant stacionaraus atsitiktinio proceso momentines funkcijas, vidurkio skaičiavimo per statistinį ansamblį operaciją galima pakeisti vidurkiu per laiką, tai toks stacionarus atsitiktinis procesas vadinamas ergodiškas .
• Tarp atsitiktinių procesų išskiriami impulsyvūs atsitiktiniai procesai.

Atsitiktinio proceso trajektorija[ | ]

Pateikiame atsitiktinį procesą ( X t ) t ∈ T (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\in T)). Tada už kiekvieną fiksuotą t ∈ T (\displaystyle t\in T) X t (\displaystyle X_(t))- atsitiktinis kintamasis vadinamas skerspjūvis. Jei elementarus rezultatas yra fiksuotas ω ∈ Ω (\displaystyle \omega \in \Omega), Tai X t: T → R (\displaystyle X_(t)\dvitaškis T\į \mathbb (R) )- deterministinio parametro funkcija t (\displaystyle t). Ši funkcija vadinama trajektorija arba įgyvendinimas atsitiktinė funkcija ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)).

Stacionarus atsitiktinis procesas

svarbi speciali atsitiktinių procesų klasė, dažnai sutinkama tikimybių teorijos taikymuose įvairiose gamtos mokslų ir technologijų srityse. Atsitiktinis procesas X (t) vadinamas stacionariu, jei visos jo tikimybinės charakteristikos nesikeičia per laiką t (taigi, pavyzdžiui, reikšmės X (t) tikimybių skirstinys visiems t yra vienodas, o bendras tikimybių skirstinys reikšmės X (t

priklauso tik nuo laiko intervalo t2≈t1 trukmės, t.y. dydžių porų (X (t1), X (t2)) ir (X (t1 + s), X (t2 + s)) pasiskirstymai yra identiški bet kuris t1, t2 ir s ir tt).

Schema S. s. Jis gerai apytiksliai apibūdina daugybę realių reiškinių, kuriuos lydi netvarkingi svyravimai. Taigi, pavyzdžiui, srovės ar įtampos pulsavimas elektros grandinėje (elektrinis „triukšmas“) gali būti laikomas S. s. ir pan., jei ši grandinė yra stacionariojo režimo, t.y., jei visos jos makroskopinės charakteristikos ir visos sąlygos, dėl kurių per ją teka srovė, laikui bėgant nesikeičia; greičio pulsacijos turbulentinio srauto taške reiškia s.s. ir pan., jei nesikeičia bendrosios sąlygos, generuojančios nagrinėjamą srautą (t. y. srautas yra pastovus) ir kt. Šie ir kiti pavyzdžiai S. s. fizikos (ypač geo- ir astrofizikos), mechanikos ir technologijų objektai paskatino saulės sistemų tyrimų plėtrą. p.; Kartu reikšmingi pasirodė ir kai kurie socialinių sistemų sampratos apibendrinimai. (pavyzdžiui, atsitiktinio proceso su tam tikros eilės stacionariais prieaugiais, apibendrinto atsitiktinio proceso ir vienalyčio atsitiktinio lauko sąvokos).

Matematinės teorijos S. s. Pagrindinį vaidmenį atlieka proceso X (t) reikšmių tikimybių pasiskirstymo momentai, kurie yra paprasčiausios šių skirstinių skaitinės charakteristikos. Ypač svarbūs pirmųjų dviejų įsakymų momentai: vidutinė S. s. elementas EX (t) = m ≈ atsitiktinio dydžio X (t) ir koreliacinės funkcijos S. matematinė lūkestis. p EX (t1) X (t2) = B (t2≈t1) ≈ sandaugos X (t1) X (t2) matematinė prognozė (paprasčiausiai išreiškiama reikšmių dispersija X (t) ir koreliacijos koeficientas tarp X (t1) ir X (t2), žr. Daugelyje matematinių studijų, skirtų socialinėms sistemoms. ir pan., apskritai tiriamos tik tos jų savybės, kurias visiškai lemia vien charakteristikos m ir B(t) (vadinamoji socialinių tinklų koreliacijos teorija). Šiuo atžvilgiu atsitiktiniai procesai X (t), turintys pastovią vidutinę reikšmę EX (t) = m ir koreliacijos funkciją B (t2, t1) = EX (t1) X (t2), priklauso tik nuo t2 ≈ t1. dažnai vadinamas C. Su. p. plačiąja prasme (ir konkretesni atsitiktiniai procesai, kurių visos savybės laikui bėgant nesikeičia, šiuo atveju vadinami atsitiktiniais procesais siaurąja prasme).

Svarbi vieta socialinių mokslų matematinėje teorijoje. plotus užima tyrimai, pagrįsti atsitiktinio proceso X (t) išplėtimu ir jo koreliacijos funkcija B (t2 ≈t1) = B (t) į Furjė integralą, arba Furjė ≈ Stieltjes (žr. Furjė integralą). Pagrindinį vaidmenį čia vaidina Khinchino teorema, pagal kurią sistemos koreliacinė funkcija. elementas X (t) visada gali būti pavaizduotas formoje

čia F (l) ≈ monotoniškai nemažėjanti funkcija l (o integralas dešinėje ≈ yra Stieltjeso integralas); jei B (t) mažėja pakankamai greitai kaip |t|╝¥ (kaip tai dažniausiai nutinka programose, su sąlyga, kad X (t) iš tikrųjų reiškia skirtumą X (t) ≈ m), tada integralas dešinėje dalyje (1) virsta įprastu Furjė integralu:

čia f (l) = F▓(l) ≈ neneigiama funkcija. Funkcija F(l) vadinama s.s spektrine funkcija. punktas X (t), o funkcija F (l) [tais atvejais, kai galioja lygybė (2)] ≈ jos spektrinis tankis. Iš Khinchino teoremos taip pat išplaukia, kad pats procesas X (t) leidžia formos spektrinį skaidymą

kur Z (l) ≈ atsitiktinė funkcija su nekoreliuotais prieaugiais, o integralas dešinėje suprantamas kaip atitinkamos integralinių sumų sekos kvadratinė riba. Dekompozicija (3) suteikia pagrindo svarstyti bet kokią sistemų sistemą. punktas X (t) kaip skirtingų dažnių harmoninių virpesių, nesusijusių tarpusavyje su atsitiktinėmis amplitudėmis ir fazėmis, superpozicija; šiuo atveju spektrinė funkcija F (l) ir spektrinis tankis f (l) lemia harmoninių virpesių, įtrauktų į X (t), vidutinės energijos pasiskirstymą dažnių spektre l (todėl taikomuosiuose tyrimuose funkcija f (l) dažnai dar vadinamas energijos spektru arba galios spektru X (t)).

S. s sąvokos identifikavimas. p. ir su juo susijusių pirmųjų matematinių rezultatų gavimas yra E. E. Slutsky nuopelnas ir datuojamas 20-ųjų pabaigoje ir 30-ųjų pradžioje. 20 a Vėliau svarbūs socialinių sistemų teorijos darbai. elementus atliko A. Ya Chinčinas, A. N. Kolmogorovas, G. Krameris, N. Wiener ir kt.

Lit.: Slutsky E. E., Izbr. tr., M., 1960; Khinchin A. Ya., Stacionarių stochastinių procesų koreliacijos teorija, „Matematikos mokslų pažanga“, 1938 m., amžius. 5, p. 42≈51; Rozanov Yu A., Stacionarūs atsitiktiniai procesai, M., 1963; Prokhorov Yu., Rozanovas A., Tikimybių teorija. (Pagrindinės sąvokos. Ribinės teoremos. Atsitiktiniai procesai), 2 leidimas, M., 1973; Gikhman I. I., Skorokhod A. V., Atsitiktinių procesų teorija, 1 t., M., 1971; Hennan E., Daugiamatė laiko eilutė, vert. iš anglų k., M., 1974 m.