Kur sinusas ir kosinusas yra teigiami. Teigiami ir neigiami kampai trigonometrijoje

Pamokos tipas:žinių sisteminimas ir tarpinė kontrolė.

Įranga: trigonometrinis apskritimas, testai, užduočių kortelės.

Pamokos tikslai: sisteminti tai, kas buvo išmokta teorinė medžiaga pagal kampo sinuso, kosinuso, liestinės apibrėžimus; patikrinti žinių įgijimo šia tema laipsnį ir pritaikymą praktikoje.

Užduotys:

• Apibendrinkite ir įtvirtinkite kampo sinuso, kosinuso ir liestinės sąvokas.
• Suformuokite visapusišką trigonometrinių funkcijų supratimą.
• Prisidėti prie studentų noro ir poreikio mokytis trigonometrinės medžiagos ugdymo; ugdyti bendravimo kultūrą, gebėjimą dirbti grupėse ir saviugdos poreikį.

„Kas daro ir galvoja apie save nuo mažens,
Tada jis tampa patikimesnis, stipresnis, protingesnis.

(V. Šuksinas)

PAMOKOS EIGA

I. Organizacinis momentas

Klasę atstovauja trys grupės. Kiekviena grupė turi konsultantą.
Mokytojas pateikia pamokos temą, tikslus ir uždavinius.

II. Žinių atnaujinimas (priekinis darbas su klase)

1) Atlikite užduotis grupėse:

1. Suformuluokite nuodėmės apibrėžimas kampe.

– Kokius ženklus turi sin α kiekviename koordinačių kvadrante?
– Kokiomis reikšmėmis išraiška sin α turi prasmę ir kokias reikšmes ji gali turėti?

2. Antroji grupė yra tie patys klausimai cos α.

3. Trečioji grupė rengia atsakymus į tuos pačius klausimus tg α ir ctg α.

Šiuo metu trys mokiniai savarankiškai dirba prie lentos naudodami korteles (skirtingų grupių atstovai).

Kortelė Nr.1.

Praktinis darbas.
Naudojant vieneto ratas apskaičiuokite sin α, cos α ir tan α reikšmes 50, 210 ir – 210 kampams.

Kortelė Nr.2.

Nustatykite išraiškos ženklą: tg 275; cos 370; nuodėmė 790; tg 4.1 ir sin 2.

Kortelės numeris 3.

1) Apskaičiuokite:
2) Palyginkite: cos 60 ir cos 2 30 – sin 2 30

2) Žodžiu:

a) Siūloma skaičių seka: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Tarp jų yra perteklinių. Kuris nuodėmės nuosavybėα arba cos α gali išreikšti šiuos skaičius (Ar sin α arba cos α gali priimti šias reikšmes).
b) Ar išraiška turi prasmę: cos (–); nuodėmė 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Kodėl?
c) Ar yra mažiausias ir didžiausia vertė sin arba cos, tg, ctg.
d) Ar tai tiesa?
1) α = 1000 – antrojo ketvirčio kampas;
2) α = – 330 yra IV ketvirčio kampas.
e) Skaičiai atitinka tą patį vienetinio apskritimo tašką.

3) Darbas valdyboje

Nr. 567 (2; 4) – Raskite išraiškos reikšmę
Nr. 583 (1-3) Nustatykite posakio ženklą

Namų darbai: lentelė užrašų knygelėje. Nr.567(1,3) Nr.578

III. Papildomų žinių įgijimas. Trigonometrija delne

Mokytojas: Pasirodo, kad kampų sinusų ir kosinusų reikšmės „atsirado“ jūsų delne. Ištieskite ranką (bet kurią ranką) ir ištieskite ją kuo toliau stipresni pirštai(kaip plakate). Kviečiamas vienas studentas. Matuojame kampus tarp pirštų.
Paimkite trikampį, kuriame yra 30, 45 ir 60 90 kampai, ir pritaikykite kampo viršūnę prie Mėnulio kalvelės delne. Mėnulio kalnas yra mažojo piršto tiesinių sankirtoje ir nykščiu. Vieną pusę sujungiame mažuoju pirštu, o kitą – vienu iš kitų pirštų.
Atsiduria tarp mažojo piršto ir nykščiu kampas 90, tarp mažojo ir bevardžio piršto – 30, tarp mažojo ir vidurinio piršto – 45, tarp mažojo ir smiliaus – 60. Ir tai galioja visiems be išimties žmonėms.

mažasis pirštas Nr. 0 – atitinka 0,
neįvardytas Nr.1 ​​– atitinka 30,
vidurkis Nr. 2 – atitinka 45,
indekso numeris 3 – atitinka 60,
didelis Nr.4 – atitinka 90.

Taigi, mes turime 4 pirštus ant rankos ir prisimename formulę:

Tai tik mnemoninė taisyklė. Apskritai sin α arba cos α reikšmę reikia žinoti mintinai, tačiau kartais ši taisyklė padės sunkiais laikais.
Sugalvokite cos taisyklę (kampai nesikeičia, o skaičiuojami nuo nykščio). Fizinė pauzė, susijusi su ženklais sin α arba cos α.

IV. Patikrinkite savo žinias ir įgūdžius

Savarankiškas darbas su atsiliepimais

Kiekvienas mokinys gauna testą (4 variantai), o atsakymų lapas yra visiems vienodas.

Testas

1 variantas

1) Kokiu sukimosi kampu spindulys užims tokią pačią padėtį, kaip ir sukant 50 kampu?
2) Raskite išraiškos reikšmę: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Kuris skaičius mažiau nei nulis: nuodėmės 140, cos 140, nuodėmės 50, tg 50.

2 variantas

1) Kokiu sukimosi kampu spindulys užims tokią pačią padėtį, kaip ir pasisukus 10 kampu.
2) Raskite išraiškos reikšmę: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Kuris skaičius didesnis už nulį: nuodėmė 340, cos 340, nuodėmė 240, tg (– 240).

3 variantas

1) Raskite išraiškos reikšmę: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Kuris skaičius mažesnis už nulį: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Kuris ketvirčio kampas yra kampas α, jei sin α > 0, cos α< 0.

4 variantas

1) Raskite išraiškos reikšmę: tg 60 – 6ctg 90.
2) Kuris skaičius mažesnis už nulį: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Kurio kvadranto kampas yra kampas α, jei ctg α< 0, cos α> 0.

(raktinis žodis yra trigonometrija)

V. Informacija iš trigonometrijos istorijos

Mokytojas: Trigonometrija yra gana svarbi matematikos šaka žmogaus gyvenimui. Šiuolaikinė išvaizda trigonometriją įvedė didžiausias XVIII amžiaus matematikas Leonhardas Euleris – šveicaras. daugelį metų dirbo Rusijoje ir buvo Sankt Peterburgo mokslų akademijos narys. Jis įėjo žinomi apibrėžimai trigonometrinės funkcijos suformuluotas ir įrodytas garsios formulės, mes juos išmokysime vėliau. Eulerio gyvenimas yra labai įdomus ir patariu su juo susipažinti per Jakovlevo knygą „Leonardas Euleris“.

(Vaikinų žinutė šia tema)

VI. Apibendrinant pamoką

Žaidimas „Tic Tac Toe“

Dalyvauja du aktyviausi mokiniai.

Juos palaiko grupės. Užduočių sprendimai surašomi į sąsiuvinį.

Užduotys

1) Raskite klaidą< О
a) nuodėmė 225 = – 1,1 c) nuodėmė 115

b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0
2) Išreikškite kampą laipsniais
3) Išreikškite kampą 300 radianais 4) Koks yra didžiausias ir mažiausia vertė
gali turėti išraišką: 1+ sin α;
5) Nustatykite išraiškos ženklą: sin 260, cos 300. 6) Kuriame ketvirtyje skaičių ratas
esantis taškas
7) Nustatykite išraiškos požymius: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Apskaičiuokite:

9) Palyginkite: nuodėmė 2 ir nuodėmė 350

Mokytojas: VII. Pamokos refleksija
Kur galime susipažinti su trigonometrija?

Kokiose pamokose 9 klasėje ir dar dabar vartojate sin α, cos α sąvokas; tg α; ctg α ir kokiu tikslu? Leidžia nustatyti keletą būdingų rezultatų - sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybės . Šiame straipsnyje apžvelgsime tris pagrindines savybes. Pirmasis iš jų nurodo kampo α sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ženklus, priklausomai nuo to, kurio koordinačių ketvirčio kampas yra α. Toliau nagrinėsime periodiškumo savybę, kuri nustato kampo α sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento verčių invariaciją, kai šis kampas pasikeičia sveiku apsisukimų skaičiumi. Trečioji savybė išreiškia ryšį tarp sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių priešingi kampai

α ir −α.

Jei jus domina sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento funkcijų savybės, galite jas ištirti atitinkamoje straipsnio dalyje.

Puslapio naršymas.

Sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento ženklai ketvirčiais

Žemiau šioje pastraipoje atsiras frazė „I, II, III ir IV koordinačių ketvirčio kampai“. Paaiškinkime, kas yra šie kampai.

Paimkime vienetinį apskritimą, pažymime jame pradžios tašką A(1, 0) ir pasukime aplink tašką O kampu α ir manysime, kad pateksime į tašką A 1 (x, y). kampas α – I, II, III, IV koordinačių kvadranto kampas, jei taškas A 1 yra atitinkamai I, II, III, IV ketvirčiuose; jei kampas α yra toks, kad taškas A 1 yra bet kurioje koordinačių tiesėje Ox arba Oy, tai šis kampas nepriklauso nė vienam iš keturių ketvirčių.

Aiškumo dėlei čia yra grafinė iliustracija. Žemiau esančiuose brėžiniuose pavaizduoti 30, –210, 585 ir –45 laipsnių sukimosi kampai, kurie yra atitinkamai I, II, III ir IV koordinačių ketvirčių kampai.

Kampai 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … laipsniai nepriklauso nė vienam koordinačių ketvirčiui.

Dabar išsiaiškinkime, kokie ženklai turi sukimosi kampo α sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes, priklausomai nuo to, kuris ketvirčio kampas yra α.

Su sinusu ir kosinusu tai padaryti lengva.

Pagal apibrėžimą kampo α sinusas yra taško A 1 ordinatė. Akivaizdu, kad I ir II koordinačių ketvirčiuose jis yra teigiamas, o III ir IV – neigiamas. Taigi kampo α sinusas turi pliuso ženklą 1 ir 2 ketvirčiuose, o minuso ženklą 3 ir 6 ketvirčiuose.

Savo ruožtu kampo α kosinusas yra taško A 1 abscisė. I ir IV ketvirčius jis teigiamas, o II ir III – neigiamas. Vadinasi, kampo α kosinuso reikšmės I ir IV ketvirčiuose yra teigiamos, o II ir III ketvirčiuose – neigiamos.

Norėdami nustatyti ženklus liestinės ir kotangento ketvirčiais, turite atsiminti jų apibrėžimus: liestinė yra taško A 1 ordinatės ir abscisės santykis, o kotangentas yra taško A 1 abscisės ir ordinatės santykis. Tada nuo skaičių padalijimo taisyklės su tuo pačiu ir skirtingi ženklai iš to seka, kad liestinė ir kotangentas turi pliuso ženklą, kai taško A 1 abscisės ir ordinatės ženklai yra vienodi, ir minuso ženklą, kai taško A 1 abscisės ir ordinatės ženklai skiriasi. Vadinasi, kampo liestinė ir kotangentas turi + ženklą I ir III koordinačių ketvirčiuose, o minuso ženklą II ir IV ketvirčiuose.

Iš tiesų, pavyzdžiui, pirmąjį ketvirtį taško A 1 abscisė x ir ordinatė y yra teigiami, tada ir koeficientas x/y, ir koeficientas y/x yra teigiami, todėl liestinė ir kotangentas turi + ženklus. O antrajame ketvirtyje abscisė x yra neigiama, o ordinatė y yra teigiama, todėl ir x/y, ir y/x yra neigiami, todėl liestinė ir kotangentas turi minuso ženklą.

Pereikime prie į toliau nurodytą nuosavybę sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Periodiškumo savybė

Dabar pažvelgsime į bene akivaizdžiausią kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento savybę. Tai yra taip: kai kampas pasikeičia sveikuoju skaičiumi pilnos revoliucijosšio kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės nesikeičia.

Tai suprantama: kai kampas pasikeičia sveiku apsisukimų skaičiumi, mes pradžios taškas Ir mes visada pateksime į tašką A 1 vieneto apskritime, todėl sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės išlieka nepakitusios, nes taško A 1 koordinatės nesikeičia.

Naudojant formules, nagrinėjamą sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybę galima užrašyti taip: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+) 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, kur α yra sukimosi kampas radianais, z yra bet koks , absoliuti vertė kuris rodo pilnų apsisukimų skaičių, kuriuo kinta kampas α, o skaičiaus z ženklas – sukimosi kryptį.

Jei sukimosi kampas α nurodytas laipsniais, tada nurodytos formulės bus perrašomos į sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Pateiksime šios nuosavybės naudojimo pavyzdžių. Pavyzdžiui, , nes , A . Štai dar vienas pavyzdys: arba .

Ši savybė kartu su redukcijos formulėmis labai dažnai naudojama apskaičiuojant „didelių“ kampų sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes.

Nagrinėjama sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybė kartais vadinama periodiškumo savybe.

Priešingų kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų savybės

Tegul A 1 yra taškas, gautas pradinį tašką A(1, 0) pasukus aplink tašką O kampu α, o taškas A 2 – taško A pasukimo kampu −α, priešingu kampui α, rezultatas.

Priešingų kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų savybė pagrįsta gana akivaizdus faktas: aukščiau paminėti taškai A 1 ir A 2 sutampa (at) arba yra simetriškai Ox ašies atžvilgiu. Tai yra, jei taškas A 1 turi koordinates (x, y), tai taškas A 2 turės koordinates (x, −y). Iš čia, naudodami sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus, rašome lygybes ir .
Palyginus juos, gauname ryšius tarp formos priešingų kampų α ir −α sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų.
Tai yra formulių pavidalu nagrinėjama savybė.

Pateiksime šios nuosavybės naudojimo pavyzdžių. Pavyzdžiui, lygybės ir .

Belieka tik pažymėti, kad priešingų kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų savybė, kaip ir ankstesnė savybė, dažnai naudojama apskaičiuojant sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes ir leidžia visiškai išvengti neigiamų. kampai.

Nuorodos.

• Algebra: Vadovėlis 9 klasei. vid. mokykla/Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Telyakovsky - M.: Išsilavinimas, 1990. - 272 p.: ISBN 5-09-002727-7
• Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ir kt. Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
• Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla - 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Jei jau esate susipažinę su trigonometrinis ratas , ir tiesiog noriu atnaujinti atmintį atskiri elementai, arba esate visiškai nekantrus, tai štai:

Čia mes viską išsamiai išanalizuosime žingsnis po žingsnio.

Trigonometrinis ratas – ne prabanga, o būtinybė

Trigonometrija Daugeliui žmonių tai asocijuojasi su nepraeinančiu tankumu. Staiga tiek daug trigonometrinių funkcijų reikšmių, tiek daug formulių susikaupia... Bet lyg iš pradžių nepasisekė ir... einam... visiškas nesusipratimas...

Labai svarbu nepasiduoti trigonometrinių funkcijų reikšmės, – sako, į spurtą visada galima pažiūrėti su vertybių lentele.

Jei nuolat žiūrite į lentelę su vertybėmis trigonometrines formules, atsikratykime šio įpročio!

Jis mums padės! Dirbsite su juo keletą kartų, tada jis pasirodys jūsų galvoje. Kas jis toks geresni stalai? Taip, lentelėje rasite ribotą reikšmių skaičių, bet ant apskritimo – VISKAS!

Pavyzdžiui, pasakykite žiūrėdami standartinis stalas trigonometrinių formulių reikšmės , koks sinusas lygus, tarkime, 300 laipsnių arba -45.

Jokiu būdu?.. galima, žinoma, prisijungti redukcijos formules... O pažiūrėjus į trigonometrinį apskritimą galima nesunkiai atsakyti į tokius klausimus. Ir netrukus sužinosite, kaip!

Ir sprendžiant trigonometrines lygtis o nelygybės be trigonometrinio apskritimo – išvis niekur.

Įvadas į trigonometrinį apskritimą

Eikime eilės tvarka.

Pirmiausia užrašykite šią skaičių seriją:

O dabar tai:

Ir galiausiai šis:

Žinoma, aišku, kad iš tikrųjų pirmoje vietoje yra , antroje yra , o paskutinėje yra . Tai yra, mes būsime labiau suinteresuoti grandine.

Bet kaip gražu tai pasirodė! Jei kas nors atsitiks, mes atstatysime šias „stebuklingas kopėčias“.

Ir kam mums to reikia?

Ši grandinė yra pagrindinės sinuso ir kosinuso reikšmės pirmąjį ketvirtį.

Įsitraukime stačiakampė sistema koordinatės yra vienetinio spindulio apskritimas (tai yra, paimame bet kurį spindulį ir paskelbiame jo ilgį vienetu).

Iš "0-Start" sijos klojame kampus rodyklės kryptimi (žr. pav.).

Gauname atitinkamus apskritimo taškus. Taigi, jei suprojektuosime taškus ant kiekvienos ašies, gausime tiksliai vertes iš aukščiau pateiktos grandinės.

Kodėl taip, klausiate?

Neanalizuokime visko. Pasvarstykime principu, kuri leis jums susidoroti su kitomis, panašiomis situacijomis.

Trikampis AOB yra stačiakampis ir jame yra . Ir mes žinome, kad priešais kampą b yra pusė hipotenuzės dydžio koja (turime hipotenuzą = apskritimo spindulys, tai yra 1).

Tai reiškia AB= (taigi ir OM=). Ir pagal Pitagoro teoremą

Tikiuosi, kažkas jau aiškėja?

Taigi taškas B atitiks reikšmę, o taškas M – reikšmę

Tas pats ir su kitomis pirmojo ketvirčio vertėmis.

Kaip suprantate, pažįstama ašis (jautis) bus kosinuso ašis, o ašis (oy) – sinusų ašis . Vėliau.

Į kairę nuo nulio išilgai kosinuso ašies (žemiau nulio išilgai sinuso ašies), žinoma, bus neigiamos reikšmės.

Taigi, štai visagalis, be kurio trigonometrijoje niekur nėra.

Bet mes kalbėsime apie tai, kaip naudoti trigonometrinį apskritimą.

Trigonometrija, kaip mokslas, atsirado Senovės Rytuose. Pirma trigonometriniai santykiai buvo sukurti astronomų, norėdami sukurti tikslų kalendorių ir naršyti pagal žvaigždes. Šie skaičiavimai buvo susiję su sferine trigonometrija mokyklos kursas ištirti plokštumos trikampio kraštinių ir kampų santykius.

Trigonometrija yra matematikos šaka, nagrinėjanti trigonometrinių funkcijų savybes ir ryšius tarp trikampių kraštinių ir kampų.

I tūkstantmečio mūsų eros kultūros ir mokslo klestėjimo laikais žinios sklido iš Senovės Rytaiį Graikiją. Tačiau pagrindiniai trigonometrijos atradimai yra vyrų nuopelnas Arabų kalifatas. Visų pirma, Turkmėnijos mokslininkas al-Marazwi pristatė tokias funkcijas kaip liestinė ir kotangentas ir sudarė pirmąsias sinusų, liestinių ir kotangentų verčių lenteles. Sinuso ir kosinuso sąvokas pristatė Indijos mokslininkai. Trigonometrija daug dėmesio sulaukė tokių didžiųjų antikos veikėjų kaip Euklidas, Archimedas ir Eratostenas darbuose.

Pagrindiniai trigonometrijos dydžiai

Pagrindinės trigonometrinės funkcijos skaitinis argumentas– tai sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas. Kiekvienas iš jų turi savo grafiką: sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą.

Šių dydžių verčių apskaičiavimo formulės yra pagrįstos Pitagoro teorema. Moksleiviams geriau žinoma formuluotėje: „ Pitagoro kelnės, yra vienodos visomis kryptimis“, nes įrodymas pateikiamas lygiašonio pavyzdžiu stačiakampis trikampis.

Sinusas, kosinusas ir kitos priklausomybės nustato ryšį tarp aštrūs kampai ir bet kurio stačiojo trikampio kraštinės. Pateikiame šių kampo A dydžių skaičiavimo formules ir atsekime ryšius tarp trigonometrinių funkcijų:

Kaip matote, tg ir ctg yra atvirkštinės funkcijos. Jei koją a įsivaizduosime kaip nuodėmės A ir hipotenuzės c sandaugą, o koją b kaip cos A * c, gausime sekančias formules liestinė ir kotangentė:

Trigonometrinis ratas

Grafiškai ryšį tarp minėtų dydžių galima pavaizduoti taip:

Apimtis, in šiuo atveju, reprezentuoja viską galimas vertes kampas α - nuo 0° iki 360°. Kaip matyti iš paveikslo, kiekviena funkcija įgauna neigiamą arba teigiama vertė priklausomai nuo kampo dydžio. Pavyzdžiui, nuodėmė α turės „+“ ženklą, jei α priklauso 1 ir 2 apskritimo ketvirčiams, tai yra, jis yra diapazone nuo 0 ° iki 180 °. Kai α nuo 180° iki 360° (III ir IV ketvirčiai), sin α gali būti tik neigiama reikšmė.

Pabandykime statyti trigonometrinės lentelės konkretiems kampams ir sužinoti dydžių vertę.

α reikšmės, lygios 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ir pan., vadinamos ypatingais atvejais. Jų trigonometrinių funkcijų reikšmės apskaičiuojamos ir pateikiamos specialių lentelių pavidalu.

Šie kampai nebuvo pasirinkti atsitiktinai. Lentelėse esantis žymėjimas π yra radianai. Rad yra kampas, kuriame apskritimo lanko ilgis atitinka jo spindulį. Ši vertė buvo įvestas siekiant nustatyti visuotinę priklausomybę skaičiuojant radianais, tikrasis spindulio ilgis cm neturi reikšmės.

Trigonometrinių funkcijų lentelėse esantys kampai atitinka radianų reikšmes:

Taigi, nesunku atspėti, kad 2π yra pilnas ratas arba 360°.

Trigonometrinių funkcijų savybės: sinusas ir kosinusas

Norint apsvarstyti ir palyginti pagrindines sinuso ir kosinuso, liestinės ir kotangento savybes, būtina nubrėžti jų funkcijas. Tai galima padaryti kreivės, esančios dvimatėje koordinačių sistemoje, forma.

Apsvarstykite palyginimo lentelė sinuso ir kosinuso savybės:

Nustatyti, ar funkcija lygi, ar ne, labai paprasta. Pakanka įsivaizduoti trigonometrinį apskritimą su trigonometrinių dydžių ženklais ir mintyse „sulenkti“ grafiką OX ašies atžvilgiu. Jei ženklai sutampa, funkcija yra lyginė, kitu atveju – nelyginė.

Radianų įvedimas ir pagrindinių sinusinių bei kosinusinių bangų savybių sąrašas leidžia mums pateikti tokį modelį:

Labai lengva patikrinti, ar formulė yra teisinga. Pavyzdžiui, jei x = π/2, sinusas yra 1, kaip ir x = 0 kosinusas. Patikrinti galima naudojant lenteles arba atsekant nurodytų reikšmių funkcijų kreives.

Tangentoidų ir kotangentoidų savybės

Tangentinių ir kotangentinių funkcijų grafikai labai skiriasi nuo sinuso ir kosinuso funkcijų. Reikšmės tg ir ctg yra viena kitos abipusės reikšmės.

1. Y = įdegis x.
2. Liestinė linkusi į y reikšmes, kai x = π/2 + πk, bet niekada jų nepasiekia.
3. Mažiausias teigiamas tangentoido periodas yra π.
4. Tg (- x) = - tg x, t.y. funkcija nelyginė.
5. Tg x = 0, jei x = πk.
6. Funkcija didėja.
7. Tg x › 0, kai x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, kai x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Išvestinė (tg x)’ = 1/cos 2⁡x.

Pasvarstykime grafinis vaizdas kotangentoidai žemiau tekste.

Pagrindinės kotangentoidų savybės:

1. Y = vaikiška lovelė x.
2. Skirtingai nuo sinuso ir kosinuso funkcijų, tangentoidėje Y gali įgyti visų realiųjų skaičių aibės reikšmes.
3. Kotangentoidas linkęs į y reikšmes, kai x = πk, bet niekada jų nepasiekia.
4. Mažiausias teigiamas kotangentoido periodas yra π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, t.y. funkcija nelyginė.
6. Ctg x = 0, kai x = π/2 + πk.
7. Funkcija mažėja.
8. Ctg x › 0, kai x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, kai x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Išvestinė (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Teisingai