Antidarinys nuo 4x. Neribotas integralas internete

A)Tiesioginė integracija.

Funkcijų integralų paieška remiantis tiesioginiu neapibrėžtųjų integralų savybių taikymu ir pagrindinių integravimo formulių lentele. Panagrinėkime funkcijos integralo radimo tiesioginės integracijos pavyzdį.

Pavyzdys:

∫(X–3) 2 d X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2d X- 6∫X d X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+S.

Daugeliu atvejų mes susiduriame su funkcijų integralais, kurių negalima rasti tiesioginės integracijos būdu. Tokiu atveju būtina atlikti pakeitimą (pakeisti kintamąjį).

b)Integravimas pakeitimu (kintamasis pakeitimas).

Integravimas pakeitimu arba, kaip dažnai vadinamas, kintamasis pakeitimo metodas, yra vienas iš efektyvesnių ir įprastų integravimo būdų. Pakeitimo metodas yra perėjimas nuo pateikto integravimo kintamojo prie kito kintamojo, siekiant supaprastinti integralų išraišką ir sumažinti ją iki vieno iš integralų lentelių tipų. Tokiu atveju pakeitimo pasirinkimą sprendžia atlikėjas individualiai, nes nėra bendrų taisyklių, nurodančių, kuriame pakeitime šiuo atveju imti.

Pavyzdys: Raskite integralą ∫ e 2х+3 d X.

Įveskime naują kintamąjį t, susietą su X sekanti priklausomybė 2 X+ 3 =t.

Paimkime šios lygybės kairiosios ir dešiniosios pusės skirtumus: 2d X=dt;d X=dt/2.

Dabar vietoj 2 X+ 3 id X Pakeiskime jų vertybes į integrandą. Tada gauname: ∫ e 2х+3 d X=∫e t dt = e t + C. Grįžę prie ankstesnio kintamojo, galiausiai gauname išraišką:

∫e 2х+3 d X=e 2x+3 + C.

Norint įsitikinti, kad integralas paimtas teisingai, reikia antiderivatinės funkcijos e 2x+ 3 atskirti ir patikrinti, ar bus Ar jo išvestinė yra lygi integrando funkcijai:

(e 2x+ 3)" =e 2x+ 3 (2 X+3)" =e 2x+ 3 .

3. Apibrėžtinis integralas ir jo savybės.

Apibrėžtinio integralo sąvoka plačiai naudojama daugelyje mokslo ir technologijų sričių. Su jo pagalba apskaičiuojami kreivių apriboti plotai, savavališkos formos tūriai, kintamos jėgos galia ir darbas, judančio kūno kelias, inercijos momentai ir daugelis kitų dydžių.

IN
Daugeliu atvejų apibrėžtojo integralo sąvoka įvedama sprendžiant kreivinės trapecijos ploto nustatymo problemas. Tegu yra tolydi funkcija y =f( X) segmente [ a,c]. Figūra, apribota kreive y=f( X) ordinatės A O V A n ir segmentas [ a,c] x ašis vadinama kreivine trapecija (1 pav.).

Iškelkime sau užduotį: nustatyti kreivosios trapecijos plotą S A A o A n V. Norėdami tai padaryti, padaliname segmentą [ a,c] įjungta n nebūtinai lygios dalys ir žymėkite padalijimo taškus taip: A=X O < X 1‹ X 2 ‹ … ‹ X n = in.

Iš padalijimo taškų atstatome statmenus sankirtai su kreive y = f( X). Taigi visą plotą, kurį riboja kreivė, padalinome į n elementarios kreivinės trapecijos. Atkurkime iš savavališki taškai kiekvienas segmentas ∆ X i ordinate (C i), kol susikerta su kreive y =f( X). Toliau sukonstruosime laiptuotą figūrą, susidedančią iš stačiakampių, kurių pagrindas ∆ X i ir aukščio f(C i). Pradinukų aikštė ith stačiakampis bus S i =f(C i)(X i -X i -1 ), ir visa teritorija S n gauta pakopinė figūra bus lygi stačiakampių plotų sumai:

S n=f(C o)( X 1 -X o) +f(C 1)( X 2 -X 1 ) + … +f(C p- 1)(X n -X p- 1).

Norėdami sutrumpinti šios sumos įvedimą, įveskite simbolį
(sigma) – ženklas, reiškiantis dydžių sumavimą. Tada

S n =
.

Šią sumą S p, kuri vadinama integraliąja suma, gali būti didesnė arba mažesnė už tikrąją tam tikro ploto vertę. Artimiausia tikrosios ploto vertės reikšmė bus sumos riba, su sąlyga, kad elementarieji segmentai bus susmulkinti ( p→
), ir didžiausios atkarpos ∆ ilgis X maks bus linkęs į nulį, t.y.:

S =
(4)

Ši kumuliacinė sumos riba (jei ji yra) vadinama apibrėžtasis integralas iš functionf( X) segmente [ A,V] ir žymi:
=
(5)

(skaito „apibrėžtas integralas Aį V ef iš x de x”).

Skaičiai A Ir V vadinamos atitinkamai apatine ir viršutine integracijos ribomis, f( X) – subintegralinė funkcija; X– integravimo kintamasis. Naudodami (4) ir (5) formules galime rašyti. Kad kreivinės trapecijos plotas skaitiniu būdu lygus trapeciją ribojančios funkcijos integralui, perimtam integravimo intervalu [A,V]:

.

Šis faktas išreiškia apibrėžtojo integralo geometrinę reikšmę.

Panagrinėkime apibrėžtojo integralo savybes.

1. Apibrėžiamasis integralas nepriklauso nuo kintamojo žymėjimo, t.y.:
=
.

2. Algebrinės sumos apibrėžtasis integralas yra lygus kiekvieno nario apibrėžtųjų integralų algebrinei sumai:

= f 1 ( X)d x + f 2 ( X)d X+ ….

Ši pamoka yra pirmoji iš vaizdo įrašų apie integraciją serijos. Jame analizuosime, kas yra funkcijos antidarinys, taip pat išnagrinėsime elementarius šių pačių antidarinių skaičiavimo metodus.

Tiesą sakant, čia nėra nieko sudėtingo: iš esmės viskas priklauso nuo išvestinės sąvokos, kurią jau turėtumėte žinoti :)

Iš karto pastebėsiu, nes tai pati pirmoji mūsų pamoka nauja tema, šiandien jų nebus sudėtingi skaičiavimai ir formules, bet tai, ką mes tyrinėsime šiandien, bus pagrindas daug sudėtingesniems skaičiavimams ir konstrukcijoms skaičiuojant kompleksiniai integralai ir kvadratais.

Be to, pradėdami studijuoti būtent integraciją ir integralus, netiesiogiai darome prielaidą, kad studentas jau yra bent jau susipažinęs su išvestinių sąvokomis ir turi bent bazinius jų skaičiavimo įgūdžius. Be aiškaus to supratimo, integracijos srityje visiškai nėra ką veikti.

Tačiau čia slypi viena dažniausių ir klastingiausių problemų. Faktas yra tas, kad daugelis studentų, pradėdami skaičiuoti savo pirmuosius antidarinius, juos painioja su išvestiniais. Dėl to egzaminuose ir savarankiškas darbas daromos kvailos ir įžeidžiančios klaidos.

Todėl dabar nepateiksiu aiškaus antidarinio apibrėžimo. Savo ruožtu siūlau pamatyti, kaip jis apskaičiuojamas naudojant paprastą konkretų pavyzdį.

Kas yra antiderivatas ir kaip jis apskaičiuojamas?

Mes žinome šią formulę:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ši išvestinė apskaičiuojama paprastai:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Atidžiai pažiūrėkime į gautą išraišką ir išreikškime $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Bet mes galime parašyti taip, pagal išvestinės apibrėžimą:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

O dabar atkreipkite dėmesį: ką tik užsirašėme, yra antidarinio apibrėžimas. Bet norint parašyti teisingai, reikia parašyti:

Parašykime tokią išraišką taip pat:

Jei apibendrinsime šią taisyklę, gausime tokią formulę:

\[((x)^(n))\į \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Dabar galime suformuluoti aiškų apibrėžimą.

Funkcijos antiderivinė yra funkcija, kurios išvestinė yra lygi pradinei funkcijai.

Klausimai apie antiderivatinę funkciją

Atrodytų, gana paprastas ir suprantamas apibrėžimas. Tačiau jį išgirdus dėmesingam mokiniui iš karto kils keli klausimai:

1. Tarkime, gerai, ši formulė yra teisinga. Tačiau šiuo atveju, kai $n=1$, turime problemų: vardiklyje atsiranda „nulis“, o mes negalime dalyti iš „nulio“.
2. Formulė apribota tik laipsniais. Kaip apskaičiuoti, pavyzdžiui, sinuso, kosinuso ir bet kurios kitos trigonometrijos antidarinį, taip pat konstantas.
3. Egzistencinis klausimas: ar visada įmanoma rasti antidarinį? Jei taip, tai kaip sumos, skirtumo, produkto ir tt antiderivatu?

Iš karto atsakysiu į paskutinį klausimą. Deja, ne visada atsižvelgiama į antidarinį, skirtingai nei į darinį. Nieko tokio universali formulė, kuriuo iš bet kurios pradinės konstrukcijos gausime funkciją, kuri bus lygi šiai panašiai konstrukcijai. Kalbant apie galias ir konstantas, apie tai kalbėsime dabar.

Galios funkcijų problemų sprendimas

\[((x)^(-1))\į \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Kaip matome, šią formulę$((x)^(-1))$ neveikia. Kyla klausimas: kas tada veikia? Ar negalime suskaičiuoti $((x)^(-1))$? Žinoma, kad galime. Pirmiausia prisiminkime tai:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Dabar pagalvokime: kurios funkcijos išvestinė yra lygi $\frac(1)(x)$. Akivaizdu, kad bet kuris studentas, bent šiek tiek išstudijavęs šią temą, prisimins, kad ši išraiška yra lygi natūralaus logaritmo išvestinei:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Todėl drąsiai galime rašyti štai ką:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Jūs turite žinoti šią formulę, kaip ir galios funkcijos išvestinę.

Taigi, ką mes žinome iki šiol:

• Galios funkcijai - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Jei konstanta - $=const\to \cdot x$
• Ypatingas galios funkcijos atvejis yra $\frac(1)(x)\to \ln x$

Ir jei pradedame dauginti ir dalyti paprasčiausias funkcijas, kaip tada galime apskaičiuoti sandaugos ar koeficiento antidarinį. Deja, analogijos su produkto ar koeficiento išvestiniu čia neveikia. Bet koks standartinė formulė neegzistuoja. Kai kuriems atvejams yra sudėtingos specialios formulės – su jomis susipažinsime būsimose video pamokose.

Tačiau atminkite: bendroji formulė, panašios formulės dalinio ir sandaugos išvestinei apskaičiuoti nėra.

Realių problemų sprendimas

Užduotis Nr.1

Tegul kiekvienas galios funkcijos Paskaičiuokime atskirai:

\[((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)\]

Grįždami prie mūsų išraiškos, rašome bendrą konstrukciją:

2 problema

Kaip jau sakiau, darbų prototipai ir detalės „iki taško“ nenagrinėjami. Tačiau čia galite atlikti šiuos veiksmus:

Trupmeną suskaidėme iki dviejų trupmenų sumos.

Paskaičiuokime:

Gera žinia ta, kad žinant antidarinių skaičiavimo formules, jau galima skaičiuoti sudėtingesnes struktūras. Tačiau eikime toliau ir dar šiek tiek praplėskime savo žinias. Faktas yra tas, kad daugelis konstrukcijų ir posakių, kurie iš pirmo žvilgsnio neturi nieko bendra su $((x)^(n))$, gali būti pavaizduoti kaip galia su racionalus rodiklis, būtent:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Visas šias technikas galima ir reikia derinti. Galios išraiškos Gali

• dauginti (laipsniai pridėti);
• padalinti (laipsniai atimami);
• padauginti iš konstantos;
• ir tt

Galios išraiškų sprendimas racionaliuoju rodikliu

1 pavyzdys

Apskaičiuokime kiekvieną šaknį atskirai:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Iš viso visą mūsų konstrukciją galima parašyti taip:

2 pavyzdys

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Todėl gauname:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\į \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2(x)^(2)))\]

Iš viso, surinkę viską į vieną išraišką, galime parašyti:

3 pavyzdys

Pirmiausia pažymime, kad jau apskaičiavome $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\į \frac(4(x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\į \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Perrašykime:

Tikiuosi, nieko nenustebinsiu, jei pasakysiu, kad tai, ką ką tik studijavome, yra tik daugiausia paprasti skaičiavimai primityvios, elementariausios struktūros. Dabar pažiūrėkime šiek tiek plačiau sudėtingų pavyzdžių, kuriame, be lentelės antidarinių, taip pat reikės prisiminti mokyklos mokymo programa, būtent sutrumpintos daugybos formulės.

Sudėtingesnių pavyzdžių sprendimas

Užduotis Nr.1

Prisiminkime skirtumo kvadratu formulę:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Perrašykime savo funkciją:

Dabar turime rasti tokios funkcijos prototipą:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Sudėkime viską į bendrą dizainą:

2 problema

Šiuo atveju turime išplėsti skirtumo kubą. Prisiminkime:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2)-((b)^(3))\]

Atsižvelgdami į šį faktą, galime parašyti taip:

Šiek tiek pakeisime savo funkciją:

Skaičiuojame kaip visada – kiekvienam terminui atskirai:

\[((x)^(-3))\į \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\į \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\į \ln x\]

Užrašykime gautą konstrukciją:

3 problema

Viršuje turime sumos kvadratą, išplėskime jį:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Parašykime galutinį sprendimą:

Dabar dėmesio! Labai svarbus dalykas, kuri siejama su didžiąja klaidų ir nesusipratimų dalimi. Faktas yra tas, kad iki šiol skaičiuodami antidarinius naudodami darinius ir atvesdami transformacijas, negalvojome, kam lygi konstantos išvestinė. Tačiau konstantos išvestinė yra lygi nuliui. Tai reiškia, kad galite rašyti šias parinktis:

1. $((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Tai labai svarbu suprasti: jei funkcijos išvestinė visada yra ta pati, tai ta pati funkcija turi begalinį antidarinių skaičių. Mes galime tiesiog pridėti bet kokius pastovius skaičius prie savo antiderivatų ir gauti naujus.

Neatsitiktinai problemų, kurias ką tik išsprendėme, paaiškinime buvo parašyta „Užsirašyk bendras vaizdas primityvai“. Tie. Jau iš anksto numanoma, kad jų yra ne vienas, o visa gausybė. Bet iš tikrųjų jie skiriasi tik pastovia $ C $ pabaigoje. Todėl savo užduotyse taisysime tai, ko neatlikome.

Dar kartą perrašome savo konstrukcijas:

Tokiais atvejais turėtumėte pridėti, kad $C$ yra konstanta - $C=const$.

Antroje funkcijoje gauname tokią konstrukciją:

Ir paskutinis:

Ir dabar mes tikrai gavome tai, ko iš mūsų buvo reikalaujama pradinėje problemos sąlygomis.

Antidarinių su duotu tašku suradimo uždavinių sprendimas

Dabar, kai žinome apie konstantas ir antidarinių rašymo ypatumus, visiškai logiška, kad sekantis tipas problemų, kai iš visų antidarinių rinkinio reikia rasti vieną vienintelį, kuris praeitų duotas taškas. Kokia tai užduotis?

Faktas yra tas, kad visi tam tikros funkcijos antidariniai skiriasi tik tuo, kad jie yra vertikaliai paslinkti tam tikru skaičiumi. Ir tai reiškia, kad nesvarbu, kurioje vietoje koordinačių plokštuma mes jo neėmėme, vienas antiderivatas tikrai praeis, o be to, tik vienas.

Taigi, uždaviniai, kuriuos dabar spręsime, formuluojami taip: ne tik raskite antidarinį, žinodami pradinės funkcijos formulę, bet pasirinkite tiksliai tą, kuri eina per nurodytą tašką, kurio koordinatės bus pateiktos užduotyje. pareiškimas.

1 pavyzdys

Pirma, tiesiog suskaičiuokime kiekvieną terminą:

\[((x)^(4))\į \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\į \frac(((x)^(4)))(4)\]

Dabar savo konstrukcijoje pakeičiame šias išraiškas:

Ši funkcija turi praeiti per tašką $M\left(-1;4 \right)$. Ką reiškia, kad jis eina per tašką? Tai reiškia, kad jei vietoje $x$ visur įdėsime $-1$, o vietoj $F\left(x \right)$ - $-4$, tai turėtume gauti teisingą skaitinę lygybę. Padarykime taip:

Matome, kad turime $C$ lygtį, todėl pabandykime ją išspręsti:

Užrašykime patį sprendimą, kurio ieškojome:

2 pavyzdys

Visų pirma, naudojant sutrumpintą daugybos formulę, reikia atskleisti skirtumo kvadratą:

\[((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)\]

Originali konstrukcija bus parašyta taip:

Dabar suraskime $C$: pakeiskite taško $M$ koordinates:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Išreiškiame $C$:

Belieka parodyti galutinę išraišką:

Trigonometrinių uždavinių sprendimas

Kaip finalinis akordas Be to, ką ką tik aptarėme, siūlau apsvarstyti dar du dalykus sudėtingos užduotys, kuriuose yra trigonometrijos. Juose lygiai taip pat reikės rasti visų funkcijų antidarinius, tada iš šio rinkinio pasirinkti vienintelį, kuris eina per tašką $M$ koordinačių plokštumoje.

Žvelgdamas į ateitį, norėčiau atkreipti dėmesį į tai, kad dabar mes naudosime antidarinius trigonometrinės funkcijos, tiesą sakant, yra universali technika savęs patikrinimui.

Užduotis Nr.1

Prisiminkime tokią formulę:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Remdamiesi tuo, galime parašyti:

Į savo išraišką pakeisime taško $M$ koordinates:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Perrašykime išraišką atsižvelgdami į šį faktą:

2 problema

Tai bus šiek tiek sunkiau. Dabar pamatysite kodėl.

Prisiminkime šią formulę:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Norėdami atsikratyti „minuso“, turite atlikti šiuos veiksmus:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Čia yra mūsų dizainas

Pakeiskime taško $M$ koordinates:

Iš viso užrašome galutinę konstrukciją:

Tai viskas, apie ką šiandien norėjau papasakoti. Išstudijavome patį terminą antidariniai, kaip juos suskaičiuoti elementarios funkcijos, taip pat kaip rasti praeinantį antidarinį konkretus taškas koordinačių plokštumoje.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės bent šiek tiek tai suprasti. sudėtinga tema. Bet kokiu atveju, būtent ant antidarinių yra konstruojami neapibrėžtieji ir neapibrėžtieji integralai, todėl juos skaičiuoti būtina. Tai viskas man. Iki pasimatymo!

Matėme, kad darinys turi daugybę panaudojimo būdų: išvestinė yra judėjimo greitis (arba, apskritai, bet kokio proceso greitis); išvestinė yra nuolydis funkcijos grafiko liestinė; naudodami išvestinę funkciją galite ištirti monotoniškumą ir ekstremalumą; išvestinė padeda išspręsti optimizavimo problemas.

Bet į tikras gyvenimas turi apsispręsti ir atvirkštinės problemos: pavyzdžiui, kartu su greičio nustatymo pagal žinomą judėjimo dėsnį problema yra ir judėjimo dėsnio atkūrimo pagal žinomą greitį problema. Panagrinėkime vieną iš šių problemų.

1 pavyzdys. Juda tiesia linija materialus taškas, jo judėjimo greitis momentu t pateikiamas formule u = tg. Raskite judėjimo dėsnį.

Sprendimas. Tegu s = s(t) yra norimas judėjimo dėsnis. Yra žinoma, kad s"(t) = u"(t). Tai reiškia, kad norint išspręsti problemą reikia pasirinkti funkcija s = s(t), kurios išvestinė lygi tg. Tai nesunku atspėti

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad pavyzdys išspręstas teisingai, bet nepilnai. Mes nustatėme, kad iš tikrųjų problema turi be galo daug sprendimų: bet kokia formos funkcija savavališka konstanta gali tarnauti kaip judėjimo dėsnis, nes

Kad užduotis būtų konkretesnė, reikėjo pataisyti pradinę situaciją: nurodyti judančio taško koordinatę tam tikru laiko momentu, pavyzdžiui, t=0. Jei, tarkime, s(0) = s 0, tai iš lygybės gauname s(0) = 0 + C, t.y. S 0 = C. Dabar judėjimo dėsnis yra vienareikšmiškai apibrėžtas:
Matematikoje priskiriami abipusiai veiksmai skirtingi vardai, sugalvokite specialius žymėjimus: pavyzdžiui, kvadratas (x 2) ir ištraukimas kvadratinė šaknis sinusas (sinх) ir arcsine(arcsin x) ir kt. Tam tikros funkcijos išvestinės paieškos procesas vadinamas diferenciacija ir atvirkštinis veikimas, t.y. funkcijos radimo iš duotosios išvestinės procesas – integracija.
Pats terminas „išvestinė“ gali būti pateisinamas „kasdieniame gyvenime“: funkcija y - f(x) „gimsta“ nauja funkcija y"= f"(x) Funkcija y = f(x) veikia kaip "tėvas", bet matematikai, žinoma, nevadina jos "tėvu" ar "gamintojas", jie sako, kad taip yra. funkcija y"=f"(x), pirminis vaizdas arba, trumpai tariant, antidarinys.

1 apibrėžimas. Funkcija y = F(x) vadinama funkcijos y = f(x) antiderivatine duotame intervale X, jei visiems x iš X galioja lygybė F"(x)=f(x).

Praktikoje intervalas X paprastai nenurodomas, o numanomas (kaip natūrali funkcijos apibrėžimo sritis).

Štai keletas pavyzdžių:

1) Funkcija y = x 2 yra funkcijos y = 2x priešišvestinė, nes visiems x lygybė (x 2)" = 2x yra teisinga.
2) funkcija y - x 3 yra funkcijos y-3x 2 priešišvestinė, nes visiems x lygybė (x 3)" = 3x 2 yra teisinga.
3) Funkcija y-sinх yra funkcijos y = cosx priešišvestinė, nes visiems x lygybė (sinx)" = cosx yra teisinga.
4) Funkcija yra intervalo funkcijos antiderivinė, nes visiems x > 0 lygybė yra teisinga
Apskritai, žinant darinių radimo formules, nesunku sudaryti antidarinių radimo formulių lentelę.

Tikimės, kad supratote, kaip sudaryta ši lentelė: antrame stulpelyje įrašytos funkcijos išvestinė yra lygi funkcijai, kuri parašyta atitinkamoje pirmojo stulpelio eilutėje (patikrinkite, nepatingėkite, tai labai naudinga). Pavyzdžiui, funkcijai y = x 5 antidarinė, kaip jūs nustatysite, yra funkcija (žr. ketvirtą lentelės eilutę).

Pastabos: 1. Toliau įrodysime teoremą, kad jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcija y = f(x) turi be galo daug antidarinių ir jie visi turi formą y = F(x ) + C. Todėl teisingiau būtų pridėti terminą C visur antrame lentelės stulpelyje, kur C yra savavališkas realusis skaičius.
2. Trumpumo dėlei kartais vietoj frazės „funkcija y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė“, sakoma, kad F(x) yra f(x) antidarinė. .

2. Antidarinių radimo taisyklės

Ieškant antidarinių, taip pat ieškant išvestinių, naudojamos ne tik formulės (jos nurodytos lentelėje 196 p.), bet ir kai kurios taisyklės. Jos yra tiesiogiai susijusios su atitinkamomis išvestinių finansinių priemonių apskaičiavimo taisyklėmis.

Žinome, kad sumos išvestinė yra lygi jos išvestinių sumai. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

1 taisyklė. Sumos antidarinė lygi antidarinių sumai.

Atkreipiame jūsų dėmesį į šiokį tokį „lengvumą“. Tiesą sakant, reikėtų suformuluoti teoremą: jei funkcijos y = f(x) ir y = g(x) turi antidarinius intervale X, atitinkamai y-F(x) ir y-G(x), tada funkcijų y suma = f(x)+g(x) turi antidarinį intervale X, o ši antidarinė yra funkcija y = F(x)+G(x). Tačiau dažniausiai formuluojant taisykles (o ne teoremas) jos paliekamos tik raktinius žodžius- tai leidžia patogiau taikyti taisyklę praktikoje

2 pavyzdys. Raskite funkcijos y = 2x + cos x antidarinį.

Sprendimas. 2x antidarinys yra x"; cox antidarinys yra sin x. Tai reiškia, kad funkcijos y = 2x + cos x antidarinė bus funkcija y = x 2 + sin x (ir apskritai bet kuri formos funkcija Y = x 1 + sinx + C) .
Žinome, kad pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

2 taisyklė. Iš antidarinio ženklo galima išimti pastovų faktorių.

3 pavyzdys.

Sprendimas. a) Sin x antidarinys yra -soz x; Tai reiškia, kad funkcijai y = 5 sin x antidarinė funkcija bus funkcija y = -5 cos x.

b) cos x antidarinys yra sin x; Tai reiškia, kad funkcijos antidarinys yra funkcija
c) x 3 antidarinė yra x antidarinė, funkcijos y = 1 antidarinė yra funkcija y = x. Naudodami pirmąją ir antrąją antidarinių radimo taisykles, nustatome, kad funkcijos y = 12x 3 + 8x-1 antidarinys yra funkcija
komentuoti. Kaip žinoma, sandaugos išvestinė nėra lygi išvestinių sandaugai (produkto diferencijavimo taisyklė yra sudėtingesnė), o dalinio išvestinė nelygi išvestinių sandaugai. Todėl nėra taisyklių, kaip rasti produkto antidarinį arba dviejų funkcijų koeficiento antidarinį. Būkite atsargūs!
Išsiaiškinkime kitą antidarinių radimo taisyklę. Žinome, kad funkcijos y = f(kx+m) išvestinė apskaičiuojama pagal formulę

Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.
3 taisyklė. Jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcijos y=f(kx+m) antidarinė yra funkcija

Tiesą sakant,

Tai reiškia, kad tai funkcijos y = f(kx+m) antidarinė.
Trečios taisyklės prasmė yra tokia. Jei žinote, kad funkcijos y = f(x) antidarinė yra funkcija y = F(x), tuomet reikia rasti funkcijos antidarinys y = f(kx+m), tada elkitės taip: imkite tą pačią funkciją F, bet vietoj argumento x pakeiskite išraišką kx+m; be to, nepamirškite prieš funkcijos ženklą parašyti „pataisos koeficientas“.
4 pavyzdys. Raskite pateiktų funkcijų antidarinius:

Sprendimas, a) Sin x antidarinys yra -soz x; Tai reiškia, kad funkcijai y = sin2x antidarinė bus funkcija
b) cos x antidarinys yra sin x; Tai reiškia, kad funkcijos antidarinys yra funkcija

c) x 7 antidarinė reiškia, kad funkcijai y = (4-5x) 7 antidarinė bus funkcija

3. Neapibrėžtas integralas

Aukščiau jau pažymėjome, kad uždavinys rasti tam tikros funkcijos y = f(x) antidarinį turi daugiau nei vieną sprendimą. Pakalbėkime apie šią problemą išsamiau.

Įrodymas. 1. Tegul y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antiišvestinė intervale X. Tai reiškia, kad visiems x iš X galioja lygybė x"(x) = f(x). Raskite bet kurios formos y = F(x)+C išvestinę:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Taigi, (F(x)+C) = f(x). Tai reiškia, kad y = F(x) + C yra funkcijos y = f(x) antidarinė.
Taigi, mes įrodėme, kad jei funkcija y = f(x) turi antidarinį y=F(x), tai funkcija (f = f(x) turi be galo daug antidarinių, pavyzdžiui, bet kuri y = formos funkcija F(x) +C yra antidarinys.
2. Dabar tai įrodykime nurodytas tipas funkcijos, visas antidarinių rinkinys yra išnaudotas.

Tegul y=F 1 (x) ir y=F(x) yra dvi funkcijos Y = f(x) antidarinės intervale X. Tai reiškia, kad visiems x iš intervalo X galioja šie ryšiai: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Panagrinėkime funkciją y = F 1 (x) -.F(x) ir raskime jos išvestinę: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) – f(x) = 0.
Yra žinoma, kad jei funkcijos išvestinė intervale X yra identiškai lygi nuliui, tai funkcija yra pastovi intervale X (žr. 3 teoremą iš § 35). Tai reiškia, kad F 1 (x) - F (x) = C, t.y. Fx) = F(x)+C.

Teorema įrodyta.

5 pavyzdys. Duotas greičio kitimo su laiku dėsnis: v = -5sin2t. Raskite judėjimo dėsnį s = s(t), jei žinoma, kad momentu t=0 taško koordinatė buvo lygi skaičiui 1,5 (t. y. s(t) = 1,5).

Sprendimas. Kadangi greitis yra koordinatės, kaip laiko funkcijos, išvestinė, pirmiausia reikia rasti greičio antidarinį, t.y. funkcijos v = -5sin2t antidarinys. Vienas iš tokių antidarinių yra funkcija, o visų antidarinių rinkinys turi tokią formą:

Norėdami rasti specifinę reikšmę konstanta C, naudokime pradines sąlygas, pagal kurią s(0) = 1,5. Į formulę (1) pakeitę reikšmes t=0, S = 1,5, gauname:

Pakeitę rastą C reikšmę į (1) formulę, gauname mus dominantį judėjimo dėsnį:

2 apibrėžimas. Jei funkcija y = f(x) intervale X turi antidarinį y = F(x), tai visų antidarinių aibė, t.y. y = F(x) + C formos funkcijų aibė vadinama funkcijos y = f(x) neapibrėžtuoju integralu ir žymima taip:

(skaitykite: „neapibrėžtas integralas ef iš x de x“).
Kitoje pastraipoje išsiaiškinsime, kas yra paslėpta prasmė nurodytą pavadinimą.
Remdamiesi šiame skyriuje pateikta antidarinių lentele, sudarysime pagrindinių neapibrėžtų integralų lentelę:

Remdamiesi aukščiau pateiktomis trimis taisyklėmis, kaip rasti antidarinius, galime suformuluoti atitinkamas integravimo taisykles.

1 taisyklė. Funkcijų sumos integralas lygi sumaišių funkcijų integralai:

2 taisyklė. Iš integralo ženklo galima išimti pastovų koeficientą:

3 taisyklė. Jeigu

6 pavyzdys. Raskite neapibrėžtus integralus:

Sprendimas, a) Naudodami pirmą ir antrą integravimo taisykles gauname:

Dabar naudokime 3 ir 4 integravimo formules:

Rezultate gauname:

b) Naudodami trečiąją integravimo taisyklę ir 8 formulę, gauname:

c) Norėdami tiesiogiai rasti duotąjį integralą, neturime nei vieno, nei kito atitinkama formulė, nėra atitinkamos taisyklės. IN panašių atvejų kartais padeda iš anksto įvykdytos tapatybės transformacijos išraiška, esanti po integraliu ženklu.

Pasinaudokime trigonometrinė formulė Laipsnio sumažinimas:

Tada iš eilės randame:

A.G. Mordkovičiaus algebra 10 klasė

Kalendorinis teminis planavimas matematikoje, vaizdo įrašą matematika internetu, Matematika mokykloje