Su šia paslauga galite rasti didžiausią ir mažiausia vertė funkcijas vienas kintamasis f(x) su Word formatu suformatuotu sprendimu. Jei duota funkcija f(x,y), tai reikia rasti dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumą. Taip pat galite rasti funkcijų didinimo ir mažėjimo intervalus.
Funkcijų įvedimo taisyklės:
Vieno kintamojo funkcijos ekstremumo būtina sąlyga
Lygtis f" 0 (x *) = 0 yra būtina sąlyga vieno kintamojo funkcijos ekstremumas, t.y. taške x * pirmoji funkcijos išvestinė turi išnykti. Tai pabrėžia stacionarūs taškai x s, kurioje funkcija nedidėja ir nemažėja.Pakankama vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlyga
Tegul f 0 (x) yra du kartus diferencijuojamas x atžvilgiu, priklausantis rinkiniui D. Jei taške x * įvykdoma sąlyga:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Tada taškas x * yra funkcijos lokalaus (pasaulio) minimumo taškas.
Jei taške x * įvykdoma sąlyga:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Tada taškas x * yra vietinis (pasaulinis) maksimumas.
1 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes: segmente.
Sprendimas. 
Kritinis taškas yra vienas x 1 = 2 (f’(x)=0). Šis taškas priklauso segmentui. (Taškas x=0 nėra kritinis, nes 0∉).
Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose ir kritiniame taške.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atsakymas: f min = 5/2, kai x=2; f max = 9 ties x = 1
2 pavyzdys. Naudodami aukštesnės eilės išvestines, raskite funkcijos y=x-2sin(x) ekstremumą.
Sprendimas.
Raskite funkcijos išvestinę: y’=1-2cos(x) . Mes surasime kritinius taškus: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Randame y’’=2sin(x), apskaičiuojame , o tai reiškia, kad x= π / 3 +2πk, k∈Z yra funkcijos minimalūs taškai; 
, o tai reiškia, kad x=- π / 3 +2πk, k∈Z yra didžiausi funkcijos taškai.
3 pavyzdys. Ištirkite ekstremumo funkciją taško x=0 aplinkoje.
Sprendimas. Čia reikia rasti funkcijos kraštutinumą. Jei ekstremumas x=0, tada išsiaiškinkite jo tipą (minimalus arba maksimalus). Jei tarp rastų taškų nėra x = 0, tada apskaičiuokite funkcijos f(x=0) reikšmę.
Reikėtų pažymėti, kad kai išvestinė kiekvienoje duoto taško pusėje nekeičia savo ženklo, galimos situacijos net ir diferencijuojamoms funkcijoms: gali atsitikti taip, kad savavališkai mažam rajonui vienoje taško x 0 pusėje arba abiejose pusėse išvestinė keičia ženklą. Šiuose taškuose būtina naudoti kitus metodus, kad būtų galima ištirti ekstremumo funkcijas.
Funkcijos maksimalaus ir mažiausio taškų paieška yra gana įprasta užduotis matematinė analizė . Kartais reikia kraštutinumų. Daugelis žmonių mano, kad žodis „ekstremumas“ reiškia didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę. Tai nėra visiškai tiesa. Vertė gali būti didžiausia arba mažiausia, bet ne kraštutinė.
Maksimaliai atsitinka vietinis ar pasaulinis. Vietinis maksimalus taškas yra argumentas, kurį pakeitus į f(x), gaunama reikšmė ne mažesnė nei kituose regiono, esančio aplink šį argumentą, taškuose. Maksimaliai pasaulyje šis regionas išplečiamas iki viso regiono pagrįstų argumentų. Kalbant apie minimumą, yra atvirkščiai. Ekstremas yra vietinė kraštutinė – minimali arba maksimali – reikšmė.
Paprastai, jei matematikai domisi globaliausiu puiki vertė f(x), tada intervale, o ne visoje argumento ašyje. Panašios užduotys paprastai suformuluota fraze„rasti maksimalų funkcijos tašką segmente“. Čia numanoma, kad būtina nustatyti argumentą, kuriame jis yra ne mažesnis nei likusioje nurodyto segmento dalyje. Ieškoti vietinis ekstremumas yra vienas iš žingsnių sprendžiant tokią problemą.
Duota y = f(x). Būtina nustatyti funkcijos piką nurodytame segmente. f(x) gali pasiekti jį taške:
- ekstremumas, jei jis patenka į nurodytą segmentą,
- plyšimas,
- ribojant tam tikrą segmentą.
Studijuoti
Atkarpos arba intervalo smailė f(x) randama tiriant šią funkciją. Tyrimo planas, kaip rasti maksimumą segmente (arba intervale):
Dabar pažvelkime į kiekvieną žingsnį išsamiai ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.
Tinkamas argumentų diapazonas
Galiojančių argumentų sritis yra tie x, juos pakeitus į f(x), jis nenustoja egzistuoti Galiojančių argumentų sritis taip pat vadinama apibrėžimo sritimi. Pavyzdžiui, y = x^2 yra apibrėžtas visoje argumento ašyje. Ir y = 1/x yra apibrėžtas visiems argumentams, išskyrus x = 0.
Reikia rasti leistinų argumentų srities ir tiriamo segmento (intervalo) sankirtą, kad būtų pašalinta ta intervalo dalis, kurioje funkcija neapibrėžta. Pavyzdžiui, reikia rasti mažiausią y = 1/x intervale nuo -2 iki 2. Tiesą sakant, reikia išnagrinėti du pusintervalus nuo -2 iki 0 ir nuo 0 iki 2, nes lygtis y = 1/0 neturi sprendimo.
Asimptotės
Asimptotė yra linija, kurią funkcija pasiekia, bet nepasiekia. Jei f(x) egzistuoja visoje skaičių eilutėje ir yra joje ištisinis, tada jis neturi vertikalios asimptotės. Jei jis yra nenutrūkstamas, tada nutrūkimo taškas yra vertikali asimptotė. Jei y = 1/x, asimptotė pateikiama pagal lygtį x = 0. funkcija pasiekia nulį palei argumentų ašį, bet pasieks ją tik verždamasis į begalybę.
Jei tiriamame segmente yra vertikali asimptota, aplink kurią funkcija linkusi į begalybę su pliusu, tada smailė f(x) čia nenustatoma. O jei būtų nustatyta, tai argumentas, kuriame pasiekiamas maksimumas, sutaptų su asimptotės ir argumento ašies susikirtimo tašku.
Darinys ir ekstremumai
Išvestinė yra funkcijų keitimo riba kai argumentas pasikeičia į nulį. Ką tai reiškia? Paimkime nedidelį plotą iš galiojančių argumentų srities ir pažiūrėkime, kaip čia pasikeičia f(x), tada sumažinkime šį plotą iki be galo mažo dydžio, tokiu atveju f(x) pasikeis taip pat, kaip ir kai kurie didesni. paprasta funkcija, kuris vadinamas išvestiniu.
Išvestinės reikšmė tam tikrame taške parodo, kokiu kampu pasirinktame taške eina funkcijos liestinė. Neigiama vertė rodo, kad funkcija čia mažėja. Panašiai teigiama išvestinė rodo f(x) padidėjimą. Tai sukelia dvi sąlygas.
1) Išvestinė ekstremumo taške yra nulis arba neapibrėžta. Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išskirkime y = x^3 ir gausime išvestinę lygtį: y = 3*x^2. Pakeiskite argumentą „0“ į paskutinę lygtį ir išvestinė bus lygi nuliui. Tačiau tai nėra y = x^3 ekstremumas. Jis negali turėti ekstremalių, jis mažėja išilgai visos argumento ašies.
2) Pakanka, kad kertant ekstremumo tašką išvestinė pasikeistų ženklą. Tai yra, f(x) didėja iki maksimumo, o po maksimumo mažėja – išvestinė buvo teigiama, bet tapo neigiama.
Suradus argumentus dėl vietinio maksimumo, jie turi būti pakeisti į pradinė lygtis ir gauti maksimali vertė f(x).
Intervalo pabaiga ir rezultatų palyginimas
Ieškodami segmento maksimumo, turite patikrinti reikšmę segmento galuose. Pavyzdžiui, jei atkarpoje y = 1/x, maksimumas bus taške x = 1. Net jei atkarpos viduje yra vietinis maksimumas, nėra garantijos, kad reikšmė viename iš atkarpos galų nebus didesnis už šį maksimumą.
Dabar turime palyginti vertės lūžio taškuose(jei f(x) čia nelinkęs į begalybę), tiriamo intervalo ir funkcijos ekstremumo galuose. Didžiausia iš šių reikšmių bus maksimali funkcijos tam tikroje linijos atkarpoje.
Jei kyla problemų dėl formuluotės „Rasti minimalų funkcijos tašką“, turite pasirinkti mažiausią iš vietiniai minimumai ir vertės intervalo pabaigoje ir lūžio taškuose.
Vaizdo įrašas
Funkcija ir jos ypatybių tyrimas yra vienas iš pagrindinių skyrių šiuolaikinė matematika. Pagrindinis bet kurios funkcijos komponentas yra grafikai, vaizduojantys ne tik jos savybes, bet ir šios funkcijos išvestinės parametrus. Supraskime šią sudėtingą temą. Taigi koks yra geriausias būdas rasti didžiausius ir mažiausius funkcijos taškus?
Funkcija: apibrėžimas
Bet koks kintamasis, kuris tam tikru būdu priklauso nuo kito dydžio verčių, gali būti vadinamas funkcija. Pavyzdžiui, funkcija f(x 2) yra kvadratinė ir nustato visos aibės x reikšmes. Tarkime, kad x = 9, tada mūsų funkcijos reikšmė bus lygi 9 2 = 81.
Funkcijos skiriasi skirtingų tipų: loginė, vektorinė, logaritminė, trigonometrinė, skaitinė ir kt. Juos tyrinėjo tokie išskirtiniai protai kaip Lacroix, Lagrange, Leibniz ir Bernoulli. Jų darbai tarnauja kaip tvirtovė šiuolaikiniai metodai funkcijų studijavimas. Prieš ieškant minimalių taškų, labai svarbu suprasti pačią funkcijos ir jos išvestinės prasmę.
Darinys ir jos vaidmuo
Visos funkcijos priklauso nuo jų kintamųjų, o tai reiškia, kad jos gali bet kada pakeisti savo reikšmę. Diagramoje tai bus pavaizduota kaip kreivė, kuri krenta arba kyla išilgai ordinačių ašies (tai yra visas „y“ skaičių rinkinys vertikalioje diagramoje). Taigi funkcijos maksimalaus ir mažiausio taškų nustatymas yra tiksliai susijęs su šiais „svyravimais“. Paaiškinkime, kas yra šis ryšys.
Bet kurios funkcijos išvestinė vaizduojama grafiškai, siekiant ištirti pagrindines jos charakteristikas ir apskaičiuoti, kaip greitai funkcija keičiasi (t. y. keičia savo reikšmę priklausomai nuo kintamojo "x"). Tuo momentu, kai funkcija padidės, jos išvestinės grafikas taip pat padidės, tačiau bet kurią sekundę funkcija gali pradėti mažėti, o tada išvestinės grafikas mažės. Tie taškai, kuriuose išvestinė pasikeičia iš minuso ženklo į pliuso ženklą, vadinami minimaliais taškais. Norėdami sužinoti, kaip rasti minimalius taškus, turėtumėte geriau suprasti
Kaip apskaičiuoti išvestinę priemonę?
Apibrėžimas ir funkcijos reiškia keletą sąvokų iš Apskritai patį išvestinės apibrėžimą galima išreikšti taip: tai yra dydis, rodantis funkcijos kitimo greitį.
Matematinis jo nustatymo būdas daugeliui studentų atrodo sudėtingas, tačiau iš tikrųjų viskas yra daug paprasčiau. Jums tereikia vadovautis standartiniu bet kurios funkcijos išvestinės paieškos planu. Žemiau aprašome, kaip galima rasti minimalų funkcijos tašką netaikant diferenciacijos taisyklių ir neįsimenant išvestinių lentelės.
- Funkcijos išvestinę galite apskaičiuoti naudodami grafiką. Norėdami tai padaryti, turite pavaizduoti pačią funkciją, tada paimkite vieną tašką (paveikslėlyje A taškas) nubrėžkite liniją vertikaliai žemyn iki abscisių ašies (taškas x 0), o taške A nubrėžkite liestinę. funkcijos grafikas. X ašis ir liestinė sudaro tam tikrą kampą a. Norėdami apskaičiuoti, kaip greitai funkcija didėja, turite apskaičiuoti šio kampo liestinę a.
- Pasirodo, kampo tarp liestinės ir x ašies krypties liestinė yra funkcijos išvestinė mažame plote su tašku A. Šis metodas skaičiuoja geometriškai išvestiniai apibrėžimai.
Funkcijų tyrimo metodai
IN mokyklos mokymo programa Matematikoje funkcijos mažiausią tašką galima rasti dviem būdais. Mes jau aptarėme pirmąjį metodą naudojant grafiką, bet kaip mes galime nustatyti skaitinė reikšmė išvestinė? Norėdami tai padaryti, turėsite išmokti keletą formulių, kurios apibūdina išvestinės savybes ir padeda konvertuoti kintamiejiįveskite "x" į skaičius. Kitas metodas yra universalus, todėl gali būti taikomas beveik visų tipų funkcijoms (tiek geometrinėms, tiek logaritminėms).
- Būtina prilyginti funkciją išvestinei funkcijai, o tada supaprastinti išraišką naudojant diferenciacijos taisykles.
- Kai kuriais atvejais, kai suteikiama funkcija, kurios kintamasis "x" yra daliklyje, būtina nustatyti sritį priimtinos vertės, neįskaitant iš jo taško „0“ (dėl tos paprastos priežasties, kad matematikoje niekada nereikėtų dalyti iš nulio).
- Po to turėtumėte paversti pradinę funkcijos formą į paprastą lygtį, prilyginant visą išraišką nuliui. Pavyzdžiui, jei funkcija atrodė taip: f(x) = 2x 3 +38x, tai pagal diferenciacijos taisykles jos išvestinė yra lygi f"(x) = 3x 2 +1. Tada šią išraišką transformuojame į tokios formos lygtis: 3x 2 +1 = 0 .
- Išsprendę lygtį ir radę „x“ taškus, turėtumėte juos nubraižyti x ašyje ir nustatyti, ar išvestinė šiose atkarpose tarp pažymėtų taškų yra teigiama, ar neigiama. Po žymėjimo paaiškės, nuo kurio momento funkcija pradeda mažėti, tai yra, keičia ženklą iš minuso į priešingą. Būtent tokiu būdu galite rasti ir minimalų, ir maksimalų balą.
Diferencijavimo taisyklės
Svarbiausias komponentas tiriant funkciją ir jos išvestinę yra diferenciacijos taisyklių žinojimas. Tik su jų pagalba galite paversti sudėtingas išraiškas ir dideles sudėtingos funkcijos. Susipažinkime su jais, jų yra gana daug, bet jie visi labai paprasti dėl natūralių tiek galios, tiek logaritminių funkcijų savybių.
- Bet kurios konstantos išvestinė lygi nuliui (f(x) = 0). Tai yra, išvestinė f(x) = x 5 + x - 160 bus tokia: f" (x) = 5x 4 +1.
- Dviejų terminų sumos išvestinė: (f+w)" = f"w + fw".
- Darinys logaritminė funkcija: (log a d)" = d/ln a*d. Ši formulė taikoma visų tipų logaritmams.
- Laipsnio išvestinė: (x n)"= n*x n-1. Pavyzdžiui, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
- Sinusinės funkcijos išvestinė: (sin a)" = cos a. Jei kampo a sin lygi 0,5, tai jos išvestinė yra √3/2.
Ekstremalūs taškai
Jau aptarėme, kaip rasti minimalius balus, bet yra koncepcija ir funkcijos. Jeigu minimumas žymi tuos taškus, kuriuose funkcija keičiasi iš minuso ženklo į pliusą, tai maksimaliais taškais laikomi tie x ašies taškai, kuriuose funkcijos išvestinė keičiasi iš pliuso į priešingą – minusą.
Galite rasti maksimalius taškus naudodami aukščiau aprašytą metodą, tačiau turėtumėte atsižvelgti į tai, kad jie nurodo tas sritis, kuriose funkcija pradeda mažėti, tai yra, išvestinė bus mažesnė už nulį.
Matematikoje įprasta abi sąvokas apibendrinti, pakeičiant jas fraze „ekstremos taškai“. Kai užduotyje prašoma nustatyti šiuos taškus, tai reiškia, kad reikia apskaičiuoti tam tikros funkcijos išvestinę ir rasti minimalų bei maksimalų taškų skaičių.
prasmė
Didžiausias
prasmė
Mažiausiai
Maksimalus taškas
Minimalus taškas
Ekstremalios funkcijos taškų radimo uždaviniai sprendžiami pagal standartinę schemą 3 žingsniais.
1 veiksmas. Raskite funkcijos išvestinę
- Prisiminkite išvestines formules elementarios funkcijos ir pagrindinės diferenciacijos taisyklės išvestinei rasti.
y′(x)=(x3–243x+19)′=3x2–243.
2 veiksmas. Raskite išvestinės nulius
- Išspręskite gautą lygtį, kad surastumėte išvestinės nulius.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
3 veiksmas. Raskite kraštutinius taškus
- Išvestinės požymiams nustatyti naudokite intervalų metodą;
- Mažiausiame taške išvestinė yra lygi nuliui ir keičia ženklą iš minuso į pliusą, o didžiausiame – iš pliuso į minusą.
Naudokime šį metodą, kad išspręstume šią problemą:
Raskite funkcijos y=x3−243x+19 maksimalų tašką.
1) Raskite išvestinę: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Išspręskite lygtį y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Išvestinė yra teigiama, kai x>9 ir x<−9 и отрицательная при −9 Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę Išspręsti didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimo problemą būtina: Padeda atlikti daugybę užduočių teorema: Jei atkarpoje yra tik vienas ekstremumo taškas ir tai yra mažiausias taškas, tada jame pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė. Jei tai yra didžiausias taškas, tada ten pasiekiama didžiausia vertė. 14. Neapibrėžtinio integralo samprata ir pagrindinės savybės. Jei funkcija f(x X, Ir k– tada skaičius Trumpai tariant: konstantą galima išimti iš integralo ženklo. Jei funkcijos f(x) Ir g(x) intervale yra antidarinių X, Tai Trumpai tariant: sumos integralas lygus integralų sumai. Jei funkcija f(x) intervale turi antidarinį X, tada šio intervalo vidiniams taškams: Trumpai tariant: integralo išvestinė lygi integrandui. Jei funkcija f(x) yra nuolatinis intervale X ir skiriasi vidinius taškusšis intervalas, tada: Trumpai tariant: funkcijos diferencialo integralas yra lygus šiai funkcijai plius integravimo konstanta. Pateiksime griežtą matematinį apibrėžimą neapibrėžto integralo sąvokos. Formos išraiška vadinama funkcijos integralas f(x)
, Kur f(x)
- duota (žinoma) integrando funkcija, dx
- diferencialas x
, su visada esančiu simboliu dx
. Apibrėžimas. Neapibrėžtas integralas vadinama funkcija F(x) + C
, kuriame yra savavališka konstanta C
, kurio skirtumas lygus integrandas išraiška f(x)dx
, t.y. Priminsime, kad - diferencialinė funkcija ir apibrėžiamas taip: Problemos radimas neapibrėžtas integralas yra rasti tokią funkciją išvestinė kuri lygi integrandui. Ši funkcija nustatoma konstantos tikslumu, nes konstantos išvestinė lygi nuliui. Pavyzdžiui, žinoma, kad , tada paaiškėja, kad Problemos radimas neapibrėžtas integralas funkcijos nėra taip paprasta ir lengva, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Daugeliu atvejų reikia turėti įgūdžių dirbti neapibrėžti integralai, turi būti patirtis, kuri ateina su praktika ir nuolatinė sprendžiant neapibrėžtųjų integralų pavyzdžius. Verta atsižvelgti į tai, kad neapibrėžtieji integralai iš kai kurių funkcijų (jų yra gana daug) elementariose funkcijose nepaimtos. 15. Pagrindinių neapibrėžtinių integralų lentelė. Pagrindinės formulės 16. Apibrėžtinis integralas kaip integralo sumos riba. Geometrinė ir fizinė integralo reikšmė. Tegul funkcija y=ƒ(x) yra apibrėžta intervale [a; b], a< b. Выполним следующие действия. 1. Naudojant taškus x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. Kiekviename daliniame atkarpoje , i = 1,2,...,n, pasirinkite savavališką tašką su i є ir apskaičiuokite jame funkcijos reikšmę, ty reikšmę ƒ(su i). 3. Rastą funkcijos ƒ reikšmę (su i) padauginkite iš atitinkamos dalinės atkarpos ilgio ∆x i =x i -x i-1: ƒ (su i) ∆x i. 4. Padarykime visų tokių sandaugų sumą S n: Formos (35.1) suma vadinama funkcijos y = ƒ(x) integralia suma intervale [a; b]. Pažymime λ didžiausios dalinės atkarpos ilgį: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Raskime integralinės sumos (35.1) ribą, kai n → ∞, kad λ→0. Jei šiuo atveju integralioji suma S n turi ribą I, kuri nepriklauso nuo atkarpos skaidymo būdo [a; b] ant dalinių atkarpų, nei apie taškų pasirinkimą juose, tada skaičius I vadinamas funkcijos y = ƒ(x) apibrėžtuoju integralu atkarpoje [a; b] ir žymimas taip, Skaičiai a ir b vadinami atitinkamai apatine ir viršutine integravimo ribomis, ƒ(x) – integrando funkcija, ƒ(x) dx – integrandu, x – integravimo kintamuoju, atkarpa [a; b] – integracijos sritis (segmentas). Funkcija y=ƒ(x), kuriai intervale [a; b] šiame intervale yra apibrėžtas integralas, vadinamas integraliuoju. Dabar suformuluosime apibrėžtojo integralo egzistavimo teoremą. 35.1 teorema (Koši). Jei funkcija y = ƒ(x) yra tolydi intervale [a; b], tada apibrėžtasis integralas Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos tęstinumas yra pakankama jos integralumo sąlyga. Tačiau apibrėžtas integralas gali egzistuoti ir kai kurioms nepertraukiamoms funkcijoms, ypač bet kuriai funkcijai, apribotai intervalu, kuriame yra baigtinis skaičius nenutrūkstamų taškų. Nurodykime kai kurias apibrėžtojo integralo savybes, kurios tiesiogiai išplaukia iš jo apibrėžimo (35.2). 1. Apibrėžiamasis integralas nepriklauso nuo integravimo kintamojo pavadinimo: Tai išplaukia iš to, kad integralioji suma (35.1), taigi ir jos riba (35.2), nepriklauso nuo to, kokia raide žymimas tam tikros funkcijos argumentas. 2. Apibrėžtinis integralas su tomis pačiomis integravimo ribomis lygus nuliui: 3. Bet kuriam realiajam skaičiui c. 17. Niutono-Leibnizo formulė. Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės. Tegul funkcija y = f(x) ištisinis segmente
Ir F(x) yra vienas iš šio segmento funkcijos antidarinių Niutono-Leibnizo formulė: Niutono-Leibnizo formulė vadinama pagrindinė integralinio skaičiavimo formulė. Norint įrodyti Niutono-Leibnizo formulę, mums reikia integralo su kintamąja viršutine riba sąvokos. Jei funkcija y = f(x) ištisinis segmente
, tada argumentui formos integralas yra viršutinės ribos funkcija. Pažymime šią funkciją Iš tiesų, užrašykime funkcijos prieaugį, atitinkantį argumento prieaugį, ir naudokime penktąją apibrėžtojo integralo savybę bei dešimtosios savybės pasekmę: Perrašykime šią lygybę į formą Paskaičiuokime F(a), naudojant pirmąją apibrėžtojo integralo savybę: Funkcijos padidėjimas paprastai žymimas kaip Norint pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę, mums pakanka žinoti vieną iš antidarinių y=F(x) integrand funkcija y=f(x) segmente
ir apskaičiuokite šio antidarinio prieaugį šiame segmente. Straipsnyje integravimo metodai aptariami pagrindiniai antidarinio radimo būdai. Pateikiame kelis apibrėžtųjų integralų skaičiavimo pavyzdžius, naudojant Niutono-Leibnizo formulę, kad paaiškintume. Pavyzdys. Apskaičiuokite apibrėžtojo integralo reikšmę naudodami Niutono-Leibnizo formulę. Sprendimas. Pirmiausia pažymime, kad integrandas yra tęstinis intervale
, todėl jame galima integruoti. (Apie integruojamas funkcijas kalbėjome skyriuje apie funkcijas, kurioms yra apibrėžtas integralas). Iš neapibrėžtų integralų lentelės aišku, kad funkcijai antidarinių rinkinys visoms tikrosioms argumento reikšmėms (taigi ir už ) parašytas kaip Dabar belieka naudoti Niutono-Leibnizo formulę apibrėžtajam integralui apskaičiuoti: 18. Apibrėžtinio integralo geometriniai taikymai. DEterminuoto INTEGRALO GEOMETRINIS TAIKYMAS Kūno tūrio skaičiavimas Kūno tūrio apskaičiavimas iš žinomų lygiagrečių pjūvių plotų: Sukimosi kūno tūris: ; . 1 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį tiesiomis linijomis riboja kreivė y=sinx Sprendimas: Figūros ploto radimas: 2 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą Sprendimas: Raskime šių funkcijų grafikų susikirtimo taškų abscises. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą Iš čia randame x 1 = 0, x 2 = 2,5. 19. Diferencialinio valdymo samprata. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Diferencialinė lygtis- lygtis, jungianti funkcijos išvestinės reikšmę su pačia funkcija, nepriklausomo kintamojo reikšmėmis ir skaičiais (parametrais). Į lygtį įtrauktų išvestinių eilės tvarka gali būti skirtinga (formaliai ji niekuo neribojama). Išvestinės išvestinės, funkcijos, nepriklausomi kintamieji ir parametrai gali būti lygtyje įvairiais deriniais arba gali nebūti visų išvestinių, išskyrus vieną. Ne kiekviena lygtis, turinti nežinomos funkcijos išvestinius, yra diferencialinė lygtis. Pavyzdžiui, Dalinės diferencialinės lygtys(PDF) yra lygtys, kuriose yra nežinomų kelių kintamųjų funkcijų ir jų dalinių išvestinių. Bendra tokių lygčių forma gali būti pavaizduota taip: kur yra nepriklausomi kintamieji ir yra šių kintamųjų funkcija. Dalinių diferencialinių lygčių eiliškumą galima nustatyti taip pat, kaip ir įprastų diferencialinių lygčių atveju. Kita svarbi dalinių diferencialinių lygčių klasifikacija yra jų skirstymas į elipsinių, parabolinių ir hiperbolinių tipų lygtis, ypač antros eilės lygtims. Galima suskirstyti įprastąsias diferencialines lygtis ir dalines diferencialines lygtis linijinis Ir netiesinis. Diferencialinė lygtis yra tiesinė, jei nežinoma funkcija ir jos išvestinės į lygtį patenka tik iki pirmojo laipsnio (ir nėra dauginamos viena su kita). Tokioms lygtims sprendiniai sudaro afininę funkcijų erdvės poerdvę. Tiesinių diferencialinių lygčių teorija išplėtota daug giliau nei netiesinių lygčių teorija. Bendras tiesinės diferencialinės lygties vaizdas n- užsakymas: Kur p i(x) yra žinomos nepriklausomo kintamojo funkcijos, vadinamos lygties koeficientais. Funkcija r(x) dešinėje pusėje vadinamas laisvas narys(vienintelis terminas, kuris nepriklauso nuo nežinomos funkcijos) Svarbi konkreti tiesinių lygčių klasė yra tiesinės diferencialinės lygtys su pastovūs koeficientai. Tiesinių lygčių poklasis yra vienalytis diferencialinės lygtys - lygtys, kuriose nėra laisvo termino: r(x) = 0. Vienarūšėms diferencialinėms lygtims galioja superpozicijos principas: tiesinis tokios lygties dalinių sprendinių derinys bus ir jos sprendimas. Visos kitos tiesinės diferencialinės lygtys vadinamos nevienalytis diferencialines lygtis. Netiesinės diferencialinės lygtys bendruoju atveju neturi sukurtų sprendimo metodų, išskyrus kai kurias specialiąsias klases. Kai kuriais atvejais (naudojant tam tikrus aproksimacijas) juos galima sumažinti iki tiesinių. Pavyzdžiui, harmoninio osciliatoriaus tiesinė lygtis · - antros eilės homogeninė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Sprendimas yra funkcijų šeima , kur ir yra savavališkos konstantos, kurios konkrečiam sprendimui nustatomos iš atskirai nurodytų pradinių sąlygų. Ši lygtis visų pirma apibūdina harmoninio osciliatoriaus, kurio ciklinis dažnis yra 3, judėjimą. · Antrasis Niutono dėsnis gali būti parašytas diferencialinės lygties forma · Besselio diferencialinė lygtis yra įprasta tiesinė homogeninė antros eilės lygtis su kintamaisiais koeficientais: jos sprendiniai yra Beselio funkcijos. · Nehomogeninės netiesinės paprastosios 1 eilės diferencialinės lygties pavyzdys: Kitoje pavyzdžių grupėje yra nežinoma funkcija u priklauso nuo dviejų kintamųjų x Ir t arba x Ir y. · Pirmos eilės vienalytė tiesinė dalinė diferencialinė lygtis: · Vienmatė bangų lygtis – vienalytė tiesinė lygtis dalinėse antros eilės hiperbolinio tipo išvestinėse su pastoviais koeficientais, apibūdina eilutės svyravimą, jei – eilutės įlinkį taške su koordinate x tam tikru momentu t, ir parametras a nustato eilutės savybes: · Laplaso lygtis dvimatėje erdvėje yra vienalytė tiesinė dalinė elipsinio tipo diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais, kylanti daugelyje fizikinių mechanikos, šilumos laidumo, elektrostatikos, hidraulikos problemų: · Korteweg-de Vries lygtis, trečios eilės netiesinė dalinė diferencialinė lygtis, apibūdinanti stacionarias netiesines bangas, įskaitant solitonus: 20. Taikomos diferencialinės lygtys su atskirtomis. Tiesinės lygtys ir Bernulio metodas. Pirmosios eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra lygtis, kuri yra tiesinė nežinomos funkcijos ir jos išvestinės atžvilgiu. Atrodo
arba 
Funkcija vadinama antiderivatinė funkcija. Funkcijos antiderivatinė nustatoma iki pastovios reikšmės.
, čia yra savavališka konstanta.
.
, ir ši funkcija yra nuolatinė ir lygybė yra teisinga 
.
Kur.
. Jei prisiminsime funkcijos išvestinės apibrėžimą ir pereisime prie ribos ties , gausime . Tai yra, tai yra vienas iš funkcijos antidarinių y = f(x) segmente
. Taigi, visų antidarinių rinkinys F(x) galima parašyti kaip 
, Kur SU– savavališka konstanta.
, vadinasi,. Skaičiuodami naudosime šį rezultatą F(b): , tai yra 
. Ši lygybė suteikia įrodomą Niutono-Leibnizo formulę .
. Naudojant šį žymėjimą, Niutono-Leibnizo formulė įgauna formą 
.
. Paimkime antidarinį C=0: .
.Stačiakampis S.K. Funkcija nurodyta parametriškai Polyarnaya S.K.
Plokštumos figūrų plotų skaičiavimas
Plokštumos kreivės lanko ilgio apskaičiavimas
Apsisukimo paviršiaus ploto apskaičiavimas
nėra diferencialinė lygtis.
gali būti laikomas matematinės švytuoklės netiesinės lygties aproksimacija 
mažos amplitudės atveju, kai y≈ nuodėmė y.
Kur m- kūno svoris, x- jos koordinatės, F(x, t) – jėga, veikianti kūną su koordinatėmis x tam tikru momentu t. Jo sprendimas yra kūno trajektorija veikiant nurodytai jėgai.
