Vektoriaus potencialas magnetinis laukas.

Iš Gauso teoremos už vektorinis laukas V diferencinė forma Iš to išplaukia, kad laukas gali būti pavaizduotas kaip pagalbinio vektoriaus lauko, vadinamo vektoriaus potencialu, rotorius:

nes . Atkreipkite dėmesį, kad aprašyta galimybė taip pat pasireiškia analizuojant Biot-Savart-Laplace dėsnį (2 lygtis iš 6.1 skirsnio), atsižvelgiant į 6.4 skirsnio (7) ryšį. Tai natūralu, nes Gauso teorema dėl magnetinės indukcijos vektorinio lauko yra Bioto-Savarto-Laplaso dėsnio pasekmė. Fizinė reikšmė magnetostatikoje priskiriama vektoriniam laukui, todėl vektoriaus potencialas, paprastai tariant, apibrėžiamas iki bet kurios skaliarinės funkcijos gradiento. Tikrai, jei , kur yra skaliarinis laukas ir , tada turime: , tai yra , nes . Savavališkumas nustatant vektoriaus potencialą gali būti panaudotas papildomai reikalaujant įvykdyti sąlygą

Sąlyga (2) vadinama „magnetinio lauko vektorinio potencialo Kulono matuokliu“. Sąlyga (2) sukelia toli siekiančių pasekmių, todėl labai svarbus klausimas, ar visais atvejais magnetinis laukas turi nurodytas savybes. Tegul sąlyga būna patenkinta

, .

Mes reikalaujame, kad būtų įvykdyta (2) sąlyga:

Norimai skaliarinei funkcijai Puasono lygtis su žinoma dešinioji pusė. Jei laikysime jį beribėje erdvėje ir naudosime vienalytę pasienio sąlygos pirmos rūšies begalybėje norimai funkcijai, tada pagal analogiją su vienu iš pagrindinių elektrostatikos rezultatų

galima užsirašyti

.

Taigi parodyta, kad vektoriaus potencialo Kulono kalibravimas yra įmanomas magnetostatinėmis sąlygomis. Ji praktinis naudojimas reikalauja tam tikro atsargumo: jei naudojamas vektoriaus potencialo Kulono kalibravimas, būtina nuosekliai atsekti jo įgyvendinimą visuose matematiniuose problemos santykiuose, kurie apibūdina realią fizinę situaciją.

Iš Bioto – Savarto – Laplaso dėsnio ir 6.1 skirsnio santykio (4) matyti, kad magnetinis laukas, suformuotas atskiro taško elektros krūvio, judančio su pastovus greitis, turi tokią formą:

. (2)

Čia yra momentinės elektros krūvio padėties spindulio vektorius, yra spindulio vektorius savavališkas taškas erdvė, skirtumas yra vektorius, nubrėžtas nuo vektoriaus galo (t. y. nuo taško, kuriame yra krūvis) iki vektoriaus galo (t. y. iki aprašyto erdvės taško).

Tokio lauko vektorinį potencialą galima apibūdinti išraiška:

. (3)

Šiuolaikinėje magnetostatikoje nėra išraiškos (3) išvedimo metodo, tereikia jį atspėti, bet galite patikrinti:

Skaitytojui primename, kad operacija pūti santykiuose (4) įvykdoma neparengtiems kintamiesiems, t.y. pagal savavališko erdvės taško koordinates. Lyginant vektoriaus potencialo išraišką (3) ir skaliarinio potencialo išraišką elektrostatinis laukas atskiro taško elektros krūvis

, (5)

gauname priklausomybę:

. (6)

Priklausomybė (6) yra gili fizinę reikšmę: elektrostatika ir magnetostatika yra tarpusavyje sujungtos, nereikėtų manyti, kad jos yra visiškai nepriklausomos viena nuo kitos.

Iš (5) ir (3) santykių galime gauti:

, (7)

, (8)

kur yra elektros krūvio tūrio tankis, yra vektorius tūrinis tankis srovė, - tūrio elementas, - atstumas tarp tūrio elemento ir stebėjimo taško. Jei elektros srovė teka plonu laidininku, lenktos linijos elementas su srove sukuria vektoriaus potencialo elementą supančioje erdvėje (1 pav.).

Kuris lygus duotam vektoriniam laukui.

Formaliai, jei v- vektorinis laukas, vektoriaus potencialas vadinamas vektoriniu lauku A toks kad

$\backslash mathbf(v)\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf(A).$

Jeigu A yra lauko vektorinis potencialas v, tada nuo tapatybės

$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf(A))\; =\; 0$

Bet kuriam solenoidiniam vektoriniam laukui, kuris tenkina tam tikras sąlygas, yra vektoriaus potencialas. Visų pirma, jo egzistavimas priklauso nuo regiono, kuriame laukas apibrėžiamas - jei regionas yra daug sujungtas, potencialas sūkurio laukas paprastai neegzistuoja.

Teorema

$\backslash mathbf(v)\; :\; \backslash mathbb\; R^3\; \backslash į\; \backslash mathbb\; R^3$

Dviprasmiškumas renkantis potencialą

Solenoidinio vektoriaus lauko vektorinis potencialas nustatomas nevienareikšmiškai. Jeigu A yra vektoriaus potencialas v, taip pat yra

$\backslash mathbf(A)\; +\; \backslash nabla\; m$

Kur m- bet koks nuolat diferencijuotas skaliarinė funkcija. Tai yra to, kad gradiento garbanos lygi nuliui, pasekmė.

Elektrodinamikoje tai suteikia dviprasmiškumo nustatant potencialus elektromagnetinis laukas ir išsprendžiamas primetant potencialą papildoma sąlyga kalibravimas

Vektoriaus potencialas fizikoje

Maksvelo lygtys

Lygiai taip pat, kaip skaliarinis potencialas yra susijęs su energijos samprata, vektorinis potencialas atskleidžia glaudus ryšys su impulso sąvoka. Taigi greito magnetinio lauko išjungimo atveju jame esanti dalelė gauna papildomą impulsą qA.

taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Vektoriaus potencialas"

Ištrauka, apibūdinanti vektorinį potencialą

Nuo Pierre'o sučiupimo praėjo keturios savaitės. Nepaisant to, kad prancūzai pasiūlė jį perkelti iš kario būdos į karininko būdelę, jis liko kabinoje, į kurią įėjo nuo pirmos dienos.
Nuniokotoje ir sudegusioje Maskvoje Pierre'as patyrė beveik kraštutines sunkumų ribas, kurias gali ištverti žmogus; bet dėl ​​savo stiprios konstitucijos ir sveikatos, apie kurią iki šiol nežinojo, o ypač dėl to, kad šie nepritekliai artėjo taip nepastebimai, kad buvo neįmanoma pasakyti, kada jie prasidėjo, jis savo padėtį ištvėrė ne tik lengvai, bet ir džiaugsmingai . Ir kaip tik tuo metu jis gavo tą ramybę ir pasitenkinimą savimi, kurio anksčiau veltui siekė. Ilgą laiką savo gyvenime jis ieškojo su skirtingos pusės tai ramybė, susitarimas su savimi, kas jį taip sužavėjo kareiviuose Borodino mūšyje - jis to ieškojo filantropijoje, masonijoje, išsklaidyme Socialinis gyvenimas, vyne, didvyriškame pasiaukojimo žygdarbyje, in romantiška meilė Natašai; jis to siekė mintimis, ir visi šie ieškojimai bei bandymai jį apgavo. Ir jis, negalvodamas, gavo šią ramybę ir susitarimą su savimi tik per mirties siaubą, per nepriteklių ir per tai, ką suprato Karatajeve. Tos siaubingos minutės, kurias jis patyrė egzekucijos metu, atrodė amžiams išplautos iš jo vaizduotės ir prisiminimų nerimastingos mintys ir jausmus, kurie anksčiau jam atrodė svarbūs. Apie Rusiją, karą, politiką ar Napoleoną jam net mintis neatėjo. Jam buvo akivaizdu, kad visa tai jo neliečia, kad jis nebuvo pašauktas ir todėl negali viso to teisti. „Nėra laiko Rusijai, nėra sąjungos“, – pakartojo Karatajevo žodžius, ir šie žodžiai jį keistai nuramino. Jo ketinimas nužudyti Napoleoną ir jo skaičiavimai apie kabalistinį skaičių ir Apokalipsės žvėrį dabar jam atrodė nesuprantami ir net juokingi. Jo pyktis prieš žmoną ir nerimas dėl to, kad nebūtų sugadintas jo vardas, dabar jam atrodė ne tik nereikšmingas, bet ir juokingas. Ką jam rūpėjo faktas, kad ši moteris kur nors ten gyveno taip, kaip jai patiko? Kam, ypač jam, rūpėjo, ar jie sužinojo, ar nesužinojo, kad jų kalinio vardas yra grafas Bezukhovas?
Dabar jis dažnai prisimindavo pokalbį su princu Andrejumi ir visiškai su juo sutikdavo, tik princo Andrejaus mintis suprasdavo kiek kitaip. Princas Andrejus manė ir sakė, kad laimė gali būti tik neigiama, tačiau jis tai pasakė su kartėlio ir ironijos atspalviu. Tarsi tai sakydamas jis išsakė kitą mintį – kad visi į mus investuoti pozityvios laimės siekiai yra investuojami tik tam, kad mus kankintų, o ne patenkintų. Tačiau Pierre'as, nieko negalvodamas, pripažino to teisingumą. Kančios nebuvimas, poreikių tenkinimas ir dėl to laisvė rinktis profesijas, tai yra gyvenimo būdą, Pierre'ui dabar atrodė neabejotina ir aukščiausia žmogaus laimė. Čia, dabar tik pirmą kartą, Pierre'as visiškai įvertino malonumą valgyti, kai jis buvo alkanas, gerti, kai jis ištroškęs, miegoti, kai norėjo miegoti, šilumą, kai jam šalta, kalbėtis su žmogumi, kai jis norėjo kalbėti ir klausytis žmogaus balso. Poreikių tenkinimas – geras maistas, švara, laisvė – dabar, kai iš jo visa tai buvo atimta, Pierre'ui atrodė tobula laimė, o profesijos pasirinkimas, tai yra gyvenimas, dabar, kai šis pasirinkimas buvo toks ribotas, jam atrodė toks. lengvas dalykas, kad jis pamiršo, kad gyvenimo patogumų perteklius sunaikina visą laimę patenkinti poreikius, ir didesnę laisvę profesijos pasirinkimas, laisvė, kurią jam gyvenime suteikė išsilavinimas, turtas, padėtis pasaulyje, kad ši laisvė neapsakomai apsunkina profesijos pasirinkimą ir griauna patį užsiėmimo poreikį ir galimybę.

Šiame skyriuje tęsime pokalbį apie magnetostatiką, t.y. apie pastovius magnetinius laukus ir nuolatinės srovės. Magnetinis laukas ir elektros srovės sujungtos mūsų pagrindinėmis lygtimis:

Šį kartą mums labiausiai reikia išspręsti šias lygtis matematiškai bendru būdu, o ne nurodant kokią nors ypatingą simetriją ar intuiciją. Elektrostatikoje mes radome tiesioginį būdą apskaičiuoti lauką, kai visų padėties elektros krūviai: Skaliarinis potencialas φ pateikiamas tiesiog integralu per krūvius, kaip nurodyta (4.25) lygtyje 77 puslapyje. Jei tada reikalingas elektrinis laukas, jis gaunamas diferencijuojant φ. Dabar parodysime, kad yra panaši procedūra, kaip rasti lauką B, jei žinomas visų judančių krūvių srovės tankis j.

Elektrostatikoje, kaip matėme (dėl to, kad puvimas nuo E visur lygus nuliui), visada galima pavaizduoti E kaip gradientą nuo skaliarinis laukasφ. Bet puvinys nuo B ne visur yra lygus nuliui, todėl paprastai neįmanoma pavaizduoti jo kaip gradiento. Tačiau divergencija B visur lygus nuliui, o tai reiškia, kad B galime pavaizduoti kaip rotorius iš kito vektorinio lauko. Nes, kaip matėme sk. 2, § 8, rotoriaus nuokrypis visada yra lygus nuliui. Todėl B visada galime išreikšti lauku, kurį vadinsime A:

Arba aprašydami komponentus:

Rašymas B=vxA garantuoja (14.1) įvykdymą, nes tai būtina

A laukas vadinamas vektoriaus potencialas.

Prisiminkime, kad skaliarinis potencialas φ nėra visiškai apibrėžtas. Jei radome tam tikros problemos potencialą φ, tada visada galime rasti kitą vienodai gerą potencialą φ′ pridėdami konstantą:

Naujasis potencialas φ′ suteikia tuos pačius elektrinius laukus, nes gradientas vC lygus nuliui; φ′ ir φ atitinka tą patį paveikslą.

Lygiai taip pat galime turėti kelis vektorinius potencialus A, vedančius į tuos pačius magnetinius laukus. Vėlgi, kadangi B yra gaunamas iš A diferenciacijos būdu, konstantos pridėjimas prie A materijos fizikos nekeičia. Tačiau A yra daugiau laisvės. Prie A galime pridėti bet kurį lauką, kuris yra skaliarinio lauko gradientas, nekeičiant fizikos. Tai galima parodyti taip. Turėkime A, kuris yra kai kuriuose tikra problema duoda teisingą lauką B. Kyla klausimas, kokiomis sąlygomis kitas vektoriaus potencialas A′, pakeistas į (14.3), duoda tas pats laukas B. Tai reiškia, kad A ir A′ turi tą patį rotorių

Bet jei vektoriaus kreivumas lygus nuliui, tai vektorius turi būti kokio nors skaliarinio lauko gradientas, tarkime ψ, taigi A′—A=vψ. Tai reiškia, kad jei A yra vektorinis potencialas, atitinkantis duotąją problemą, tai bet kuriam ψ

taip pat bus vektorinis potencialas, in tokiu pat laipsniu išsprendžia šią problemą ir veda į tą patį lauką B.

Paprastai patogu sumažinti A „laisvę“ savavališkai nustatant jai kokią nors kitą sąlygą (beveik taip pat mums buvo patogu – gana dažnai – pasirinkti potencialų φ lygus nuliuiįjungta dideli atstumai). Pavyzdžiui, galime apriboti A, iškeldami jam tokią sąlygą, kad A divergencija yra kažkam lygi. Visada galime tai padaryti nepaveikdami B. Taip atsitinka todėl, kad nors A′ ir A turi tą patį rotorių ir suteikia tą patį B, jie neturi skirtis vienodai. Iš tiesų, v·A` = v·A+ v 2 ψ, ir pasirinkę atitinkamą ψ, galime suteikti v·A′ bet kokią reikšmę.

Kam reikia prilyginti v·A? Pasirinkimas turėtų suteikti didžiausią matematinį patogumą ir priklauso nuo mūsų užduoties. Dėl magnetostatinis ir mes padarysime paprastą pasirinkimą

(Vėliau, pereidami prie elektrodinamikos, pakeisime savo pasirinkimą.) Taigi, mūsų pilnas apibrėžimas Ir į Šis momentas yra vxA = B ir v A = 0.

Norėdami priprasti prie vektoriaus potencialo, pirmiausia pažiūrėkime, kam jis lygus vienodam magnetiniam laukui B 0. Pasirinkę z ašį B 0 kryptimi, turime turėti

Žvelgdami į šias lygtis, matome, kad viena iš galimi sprendimai Yra

Arba taip pat galite pasiimti

Kitas sprendimas yra pirmųjų dviejų derinys

Akivaizdu, kad kiekvienam laukui B vektoriaus potencialas A nėra unikalus; yra daug galimybių.

Trečiasis sprendimas [lygtis (14.8)] turi seriją įdomių savybių. Kadangi x komponentas yra proporcingas -y, o y komponentas yra proporcingas +x, tada vektorius A turi būti statmenas vektoriui, nubrėžtam iš z ašies, kurį pažymėsime r' (pirminis reiškia, kad tai nėra atstumo vektorius nuo pradžios). Be to, dydis A yra proporcingas √x 2 + y 2 ir todėl proporcingas r`. Todėl A (homogeniniam laukui) galima parašyti paprastai

Vektoriaus potencialas A yra lygus dydžiui Br′/2 ir sukasi aplink z ašį, kaip parodyta Fig. 14.1. Jei, pavyzdžiui, laukas B yra laukas solenoido viduje išilgai jo ašies, tai vektorinis potencialas cirkuliuoja lygiai taip pat, kaip ir srovės solenoide.

Vienodo lauko vektorinį potencialą galima gauti kitu būdu. Cirkuliacija A išilgai bet kurios uždaros kilpos D gali būti išreikšta paviršiaus integralas iš vХА naudojant Stokso teoremą [(3.38) lygtis, 63 psl.]

Bet integralas dešinėje lygus srautui Per kilpą, taigi

Taigi, tiražas A kartu bet koks kilpa yra lygi srautui B per kilpą. Jei imtume apskrito spindulio kilpą r′ statmenoje plokštumoje vienalytis laukas B, tada srautas bus lygiai lygus

Jei pasirinksime kilmę kilpos centre, kad A būtų galima laikyti liestine nukreipta ir tik r′ funkcija, tada cirkuliacija bus lygi

Kaip ir anksčiau, gauname

Panagrinėkime nejudančios srovės magnetinį lauką. Tegul srovės tankis priklauso tik nuo koordinačių ir skiriasi nuo nulio baigtinėje erdvės srityje. Kadangi stacionari srovė neturi šaltinių, tada

o stacionarios srovės tankio linijos uždarytos. Tokio statinio krūvio pasiskirstymo elektrinis laukas nustatomas pagal § 27 formules.

Nejudančios srovės magnetinis laukas pagal (25.03) tenkina lygtis

Paskutinė lygybė rodo, kad magnetinis laukas yra sūkurys. Todėl galime įdėti

Vektorius A vadinamas magnetinio lauko vektoriniu potencialu. Kada stacionarus laukas Ir tai priklauso tik nuo taško koordinačių.

Vektoriaus potencialas vienareikšmiškai lemia magnetinio lauko stiprumą. Magnetinis laukas nustato vektoriaus potencialą iki kokio nors skaliro gradiento. Iš tiesų, vektoriaus potencialas A, lygus

kur koks nors skaliaras apibrėžia tą patį lauką:

Vektoriaus potencialą galima padaryti nedviprasmišku, nustatant jam papildomą sąlygą

vadinama kalibravimo sąlyga. Kalibravimo sąlyga visada gali būti patenkinta: jei tada visada galima pasirinkti tokią funkciją, kad

Norėdami nustatyti vektoriaus potencialą, B pakeičiame iš (34.03) į pirmąją lygtį (34.02). Tada

Dėl kalibravimo sąlygos (34.05)

Ši lygtis nustato vektoriaus potencialą pagal duotas paskirstymas srovė. Jis panašus į Puasono lygtį (27.01) skaliariniam potencialui. Kadangi Greeno funkcija Laplaso operatoriui apibrėžta § 27, sprendimas (34.06) gali būti parašytas iš karto

Įsitikinkite, kad yra įvykdyta kalibravimo sąlyga (34.05). Pažymėkime V operatorių, paimtą pagal stebėjimo taško koordinates, o operatorių, paimtą pagal šaltinio taško koordinates. Atkreipkite dėmesį, kad taikant funkcijoms iš

Kuris lygus duotam vektoriniam laukui.

Formaliai, jei v- vektorinis laukas, vektoriaus potencialas vadinamas vektoriniu lauku A toks kad

Jeigu A yra lauko vektorinis potencialas v, tada nuo tapatybės

Bet kuriam solenoidiniam vektoriniam laukui, kuris tenkina tam tikras sąlygas, yra vektoriaus potencialas. Visų pirma jo egzistavimas priklauso nuo srities, kurioje laukas apibrėžiamas – daugybiškai sujungtos srities atveju sūkurio lauko potencialas dažniausiai neegzistuoja.

Teorema

Dviprasmiškumas renkantis potencialą

Solenoidinio vektoriaus lauko vektorinis potencialas nustatomas nevienareikšmiškai. Jeigu A yra vektoriaus potencialas v, taip pat yra

Kur m- bet kokia nuolat diferencijuojama skaliarinė funkcija. Tai yra to, kad gradiento garbanos lygi nuliui, pasekmė.

Elektrodinamikoje tai suteikia neaiškumų nustatant elektromagnetinio lauko potencialus ir išsprendžiama nustatant papildomą potencialo kalibravimo sąlygą.

Vektoriaus potencialas fizikoje

Maksvelo lygtys

Kaip skaliarinis potencialas yra susijęs su energijos sąvoka, vektorinis potencialas atskleidžia glaudų ryšį su impulso sąvoka. Taigi greito magnetinio lauko išjungimo atveju jame esanti dalelė gauna papildomą impulsą qA.

taip pat žr

• Hercų vektorius

Pastabos

Wikimedia fondas.

2010 m.

Potencialas, lemiantis vektoriaus nulio sūkurinę dalį. Elektrodinamikoje laukas yra magnetinis. indukcija B yra griežtai sūkurinė; šiam laukui įvedamas vektorinis potencialas A(B = rot A) ... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

vektoriaus potencialas- - [Ja.N.Luginskis, M.S.Fezi Žilinskaja, Ju.S.Kabirovas. Anglų-rusų elektros inžinerijos ir energetikos žodynas, Maskva, 1999] Elektros inžinerijos temos, pagrindinės sąvokos EN vektorinio potencialo ... Techninis vertėjo vadovas

vektoriaus potencialas- sūkurio greičio potencialas; industrija vektorinis potencialas Vektorinė funkcija A, kurios rotorius lygus greičiui sūkurinis skysčio judėjimas... Politechnikos terminų aiškinamasis žodynas

vektoriaus potencialas- vektorinis potencialas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis A, kurio rotorius lygus magnetinio srauto tankiui, t. y. B = rot A. atitikmenys: engl. magnetinio vektoriaus potencialas vok. Vektorpotencialas, n rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas