Apibūdinti e kaip „konstantą, maždaug lygią 2,71828...“ yra tas pats, kaip vadinti pi „neracionaliu skaičiumi, maždaug lygiu 3,1415...“. Tai neabejotinai tiesa, bet esmė vis tiek mūsų nepastebime.
Pi yra apskritimo ir skersmens santykis, vienodas visiems apskritimams. Tai yra pagrindinė proporcija, bendra visiems apskritimams, todėl ji naudojama apskaičiuojant apskritimų, rutulių, cilindrų ir kt. perimetrą, plotą, tūrį ir paviršiaus plotą. Pi rodo, kad visi apskritimai yra sujungti, jau nekalbant trigonometrinės funkcijos, kilęs iš apskritimų (sinuso, kosinuso, liestinės).
Skaičius e yra pagrindinis visų nuolat augančių procesų augimo koeficientas. E skaičius leidžia paimti paprastą augimo tempą (kur skirtumas matomas tik metų pabaigoje) ir apskaičiuoti šio rodiklio dedamąsias, normalų augimą, kuriame su kiekviena nanosekunde (ar net greičiau) viskas po truputį auga. daugiau.
Skaičius e dalyvauja abiejose eksponentinio ir pastovaus augimo sistemose: gyventojų skaičius, radioaktyvus skilimas, palūkanų skaičiavimas ir daugelis kitų. Netgi netolygiai augančias žingsnines sistemas galima aproksimuoti naudojant skaičių e.
Kaip bet koks skaičius gali būti laikomas „pakeisto mastelio“ 1 (pagrindinio vieneto) versija, bet koks apskritimas gali būti laikomas „pakeistos“ versijos. vieneto ratas(su spinduliu 1). Ir bet koks augimo faktorius gali būti laikomas „pakeistu“ e („vieneto“ augimo faktoriaus) versija.
Taigi skaičius e nėra atsitiktinis skaičius, paimtas atsitiktinai. Skaičius e įkūnija idėją, kad visos nuolat augančios sistemos yra tos pačios metrikos padidintos mastelio versijos.
Eksponentinio augimo samprata
Pradėkime nuo pagrindinės sistemos, kuri dvejetai tam tikram laikui. Pavyzdžiui:
- Bakterijos dalijasi ir „dvigubėja“ kas 24 valandas
- Makaronų gauname dvigubai daugiau, jei juos perlaužiame per pusę
- Jūsų pinigai kasmet padvigubėja, jei uždirbate 100% pelno (pasisekė!)
O atrodo maždaug taip:
Padalijimas iš dviejų arba padvigubinimas yra labai paprasta progresija. Žinoma, galime patrigubinti ar keturis kartus, bet paaiškinimui patogiau padvigubinti.
Matematiškai, jei turime x padalų, gausime 2^x kartus daugiau gerų dalykų nei pradėjome. Jei sudaromas tik 1 skaidinys, gauname 2^1 karto daugiau. Jei yra 4 skirsniai, gauname 2^4=16 dalių. Bendroji formulė atrodo taip:
aukščio= 2 x
Kitaip tariant, padvigubinimas yra 100% padidėjimas. Šią formulę galime perrašyti taip:
aukščio= (1+100%) x
Tai ta pati lygybė, mes tiesiog padalinome „2“ į sudedamąsias dalis, kurios iš esmės yra šis skaičius: pradinė vertė(1) plius 100 proc. Protingas, tiesa?
Žinoma, vietoj 100% galime pakeisti bet kurį kitą skaičių (50%, 25%, 200%) ir gauti šio naujo koeficiento augimo formulę. Bendroji laiko eilutės x periodų formulė bus tokia:
aukščio = (1+padidinti)x
Tai tiesiog reiškia, kad mes naudojame grąžos normą (1 + padidėjimas), "x" kartus iš eilės.
Pažiūrėkime atidžiau
Mūsų formulėje daroma prielaida, kad augimas vyksta atskirais žingsniais. Mūsų bakterijos laukia ir laukia, o tada bam! paskutinę minutę jų skaičius padvigubėja. Mūsų pelnas iš palūkanų už indėlį stebuklingai pasirodo lygiai po 1 metų. Remiantis aukščiau parašyta formule, pelnas auga žingsniais. Staiga atsiranda žali taškai.
Tačiau pasaulis ne visada toks. Jei priartinsime, pamatysime, kad mūsų bakterijų draugai nuolat dalijasi:
Žalias bičiulis neatsiranda iš nieko: jis pamažu išauga iš mėlynojo tėvo. Po 1 laiko tarpo (mūsų atveju 24 val.) žalias draugas jau visiškai subrendęs. Subrendęs jis tampa visaverčiu mėlynuoju bandos nariu ir pats gali susikurti naujas žalias ląsteles.
Ar ši informacija kaip nors pakeis mūsų lygtį?
Ne. Bakterijų atveju pusiau susiformavusios žalios ląstelės vis tiek nieko negali padaryti, kol neužauga ir visiškai neatsiskiria nuo mėlynųjų tėvų. Taigi lygtis teisinga.
Rodiklis (skaičius e) – neracionalus skaičius, maždaug lygus 2,71828. Skaičius e vaidina didelį vaidmenį diferencialo ir integralinis skaičiavimas ir naudojamas beveik visuose mokslo srityse. Toks sausas matematinis apibrėžimas visiškai neatskleidžia esmės fizinis pojūtis parodos dalyviai. Pažiūrėkime atidžiau.
Skaičiaus reikšmė e
Skaičius Pi yra ne tik neracionalus skaičius, lygus 3,1415, bet visais atvejais tas pats apskritimo ir skersmens santykis. Lygiai taip pat ir skaičius e turi savo reikšmę.
Eksponentinis yra pagrindinis visų augimo procesų augimo ryšys. Bet koks skaičius gali būti laikomas mastelio vienetu, bet koks kvadratas – sumažintu masteliu vieneto kvadratas, bet koks lygiakraštis trikampis- kaip padidėjęs arba sumažėjęs taisyklingas trikampis, na, bet koks augimo koeficientas gali būti pavaizduotas kaip mastelio koeficientas e.
Būtent operacijos su skaičiumi e suteiks jums galimybę nustatyti augimo tempą tokiose situacijose kaip gyventojų skaičiaus augimas, palūkanų už indėlį kaupimas ar radioaktyviosios medžiagos pusinės eliminacijos laikas.
Diskretus augimas
Kaip pagrindinis pavyzdys Nuolatinės dvigubinimo sistemos gali sukelti bakterijų dauginimąsi, kurios padvigubėja kiekvieną dieną. Jei jis padvigubėja vieną kartą, tada matematiškai gauname 2 iki pirmos laipsnio, kuris yra tiesiog 2. Jei jis padvigubėja x kartų, tada gauname 2 iki x bakterijų, pinigų ar bet kokios kitos naudos laipsnio.
Tačiau sistema gali keistis ne 2 kartus, o, pavyzdžiui, 20% ar 120%. Šiuo atveju apie padvigubinimą galime galvoti ne kaip du, o kaip 1+1 arba 1+100%. Tokiame įraše galime pakeisti bet kurį augimo koeficientą ir gauti augimo formulę kaip:
Augimas = (1 + augimas) x,
čia x yra didinimo ciklų skaičius.
Šios formulės dėka po 30 dienų galime sužinoti, kiek bakterijų gausime iš vienos ląstelės. Tačiau bakterijos dalijasi diskretiškai, tai yra, tuo pačiu metu nauja ląstelė nesusidaro per 24 valandas, ji nesugebės gaminti naujų organizmų. Pritaikę šią formulę pinigams, gauname visiškai kitokį rezultatą.
Nuolatinis augimas
Kai palūkanos skaičiuojamos už pinigus, tai nėra diskretiškas, o nuolatinis augimas. Kai tik nuo indėlio sukaupiamas poros centų pelnas, šie pinigai pradeda generuoti pelną. Nereikia laukti, kol „gims“ visas doleris, kuris pradės dalytis pagal bakterijų panašumą. Užtenka susiformuoti cento, kuris pradės generuoti savo mikropelną.
Įsivaizduokime, kad investavome 1 USD į verslą, kuris žada 100% pelno per metus. Tai reiškia, kad mes padidinsime:
Pajamos = (1 + 1) 1 = 2
Tik 2 doleriai – ne daug. Tačiau padalijus metus į du pusmečius, už kiekvieną pusmetį gauname po 50 centų. Gauti centai jau gali patys generuoti pelną, tada formulė pasikeis.
Pajamos = (1 + 0,5) 2 = 2,25
Kadangi dabar turime du padvigubinimo laikotarpius, padidinimą padidinome kvadratu ir gavome papildomus 25 centus pajamų. Jei savo pelną padalinsime į 5 dalis po 20 centų, tai pasirodys dar patraukliau:
Pajamos = (1 + 0,2) 5 = 2,4883
Galbūt mes galime padalinti pelną neribotam laikui didelis skaičius mažų dalių ir gauti begalinį pelną? Deja, ne. Net jei padalinsime dolerį į 100 000 dalių, pajamos bus:
Pajamos = (1 + 0,00001) 100 000 = 2,71826
Begalinis dolerio skilimas pelnas padidės šimtu tūkstančių skaitmenų po kablelio. Mūsų 2,71826 USD pelnas bus lygus 2,718281828, o tai yra ne kas kita, kaip skaičius E.
Ir ką visa tai reiškia
Eksponentinis yra didžiausias galimas 100 % nuolatinio augimo per tam tikrą laikotarpį rezultatas. Taip, iš pradžių mums žadamas 100% pelnas, tai yra tik 2 USD, bet kiekvienas centas atneša savo dividendus ir galiausiai turime lygiai 2,71828 USD pelno. Skaičius e yra didžiausias skaičius, kurį galime gauti padalydami pelną į be galo mažų dydžių sumas.
Tai reiškia, kad jei investuosime 1 USD į verslą su galimu 100% pelnu, gausime 2718 USD grynojo pelno. Jei 2 USD, tada gausime 2x grynąjį pelną, o jei 100 USD, tada mūsų pelnas bus 100 kartų didesnis. Taigi e yra ribojanti konstanta, kuri riboja augimo procesus taip, kaip šviesos greitis riboja informacijos judėjimą erdvėje. Skaičius e yra maksimalus galimas rezultatas, kurį praktiškai pasiekti sunku, todėl realiai daugelis procesų aprašomi naudojant eksponento dalis.
Eksponento naudojimas praktikoje
Iš pirmo žvilgsnio augimas vaizduojamas kaip padidėjimas 1%, tačiau matematiškai toks padidėjimas išreiškiamas padauginus iš 1,01. Taigi, atlikdami operacijas su skaičiumi e, naudojame laipsnius arba šaknis. Arba natūralūs logaritmai, jei reikia atvirkštinis veikimas. Kad ir kokį augimo faktorių imtume, jis reikš skaičiaus e galią Pavyzdžiui, jei žinosime, kad per 3 metus gausime 200% pelno, tada augimą (e 2) tiesiog padauginsime iš 3 periodų ir gausime. :
Augimas = (e 3) 2 = e 6
Norėdami geriau suprasti, pažvelkime į pavyzdžius.
Banko indėlis
Tarkime, kad įnešėme 100 USD į banką su 8% metine palūkanų norma. Pasirinktas bankas mums siūlo pilną palūkanų kapitalizaciją, kokį pelną gausime po 5 metų? Kadangi bankas mums teikia nuolatinį pinigų augimą, po 5 metų mūsų sąskaitoje jau bus:
Pelnas = 100 × e (0,08 × 5) = 149,1
Nuostabu, tiesa? Deja, tikri bankai retai naudojasi sudėtines palūkanas, o jei jie apskaičiuoja didžiąsias raides, tada pagal savo formules, kurios šiek tiek skiriasi nuo klasikinės eksponentinės.
Pusė gyvenimas
Įsivaizduokite, kad turite 5 kg radioaktyvusis uranas, kuri suyra 100% per metus. Kiek urano liks po 2 metų? Teoriškai visas uranas turėtų suirti pirmaisiais metais, tačiau taip nėra. Po 6 mėnesių jums liks tik 2,5 kg urano, kuris savo ruožtu pradės irti tik 2,5 kg per metus greičiu. Dar po poros mėnesių jūsų saugykloje liks 1 kg urano, tačiau jis suirs dar mažesniu greičiu – 1 kg per metus. Laikui bėgant prarandate radioaktyvųjį kurą, o skilimo greitis taip pat mažėja. Taigi po 2 metų turėsite:
Radioaktyvioji liekana = 5 × e−2 = 0,676
Išvada
Eksponentinis rodiklis plačiai naudojamas situacijose, kai kažkas auga nuolat arba diskretiškai. Galite naudoti e galios skaičiuoklę bet kokio nepertraukiamo proceso augimo rezultatams apskaičiuoti.
Apima tokią daugeliui naudingą funkciją kaip laipsnių skaičiuoklė. Su jo pagalba skaičių pakelti į laipsnį taip pat lengva, kaip kriaušes gliaudyti, įvesti išraišką ir gauti rezultatą. Skaičiuoklė gamina didinimas internete, kaip ir bet kuri kita funkcija, tiesiogiai mūsų svetainėje.
Kaip skaičiuoklėje skaičių pakelti iki laipsnio?
Eksponentiškumas yra veiksmas, kai skaičius padauginamas iš savęs n kartų, kai skaičius x y yra laipsnis, x yra laipsnio bazė, y=n yra eksponentas. Norėdami įjungti skaičiuotuvą, naudokite atitinkamus valdymo skydelio mygtukus. Jei reikia daugiau išsamią informaciją Norėdami dirbti su skaitmeniniu skaičiuotuvo skydeliu, eikite į puslapį.
Skaičiuoklės didinimo iki laipsnio funkcija pavaizduota penkiais mygtukais: kvadratas, kėlimas į kubą, kėlimas iki n laipsnio. bet koks skaičius, didinant iki bazės laipsnio, lygaus 10, ir didinant iki laipsnio laipsnio.
Skaičiuoklės mygtukai, atsakingi už eksponentų didinimą:
Supjaustoma kvadratais ir kubeliais
Pirmasis skaičiaus laipsnis yra pats skaičius. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus 1. Kvadratas yra antrasis laipsnis, kubas yra trečiasis. Skaičiaus kvadratas visada turi teigiama vertė, išskyrus kompleksinių skaičių kvadratą.
Šie skaičiuotuvo mygtukai leidžia lengvai įvesti operaciją: x 2 – kvadratas, x 3 – kubas. Vienu spustelėjimu į įvesties lauką įterpiamas toks įrašas kaip ^2 arba ^3.
Kvadrato ir kubo pavyzdys:
Pakėlimas į n-ąją laipsnį
Mūsų internetinis skaičiuotuvas eksponentiškumas rodomas įprastu „dviejų aukštų“ įrašu ekrane, tačiau išraiškos įvesties lauke, žinoma, turite naudoti cirkumfleksą.
Skaičių didinimo į laipsnius pavyzdys:
Skaičiuojant 10 laipsnius
Paspaudus šį mygtuką į įvesties lauką įterpiamas toks įrašas kaip: 10^(), t.y. Laipsnio bazė rašoma kaip skaičius 10. Patogu naudoti, kai reikia rašyti skaičiaus 10 pakėlimą į kokią nors laipsnį.
Pavyzdys, kaip rasti 10 galią:
Galios rodiklis
Paspaudę mygtuką, eilutėje pamatysite įrašą exp(). Norint apskaičiuoti skaičių e iki laipsnio, reikia Eulerio skaičių pakelti iki laipsnio e x = exp(x). Kam įdomu sužinoti, kas yra skaičius e: jo reikšmė yra 2,71828182845905.
Pavyzdys, kaip padidinti e laipsnį:
Didinimas iki trupmeninės galios
Tarkime, mus domina skaičiaus x y1/y2 trupmeninė galia. Kadangi didinimas iki laipsnio yra priešingas šaknies paėmimui, apskaičiuojant reikia rasti skaičiaus x laipsnio y2 šaknį iki laipsnio y1. Jei y2 reikšmė yra lygi, tada trupmeninė galia galima apskaičiuoti tik naudojant teigiamą bazę, nes neigiamo skaičiaus šaknis neegzistuoja, o skaičiuotuvas yra panaši situacija duos jums klaidą!
Keldami iki trupmeninės laipsnio, nepamirškite skliausteliuose uždaryti pagrindo, kitaip laipsnio trupmenos vardiklis pateks į bazės vardiklį!
Šiame pavyzdyje parodyta, kaip skaičiuotuvu pakelti trupmenas:
Mūsų internetinė skaičiuoklė leidžia pakelti tiek į teigiamą, tiek į neigiamas laipsnis. At neigiama reikšmė rodiklis, pagrindas turi įgauti formą (1/x), kitaip tariant, laipsnio pagrindo skaitiklis ir vardiklis turi keistis vietomis ir tik po to galima pradėti statyti. Skaičiuoklė leidžia automatiškai pakelti skaičių iki neigiamo laipsnio, praleidžiant visas tarpines transformacijas ir iškart pateikiant galutinį atsakymą.
Pakeldamas visų rūšių funkcijas, įskaitant trigonometrines, iki neigiamo laipsnio, internetinis skaičiuotuvas automatiškai atsižvelgia į jų lyginį/nelyginį lygumą pagal ženklo taisyklę.
Šiame pavyzdyje parodyta, kaip skaičiuotuvu padidinti iki neigiamo laipsnio:
Skaičiuoklė taip pat apskaičiuos trupmeninį skaičių iki laipsnio.
Trupmenos padidinimas iki laipsnio naudojant skaičiuotuvą:
Šaknies pakėlimas į laipsnį naudojant skaičiuotuvą:
Visos mūsų nemokamos skaičiuoklės funkcijos yra surinktos viename skyriuje.
Didinimas internete paskutinį kartą keitė: 2016 m. kovo 3 d Admin
Skaičiuoklė padeda greitai padidinti skaičių iki galios internete. Laipsnio pagrindas gali būti bet koks skaičius (ir sveikieji, ir realieji skaičiai). Rodiklis taip pat gali būti sveikas arba realus skaičius, taip pat gali būti teigiamas arba neigiamas. Reikėtų prisiminti, kad dėl neigiamus skaičius kėlimas į ne sveikąjį skaičių yra neapibrėžtas, todėl skaičiuotuvas praneš apie klaidą, jei bandysite tai padaryti.
Laipsnio skaičiuoklė
Pakelti į valdžią
Eksponentiniai koeficientai: 24601
Kas yra natūrali skaičiaus galia?
Skaičius p vadinamas n-tuoju skaičiaus laipsniu, jei p yra lygus skaičiui a, padaugintam iš savęs n kartų: p = a n = a·...·a
n - paskambino eksponentas, o skaičius a yra laipsnio pagrindu.
Kaip pakelti skaičių iki natūralios galios?
Norėdami suprasti, kaip statyti skirtingi skaičiai apie natūralias galias, apsvarstykite keletą pavyzdžių:
1 pavyzdys. Pakelkite skaičių tris iki ketvirtos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 3 4
Sprendimas: kaip minėta aukščiau, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Atsakymas: 3 4 = 81 .
2 pavyzdys. Pakelkite skaičių penktą iki penktos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 5 5
Sprendimas: panašiai, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125.
Atsakymas: 5 5 = 3125 .
Taigi, norint padidinti skaičių iki natūralios laipsnio, tereikia jį padauginti iš savęs n kartų.
Kas yra neigiama skaičiaus galia?
Neigiamas a laipsnis -n yra padalintas iš a iki n laipsnio: a -n = .Šiuo atveju neigiama galia egzistuoja tik nuliniams skaičiams, nes kitaip įvyktų padalijimas iš nulio.
Kaip padidinti skaičių iki neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio?
Norėdami pakelti ne nulį skaičių iki neigiamo laipsnio, turite apskaičiuoti šio skaičiaus reikšmę tuo pačiu teigiamas laipsnis ir padalykite vieną iš rezultato.
1 pavyzdys. Pakelkite skaičių du iki neigiamos ketvirtosios laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 2 -4
Sprendimas: kaip nurodyta aukščiau, 2 -4 = = = 0,0625.Atsakymas: 2 -4 = 0.0625 .
