Tiesės polinkio kampo liestinė lygi 0 25. Funkcijos grafiko liestinės lygtis

Išmok imti funkcijų išvestinius. Išvestinė apibūdina funkcijos kitimo greitį tam tikrame taške, esančiame šios funkcijos grafike. IN šiuo atveju Grafikas gali būti tiesi arba lenkta linija. Tai yra, išvestinė apibūdina funkcijos kitimo greitį tam tikru laiko momentu. Prisimink bendrosios taisyklės, pagal kurią paimamos išvestinės priemonės, ir tik tada pereikite prie kito žingsnio.

• Skaityti straipsnį.
• Kaip imti paprasčiausius išvestinius, pavyzdžiui, išvestinę eksponentinė lygtis, aprašyta. Tolesniuose etapuose pateikti skaičiavimai bus pagrįsti juose aprašytais metodais.

Išmokite atskirti užduotis, kuriose nuolydis reikia apskaičiuoti naudojant funkcijos išvestinę. Problemos ne visada prašo rasti funkcijos nuolydį arba išvestinę. Pavyzdžiui, jūsų gali būti paprašyta rasti funkcijos pokyčio greitį taške A(x,y). Taip pat gali būti paprašyta rasti liestinės nuolydį taške A(x,y). Abiem atvejais reikia paimti funkcijos išvestinę.

Tiesė y=f(x) bus taške x0 paveiksle pavaizduoto grafiko liestinė, jei ji eina per tašką, kurio koordinatės (x0; f(x0)) ir turi kampinį koeficientą f"(x0). Raskite toks koeficientas, Žinant liestinės ypatybes, tai nėra sunku.

Jums reikės

• - matematikos žinynas;
• - paprastas pieštukas;
• - užrašų knygelė;
• - transporteris;
• - kompasas;
• - rašiklis.

Instrukcijos

Jei reikšmės f‘(x0) neegzistuoja, tai arba liestinės nėra, arba ji eina vertikaliai. Atsižvelgiant į tai, funkcijos išvestinė taške x0 yra dėl to, kad taške (x0, f(x0)) yra funkcijos grafiko nevertikali liestinė. Tokiu atveju liestinės kampinis koeficientas bus lygus f "(x0). Taigi tampa aišku geometrine prasme išvestinė – liestinės nuolydžio skaičiavimas.

Nubraižykite papildomas liestines, kurios liestųsi su funkcijos grafiku taškuose x1, x2 ir x3, taip pat pažymėkite šių liestinių suformuotus kampus su x ašimi (šis kampas skaičiuojamas teigiama kryptimi nuo ašies iki liestinė). Pavyzdžiui, kampas, ty α1, bus smailus, antrasis (α2) bus bukas, o trečiasis (α3) lygus nuliui, nes liestinė lygiagreti OX ašiai. Šiuo atveju liestinė bukas kampas– neigiamas, smailiojo kampo liestinė yra teigiama, o esant tg0 rezultatas lygus nuliui.

Atkreipkite dėmesį

Teisingai nustatykite liestinės suformuotą kampą. Norėdami tai padaryti, naudokite transporterį.

Naudingi patarimai

Dvi pasvirusios linijos bus lygiagrečios, jei jų kampiniai koeficientai yra lygūs vienas kitam; statmena, jei šių liestinių kampinių koeficientų sandauga lygi -1.

Šaltiniai:

• Funkcijos grafiko liestinė

Kosinusas, kaip ir sinusas, priskiriamas „tiesioginei“ trigonometrinei funkcijai. Tangentas (kartu su kotangentu) priskiriamas kitai porai, vadinamai „dariniais“. Yra keletas šių funkcijų apibrėžimų, leidžiančių rasti liestinę, pateiktą žinoma vertė tos pačios vertės kosinusas.

Instrukcijos

Atimkite vieneto dalinį iš kosinuso nurodytas kampas, ir iš rezultato ištraukite kvadratinę šaknį – tai bus kampo liestinė, išreikšta jo kosinusu: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Atkreipkite dėmesį, kad formulėje kosinusas yra trupmenos vardiklyje. Neįmanoma padalyti iš nulio neleidžia naudoti šios išraiškos kampams, lygiems 90°, taip pat tiems, kurie skiriasi nuo šios vertės skaičiais, kurie yra 180° kartotiniai (270°, 450°, -90° ir kt.).

Yra alternatyvus būdas tangentei apskaičiuoti pagal žinomą kosinuso reikšmę. Jis gali būti naudojamas, jei nėra jokių apribojimų naudoti kitus. Norėdami įgyvendinti šį metodą, pirmiausia nustatykite kampo reikšmę pagal žinomą kosinuso reikšmę – tai galima padaryti naudojant lanko kosinuso funkciją. Tada tiesiog apskaičiuokite gautos vertės kampo liestinę. IN bendras vaizdasšį algoritmą galima parašyti taip: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Taip pat yra egzotiškas variantas, naudojant kosinuso ir liestinės apibrėžimą per stačiojo trikampio smailius kampus. Šiame apibrėžime kosinusas atitinka kojos, esančios greta nagrinėjamo kampo, ilgio ir hipotenuzės ilgio santykį. Žinodami kosinuso reikšmę, galite pasirinkti atitinkamus šių dviejų kraštinių ilgius. Pavyzdžiui, jei cos(α) = 0,5, tada gretimas gali būti lygus 10 cm, o hipotenuzė - 20 cm. Konkretūs skaičiai čia neturi reikšmės – gausite tuos pačius ir teisingus skaičius su bet kokiomis vienodomis reikšmėmis. Tada, naudodamiesi Pitagoro teorema, nustatykite trūkstamos pusės ilgį - priešinga koja. Jis bus lygus kvadratinė šaknis nuo skirtumo tarp kvadratinės hipotenuzės ilgių ir garsioji koja: √(20²–10²)=√300. Pagal apibrėžimą liestinė atitinka priešingų ir gretimų kojelių ilgių santykį (√300/10) – apskaičiuokite jį ir gaukite liestinę, rastą naudodami klasikinis apibrėžimas kosinusas.

Šaltiniai:

• kosinusas per liestinės formulę

Vienas iš trigonometrinės funkcijos, dažniausiai žymimas raidėmis tg, nors randama ir pavadinimų tan. Lengviausias būdas pavaizduoti liestinę yra sinuso santykis kampuį jo kosinusą. Tai keista periodiška ir ne nuolatinė funkcija, kurių kiekvienas ciklas lygus skaičiui Pi, o lūžio taškas atitinka pusę šio skaičiaus.

Matematikoje vienas iš parametrų, apibūdinančių linijos padėtį Dekarto plokštuma koordinatės yra šios linijos nuolydis. Šis parametras apibūdina tiesios linijos nuolydį iki abscisių ašies. Norėdami suprasti, kaip rasti nuolydį, pirmiausia prisiminkite bendrą tiesės lygties formą XY koordinačių sistemoje.

Apskritai bet kuri tiesi linija gali būti pavaizduota išraiška ax+by=c, kur a, b ir c yra savavališki realūs skaičiai, bet būtinai a 2 + b 2 ≠ 0.

Naudojant paprastas transformacijas, tokią lygtį galima pateikti į formą y=kx+d, kurioje k ir d yra realieji skaičiai. Skaičius k yra nuolydis, o tokio tipo linijos lygtis vadinama lygtimi su nuolydžiu. Pasirodo, norint rasti kampinį koeficientą, tereikia atnešti pradinė lygtis aukščiau nurodytam tipui. Norėdami geriau suprasti, apsvarstykite konkretų pavyzdį:

Užduotis: Raskite tiesės, gautos pagal lygtį 36x - 18y = 108, nuolydį

Sprendimas: Transformuokime pradinę lygtį.

Atsakymas: Reikalingas šios linijos nuolydis yra 2.

Jei lygties transformacijos metu gavome tokią išraišką kaip x = const ir dėl to negalime pavaizduoti y kaip x funkcijos, tai yra lygiagreti X ašiai. Kampinis koeficientas tiesi linija lygi begalybei.

Tiesų, išreikštų lygtimi, pvz., y = const, nuolydis yra lygus nuliui. Tai būdinga tiesioms linijoms, lygiagrečioms abscisių ašiai. Pavyzdžiui:

Užduotis: Raskite tiesės nuolydį, gautą pagal lygtį 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Sprendimas: Pateikime pradinę lygtį į bendrą formą

24x + 12m - 12m + 28 = 4

Iš gautos išraiškos y išreikšti neįmanoma, todėl šios tiesės kampinis koeficientas lygus begalybei, o pati tiesė bus lygiagreti Y ašiai.

Geometrinė reikšmė

Kad geriau suprastume, pažiūrėkime į paveikslėlį:

Paveiksle matome tokios funkcijos kaip y = kx grafiką. Kad būtų paprasčiau, imkime koeficientą c = 0. Trikampyje OAB kraštinės BA ir AO santykis bus lygus kampiniam koeficientui k. Tuo pačiu metu VA/AO santykis yra smailiojo kampo α in liestinė stačiakampis trikampis OAV. Pasirodo, kad tiesės kampinis koeficientas yra lygus kampo, kurį ši tiesė sudaro su koordinačių tinklelio abscisių ašimi, tangentei.

Išspręsdami uždavinį, kaip rasti tiesės kampinį koeficientą, randame kampo tarp jos ir koordinačių tinklelio X ašies liestinę. Ribiniai atvejai, kai nagrinėjama linija yra lygiagreti koordinačių ašims, patvirtina tai, kas išdėstyta aukščiau. Iš tiesų, tiesei linijai, aprašytai lygtimi y=const, kampas tarp jos ir abscisių ašies yra lygus nuliui. Nulinio kampo liestinė taip pat lygi nuliui, o nuolydis taip pat lygus nuliui.

Tiesių, statmenų x ašiai ir apibūdinamų lygtimi x=const, kampas tarp jų ir X ašies yra 90 laipsnių. Tangentas stačiu kampu yra lygus begalybei, o panašių tiesių kampinis koeficientas taip pat lygus begalybei, kas patvirtina tai, kas buvo parašyta aukščiau.

Tangentinis nuolydis

Įprasta užduotis, su kuria dažnai susiduriama praktikoje, taip pat yra surasti funkcijos grafiko liestinės nuolydį tam tikrame taške. Liestinė yra tiesi linija, todėl jai taikytina ir nuolydžio sąvoka.

Norėdami išsiaiškinti, kaip rasti liestinės nuolydį, turėsime prisiminti išvestinės sąvoką. Bet kurios funkcijos išvestinė tam tikru momentu yra konstanta, skaitinė lygus tangentei kampas, susidaręs tarp šios funkcijos grafiko liestinės nurodytame taške ir abscisių ašies. Pasirodo, norint nustatyti liestinės kampinį koeficientą taške x 0, reikia apskaičiuoti pradinės funkcijos išvestinės reikšmę šiame taške k = f"(x 0). Pažvelkime į pavyzdį:

Uždavinys: Raskite funkcijos y = 12x 2 + 2xe x liestinės nuolydį, kai x = 0,1.

Sprendimas: Raskite pradinės funkcijos išvestinę bendrąja forma

y"(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Atsakymas: Reikalingas nuolydis taške x = 0,1 yra 4,831

Funkcijos išvestinė yra viena iš sunkiomis temomis V mokyklos mokymo programa. Ne kiekvienas abiturientas atsakys į klausimą, kas yra darinys.

Šiame straipsnyje paprastai ir aiškiai paaiškinama, kas yra išvestinė priemonė ir kodėl ji reikalinga.. Dabar pristatyme nesieksime matematinio griežtumo. Svarbiausia suprasti prasmę.

Prisiminkime apibrėžimą:

Išvestinė yra funkcijos kitimo greitis.

Paveikslėlyje pavaizduoti trijų funkcijų grafikai. Kuris, jūsų nuomone, auga greičiau?

Atsakymas akivaizdus – trečias. Ji turi didžiausią kitimo greitį, ty didžiausią išvestinę priemonę.

Štai dar vienas pavyzdys.

Kostya, Grisha ir Matvey gavo darbus tuo pačiu metu. Pažiūrėkime, kaip pasikeitė jų pajamos per metus:

Grafikas rodo viską iš karto, ar ne? Kostjos pajamos per šešis mėnesius išaugo daugiau nei dvigubai. Ir Grišos pajamos taip pat padidėjo, bet tik šiek tiek. Ir Matvey pajamos sumažėjo iki nulio. Pradinės sąlygos yra tos pačios, bet funkcijos kitimo greitis, tai yra išvestinė, - kitoks. Kalbant apie Matvey, jo pajamų išvestinė priemonė paprastai yra neigiama.

Intuityviai mes lengvai įvertiname funkcijos kitimo greitį. Bet kaip tai padaryti?

Mes iš tikrųjų žiūrime į tai, kaip staigiai funkcijos grafikas kyla aukštyn (arba žemyn). Kitaip tariant, kaip greitai y keičiasi keičiantis x? Akivaizdu, kad ta pati funkcija skirtingus taškus gali turėti skirtinga prasmė išvestinė – tai yra, ji gali keistis greičiau arba lėčiau.

Funkcijos išvestinė žymima .

Parodysime, kaip jį rasti naudojant grafiką.

Nubraižytas kokios nors funkcijos grafikas. Paimkime tašką su abscise. Šioje vietoje nubrėžkime funkcijos grafiko liestinę. Norime įvertinti, kaip staigiai kyla funkcijos grafikas. Patogi vertė yra liestinės kampo liestinė.

Funkcijos išvestinė taške yra lygi liestinės kampo, nubrėžto į funkcijos grafiką šiame taške, liestei.

Atkreipkite dėmesį, kad kaip liestinės pasvirimo kampas imame kampą tarp liestinės ir teigiamos ašies krypties.

Kartais mokiniai klausia, kas yra funkcijos grafiko liestinė. Tai tiesi linija, turinti tik vieną bendras taškas su grafiku ir kaip parodyta mūsų paveikslėlyje. Tai atrodo kaip apskritimo liestinė.

Suraskime. Prisimename, kad stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė lygus santykiui priešingą pusę nei gretima. Iš trikampio:

Išvestinę radome naudodami grafiką, net nežinodami funkcijos formulės. Tokios problemos dažnai aptinkamos vieningame valstybiniame matematikos egzamine pagal numerį.

Yra dar vienas svarbus ryšys. Prisiminkite, kad tiesią liniją suteikia lygtis

Šioje lygtyje esantis dydis vadinamas tiesios linijos nuolydis. Jis lygus tiesės polinkio į ašį kampo liestinei.

.

Mes tai gauname

Prisiminkime šią formulę. Ji išreiškia geometrinę išvestinės reikšmę.

Funkcijos išvestinė taške yra lygi to taško funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui.

Kitaip tariant, išvestinė lygi liestinės kampo tangentei.

Jau sakėme, kad ta pati funkcija skirtinguose taškuose gali turėti skirtingus išvestinius. Pažiūrėkime, kaip išvestinė yra susijusi su funkcijos veikimu.

Nubraižykime kokios nors funkcijos grafiką. Tegul ši funkcija vienose srityse padidėja, o kitose mažėja ir kartu skirtingu greičiu. Ir tegul ši funkcija turi didžiausią ir mažiausią taškus.

Tam tikru momentu funkcija padidėja. Susidaro taške nubrėžto grafiko liestinė aštrus kampas; su teigiama ašies kryptimi. Tai reiškia, kad taško išvestinė yra teigiama.

Tuo metu mūsų funkcija sumažėja. Liestinė šiame taške sudaro bukąjį kampą; su teigiama ašies kryptimi. Kadangi bukojo kampo liestinė yra neigiama, išvestinė taške yra neigiama.

Štai kas nutinka:

Jei funkcija didėja, jos išvestinė yra teigiama.

Jei jis mažėja, jo išvestinė yra neigiama.

Kas atsitiks su didžiausiu ir mažiausiu taškais? Matome, kad taškuose (maksimalus taškas) ir (minimalus taškas) liestinė yra horizontali. Todėl liestinės liestinė šiuose taškuose lygi nuliui, o išvestinė taip pat lygi nuliui.

Taškas – maksimalus taškas. Šiuo metu funkcijos padidėjimas pakeičiamas sumažėjimu. Vadinasi, išvestinės ženklas taške pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“.

Taške - minimaliame taške - išvestinė taip pat yra nulis, tačiau jos ženklas keičiasi iš „minuso“ į „pliusą“.

Išvada: naudodamiesi išvestine galime sužinoti viską, kas mus domina apie funkcijos elgesį.

Jei išvestinė yra teigiama, tada funkcija didėja.

Jei išvestinė yra neigiama, tada funkcija mažėja.

Didžiausiame taške išvestinė yra nulis ir keičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“.

Mažiausiame taške išvestinė taip pat yra nulis ir keičia ženklą iš „minuso“ į „pliusą“.

Parašykime šias išvadas lentelės pavidalu:

Padarykime du nedidelius paaiškinimus. Vieno iš jų prireiks sprendžiant problemą. Kitas – pirmame kurse, su rimtesniu funkcijų ir išvestinių tyrimu.

Gali būti, kad funkcijos išvestinė tam tikru momentu yra lygi nuliui, tačiau funkcija šiuo metu neturi nei maksimumo, nei minimumo. Tai yra vadinamasis :

Taške grafiko liestinė yra horizontali, o išvestinė lygi nuliui. Tačiau prieš tašką funkcija padidėjo, o po taško ji toliau didėja. Išvestinio ženklas nesikeičia – jis lieka teigiamas toks, koks buvo.

Taip pat atsitinka, kad maksimumo ar minimumo taške išvestinė neegzistuoja. Grafike tai atitinka staigų pertrauką, kai tam tikrame taške neįmanoma nubrėžti liestinės.

Kaip rasti išvestinę, jei funkcija pateikta ne grafiku, o formule? Šiuo atveju tai taikoma

IN ankstesnis skyrius buvo parodyta, kad pasirinkę tam tikrą koordinačių sistemą plokštumoje, galime geometrines savybes, kuris apibūdina nagrinėjamos tiesės taškus, analitiškai išreiškiamas lygtimi tarp dabartinių koordinačių. Taip gauname tiesės lygtį. Šiame skyriuje bus nagrinėjamos tiesių linijos lygtys.

Norėdami įrašyti tiesios linijos lygtį Dekarto koordinatės, reikia kažkaip nustatyti sąlygas, kurios lemia jo padėtį koordinačių ašių atžvilgiu.

Pirmiausia pristatysime tiesės kampinio koeficiento, kuris yra vienas iš dydžių, apibūdinančių tiesės padėtį plokštumoje, sąvoką.

Tiesės polinkio į Ox ašį kampu vadinkime kampą, kuriuo reikia pasukti Ox ašį, kad ji sutaptų su duota linija (arba pasirodytų lygiagreti jai). Kaip įprasta, kampą svarstysime atsižvelgdami į ženklą (ženklas nustatomas pagal sukimosi kryptį: prieš arba pagal laikrodžio rodyklę). Kadangi papildomas Ox ašies pasukimas 180° kampu ją vėl sulygiuos su tiesia linija, tiesės polinkio į ašį kampas negali būti pasirinktas vienareikšmiškai (vieno termino ribose, kartotinis).

Šio kampo liestinė nustatoma vienareikšmiškai (nes keičiant kampą jo liestinė nekeičiama).

Tiesės polinkio kampo Ox ašies liestinė vadinama tiesės kampiniu koeficientu.

Kampinis koeficientas apibūdina tiesės kryptį (mes neskiriame šių dviejų priešingomis kryptimis tiesioginis). Jei tiesės nuolydis lygus nuliui, tai linija lygiagreti x ašiai. Esant teigiamam kampiniam koeficientui, tiesės polinkio kampas į Ox ašį bus ūmus (čia svarstome mažiausią teigiama vertė pasvirimo kampas) (39 pav.); Be to, kuo didesnis kampo koeficientas, tuo didesnis kampas jo polinkis į Jaučio ašį. Jei kampinis koeficientas neigiamas, tai tiesės polinkio kampas į Ox ašį bus bukas (40 pav.). Atkreipkite dėmesį, kad tiesė, statmena Ox ašiai, neturi kampo koeficiento (kampo liestinė neegzistuoja).