Būtinas ir pakankama būklė ergodiškumas ξ (t) in

santykis su dispersija yra formulė (2.5), o pakankama sąlyga yra (2.6).

Paprastai stacionarus atsitiktinis procesas yra neergodinis, kai vyksta netolygiai. Pavyzdžiui, neergodiškumas

ξ (t) gali atsirasti dėl to, kad jame yra terminas atsitiktinis kintamasis X su charakteristikomis m x ir D x . Tada, kadangi ξ 1 (t) = ξ (t) + X, tada m ξ 1 = m ξ + m x, K ξ 1 (τ) = K ξ (τ) + D x

ir τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. Spektrinis skilimas stacionarus atsitiktinis procesas ir Furjė transformacija. Spektrinis tankis

Pagrindinė atsitiktinių procesų spektrinio vaizdavimo idėja yra ta, kad jie gali būti pavaizduoti kaip tam tikrų harmonikų suma. Šis vaizdavimas leidžia palyginti lengvai atlikti įvairias, tiek tiesines, tiek netiesines, transformacijas per atsitiktinius procesus. Pavyzdžiui, galima ištirti, kaip atsitiktinio proceso sklaida pasiskirsto jį sudarančių harmonikų dažniuose. Tokios informacijos naudojimas yra esmė spektrinė teorija stacionarūs atsitiktiniai procesai.

Spektrinė teorija leidžia skaičiavimuose naudoti atsitiktinio proceso Furjė vaizdą. Daugeliu atvejų tai labai supaprastina skaičiavimus ir yra plačiai taikoma, ypač atliekant teorinius tyrimus.

Stacionarus atsitiktinis procesas ξ (t) gali būti nurodytas savaip

juos kanoniniu arba spektriniu skaidymu:

k = 0

čia ψ k – elementaraus atsitiktinio harmoninio virpesio fazė

procesas, kuris yra atsitiktinis dydis, tolygiai paskirstytas per intervalą intervale (0,2π),z k – am-

elementaraus atsitiktinio proceso harmoninių virpesių amplitudė, o z k taip pat yra atsitiktinis dydis su kai kuriais

m z ir D z.

Iš tiesų, tegul ξ k (t) = x k cos ω k t + y k sin ω k t, tada m ξ k = 0,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 )(x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

Cos ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

D k cosω k (t 2 − t 1 ) = D k cosω k τ .

Taigi m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0 ,

K ξ k (t 1 ,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] ( M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 ) = D z k + 2 m z k cos(t 2 − t 1 ) .k k k 2 k k k 2

Taigi, remiantis (2.8) ir (2.10) formulėse padarytomis prielaidomis apie į šias atsitiktinių dydžių formules įtrauktas savybes, vaizdiniai (2.8) ir (2.10) yra lygiaverčiai. Šiuo atveju

arbatos kiekiai z i ir ψ i ,i = 1,∞ yra priklausomi, nes akivaizdu, kad santykiai galioja

Kadangi stacionaraus atsitiktinio proceso kovariacijos funkcija yra skaičiuojamoji funkcija, ją galima apskaičiuoti intervale (− T ,T )

įdėti į Furjė eilutę pagal kosinusus, t.y. K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k cosω k τ ,

Kadangi ω k gali būti interpretuojamas kaip spektro harmonikas,

stacionaraus atsitiktinio proceso tral išplėtimas (2.8), tada bendra dispersija stacionaraus atsitiktinio proceso, pavaizduoto jo kanoniniu (spektriniu) skilimu, yra lygus jo spektrinio skaidymo visų harmonikų dispersijų sumai. Fig. 2.1

parodyta dispersijų D k aibė, atitinkanti įvairias harmonikas ω i . Kuo ilgesnis skilimo intervalas pagal formulę

(2.9) bus imtasi, tuo tikslesnis bus išplėtimas pagal šią formulę. Jei imsime T ′ = 2T, tai spektrinio skilimo dispersijos spektras

Dydis S ξ (ω k ) ∆ω = D k yra sumos dalis

stacionaraus atsitiktinio proceso dispersija ξ (t), priskiriama k-ajai harmonikai. Kai T → ∞ (arba kaip ∆ω→ 0), funkcija S ξ (ω k) neribotai priartės prie kreivės S ξ (ω), kuri

rojus vadinamas nejudančio atvejo spektriniu tankiu -

procesas ξ (t) (2.2 pav.). Iš (2.13) matyti, kad funkcijos K ξ (τ) ir S ξ (ω) yra susijusios viena su kita Furjė kosinuso transformacija. Taigi,

Ryžiai. 2.2. Funkcijų grafikai S ξ (ω k) Ir Sξ (ω )

Spektrinis tankis, pagal analogiją su tikimybės tankio funkcija, turi šias savybes:

1. Sξ (ω ) ≥0.

2. ∞ ∫ Sξ (ω ) dω = ∞ ∫ Sξ (ω ) cos(0 ω ) dω = Kξ (0 ) =Dξ .

Jei įvesite funkciją Sξ (ω ) , apibrėžiamas taip:

Sξ (ω ) =Sξ 2 (ω ) , ω≥ 0,

paskambino stacionaraus atsitiktinio proceso spektrinis tankis in sudėtinga forma, tada ši funkcija, be dviejų aukščiau paminėtų savybių, turi ir trečią savybę – pariteto savybę (2.3 pav.).

3. Sξ (ω ) =Sξ (− ω ) .

Ryžiai. 2.3. Spektrinio tankio funkcijų grafikai

Perrašykime (2.8) tokia forma:

galima gauti integralus kanoninis vaizdavimas šimtas

nacionalinis atsitiktinis procesas:

nuplautas" baltas triukšmas“ (žr. 2.4 poskyrį). Statistinės charakteristikos

stacionaraus atsitiktinio proceso spektrinis plėtimasis sudėtingoje formoje turi formą

Panašius veiksmus galima atlikti su kovariacijos funkcija, pateikta formoje (2.9), ir gauti

K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k e iω kt.

k=−∞

Formulė (2.13), atsižvelgiant į funkcijos įvedimą, gali būti perrašyta tokia forma:

Sξ (ω ) tu gali iš naujo

Formulės (2.18) ir (2.19) vaizduoja spektrinio tankio Furjė transformaciją Sξ (ω ) ir kovariacijos funkcija Kξ (τ ) sudėtinga forma.

Kadangi spektrinis tankis Sξ (ω ) atstovauja

atsitiktinio proceso sklaidos pasiskirstymo tankis jo harmonikų dažniuose, tada kai kuriose atsitiktinių teorijos taikymo srityse

naliniai procesai Kξ ( 0) = Dξ (t) interpretuojama kaip stacionaraus atsitiktinio proceso energija, ir Sξ (ω ) - koks yra to tankis

energijos dažnio vienetui. Toks aiškinimas atsirado pritaikius stacionarių atsitiktinių procesų teoriją elektrotechnikoje.

5 pavyzdys. Raskite spektrinį tankį Sξ (ω ) elementarus atsitiktinis procesas ξ k(t) = xk cos ω kt+ yk nuodėmė ω kt.

= Dk∞ ∫ [ cos(ω− ω k) τ + cos(ω+ ω k) τ ] dτ =

π 0

= Dk∞ ∫ [ ei(ω−ω

Sξ k (ω ) =

−i(ω−ω k) τ d(− τ ) + ∫ ei(ω−ω k) τ dτ +

k(− 1 ) ∫ e

2π

+ (−1 ) ∫ e

−i(ω+ω k) τ d(− τ ) + ∫ ei(ω+ω k) τ dτ

k∫

ei(ω−ω k)(−τ ) d(− τ ) + ∫ ei(ω−ω k) τ dτ + (− 1 ) ∫ ei(ω+ω k)(−τ ) d(− τ ) +

2 π −∞

+ ∫ ei(ω+ω k) τ dτ

k∫ ei(ω−ω k) τ dτ +

∫ei

(ω+ω k) τ dτ

2 π −∞

= Dk[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] ,

Kur δ (ω ) = 1 ∞ ∫ eiωτ dτ – vientisas vaizdavimas iš anksto

2 π −∞

Furjė išsilavinimas δ -Dirac funkcijos. Išraiška už Sξ k(ω )

galėjo būti paliktas taip, bet dėl ​​teigiamo ω (nes ω k> 0), atsižvelgiant į savybes δ -funkcijomis (žr. 6 lentelę

mus. 141), δ (ω+ ω k) ≡ 0 . Taigi, Sξ (ω ) = Dkδ (ω− ω k) .

TadaSξ k(ω ) =1 2 Sξ k(ω ) =D2 k[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] .

Dabar suraskime duotą spektrinį tankį kompleksine forma. Funkcijos Sξ (ω ) Ir Sξ k(ω ) – galioja ne

neigiamos funkcijos. Sξ k(ω ) – lyginė funkcija, apibrėžta intervale (− ∞ ,∞ ) ,Sξ (ω ) – apibrėžta intervale ( 0,∞ ) , Ir

šiuo intervalu Sξ k(ω ) = 1 2 Sξ k(ω ) (žr. 2.3 pav.). Pagal formulę (2.19)

Yra žinoma, kad savavališkas nemonochromatinės bangos trikdymas gali būti pavaizduotas kaip standartinių bangų superpozicija arba, kaip sakoma, išskaidomas į spektrą, atliekant spektrinį skaidymą.

Bangų pluoštų ir impulsų skaidymas į plokštumines harmonines bangas turi ypatinga prasmė optikai, nes toks skaidymas pasirodo ne tik patogus matematinis veiksmas, bet tai iš tikrųjų atliekama tikru optiniu eksperimentu. Vienas iš klasikinių eksperimentų yra Niutono eksperimentas suskaidyti šviesą į spektrą naudojant stiklo prizmė- lengva išversti į matematinė kalba spektriniai skilimai. Tai reiškia, kad lauką galima pavaizduoti kaip plokštuminių monochromatinių bangų superpoziciją.

Pagrindinė spektrinio aprašymo idėja yra pavaizduoti tam tikrą laiko funkciją F(T), apibūdinantis šviesos trikdymą Furjė integralo pavidalu:

Tai yra, išskaidyti į spektrą į harmoninius virpesius arba, kaip sakoma, į dažnių spektras

Kvadratūrinių spektrinių komponentų amplitudės A(w) ir B(w) arba spektrines amplitudes F(w) ir fazė j (w), kurios lemia funkcijos dažnių spektrą F(T), apskaičiuojami naudojant atvirkštinę Furjė transformaciją

(3)

Kiekvienas harmoninis trikdžių komponentas F(T) sužadina monochromatinę šviesos bangą:

Ši funkcija tenkina bangos lygtis. Bendras laukas, kuris yra bangų superpozicija (4), taip pat tenkina bangų lygtį:

(5)

Iš formulių (3), kurios nustato amplitudės koeficientus A(w) ir B(w), aišku, kad A(w) yra lyginė dažnio funkcija ir B(w) – nelyginis: ir

Todėl (1) formulė gali būti perrašyta w-simetrizuota forma:

(6)

(7)

Pateikiame kompleksinę spektrinę amplitudę

Naudojant Eilerio formulę

Išreikškime produktą Fk(w) Ei W T. Mes gauname

Tikroji to dalis sudėtinga išraiška yra lyginė dažnio w funkcija ir minimali dalis- keista. Todėl integruojant paskutinės išraiškos pagal dažnį dešinę ir kairę puses į begalinės ribos, gauname

Palyginę paskutinę išraišką su (6) formule, gauname

(10)

Nesunku rasti sudėtingą spektrinę amplitudę, atsižvelgiant į (3), (8) ir (9) formules:

(11)

Sudėtingas Furjė transformacijos vaizdas yra toks:

Ir (12)

Kur, siekiant supaprastinti žymėjimą, kompleksinės spektrinės amplitudės indeksas „k“ yra praleistas.

Apskritai, spektrinė amplitudė F(w), apibrėžtas pagal (12) formulę, yra sudėtinga funkcija dažniai:

Kur F(w) reiškia tikrąją harmonikos amplitudę su dažniu w funkcijos spektre F(T). Argumentas j (w) apibūdina tikrąją šio virpesio fazę, nes skirtingos harmonikos, kurios kartu sudaro signalą F(T) gali turėti skirtingas fazes. Tačiau tokią išsamią spektrinę informaciją apie optinį procesą sunku gauti eksperimentiškai. Eksperimentiniu būdu dažniausiai matuojamas vadinamasis spektrinis tankis S(w), kuris apibūdina šviesos energijos pasiskirstymą spektre. Pagal apibrėžimą spektrinis tankis yra dydis lygus kvadratui Kompleksinis spektrinės amplitudės modulis:

(13)

Šioje išraiškoje visa informacija apie harmoninių virpesių fazes, kurias sudaro F(T), prarado.

Spektrinių skilimų teorijoje naudojama vadinamoji „Parsevalio lygybė“, kurios forma yra:

Šiai lygybei įrodyti pakanka naudoti Furjė integralus (12). Pakeitus integravimo tvarką per w ir T, gauname

Kur (*) reiškia sudėtingą konjugaciją.

Kalbant apie optiką, šis santykis yra paprastas fizinę reikšmę. Jei pagal F(T) suprasti įtampą elektrinis laukasšviesos banga tam tikrame fiksuotame erdvės taške, tada kiekis pasirodo esąs proporcinga energijašviesos impulsas, praeinantis per ploto vienetą, esantį šalia nurodyto taško.

Tikrai:

Kur aš- intensyvumas, P- galia, W- impulsinė energija.

Kita vertus, pagal Parsevalio lygybę tas pats kiekis (energija) yra lygus integralui visuose spektrinio lauko tankio dažniuose. S(w). Tai reiškia, kad spektrinis tankis apibūdina šviesos impulsų energijos dažnio pasiskirstymą. Tokia yra šios radiacijos charakteristikos fizinė prasmė.

Spektriniai skilimai natūraliai apibendrinami į bangų pluoštus – erdviškai moduliuotas bangas. Šaltinio baigtinis mastas arba, kaip sakoma, baigtinė apertūra lemia tai, kad šviesos virpesių amplitudė keičiasi plokštumoje, statmenai krypčiaišviesos sklidimas – atsiranda erdviškai moduliuota banga. Esant tokiai šviesos bangai, amplitudės ir fazės reikšmės priklauso nuo koordinačių, t.y., susidaro situacija, kuri iš esmės skiriasi nuo plokštumos bangos.

Tokia erdviškai moduliuota banga gali būti pavaizduota kaip plokštuminių bangų, sklindančių įvairiomis kryptimis, superpozicija. Įvairius spektrinius komponentus tokiame skaidyme galima apibūdinti kampais tarp bangos sklidimo krypties ir koordinačių ašys. Štai kodėl jie kalba apie Kampas erdviniu būdu moduliuojamos bangos spektras (arba erdvinių dažnių spektras). Skilimas į kampinį spektrą fiziškai vyksta labai paprasti eksperimentai. Pavyzdžiui, objektyvas atlieka tą pačią Furjė išplėtimo operaciją kampinio spektro atžvilgiu, kaip ir prizmė dažnių spektro atžvilgiu.

Furjė transformacijos yra ypač svarbios analizuojant modernios sistemos optinis informacijos apdorojimas. Optiniai metodai vaidina vis svarbesnį vaidmenį sprendžiant didelio našumo sistemų, skirtų dideliam informacijos kiekiui apdoroti, kūrimo problemą.

Kaip jau minėta, bangų (ypač optiniams) reiškiniams būdinga priklausomybė nuo laiko ir erdvinė priklausomybė, tai yra, priklausomybė nuo koordinačių. Didelį susidomėjimą Furjė optika kelia erdvinė struktūra aprašyta banga (tuo atveju harmonines bangas fiksuoto dažnio w) kompleksinės bangos amplitudė F(X,y,z), kuris yra Helmholtzo lygties sprendimas:

Kur K= w/c – bangos skaičius.

Sudėtingos bangos amplitudė F(X,y) gali būti pavaizduotas Furjė integralu [dvimatis formulės (10) analogas]:

(15)

Fizinė skaidymo prasmė yra tokia. Galite patikrinti, ar veikia

Ar Helmholtzo lygties sprendimas tenkina plokštumoje Z= 0 ribinė sąlyga

Šis teiginys galioja bet kurioms parametrų u ir reikšmėms V. Funkcija (16) yra kompleksinė plokštumos bangos amplitudė ir parametrai U, V- bangos vektoriaus projekcijos iš šios bangos į X, Y ašis, jei . Jeigu , tada išraiška (16) taip pat yra (14) lygties sprendimas ir vadinama nehomogenine banga. Šiuo atveju bangos amplitudė mažėja didėjant Z eksponentinis, nes yra įsivaizduojamas skaičius.

Taigi išraiška (15) yra savavališkos bangos, apibrėžtos tam tikroje plokštumoje, vaizdavimas Z= bendradarbis N S T, plokštuminių bangų, tiek keliaujančių, tiek nehomogeniškų, superpozicijos pavidalu.

Lėktuvo banga Et(Ux + Vy) erdvinio filtravimo uždaviniuose yra harmoninio virpesio analogas Ei W T. Todėl pora skaičių U, V paskambino Erdviniai dažniai. Be to, galime tai parašyti

(17)

Išraiškos (15) ir (17) yra žinomos kaip pora dvimatės transformacijos Furjė. Lygybė (17) dažnai vadinama tiesiogine Furjė transformacija, o (15) – taip atvirkštinė transformacija Furjė.

Reikėtų pažymėti, kad F(U, V) paprastai yra sudėtinga funkcija

|F(U, V)| ir j ( U, V) paprastai vadinama amplitude ir fazių spektras atitinkamai ir F(U, V) Furjė spektras arba erdvinis dažnių spektras.

Objektyvas yra pagrindinis bet kurio optinio įrenginio elementas. Idealus objektyvas be aberacijų atlieka formos fazės moduliavimą

Kur F - židinio nuotolis lęšius. Erdvinis skilimas yra glaudžiai susijęs su lęšio savybe sufokusuoti lygiagretų šviesos spindulį: plokštuma, krentanti į objektyvą exp [ aš(Ux + Vy)] su erdviniu dažniu ( U, V) yra sufokusuotas objektyvu į tašką židinio plokštumoje su koordinatėmis X = Fu/K Ir Y = Fv/K. Savavališka banga su sudėtinga amplitudė, patenkanti į objektyvą F(U, V) pagal (15) gali būti pavaizduotas skirtingų krypčių plokštuminių bangų superpozicija, ty skirtingos erdvinės U, V. Šioje superpozicijoje kiekvieną plokštuminę bangą objektyvas sufokusuoja į tam tikrą židinio plokštumos tašką, sukuriant jame šviesos lauką, kurio amplitudė proporcinga atitinkamos bangos amplitudei, o fazė nustatoma pagal bangos fazę. atitinkama banga, t.y. sukurianti joje svyravimą, proporcingas dydžiui F(Kx/f, Ky/F), kur F(U, V) – funkcijos Furjė transformacija F(U, V).

Taigi šviesos laukas, atsirandantis lęšio židinio plokštumoje, parodo ant lęšio patenkančios bangos erdvinį spektrinį skaidymą.

Apsvarstykite ryšį tarp charakterio koreliacijos funkcija ir atitinkamo atsitiktinio proceso struktūra.

Vartosime „spektro“ sąvoką, kuri plačiai naudojama ne tik atsitiktinių funkcijų teorijoje, bet ir fizikoje bei technikoje. Jei koks nors virpesių procesas vaizduojamas kaip įvairių dažnių harmoninių virpesių suma (vadinamoji „harmonika“), tada spektras svyruojantis procesas vadinama funkcija, kuri apibūdina amplitudės pasiskirstymą įvairiais dažniais. Spektras parodo, kokie svyravimai vyrauja tam tikrame procese, kokie jo vidinė struktūra. Panašiai supažindinsime su stacionaraus atsitiktinio proceso spektriniu aprašymu.

Pirmiausia apsvarstykite stacionarią atsitiktinę funkciją, stebimą baigtiniame intervale (0, T). Tegu pateikta koreliacijos funkcija atsitiktinė funkcija X(t)

K x(t, t + τ ) = k x(τ ).

Mes tai žinome k x(τ ) yra lyginė funkcija, todėl jos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu 0 m kreivė.

Keičiant t 1 ir t 2 nuo 0 iki T argumentas τ skiriasi nuo - Tį T.

Yra žinoma, kad lyginė funkcija intervale (– T, T) galima išplėsti į Furjė eilutę, naudojant tik lygiąsias (kosinuso) harmonikas:

k x(τ ) = ,

ωk= kω 1 , ω 1 = ,

ir koeficientus Dk nustatomos formulėmis

D 0 = ,

Dk = adresu k ≠ 0.

Atsižvelgiant į tai, kad funkcijos k x(τ ) ir kos ωk(τ ) yra lyginės, koeficientų išraiškas galite transformuoti taip:

Dk = adresu k ≠ 0.

Galima parodyti, kad tokiame žymėjime atsitiktinė funkcija gali būti pavaizduota kaip kanoninė plėtra:

= , (2)

Kur JK, V k– nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai su matematiniai lūkesčiai, lygus nuliui, ir dispersijos, kurios yra vienodos kiekvienai atsitiktinių dydžių porai su tuo pačiu indeksu k: D(JK) = D(V k) =Dk, ir dispersijos Dk nustatomi pagal (1) formules.

Išplėtimas (2) vadinamas spektrinis skilimas stacionari atsitiktinė funkcija.

Spektrinis skilimas vaizduoja stacionarią atsitiktinę funkciją, išskaidytą į įvairaus dažnio harmoninius virpesius ω 1 , ω 2 , …, ω k , … ir šių svyravimų amplitudės yra atsitiktiniai dydžiai.

Atsitiktinės funkcijos, pateiktos spektriniu skaidymu (2), dispersija nustatoma pagal formulę

D x = = = , (3)

tie. stacionarios atsitiktinės funkcijos dispersija yra lygi visų jos spektrinio skaidymo harmonikų dispersijų sumai.

(3) formulė rodo, kad funkcijos dispersija pasiskirsto žinomu būdu skirtingais dažniais: vienas dažnis atitinka b O didesnės dispersijos, kitos – m e mažesnių. Dažnio dispersijos pasiskirstymą galima iliustruoti grafiškai taip vadinama forma dispersijos spektras . Norėdami tai padaryti, dažniai brėžiami išilgai abscisių ašies. ω 0 = 0, ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, o išilgai ordinačių ašies – atitinkamos dispersijos.

Akivaizdu, kad tokiu būdu sudaryto visų spektro ordinačių suma yra lygi atsitiktinės funkcijos dispersijai.

Akivaizdu, kad kuo ilgesnį laikotarpį atsižvelgsime kurdami spektrinį skaidymą, tuo išsamesnė bus informacija apie atsitiktinę funkciją. Todėl natūralu bandyti spektriniame skaidyme pasiekti ribą ties T→ ∞, ir pamatysite, į ką pavirsta atsitiktinės funkcijos spektras. At T → ∞ ω 1 = , taigi atstumai tarp dažnių ωk, mažės neribotą laiką. Šiuo atveju diskretinis spektras priartės prie ištisinio spektro, kuriame kiekvienas savavališkai mažas dažnių intervalas atitiks elementariąją dispersiją.

Ištisinį spektrą pavaizduokime grafiškai. Norėdami tai padaryti, mes braižysime ordinačių ašyje, o ne pačią dispersiją Dk, A vidutinis dispersijos tankis, t.y. dispersija tam tikro dažnio intervalo ilgio vienetui. Pažymime atstumą tarp gretimų dažnių ∆ω , ir kiekviename segmente ∆ω , kaip ir ant pagrindo, sukonstruosime stačiakampį su plotu Dk. Gauname žingsninę diagramą, kuri iš esmės primena statistinio skirstinio histogramą.

Ši kreivė vaizduoja dispersijų pasiskirstymo tankį nuolatinio spektro dažniuose ir pačią funkciją Sx(ω ) vadinamas spektrinės dispersijos tankiu arba spektrinis tankis stacionari atsitiktinė funkcija.

Akivaizdu, kad sritis, kurią riboja kreivė Sx(ω ), vis tiek turi būti lygus dispersijai D x atsitiktinė funkcija:

D x = . (4).

Formulė (4) yra dispersijos išplėtimas D x elementariųjų terminų sumai Sx(ω )dω, kurių kiekvienas reiškia dispersiją elementariame dažnių diapazone dω, greta taško ω .

Taip įvesta nauja papildoma stacionaraus atsitiktinio proceso charakteristika – spektrinis tankis, nusakantis dažnių sudėtį. stacionarus procesas. Tačiau ji nėra nepriklausoma – ją visiškai lemia koreliacijos funkcija šis procesas. Atitinkama formulė, gaunamas iš koreliacijos funkcijos išplėtimo k x(τ ) į Furjė seriją baigtiniu intervalu, atrodo taip:

Sx(ω ) = . (5)

Šiuo atveju pati koreliacijos funkcija taip pat gali būti išreikšta spektriniu tankiu:

k x(τ ) = . (6)

Tokios formulės kaip (5) ir (6), jungiančios dvi funkcijas tarpusavyje, vadinamos Furjė transformacijos.

Atkreipkite dėmesį, kad nuo bendroji formulė(6) val τ = 0, gaunamas anksčiau gautas dispersinis skaidymas (4).

Praktiškai vietoj spektrinio tankio Sx(ω ) dažnai naudojamas normalizuotas spektrinis tankis:

s x(ω ) = ,

Kur D x yra atsitiktinės funkcijos dispersija.

Nesunku patikrinti, ar normalizuota koreliacijos funkcija ρ X ( τ ) ir normalizuotas spektrinis tankis s x(ω ) yra susiję Furjė transformacijomis:

ρ X ( τ ) = ,

s x(ω ) = .

Darant prielaidą, kad pirmoje iš šių lygybių τ = 0 ir atsižvelgiant į tai ρ x (0) = 1, turime

tie. bendras plotas, apribotas pagal tvarkaraštį normalizuotas spektrinis tankis lygus 1.

§ 7. Stacionarių atsitiktinių funkcijų ergodinė savybė.

Apsvarstykite stacionarią atsitiktinę funkciją X(t) ir tarkime, kad reikia įvertinti jo charakteristikas: matematinį lūkestį m x ir koreliacijos funkcija k x(τ ). Šias charakteristikas, tiksliau, jų vertinimus ir, kaip jau minėta, galima gauti iš patirties, turint žinomas numeris atsitiktinių funkcijų įgyvendinimas X(t). Dėl riboto stebėjimų skaičiaus funkcija nebus griežtai pastovi, ją reikės suvidurkinti ir pakeisti kokia nors konstanta; panašiai, apskaičiuojant skirtingų verčių vidurkį τ = t 2 – t 1, gauname koreliacijos funkciją.

Akivaizdu, kad šis apdorojimo metodas yra gana sudėtingas ir sudėtingas, be to, jį sudaro du etapai: apytikslis atsitiktinės funkcijos charakteristikų nustatymas ir apytikslis šių charakteristikų vidurkis. Natūraliai kyla klausimas: ar galima stacionariai atsitiktinei funkcijai pakeisti šį procesą paprastesniu, kuris iš anksto pagrįstas prielaida, kad matematinis lūkestis nepriklauso nuo laiko, o koreliacijos funkcija nepriklauso nuo kilmės .

Be to, kyla klausimas: ar apdorojant stacionarios atsitiktinės funkcijos stebėjimus būtina turėti keletą realizacijų? Kadangi atsitiktinis procesas yra stacionarus ir tolygiai vyksta laike, tai natūralu manyti vienas ir vienintelis įgyvendinimas pakankamos trukmės gali būti pakankama medžiaga atsitiktinės funkcijos charakteristikoms gauti.

Paaiškėjo, kad tokia galimybė egzistuoja, bet ne visiems atsitiktiniams procesams. Pavyzdžiui, apsvarstykite dvi stacionarias atsitiktines funkcijas, pavaizduotas jų įgyvendinimų rinkiniu.

		1 pav		2 pav

Dėl atsitiktinės funkcijos X 1 (t) (1 pav.) pasižymi tokia savybe: kiekvienas jo įgyvendinimas turi tą patį būdingi bruožai: vidutinė vertė, aplink kurią vyksta svyravimai, ir vidutinis šių svyravimų diapazonas. Savavališkai pasirinkime vieną iš šių suvokimų ir mintyse tęskime patirtį, dėl kurios ji buvo įgyta tam tikrą laiką T. Akivaizdu, kad pakankamai dideliam Tšis vienas įgyvendinimas gali mums duoti pakankamai geras pasirodymas apie atsitiktinės funkcijos kaip visumos savybes. Visų pirma, apskaičiuojant šio įgyvendinimo vertes išilgai x ašies - laikui bėgant turime gauti apytikslę atsitiktinės funkcijos matematinio lūkesčio vertę; suvidurkindami kvadratinius nuokrypius nuo šio vidurkio, turėtume gauti apytikslę dispersijos reikšmę ir pan.

Teigiama, kad tokia funkcija turi ergodinė nuosavybė . Ergodinė savybė yra ta, kad kiekvienas atskiras atsitiktinės funkcijos įgyvendinimas yra tarsi „įgaliotas atstovas“ visam galimų įgyvendinimų rinkiniui.

Jei atsižvelgsime į funkciją X 2 (t) (2 pav.), tada akivaizdu, kad kiekvieno įgyvendinimo vidutinė reikšmė skiriasi ir žymiai skiriasi nuo kitų. Todėl, jei sukursite vieną vidutinę visų diegimų vertę, ji labai skirsis nuo kiekvienos atskiros vertės.

Jei atsitiktinė funkcija X(t) turi ergodinę savybę, tada už tai laiko vidurkis(pakankamai didelėje stebėjimo srityje) maždaug lygus stebėjimų rinkinio vidurkiui. Tas pats bus ir su X 2 (t), X(t)X(t+τ) ir kt. Visų pirma, pakankamai dideliam T matematinis lūkestis m x galima apskaičiuoti naudojant formulę

. (1)

Šioje formulėje, kad būtų paprasčiau, charakterizuojant atsitiktinę funkciją ženklas ~ yra praleistas, o tai reiškia, kad kalbame ne su pačiomis charakteristikomis, o su jų įverčiais.

Panašiai galime rasti ir koreliacijos funkciją k x(τ ) bet kuriam τ . Nes

k x(τ ) = ,

tada apskaičiuojant šią duotosios vertės τ , gauname

k x(τ ) ≈ , (2)

Kur - sutelktas įgyvendinimas. Apskaičiavę integralą (2) keletui reikšmių τ , galima taškas po taško apytiksliai atkurti koreliacijos funkcijos eigą.

Praktikoje minėti integralai dažniausiai pakeičiami baigtinės sumos. Tai daroma taip. Atsitiktinės funkcijos įrašymo intervalą padalinkime į n lygios ilgio dalys ∆ t, ir pažymėkite gautų atkarpų vidurio taškus t 1 , t 2 , …, tn.

Integralą (1) pavaizduokime kaip elementariųjų atkarpų ∆ integralų sumą t ir kiekvienam iš jų išvesime funkciją x(t) iš po integralo ženklo vidutine verte, atitinkančia intervalo centrą - x(t i). Gauname apytiksliai

m x = = /

Panašiai galite apskaičiuoti verčių koreliacijos funkciją τ , lygus 0, ∆ t, 2∆t, ... Pateikime, pavyzdžiui, vertę τ prasmė

τ = 2∆t = .

Integralą (2) apskaičiuokime padalydami integravimo intervalą

T - τ = =

įjungta n – m vienodos ilgio ∆ atkarpos t ir išimama funkcija iš integralo ženklo kiekviename iš jų vidutine verte. Mes gauname

.

Koreliacijos funkcija apskaičiuojama naudojant pateiktą formulę m= 0, 1, 2,…. Nuosekliai iki tokių vertybių m, kai koreliacijos funkcija tampa beveik lygi nuliui arba pradeda daryti nedidelius netaisyklingus svyravimus apie nulį. Bendras judėjimas funkcijas k x(τ ) atkuriamas atskiruose taškuose.

Kad charakteristikos būtų nustatytos pakankamai tiksliai, būtina, kad taškų skaičius n buvo gana didelis (apie 100, o kai kuriais atvejais ir daugiau). Elementariosios atkarpos ∆ ilgio pasirinkimas t lemia atsitiktinės funkcijos pokyčio pobūdis: jei jis kinta gana sklandžiai, atkarpa ∆ t galite pasirinkti daugiau nei tada, kai jis daro aštrius ir dažnus svyravimus. Preliminariai galima rekomenduoti pasirinkti elementarią sekciją, kad visas laikotarpis didžiausio dažnio harmonika atsitiktinėje funkcijoje sudarė apie 5-10 atskaitos taškų.

Sprendimas tipinės užduotys

1. a) Atsitiktinė funkcija X(t) = (t 3 + 1)U, Kur U– atsitiktinis dydis, kurio reikšmės priklauso intervalui (0; 10). Raskite funkcijų įgyvendinimą X(t) dviejuose bandymuose, kuriuose vertė U paėmė vertybes u 1 = 2, u 2 = 3.

Sprendimas. Nuo atsitiktinės funkcijos įgyvendinimo X(t) vadinama neatsitiktinių argumentų funkcija t, tada šioms kiekio reikšmėms U atitinkami atsitiktinės funkcijos įgyvendinimai bus

x 1 (t) = 2(t 3 + 1), x 2 (t) = 3(t 3 + 1).

b) Atsitiktinė funkcija X(t) = U nuodėmė t, Kur U– atsitiktinis dydis.

Raskite skyrius X(t), atitinkančias fiksuotas argumentų reikšmes t 1 = , t 2 = .

Sprendimas. Kadangi atsitiktinės funkcijos skerspjūvis X(t) yra atsitiktinis dydis, atitinkantis fiksuotą argumento reikšmę, tada nurodytoms argumento reikšmėms atitinkami skerspjūviai bus

X 1 = U· = , X 2 = U· = U.

2. Raskite atsitiktinės funkcijos matematinį lūkestį X(t) = U· ℮t, Kur U M(U) = 5.

Sprendimas. Leiskite jums tai priminti matematinis lūkestis atsitiktinė funkcija X(t) vadinama neatsitiktine funkcija m x(t) = M[X(t)], kuri kiekvienai argumento reikšmei t yra lygus atitinkamos atsitiktinės funkcijos atkarpos matematiniam lūkesčiui. Vadinasi

m x(t) = M[X(t)] = M[U· ℮t].

m x(t) =M[U· ℮t] = ℮ t M(U) = 5℮t.

3. Raskite atsitiktinės funkcijos matematinę lūkesčius a) X(t) = Ut 2 +2t+1; b) X(t) = U nuodėmė4 t + V · cos4 t, Kur U Ir V yra atsitiktiniai dydžiai ir M(U) = M(V) = 1.

Sprendimas. Pasinaudojus savybėmis m.o. mes turime atsitiktinę funkciją

A) m x(t) = M(Ut 2 +2t+1) = M(Ut 2) +M(2t) + M(1) = M(U)t 2 +2t+1 = t 2 +2t+1.

b) m x(t) = M(U nuodėmė4 t + V · cos4 t) = M(U nuodėmė4 t) + M(V · cos4 t) = M(U)· nuodėmė4 t + M(V)· cos4 t= nuodėmė4 t+ cos4 t.

4. Koreliacijos funkcija yra žinoma K x atsitiktinė funkcija X(t). Raskite atsitiktinės funkcijos koreliacijos funkciją Y(t) = X(t) + t 2, naudojant m.o. ir koreliacijos funkcija.

Sprendimas. Susiraskime m.o. atsitiktinė funkcija Y(t):

m y(t) = M[Y(t)] = M[X(t) + t 2 ] = M[X(t)] + t 2 = m x(t) + t 2 .

Raskime centrinę funkciją

= Y(t) - m y(t) = [X(t) + t 2 ] – [m x(t) + t 2 ] = X(t) –m x(t) = .

K y = = = K x.

5. Koreliacijos funkcija yra žinoma K x atsitiktinė funkcija X(t). Raskite atsitiktinės funkcijos koreliacijos funkciją a) Y(t)=X(t)·( t+1); b) Z(t)=C· X(t), kur SU– pastovus.

Sprendimas. a) Raskime m.o. atsitiktinė funkcija Y(t):

m y(t) = M[Y(t)] = M[X(t) · ( t+1)] = (t+1) · M[X(t)].

Raskime centrinę funkciją

=Y(t)-m y(t)=X(t)·( t+1) - (t+1)· M[X(t)] = (t+1)·( X(t) - M[X(t)]) = (t+1)· .

Dabar suraskime koreliacijos funkciją

K y = = = (t 1 +1)(t 2 +1)K x.

b) Panašiai kaip a) atveju galima įrodyti, kad

K y = SU 2 K x.

6. Sklaida žinoma D x(t) atsitiktinė funkcija X(t Y(t) =X(t)+2.

Sprendimas. Neatsitiktinio termino įtraukimas į atsitiktinę funkciją nekeičia koreliacijos funkcijos:

K y(t 1 , t 2) = K x(t 1 , t 2).

Mes tai žinome K x(t, t) = D x(t), Štai kodėl

D(t) = K y(t, t) = K x(t, t) = D x(t).

7. Sklaida žinoma D x(t) atsitiktinė funkcija X(t). Raskite atsitiktinės funkcijos dispersiją Y(t) = (t+3) · X(t).

Sprendimas. Susiraskime m.o. atsitiktinė funkcija Y(t):

m y(t) = M[Y(t)] = M[X(t) · ( t+3)] = (t+3) · M[X(t)].

Raskime centrinę funkciją

=Y(t)-m y(t)=X(t)·( t+3) - (t+3)· M[X(t)] = (t+3)·( X(t) - M[X(t)]) = (t+3)· .

Raskime koreliacijos funkciją

K y = = = (t 1 +3)(t 2 +3)K x.

Dabar suraskime dispersiją

D(t) = K y(t, t) = (t+3)(t+3)K x(t, t) = (t+3) 2 D x(t).

8. Duota atsitiktinė funkcija X(t) = U cos2 t, Kur U yra atsitiktinis dydis, ir M(U) = 5, D(U) = 6. Raskite atsitiktinės funkcijos matematinį lūkestį, koreliacijos funkciją ir dispersiją X(t).

Sprendimas. Raskime reikiamą matematinį lūkestį, atimdami neatsitiktinį koeficientą cos2 t už ženklą m.o.:

M[X(t)] = M[U cos2 t] = cos2 t · M(U) = 5cos2 t.

Raskime centrinę funkciją:

= X(t) - m x(t) = U cos2 t- 5cos2 t = (U – 5) cos2 t.

Raskime norimą koreliacijos funkciją:

K x(t 1 , t 2) = = M{[(U- 5)· cos2 t 1 ] [(U- 5)· cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 M(U- 5) 2 .

Be to, atsižvelgiant į tai, kad atsitiktiniam dydžiui U dispersija pagal apibrėžimą yra lygi D(U) = M[(U - M((U)] 2 = M((U- 5) 2, mes tai gauname M((U- 5) 2 = 6. Taigi koreliacijos funkcijai pagaliau turime

K x(t 1 , t 2) = 6cos2 t 1 cos2 t 2 .

Dabar suraskime reikiamą dispersiją, kurią mes nustatėme t 1 = t 2 = t:

D x(t) = K x(t, t) = 6cos 2 2 t.

9. Pateikta koreliacijos funkcija K x(t 1 , t 2) = t 1 t 2. Raskite normalizuotos koreliacijos funkciją.

Sprendimas. Pagal apibrėžimą normalizuotos koreliacijos funkcija

ρ x(t 1 , t 2) = = = .

Gautos išraiškos ženklas priklauso nuo to, ar argumentai turi t 1 ir t 2 identiški ženklai arba kitoks. Vardiklis visada teigiamas, todėl pagaliau turime

ρ x(t 1 , t 2) =

10. Pateikiamas matematinis lūkestis m x(t) = t 2 + 4 atsitiktinės funkcijos X(t). Raskite atsitiktinės funkcijos matematinį lūkestį Y(t) = tX´( t) + t 2 .

Sprendimas. Atsitiktinės funkcijos išvestinės matematinis lūkestis yra lygus jos matematinio lūkesčio išvestinei. Štai kodėl

m y(t) = M(Y(t)) = M(tX´( t) + t 2) = M(tX´( t)) + M(t 2) =

= t∙M(X´( t)) + t 2 = t∙(m x(t))´ + t 2 = t∙(t 2 + 4)" + t 2 = 3t 2 .

11. Pateikta koreliacijos funkcija K x= atsitiktinė funkcija X(t). Raskite koreliacijos funkciją iš jos išvestinės.

Sprendimas. Norint rasti išvestinės koreliacijos funkciją, reikia du kartus diferencijuoti pradinės atsitiktinės funkcijos koreliacijos funkciją, pirmiausia vieno argumento, paskui kito atžvilgiu.

= .

+ =

= .

12. Duota atsitiktinė funkcija X(t) = U℮3 t cos2 t, Kur U yra atsitiktinis dydis, ir M(U) = 4, D(U) = 1. Raskite matematinį lūkestį ir jos išvestinės koreliacijos funkciją.

Sprendimas. m x(t) = M(X(t)) = M(U℮3 t cos2 t) = M(U)℮3 t cos2 t = 4℮3 t cos2 t.

M(X(t)) = (m x(t))´ = 4(3℮ 3 t cos2 t – 2℮3 t nuodėmė2 t) = 4℮3 t(3cos2 t– 2sin2 t).

Raskime pradinės atsitiktinės funkcijos koreliacijos funkciją. Centruota atsitiktinė funkcija yra

= X(t) - m x(t) = U℮3 t cos2 t- 4℮3 t cos2 t = (U – 4)℮3 t cos2 t.

K x(t 1 , t 2) = = M{[(U- 4) cos2 t 1 ] [(U- 4) cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 M((U- 4) 2) = cos2 t 1 cos2 t 2 D(U)=cos2 t 1 cos2 t 2 .

Raskime koreliacijos funkcijos dalinę išvestinę pirmojo argumento atžvilgiu

Cos2 t 2 =

Cos2 t 2 (3cos2 t 1 – 2sin2 t 1).

Raskime antrąją mišrią koreliacinės funkcijos išvestinę

= (3cos2 t 1 – 2sin2 t 1) =

= (3cos2 t 1 – 2sin2 t 1) (3cos2 t 2 – 2sin2 t 2).

13. Duota atsitiktinė funkcija X(t), turėdamas matematinius lūkesčius

m x(t) = 3t 2 + 1. Raskite atsitiktinės funkcijos matematinį lūkestį Y(t)= .

Sprendimas. Reikalingas matematinis lūkestis

m y(t) = = = t 2 + t.

14. Raskite integralo matematinį lūkestį Y(t)= , žinant atsitiktinės funkcijos matematinį lūkestį X(t):

A) m x(t) = t– cos2 t; b) m x(t) = 4cos 2 t.

Sprendimas. A) m y(t) = = = .

b) m y(t) = = = = + =

2t+ nuodėmė2 t.

15. Duota atsitiktinė funkcija X(t) = U℮2t cos3 t, Kur U yra atsitiktinis dydis, ir M(U) = 5. Raskite integralo matematinį lūkestį Y(t)= .

Sprendimas. Pirmiausia suraskime pačios atsitiktinės funkcijos matematinį lūkestį.

m x(t) = M(U℮2t cos3 t) = M(U)℮2t cos3 t = 5℮2t cos3 t.

m y(t) = = 5 = =

= ℮2t nuodėmė3 t - = =

= ℮2t nuodėmė3 t – =

= ℮2t nuodėmė3 t + ℮2t cos3 t – .

Todėl gavome apskritą integralą

5 + = ℮2t nuodėmė3 t + ℮2t cos3 t.

arba = ℮2t( nuodėmė3 t+ cos3 t).

Pagaliau m y(t) = ℮2t( nuodėmė3 t+ cos3 t).

16. Raskite integralo matematinį lūkestį Y(t) = , žinant atsitiktinę funkciją X(t) =U℮3 t nuodėmė t, Kur U yra atsitiktinis dydis, ir M(U)=2.

Sprendimas. Raskime matematinį laukia labiausiai atsitiktinės funkcijos.

m x(t) = M(U℮3t nuodėmė t) = M(U)℮3t nuodėmė t = 2℮3t nuodėmė t.

m y(t) = = 2 = =

= – 2℮3t cos t + = =

= – 2℮3t cos t + ℮3t nuodėmė t – .

Turime = – ℮3t cos t + ℮3t nuodėmė t.

Pagaliau m y(t) = – ℮2t cos t + ℮2t nuodėmė t.

17. Duota atsitiktinė funkcija X(t), turintis koreliacijos funkciją

K x(t 1 , t 2) = t 1 t 2. Raskite integralo koreliacijos funkciją Y(t)= .

Sprendimas. Pirmiausia randame integralo koreliacijos funkciją, kuri yra lygi dvigubas integralas iš nurodytos koreliacijos funkcijos. Vadinasi,

K y(t 1 , t 2) = = = = .

Tada dispersija Dy(t) = K y(t, t) = .

18. Pateikta koreliacijos funkcija K x(t 1 , t 2) = atsitiktinė funkcija X(t). Raskite integralo dispersiją Y(t)= .

Sprendimas. Raskime integralo koreliacijos funkciją

K y(t 1 , t 2) = = =

= = .

Tada dispersija

Dy(t) = K y(t, t) = .

19. Raskite integralo dispersiją Y(t) = , žinant atsitiktinės funkcijos koreliacijos funkciją X(t):

A) K x(t 1 ,t 2) = ; b) K x(t 1 , t 2) = .

Sprendimas. A) K y(t 1 , t 2) = = .

Stacionarios atsitiktinės funkcijos spektrinio plėtimo konstravimas

X(t) per ribotą laikotarpį (O, T), Atsitiktinės funkcijos dispersijų spektrą gavome atskirų diskrečių linijų, atskirtų vienodais intervalais, pavidalu (vadinamasis „nepertraukiamas“ arba „linijinis“ spektras).

Akivaizdu, kad kuo ilgesnį laikotarpį atsižvelgsime, tuo išsamesnė bus informacija apie atsitiktinę funkciją. Todėl natūralu bandyti pasiekti spektrinio skaidymo ribą ties T-> oo ir pažiūrėk, į ką pavirsta spektras

atsitiktinė funkcija. Dėl to atstumai

tarp ods, ant kurių sudarytas spektras, dažnių bus ties T-> oo mažėti neribotą laiką. Šiuo atveju diskretinis spektras priartės prie ištisinio spektro, kuriame kiekvienas savavališkai mažas dažnių intervalas Aco atitiks elementariąją dispersiją ADco.

Pabandykime grafiškai pavaizduoti ištisinį spektrą. Norėdami tai padaryti, turime šiek tiek pertvarkyti diskrečiojo spektro grafiką baigtinėje T. Būtent ant ordinačių ašies braižysime ne pačią dispersiją Dk(kuris be galo mažėja kartu su T-"ooo" ir vidutinis dispersijos tankis, tie. dispersija tam tikro dažnio intervalo ilgio vienetui. Pažymime atstumą tarp gretimų dažnių ACO:

ir ant kiekvieno segmento Aso kaip pagrindo statome stačiakampį su plotu D k ( ryžių. 17.3.1). Gauname žingsnių diagramą, panašią į statistinio skirstinio histogramos sudarymo principą.

Diagramos aukštis atkarpoje Aco, greta taško velėnos, yra lygus

Ryžiai. 17.3.1

ir reiškia vidutinį dispersijos tankį šioje srityje. Bendras visos diagramos plotas akivaizdžiai lygus atsitiktinės funkcijos dispersijai.

Intervalą didinsime neribotą laiką T.Šiuo atveju Du -> O ir laiptuota kreivė neribotą laiką priartės prie lygiosios kreivės S x (с) (17.3.2 pav.). Ši kreivė vaizduoja dispersijų pasiskirstymo tankį ištisinio spektro dažniuose, o pati funkcija D x.(a>) vadinama spektrinės dispersijos tankis arba trumpai tariant, spektrinis tankis stacionari atsitiktinė funkcija X(t).

Ryžiai. 17.3.2

Akivaizdu, kad plotas, kurį sudaro kreivė D g (co), vis tiek turi būti lygus dispersijai D x atsitiktinė funkcija X(t):

Formulė (17.3.2) yra ne kas kita, kaip dispersijos išplėtimas D x elementariųjų terminų L'Dso) s/co suma, kurių kiekvienas reiškia dispersiją elementariame dažnių diapazone dco, greta taško с (17.3.2 pav.).

Taigi, mes pristatėme naują papildomą stacionaraus atsitiktinio proceso charakteristiką - spektrinį tankį, kuris apibūdina stacionaraus proceso dažninę sudėtį. Tačiau ši savybė nėra nepriklausoma; jį visiškai lemia šio proceso koreliacinė funkcija. Lygiai taip pat kaip diskrečiojo spektro ordinatės Dk išreiškiami formulėmis (17.2.4) per koreliacijos funkciją k x ( t), spektrinis tankis Sx(a) taip pat gali būti išreikšta koreliacijos funkcija.

Išveskime šią išraišką. Norėdami tai padaryti, eikime į kanoninė plėtra koreliacijos funkcija iki ribos ties T-> o ir pažiūrėsim kuo tai virs. Pradėsime nuo koreliacijos funkcijos išplėtimo (17.2.1) į Furjė eilutę baigtiniu intervalu (-T, 7):

kur dispersija, atitinkanti dažnį w/(, išreiškiama formule

Prieš pereidami prie ribos kaip Γ -> oo, pereikime formulėje (17.3.3) iš dispersijos Dk iki vidutinio dispersijos tankio

Kadangi šis tankis skaičiuojamas net esant galutinė vertė T ir priklauso nuo T, Pažymėkime tai:

Padalinę išraišką (17.3.4) iš gauname:

Iš (17.3.5) išplaukia, kad

Pakeiskime išraišką (17.3.7) į formulę (17.3.3); gauname:

Pažiūrėkime, kokia išraiška (17.3.8) virsta kada T-> oo. Akivaizdu, kad šiuo atveju Aso -> 0; diskretinis argumentas ω/(virsta į nuolat kintantį argumentą ω; suma virsta integralu per kintamąjį ω; vidutinis tankis dispersijos S X T) ( su A.) linksta į dispersijos tankį A L.(ω), o išraiška (17.3.8) riboje yra tokia:

Kur S x (с) -stacionarios atsitiktinės funkcijos spektrinis tankis.

Pereinant į ribą kaip Γ -> oo formulėje (17.3.6), gauname spektrinio tankio išraišką per koreliacijos funkciją:

Tokia išraiška kaip (17.3.9) matematikoje žinoma kaip Furjė integralas. Furjė integralas yra Furjė eilutės išplėtimo apibendrinimas neperiodinės funkcijos atveju, nagrinėjant begalinį intervalą, ir parodo funkcijos išplėtimą į elementariųjų harmoninių virpesių sumą, turinčią nuolatinį spektrą 1.

Kaip Furjė eilutė išreiškia išplečiamąją funkciją per serijos koeficientus, kurie savo ruožtu išreiškiami per išplečiamą funkciją, formulės (17.3.9) ir (17.3.10) išreiškia funkcijas. k x ( m) ir A x (k>) yra abipusiai: vienas per kitą. Formulė (17.3.9) išreiškia koreliacijos funkciją spektriniu tankiu; formulę

(17.3.10), priešingai, išreiškia spektrinį tankį per koreliacijos funkciją. Tokios formulės kaip (17.3.9) ir (17.3.10), kurios tarpusavyje susieja dvi funkcijas, vadinamos Furjė transformacijos.

Taigi koreliacijos funkcija ir spektrinis tankis išreiškiami vienas kitu naudojant Furjė transformacijas.

Atkreipkite dėmesį, kad iš bendrosios formulės (17.3.9), kai m = 0, gaunamas anksčiau gautas dispersijos išskaidymas į dažnius (17.3.2).

Praktiškai vietoj spektrinio tankio S x ( co) dažnai naudojamas normalizuotas spektrinis tankis:

Kur D x- atsitiktinės funkcijos dispersija.

Nesunku patikrinti, ar normalizuotoji koreliacijos funkcija p l (m) ir normalizuotas spektrinis tankis l A (ω) yra susiję tomis pačiomis Furjė transformacijomis:

Darant prielaidą, kad pirmoji lygtis (17.3.12) t = 0 ir atsižvelgiant į tai, kad p t (0) = 1, gauname:

tie. bendras plotas, apribotas normalizuoto spektrinio tankio grafiko, lygus vienetui.

1 pavyzdys. Atsitiktinės funkcijos normalizuotos koreliacijos funkcija p x (m). X(t) sumažėja iki tiesinis įstatymas nuo vieneto iki nulio esant 0 t 0 r l.(t) = 0 (17.3.3 pav.). Nustatykite normalizuotą atsitiktinės funkcijos spektrinį tankį X(t).

Sprendimas. Normalizuota koreliacijos funkcija išreiškiama

formulės:

Iš formulių (17.3.12) turime:

Ryžiai. 17.3.3

Ryžiai. 17.3.4

Normalizuoto spektrinio tankio grafikas parodytas Fig. 17.3.4. Pirmasis – absoliutus – maksimalus spektrinis tankis pasiekiamas esant co = 0; atskleidžiantis neapibrėžtumą

spektrinis tankis pasiekia santykinių maksimumų skaičių, kurių aukštis mažėja didėjant co; kai ω -> oo l A. (o>) -> 0. Spektrinio tankio kitimo pobūdis s x (с) (greitas ar lėtas mažėjimas) priklauso nuo parametro m 0. Bendras plotas, apribotas kreive s x(co), yra pastovus ir lygus vienybei. m 0 pokytis yra lygus kreivės skalės pokyčiui, s" A .(co) išilgai abiejų ašių, išlaikant jos plotą. Padidėjus m 0, skalė išilgai ordinačių ašies didėja, išilgai abscisės ašyje jis sumažėja nulinio dažnio atsitiktinės funkcijos dominavimas spektre. ir spektras tampa atskiras su vienu dažniu, kai 0 = 0.

Ryžiai. 17.3.5

2 pavyzdys. Atsitiktinės funkcijos normalizuotas spektrinis tankis.v v (co). X(t) yra pastovus per tam tikrą dažnių intervalą a>b a>2 ir lygus nuliui už šio intervalo ribų (17.3.5 pav.).

Nustatykite atsitiktinės funkcijos normalizuotą koreliacijos funkciją X(t).

Sprendimas. Xl (co) reikšmė esant „t 2“ nustatoma pagal sąlygą, kad kreivės ribojamas plotas s x(co), lygus vienetui:

Nuo (17.3.12) turime:

Bendras funkcijos p d (t) vaizdas parodytas fig. 17.3.6. Jis pasižymi svyravimų, kurių amplitudė mažėja, pobūdį esant daugybei mazgų, kuriuose funkcija išnyksta. Konkretus vaizdas Grafika akivaizdžiai priklauso nuo a>a>2 reikšmių.

Ryžiai. 17.3.6

Įdomu yra funkcijos p x (m) ribinė forma kaip „t -> ω 2. Akivaizdu, kad kai ω 2 = ω = ω, atsitiktinės funkcijos spektras tampa atskiras su viena linija, atitinkančia dažnį ω; šiuo atveju koreliacijos funkcija virsta paprastu kosinusu:

Pažiūrėkime, kokią formą šiuo atveju turi pati atsitiktinė funkcija X(t). Su atskiru spektru su viena linija

stacionarios atsitiktinės funkcijos spektrinis plėtimasis X(t) turi išvaizdą;

Kur U vlV – nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai, kurių matematiniai lūkesčiai lygūs nuliui ir vienodos dispersijos:

Parodykime, kad atsitiktinė (17.3.14) tipo funkcija gali būti pavaizduota kaip viena harmoninis svyravimas dažniai su atsitiktine amplitude ir atsitiktine faze. Paskyrimas

sumažiname išraišką (17.3.14) į formą:

Šioje išraiškoje - atsitiktinė amplitudė; F – atsitiktinė harmoninių virpesių fazė.

Iki šiol nagrinėjome tik atvejį, kai dispersijų dažninis pasiskirstymas yra tolydis, t.y. kai be galo mažas dažnių diapazonas sudaro be galo mažą sklaidą. Praktikoje kartais pasitaiko atvejų, kai atsitiktinėje funkcijoje yra grynai periodinė dažnio dedamoji o>a su atsitiktine amplitude. Tada atsitiktinės funkcijos spektriniame išplėtime, be nuolatinio dažnių spektro, atsiras atskiras dažnis co* su baigtine dispersija. Dk. Bendru atveju tokių periodinių komponentų gali būti keli. Tada koreliacijos funkcijos spektrinis išplėtimas susideda iš dviejų dalių: diskretinio ir ištisinio spektro:

Stacionarių atsitiktinių funkcijų su tokiu „mišriu“ spektru atvejai praktikoje yra gana reti. Tokiais atvejais visada prasminga atsitiktinę funkciją padalyti į du terminus – su ištisiniu ir atskiru spektru – ir ištirti šiuos terminus atskirai.

Dažnai tenka susidurti su ypatingu atveju, kai galutinė atsitiktinės funkcijos spektrinio plėtimosi dispersija įvyksta nuliniu dažniu (ω = 0). Tai reiškia, kad atsitiktinė funkcija apima įprastą atsitiktinį kintamąjį su dispersija D0. IN panašių atvejų taip pat prasminga išskirti šį atsitiktinį terminą ir operuoti su juo atskirai.

• Formulė (17.3.9) yra tam tikra Furjė integralo forma, apibendrinanti Furjė serijos išplėtimą lygi funkcija kosinuso harmonikomis. Panašią išraišką galima parašyti ir daugiau bendras atvejis.
• Čia kalbame apie ypatingą Furjė transformacijų atvejį - vadinamąsias „kosinuso Furjė transformacijas“.