Keisti atraktorių pavyzdžiai. Įprasti ir keisti pritraukėjai

(pavyzdžiui, sprendžiant švytuoklės su oro trintį problemą), (pavyzdžiui, savaime sužadinami virpesiai grandinėje su teigiama atsiliepimai), arba tam tikras ribotas plotas su nestabiliomis trajektorijomis viduje (kaip keistas atraktorius).

Egzistuoja skirtingi siekio sąvokos formalizavimai, dėl kurių atsiranda skirtingi atraktoriaus apibrėžimai, kurie atitinkamai apibrėžia potencialiai skirtingus rinkinius (dažnai įterptus vienas į kitą). Dažniausiai naudojami apibrėžimai yra maksimalus atraktorius (dažnai jo mažoje kaimynystėje, žr. toliau), Milnoro atraktorius ir neklaidžiojantis rinkinys.

Klasifikacija [ | ]

Pritraukėjai skirstomi pagal:

Taip pat yra gerai žinomų „vardinių“ atraktorių pavyzdžių: Lorentz, Plykin, Smale-Williams solenoidas, heteroklininis atraktorius (Boweno pavyzdys).

Savybės ir susiję apibrėžimai[ | ]

Visuose apibrėžimuose daroma prielaida, kad atraktorius yra uždara ir (visiškai) nekintanti aibė.

Atraktoriaus sąvoka taip pat glaudžiai susijusi su Sinajaus-Ruelle-Bowen mato samprata: jame esantis nekintamas matas, kuriam būdingo (Lebesgue mato prasme) pradžios taško laiko vidurkiai arba laiko vidurkiai. Lebesgue mato iteracijų tendencija. Tačiau tokia priemonė ne visada egzistuoja (kaip iliustruoja Boweno pavyzdys).

Apibrėžimo formalizavimo rūšys[ | ]

Kadangi visą fazių erdvę bet kuriuo atveju išsaugo dinamika, formalus atraktoriaus apibrėžimas gali būti pateiktas remiantis filosofija, kad „attraktorius yra mažiausia rinkinys, į kurį viskas linksta“ – kitaip tariant, išmesti viską, kas gali būti. išmestas iš fazinės erdvės.

Maksimalus pritraukiklis[ | ]

Tegu dinaminei sistemai suteikiama sritis U (\displaystyle U), kuri dinamika verčiama griežtai į vidų:

Tada maksimalus pritraukiklis sistemos U apribojimas yra visų jos vaizdų sankirta, veikiama dinamikos:

(\displaystyle A_(max)=\bigcap _(n=1)^(\infty )f^(n)(U).)

Šis apibrėžimas dažnai naudojamas apibūdinti aibę kaip „natūralų“ pritraukiklį („yra didžiausias jos kaimynystės patrauklumas“). Jis taip pat naudojamas dalinėse diferencialinėse lygtyse.

Šis apibrėžimas turi du trūkumus. Pirmiausia, norėdami jį naudoti, turite rasti sugeriančią sritį. Antra, jei tokia sritis buvo pasirinkta nesėkmingai - tarkime, joje buvo atstumiantis fiksuotas taškas su savo atstūmimo baseinu - tada didžiausiame atraktoriuje atsiras „papildomų“ taškų, šalia kurių iš tikrųjų neįmanoma būti šalia kelis kartus iš eilės. , tačiau dabartinis šios srities pasirinkimas „nejaučia“.

Milnoro atraktorius[ | ]

Pagal apibrėžimą, Milnoro atraktorius dinaminės sistemos yra mažiausias uždaras rinkinys įtraukimo atžvilgiu, turintis beveik visų pradinių taškų ω ribinių rinkinių, atsižvelgiant į Lebesgue matą. Kitaip tariant, tai yra mažiausias rinkinys, į kurį linksta trajektorija tipiškas pradžios taškas.

Neklajojantis rinkinys[ | ]

Dinaminės sistemos taškas x vadinamas klajojantys, jei kai kurių jo apylinkių U iteracijos niekada nesikerta su šia kaimynyste:

(\displaystyle \forall n>0\quad f^(n)(U)\bigcap U=\emptyset .) Kitaip tariant, taškas yra klajojantis, jei jis turi kaimynystę, kurią bet kuri trajektorija gali kirsti tik vieną kartą. Visų taškų, kurie nėra klajojantys, aibė vadinama neklaidžiojantys

daug.[ | ]

daug. Statistinis pritraukėjas A s t a t (\displaystyle A_(stat)) U (\displaystyle U), kurio kaimynystėje beveik visi taškai praleidžia beveik visą laiką: bet kuriai jo kaimynei beveik bet kuriam (Lebesgue mato prasme) taškui x (\displaystyle x)

1 N # ( j ≤ N ∣ f j (x) ∈ U ) → 1 , N → ∞ .[ | ]

1 N # ( j ≤ N ∣ f j (x) ∈ U ) → 1 , N → ∞ .(\displaystyle (\frac (1)(N))\#\(j\leq N\mid f^(j)(x)\in U\)\to 1,\quad N\to \infty .) Minimalus atraktorius apibrėžiamas kaip mažiausias uždaras rinkinys įtraukimo atžvilgiu U (\displaystyle U) x (\displaystyle x)

, kurio kaimynystėje beveik visas Lebesgue matas praleidžia beveik visą laiką: bet kurioje jo kaimynystėje[ | ]

1 N ∑ j = 0 N − 1 (f ∗ j (L e b)) (U) → 1 , N → ∞ .[ | ]

(\displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(j=0)^(N-1)(f_(*)^(j)(Leb))(U)\to 1,\quad N \iki \infty .)[ | ]

Neatitikimų pavyzdžiai[ | ]

Lokalumas, minimalizmas ir globalumas[ | ]

Įprasti ir keisti pritraukėjai

Įprasti pritraukėjai[ | ]

Patrauklus fiksuotas taškas

Keistas atraktorius yra traukiantis nestabilių trajektorijų rinkinys skleidžiančios dinaminės sistemos fazių erdvėje. Skirtingai nuo atraktoriaus, tai nėra kolektorius, tai yra, tai nėra kreivė ar paviršius. Keisto atraktoriaus struktūra yra fraktalinė. Tokio pritraukiklio trajektorija yra neperiodinė (neužsidaro), o darbo režimas nestabilus (didėja nedideli nukrypimai nuo režimo). Pagrindinis atraktoriaus chaotiškumo kriterijus yra eksponentinis mažų trikdžių laiko pailgėjimas. To pasekmė – „maišymasis“ sistemoje, bet kurios iš sistemos koordinačių neperiodiškumas laike, nuolatinis galios spektras ir laike mažėjanti autokoreliacinė funkcija.

Keistų pritraukėjų dinamika dažnai būna chaotiška: sunku numatyti trajektoriją, kuri patenka į pritraukiklį, nes nedidelis pradinių duomenų netikslumas po kurio laiko gali sukelti didelį prognozės ir tikrosios trajektorijos neatitikimą. Trajektorijos nenuspėjamumas deterministinėse dinaminėse sistemose vadinamas dinamiškas chaosas, skiriant jį nuo stochastinis chaosas, atsirandantis. Šis reiškinys taip pat vadinamas drugelio efektu, reiškiančiu galimybę paversti silpnas turbulencines oro sroves, kurias sukelia drugelio sparnų plakimas viename planetos taške, galingu viesulu kitoje pusėje dėl daugkartinio jų sustiprėjimo atmosferoje. laiko tarpas. Tačiau iš tikrųjų drugelio sparno plakimas paprastai nesukelia viesulo, nes praktikoje pastebima tendencija, kad tokie maži svyravimai vidutiniškai nekeičia tokių sparnų dinamikos. sudėtingos sistemos kaip planetos atmosfera, o pats Lorencas šiuo klausimu sakė: „Bet apskritai aš laikausi nuomonės, kad bėgant metams nedideli sukrėtimai nei padidina, nei sumažina įvairių oro reiškinių, tokių kaip uraganai, dažnį. Viskas, ką jie gali padaryti, tai pakeisti šių reiškinių eiliškumą. Ir tai, ko gero, svarbus ir nuostabus dalykas, be kurio būtų sunku, o gal net neįmanoma, tirti chaotišką dinamiką (dinamiką, jautrią menkusiems pradinių sistemos sąlygų pokyčiams).

Tarp keistų pritraukėjų yra tokių, kurių Hausdorfo matmuo skiriasi nuo topologinio matmens ir yra trupmeninis. Vienas žinomiausių tokių atrakcionų yra Lorenco atraktorius.

Vardiniai pavyzdžiai [ | ]

Lorentzo atraktorius[ | ]

Sistema diferencialines lygtis, kuriant Lorentzo atraktorių, turi tokią formą:

Smale-Williams solenoidas[ | ]

Smale-Williams solenoidas- grįžtamosios dinaminės sistemos, savo trajektorijų elgsenos panašios į padvigubinimo apskritime žemėlapį, pavyzdys. Tiksliau, ši dinaminė sistema yra apibrėžta ant kietojo toro, o per vieną iteraciją kampinė koordinatė padvigubėja; iš kurių automatiškai kyla eksponentinis trajektorijų divergencija ir chaotiška dinamika. Taip pat solenoidas Didžiausias šios sistemos pritraukėjas taip pat vadinamas (iš kur, tiesą sakant, ir kilęs pavadinimas): ji sudaryta kaip (nesuskaičiuojama) „sriegių“ sąjunga, susukta išilgai kieto toro.

Plykin atraktorius[ | ]

Sekcijoje. Šio skyriaus 5.1 bus parodyta, kad netiesinės skleidžiamosios dinaminės sistemos natūraliai veda prie keisto atraktoriaus sampratos. Tada (5.2 skyrius) Kolmogorovo entropija įvedama kaip chaotiško judėjimo funkcinis matas, po to (5.3 skyrius) nagrinėjama informacijos kiekio, kurį galima gauti iš išmatuoto atsitiktinio signalo, problema.

Sekcijoje. 5.4 aptaria keisto pritraukiklio atsiradimą Ruel – Takens – Newhouse modelyje, kuriame aprašomas perėjimas prie turbulencijos (laiku) ir pateikiama keletas eksperimentinis patvirtinimasšis modelis. Kitame skyriuje pateikiama šio perėjimo į chaosą modelio renormalizavimo grupės interpretacija. Skyrius baigiamas kritiška įvairių perėjimo scenarijų apžvalga ir keistų atraktorių bei jų fraktalų ribų brėžinių rinkiniu.

5.1. Įvadas ir keistų atraktorių apibrėžimas

Šiame skyriuje apžvelgsime sklaidančias sistemas, aprašytas srautais arba atvaizdais. Pirmiausia panagrinėkime išsklaidytus srautus, aprašytus autonomine pirmos eilės diferencialinių lygčių sistema:

Čia terminas „dissipatyvus“ reiškia, kad fazinėje erdvėje savavališkai pasirinktas elementinis tūris V, ribojamas paviršiaus S, yra suspaustas. Paviršius S vystosi taip, kad kiekvienas jo taškas juda pagal (5.1) apibrėžtą trajektoriją. Taigi, remiantis divergencijos teorema:

ir tada pagal apibrėžimą sistemos su

Šio tipo srauto pavyzdys yra Lorentz modelis:

kuriam iš

y., elementarioji apimtis laike susitraukia eksponentiškai

Jeigu atsižvelgsime į Lorenco modelio lygčių generuojamą trajektoriją ties (58 pav.), paaiškėja, kad a) ją traukia ribotas plotas fazinėje erdvėje; b) jo judėjimas yra klajojantis, t.y. trajektorija sukasi vieną posūkį į dešinę, po to kelis posūkius į kairę, tada į dešinę, trajektorija labai jautri mažiems pradinių sąlygų pokyčiams, t.y., jei vietoj sąlygų (0 0,01; 0) imame artimas sąlygas, tada naujasis sprendimas greitai nukryps nuo ankstesnio ir apsisukimų skaičius bus kitoks. Fig. 59 parodytas kintamojo maksimumo priklausomybės grafikas. Gautas ekranas yra maždaug trikampis, o tai atitinka, pagal Ch. 2, chaotiška seka

Ryžiai. 58. Lorenco atraktorius, apskaičiuotas kompiuteriu (Lanford, 1977).

Ryžiai. 59. Lorenco atraktoriaus kintamojo Z nuoseklūs maksimumai (Lorenz, 1963).

Apibendrinant: trajektorija jautri pradinių sąlygų pokyčiams; chaotiškas; traukiamas į ribotą fazių erdvės sritį; šio regiono tūris (pagal (5.4)) linkęs į nulį. Tai reiškia, kad trimatės Lorenco sistemos srautas sukuria taškų rinkinį, kurio matmuo yra mažesnis nei 3, t. y. jo tūris yra trimatė erdvė yra lygus 0. Iš pirmo žvilgsnio jam būtų galima priskirti tokį sveikąjį skaičių, bet mažesnį matmenį - 2. Tačiau tai prieštarauja Puankarės-Bendikssono teoremai, teigiančiai, kad ribotoje dvimatės erdvės srityje negali egzistuoti chaotiškas srautas. . Pažymėkime, pavyzdžiui, griežtas įrodymasšios teoremos monografijoje (Hirsch, Smale, 1965). Ryžiai. 60 parodyta, kad srautų tęstinumas ir tai, kad srauto linija padalija plokštumą į dvi dalis, taip stipriai riboja trajektoriją, kad vieninteliai galimi pritraukėjai ribotoje srityje yra ribiniai ciklai ir fiksuoti taškai. Šios problemos sprendimas yra tas, kad taškų, į kuriuos traukia Lorenco sistemos trajektorija (vadinamasis Lorenco atraktorius), rinkinys turi Hausdorfo matmenį, kuris yra ne sveikasis skaičius, o tarp 2 ir 3 ( tikslią vertę Tai natūraliai veda prie keisto pritraukiklio koncepcijos, kuri atsiranda įvairiuose fiziniuose netiesinės sistemos.

Turi keistą pritraukiklį šias savybes(oficialų apibrėžimą galima rasti apžvalginiuose straipsniuose (Eckmann, 1981; Ruelle, 1980):

a) tai yra atraktorius, t.y. jis užima ribotą fazinės erdvės sritį, į kurią po didelio

Ryžiai. 60. Srautinės linijos savaiminis užfiksavimas ribotoje zonoje plokštumoje. Eksponentinis trajektorijų skirtumas prieštarauja tęstinumui (pastaba priešingomis kryptimisšaulys).

laiko intervalu, pritraukiamos visos pakankamai artimos trajektorijos iš vadinamojo traukos regiono. Atkreipkite dėmesį, kad traukos sritis gali būti labai didelė sudėtinga struktūra(žr. 5.7 skyrių pav.). Be to, pats atraktorius susideda iš vienos trajektorijos, t.y., laikui bėgant trajektorija turi praeiti per kiekvieną atraktoriaus tašką. Izoliuotų fiksuotų taškų rinkinys nėra vienas atraktorius;

b) savybė, dėl kurios atraktorius yra keistas, yra jautrumas pradinėms sąlygoms, t. y., nepaisant tūrio suspaudimo, ilgis nesumažėja visomis kryptimis, o atstumas tarp iš pradžių savavališkai artimų atraktoriaus taškų yra pakankamai didelis. didelis laikas tapti galutiniu. Kaip bus parodyta kitame skyriuje, tai veda prie teigiamos Kolmogorovo entropijos;

c) norint apibūdinti fizinę sistemą, atraktorius turi būti struktūriškai stabilus ir tipiškas. Kitaip tariant, nedideli F parametro pokyčiai (žr. (5.1)) nuolat keičia atraktoriaus struktūrą (toliau apibūdinsime struktūrą išsamiau; dabar turime omenyje, pavyzdžiui, Hausdorffo dimensiją). atraktorius) ir parametrų rinkinys, kuriam (5.1) generuoja keistas pritraukėjas, neturi būti 0 matų rinkinys – kitu atveju atraktorius nėra tipiškas ir fiziškai reikšmingas.

Visi iki šiol atrasti keisti pritraukėjai turi dalinį Hausdorffo matmenį. Kadangi nėra visuotinai priimto formalaus keisto atraktoriaus apibrėžimo (Ruelle, 1980; Mandelbrot, 1982), dar nėra aišku, ar Hausdorffo matmens trupmeniškumas visada išplaukia iš savybių „a“ - „b“, ar yra papildomai būtinas. už keistą pritraukėją.

Paprastai keistas pritraukėjas atsiranda tada, kai fazinis srautas suspaudžia elementarų tūrį vienomis kryptimis ir ištempia jį kitomis. Norint likti ribotoje srityje, elementarus tūris tuo pačiu metu sulankstomas. Šis tempimo ir lankstymo procesas sukelia chaotišką trajektorijos judėjimą ant keisto atraktoriaus, panašaus į tai, kas buvo dalinio linijinio atvaizdavimo atveju (2 skyrius).

Kadangi aukščiau pateiktas apibrėžimas apibūdina taškų rinkinio savybes, keisto pritraukiklio sąvoka neapsiriboja srautais: išsklaidantys atvaizdai taip pat gali sukurti keistus pritraukiklius. Ekranas

vadinamas disipatyviuoju, jei jis sukelia tūrio suspaudimą fazinėje erdvėje, t. y. jei Jakobijos J modulis, iš kurio po iteracijos padauginamas elementarus tūris, yra mažesnis nei 1:

Poincaré-Bendixson teorema, kuri apriboja srautų generuojamų keistų pritraukėjų matmenis iki didesnių nei du, žemėlapiams negalioja. Taip yra dėl to, kad atvaizdavimas generuoja atskirus taškus ir pašalinami su tęstinumu susiję apribojimai. Taigi, išsklaidantys atvaizdai gali sukelti keistus pritraukėjus, kurių matmenys yra mažesni nei 2.

Iliustracijai panagrinėkime du pavyzdžius, kuriuos dėl mažesnio matmens lengviau įsivaizduoti nei Lorenco atraktorių.

Bakerio transformacija. Fig. 61 parodyta normalus konvertavimas kepėjas – plotą išsaugantis kartografavimas (primenantis kepėjo, iškočiojančio tešlą, veiksmus) ir ploto neišsaugantis dissipacinis kepėjo transformavimas. Matematinė

Ryžiai. 61. a - Bakerio transformacija; b – kepėjo disipacinė transformacija.

pastarojo išraiška

kur a yra transformacija, vedanti į Bernulio poslinkį. Jo Lyapunov eksponentas (x), kuris lemia jautrumą pradinėms sąlygoms; objektas, atsirandantis dėl pakartotinio vienetinio kvadrato poveikio šiam žemėlapiui, yra keistas pritraukėjas. Šis pritraukiklis yra begalinė horizontalių linijų seka, o jo traukos sritis apima visus kvadrato vieneto taškus. Lyapunov eksponentas kryptimi ir šia kryptimi skalės sumažinamos taip, kad bendras rezultatas(tempimas išilgai ir suspaudimas išilgai ) yra tūrio sumažinimas, reikalingas išsklaidytam kartografavimui.

Keisto atraktoriaus Hausdorffo matmenį DB galima apskaičiuoti taip. Kryptimi atraktorius yra tiesiog vienmatis (kaip ir žemėlapis) Chap. 2). Hausdorffo matmuo y kryptimi išplaukia iš apibrėžimo

ir nuo vertikalaus pritraukiklio savipanašumo (61 pav., b). Tai suteikia

Ryžiai. 63. a – Henon atraktoriaus vaizdas, sudarytas iš 104 taškų. Keli vienas po kito einantys taškai yra sunumeruoti, kad iliustruotų klaidžiojantį atraktoriaus judesį; b, c - padidinti kvadratų vaizdai iš ankstesnių figūrų; g - kiekvieno stulpelio aukštis - santykinė tikimybė taško aptikimas viename iš šešių ankstesnio brėžinio lapų (Farmer, 1982a, b).

atraktoriaus struktūra. Henono atrakciono Hausdorfo matmuo!) skirta . Šis rezultatas buvo gautas ekrano plokštumoje uždėjus kvadratinį tinklelį su langeliu ir suskaičiavus taškų skaičių ir apskaičiavus!) Jei pav. 63, skiriamoji geba leidžia matyti šešis „lapus“, tada santykinę kiekvieno lapo tikimybę galima įvertinti tiesiog suskaičiavus jame esančių taškų skaičių. Kiekvienos stulpelio aukštis pav. 63, r yra santykinė tikimybė, o plotis yra atitinkamo lakšto storis.

Įvairūs kolonų aukščiai pav. 63d rodo, kad Henono atraktorius yra nevienalytis. Šio nevienalytiškumo negalima apibūdinti vienu Hausdorffo matmeniu, todėl toliau pristatysime begalinį matmenų rinkinį, apibūdinantį statinę struktūrą (t. y. taškų pasiskirstymą).

pritraukėjas. Tačiau prieš tai darant naudinga aptarti Kolmogorovo entropiją, kuri apibūdina keisto patrauklumo dinaminį elgesį.

Sisteminis požiūris geografijoje: atsiradimas ir struktūrinis izomorfizmas.

Atsiradimas (angl. emergence – atsiradimas, naujo daikto atsiradimas) sistemų teorijoje – bet kokios sistemos buvimas ypatingos savybės, nebūdingas jo posistemiams ir blokams, taip pat elementų, nesusijusių specialiomis sistemą formuojančiomis jungtimis, suma; sistemos savybių neredukuojamumas į jos komponentų savybių sumą; sinonimas - „sistemos efektas“.

Biologijoje ir ekologijoje atsiradimo samprata gali būti išreikšta taip: vienas medis nėra miškas, atskirų ląstelių sankaupa nėra organizmas. Pavyzdžiui, biologinės rūšies savybės arba biologinė populiacija neatspindi atskirų individų savybių, vaisingumo ir mirtingumo sąvokos netaikomos individui, o taikomos visai populiacijai ar rūšiai.

Evoliucijos moksle tai išreiškiama kaip naujų funkcinių sistemos vienetų atsiradimas, kurie nėra redukuojami į paprastus esamų elementų pertvarkymus.

Dirvotyroje: atsirandanti dirvožemio savybė yra derlingumas.

Sistemų klasifikacijoje atsiradimas gali būti jų taksonomijos, kaip kriterinio sistemos požymio, pagrindas.

Struktūrinio izomorfizmo idėja - struktūros tapatumas be turinio elementų tapatumo - geografijoje plačiai paplito 60-ųjų pabaigoje - 70-ųjų pradžioje. XX amžiuje pergalės procesijos fone sistemingas požiūris. Galimybė naudoti tą patį koncepcinį ir matematinį aparatą, pavyzdžiui, apibūdinti upės vingiavimą ir federalinio greitkelio trasos pokyčius JAV (m. pastarasis atvejis vyksta ir savotiškų upės vagų šachtų proveržis, atsiradęs dėl kur kas daugiau didelė kainažemė prie esamo greitkelio – žr. V. Bungės knygą) yra labai naudinga praktine prasme ir patraukli teoriniu požiūriu.

Viena iš pagrindinių idėjų, išleistų 1962 m. V. Bungės knygos “ Teorinė geografija„(vertimas į rusų kalbą, išleistas 1967 m.), buvo būtent struktūrinio izomorfizmo idėja, suprantama kaip pačių įvairiausių geografinių reiškinių erdvinio organizavimo metodų tapatybė, ištirta kaip fizinė geografija, ir socialiniai bei ekonominiai. Bungė drąsiai sėmėsi idėjų iš geomorfologijos ir jas pritaikė socialiniams-geografiniams reiškiniams apibūdinti. Tai tapo vadovėliniu palyginimu tarp upės vingiavimo ir federalinio greitkelio trasos pasikeitimo, kuris taip pat priverstas įveikti didelių žemės kainų „upės-upės pylimus“.

Labiausiai paplitę tokio tipo modeliai turėtų būti laikomi gravitaciniais ir entropiniais modeliais. Pastaruosius taip pat papildo modeliai, sukurti pagal inovacijų sklaidos teoriją. Visi šie modeliai yra pasiskolinimai iš įvairių fizikos šakų – kad ir kaip būtų klasikinė mechanika arba termodinamika – siekiant panaudoti matematinius įrankius, pavyzdžiui, modeliuoti keleivių srautus tarp miestų priklausomai nuo jų demografinių masių. Akivaizdu, kad tokių modelių naudojimas reikalauja jų kalibravimo – pastovių verčių parinkimo remiantis kuo platesne empirine medžiaga, o jų nuspėjamoji vertė dėl šios aplinkybės nėra besąlyginė.

Atraktoriaus samprata. Keistai pritraukėjai.

Atraktorius (angl. attract – to pritraukti, pritraukti) – tai dinaminės sistemos būsenų (tiksliau, fazių erdvės taškų) visuma, į kurią ji linksta laikui bėgant. Taigi paprasčiausios atraktoriaus versijos yra fiksuotas traukos taškas (pavyzdžiui, švytuoklės su oro trintis problema) ir periodinė trajektorija (pavyzdžiui, savaime sužadinami virpesiai grandinėje su teigiamu grįžtamuoju ryšiu), tačiau yra taip pat daug sudėtingesnių pavyzdžių.

Egzistuoja skirtingi siekio sąvokos formalizavimai, dėl kurių atsiranda skirtingi atraktoriaus apibrėžimai, kurie atitinkamai apibrėžia potencialiai skirtingus rinkinius (dažnai įterptus vienas į kitą). Dažniausiai naudojami apibrėžimai yra maksimalus atraktorius (dažnai jo mažoje kaimynystėje, žr. toliau), Milnoro atraktorius ir neklaidžiojantis rinkinys.

Pritraukėjai skirstomi pagal:

Siekimo sampratos formalizavimas: atskirti maksimalų atraktorių, neklaidžiojantį aibę, Milnoro atraktorių, Birkhoffo centrą, statistinį ir minimalų atraktorių.

Paties atraktoriaus dėsningumai: atraktoriai skirstomi į taisyklingus (traukiantys fiksuotą tašką, traukiantys periodinę trajektoriją, kolektorius) ir keistuosius (netaisyklingus – dažnai fraktaliniai ir/arba tam tikroje atkarpoje išdėstyti kaip Kantoriaus rinkinys; jų dinamika paprastai būna chaotiška).

Lokalumas („traukiantis rinkinys“) ir globalumas (čia terminas „minimalus“ reiškia „nedalomas“).

Sinerginė revoliucija lėmė esminius mokslinės pasaulėžiūros pokyčius, visų pirma iki galutinio (teleologinio) paaiškinimo, prilygusio priežastiniam, kuris vienintelis egzistavo moksle prieš sukūrimą. kvantinė mechanika. Tačiau tada priežastingumo žlugimas palietė tik mikropasaulio reiškinius – sritį, be galo nutolusią nuo mūsų kasdienybės. Sinerginė revoliucija lėmė finalistinio paaiškinimo išplėtimą į kai kurių mezopasaulio reiškinių tyrimą, t.y. pasaulis, kuriame gyvename ir kuris yra prieinamas mums kasdienės patirties. Tuo pačiu mums labai sunku priprasti prie minties, kad kai kurių procesų eigą lemia ne pradinės sąlygos, t.y. priežastis, bet galutinė būsena, kurios jie siekia. Ši galutinė būsena sinergikoje vadinama atraktoriumi – proceso traukos sritimi.

Aktyvi diskusija apie finalines idėjas, kilusias iš biologijos ir kosmologijos, leido pakeisti intelektualinį klimatą geografijoje, išjudinti požiūrį į priežastinį paaiškinimą, kaip vienintelį įmanomą moksle apskritai ir geografijoje konkrečiai. Šis intelektualinio klimato pokytis paruošė kelią sinergetikos idėjoms skverbtis, įskaitant atraktoriaus idėją - proceso traukos sritį. Dar XX amžiaus 60-aisiais. Bendrabaigtumo (ekvifinalumo) idėja plėtojant milžiniškus miestus tapo plačiai paplitusi - šie miestai turi nepalyginamai daugiau panašumų nei maži ir vidutinio dydžio miestai, iš kurių jie išaugo. Transporto tinklų plėtros analizė taikant grafų teorijos metodus arba miesto gyvenviečių sistemų raidos analizė centrinių vietų teorijos metodais taip pat yra būtent tos klasės problemų pavyzdžiai, kur vaisingiausios idėjos yra apie tai, kaip nustatyti. procesas pagal galutinę būseną, o ne pradines sąlygas, apie jo troškimą atraktoriaus, kuris yra idealus objektas mokslinė teorija. Ir jei atraktorius nepasiekiamas, tai visai nereiškia, kad jo nėra.

Teorinių konstrukcijų, tokių kaip potencialios formos, lemiančios atskirų organizmų vystymosi ir evoliucijos kryptį, reikšmė geografijai biologinės rūšys, arba galutinė simetrija yra labai didelė ir ji neliko nepastebėta. Analogija su stabilios teritorinės valstybių organizacijos formų katalogu, kurį iš tikrųjų sukūrė V. P. Semenovas-Tyanas-Shansky ir anksčiau, nei L. S. Bergas paskelbė savo garsųjį darbą apie nomogenezę, yra tokia akivaizdi, kad nereikalauja papildomos argumentacijos. Turėtumėte sutelkti dėmesį į mažiau akivaizdžias idėjas. Tai, visų pirma, idėjos apie kofinalumą (ekviganalumą) plėtojant milžiniškus miestus, P. Haggettas iškeltas dar septintajame dešimtmetyje. Šios klasės miestai vienas su kitu turi nepalyginamai daugiau panašumų nei maži miesteliai, iš kurių jie išaugo. Tokias pat tendencijas galima atsekti ir miestų sistemų raidoje. Centrinių vietų sistemos (miestas suprantamas kaip centrine vieta nes jis tarnauja ne tik savo gyventojams, bet ir savo zonos gyventojams, kuo didesnis, tuo aukštesniam hierarchijos lygiui ji priklauso), jie taip pat siekia tam tikro vystymosi pusiausvyros būsena, vadinamasis izostatinė pusiausvyra, kuri jų atžvilgiu veikia kaip pritraukiklis - proceso traukos sritis

Išskirtinai vaisingo netiesinės dinamikos aparato ir jo ideologinių principų taikymo pavyzdys buvo plėtra. fenomenologinė teorija S.P.Kapitsos atliktas Žemės gyventojų skaičiaus augimas, leidžiantis daryti tiek perspektyvines, tiek retrospektyvias prognozes ir pastarąją naudojant sėkmingai palygintas su empirine realybe. Svarbiausia išvada ideologiniu požiūriu yra ta, kad Žemės gyventojų skaičiaus augimas niekada nebuvo reguliuojamas veiksmais išoriniai veiksniai, o visada – nežinomais vidaus dėsniais. Šią poziciją įformino teorijos kūrėjas as demografinio imperatyvo principas.

Esminis sunkumas yra tas, kad visos mūsų arsenale esančios teorijos yra sukurtos apibūdinti procesus „ekonominėje“ visuomenėje, yra pagrįstos nepajudinamu tikėjimu ekonomine pusiausvyra, kaip visų ekonomikoje vykstančių procesų traukiančia priemone. socialiniai kataklizmai kaip išoriniai trikdžiai, išvedantys sistemą iš pusiausvyros būsenos, į kurią ji vis dar stengiasi sugrįžti pirmai progai pasitaikius. Tuo tarpu jau pačioje ekonomikos mokslas Abejonės dėl ekonominės pusiausvyros kaip „natūralios“ ar „normalios“ ekonomikos būklės tampa vis plačiau paplitusios. Juos ypač išreiškia toks įtakingas ekonomistas ir sociologas kaip M. Castellsas. Jo tezė yra ta, kad informacinėje (kitaip vadinamoje „postekonomine“) visuomenėje ekonominiai procesai turi ne tik skirtingą prigimtį, bet ir skirtingą orientaciją. Jo nuomone, informacinės visuomenės teritorinis organizavimas, įskaitant ir gyvenviečių organizavimą, patirs reikšmingiausių pokyčių, palyginti su industrine visuomene.

Dėl to geografams teks nepalyginamai daugiau kovoti sudėtingos užduotys nei tie, su kuriais susidūrė anksčiau: ieškokite ne tik pritraukėjų, t.y. tiriamų procesų traukos sritis ir keistus pritraukėjus, kurie yra sudėtingi neperiodiniai sprendimai. Tokią užduotį vargu ar gali išspręsti patys geografai vieni, nebendradarbiaujant su fizikais ir matematikais, bent jau tol, kol neužaugs geografų karta, kuri dar nuo studentavimo laikų įvaldys sinergetikos matematinį aparatą. Mūsų užduotis – sukurti konceptualų tokio bendradarbiavimo pagrindą, kuriant veiklos teorijas, kurios leistų jų plėtrai pritaikyti pirmiausia konceptualųjį, o paskui matematinį sinergijos aparatą.

KEISTAS ATRAKTORIUS

Patrauklus nestabilių trajektorijų rinkinys išsklaidytojo fazių erdvėje dinamiška sistema. S. a., skirtingai nei atraktorius, nėra kolektorius (tai yra, jis nėra kreivė ar paviršius); jo geomas. prietaisas yra labai sudėtingas, o jo struktūra yra fraktalinė (žr. Fraktalai).Štai kodėl jis gavo vardą. „keista“ [D. Ruelle (D.Ruelle), F. Takensas (F. Takensas)]. Tai, kad visos šalia SA esančios trajektorijos traukia į ją ties , yra iš esmės susijęs su ją sudarančių trajektorijų nestabilumo pobūdžiu (bifurkacija, ribinis ciklas). TrajektorijosS. A. apibūdinti stacionariąją stochastiką. savaiminiai virpesiai, palaikoma išsklaidymo sistema dėl išorinės energijos. šaltinis. S. a. būdingas tik savaiminiams virpesiams. sistemos, kurių fazių erdvės matmuo yra didesnis nei du (1 pav.). Pirmoji sistema, tirta su S. a.- Lorenco sistema - trimatis.

Ryžiai. 1. Keistas pritraukėjas sistemoje, aprašytoje (1) tipo lygtimis.

Sistemos su periodine savaiminiai virpesiai, matematika. Kurio įvaizdis yra ribinis ciklas, galima visiškai ištirti naudojant diferencialų kokybinės teorijos metodus. ur. Teorijos konstravimas stochastiniai svyravimai, kurią visų pirma sudaro S. a. savybių savybių nustatymas (numatymas). atsižvelgiant į sistemos parametrus, tai labai sunku net ir trimatės sistemos. Tačiau panašią konstrukciją galima atlikti, pavyzdys. Kaip ir van der Pol generatorius yra paprasčiausias kanoninis. periodiškumą demonstruojančios sistemos pavyzdys. savaiminiai virpesiai, schema 2a ir šiek tiek sudėtingo Van der Pol generatoriaus apibrėžimas, gali būti vienas iš paprasčiausių stochastinių generatorių pavyzdžių. b. Nors srovė aš grandinėje ir tinklo įtampoje . yra maži, tunelinis diodas neturi jokio poveikio. įtakos virpesiams grandinėje, ir jie, kaip ir įprastiniame vamzdžių generatoriuje, didėja. Šiuo atveju srovė teka per tunelinį diodą aš, o įtampą joje lemia charakteristikos šaka I (V). Kada yra srovė aš pasiekia vertę aš t, beveik akimirksniu perjungiamas tunelinis diodas (perjungimo greitis siejamas su maža talpa C 1) -įtampa nustatoma staigiai Vm. Tada srovė per tunelinį diodą sumažėja ir jis persijungia atgal iš sekcijos į. Dėl dviejų perjungimų tunelinis diodas beveik visiškai sugeria į grandinę patenkančią energiją ir svyravimai vėl pradeda didėti. (Atsižvelgiant į grandinės veikimą, lempos charakteristika gali būti laikoma tiesine; tai pateisinama tuo, kad mus dominančiame režime virpesius riboja netiesinė tunelinio diodo charakteristika.) Taigi, generuojamas signalas U(t) yra didėjančių virpesių traukinių seka, kiekvieno traukinio pabaiga apibūdinama įtampos šuoliu V(t).

Ryžiai. 2. Paprasto triukšmo generatoriaus - Van der Pol osciliatoriaus, kurio tinklelio grandinėje įdėtas tunelinis diodas, schema (a). Netiesinio elemento – tunelinio diodo – srovės-įtampos charakteristika (b).

Už kiekybinis aprašymas grandinės veikimas, pradiniai lygiai

konvertuota į bematę formą:

Kur x = I/I m, z = V/V m ,

- normalizuota diodo charakteristika. Čia yra mažas parametras, todėl visi judesiai fazinėje erdvėje (3 pav.).

Ryžiai. 3. Trajektorijų elgsena sistemos (1) fazių erdvėje at

gali būti suskirstytas į greitą diodų perjungimą (tiesioginis x = const, y = const) ir lėtas, kai diodo įtampa „seka“ srautą; atitinkamos trajektorijos guli ant paviršių A Ir B[x = f(z), f"(z) >0], atitinkantis Diodo sritis ir charakteristikas.

Sistema turi vieną nestabilią pusiausvyros būseną x = y = z= 0 balno tipo. Trajektorijos guli ant paviršiaus A, sukasi aplink nestabilų židinį ir galiausiai pasiekia paviršiaus kraštą A.Čia sutrinka taškas, rodantis sistemos būseną fazinėje trajektorijoje (vadinamasis reprezentacinis taškas) išilgai greitų judėjimų į paviršių linijos. IN. Einant pro IN, reprezentuojantis taškas nukrenta atgal į paviršių A ir patenka į pusiausvyros būsenos apylinkes – prasideda naujas didėjančių svyravimų traukinys. Puankaro žemėlapį, atitinkantį (1) lygtis, gabalais, galima apibūdinti ištisine funkcija, kurios grafikas parodytas 5 pav. Tiesinė atkarpa I su koeficientu. didesnis nei vienas pasvirimo kampas apibūdina trajektorijos išsivyniojimą lėtų judesių paviršiuje A, atitinkantis virpesių padidėjimą grandinėje. II skyriuje aprašomas trajektorijų A grąžinimo į paviršių etapas IN, atgal į A(žr. 3 pav.). Visos trajektorijos, esančios už kvadrato pagrindo, pažymėto punktyrine linija, į jį patenka esant asimptotiškai didelėms laiko reikšmėms, t.y. D- sugeriantis ir turintis atraktorių. Visos trajektorijos šiame regione yra nestabilios, t.y. atraktorius yra keistas. išsaugomos stochastinių judesių savybės (kaip rodo skaitiniai tyrimai).

Ryžiai. 4. Signalo, kurį generuoja grandinė, parodyta pav. 2a ir šio signalo oscilograma.

Ryžiai. 5. Funkcijos f(x) grafikas, apibūdinantis grandinės dinamiką pav. 2 val.

Fraktalų matmuo. Visa statistikos įvairovė atsitiktinio signalo, generuojamo dinamine, savybes sistemą su S. a galima apibūdinti, jei žinomas sistemos būsenų tikimybių skirstinys. Tačiau labai sunku gauti (ir naudoti) šį skirstinį konkrečioms sistemoms su tikimybės matu (jei tik todėl, kad nekintamo tikimybės mato pasiskirstymo tankis visada yra vienaskaita). Tai viena iš priežasčių, dėl kurių buvo sumažintas S. a.

kur , tam tikras fiksuotas parametras, yra skaičius n-matmenų skersmens sferos, dengiančios S. a. dinamiškas sistemos su n-dimensinė fazinė erdvė.

Matmenys, nustatyti pagal (2) lygtį Su negali akivaizdžiai n, bet gali būti mažesnis n(n- matmenų rutuliai gali pasirodyti beveik tušti). „Paprastų“ aibių atveju (2) lygtis pateikia akivaizdžius rezultatus. Taigi, daugeliui k taškai,; ilgio segmentui L tiesi lelija,; kvadrato gabalėliui S dvimatis paviršius ir tt Matmenų nelygybė sveikajam skaičiui atitinka sudėtingą geomą. 2.6).

Su fizine požiūrio taškas, pagrindinis S. a. fraktalinio matmens „orumas“. o laisvės laipsnių skaičius ha turi tokią formą:

Bifurkacijos keistus pritraukėjus. Stochastinio gimimo keliai. Feigenbaumo scenarijus – grandinė bifurkacijos stabilaus ribinio ciklo periodo padvigubinimas. Jei, keičiant valdymo parametrą, periodinis N matmenų fazių erdvėje Puankaro žemėlapio trajektorijų elgseną ribinio ciklo padvigubėjimo periodo, kuriame vyksta bifurkacija, kaimynystėje, lemia funkcija, pvz. f(x), Grafikas panašus į parabolę. Ši funkcija apibūdina ryšį tarp koordinačių jų pačių kryptimi. Poincaré žemėlapio linijavimo operatoriaus poerdvė, atitinkanti daugiklį (-1) ( j+ 1) - Puankarės sekantinės sistemos j-ųjų susikirtimų eiga pagal trajektoriją: x j+1= f(x j). Gautas stabilus dvigubo periodo ribinis ciklas atitinka dviejų periodų ciklą. rodymo kelias f.Toliau keičiant bifurkacijos parametrą, periodo padvigubėjimas kartojamas neribotą laiką, o bifurkacija. Pavyzdžiui, vertės kaupiasi iki kritinių. taškas, atitinkantis S. a. atsiradimą. Pagal Feigenbaumo scenarijų egzistuoja universalus (nepriklausomas nuo konkrečios sistemos) dėsnis

kur = 4,6692... - universali konstanta Feigenbaumas (žr Feigenbaumo universalumas).

Gimė S. a. kai pataisyta, keli atsakymai. intervalai ant ašies X; srityse tarp šių intervalų yra trajektorijos, traukiamos atraktoriaus, taip pat 2 m-periodinis (palyginti su ekranu f), nestabilūs ribiniai ciklai, pradedant nuo kai kurių m 0 ir mažiau. Didėjant parametrui, didėja greitis, kuriuo trajektorijos skiriasi šiauriniame praėjime. didėja, ir jis „išsipučia“, nuosekliai sugerdamas nestabilius ribinius periodų ciklus 2 t+1,2 t, ... Šiuo atveju segmentų, atitinkančių atraktorių, skaičius yra

Ryžiai. 6. Periodinio padvigubėjimo „atvirkštinės bifurkacijos“, iliustruojančios atraktoriaus patinimą, atsiradusį pagal Feigenbaumo scenarijų.

Nutrūkimas. Daugiskaita sistemos, kai valdymo parametras (tarkime) eina per bifurkaciją. vertės perėjimas prie stochastinės. savaiminiai svyravimai išoriškai realizuojami kaip retas taisyklingų „stochastinių“ svyravimų pažeidimas. sprogsta“. Šiuo atveju laminarinės (reguliarios) fazės trukmė yra ilgesnė, tuo mažesnis superkritiškumas Didėjant superkritiškumui, reguliarios fazės trukmė mažėja. Šis paveikslas aiškinamas tokia pagrindinio evoliucija. objektus fazinėje erdvėje, jie „pastebi“, kad senasis atraktorius išnyko, ir, likę arti balno ribinio ciklo separatrikso (taip pat išnyko), pereina į kitą fazinės erdvės dalį. Jei yra subkritinis regione sistema buvo globaliai stabili (t. y. buvo tik vienas traukiantis objektas), tada šios trajektorijos po kurio laiko vėl patenka į išnykusio ribinio ciklo apylinkes. Jei tuo pat metu subkritinėje. Balnelio ciklo separatrikso parametrų verčių diapazonas buvo įterptas į gana sudėtingo geomo fazių erdvę. būdas (suformuotas begalinis skaičius raukšlės - „gofruotas“, jame yra heteroklinika. kitų balno ciklų trajektorijos ir pan.), tai yra, pereinamasis procesas demonstravo netaisyklingą elgesį, tada patekimo į dingusio ciklo apylinkes laikas jau bus atsitiktinis dydis. Toliau, be šių pagrindinių S. a. atsiradimo būdų, kartojama laminarinė fazė. Gana dažnai būna ir perėjimų į chaotiškumą. savaiminiai virpesiai naikinant kvaziperiodinius (fazinėje erdvėje, pasikeitus valdymo parametrams, traukiantis dvimatis toras praranda glotnumą ir griūva) ir kombinuotus scenarijus.

Daugiamatis keistus pritraukėjus dažnai randama sistemose, turinčiose daug laisvės laipsnių. Tarp galimų mechanizmų turbulencija).

Lit.: 1) Rabinovičius M.I., Trubetskovas D.I., Įvadas į virpesių ir bangų teoriją, M., 1984; 2) Lichtenberg A., Liberman M., Taisyklinga izochastinė dinamika, vert. iš anglų k., M., 1984; 3) Afraimovičius V. S., Reimanas A. M., Dimensija ir entropija daugiamatėse sistemose, knygoje: Netiesinės bangos. Dinamika ir evoliucija, red. A. V. Gaponova-Grechovas, M. I. Rabinovičius, V. S. Afraimovičius, M.

• - klajoja, svetimoje šalyje...

  Trumpai Bažnyčios slavų žodynas

• - žr. sinergetika...

  Didelis psichologinė enciklopedija

• - keista šv.-slav. keista ξένος. Iš ankstesnio...

  Vasmerio etimologinis žodynas

• - Pasiskolinta iš senosios bažnytinės slavų kalbos, kur ji suformuota iš šalies, kuri buvo in Senoji rusų kalba reiškia „užsienis, užsieniečiai“...

  Krylovo etimologinis rusų kalbos žodynas

• - A/C pr žr. _Priedas II šalys keistas keistas svetimas nei 259 cm _Priedas II - Kodėl taip nepalankiai apie jį kalbate? Ar tai dėl to, kad mes neramiai sumušame ir teisiame viską...>...

  Rusų akcentų žodynas

• - kr.f. str/nen, strana/, str/no, str/nny...

  Rusų kalbos rašybos žodynas

• - KEISTA, oi, oi; -anen, -anna, -anno. Neįprasta, nesuprantama, sukelianti sumišimą. C. charakteris. S. spp. Jo elgesys man keistas. Keista, kad jis neskambina...

  Žodynas Ožegova

• - KEISTA, keista, keista; keista, keista, keista. 1. Neįprasta, sunkiai paaiškinama, kelianti sumaištį. Keistas kalbėjimo būdas. Keista išvaizda. „Tylūs susitikimai buvo keisti...

  Ušakovo aiškinamasis žodynas

• Efremovos aiškinamasis žodynas

• - keista aš adj. Neįprasta, sukelianti sumaištį. II adj. pasenusi Kelyje; klajojantis, keistas...

  Efremovos aiškinamasis žodynas

• - keistas adj., naudotas. labai dažnai Morfologija: keista, keista, keista, keista; keistesnis; adv. keista 1...

  Dmitrievo aiškinamasis žodynas

• - keista trumpoji forma - "anen, -ann"a, -"...

  Rusų kalbos rašybos žodynas

• – Skolinimasis. iš Art.-Sl. kalba Suf. vedinys iš šalies, reiškiantis „svetima šalis, žmonės“, kitoje rusų kalboje. kalba ši reikšmė vis dar žinoma. Iš pradžių - „svetimas“, „svetimas“, paskui - „nepaprastas, nesuprantamas, ...“

  Rusų kalbos etimologinis žodynas

• - @font-face (šriftų šeima: "ChurchArial"; src: url;) span (šrifto dydis: 17 pikselių; šrifto svoris: normalus !svarbu; šriftų šeima: "ChurchArial",Arial,Serif;)   koreg. - klajojantis, klajoklis; pašalinis, svetimas; nuostabu...

  Bažnytinės slavų kalbos žodynas

• - ...

  Žodžių formos

• - taškas...

  Sinonimų žodynas

„KEISTAS ATRAKTORIUS“ knygose

Keistas skonis

Keistas skonis