Kampas tarp plokštumų, geometrinis metodas.

„Koordinačių sistema plokštumoje“ - Hiparchas. Koks yra temos vaidmuo matematikos kurse ir susijusios disciplinos? Ptolemėjas. Kaip vadinama koordinačių sistema? Kokius koordinačių sistemų tipus žinote? Kaip nubraižyti tašką su nurodytos koordinatėsįjungta koordinačių plokštuma? Ar esate susipažinęs su koordinačių atsiradimo istorija? Kaip nustatyti taško koordinates koordinačių plokštumoje?

„Plokštumos koordinatės“ – Ox ašis – abscisė x. Naudodami koordinačių tinklelį, pilotai ir jūreiviai nustato objektų vietą. Oy ašis yra y ordinatė. Žaidžiant šachmatais naudojamas ir koordinačių metodas. Visiems mūsų klasės mokiniams patiko piešti piešinius. Stačiakampį tinklelį naudojo ir Renesanso menininkai.

"Kuba" - Kubos teritorija - 111 tūkstančių km?. Kai kurias sritis užima augmenija, panaši į žolines savanas. Kalvos ir kalnai užima apie trečdalį teritorijos. Paviršiniai vandenys. Bankų sektorius stiprėja. Vidutinė metinė temperatūra yra 25,5 °C. Didelis užsienio valiutos trūkumas. Temperatūra paviršiniai vandenys prie kranto žiemą 22-24 °C, vasarą - 28-30 °C.

„Vektoriai lėktuve“ - Analitinė geometrija. 2 uždavinys. Erdvėje pateikti taškas ir vektorius. Apsvarstykite dabartinį tašką, kuriame tiesioginis vektorius yra plokštumoje. Tiesės lygties tyrimas. Plokštumos, einančios per tašką, lygiagretų dviem vektoriams, lygtis. Normalus vektorius – vektorius, statmenai plokštumai. Jei parametrą t neįtrauksime iš parametrinė lygtis, tada gauname kanoninė lygtis tiesioginis.

„Plokštumos uždaviniai“ - Užduotis Nr. 3. Užduotis Nr. 4. Užduočių sprendimo plano sudarymas. Aukščio nuosavybė stačiakampis trikampis, pritrauktas prie hipotenuzės. Šiek tiek teorijos. Suformuluokite dviejų plokštumų statmenumo ženklą. Testas „statmenumas“. Problemų sprendimas naudojant paruoštus brėžinius. Liestinės ir spindulio, nubrėžto iki sąlyčio taško, savybė.

„Smailaus kampo sinuso tangentas“ – apsvarstykite stačiakampį trikampis ABC: ?A=30°, ?B=60°. Trigonometrinės tapatybės. 30° kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmės. Pagal Pitagoro teoremą AB2 = AC2+ BC2 = 2 AC2 = 2 BC2, todėl kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmės yra 60°. Apsvarstykite lygiašonį stačiakampį trikampį ABC: AC=BC, ?A=45°, ?B=45°.

Šis straipsnis yra apie kampą tarp plokštumų ir kaip jį rasti. Pirma, pateikiamas kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas ir pateikiama grafinė iliustracija. Po to analizuojamas kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo koordinačių metodu principas ir gaunama formulė, leidžianti apskaičiuoti kampą tarp susikertančių plokštumų naudojant žinomas šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates. Pabaigoje parodyta detalūs sprendimai būdingos užduotys.

Puslapio naršymas.

Kampas tarp plokštumų – apibrėžimas.

Pateiksime argumentus, kurie leis palaipsniui priartėti prie kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo.

Leiskite mums pateikti dvi susikertančias plokštumas ir . Šios plokštumos susikerta išilgai tiesės, kurią žymime raide c. Sukonstruokime plokštumą, einančią per tiesės c tašką M ir statmeną tiesei c. Tokiu atveju plokštuma susikirs su plokštumais ir. Tiesę, išilgai kurios plokštumos susikerta, pažymėkime kaip a, o tiesę, išilgai kurios plokštumos susikerta, kaip b. Akivaizdu, kad tiesės a ir b susikerta taške M.

Nesunku parodyti, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b nepriklauso nuo taško M vietos tiesėje c, per kurią eina plokštuma.

Sukonstruokime plokštumą, statmeną tiesei c ir skirtingą nuo plokštumos. Plokštumą kerta plokštumos ir išilgai tiesių linijų, kurias atitinkamai žymime kaip a 1 ir b 1.

Iš plokštumų konstravimo metodo išplaukia, kad tiesės a ir b yra statmenos tiesei c, o tiesės a 1 ir b 1 yra statmenos tiesei c. Kadangi tiesės a ir a 1 yra toje pačioje plokštumoje ir yra statmenos tiesei c, tada jos yra lygiagrečios. Panašiai tiesės b ir b 1 yra toje pačioje plokštumoje ir yra statmenos tiesei c, todėl yra lygiagrečios. Taigi galite padaryti lygiagretus perdavimas plokštuma su plokštuma, kurioje tiesė a 1 sutampa su tiese a, o tiesė b su tiese b 1. Todėl kampas tarp dviejų susikertančių tiesių a 1 ir b 1 lygus kampui tarp susikertančių tiesių a ir b.

Tai įrodo, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b, esančių susikertančiose plokštumose, nepriklauso nuo taško M, per kurį eina plokštuma, pasirinkimo. Todėl logiška šį kampą laikyti kampu tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Dabar galite išreikšti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir.

Apibrėžimas.

Kampas tarp dviejų plokštumų, susikertančių tiesia linija ir- tai kampas tarp dviejų susikertančių tiesių a ir b, išilgai kurių plokštumos ir susikerta su plokštuma, statmena tiesei c.

Kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas gali būti pateiktas šiek tiek kitaip. Jei tiesėje c, išilgai kurios plokštumos ir susikerta, pažymėkite tašką M ir per jį nubrėžkite tieses a ir b, statmenas tiesei c ir gulinčias atitinkamai plokštumose, tada kampas tarp tiesių a ir b yra kampas tarp plokštumų ir. Dažniausiai praktikoje atliekamos būtent tokios konstrukcijos, kad būtų gautas kampas tarp plokštumų.

Kadangi kampas tarp susikertančių linijų neviršija , iš nurodyto apibrėžimo matyti, kad laipsnio matas išreiškiamas kampas tarp dviejų susikertančių plokštumų realus skaičius iš intervalo . Šiuo atveju vadinamos susikertančios plokštumos statmenai, jei kampas tarp jų yra devyniasdešimt laipsnių. Kampas tarp lygiagrečios plokštumos arba jie jo visai nenustato, arba laiko lygų nuliui.

Kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymas.

Paprastai, ieškant kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų, pirmiausia reikia padaryti papildomos konstrukcijos pamatyti susikertančias linijas, kurių kampas yra lygus norimam kampui, o tada susieti šį kampą su pradiniais duomenimis naudojant lygybės ženklus, panašumo ženklus, kosinuso teoremą arba kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimus. Geometrijos eigoje vidurinę mokyklą kyla panašių problemų.

Kaip pavyzdį pateikiame 2012 m. Vieningo valstybinio matematikos egzamino C2 uždavinio sprendimą (sąlyga buvo tyčia pakeista, bet tai neturi įtakos sprendimo principui). Jame tereikėjo rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Pirma, padarykime piešinį.

Atlikime papildomas konstrukcijas, kad „pamatytų“ kampas tarp plokštumų.

Pirmiausia apibrėžkime tiesę, išilgai kurios susikerta plokštumos ABC ir BED 1. Taškas B yra vienas iš jų bendrų taškų. Raskime antrą bendrą šių plokštumų tašką. Tiesės DA ir D 1 E yra toje pačioje plokštumoje ADD 1 ir nėra lygiagrečios, todėl susikerta. Kita vertus, tiesė DA yra plokštumoje ABC, o tiesė D 1 E - plokštumoje BED 1, todėl tiesių DA ir D 1 E susikirtimo taškas bus bendras taškas lėktuvai ABC ir BED 1. Taigi, tęskime eilutes DA ir D 1 E iki jų sankirtos, pažymėdami jų susikirtimo tašką su raide F. Tada BF yra tiesi linija, išilgai kurios susikerta plokštumos ABC ir BED 1.

Belieka sukonstruoti dvi tieses, esančias atitinkamai plokštumose ABC ir BED 1, einančias per vieną tašką tiesėje BF ir statmenas tiesei BF - kampas tarp šių linijų pagal apibrėžimą bus lygus norimam kampui tarp ABC lėktuvai ir 1 lova. Padarykime tai.

Taškas A yra taško E projekcija į plokštumą ABC. Nubrėžkime tiesę, kertančią tiesę BF stačiu kampu taške M. Tada tiesė AM yra tiesės EM projekcija į plokštumą ABC ir pagal trijų statmenų teoremą.

Taigi reikalingas kampas tarp plokštumų ABC ir BED 1 lygus .

Šio kampo (taigi ir paties kampo) sinusą, kosinusą arba liestinę galime nustatyti iš stačiojo trikampio AEM, jei žinome jo dviejų kraštinių ilgius. Iš sąlygos nesunku rasti ilgį AE: kadangi taškas E dalija kraštinę AA 1 santykiu 4 su 3, skaičiuojant nuo taško A, o kraštinės AA 1 ilgis yra 7, tai AE = 4. Raskime ilgį AM.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačią trikampį ABF su stačiu kampu A, kur AM yra aukštis. Pagal sąlygą AB = 2. Kraštinės AF ilgį galime rasti pagal stačiųjų trikampių DD 1 F ir AEF panašumą:

Naudodami Pitagoro teoremą randame iš trikampio ABF. Ilgį AM randame per trikampio ABF plotą: vienoje pusėje trikampio ABF plotas lygus , kitoje pusėje , kur .

Taigi iš dešiniojo trikampio AEM turime .

Tada reikalingas kampas tarp plokštumų ABC ir BED 1 yra lygus (atkreipkite dėmesį, kad ).

Atsakymas:

Kai kuriais atvejais norint rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų, patogu nustatyti Oxyz ir naudoti koordinačių metodą. Sustokime čia.

Iškelkime užduotį: raskite kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir . Norimą kampą pažymėkime kaip .

Darysime prielaidą, kad duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz žinome susikertančių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates ir arba turime galimybę jas rasti. Leiskite yra normalusis plokštumos vektorius, ir yra normalusis plokštumos vektorius. Parodysime, kaip rasti kampą tarp susikertančių plokštumų ir per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates.

Tiesią liniją, išilgai kurios plokštumos ir susikerta, pažymėkime kaip c. Per tašką M tiesėje c nubrėžiame tiesei c statmeną plokštumą. Plokštuma kerta plokštumas ir išilgai tiesių a ir b atitinkamai tiesės a ir b susikerta taške M. Pagal apibrėžimą kampas tarp susikertančių plokštumų ir yra lygus kampui tarp susikertančių tiesių a ir b.

Nubraižykime normaliuosius vektorius ir plokštumas bei nuo taško M plokštumoje. Šiuo atveju vektorius yra ant tiesės, kuri yra statmena tiesei a, o vektorius yra ant tiesės, kuri yra statmena tiesei b. Taigi plokštumoje vektorius yra normalusis tiesės a vektorius, yra tiesės b normalusis vektorius.

Straipsnyje apie kampą tarp susikertančių tiesių gavome formulę, kuri leidžia apskaičiuoti kampo tarp susikertančių tiesių kosinusą naudojant normaliųjų vektorių koordinates. Taigi kampo tarp tiesių a ir b kosinusas ir, atitinkamai, kampo tarp susikertančių plokštumų kosinusas ir randama pagal formulę, kur Ir yra plokštumų ir atitinkamai normalieji vektoriai. Tada jis apskaičiuojamas kaip .

Išspręskime ankstesnį pavyzdį naudodami koordinačių metodą.

Pavyzdys.

Duotas stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kuriame AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ir taškas E dalija kraštinę AA 1 santykiu nuo 4 iki 3, skaičiuojant nuo taško A. Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir BED 1.

Sprendimas.

Kadangi stačiakampio gretasienio kraštinės vienoje viršūnėje yra poromis statmenos, patogu įvesti stačiakampė sistema koordinuoja Oxyz taip: pradžia lygiuojama su viršūne C, ir koordinačių ašys Ox, Oy ir Oz yra nukreipti atitinkamai į šonus CD, CB ir CC 1.

Kampą tarp ABC ir BED 1 plokštumų galima rasti per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates, naudojant formulę , kur ir yra atitinkamai ABC ir BED 1 plokštumų normalieji vektoriai. Nustatykime normaliųjų vektorių koordinates.

1. Kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 taškai E ir F yra atitinkamai kraštinių A 1 B 1 ir A 1 D 1 vidurio taškai. Raskite kampo tarp plokštumų AEF ir BDD 1 liestinę.
   Sprendimas [, 205Kb].
2. Duotas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Raskite kampą tarp plokštumų AB 1 D 1 ir ACD 1.
   Sprendimas [, 150Kb].
3. Dažnai konstruodama piešinį patiriu diskomfortą, trikampių nesimato. Juodraštyje pradedu „apversti“ daugiakampį ir pasirenku sėkmingiausią kampą. Taip atsitiko sprendžiant šią problemą...
   Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 raskite kampo tarp plokštumų BA 1 C 1 ir BAD 1 sinusą.
   Sprendimas [, 165Kb].
4. Dešinėje keturkampė prizmė ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 su pagrindo kraštine 12 ir aukščiu 21, taškas M imamas briaunoje AA 1 taip, kad AM=8. Krašte BB 1 imamas taškas K taip, kad KB 1 =8. Raskite kampą tarp plokštumos D 1 MK ir plokštumos CC 1 D 1.
   Sprendimas [, 350Kb].
5. Taisyklingoje keturkampėje prizmėje ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kurios pagrindo kraštinė yra 4 ir aukštis 7, taškas M paimamas ant briaunos AA 1, kad AM = 2. Kraštinėje BB 1 imamas taškas K taip, kad KB 1 = 2. Raskite kampą tarp plokštumos D 1 MK ir plokštumos CC 1 D 1.
6. Taisyklingoje keturkampėje prizmėje ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pagrindo kraštinės lygios 2, o šoninės briaunos lygios 5. Kraštinėje AA 1 pažymėtas taškas E, kad AE: EA 1 = 3: 2. Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir BED 1 .
   Sprendimas [, 304Kb], koordinačių metodas [, 180Kb].
7. Tiesios prizmės ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pagrindas yra rombas, kurio kraštinė 2 ir kampas B lygus 120 0. Raskite kampą, kurį plokštuma ABD 1 sudaro su prizmės pagrindu, jei žinoma, kad atstumas tarp tiesių AC ir B 1 D 1 lygus 4.
   Sprendimas [, 145Kb].
8. Taisyklingosios trikampės prizmės ABCA 1 B 1 C 1 pagrindo kraštinė lygi 2, o šoninės pusės įstrižainė lygi . Raskite kampą tarp plokštumos A 1 BC ir prizmės pagrindo plokštumos.
   Brėžinys [, 18.2Kb], sprendimas.
9. Dešinėje trikampė prizmė ABCA 1 B 1 C 1 pagrindo kraštinės lygios 3, o šoninės briaunos lygios 1. Taškas D – briaunos CC 1 vidurys. Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir ADB 1.
   Sprendimas [, 180Kb].
10. Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos briaunos lygios 1, raskite kampą tarp plokštumų ACB 1 ir A 1 C 1 B.
    Sprendimas [, 267Kb].
    
11. Tiesios prizmės ABCA 1 B 1 C 1 pagrindas yra trikampis ABC, kurio plotas lygus 12, AB = 5. Prizmės šoninė briauna lygi 36. Raskite kampo tarp plokštumų ABC 1 liestinę ir ABC.
    Sprendimas [, 162Kb].
12. Dešiniosios prizmės ABCA 1 B 1 C 1 pagrindas yra lygiašonis trikampis ABC, kuriame CB=CA=5, BA=6. Prizmės aukštis lygus 24. Taškas M – briaunos AA 1 vidurys, taškas K – briaunos BB 1 vidurys. Raskite kampą tarp MKS 1 plokštumų ir prizmės pagrindo plokštumos.
    Sprendimas [, 151Kb].
13. IN stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kuriai AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, raskite kampo tarp plokštumų ACD 1 ir A 1 B 1 C 1 liestinę.
    Sprendimas [, 239Kb].
14. Stačiakampiame gretasienyje ABCDA 1 B 1 C 1 D, kuriame AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, raskite kampo tarp plokštumų ACD 1 ir A 1 B 1 C 1 liestinę.
15. Stačiakampiame gretasienyje ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kuriame AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, raskite kampo tarp plokštumų CDD 1 ir BDA 1 liestinę.
    Sprendimas [, 105Kb].
16. Stačiakampio gretasienio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 taškas N yra kraštinės CD vidurys, AB = 3, BC = 2, BB 1 = 2. Raskite kampą tarp plokštumų AB 1 N ir ABC.
    Sprendimas [, 256Kb].
17. Stačiakampio gretasienio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 taške M yra briaunos vidurys B 1 C 1, AB = 3, BC = 4, BB 1 = 2. Raskite kampą tarp plokštumų BMD ir ABC.
    Sprendimas [, 188Kb].
18. Duotas stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, briaunų ilgiai AB = 2, AD = AA 1 = 1. Raskite kampą tarp plokštumų CD 1 B 1 ir CDA 1.
    Sprendimas [, 174Kb], koordinačių metodas [, 210Kb].
19. Stačiakampiame gretasienyje ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB=AA 1 =4, AD=3. Raskite kampo, kurį sudaro plokštuma ACB 1 su paviršiumi CDD 1 C 1, liestinę.
    Sprendimas [, 168Kb].
20. Stačiakampio gretasienio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 briaunos AB = 8, AD = 6, CC 1 = 5 žinomos. Raskite kampą tarp plokštumų BDD 1 ir AD 1 B 1.
    Sprendimas [, 185Kb].
21. Stačiakampio gretasienio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 briaunos AB = 5, AD = 12, CC 1 = 15 Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir A 1 DB.
    Sprendimas [, 190Kb].
22. Dešinėje šešiakampė prizmė ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, kurio visos briaunos lygios 1, per viršūnes A, E ir D 1 nubrėžta plokštuma. Rasti dvikampis kampas(laipsniais) tarp šios plokštumos ir prizmės pagrindo plokštumos.
    Sprendimas [, 107Kb].
23. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD su viršūne S visos briaunos yra lygios viena kitai. Taškas M yra SC briaunos vidurys. Raskite kampą tarp ADM plokštumos ir pagrindinės plokštumos.
    Sprendimas [, 208Kb], kitas brėžinys
24. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD su viršūne S šoninės briaunos yra dvigubai ilgesnės už pagrindo kraštines. Taškas M yra SC krašto vidurys. Raskite kampą tarp ADM plokštumos ir pagrindinės plokštumos.
    Sprendimas
25. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD su pagrindu ABCD pagrindo kraštinė yra 3 ir šoninis šonkaulis yra 5. Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir ACM, kur taškas M padalija kraštą BS taip, kad BM: MS = 2:1.
    Sprendimas [, 167 Kb]
26. Taisyklingos keturkampės piramidės SABCD, kurios pagrindas ABCD, pagrindo kraštinė yra 6, o šoninė briauna yra 10. Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir ACM, kur taškas M padalija kraštą BS taip, kad BM:MS = 2:1.
27. Prie bazės keturkampė piramidė SABCD yra kvadratinis ABCD su kraštine . Visų šoninių briaunų ilgiai lygūs 3, taškas M – briaunos AS vidurys. Per tiesę BM nubrėžta plokštuma, lygiagreti įstrižai AC. Nustatykite vertę aštrus kampas(laipsniais) tarp šios plokštumos ir SAC plokštumos.
    Sprendimas [