Арга зүй математикийн нотолгоо

IN өдөр тутмын амьдралИхэнхдээ тэд нотлох баримтын талаар ярихдаа хийсэн мэдэгдлийг шалгахыг хэлдэг. Математикийн хувьд баталгаажуулалт, нотолгоо нь хоорондоо холбоотой боловч өөр зүйл юм. Жишээлбэл, хэрэв дөрвөлжин гурван өнцөгтэй бол тэгш өнцөгт гэдгийг батлахыг хүсч байна.

Хэрэв бид гурван өнцөг нь зөв дөрвөн өнцөгтийг авч, дөрөв дэх өнцөг нь зөв гэдэгт итгэлтэй байгаа бол энэ шалгалт нь энэ мэдэгдлийг илүү үнэмшилтэй болгох боловч хараахан нотлогдоогүй байна.

Энэ мэдэгдлийг батлахын тулд гурван өнцөг нь зөв байх дурын дөрвөн өнцөгтийг авч үзье. Аливаа гүдгэр дөрвөн өнцөгт өнцгийн нийлбэр 360⁰ байдаг тул энэ нь 360⁰ байна. Гурван тэгш өнцөгтийн нийлбэр нь 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰) тул дөрөв дэх нь 90⁰ (360⁰ - 270⁰) утгатай байна. Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцөг нь тэгш өнцөгт байвал энэ нь тэгш өнцөгт болно. Q.E.D.

Нотлох баримтын мөн чанар нь ийм дарааллыг бий болгох явдал гэдгийг анхаарна уу үнэн мэдэгдэл(теорем, аксиом, тодорхойлолт), үүнээс логикоор нотлох шаардлагатай мэдэгдлийг дагаж мөрддөг.

Ер нь мэдэгдлийг нотлох гэдэг нь энэ мэдэгдэл нь үнэн ба холбогдох мэдэгдлийн системээс логикийн дагуу гарч байгааг харуулах гэсэн үг юм.

Логикийн хувьд хэрэв тухайн мэдэгдэл нь аль хэдийн батлагдсан мэдэгдлээс логикийн хувьд дагалддаг бол энэ нь үндэслэлтэй бөгөөд сүүлчийнхтэй адил үнэн гэж үздэг.

Тиймээс математикийн нотлох үндэс нь дедуктив дүгнэлт юм. Мөн нотлох баримт нь өөрөө дүгнэлтийн гинжин хэлхээ бөгөөд тэдгээрийн тус бүрийн дүгнэлт (сүүлийнхээс бусад) нь дараагийн дүгнэлтүүдийн аль нэгний суурь юм.

Жишээлбэл, дээрх нотолгоонд дараахь дүгнэлтийг ялгаж болно.

1. Аливаа гүдгэр дөрвөн өнцөгт өнцгийн нийлбэр нь 360⁰; энэ тоо – гүдгэр дөрвөлжинТиймээс түүний өнцгийн нийлбэр нь 360⁰ байна.

2. Дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцгийн нийлбэр ба гурвын нийлбэр нь мэдэгдэж байгаа бол хасах аргаар дөрөв дэхийн утгыг олох боломжтой; Өгөгдсөн дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцгийн нийлбэр нь 360⁰, гурвын нийлбэр нь 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), дөрөв дэхийн утга нь 360⁰ - 270⁰ = 90⁰ байна.

3. Дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцөг нь тэгш өнцөгт байвал энэ дөрвөлжин тэгш өнцөгт болно; Өгөгдсөн дөрвөлжинд бүх өнцөг нь тэгш өнцөгт байдаг тул энэ нь тэгш өнцөгт юм.

Дээрх бүх дүгнэлтүүд нь дүгнэлтийн дүрмийн дагуу хийгдсэн тул дедуктив шинж чанартай байдаг.

Хамгийн энгийн нотолгоо нь нэг дүгнэлтээс бүрдэнэ. Жишээлбэл, энэ нь 6 гэсэн мэдэгдлийн баталгаа юм< 8.

Тиймээс математикийн баталгааны бүтцийн талаар ярихдаа энэ нь юуны түрүүнд нотлогдож байгаа мэдэгдэл, нотлох баримтыг ашиглан үнэн мэдэгдлийн системийг агуулдаг гэдгийг ойлгох ёстой.

Математикийн нотолгоо нь зөвхөн дүгнэлтийн багц биш, тодорхой дарааллаар байрлуулсан дүгнэлтүүд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Удирдлагын аргын дагуу (хэлбэр) тэд ялгадаг шууд ба шууд бус нотлох баримт. Өмнө нь авч үзсэн нотолгоо нь шууд байсан - үүнд зарим үнэн өгүүлбэр дээр үндэслэн, теоремын нөхцлийг харгалзан жинхэнэ дүгнэлтэд хүргэсэн дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээг бий болгосон.

Шууд бус нотлох баримтын жишээ бол нотлох баримт юм зөрчилдөөнөөр . Үүний мөн чанар нь дараах байдалтай байна. Теоремыг батлах шаардлагатай байг

A ⇒ B. Зөрчилдөөнөөр нотлохдоо (В) теоремын дүгнэлт худал, тиймээс түүнийг үгүйсгэх нь үнэн гэж үздэг. "Б биш" гэсэн өгүүлбэрийг нотлох үйл явцад ашигласан үнэн байруудын багцад (түүний дотор А нөхцөл) хавсаргаснаар тэд аль нэг заалттай зөрчилдсөн мэдэгдлийг олж авах хүртэл дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээг бий болгодог, ялангуяа: нөхцөл A. Зөвхөн ийм зөрчил хэрхэн тогтоогдож, нотлох үйл явц дуусч, үүссэн зөрчил нь теоремын үнэнийг нотолж байна гэж хэлдэг

Бодлого 1. Хэрэв a + 3 > 10 бол a ≠ 7. Зөрчилөөр арга.

Бодлого 2. Хэрэв x² - гэдгийг батал. тэгш тоо, тэгвэл x тэгш байна. Эсрэг арга.

Бодлого 3. Дөрвөн дараалсан натурал тоо өгөгдсөн. Энэ дарааллын дундаж тоонуудын үржвэр нь үнэн үү илүү их ажилтуйлын 2-оор? Бүрэн бус индукцийн арга.

Бүрэн индукц - энэ нь бүх тодорхой тохиолдлуудад мэдэгдлийн үнэн нь түүний үнэнээс гардаг нотлох арга юм.

Бодлого 4. Композит бүр гэдгийг батал натурал тоо, 4-өөс их боловч 20-оос бага бол хоёр анхны тооны нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Бодлого 5. Натурал n тоо 3-ын үржвэр биш бол n² + 2 илэрхийллийн утга 3-ын үржвэр гэж үнэн үү? Бүрэн индукцийн арга.

Гол дүгнэлтүүд

Энэ үед бид дүгнэлт, үндэслэл ба дүгнэлт, дедуктив (зөв) дүгнэлт, бүрэн бус индукц, аналоги, ойлголттой танилцсан. шууд нотолгоо, шууд бус нотолгоо, бүрэн индукц.

Бүрэн бус индукц ба аналоги нь дедукцтэй нягт холбоотой болохыг бид олж мэдсэн: бүрэн бус индукц ба аналоги ашиглан олж авсан дүгнэлтийг нотлох эсвэл үгүйсгэх ёстой. Нөгөөтэйгүүр, хасалт үүсэхгүй хоосон зай, гэхдээ материалын урьдчилсан индуктив судалгааны үр дүн юм.

Дедуктив үндэслэл нь одоо байгаа мэдлэгээс шинэ үнэнийг олж авах боломжийг олгодог бөгөөд үүнээс гадна туршлага, зөн совин гэх мэт зүйлийг ашиглахгүйгээр үндэслэлийн тусламжтайгаар.

Математикийн баталгаа нь дагуу хийгдсэн дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээ гэдгийг бид олж мэдсэн тодорхой дүрэм. Бид тэдгээрийн хамгийн энгийн нь: дүгнэлтийн дүрэм, үгүйсгэх дүрэм, силлогизмын дүрэмтэй танилцсан. Та Эйлерийн тойргийг ашиглан дүгнэлтийн зөв эсэхийг шалгаж болно гэдгийг бид олж мэдсэн.

Сайн бүтээлээ мэдлэгийн санд оруулах нь амархан. Доорх маягтыг ашиглана уу

Мэдлэгийн баазыг суралцаж, ажилдаа ашигладаг оюутнууд, аспирантууд, залуу эрдэмтэд танд маш их талархах болно.

http://www.allbest.ru/ сайтад нийтлэгдсэн.

Курсын ажил

сэдвээр: Нотлох баримтыг хэрэгсэл болгон математик сэтгэлгээ. Нотлох баримтын тухай санаа, нотлох баримтын үзэл баримтлалын хувьсал

Танилцуулга

1.2 Нотлох баримтын төрлүүд

Дүгнэлт

Лавлагаа

Танилцуулга

Хүн хүрээлэн буй бодит байдлын талаархи мэдлэгийнхээ ихэнх хэсгийг сэтгэн бодох замаар олж авдаг. Тэдгээрийн дүгнэлт нь зөв үндэслэлийн үр дүн бол үнэн байх бөгөөд логикийн дүрмийн дагуу баригдсан үндэслэл нь тийм гэж тооцогддог. Үндэслэл бол нотлох үндэс юм. математик логик аксиоматик

Нотлох тухай ойлголт нь мэдлэгийн олон салбарт, тухайлбал, хууль зүй, филологи, түүх зэрэгт нэлээд түгээмэл байдаг боловч нотлох тухай ойлголт нь математиктай хамгийн нягт холбоотой байдаг. Энэ нь нотлох чадвар юм математикийн мэдэгдлүүд, Математикийн бичвэрт нотолгоо байгаа нь математикийг бусад мэдлэгийн салбаруудаас хамгийн тод ялгаж өгдөг.

1939 онд Николас Бурбаки "Математикийн зарчмууд" зохиолоо "Грекчүүдийн үеэс "математик" гэж хэлэх нь "нотолгоо" гэсэн үг юм. Тиймээс эдгээр хоёр үг бараг ижил утгатай.

Математикийн нотолгоо болон бусад мэдлэгийн салбар дахь нотолгоо хоёрын ялгаа нь математикт үнэмшүүлэх босго нь хамаагүй өндөр байдагт оршино. Математик нотолгоо нь бусад мэдлэгийн салбарын нотолгооноос ялгаатай нь маргаангүй байдлын стандарт гэж хүлээн зөвшөөрөгддөг. Математикийн нотолгооны үнэмшилтэй байдал нь математикийн мэдэгдлийн тодорхой, хоёрдмол утгагүй байдалаар нотлогддог. Үүнийг нотлох баримтууд авч байгаа гэж үзвэл чухал газарматематикийн хувьд, энэ сэдэвмаш чухал, сонирхолтой, хамааралтай.

Зорилтот курсын ажил: нотлох баримтын тухай ойлголт, түүний хөгжлийн түүхийг авч үзье.

1. Онолын мэдээлэлнотлох тухай ойлголттой холбоотой

1.1 Үндсэн ойлголтууд математик логикнотлох тухай ойлголттой холбоотой

Математик логикийн үндсэн ойлголтуудын талаар ярихын тулд энэ нэр томъёог тодорхойлох шаардлагатай.

Үг хэлэх чадвар нь дүрмийн шинжлэх ухаан үүсэхээс өмнө байсан шиг зөв сэтгэх урлаг нь логикийн шинжлэх ухаан үүсэхээс нэлээд өмнө оршин байсан.

Математик логик нь математикийн нотлох арга, математикийн мэдэгдэл, математикийн үндэс суурийг судлахад зориулагдсан математикийн салбар юм. Математик логик нь үндсэндээ ийм хоёрын уулзвар дээр үүссэн янз бүрийн шинжлэх ухаан, философи, эсвэл илүү нарийвчлалтай - философийн логик, математик. Гэсэн хэдий ч шинэ логик ба гүн ухааны хоорондын харилцаа тасарсангүй, харин эсрэгээрээ парадокс байдлаар улам хүчтэй болсон. Философид хандах нь зайлшгүй нөхцөлтүүний суурь логикийг тодруулах. Нөгөө талаар орчин үеийн логикийн үзэл баримтлал, арга хэрэгсэл, хэрэгслийг философид ашиглах нь логикийг илүү тодорхой ойлгоход хувь нэмэр оруулах нь дамжиггүй. философийн ойлголтууд, зарчим, асуудал.

Математик логикийн гол асуулт бол хийсэн байр сууринаас гаргаж авсан үндэслэл хэр үндэслэлтэй вэ гэдэг юм.

Логикийн гол үүрэг бол салгах явдал юм зөв арга замуудбуруу дүгнэлт (дүгнэлт, дүгнэлт).

"Логик" гэдэг үг нь Грекийн "логос" -оос гаралтай бөгөөд нэг талаас "үг" эсвэл "яриа" гэсэн утгатай, нөгөө талаас үг хэллэгээр илэрхийлэгддэг, өөрөөр хэлбэл. бодож байна. Математик логик үүссэн нь уламжлалт шинжлэх ухааны ойлголт, аргуудыг шинэ хэлбэрээр тодруулж, гэрэлтүүлэв. албан ёсны логик, түүний чадавхи, хэрэглээний хамрах хүрээг ихээхэн өргөжүүлсэн. Өнөөдөр математик логикийг биологи, анагаах ухаан, хэл шинжлэл, сурган хүмүүжүүлэх ухаан, сэтгэл судлал, эдийн засаг, технологид ашиглаж байна.

Логик бол сэтгэхүйн тусгай шинжлэх ухааны нэр бөгөөд үүнийг албан ёсны логик гэж нэрлэдэг.

Хүний сэтгэлгээнээс илүү олон талт, нарийн төвөгтэй үзэгдлийг олоход хэцүү байдаг. Үүнийг олон шинжлэх ухаан судалдаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь логик юм. Үүний сэдэв нь логик хуулиуд ба логик үйлдлүүдбодож байна. Логикоор тогтоосон зарчмууд нь шинжлэх ухааны бүх хуулиудын нэгэн адил зайлшгүй шаардлагатай. Бид тэднийг мэдээгүй байж болох ч дагахаас өөр аргагүйд хүрдэг.

Албан ёсны логик нь зөв сэтгэлгээний хууль тогтоомж, үйл ажиллагааны шинжлэх ухаан юм.

Одоо бид нотлох үзэл баримтлалтай холбоотой математик логикийн үндсэн ойлголтуудыг илчлэх болно.

Нотлох баримтын тодорхойлолт нь хоёрыг агуулдаг төв ойлголтуудлогик: үнэний тухай ойлголт ба логик үр дагаврын тухай ойлголт. Эдгээр ойлголтууд хоёулаа хангалттай тодорхой биш тул тэдгээрээр тодорхойлсон нотлох баримтын тухай ойлголтыг бас тодорхой гэж ангилж болохгүй.

Математикийн үнэн гэж юу болохыг ойлгох нь ноцтой хүндрэл үүсгэдэг. Эцсийн эцэст, математикийн объектууд нь физик объектуудаас ялгаатай нь байгальд байдаггүй, зөвхөн хүмүүсийн оюун ухаанд байдаг. Тиймээс үнэн бол бодит байдлын бодит байдалд тохирсон зүйл гэж хэлэх нь зөвхөн математикийн үнэнд л хэрэглэж болно.

Цаашлаад логик үр дагаврын тухай ганц ойлголт байдаггүй. Логик системүүдЗарчмын хувьд энэ үзэл баримтлалыг тодорхойлсон хязгааргүй олон хүмүүс байдаг, жишээлбэл: "Логик үр дагавар нь байр суурь ба тэдгээрээс үндэслэлтэй гаргасан дүгнэлтийн хоорондын хамаарал юм." Гэхдээ аль нь ч байхгүй орчин үеийн логикЛогик хууль ба логик үр дагаврын тодорхойлолтууд нь шүүмжлэлээс ангид байдаггүй бөгөөд "логик нөлөөллийн парадоксууд" гэж нэрлэдэг.

Дүгнэлт бол одоо байгаа зарим мэдлэг дээр үндэслэн шинэ мэдлэг олж авах арга юм. Үүний зэрэгцээ бид бодит байдлын объект, үзэгдлийн судалгаанд ханддаггүй, харин тэдгээрийн хоорондын шууд харагдахгүй холболт, харилцаа холбоог олж илрүүлдэг.

Дүгнэлт нь байр суурь, дүгнэлтээс бүрдэнэ.

Байшин нь анхны мэдлэгийг агуулсан мэдэгдэл юм.

Дүгнэлт гэдэг нь анхны мэдлэгээс олж авсан шинэ мэдлэгийг агуулсан мэдэгдэл юм.

Дүгнэлт нь өөр. Хэрэв дүгнэлт нь байр сууринаас логикоор гарч ирсэн бөгөөд бид түүний үнэн гэдэгт эргэлзэхгүй байвал ийм дүгнэлт нь дедуктив болно.

Математикт дедуктив үндэслэлээс гадна бүрэн бус индукц гэсэн ойлголт байдаг.

Бүрэн бус индукц гэдэг нь тухайн ангийн зарим объектууд байдаг гэсэн дүгнэлтэд үндэслэсэн дүгнэлт юм тодорхой өмч, бүх объектууд энэ өмчтэй байна гэж дүгнэсэн энэ ангийн. Бүрэн бус индукц ашиглан олж авсан дүгнэлт нь таамаглалын шинж чанартай байдаг тул нотлох эсвэл няцаах шаардлагатай.

Аналоги гэдэг нь зарим шинж чанараараа хоёр объектын ижил төстэй байдал, тэдгээрийн аль нэгэнд нь нэмэлт шинж чанар байгаа эсэхийг үндэслэн нөгөө объектод ижил шинж чанар байгаа эсэх талаар дүгнэлт хийдэг дүгнэлт юм.

Аналогийн дүгнэлт нь таамаглалын шинж чанартай бөгөөд нотлох эсвэл няцаах шаардлагатай.

Мэдэгдэл ба илэрхийлэлтэй хэлбэрүүд.

Мэдэгдэл - дүрмийн хувьд зөв өгүүлбэр, илэрхийлсэн утга (агуулгын) хамт авч, үнэн эсвэл худал байх.

Хэрэв түүний өгсөн тайлбар таарч байвал мэдэгдлийг үнэн гэж үзнэ бодит байдал, хэрэв тохирохгүй бол худал. "Үнэн" ба "худал" нь мэдэгдлийн үнэний утга гэж нэрлэгддэг.

Гэхдээ өгүүлбэр бүр нь мэдэгдэл биш юм. Мэдэгдэлд байцаалт болон анхаарлын үгс, учир нь тэдний үнэн худлыг ярих нь утгагүй юм. Үнэлгээ агуулсан өгүүлбэрүүд, жишээлбэл, "Математик бол уйтгартай хичээл" гэх мэт өгүүлбэрүүд нь мэдэгдэл биш, учир нь зөвшилцөл байхгүй байна. энэ саналэсвэл худал.

Экспрессив хэлбэр нь дор хаяж нэг хувьсагч агуулсан өгүүлбэр бөгөөд бүх хувьсагчийг утгаараа орлуулах үед өгүүлбэр болдог. Жишээлбэл, "Тоо нь 2-т хуваагдана" гэсэн өгүүлбэр нь тодорхой хувьсагч агуулаагүй боловч саналын хэлбэр юм. "Тоо" гэдэг үгийн оронд бүхэл тоогоор орлуулбал энэ нь мэдэгдэл болно. Үгүй бол энэ өгүүлбэрийг "х тоо 2-т хуваагдана" гэж бичиж болно.

Тайлбарыг энгийн болон нийлмэл гэж хуваадаг.

Нийлмэл хэллэгийг анхан шатны хэллэгүүдээс холбогч, хэллэг ашиглан олж авдаг.

Илүү үнэмшилтэй математикийн нотолгоо хайх нь аксиоматик арга гэж нэрлэгддэг аргыг бий болгоход хүргэсэн. Товчхондоо дараах байдалтай байна. Үндсэн заалтуудыг авч үзсэн математикийн онол, тэдгээр нь нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгддөг ба тэдгээрээс авч үзэж буй математикийн онолын бусад бүх заалтууд, нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгддөг бөгөөд тэдгээрээс бусад бүх заалтууд нь цэвэр логик үндэслэлээр гарч ирдэг. Эдгээр үндсэн заалтуудыг аксиом гэж нэрлэдэг ба тэдгээрээс үүссэнийг теорем гэж нэрлэдэг. Аксиом бүр нь аксиомын жагсаалтаас үүсэлтэй нь тодорхой тул аксиомуудыг дараах байдлаар авч үзэх нь тохиромжтой. онцгой тохиолдолтеоремууд (өөрөөр бол “теорем” гэдэг үгийг энийг өгөх ёстой урт тодорхойлолт: Теорем гэдэг нь аксиомуудын жагсаалтаас гарган авсан боловч тэр жагсаалтад ороогүй зүйлийг хэлнэ. Аксиомуудад үндсэн ойлголтуудын тодорхойлолтын оронд тэдгээрийн үндсэн, анхны шинж чанаруудыг албан бус байдлаар томъёолдог аксиоматик арга.

Албан ёсны аксиоматик арга нь албан бус аргаас ялгаатай бөгөөд энэ нь зөвхөн анхны ухагдахууныг төдийгүй үндэслэлийн зөвшөөрөгдсөн аргуудыг тодорхой жагсаасан байдаг. Хийх боломжтой логик шилжилтийг нарийн зааж өгсөн болно. Түүнээс гадна: аксиом ба зөвшөөрөгдсөн логик шилжилтийг хоёуланг нь эхнийх нь ашиглаж болохуйцаар зохион бүтээсэн байх ёстой бөгөөд сүүлийнх нь цэвэр механикаар хийгдсэн байх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд та нотлох баримтад хамаарах мэдэгдлүүдтэй ажиллах чадвартай байх ёстой бөгөөд зөвхөн тэдгээрт найдаж болно гадаад төрх, агуулга дээр биш.

Дүгнэлтийн хамгийн энгийн дүрмүүд. Тэдний тусламжтайгаар хараат байдал үүсдэг логик бүтэцбайрны логик бүтцээс гарсан дүгнэлт.

Дүгнэлтийн дүрэм (Modus ponens) нь нотлогдох боломжгүй стоик логикийн анхны силлогизм юм: хэрвээ A ба A>B нь татан буулгах томьёо бол В нь мөн гарал үүсэлтэй байна. Бичлэгийн хэлбэр: , энд A, B нь дурын томъёо юм.

Modus tollens-ийн үгүйсгэх дүрэм нь нотлогдох боломжгүй хоёр дахь силлогизм юм. "Хэрэв нэг нь байгаа бол хоёр дахь нь байдаг, гэхдээ хоёр дахь нь байдаггүй, тиймээс эхнийх нь байдаггүй."

Бүртгэлийн маягт:

Предикат нь олонлог дээр тодорхойлсон утгуудын багц (эсвэл (худал, үнэн)) бүхий функц юм. Тиймээс M олонлогийн элемент бүрийг "үнэн" эсвэл "худал" гэж тодорхойлдог. Авиценнагийн хэлснээр предикат нь тухайн сэдвийн агуулгын зөвхөн нэг хэсэг юм.

Тоон илэрхийлэгчийн тухай ойлголт нь предикат гэсэн ойлголттой нягт холбоотой.

P(x) предикат нь М олонлогийн зөвхөн үнэний утгыг авна гэсэн хэллэгийг ерөнхий хэмжигдэхүүн гэнэ.

P (x) предикат "үнэн" гэсэн утгыг авдаг дор хаяж нэг х элемент (М тодорхойлолтын мужаас) байгаа гэсэн мэдэгдлийг экзистенциал хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ.

Хэлбэрийн илэрхийлэл: хамгийн багадаа n, хамгийн багадаа n, n ба зөвхөн n-ийг тоон хэмжигч гэж нэрлэдэг. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг ерөнхий болон оршихуйн хэмжигдэхүүн болон предикат дээрх логик үйлдлээр илэрхийлж болно.

Эсрэг заалтын дүрэмд хэрэв тодорхой А нөхцөл нь тодорхой В үр дагаварт хүргэж байвал энэ үр дагаврыг үгүйсгэх нь энэ үндэслэлийг үгүйсгэх болно гэж заасан байдаг.

Силлогизм буюу гинжин дүгнэлтийн дүрэм: хэрэв томьёо П

дүгнэлт гаргах дүрмийг эцсийн томъёонд хэрэглэвэл томъёо нь мөн гарал үүсэлтэй болохыг олж мэднэ.

Мөн дараах дүрэм журам байдаг: дизьюнкцийг нэвтрүүлэх: ;

салгах арилгах: ;

холбоосыг танилцуулж байна: ;

холбоосыг арилгах: ;

илгээмжийг өөрчлөх: .

Дүгнэлтийн үндсэн дүрмийг мэддэг бол бид нотлох баримтын төрлүүдийн талаар ярьж болно.

1.2 Нотлох баримтын төрлүүд

Мэдэгдэлийг нотлох гэдэг нь энэ мэдэгдэл нь үнэн ба холбогдох мэдэгдлийн системээс логикийн дагуу гарч байгааг харуулах гэсэн үг юм.

Тиймээс математик нотлох үндэс нь дедуктив дүгнэлт юм. Мөн нотлох баримт нь өөрөө дүгнэлтийн гинжин хэлхээ бөгөөд тэдгээрийн тус бүрийн дүгнэлт (сүүлийнхээс бусад) нь дараагийн дүгнэлтүүдийн үндэслэл юм.

Хамгийн энгийн нотолгоо нь нэг дүгнэлтээс бүрдэнэ. Энэ нь жишээлбэл, 6 гэсэн дүгнэлтийн баталгаа юм<8.

Нотолгоо нь дипломын ажил - нотлох шаардлагатай мэдэгдэл, үндэслэл (аргумент) - диссертацийг нотолсон заалтууд, аргумент ба дипломын ажлын логик холболтыг хооронд нь ялгадаг. Иймээс нотлох тухай ойлголт нь дипломын ажил үндэслэсэн байр суурь, нотлох явцад мэдэгдлийг хувиргах логик дүрмүүдийн заалтыг үргэлж илэрхийлдэг. Нотлох ажил бол нотлогдсон диссертацийн үнэн зөвийг цогцоор нь тогтоох явдал юм.

Математик нотолгоо нь зөвхөн дүгнэлтийн багц биш, тодорхой дарааллаар байрлуулсан дүгнэлтүүд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Өгөгдсөн шинж чанар бүхий объект байгаа гэдгийг батлах хамгийн байгалийн арга бол түүнийг зааж өгөх, нэрлэх, бүтээх (мөн мэдээжийн хэрэг энэ нь хүссэн шинж чанартай эсэхийг шалгах) юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь шийдэлтэй гэдгийг батлахын тулд түүний зарим шийдлийг зааж өгөхөд хангалттай. Аливаа зүйлийн оршин тогтнох ийм нотолгоог шууд эсвэл конструктив гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийн дотор тодорхой үнэн өгүүлбэр дээр үндэслэн, теоремын нөхцөлийг харгалзан жинхэнэ дүгнэлтэд хүргэдэг дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээг бий болгодог. Гэхдээ хүссэн объект байгаа гэдгийг нотлох баримт нь ийм объектыг шууд заагаагүй тохиолдолд шууд бус нотлох баримтууд байдаг. Шууд нотлох баримтын тусламжтайгаар диссертацийг логикоор дагаж мөрдөх үнэмшилтэй аргументуудыг олох нь даалгавар юм. Шууд бус нотлох баримтууд нь эсрэг таамаглал, эсрэг үзэл баримтлалын алдааг илчлэх замаар дипломын ажлын үнэн зөвийг тогтоодог.

Шууд нотлох баримтыг бий болгохдоо харилцан уялдаатай хоёр үе шатыг ялгаж салгаж болно: нотлогдож буй байр суурийн хувьд үнэмшилтэй аргумент болох хүлээн зөвшөөрөгдсөн мэдэгдлүүдийг олох; олдсон аргументууд болон дипломын ажлын хооронд логик холболтыг бий болгох. Ихэнхдээ эхний шатыг бэлтгэл гэж үздэг бөгөөд нотлох баримтыг сонгосон аргументууд болон нотлогдсон диссертацийг холбосон хасалт гэж ойлгодог.

Шууд бус нотолгоонд үндэслэл нь тойрсон хэлбэрээр явагддаг. Тэднээс нотлогдож буй байр суурийг гаргах аргументуудыг шууд хайхын оронд энэ байр суурийг үгүйсгэх эсрэг үзэл санааг томъёолдог. Цаашилбал, нэг талаараа эсрэг тэсрэг байдлын үл нийцэл байгааг харуулж байна. Хасах дундын хуулийн дагуу зөрчилтэй мэдэгдлүүдийн нэг нь худал бол хоёр дахь нь үнэн байх ёстой. Эсрэг заалт нь худал, энэ нь диссертаци үнэн гэсэн үг.

Шууд бус нотлох баримтын жишээ бол зөрчилдөөний арга юм.

Энэ арга нь эсрэг заалтын хууль дээр суурилдаг, өөрөөр хэлбэл шууд теоремын оронд урвуу теоремын эсрэг тал нь нотлогддог: .

Үүнийг батлахын тулд бид теоремын дүгнэлтийн эсрэг заалтыг үнэн гэж үзнэ. Энэ мэдэгдэл нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна, өөрөөр хэлбэл үнэн гэж бид дүгнэж байна. Бид нөхцөл байдалтай зөрчилдөж байна.

Иймээс шууд бус нотлох баримт нь дараахь үе шатуудыг дамждаг: эсрэг санал дэвшүүлж, тэдгээрийн дундаас ядаж нэг худал хуурмагийг олох зорилготойгоор үр дагаврыг нь гаргаж авдаг; үр дагаврын дунд хуурамч зүйл байгаа нь тогтоогдсон; эсрэг заалт буруу гэж дүгнэсэн; эсрэг заалтын худал байдлаас харахад уг диссертаци үнэн гэсэн дүгнэлт гарна.

Энэ аргын өөр нэг хувилбар бол утгагүй байдалд хүргэх явдал юм - зөрчилдөөний логик хууль нь нэгэн зэрэг батлах, үгүйсгэхийг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй тухай өгүүлдэг. Утгагүй мэдэгдэл нь энэ хуулийг шууд зөрчсөн үйлдэл юм.

Дирихлетийн зарчим.

Энэ аргыг 19-р зууны Германы алдарт математикчийн нэрээр нэрлэжээ.

Питер Густав Лежеун Дирихлет. Энэ зарчмын ерөнхий томъёолол энд байна.

Хэрэв нийтдээ n+1 зүйл агуулсан n хайрцаг байвал дор хаяж хоёр зүйл агуулсан хайрцаг байх нь дамжиггүй.

Силлогизм ашиглан нотлох.

P теорем байг, бид R мэдэгдлийг сонгож, дараах хоёр теоремыг батлах боломжтой болно.

Тэгвэл силлогизмын дүрмийн дагуу теорем үнэн болно.

Бүрэн салгах зарчим.

Дараах теоремуудыг үнэн гэж үзье: , ..., ба байрнаас

, ..., ядаж нэг нь хангагдсан, үр дагавар, ..., хосоороо бие биенээ үгүйсгэдэг, тэгвэл бүх эсрэг теоремууд үнэн болно.

Индукцийн арга.

Индукц гэдэг нь аливаа тодорхой тохиолдлуудад мэдэгдлийн үнэн нь түүний үнэнээс гардаг нотлох арга юм. Бүрэн индукцийн хувьд дүгнэлт нь байрнаас тодорхой магадлалтайгаар биш, зайлшгүй гарах болно. Тиймээс энэхүү "индукц" нь дедуктив үндэслэлийн нэг төрөл юм. А олонлог нь ..., элементүүдээс бүрдэнэ. B шинж чанартай, B шинж чанартай, энэ нь бүх элементүүд В шинж чанартай байх тул А олонлогийн бүх элементүүд B шинж чанартай байна гэсэн үг.

Предикатын логик дахь теоремуудыг батлах аргууд.

Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг логик сэтгэх аргуудыг Аристотель боловсруулсан бөгөөд Аристотелийн силлогизм гэж нэрлэдэг.

1. Бүх M нь K, бүх K нь N, тиймээс бүх M нь N байна.

2. Ямар ч P нь M, зарим нь S нь M, энэ нь зарим S нь P биш гэсэн үг юм.

Тиймээс бид нотлох баримтын тодорхойлолт, нотлох баримтын төрлүүдтэй холбоотой математик логикийн үндсэн ойлголтуудыг авч үзсэн. Бидний харж байгаагаар нотлох тухай ойлголт нь хөгжлийнхөө урт замыг туулсан. Тэд дараахь чиглэлээр ажиллаж байсан: Аристотель - логикийг шинжлэх ухаан болгон үндэслэгч (Аристотелийн силлогизмыг боловсруулсан), МЭӨ 3-р зуунд. Евклид 1939 онд аксиом теоремыг боловсруулах гэж оролдсон, Николас Бурбаки (үнэндээ ийм математикч байгаагүй, энэ бол хэсэг бүлэг математикчдын нэгдсэн нууц нэр юм) Грекчүүдийн нэгэн адил "математик" гэсэн ойлголтыг практикт тодорхойлсон; ” ба “нотолгоо”. Тиймээс энэ үзэл баримтлалын хөгжлийн түүхийн талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих нь логиктой байх болно.

2. Математикийн нотолгооны тухай ойлголт

2.1 Нотолгооны үзэл баримтлалын хөгжлийн түүх

Логикийг шинжлэх ухаан болгон хөгжүүлэхгүйгээр нотлох үзэл баримтлалын хөгжлийн түүхийг судлах боломжгүй юм.

Логик бол хамгийн эртний шинжлэх ухааны нэг юм. Түүний үйл явдлаар дүүрэн түүх нь Эртний Грекээс эхэлсэн бөгөөд хоёр, хагас мянган жилийн өмнөх түүхтэй. Өнгөрсөн зууны сүүлч - энэ зууны эхээр логикт шинжлэх ухааны хувьсгал гарч, үүний үр дүнд сэтгэхүйн хэв маяг, арга барил эрс өөрчлөгдөж, шинжлэх ухаан хоёр дахь салхитай болсон юм. Одоо логик бол хамгийн динамик шинжлэх ухааны нэг бөгөөд математикийн онолын хувьд ч хатуу, нарийвчлалын загвар юм.

Логикийн тухай ярих нь нэгэн зэрэг хялбар бөгөөд хэцүү байдаг. Түүний хууль нь бидний сэтгэлгээний үндэс суурь болдог тул энэ нь амархан. Зөн совингийн хувьд хүн бүр тэднийг мэддэг. Үнэн, сайн сайхныг ухаарсан сэтгэлгээний хөдөлгөөн бүр эдгээр хуулиуд дээр суурилдаг бөгөөд түүнгүйгээр боломжгүй юм. Энэ утгаараа логикийг сайн мэддэг.

Логикийн түүх хоёр мянга хагас жилийг хамардаг. Албан ёсны логикоос "хуучин" нь зөвхөн философи, математик байж магадгүй юм.

Логикийн хөгжлийн урт удаан, үйл явдлаар дүүрэн түүхэнд хоёр үндсэн үе шат тодорхой ялгагдана. Эхнийх нь эртний Грекийн логикоос эхлээд өнгөрсөн зууны хоёрдугаар хагаст орчин үеийн логик үүссэн үе хүртэл. Хоёр дахь нь тэр үеэс өнөөг хүртэл.

Уламжлалт логик гэж нэрлэгддэг эхний шатанд албан ёсны логик маш удаан хөгжсөн. Үүнд хэлэлцсэн асуудлууд нь Аристотелийн тавьсан асуудлаас тийм ч их ялгаатай байсангүй. Энэ нь Германы гүн ухаантан И.Кант нэгэн цагт албан ёсны логик нь Аристотелийн үеэс хойш нэг ч алхам урагшлаагүй бүрэн шинжлэх ухаан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн юм. 17-р зуунаас хойш Кант үүнийг анзаараагүй. Логик дахь шинжлэх ухааны хувьсгалын урьдчилсан нөхцөл боловсорч эхлэв. Яг энэ үед математикийн тооцоололтой адил нотлох баримтыг тооцоолол болгон илэрхийлэх санаа тодорхой илэрхийлэгджээ.

Энэ санаа нь голчлон Германы философич, математикч Г.Лейбницийн нэртэй холбоотой юм. Лейбницийн хэлснээр тоонуудын нийлбэр буюу зөрүүг тооцоолохдоо тэдгээрийн утгыг бус зөвхөн хэлбэрийг нь харгалзан үздэг энгийн дүрмийн үндсэн дээр хийдэг. Тооцооллын үр дүнг эдгээр хоёрдмол утгагүй дүрмүүдээр тодорхой тодорхойлсон бөгөөд үүнийг маргаж болохгүй. Лейбниц дүгнэлтийг тооцоолол болгон хувиргах цагийг мөрөөддөг байв. Гэсэн хэдий ч Лейбницийн санаа нь түүний үеийн хүмүүст мэдэгдэхүйц нөлөө үзүүлсэнгүй. Логикийн эрчимтэй хөгжил хожим буюу 19-р зуунд эхэлсэн.

Германы математикч, логикч Г.Фреге математикийн үндэс суурийг судлахдаа албан ёсны логикийг бүтээлдээ ашиглаж эхэлсэн. Фреж "Арифметик бол логикийн нэг хэсэг бөгөөд туршлага, эргэцүүлэлээс ямар ч үндэслэл авах ёсгүй" гэдэгт итгэлтэй байв. Математикийг логик болгон багасгахыг оролдсон тэрээр сүүлийнхийг сэргээжээ. Фрежийн логик онол бол зөв сэтгэхүйн өнөөгийн бүх онолын анхдагч юм.

Оросын эрдэмтдийн дунд логикийг хөгжүүлэхэд оруулсан хувь нэмэр нь: П.С.Порецкий, Н.А.Васильев, А.Н. Макаров болон бусад.

Францын агуу математикч Анри Пуанкаре: "Хэрвээ бид тавин жилийн өмнө бичсэн номыг уншвал түүнээс олж мэдсэн үндэслэл нь бидэнд логикийн нарийн ширийн зүйлгүй мэт санагддаг" гэж бичжээ.

Эрдэмтэнтэй санал нийлэхгүй байх аргагүй, учир нь юу болох, юу нотлох баримт биш болохыг ойлгох нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг. Хэрэв та энэ талаар бодож байгаа бол үүнд гайхах зүйл алга. Эцсийн эцэст нотлох баримтын үзэл баримтлал нь ятгах санаан дээр суурилдаг бөгөөд энэ санаа нь түүхэн нөхцөлтэй байдаг. Эртний Дорнодын орнуудад (Вавилон, Эртний Египет, Эртний Хятад) математикийн асуудлын шийдлийг дүрмээр бол үндэслэлгүйгээр өгсөн бөгөөд догматик байсан. Орчин үеийн ойлголтоор анхны математик нотолгоог эртний Грекийн сэтгэгчид Фалес, Пифагор нартай холбодог. Энэ нь МЭӨ 7-6-р зууны үед Эртний Грекд байсан гэж үздэг. Математикийн баримтыг үндэслэлтэй дагалдах заншил бий болсон. Зөвхөн энэ баримтыг мэдээлэхээс гадна сонсогчдод үнэнийг нь итгүүлэх, өөрөөр хэлбэл нотлох баримт бүрдүүлэх шаардлагатай байна. Сонсогчдыг итгүүлэх шаардлагатай гэсэн санаа нь хэлэлцүүлэг, олон нийтийн хурал, шүүх дээр гарч ирсэн бололтой. Ийнхүү логик нотолгоо нь үнэнийг тогтоох гол арга болдог. Энэ үед бүрэн орчин үеийн дүр төрхтэй, өөрөөр хэлбэл логик дүгнэлтийг ашиглан хязгаарлагдмал тооны байрнаас баригдсан дэлхийн анхны математик онол, математик загварууд баригдсан.

Эртний Грекийн нотлох баримт нь орчин үеийн үүднээс авч үзвэл өөгүй байсан гэж хэлж болно. 17-р зуунд хувьсагчид математикт орж ирснээр нөхцөл байдал өөрчлөгдөж, тэдэнтэй хамт хязгаарыг даван туулах санаа гарч ирэв. Өнөөдрийн өнцгөөс харахад эдгээр ойлголт, санаанууд хангалттай тодорхой бус байсан тул 17-18-р зууны үеийн тэдгээртэй холбоотой нотлох баримтууд одоо нэвтэршгүй мэт санагдаж байна. Гэсэн хэдий ч эдгээр хатуу бус нотолгоо нь орчин үеийн математикийн зэвсэглэлд баттай байр сууриа олж авсан хатуу үр дүнд хүргэсэн нь гайхалтай юм. Евклид, Аристотель нарын бүтээлүүдэд агуулагдаж буй нотлох баримтууд сүүлийн хэдэн мянган жилийн туршид үнэмшилтэй байдлаа алдаагүй байгаа нь анхаарал татаж байна.

2.2 Математик сэтгэлгээний тухай ойлголт, нотолгоо нь математик сэтгэлгээний хэрэгсэл болох

Ерөнхий утгаараа сэтгэх нь бодит байдлыг түүний үндсэн холболт, харилцаанд ерөнхий болон шууд бусаар тусгах үйл явц юм.

Гурван төрлийн сэтгэлгээ байдаг:

Харааны хувьд үр дүнтэй;

Харааны дүрслэл;

Аман - логик, математик сэтгэлгээ нь энэ төрөлд хамаарна.

Сэтгэлгээний хэлбэрүүд нь:

Үзэл баримтлал гэдэг нь үг, бүлэг үгээр илэрхийлсэн объект, үзэгдлийн чухал шинж чанар, холбоо, харилцааг тусгасан сэтгэлгээний хэлбэр юм.

Шүүмж бол объект, үзэгдлийн хоорондын холбоог тусгасан сэтгэлгээний хэлбэр юм; ямар нэг зүйлийг батлах эсвэл үгүйсгэх.

Дүгнэлт гэдэг нь хэд хэдэн дүгнэлтэд үндэслэн тодорхой дүгнэлт гаргах сэтгэлгээний хэлбэр юм.

Аналоги гэдэг нь зарим шинж чанараараа хоёр объектын ижил төстэй байдал, тэдгээрийн аль нэгэнд нь нэмэлт шинж чанар байгаа эсэх дээр үндэслэн нөгөө объектод ижил шинж чанар байгаа эсэх талаар дүгнэлт хийдэг сэтгэлгээний хэлбэр юм.

Сэтгэцийн үйл ажиллагаанд дараахь зүйлс орно.

Шинжилгээ гэдэг нь нарийн төвөгтэй объектыг түүний бүрэлдэхүүн хэсэг буюу шинж чанарт хуваах сэтгэцийн үйл ажиллагаа юм.

Синтез гэдэг нь сэтгэлгээний нэг аналитик-нийлэг үйл явцын дотор хэсгээс бүтнэд шилжих боломжийг олгодог сэтгэцийн үйл ажиллагаа юм.

Харьцуулалт нь объектуудын ижил төстэй байдал, ялгааг тогтооход суурилсан сэтгэцийн үйл ажиллагаа юм.

Хийсвэрлэл гэдэг нь объектын чухал шинж чанар, холболтыг онцлон харуулах, бусад чухал бус шинж чанаруудаас хийсвэрлэх үндсэн дээр суурилсан оюун санааны үйл ажиллагаа юм.

Ерөнхий зүйл бол объект, үзэгдлийн нийтлэг бөгөөд зайлшгүй шинж чанарын дагуу оюун санааны нэгдмэл байдал юм.

Тодорхойлолт гэдэг нь бие даасан зүйлсийн холболтоор оршин тогтнох сэтгэлгээний объектив нэгдмэл байдлыг сэргээх үйл явц юм.

Харамсалтай нь сэтгэл зүй, сурган хүмүүжүүлэх, арга зүйн ном зохиолд математик сэтгэлгээний үзэл баримтлалыг тодорхойлох асуудалд нэгдсэн ойлголт байдаггүй.

Үүнийг тодорхойлохдоо энэ үзэл баримтлал нь сэтгэлгээний ерөнхий болон тодорхой төрлийн сэтгэхүйн тухай ойлголттой холбоотой нарийн төвөгтэй асуултууд гарч ирдэг.

Зарим судлаачид сэтгэцийн үйл ажиллагааны өөрийн гэсэн тодорхой хэлбэр бүхий математик сэтгэлгээ байдаггүй гэж үздэг; Ийм сэтгэлгээний өвөрмөц байдал нь тэдний бодлоор зөвхөн математикийн материалын мөн чанартай холбоотой байдаг. Өөрөөр хэлбэл, эхний аргын төлөөлөгчид математик сэтгэлгээний өвөрмөц байдлыг үгүйсгэдэг (L.S. Tregub, G. Freideptal гэх мэт).

Тиймээс, L.S. Хүний танин мэдэхүйн нэгдмэл зарчмуудыг харуулсан нь математик сэтгэлгээний арга барил, үйл ажиллагааны хувьд өвөрмөц онцлогтой тусгай арга байхгүй гэсэн үг гэж Трегуб үзэж байна. З.И. Слепкан энэ үзэл баримтлалыг түүний онцлог, бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг онцолж, логик сэтгэлгээтэй адилтгах замаар нэвтрүүлэх оролдлогыг хууль бус гэж үзэж байгаа бөгөөд Г.Фрейдептал математик сэтгэлгээний мөн чанарыг үнэмшилтэйгээр илчлэх хараахан боломжгүй гэж бичжээ.

Энэ нэр томьёоны талаар Г.Вейл хэлсэн үг нь: “Математик сэтгэлгээгээр би нэгдүгээрт, математик нь физик, хими, биологи, эдийн засаг гэх мэт гадаад ертөнцийн шинжлэх ухаанд нэвтэрдэг сэтгэхүйн тусгай хэлбэрийг ойлгодог. Тэр ч байтугай бидний өдөр тутмын ажил хэрэг, санаа зовоосон асуудлын талаархи эргэцүүлэл, хоёрдугаарт, математикч өөрөө өөртөө үлдээсэн тохиолдолд өөрийн салбарт ашигладаг үндэслэлийн хэлбэр."

Хоёрдахь аргыг Ж.Пиаже болон түүний дэмжигчдийн судалгаа харуулж байна. Эдгээр эрдэмтдийн үзэж байгаагаар математик сэтгэлгээ нь өөрөө "үйл ажиллагааны хийсвэр" гэж нэрлэгддэг логик-математик сэтгэлгээ гэж ойлгогддог.

Математик сэтгэлгээний аргууд нь одоо бусад шинжлэх ухаанд өргөн хэрэглэгдэж, танин мэдэхүйн ерөнхий аргын статустай боловч бусад шинжлэх ухааны салбар дахь сэтгэлгээнээс ялгагдах өөрийн гэсэн шинж чанартай хэвээр байна гэж Л.К.Максимов үзэж байна. Математик сэтгэлгээний онцлогийг түүний арга барилд бус, харин объектоос нь хайх хэрэгтэй, учир нь эхнийх нь сүүлийнх, мөн түүний сэдвийн агуулгын өвөрмөц байдлаас үүсдэг.

Математик сэтгэлгээг юуны түрүүнд тодорхой шинжлэх ухаан - математикийн танин мэдэхүйн үйл явцад сэтгэлгээ илэрдэг хэлбэр гэж ойлгодог гэж бид бас хэлж болно.

Математик сэтгэлгээ нь шинжлэх ухааны сэтгэлгээнд хамаарах шинж чанаруудаар тодорхойлогддог, жишээлбэл. уян хатан байдал, идэвхтэй байдал, анхаарал төвлөрөл, ой санамжийн сурсан зүйлээ дахин бүтээхэд бэлэн байх, өргөн цар хүрээ, гүнзгий байдал, шүүмжлэл, өөрийгөө шүүмжлэх, тодорхой, үнэн зөв, товч, өвөрмөц байдал, нотлох баримт.

Математик сэтгэлгээний дараах шинж тэмдгүүдийг ялгаж салгаж болно.

Логик үндэслэл давамгайлах;

Сэтгэлгээний лаконизм: туйлын харгислал, сэтгэлгээний хатуу ширүүн байдал, түүний илэрхийлэл;

Үзэл баримтлалын явцыг тодорхой задлах;

Бэлгэдлийн нарийвчлал.

Математик сэтгэлгээний соёлын гол тодорхойлогч шинж чанар нь аргументийн ашиг тус гэж үздэг бөгөөд үүнд дараахь зүйлийг тусгасан болно.

Баталгаажуулах санааг эзэмших;

Үзэл баримтлалын тодорхойлолтыг ашиглах чадвар (тэдгээрийн логик бүтцийг ойлгох, үзэл баримтлалыг нэгтгэн дүгнэх, үр дагаврыг зурах чадвартай байх);

Теоремуудтай ажиллах чадвар (тэдгээрийн логик бүтэц, шууд ба урвуу теоремуудын мөн чанарыг ойлгох гэх мэт);

Баталгаажуулах ерөнхий логик аргуудын талаархи мэдлэг: аналитик, синтетик, зөрчилдөөний арга, бүрэн индукц, математик индукц;

Тодорхой сэдэвт хамаарах хувийн арга, техникийг эзэмшсэн байх.

Логик, улмаар нотолгоо нь математик сэтгэлгээний үзэл баримтлалтай нягт холбоотой болох нь тодорхой юм. "Логик бол сэтгэлгээний анатоми" гэж Жон Локийн хэлсэн үгийг санацгаая. Сэтгэн бодох, нотлох баримт, үндэслэл, дүгнэлтээр логикийн үндэс байх нь математик сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг.

2.3 Нотлох баримт дахь няцаалт, алдаа

Зөвхөн зөв байр суурийг батлах төдийгүй алдаатай байр суурийг няцаах чадвартай байх нь чухал юм. Татгалзах үйл ажиллагаа нь нотлох үйл ажиллагаатай адил нийтлэг зүйл бөгөөд сүүлийнх нь толин тусгал мэт харагдаж байна.

Татгалз гэдэг нь дэвшүүлсэн диссертацийн эсрэг чиглэсэн, түүний худал эсвэл нотлох баримт дутмаг байдлыг тогтооход чиглэсэн аргумент юм.

Хамгийн түгээмэл няцаах арга бол няцаагдсан мэдэгдлээс үнэнтэй зөрчилдөж буй үр дагаврыг гаргах явдал юм. Хэрэв тодорхой саналын нэг логик үр дагавар ч худал бол тэр санал нь өөрөө худал гэдгийг сайн мэддэг.

Диссертацийн худал байдлыг тогтоох өөр нэг арга бол түүнийг үгүйсгэх үнэнийг нотлох явдал юм. Мэдэгдэл ба түүнийг үгүйсгэх нь нэгэн зэрэг үнэн байж болохгүй. Диссертацийг үгүйсгэх нь үнэн болохыг харуулж чадвал диссертацийн үнэн эсэх асуудал автоматаар алга болдог.

Хэрэв ямар нэгэн үндэслэл бүхий дипломын ажил дэвшүүлсэн бол няцаах ажиллагааг үндэслэлийн эсрэг чиглүүлж болно. Энэ тохиолдолд танилцуулсан аргументууд нь худал эсвэл үндэслэлгүй гэдгийг харуулах шаардлагатай.

Аргументуудын төөрөгдөл нь дипломын ажлын төөрөгдлийн нэгэн адил илчлэгддэг: тэдгээрээс эцсийн дүндээ үндэслэлгүй болох үр дагаврыг гаргах, эсвэл аргументуудтай зөрчилдөж буй мэдэгдлүүдийг нотлох замаар.

Албан тушаалыг дэмжсэн үндэслэлүүдийг үгүйсгэж байгаа нь энэ заалт өөрөө буруу гэсэн үг биш гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Үндсэндээ үнэн гэсэн мэдэгдлийг санамсаргүй эсвэл сул аргументуудын тусламжтайгаар хамгаалж болно. Үүнийг илчилснээр бид түүн дээр үндэслэсэн мэдэгдлийн төөрөгдөл биш харин таамаглаж буй үндэслэлийн найдваргүй байдлыг яг таг харуулж байна.

Эцсийн эцэст няцаалтыг аргумент ба диссертацийн хоорондох холбоонд чиглүүлж болно. Энэ тохиолдолд дипломын ажил нь түүнийг дэмжсэн аргументуудаас үүсээгүй гэдгийг харуулах шаардлагатай. Хэрэв аргумент ба дипломын ажлын хооронд логик холбоо байхгүй бол өгөгдсөн аргументуудыг ашиглан дипломын ажил нотлох баримт байхгүй болно. Мэдээжийн хэрэг, аргументууд нь алдаатай, диссертаци нь худал биш юм.

Логик соёл нь логикийн шаардлагад нийцүүлэн тууштай, нотлох үндэслэлтэй сэтгэх чадварыг төдийгүй үндэслэлийн логик алдааг илрүүлж, мэргэшсэн дүн шинжилгээ хийх чадварыг шаарддаг.

Ийм алдаа нь олон янз байдаг. Хамгийн нийтлэг, нийтлэг зүйлийг авч үзье.

Нотолгоо гэдэг нь аргументууд болон тэдгээрээс гаргаж авсан диссертацийн хоорондох логик зайлшгүй холболт юм. Нотлох баримтын алдааг аргумент, диссертаци, тэдгээрийн холболттой холбоотой гэж хуваадаг.

Аргументтай холбоотой алдаа. Хамгийн түгээмэл бодит алдаа бол хуурамч аргумент (байр) ашиглан дипломын ажлыг нотлох оролдлого юм. Логикийн хуулиуд нь бүх хүлээн зөвшөөрөгдсөн байрууд үнэн байх үед л үнэн дүгнэлтийг баталгаажуулдаг. Хэрэв тэдгээрийн ядаж нэг нь буруу байвал дүгнэлт хийж буй диссертацийн үнэнд итгэх итгэл байхгүй, энэ нь нотлох баримт байхгүй гэсэн үг юм. Буруу санал нь түүнийг ашигласан аливаа нотлох баримтыг хүчингүй болгодог. Хуурамч, нотлогдоогүй эсвэл шалгагдаагүй аргументуудыг ашиглах нь ихэвчлэн "мэдэгдэж байгаачлан", "энэ нь эрт дээр үеэс тогтоогдсон", "нэлээн ойлгомжтой", "хэн ч үгүйсгэхгүй" гэх мэт хэллэгүүд дагалддаг.

Нэлээд нийтлэг алдаа бол нотлох баримт дахь тойрог юм: нотлогдож буй саналын үнэн зөвийг ижил саналаар зөвтгөж, магадгүй арай өөр хэлбэрээр илэрхийлдэг. Хэрэв нотлох шаардлагатай байгаа зүйлийг нотлох үндэслэл болгон авч үзвэл нотлогдож байгаа бодол нь өөрөөс нь гаргуулж, үр дүн нь нотлох баримт биш, харин тойрог дотор хоосон алхах болно. Энэ алдааг заримдаа харгис тойрог гэж нэрлэдэг.

Дараах гурван энгийн шаардлага нь нотлох аргументуудтай холбоотой алдаанаас зайлсхийхэд тусална.

* зөвхөн үнэн мэдэгдлийг аргумент болгон ашиглах ёстой;

* диссертациас үл хамааран тэдгээрийн үнэнийг тогтоох ёстой;

* Нийтдээ аргументууд нь логик зайлшгүй шаардлагатай диссертацаас гарахад хангалттай байх ёстой.

Сүүлчийн шаардлага нь "Илүү олон аргумент, илүү сайн" гэсэн зарчим үргэлж өөрийгөө зөвтгөдөггүйг харуулж байна. Гол нь аргументуудын тоонд биш, харин тэдний хүч чадал, хамгаалж буй диссертацитай уялдаа холбоотой байдаг. Хэрэв сүүлийнх нь нэг үнэн саналаас үүдэлтэй бол үүнийг батлахад хангалттай. Латин зүйр цэцэн үг: "Нотлох баримтыг тоо хэмжээгээр биш, чанараар үнэлдэг."

Ердийн алдаа бол дипломын ажлыг орлуулах, нотлох явцад түүнийг хэлбэр, агуулгын хувьд үүнтэй төстэй бусад мэдэгдлээр солих явдал юм. Энэхүү алдаа нь тодорхой заасан диссертаци нь нотлох баримтгүй хэвээр үлдэхэд хүргэдэг боловч үүнтэй зэрэгцэн энэ нь найдвартай нотлогдсон гэсэн сэтгэгдэл төрүүлдэг.

Логик холболт тасарсан. Хэрэв нотлох баримтын дор хаяж нэг нь буруу байвал энэ нь мөн чанараа алддаг, энэ нь байхгүй; Албан ёсны алдааны улмаас энэ нь болохгүй байж магадгүй. Энэ нь дүгнэлт нь логик хуульд үндэслэгдээгүй, дүгнэлт нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн байр сууринаас гарахгүй тохиолдолд тохиолддог.

Албан ёсны алдаанаас урьдчилан сэргийлэх хамгийн сайн арга бол дүгнэлтийн онолыг судлах, логикийн хуулиудыг мэдэж, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх практик ур чадварыг сайжруулах явдал юм.

2.4 Төрөл бүрийн нотлох баримтын жишээ

Энэ догол мөрөнд бид ажлынхаа 1.2-т дурдсан нотлох баримтуудын жишээг өгдөг.

1. Зөрчилдөөний арга.

Энэ жишээг Евклидийн элементүүд болон орчин үеийн сургуулийн сурах бичгүүдээс олж болно. Гурвалжин ба түүний хоёр тэгш бус өнцгийг өгье. Бид A мэдэгдлийг батлах хэрэгтэй: том тал нь том өнцгийн эсрэг байрладаг. Бид эсрэгээр В таамаглал дэвшүүлж байна: том өнцгийн эсрэг талын гурвалжинд байрлах тал нь жижиг өнцгийн эсрэг талд байрлах тал нь жижиг буюу тэнцүү байна. Б таамаглал нь аль ч гурвалжинд тэгш өнцөг нь тэнцүү талуудын эсрэг байрладаг ба хэрэв талууд тэгш бус байвал том талын эсрэг талд илүү том өнцөг оршино гэсэн өмнө нь батлагдсан теоремтой зөрчилдөж байна. Энэ нь B таамаглал худал, харин А мэдэгдэл үнэн гэсэн үг бөгөөд А теоремыг шууд (өөрөөр хэлбэл "зөрчилдөөнөөр" биш) нотлох нь илүү хэцүү болж хувирдаг нь сонирхолтой юм.

2. Утгагүй байдалд хүргэх. Зарим арал дээр зөвхөн хүлэг баатрууд амьдардаг гэж төсөөлөөд үз дээ. Түүгээр ч барахгүй худалч хүмүүс үргэлж худлаа ярьдаг, баатрууд үргэлж зөвхөн үнэнийг хэлдэг. Арал дээр ирсэн эр нутгийн хоёр оршин суугчтай уулзаж, хэн болохыг асуув. Тэдний аль нь: "Бидний ядаж нэг нь худалч" гэж хариулдаг. Хариуцагч нь хэн бэ гэдгийг олж мэдэх шаардлагатай.

Түүнийг худалч гэж бодъё. “Хариулсан хүн худалч” гэснийг бид А гэж тэмдэглэсэн боловч дараа нь тэр худал хэлсэн тул аль аль нь худалч биш, хоёулаа хүлэг баатрууд юм. Бидэнд зөрчилдөөн гарсан: нэгэн зэрэг хариулсан хүн бол баатар биш (B) баатр байсан (). Энэ нь бидний таамаг буруу, хариулсан хүн үнэндээ худалч биш, харин хүлэг баатар гэсэн үг юм.

3. Дирихлегийн зарчим.

Онгоцонд 380 зорчигч зорчиж байна. Тэдний аль нэг нь жилийн нэг өдөр төрсөн өдрөө тэмдэглэдэг болохыг нотол. Ингээд бодоцгооё. Төрсөн өдрөө тэмдэглэх боломжтой нийт 366 (2-р сарын 29-ийг оруулаад) боломжтой. Мөн илүү олон зорчигч байдаг; Энэ нь бүгд өөр өөр огноотой төрсөн өдөртэй байж болохгүй гэсэн үг бөгөөд ямар нэгэн огноо нь дор хаяж хоёр хүнд нийтлэг байх нь гарцаагүй. Энэ нөлөө 367 зорчигчоос эхлээд ажиглагдах нь тодорхой. Гэхдээ 366 зорчигчтой бол тэдний төрсөн өдрийн он сар өдөр (өдөр, сар) нь хүн бүрийн хувьд өөр байх магадлалтай, гэхдээ энэ нь маш бага юм. (Дашрамд дурдахад, магадлалын онолоор санамсаргүй түүврээр сонгогдсон бүлэг хүмүүс 22-оос дээш хүн байвал тэдний заримынх нь төрсөн өдөр нь жилийн өөр өөр өдрүүдэд төрсөн өдөртэй байх магадлал өндөр байдаг гэж заадаг. )

Мэдэгдэж байгаагаар энэ зарчмыг ерөнхийд нь дараах байдлаар бичиж болно: хэрэв нийт дор хаяж n+1 объект агуулсан n хайрцаг байвал дор хаяж хоёр объект агуулсан хайрцаг байх болно. Энэ жишээнд дээрх томъёолол хэрхэн ашиглагдаж байгааг харахын тулд та 366 хайрцгийг оюун ухаандаа төсөөлж, тус бүр дээр жилийн 366 огнооны нэгийг бичиж, дараа нь оюун ухаандаа 380 зорчигчийг хайрцагт хийж, зорчигч бүрийг хайрцагт хийх хэрэгтэй. түүний төрсөн огноотой. Дараа нь нэг хайрцагт нэгээс олон зорчигч байх бөгөөд эдгээр зорчигчид нийтлэг төрсөн өдөртэй болно.

4. Силлогизм ашиглан нотлох.

Хэрэв гурвалжин тэгш талтай бол түүний бүх өнцөг тэнцүү байна. Хэрэв бүх өнцөг нь тэнцүү бол тэдгээр нь тус бүр нь 60-тай тэнцүү бөгөөд энэ нь гурвалжин тэгш талтай бол түүний бүх өнцөг нь 60-тай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

5. Бүрэн дизюнкцийн зарчим.

Сургуулийн геометрийн хичээлд “Гурвалжны хурц өнцгийн эсрэг талын талын квадратын урт нь энэ гурвалжны бусад хоёр талын квадратын уртын нийлбэрээс бага” “Квадрат урт”; Гурвалжны баруун өнцгийн эсрэг талын хажуугийн тал нь энэ гурвалжны нөгөө хоёр талын квадрат уртын нийлбэртэй тэнцүү байна." (Пифагорын теорем); "Гурвалжны мохоо өнцгийн эсрэг талд байрлах талын уртын квадрат" гурвалжин нь энэ гурвалжны нөгөө хоёр талын квадрат уртын нийлбэрээс их байна." Эдгээр мэдэгдлүүдийг энэ зарчмын хэрэглээний талаас нь шинжиж үзье. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя:

"Гурвалжин нь хурц өнцөгтэй";

"Гурвалжинд өнцөг нь зөв";

"Гурвалжин нь мохоо өнцөгтэй";

гурвалжны талуудын уртууд хаана байна; -- уртын хажуугийн эсрэг байрлах түүний өнцөг a. Дараа нь томъёолсон гурван теоремыг бэлгэдлээр бичиж болно.

Эдгээр мэдэгдлийн гурван үндэслэлээс дор хаяж нэг нь үнэн байх нь тодорхой байна (гурвалжин дахь өнцөг нь заавал хурц, зөв эсвэл мохоо байх ёстой) бөгөөд үр дагавар нь бие биенээ үгүйсгэдэг. Тиймээс бид гурван эсрэг талын үр дагавар бүгд үнэн гэж дүгнэж байна:

Жишээлбэл, Пифагорын теоремын эсрэг тал нь: "Хэрэв гурвалжинд нэг талын уртын квадрат нь нөгөө хоёр талын уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол энэ гурвалжин тэгш өнцөгт байна. , зөв өнцөг нь эхний талын эсрэг талын өнцөг юм."

6. Индукцийн арга.

n = 1-ийн хувьд тэгш байдал нь 1=1 хэлбэртэй байх тул P(1) үнэн болно. Энэ тэгш байдал үнэн, өөрөөр хэлбэл энэ нь үнэн гэж үзье

P(n + 1) гэдгийг шалгах (нотлох) шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл

үнэн. Учир нь (индукцийн таамаглалыг ашиглан)

өөрөөр хэлбэл P(n + 1) нь үнэн үг юм.

Тиймээс математикийн индукцийн аргын дагуу анхны тэгш байдал нь ямар ч натурал n тоонд хүчинтэй байна.

7. Предикатын логик дахь теоремуудыг батлах аргууд.

A) Бүх ромбууд нь параллелограммууд, бүх параллелограммууд нь ижил эсрэг өнцөгтэй байдаг бөгөөд энэ нь бүх ромбууд нь эсрэг талын шархны өнцөгтэй гэсэн үг юм.

B) Ямар ч дөрвөлжин тойрог биш. F зураг нь дөрвөлжин тул F дүрс нь тойрог биш юм.

Дүгнэлт

Математикийн логикийг математикийн салбаруудын дунд оруулж, зөвхөн математикийн нотлох онолыг харах хандлага нь алдаатай гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Үнэн хэрэгтээ логикийн даалгавар нь илүү өргөн хүрээтэй байдаг. Тэрээр зөвхөн математикийн хатуу нотолгоо биш, бүх зөв үндэслэлийн үндэс суурийг судалж, үндэслэл, үр дагаврын хоорондын уялдаа холбоог сонирхож байна.

Бид математикийн баталгааны үндсэн төрлүүд, тэдгээрийн жишээг авч үзсэн. Нотлох баримтын үзэл баримтлалын хувьслыг судалсан.

Мөн нотлох баримтад алдаа гарч болзошгүй тул зарим нотлох баримтыг үгүйсгэх боломжтой гэдгийг бид олж мэдсэн.

Ажлыг нэгтгэн дүгнэхэд логик, нотолгоо гэх мэт ойлголтууд нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд эзэлхүүнтэй гэж хэлж болно. Тэд философитой холбоотой. Үүний зэрэгцээ тэд ерөнхий сэтгэлгээний нэг хэсэг болох математик сэтгэлгээний үндэс суурийг бүрдүүлдэг. Эдгээр ойлголтууд нь зөвхөн шинжлэх ухааны нэр томъёо биш гэдэгтэй санал нийлэхгүй байх аргагүй, учир нь бид зөвхөн оюуны үйл ажиллагаандаа төдийгүй өдөр тутмын амьдралдаа тулгардаг: бид үндэслэлтэй; бид зарим дүгнэлтэд хүрсэн; Хэн нэгэнтэй маргахдаа бид өөрсдийн үзэл бодлоо маргадаг, өөрөөр хэлбэл нотлох баримтыг өгдөг.

Лавлагаа

1. Weil G. Математик сэтгэлгээ: Орч. англи хэлнээс Бас тэнэг. / Ред. B.V. Бирюкова, А.Н.Паршин нар. - М.: Наука, 1989. - 400.

2. Ivin A.A. Логик / A.A. Ивин. - М .: Илүү өндөр. сургууль, 2004 он. - 304с.

3.Ивин А.А.Логикийн толь бичиг / А.А. Ивин, A.L. Никифоров. - М.: VLADOS, 1997. - 384 х.

4. Кондаков Н.И. Логикийн танилцуулга / N.I. Кондаков - М.: Наука, 1967. - 467 х.

5. Максимов Л.К. Сургуулийн сурагчдын математик сэтгэлгээний хөгжлийн шинж чанараас хамаарах байдал / L.K. Максимов // Сэтгэл судлалын асуултууд. - 2002. - No 2.

6. Марков А.А. Математик логикийн элементүүд / A.A. Марков. - Москвагийн Улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1984 он. - 80-аад он.

7. Мендельсон E. Математик логикийн танилцуулга / Э.Мендельсон. - М.: Наука, 1971. - 320 х.

8. Никольская И.Л. Математик логик: Сурах бичиг / I.L. Никольская. -М.: Илүү өндөр. сургууль, 1981 он. -127 х., өвчтэй.

9. Новиков П.С. Математик логикийн элементүүд / P.S. Новиков. -М.: Наука, 1973. - 400 х., өвчтэй.

10. Стойлова Л.П. Математик: Оюутнуудад зориулсан сурах бичиг. илүү өндөр ped. сурах бичиг байгууллагууд / L.P. Стойлова. - М.: "Академи" хэвлэлийн төв, 2002. - 424 х.

11. Стяжкин Н.И. Математик логик үүсэх / N.I. Стяжкин. -М.: Наука, 1967. - 508с.

12. Попов P.S. Орчин үеийн логикийн түүх / P.S. Попов. -М.: Москвагийн Улсын Их Сургуулийн хэвлэлийн газар, 1960. -265 х.

13. Успенский В.А. Математик нотолгооны хамгийн энгийн жишээнүүд / V.A. Успенский.- М.: MTsNMO хэвлэлийн газар, 2009. -56 х.

14. Шен А.Математикийн индукц / А.Шэн. - М.: MTsNMO хэвлэлийн газар, 2004. - 36 х.

15. Математикийн түүх 3 боть 1. Эрт дээр үеэс орчин үе хүртэл / Ред. А.П. Юшкевич. - М.: Наука, 1970. - 353 х.

16. Математикийн түүх 3 боть 2. Эрт дээр үеэс орчин үе хүртэл / Ред. А.П. Юшкевич. - М.: Наука, 1970. - 303 х.

Allbest.ru дээр нийтлэгдсэн

Үүнтэй төстэй баримт бичиг

Грекийн математик. Дундад зууны үе ба сэргэн мандалт. Орчин үеийн математикийн эхлэл. Орчин үеийн математик. Математик нь логик дээр биш, харин зөв зөн совин дээр суурилдаг. Математикийн суурийн асуудлууд нь философийн шинж чанартай байдаг.

хураангуй, 2006-09-06 нэмсэн

Математик логик (утгагүй логик), "нийтлэг мэдрэмж" логик ба орчин үеийн логик. Математикийн дүгнэлт, дүгнэлт, тэдгээрийн чиглэл. 21-р зууны математик логик ба "Эрүүл ухаан". Математикийн үндэс суурь дахь байгалийн бус логик.

хураангуй, 2008 оны 12-р сарын 21-нд нэмэгдсэн

Олонлогуудын график тайлбар, тэдгээрт хийх үйлдлүүд. Математик логик, Булийн алгебр. Төгс коньюнктив хэвийн хэлбэр. Эквивалент томьёо ба тэдгээрийн баталгаа. Булийн функцүүдийн системийн бүрэн байдал. Предикатын логик, графикийн онол.

лекц, 2009-01-12 нэмэгдсэн

Бидний амьдрал дахь математикийн ач холбогдол. Бүртгэлийн түүх. Тооцооллын математикийн аргуудын өнөөгийн хөгжил. Бусад шинжлэх ухаанд математикийн хэрэглээ, математик загварчлалын үүрэг. Орос дахь математикийн боловсролын байдал.

нийтлэл, 01/05/2010 нэмэгдсэн

Евклидийн геометр бол анхны байгалийн шинжлэх ухааны онол юм. Орчин үеийн математикийн бүтэц. Математик сэтгэлгээний үндсэн шинж чанарууд. Аксиоматик арга. Шинжлэх ухааны онолын аксиоматик бүтээх зарчим. Математикийн нотолгоо.

хураангуй, 2011 оны 05-р сарын 10-нд нэмэгдсэн

Хүрээлэнгийн удирдлагуудад хэлэлцүүлэхээр санал болгов. В.А. Стеклов ба математикийн сонирхогчид интернетээс Фермагийн теоремыг ерөнхий хэлбэрээр нотлох авсаархан, бараг 2 хуудастай арга юм.

хураангуй, 07/05/2006 нэмсэн

Математикийн шинжлэх ухааны мөн чанарын талаархи үзэл бодлын хөгжлийн түүхэн үйл явц, аксиоматик арга үүсэх үндсэн үе шатууд. Бүлэг, олонлог, зураглал ба сегментийн конгруэнц (тэгш байдал)-ын онолууд. Үндсэн аксиоматик теоремууд ба тэдгээрийн баталгаа.

курсын ажил, 2009 оны 05-р сарын 24-нд нэмэгдсэн

Орос, англи хэл дээрх бичгийн ярианд дүн шинжилгээ хийхэд математик логик болон дээд математикийн бусад салбаруудыг онолын хэл шинжлэлийн асуудлуудад ашиглах. Ярианы нэгжийг судлах, таних. Математик логикийн аргууд.

хураангуй, 2012-01-11 нэмэгдсэн

Математикийн шинжлэх ухааны хөгжлийн түүх. Анхан шатны математикийн үе. Хувьсах хэмжигдэхүүний математикийг бий болгох үе. Аналитик геометр, дифференциал ба интеграл тооцоолол бий болгох. 18-19-р зууны Орос дахь математикийн хөгжил.

хураангуй, 2008 оны 10-р сарын 09-ний өдөр нэмэгдсэн

Хувьсах хэмжигдэхүүний тухай ойлголтын танилцуулга. Интеграл ба дифференциал аргуудыг боловсруулах. Гаригуудын хөдөлгөөний математик үндэслэл. Ньютоны бүх нийтийн таталцлын хууль. Лейбницийн шинжлэх ухааны сургууль. Урсгал ба урсгалын онол. Математик анализыг бий болгох.

Математикийн судалгааны гол арга бол математикийн нотолгоо - хатуу логик үндэслэл юм. Объектив хэрэгцээний улмаас Оросын ШУА-ийн корреспондент гишүүн Л.Д.Кудрявцев - Орчин үеийн математик ба түүний сургаал, Москва, Наука, 1985, логик үндэслэл (энэ нь мөн чанараараа, хэрэв зөв бол хатуу) математикийн аргыг төлөөлдөг бөгөөд тэдгээргүйгээр математикийг төсөөлөхийн аргагүй юм. Математик сэтгэлгээ нь зөвхөн логик үндэслэлээр хязгаарлагдахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Асуудлыг зөв томъёолох, түүний өгөгдлийг үнэлэх, чухал зүйлийг тодорхойлох, түүнийг шийдвэрлэх арга замыг сонгохын тулд математикийн зөн совин шаардлагатай бөгөөд энэ нь хүссэн үр дүнг олж авахаас өмнө урьдчилан харж, хэрэгжүүлэх замыг тодорхойлох боломжийг олгодог. үндэслэлтэй үндэслэлийг ашиглан судалгаа хийх. Гэхдээ авч үзэж буй баримтын үнэн зөв нь үүнийг хэд хэдэн жишээн дээр турших замаар биш, хэд хэдэн туршилт хийх замаар биш (энэ нь математикийн судалгаанд ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг), харин цэвэр логик аргаар нотлогддог. албан ёсны логикийн хуулиуд.

Математикийн нотолгоо бол эцсийн үнэн гэж үздэг. Цэвэр логик дээр үндэслэсэн шийдвэр буруу байж болохгүй. Гэвч шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр математикчдийн өмнө тулгамдаж буй ажлууд улам төвөгтэй болж байна.

АНУ-ын Калифорнийн Стэнфордын Их Сургуулийн Кейт Дэвлин "Бид математикийн аппарат маш нарийн төвөгтэй, нүсэр болсон эрин үе рүү орлоо. Энэ нь эхлээд харахад тулгараад байгаа асуудал үнэн эсэхийг хэлэх боломжгүй болсон" гэж үзэж байна. Тэрээр 1980 онд томъёолсон "энгийн хязгаарлагдмал бүлгүүдийн ангилал"-ыг жишээ болгон дурдсан боловч бүрэн үнэн зөв нотолгоо хараахан өгөөгүй байна. Теорем нь үнэн байх магадлалтай, гэхдээ яг тодорхой хэлэх боломжгүй юм.

Компьютерийн шийдлийг үнэн зөв гэж нэрлэх боломжгүй, учир нь ийм тооцоололд үргэлж алдаа гардаг. 1998 онд Хейлс 1611 онд томъёолсон Кеплерийн теоремын компьютерийн шийдлийг санал болгов. Энэ теорем нь сансар огторгуйд хамгийн нягт савласан бөмбөгийг дүрсэлдэг. Нотлох баримтыг 300 хуудсанд багтаасан бөгөөд 40,000 мөрийн машины кодыг агуулсан байв. 12 хянагч уг шийдлийг нэг жилийн турш шалгасан боловч нотлох баримтын үнэн зөв эсэхэд 100% итгэж чадаагүй тул судалгааг дахин хянан үзэхээр явуулсан. Үүний үр дүнд энэ нь зөвхөн дөрвөн жилийн дараа, шүүмжлэгчдийн бүрэн баталгаажуулалтгүйгээр хэвлэгджээ.

Хэрэглээний асуудлуудын сүүлийн үеийн бүх тооцоог компьютер дээр хийдэг боловч эрдэмтэд илүү найдвартай байхын тулд математик тооцооллыг алдаагүй гаргах ёстой гэж эрдэмтэд үзэж байна.

Нотлох баримтын онолыг логикоор боловсруулсан бөгөөд гурван бүтцийн бүрэлдэхүүн хэсгийг багтаасан болно: дипломын ажил (нотлох ёстой зүйл), аргумент (баримтуудын багц, нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн үзэл баримтлал, хууль тогтоомж гэх мэт). нотлох баримтын дараалсан гинжин хэлхээг боловсруулах; n-р дүгнэлт нь байрнуудын нэг болно n+1--р дүгнэлт). Баталгаажуулах дүрмийг онцолж, боломжит логик алдааг зааж өгсөн болно.

Математикийн нотолгоо нь албан ёсны логикоор тогтоосон зарчмуудтай ижил төстэй зүйл юм. Түүгээр ч барахгүй учир шалтгаан, үйлдлүүдийн математик дүрмүүд нь логик дахь нотлох процедурыг хөгжүүлэх үндэс суурь болсон нь ойлгомжтой. Ялангуяа албан ёсны логик үүссэн түүхийг судлаачид нэгэн цагт Аристотель логикийн хууль тогтоомж, дүрмийг бий болгох анхны алхмуудыг хийхдээ математик, хуулийн үйл ажиллагааны практикт хандсан гэж үздэг. Эдгээр эх сурвалжаас тэрээр төлөвлөсөн онолоо логикоор бүтээх материалыг олсон.

20-р зуунд нотлох тухай ойлголт хатуу утгаа алдсан бөгөөд энэ нь олонлогийн онолд нуугдаж буй логик парадоксуудыг нээсэнтэй холбоотой, ялангуяа К.Гөделийн теоремуудын албан ёсны бүрэн бус байдлын талаархи үр дүнтэй холбоотой юм.

Юуны өмнө энэ нь математикт өөрөө нөлөөлсөн бөгөөд үүнтэй холбоотойгоор "баталгаа" гэсэн нэр томъёо нь нарийн тодорхойлолтгүй гэсэн итгэл үнэмшилтэй болсон. Гэхдээ ийм үзэл бодол (энэ нь өнөөг хүртэл хэвээр байгаа) математикт өөрөө нөлөөлж байвал тэд нотлох баримтыг логик-математик утгаараа биш, харин сэтгэлзүйн утгаараа хүлээн зөвшөөрөх ёстой гэсэн дүгнэлтэд хүрдэг. Түүгээр ч барахгүй үүнтэй төстэй үзэл бодол Аристотельд байдаг бөгөөд тэрээр нотлох нь биднийг ямар нэг зүйлийн зөв гэдэгт итгүүлэхийн тулд бидэнд итгүүлэхүйц үндэслэлийг хэрэгжүүлэх гэсэн үг гэж үздэг байв. Бид А.Е.Есенин-Волпиноос сэтгэл зүйн хандлагын тодорхой сүүдэрийг олж хардаг. Тэрээр үнэнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөхийг эрс эсэргүүцэж, үүнийг итгэлийн үйлдэлтэй холбож, цааш нь: "Би шүүлтийн нотлох баримтыг шударга хүлээн авалт гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь шүүлтийг үгүйсгэх аргагүй юм." Есенин-Волпин түүний тодорхойлолтыг тодруулах шаардлагатай хэвээр байна гэж мэдэгдэв. Үүний зэрэгцээ, нотлох баримтыг "шударга хүлээн авах" гэж тодорхойлсон нь ёс суртахуун, сэтгэлзүйн үнэлгээнд хандах хандлагыг илтгэхгүй гэж үү?

Үүний зэрэгцээ олонлогийн онолын парадоксуудыг нээж, Годелийн теоремууд гарч ирсэн нь зөн билэгчид, ялангуяа конструктивист чиглэлийн математик нотлох онолыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулсан бөгөөд Д.Хилберт.

Заримдаа математикийн нотолгоо нь бүх нийтийн шинж чанартай бөгөөд шинжлэх ухааны нотлох баримтын хамгийн тохиромжтой хувилбар гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч энэ нь цорын ганц арга биш бөгөөд нотлох баримтад суурилсан журам, үйл ажиллагааны бусад аргууд байдаг. Үнэн цорын ганц зүйл бол математикийн баталгаа нь байгалийн шинжлэх ухаанд хэрэгждэг албан ёсны-логикийн баталгаатай ижил төстэй олон талтай бөгөөд математикийн баталгаа нь тодорхой онцлог шинж чанартай, түүнчлэн олон тооны техник, үйлдлүүдийг агуулдаг. Бид тэнд зогсох бөгөөд үүнийг нотлох бусад хэлбэрүүдтэй ижил төстэй болгодог нийтлэг шинж чанаруудыг орхих болно, өөрөөр хэлбэл алгоритм, дүрэм, алдаа гэх мэт бүх үе шатыг (гол ч гэсэн) өргөжүүлэхгүйгээр. нотлох үйл явц.

Математик нотолгоо гэдэг нь аливаа мэдэгдлийн үнэнийг (мэдээжийн хэрэг математикийн утгаараа, өөрөөр хэлбэл татан буулгах боломжтой) нотлох зорилготой үндэслэл юм.

Математикийн онолын аксиоматик бүтэц бий болсноор нотлоход ашигладаг дүрмийн багц бий болсон. Энэ нь Евклидийн геометрт хамгийн тодорхой бөгөөд бүрэн дүүрэн хэрэгжсэн. Түүний "Зарчмууд" нь математикийн мэдлэгийн аксиоматик зохион байгуулалтын нэгэн төрлийн загвар стандарт болж, математикчдад удаан хугацааны туршид хэвээр үлджээ.

Тодорхой дарааллын хэлбэрээр танилцуулсан мэдэгдэл нь логик үйлдлийн дүрмийн дагуу нотлогдсон гэж үзсэн дүгнэлтийг баталгаажуулах ёстой. Тодорхой үндэслэл нь зөвхөн тодорхой аксиоматик системийн талаархи нотолгоо гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

Математикийн нотолгоог тодорхойлохдоо хоёр үндсэн шинж чанарыг ялгаж үздэг. Юуны өмнө, математикийн нотолгоо нь эмпирик нотолгоонд хамаарах аливаа ишлэлийг хасдаг. Дүгнэлтийн үнэнийг зөвтгөх бүх процедур нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн аксиоматикийн хүрээнд явагддаг. Энэ талаар академич А.Д.Александров онцолж байна. Та гурвалжны өнцгийг хэдэн мянган удаа хэмжиж, 2d-тэй тэнцүү байгаа эсэхийг шалгаарай. Гэхдээ та математикийн тусламжтайгаар юу ч баталж чадахгүй. Хэрэв та дээрх мэдэгдлийг аксиомуудаас гаргаж авбал түүнд үүнийг баталж чадна. Дахин хэлье. Энд математик нь схоластикизмын аргуудтай ойрхон байдаг бөгөөд энэ нь туршилтаар өгөгдсөн баримт дээр үндэслэсэн аргументуудыг үндсээр нь үгүйсгэдэг.

Жишээлбэл, сегментүүдийн харьцуулшгүй байдлыг олж илрүүлэхэд энэ теоремыг батлахдаа физик туршилтад хандахыг хассан, учир нь нэгдүгээрт, "хэмцэтгэх чадваргүй" гэсэн ойлголт нь физикийн утгагүй, хоёрдугаарт, математикчид үүнийг шийдвэрлэхдээ үүнийг хийж чадахгүй байсан. хийсвэрлэлээр, мэдрэхүйн болон харааны аргаар хэмжсэн материаллаг бетоны өргөтгөлүүдийг тусламжид татах. Квадратын тал ба диагональуудын харьцуулшгүй байдал нь гипотенузын квадратын (тус тус бүр диагональ) хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байх тухай Пифагорын теоремыг ашиглан бүхэл тоонуудын шинж чанарт үндэслэн нотлогддог. (тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр тал). Эсвэл Лобачевский одон орны ажиглалтын үр дүнд хандаж, геометрээ батлахыг эрэлхийлэх үед энэ баталгаажуулалтыг тэрээр зөвхөн таамаглалын шинж чанартайгаар хийсэн. Кэйли-Клейн, Белтрами нарын хийсэн Евклидийн бус геометрийн тайлбарууд нь физик биш харин математикийн шинж чанартай байдаг.

Математикийн нотолгооны хоёрдахь шинж чанар нь бусад шинжлэх ухааны нотолгооны процедураас ялгаатай нь түүний хамгийн хийсвэр чанар юм. Дахин хэлэхэд, математикийн объектын тухай ойлголтын хувьд бид зөвхөн хийсвэрлэлийн зэрэг төдийгүй түүний мөн чанарын тухай ярьж байна. Баримт нь нотолгоо нь бусад хэд хэдэн шинжлэх ухаанд, жишээлбэл, физик, сансар судлал, мэдээжийн хэрэг философи зэрэгт хийсвэрлэлийн өндөр түвшинд хүрдэг, учир нь сүүлчийн сэдэв нь оршихуй, сэтгэлгээний эцсийн асуудал юм. Математик нь хувьсагчид энд үйлчилдгээрээ ялгагдах бөгөөд утга нь аливаа тодорхой шинж чанараас хийсвэрлэлд оршдог. Тодорхойлолтоор хувьсагч нь өөрөө утгагүй шинж тэмдэг бөгөөд зөвхөн тодорхой объектын нэрээр (хувьдаа хувьсагч) солих эсвэл тодорхой шинж чанар, харилцааг (предикат хувьсагч) зааж өгөх үед л олж авдаг гэдгийг санацгаая. эцэст нь хувьсагчийг утга учиртай мэдэгдлээр (саналын хувьсагч) орлуулах тохиолдолд.

Энэ шинж чанар нь математикийн нотолгоонд ашигласан тэмдгүүдийн хэт хийсвэрлэлийн мөн чанарыг тодорхойлдог бөгөөд тэдгээрийн бүтцэд хувьсагчдыг оруулснаар мэдэгдлийн функц болж хувирдаг.

Логик дээр жагсаал гэж тодорхойлсон нотлох журам нь өөрөө дүгнэлт гаргах дүрмийн үндсэн дээр явагддаг бөгөөд үүний үндсэн дээр батлагдсан нэг мэдэгдлээс нөгөөд шилжих шилжилтийг хийж, дараалсан гинжин дүгнэлтийг бүрдүүлдэг. Хамгийн түгээмэл нь хоёр дүрэм (орлуулалт ба дүгнэлт) ба дедукцийн теорем юм.

Орлуулах дүрэм. Математикийн хувьд орлуулалтыг элемент бүрийг орлуулах гэж тодорхойлдог аөөр F элементээр тогтоосон өгөгдсөн ( а) ижил багцаас. Математик логикт орлуулах дүрмийг дараах байдлаар томъёолдог. Хэрэв үнэн томъёо бол М propositional calculus-д үсэг агуулагдаж байна А, дараа нь хаана ч тохиолдсон дурын үсгээр солино Д, бид анхных шиг үнэн томъёог олж авдаг. Энэ нь боломжтой бөгөөд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц юм, учир нь мэдэгдлийн тооцоололд хүн мэдэгдлийн утгыг (томьёо) хийсвэрлэдэг ... Зөвхөн "үнэн" эсвэл "худал" гэсэн утгыг харгалзан үздэг. Жишээлбэл, томъёонд М: А-->(БУ А) байрандаа Аилэрхийллийг орлуулах ( АУ Б), үр дүнд нь бид шинэ томъёог олж авдаг ( АУ Б) -->[(Б U( АУ Б) ].

Дүгнэлт гаргах дүрэм нь албан ёсны логик дахь нөхцөлт категорик силлогизмын модуль ponens (батлах горим) бүтэцтэй тохирч байна. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

a-->b

а .

мэдэгдэл өгсөн ( a->b) мөн өгсөн а. Үүнээс үүдэн гарч байна б.

Жишээ нь: Хэрэв бороо орвол хучилт нойтон байна, бороо орно ( а), тиймээс хучилт нойтон байна ( б). Математик логикт энэ силлогизмыг дараах байдлаар бичдэг. a->b) a->b.

Дүгнэлт нь дүрмээр бол үр дагаврыг хуваах замаар тодорхойлогддог. Хэрэв утгыг өгсөн бол ( a->b) ба түүний өмнөх үе ( а), тэгвэл бид аргумент (нотлох баримт) дээр энэ утга санааны үр дагаврыг нэмж оруулах эрхтэй ( б). Силлогизм нь зайлшгүй шинж чанартай бөгөөд нотлох баримтын дедуктив хэрэгслийн арсеналыг бүрдүүлдэг, өөрөөр хэлбэл математикийн үндэслэлийн шаардлагыг бүрэн хангадаг.

Математикийн нотолгоонд гол үүрэг нь дедукцийн теорем юм - хэд хэдэн теоремуудын ерөнхий нэр бөгөөд процедур нь үр дагаврын нотлох чадварыг тогтоох боломжийг олгодог. A->B, томъёоны логик дүгнэлт байгаа үед Бтомъёоноос А. Санал тооцооллын хамгийн түгээмэл хувилбарт (сонгодог, зөн совингийн болон бусад төрлийн математикийн хувьд) дедукцийн теорем нь дараахь зүйлийг илэрхийлдэг. Хэрэв G байр болон байрны системийг өгсөн бол А, үүнээс бид дүрмийн дагуу гаргаж авах боломжтой БГ, А Б(- үүсмэл шинж тэмдэг), үүнээс үзэхэд зөвхөн G-ийн байрнаас л өгүүлбэр авах боломжтой А-->Б.

Бид шууд нотлох баримт болох төрлийг авч үзсэн. Үүний зэрэгцээ шууд бус нотлох баримтыг логикт ашигладаг бөгөөд энэ нь дараахь схемийн дагуу илрэх шууд бус нотлох баримтууд байдаг. Хэд хэдэн шалтгааны улмаас (судалгааны объектод хүртээмжгүй байх, түүний оршин тогтнох бодит байдлыг алдах гэх мэт) аливаа мэдэгдэл, диссертацийн үнэнийг шууд нотлох боломж байхгүй тул тэд эсрэг үзэл баримтлалыг бий болгодог. Эсрэг үзэл нь зөрчилдөөнд хүргэдэг бөгөөд тиймээс худал гэдэгт тэд итгэлтэй байна. Дараа нь, хуурамч байдлын баримтаас хасагдсан дундын хуулийн үндсэн дээр эсрэг дүгнэлт гаргадаг. а v ) - диссертацийн үнэний талаархи дүгнэлт.

Математикт шууд бус нотолгооны нэг хэлбэр өргөн хэрэглэгддэг - зөрчилдөөнөөр нотлох. Энэ нь математикийн үндсэн ойлголт, заалтуудыг, жишээлбэл, өөр аргаар нэвтрүүлэх боломжгүй бодит хязгааргүй байдлын тухай ойлголтыг хүлээн зөвшөөрөхөд онцгой үнэ цэнэтэй бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай юм.

Зөрчилдөөнөөр нотлох үйлдлийг математик логикт дараах байдлаар үзүүлэв. G томьёо болон үгүйсгэлийн дараалал өгөгдсөн А(Г, А). Хэрэв үүнээс улбаатай бол Бба түүний үгүйсгэлт (G, A B, B биш), тэгвэл бид G томъёоны дараалал нь үнэнийг илэрхийлж байна гэж дүгнэж болно А. Өөрөөр хэлбэл, антитезийн худал байдлаас диссертацийн үнэнийг дагадаг.

Албан ёсны нотолгоог математикийн тусгай салбар болох нотлох онолоор авч үздэг. Математикийн албан ёсны нотолгоог бараг ашигладаггүй, учир нь тэдгээр нь хүний ойлголтод маш төвөгтэй бөгөөд ихэвчлэн маш их зай эзэлдэг. Ихэвчлэн нотолгоо нь аксиом болон өмнө нь батлагдсан теоремуудад тулгуурлан тодорхой мэдэгдлийн үнэнийг харуулахын тулд логик арга хэрэгслийг ашигладаг текст хэлбэртэй байдаг. Бусад шинжлэх ухаанаас ялгаатай нь математикт эмпирик нотлох баримтыг зөвшөөрдөггүй: бүх мэдэгдлийг зөвхөн логик аргаар нотолсон байдаг. Математикийн хувьд янз бүрийн объект, теоремуудын хоорондох математикийн зөн совин, аналоги нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг; гэхдээ эдгээр бүх аргыг эрдэмтэд нотлох баримтыг хайхдаа л ашигладаг. Байгалийн хэлээр бичсэн нотолгоо нь нарийн ширийн зүйл биш байж магадгүй бөгөөд бэлтгэгдсэн уншигч өөрөө нарийн ширийн зүйлийг сэргээж чадна гэж найдаж байна. Нотлох баримтын хатуу байдал нь түүнийг албан ёсны хэлээр тэмдэглэл хэлбэрээр гаргаж өгөх боломжтой гэдгээрээ баталгааждаг (нотлох баримтыг компьютерээр шалгах үед ийм зүйл тохиолддог).

Алдаатай нотлох баримт гэдэг нь логик алдаа агуулсан текст, өөрөөр хэлбэл албан ёсны нотолгоог сэргээж чадахгүй текст юм. Математикийн түүхэнд нэр хүндтэй эрдэмтэд буруу "нотолгоо" нийтэлсэн тохиолдол гарч байсан ч ихэвчлэн тэдний хамт ажиллагсад эсвэл өөрсдөө алдаагаа хурдан олдог (хамгийн буруу нотлогдсон теоремуудын нэг бол Фермагийн сүүлчийн теорем юм. Тэгээгүй хүмүүс байсаар байна. Энэ нь батлагдсан гэдгийг мэдэж, шинэ буруу "нотлох баримт" санал болгож байна). Зөвхөн байгалийн болон албан ёсны хэлээр "нотлох баримт" -ыг нотлох баримт гэж хүлээн зөвшөөрөх нь алдаатай байж болно; албан ёсны нотолгоо нь тодорхойлолтоор алдаатай байж болохгүй.

Эрдэмтэд математикт шийдэгдээгүй асуудлууд бий. Тэдгээрийн заримыг "Таамаглал" нийтлэлээс олж болно. Математикийн нийгэмлэгүүд онцгой сонирхолтой, чухал мэдэгдлийг нотлоход шагнал өгдөг.

Онол гэж нэрлэдэг дүүрэн, хэрэв ямар нэгэн мэдэгдлийн хувьд энэ нь эсвэл түүний үгүйсгэл нь нотлогддог бол, мөн тууштай, хэрэв үүн дотор тэдгээрийн үгүйсгэлийн хамт нотлогдох ямар ч мэдэгдэл байхгүй бол (эсвэл үүнтэй адилтгах, дор хаяж нэг нотлогдоогүй мэдэгдэл байгаа бол). Годелийн анхны бүрэн бус байдлын теоремоос харахад "хангалттай баян" математикийн ихэнх онолууд нь бүрэн бус эсвэл зөрчилтэй байдаг. Бидний цаг үеийн хамгийн түгээмэл аксиом бол сонголтын аксиом бүхий Зермело-Френкелийн аксиом юм (хэдийгээр зарим математикчид сүүлийнхийг ашиглахыг эсэргүүцдэг). Энэхүү аксиомын систем дээр суурилсан онол бүрэн гүйцэд биш (жишээлбэл, тасралтгүй байдлын таамаглал нь нотлогдох эсвэл үгүйсгэх боломжгүй - энэ онол нийцтэй гэсэн таамаглалаар). Энэ онолыг математикт өргөнөөр ашиглаж байгаа хэдий ч түүний тууштай байдлыг өөрийн аргаар батлах боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикчдын дийлэнх нь түүний тууштай гэдэгт итгэдэг бөгөөд эс тэгвээс зөрчилдөөнийг аль эрт илрүүлсэн гэж үздэг.

Түүхэн ноорог

Эхний нотолгоо нь хамгийн энгийн логик бүтцийг ашигласан. Ялангуяа диаметр нь тойргийг хоёр хуваадаг, ижил өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөг нь тэнцүү, огтлолцсон хоёр шулуун тэгш өнцөг үүсгэдэг гэдгийг нотолсон Милетийн Фалес өөрийн бүтээлдээ дүрсүүдийг нугалах, давхарлах аргыг ашигласан бололтой. нотлох баримтууд. Грекийн гүн ухаантан Проклусын (МЭ 5-р зуун) хэлснээр "Тэр заримдаа энэ асуудлыг ерөнхийд нь авч үздэг байсан бол заримдаа тодорхой байдалд тулгуурладаг байв." Пифагорын үед аль хэдийн нотолгоо нь тодорхой санаанаас цэвэр логик дүгнэлт рүү шилждэг. Иррационалийн үзэл баримтлалын үндэс болсон дөрвөлжингийн тал ба диагональ хоёрын харьцуулшгүй байдлын баталгаа нь Пифагорчуудад хамааралтай болох нь мэдэгдэж байгаа боловч энэ нь анх Евклидийн элементүүдэд (X) өгөгдсөн байдаг. эсрэг бөгөөд тоо хоёрт хуваагдах онол дээр суурилдаг. Математик нотолгооны үүргийн талаархи үзэл бодлын зөрүү нь Евдокс ба Платон хоёрын зөрчилдөөний нэг шалтгаан байсан байж магадгүй юм.