Мэдэгдэлийг нотлох гэдэг нь энэ мэдэгдэл нь үнэн ба холбогдох мэдэгдлийн системээс логикийн дагуу гарч байгааг харуулах гэсэн үг юм.

Логикийн хувьд хэрэв тухайн мэдэгдэл нь аль хэдийн батлагдсан мэдэгдлээс логикийн хувьд дагалддаг бол энэ нь үндэслэлтэй бөгөөд сүүлчийнхтэй адил үнэн гэж үздэг.

Тиймээс математикийн баталгааны үндэс нь юм дедуктив арга. Нотолгоо нь бүхэл бүтэн байдал юм логик техникбусад үнэн ба холбогдох мэдэгдлийн тусламжтайгаар мэдэгдлийн үнэнийг нотлох.

Математик нотолгоо нь зөвхөн дүгнэлтийн багц биш, тодорхой дарааллаар байрлуулсан дүгнэлт юм.

Нотлох баримт нь шууд ба шууд бус гэж ялгадаг.

Шууд нотлох баримт.

1) Зарим үнэн өгүүлбэр, теоремын нөхцөл дээр үндэслэн үнэн дүгнэлтэд хүргэх дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээг бий болгодог.

Жишээ. Үүнийг баталцгаая босоо өнцөгтэнцүү байна. 1 ба 2 өнцөг нь зэргэлдээ байгаа тул 1 +2 = 180 o. 2 ба 3 өнцөг нь зэргэлдээ байгаа тул 2 + 3 = 180 o байна. Бидэнд:1 = 180 o –23 = 180 o –21 =2 байна.

2) Математик индукцийн арга. Энэхүү мэдэгдэл нь аливаа натурал тооны хувьд үнэн юм n, хэрэв: энэ нь үнэн юм n= 1 ба дурын байгалийн хувьд мэдэгдлийн хүчинтэй байдлаас n=кшударга ёсыг баримталдаг n=к+ 1. (Ахлах дамжаанд илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.)

3) Бүрэн индукц(өмнө нь харна уу).

Шууд бус нотлох баримт.

1) Энэ арга нь зөрчилдөөнтэй байдаг. Теоремыг батлах шаардлагатай байг АIN. Түүний дүгнэлт худал, тиймээс түүнийг үгүйсгэж байна гэж таамаглаж байна үнэн. Өгүүлбэр хавсаргах замаар нотлох үйл явцад ашигласан бодит байрны багцад (түүний дотор нөхцөл байдал бий А), аль нэг байртай зөрчилдсөн мэдэгдлийг олж авах хүртэл дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээг бий болгох. Үүссэн зөрчилдөөн нь теоремыг баталж байна.

Жишээ. Хэрэв хоёр шугам нэг шулуунтай зэрэгцээ байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна.

Өгөгдсөн: X -тай,цагт -тай. Үүнийг нотол X цагт.

Баталгаа. Шулуун байг Xшугамтай зэрэгцээ биш цагт, өөрөөр хэлбэл шугамууд нэг цэг дээр огтлолцдог А. Тиймээс цэгээр дамжуулан Ашугамтай зэрэгцээ хоёр шугам байна -тай, энэ нь параллелизм аксиомын дагуу боломжгүй юм.

2) Эсрэг заалтын хуульд үндэслэсэн нотолгоо: теоремын оронд АINтүүнтэй тэнцэх теоремыг батална
. Хэрэв энэ нь үнэн бол анхны теорем нь бас үнэн болно.

Жишээ. Хэрэв X 2 – тэгш тоо, Тэр X- тэгш тоо.

Баталгаа. Ингэж бодъё X- сондгой тоо, жишээлбэл. X= 2к+ 1X 2 = (2к+ 1) 2 = = 4к 2 + 4к+ 1 = 2(2к 2 + 2к) + 1 - сондгой.

Аюулгүй байдлын асуултууд

Дүгнэлт гэж юу вэ?

Ямар дүгнэлтийг дедуктив гэж нэрлэдэг вэ?

Бүрэн бус ба бүрэн индукцийг тодорхойлох.

Дүгнэлтийг аналогоор тодорхойлно уу.

Дедуктив дүгнэлтийн схемүүдийг бичиж, эдгээр дүрмийн үндэс болсон томъёоны ижил үнэнийг нотлох.

Эйлерийн тойргийг ашиглан дүгнэлтийн зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Дүгнэлтийн зөв эсэхийг шалгах өөр ямар аргуудыг мэддэг вэ?

Ямар дүгнэлтийг софизм гэж нэрлэдэг вэ?

Мэдэгдэл нотлох нь юу гэсэн үг вэ?

Илтгэлийн аргын дагуу ямар нотлох баримтыг ялгадаг вэ?

Хэзээ үндэслэл гаргах аргуудыг тайлбарлана уу янз бүрийн хэлбэрүүдшууд ба шууд бус нотлох баримт.

Мэдэгдэлийг нотлох гэдэг нь энэ мэдэгдэл нь үнэн ба холбогдох мэдэгдлийн системээс логикийн дагуу гарч байгааг харуулах гэсэн үг юм.

Логикийн хувьд хэрэв тухайн мэдэгдэл нь аль хэдийн батлагдсан мэдэгдлээс логикийн хувьд дагалддаг бол энэ нь үндэслэлтэй бөгөөд сүүлчийнхтэй адил үнэн гэж үздэг.

Тиймээс математик нотлох үндэс нь дедуктив арга юм. Баталгаа гэдэг нь бусад үнэн ба холбогдох мэдэгдлүүдийн тусламжтайгаар мэдэгдлийн үнэнийг батлах логик аргуудын цогц юм.

Математик нотолгоо нь зөвхөн дүгнэлтийн багц биш, тодорхой дарааллаар байрлуулсан дүгнэлт юм.

Нотлох баримт нь шууд ба шууд бус гэж ялгадаг.

Шууд нотлох баримт.

1) Зарим үнэн өгүүлбэр, теоремын нөхцөл дээр үндэслэн үнэн дүгнэлтэд хүргэх дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээг бий болгодог.

Жишээ. Босоо өнцгүүд тэнцүү гэдгийг баталъя. Тиймээс 1 ба 2-р өнцөг нь зэргэлдээ байна
Р 1 + Р 2 = 180 о. 2 ба 3 өнцөг нь зэргэлдээ байгаа тул Р 2 + Р 3 = 180 о. Бидэнд: Ð 1 = 180 o – Ð 2 Ð 3 = 180 o – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2 байна.

2

2) арга математикийн индукц. Энэхүү мэдэгдэл нь аливаа натурал тооны хувьд үнэн юм n, хэрэв: энэ нь үнэн юм n= 1 ба дурын байгалийн хувьд мэдэгдлийн хүчинтэй байдлаас n = кшударга ёсыг баримталдаг n = к+ 1. (Ахлах дамжаанд илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.)

3) Бүрэн индукц (өмнөхөөс үзнэ үү).

Шууд бус нотлох баримт.

1) Арга нь зөрчилдөөнтэй байдаг. Теоремыг батлах шаардлагатай байг А Þ IN. Түүний дүгнэлт худал гэж таамаглаж байгаа тул түүнийг үгүйсгэх нь үнэн юм. Нотлох үйл явцад хэрэглэгдэх бодит нөхцөл байдлын багцад өгүүлбэр хавсаргах замаар (түүний дотор нөхцөл байдал байдаг) А), аль нэг байртай зөрчилдөж буй мэдэгдлийг олж авах хүртэл дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээг бий болгох. Үүссэн зөрчилдөөн нь теоремыг баталж байна.

Жишээ. Хэрэв хоёр шугам нэг шулуунтай параллель байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна.

Өгөгдсөн: Xúú -тай, цагтúú -тай. Үүнийг нотол Xúú цагт.

Баталгаа. Шулуун байг Xшугамтай зэрэгцээ биш цагт, өөрөөр хэлбэл шугамууд нэг цэг дээр огтлолцдог А. Тиймээс цэгээр дамжуулан Ашугамтай зэрэгцээ хоёр шугам байна -тай, энэ нь параллелизм аксиомын дагуу боломжгүй юм.

2) Эсрэг заалтын хуульд үндэслэсэн нотолгоо: теоремын оронд А Þ INтүүнтэй тэнцэх теоремыг батална. Хэрэв энэ нь үнэн бол анхны теорем нь бас үнэн болно.

Жишээ. Хэрэв X 2 бол тэгш тоо юм X- тэгш тоо.

Баталгаа. Ингэж бодъё X- сондгой тоо, жишээлбэл. X = 2к+ 1 Þ X 2 = (2к + 1) 2 =
= 4к 2 + 4к + 1 = 2(2к 2 + 2к) + 1 - сондгой.

Аюулгүй байдлын асуултууд

1. Дүгнэлт гэж юу вэ?

2. Ямар дүгнэлтийг дедуктив гэж нэрлэдэг вэ?

3. Бүрэн бус ба бүрэн индукцийг тодорхойл.

4. Дүгнэлтийг аналогийн аргаар тодорхойлно уу.

5. Дедукцийн дүгнэлтийн схемүүдийг бичиж, эдгээр дүрмийн үндэс болсон томъёоны ижил үнэнийг нотлох.

6. Эйлерийн тойргийг ашиглан дүгнэлтийн зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Дүгнэлтийн зөв эсэхийг шалгах өөр ямар аргуудыг мэддэг вэ?

7. Ямар дүгнэлтийг софист гэж нэрлэдэг вэ?

8. Мэдэгдэл нотлох гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?

9. Ямар нотлох баримтыг явуулах аргаар ялгах вэ?

10. Шууд ба шууд бус нотлох баримтын янз бүрийн хэлбэрээр үндэслэл гаргах аргуудыг тайлбарла.

Сургуулийн өмнөх насны хүүхдүүдтэй ажиллахдаа бүрэн бус индукц ашиглах жишээг өгье: тоглоомыг ашиглах " Гайхалтай цүнх"Гурван хэмжээст геометрийн дүрсээр бид хүүхдэд "Зургийг гаргаж аваад нэрлэ" гэж даалгадаг. Хэд хэдэн оролдлого хийсний дараа хүүхэд таамаглаж байна:

Бөмбөг. Бөмбөг. Бөмбөг. Бүх бөмбөг энд байгаа байх.

Даалгавар 14

Хүлээн авсан мэдэгдлийн үнэн (эсвэл худал) эсэхийг шалгах нэмэлт үндэслэлийг санал болго.

Бидний амьдрал, ялангуяа шинжлэх ухаанд нотлох баримтын ач холбогдлыг хэт үнэлэх боломжгүй юм. Хүн бүр нотлох баримтад ханддаг ч “нотлох*” гэж юу гэсэн үг болохыг тэр бүр боддоггүй. Баталгаажуулах практик ур чадвар, түүний талаархи зөн совингийн санаа нь өдөр тутмын олон зорилгоор хангалттай боловч шинжлэх ухааны хувьд хангалттай биш юм.

Мэдэгдэлийг нотлох нь энэ логик мэдэгдэл нь үнэн ба холбогдох мэдэгдлүүдийн системээс логикоор дагалдаж байгааг харуулах явдал юм.

Нотолгоо нь логик ажиллагаабусад үнэн ба холбогдох мэдэгдлийн тусламжтайгаар мэдэгдлийн үнэнийг нотлох.

Нотлох баримт нь гурвыг тодорхойлдог бүтцийн элементүүд:

1) нотлох баримт;

2) систем үнэн мэдэгдэл, түүний тусламжтайгаар нотлогдож байгаа зүйлийн үнэн зөвийг нотолсон;

3) догол мөр хоорондын логик холболт. 1 ба 2.

Математик нотлох үндсэн арга нь дедуктив дүгнэлт.

Түүний хэлбэрийн дагуу нотлох баримт- энэ бол бодит байр сууринаас баталгаатай мэдэгдэл рүү хөтөлдөг дедуктив дүгнэлт эсвэл дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээ юм.

Математик нотолгооны хувьд дүгнэлтийн дараалал чухал байдаг. Удирдлагын аргын дагуу тэдгээрийг ялгадаг шууд ба шууд бус нотлох баримт.Шууд нотлох баримтад 1.6-д дурдсан бүрэн индукц орно.

Бүрэн индукц- тодорхой бүх тохиолдолд мэдэгдлийн үнэн нь түүний үнэнээс гардаг нотлох арга.

Бүрэн индукц"Үүнийг нэг үгээр хэл" гэх мэт сургуулийн өмнөх насны хүүхдүүдтэй тоглоход ихэвчлэн ашиглагддаг.

"Аль ч дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь 360°" гэсэн шууд нотолгоог харуулсан жишээ:

“Дурын дөрвөн өнцөгтийг авч үзье. Дотор нь диагональ зурснаар бид 2 гурвалжин авна. Дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь үүссэн хоёр гурвалжны өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Аливаа гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 ° байх тул 180 ° ба 180 ° -ийг нэмснээр бид хоёр гурвалжны өнцгийн нийлбэрийг олж авна, энэ нь 360 ° болно. Тиймээс аль ч дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь 360" байдаг нь нотлох шаардлагатай зүйл юм."

Дээрх нотолгооноос дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.

1. Хэрэв зураг нь дөрвөлжин бол та диагональ зурж болно, энэ нь дөрвөн өнцөгтийг 2 гурвалжинд хуваах болно. Энэ зураг нь дөрвөн өнцөгт юм. Тиймээс диагональ байгуулах замаар 2 гурвалжинд хувааж болно.

2. Аль ч гурвалжинд өнцгүүдийн нийлбэр нь ISO байна." Эдгээр тоонууд нь гурвалжин юм. Тиймээс тэдгээрийн өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.

3. Дөрвөн өнцөгт нь хоёр гурвалжнаас тогтсон бол түүний өнцгийн нийлбэр нь эдгээр гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ дөрвөн өнцөгт нь өнцгийн нийлбэр нь 180° хоёр гурвалжнаас тогтоно. 180o+180o=360°. Тиймээс энэ дөрвөн өнцөгтийн өнцгүүдийн нийлбэр нь 360° байна.

Дээрх бүх дүгнэлтүүд нь дүгнэлтийн дүрмийн дагуу хийгдсэн тул дедуктив шинж чанартай байдаг.

Шууд бус нотлох баримтын жишээ бол зөрчилдөөнөөр нотлох явдал юм. IN энэ тохиолдолд зөвшөөрнөдүгнэлт худал тул түүнийг үгүйсгэх нь үнэн. Энэ өгүүлбэрийг олон тооны үнэн байр сууринд хавсаргасны дараа тэд зөрчилдөөн гарах хүртлээ үндэслэлээ боловсруулдаг.

Теоремын зөрчилтэй нотлох жишээг өгье: “Хэрэв хоёр шулуун А Тэгээд б Гурав дахь c шугамтай параллель байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна":

“Шулуун шугам гэж бодъё А Тэгээд б зэрэгцээ биш бол в шулуунд хамаарахгүй А цэг дээр огтлолцоно. Дараа нь бид А цэгээр дамжуулан c-тэй параллель a ба b хоёр шулуун зурж болохыг олж мэдэв. Энэ нь параллелизмын аксиомтой зөрчилдөж байна: “Цэгээр

8. Дүрэм журам гарга тодорхой тодорхойлолттөрөл, зүйлийн ялгаагаар.

9. Ямар тодорхойлолтыг нэрлэдэг вэ?

Контекст;

Цочмог?

10. Мэдэгдэл гэж юу вэ, илэрхийлэх хэлбэр гэж юу вэ?

11. “А ба В”, “А эсвэл В”, “А биш” гэсэн төрлийн өгүүлбэрүүд хэзээ үнэн, хэзээ худал вэ?

12. Ерөнхий хэмжигдэхүүн ба оршихуйн хэмжигдэхүүнийг жагсаа. Төрөл бүрийн хэмжигдэхүүн бүхий өгүүлбэрийн үнэ цэнийг хэрхэн тогтоох вэ?

13. Өгүүлбэрийн хооронд үр дагаврын хамаарал ямар үед, ямар үед дүйцэх хамаарал байх вэ? Тэд хэрхэн томилогдсон бэ?

14. Дүгнэлт гэж юу вэ? Ямар дүгнэлтийг дедуктив гэж нэрлэдэг вэ?

15. Дүгнэлтийн дүрэм, үгүйсгэх дүрэм, силлогизмын дүрмийг тэмдэгт ашиглан бич.

16. Ямар дүгнэлтийг бүрэн бус индукц гэж нэрлэдэг ба ямар дүгнэлтийг аналогиар нь хэлэх вэ?

17. Мэдэгдэл нотлох гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?

18. Математикийн баталгаа гэж юу вэ?

19. Бүрэн индукцийг тодорхойл.

20. Софизм гэж юу вэ?

Математик дахь эвристикийн тухай ойлголт

1.1. Математик дахь нотолгооны тухай ойлголт

Нотлох онолыг логикоор хөгжүүлсэн бөгөөд үүнд гурван бүтцийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд: дипломын ажил (нотлох ёстой зүйл), аргумент (баримтуудын багц, нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн үзэл баримтлал, холбогдох шинжлэх ухааны хууль гэх мэт) болон үзүүлэн (нотлох баримтыг өөрөө боловсруулах журам; дүгнэлтийн дараалсан хэлхээ. n-р дүгнэлт нь n+ 1-р дүгнэлтийн нэг болно). Баталгаажуулах дүрмийг онцолж, боломжит логик алдааг зааж өгсөн болно.

Математикийн нотолгоо нь тогтсон зарчмуудтай ижил төстэй зүйл юм албан ёсны логик. Түүнээс гадна, математикийн дүрэмЛогик дахь нотлох процедурыг хөгжүүлэх үндэс суурь нь үндэслэл ба үйлдлүүд байсан нь ойлгомжтой. Ялангуяа, албан ёсны логик үүссэн түүхийг судлаачид нэгэн цагт Аристотель логикийн хууль тогтоомж, дүрмийг бий болгох анхны алхмуудыг хийхдээ математик, хуулийн үйл ажиллагааны практикт хандсан гэж үздэг. Эдгээр эх сурвалжаас тэрээр төлөвлөсөн онолоо логикоор бүтээх материалыг олсон.

20-р зуунд нотлох баримтын тухай ойлголт нь нээлттэй холбоотой хатуу утгаа алдсан логик парадоксууд, олонлогийн онолд нуугдаж, ялангуяа албан ёсны бүрэн бус байдлын тухай К.Годелийн теоремуудын авчирсан үр дүнтэй холбоотой. Серебряников О.Ф. Эвристик зарчим ба логик сэтгэлгээ. М.: 1979. - х. 111

Юуны өмнө энэ нь математикт өөрөө нөлөөлсөн бөгөөд үүнтэй холбоотойгоор "баталгаа" гэсэн нэр томъёо нь ямар ч үндэслэлгүй гэж үздэг. нарийн тодорхойлолт. Гэхдээ ийм үзэл бодол (энэ нь өнөөг хүртэл байсаар байгаа) математикт өөрөө нөлөөлж байвал тэд нотолгоог логик-математикийн хувьд биш харин хүлээн зөвшөөрөх ёстой гэсэн дүгнэлтэд хүрдэг. сэтгэл зүйн мэдрэмж. Түүгээр ч барахгүй үүнтэй төстэй үзэл бодол Аристотельд байдаг бөгөөд тэрээр нотлох нь биднийг ямар нэг зүйлийн зөв гэдэгт итгүүлэхийн тулд бидэнд итгүүлэхүйц үндэслэлийг хэрэгжүүлэх гэсэн үг гэж үздэг байв. Тодорхой сүүдэр сэтгэл зүйн хандлага A.E-ээс олдсон. Есенин-Вольпина. Тэрээр үнэнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөхийг эрс эсэргүүцэж, үүнийг итгэлийн үйлдэлтэй холбож, цааш нь бичжээ: "Шүүлтийн нотолгоо бол энэ шүүлтийг үгүйсгэх аргагүй болгодог шударга хүлээн авалт юм." Есенин хэлэхдээ түүний тодорхойлолтыг тодруулах шаардлагатай хэвээр байна. Үүний зэрэгцээ, нотлох баримтыг "шударга хүлээн авах" гэж тодорхойлсон нь ёс суртахуун, сэтгэлзүйн үнэлгээнд хандах хандлагыг илтгэхгүй гэж үү?

Үүний зэрэгцээ олонлогийн онолын парадоксуудыг нээж, Годелийн теоремууд гарч ирсэн нь зөн билэгчид, ялангуяа конструктивист чиглэлийн математик нотлох онолыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулсан бөгөөд Д.Хилберт.

Заримдаа математикийн баталгаа нь бүх нийтийн шинж чанартай бөгөөд төлөөлдөг гэж үздэг хамгийн тохиромжтой сонголтшинжлэх ухааны нотолгоо. Гэсэн хэдий ч тийм биш юм цорын ганц арга, нотлох баримтад суурилсан журам, үйл ажиллагааны өөр аргууд байдаг. Үнэн цорын ганц зүйл бол математикийн баталгаа нь байгалийн шинжлэх ухаанд хэрэгждэг албан ёсны-логикийн баталгаатай ижил төстэй олон талтай бөгөөд математикийн баталгаа нь тодорхой онцлог шинж чанартай, түүнчлэн олон тооны техник, үйлдлүүдийг агуулдаг. Бид энд зогсох бөгөөд үүнийг нотлох бусад хэлбэрүүдтэй ижил төстэй болгодог нийтлэг шинж чанаруудыг орхих болно, өөрөөр хэлбэл алгоритм, дүрэм, алдаа гэх мэтийг бүх үе шатанд (гол ч гэсэн) боловсруулахгүй байх болно. нотлох үйл явц.

Математикийн нотолгоо гэдэг нь аливаа мэдэгдлийн үнэнийг (мэдээжийн хэрэг математикийн хувьд, өөрөөр хэлбэл таамаглаж болохуйц утгаар) нотлох зорилготой үндэслэл юм.

нотлоход ашигладаг дүрмийн багц нь бий болсонтой зэрэгцэн бий болсон аксиоматик байгууламжууд математикийн онол. Энэ нь Евклидийн геометрт хамгийн тодорхой бөгөөд бүрэн дүүрэн хэрэгжсэн. Түүний "Зарчмууд" нь аксиоматик зохион байгуулалтын нэг төрлийн загвар стандарт болсон математикийн мэдлэгТэгээд удаан хугацаагаарМатематикчдын хувьд ийм хэвээр байв.

Тодорхой дарааллын хэлбэрээр танилцуулсан мэдэгдэл нь логик үйлдлийн дүрмийн дагуу нотлогдсон гэж үзсэн дүгнэлтийг баталгаажуулах ёстой. Тодорхой үндэслэл нь зөвхөн тодорхой аксиоматик системийн талаархи нотолгоо гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

Математикийн нотолгоог тодорхойлохдоо хоёр үндсэн шинж чанарыг ялгаж үздэг. Юуны өмнө, математик нотолгоо нь эмпирик нотолгоонд хамаарах аливаа ишлэлийг хасдаг. Дүгнэлтийн үнэнийг зөвтгөх бүх процедур нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн аксиоматикийн хүрээнд явагддаг. Энэ талаар академич А.Д.Александров онцолж байна. Та гурвалжны өнцгийг хэдэн мянган удаа хэмжиж, тэдгээр нь 2d Serebryanikov O.F-тэй тэнцүү байгаа эсэхийг шалгаарай. Эвристик зарчим ба логик сэтгэлгээ. М.: 1979. - х. 48-49. . Гэхдээ та математикийн тусламжтайгаар юу ч баталж чадахгүй. Хэрэв та дээрх мэдэгдлийг аксиомуудаас гаргаж авбал түүнд үүнийг баталж чадна. Энд математик нь схоластикизмын аргуудтай ойрхон байдаг бөгөөд энэ нь туршилтаар өгөгдсөн баримт дээр үндэслэсэн аргументуудыг үндсээр нь үгүйсгэдэг.

Жишээлбэл, хэрчмүүдийн харьцуулшгүй байдлыг олж илрүүлэхэд энэ теоремыг батлахдаа физик туршилт, учир нь нэгдүгээрт, "харьцах чадваргүй" гэсэн ойлголт байхгүй физик утга, хоёрдугаарт, математикчид хийсвэрлэх асуудлыг шийдвэрлэхдээ мэдрэхүйн-харааны аргаар хэмжигдэх материаллаг тодорхой өргөтгөлүүдийг авчирч чадаагүй. Квадратын тал ба диагональуудын харьцуулшгүй байдал нь гипотенузын квадратын (тус тус бүр диагональ) хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байх тухай Пифагорын теоремыг ашиглан бүхэл тоонуудын шинж чанарт үндэслэн нотлогддог. (хоёр тал зөв гурвалжин). Эсвэл Лобачевский одон орны ажиглалтын үр дүнд хандаж, геометрээ батлахыг эрэлхийлэх үед энэ баталгаажуулалтыг тэрээр зөвхөн таамаглалын шинж чанартайгаар хийсэн. Кэйли-Клейн, Белтрами нарын хийсэн Евклидийн бус геометрийн тайлбарууд нь ерөнхийдөө математик гэхээсээ илүүтэй байв. физик объектуудЛакатос I. Нотолгоо ба няцаалт. М., 1967. - х. 84. .

Математикийн нотолгооны хоёрдахь шинж чанар нь бусад шинжлэх ухааны нотолгооны процедураас ялгаатай нь түүний хамгийн хийсвэр чанар юм. Дахин хэлэхэд, математикийн объектын тухай ойлголттой адил. бид ярьж байназөвхөн хийсвэрлэлийн зэрэг төдийгүй түүний мөн чанарын тухай. Гол нь үүнд л байгаа юм өндөр түвшинНотолгоо нь бусад хэд хэдэн шинжлэх ухаанд, тухайлбал, физик, сансар судлал, мэдээжийн хэрэг философи зэрэгт хийсвэрлэлд хүрдэг, учир нь сүүлчийн сэдэв нь оршихуй ба сэтгэлгээний эцсийн асуудал юм. Математик нь хувьсагчид энд үйлчилдгээрээ ялгагдах бөгөөд утга нь аливаа тодорхой шинж чанараас хийсвэрлэлд оршдог. Тодорхойлолтоор хувьсагч нь өөрөө утгагүй шинж тэмдэг бөгөөд зөвхөн нэрийг нь орлуулах үед л сүүлчийнх нь утгыг олж авдаг гэдгийг санацгаая. тодорхой зүйлүүд(хувьсагч хувьсагч) эсвэл тодорхой шинж чанар, хамаарлыг зааж өгөх үед (предикатын хувьсагч), эцэст нь хувьсагчийг утга учиртай мэдэгдлээр солих тохиолдолд (саналын хувьсагч).

Энэ шинж чанар нь математикийн нотолгоонд ашигласан тэмдгүүдийн хэт хийсвэрлэлийн мөн чанарыг тодорхойлдог бөгөөд тэдгээрийн бүтцэд хувьсагчдыг оруулснаар мэдэгдлийн функц болж хувирдаг.

Тиймээс дараах дүгнэлтийг хийж болно.

Математик нотолгоо нь мэдэгдлийн үнэнийг батлахад чиглэсэн аргумент юм.

Математикийн нотолгоог тодорхойлохдоо хоёр үндсэн шинж чанарыг ялгаж үздэг. Юуны өмнө, математик нотолгоо нь эмпирик нотолгоонд хамаарах аливаа ишлэлийг хасдаг. Математикийн нотолгооны хоёрдахь шинж чанар нь бусад шинжлэх ухааны нотолгооны процедураас ялгаатай нь түүний хамгийн хийсвэр чанар юм.

Евклидийн геометрийн вектор үндэслэл - Вейлийн аксиоматик

Бодлого 1: Ромбын диагональууд харилцан перпендикуляр болохыг батал. Баталгаа: Өгөгдсөн ромбыг ABCD болгоё (Зураг 3). =, = гэсэн тэмдэглэгээг танилцуулъя. Ромбусын тодорхойлолтоос ==, == гарч ирнэ. Векторуудын нийлбэр ба ялгаврын тодорхойлолтоор =+;=-. *=+)(-)=-... гэж бодоорой.

Боломжууд боловсролын судалгаадинамик зураг дээр

Үр дүнтэй хэрэглээМатематикийг заах боловсролын судалгаа нь тэдгээрийн бүтэц, үндсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн зорилгын талаархи мэдлэгийг шаарддаг. Үүнийг хийхийн тулд сэтгэл зүйч, багш, математикч, арга зүйчдийн үзэл бодолд дүн шинжилгээ хийцгээе...

Геометрийн хамгийн их ба хамгийн бага асуудлууд

"Алгоритм" гэсэн ойлголт үүссэн түүх. Алдартай алгоритмуудматематикийн түүхэнд

Математик ба орчин үеийн ертөнц

17-р зууны эхэн үе хүртэл. математик бол үндсэндээ тооны шинжлэх ухаан, скаляр хэмжигдэхүүнүүдмөн харьцангуй энгийн геометрийн хэлбэрүүд; түүний судалдаг хэмжигдэхүүнүүдийг (урт, талбай, эзэлхүүн гэх мэт) тогтмол гэж үздэг...

тэгшитгэлийн тэгш бус байдлын математик "Тэгшитгэл" гэсэн ойлголт нь математикийн хамгийн чухал ерөнхий ойлголтуудыг хэлдэг. "Тэгшитгэл" гэсэн ойлголтыг янз бүрээр тайлбарладаг. БА БИ. Виленкин нар логикоор удирддаг. математикийн тодорхойлолттэгшитгэлүүд...

Шинжлэх ухааны ололт амжилтПифагор

Доорх нотлох баримтууд нь хэдийгээр илэрхий энгийн боловч тийм ч энгийн зүйл биш юм. Тэд бүгд талбайн шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд үүний нотолгоо нь Пифагорын теоремын нотолгооноос илүү төвөгтэй байдаг. Тэнцвэрээр нөхөх замаар нотлох...

Тодорхойлогч хүчин зүйлүүд ба тэдгээрийн алгебр, геометрийн хэрэглээ

Өмч No1: Матриц (мөр ба багана) зөөвөрлөхөд тодорхойлогч өөрчлөгддөггүй. Баталгаа: Def. Aji матрицыг шилжүүлсэн матриц гэнэ Aij = det A = det AT det A = det AT Тодорхойлогчийн нийлбэрээс дурын гишүүнийг сонгоцгооё...

Эквивалент харьцаа

I. Геометрийн биетүүдийн хоорондын хамаарал Олонд танигдсан сургуулийн математикухагдахуунууд нь үндсэндээ нэрс юм хоёртын харилцаа, мөн тэдгээртэй холбоотой гол теоремууд нь эдгээр харилцааны шинж чанарыг илэрхийлдэг. Жишээ 3.1...

Тэгш ба тэгш талт олон өнцөгт ба олон талт

Зарим олон өнцөгт нь ямар нэгэн байдлаар бүрэлдэхүүн хэсэг олон талт гэж хуваагдана гэж үзье; Эдгээр олон талтуудын ирмэгүүд нь сегментүүдийн дагуу анхны олон өнцөгт байрладаг бөгөөд тэдгээрийн цуглуулгыг бид задралын араг яс гэж нэрлэх болно ...

Даалгавар гэдэг нь хүрэх ёстой тодорхой зорилго бүхий асуудалтай нөхцөл байдал; илүү явцуу утгаараадаалгаврыг мөн хүрээнд өгөгдсөн энэ зорилго гэж нэрлэдэг асуудалтай нөхцөл байдал, өөрөөр хэлбэл юу хийх хэрэгтэй вэ ...

1. Математик нотолгооны аргууд

2. Шууд ба шууд бус нотлох баримт. Зөрчилдөөнөөр нотлох.

3. Үндсэн дүгнэлтүүд

Математик нотолгооны аргууд

IN өдөр тутмын амьдралИхэнхдээ тэд нотлох баримтын талаар ярихдаа хийсэн мэдэгдлийг шалгахыг хэлдэг. Математикийн хувьд баталгаажуулалт, нотолгоо нь хоорондоо холбоотой боловч өөр зүйл юм. Жишээлбэл, хэрэв дөрвөлжин гурван өнцөгтэй бол тэгш өнцөгт гэдгийг батлахыг хүсч байна.

Хэрэв бид гурван өнцөг нь зөв дөрвөн өнцөгтийг авч, дөрөв дэх өнцөг нь зөв гэдэгт итгэлтэй байгаа бол энэ шалгалт нь энэ мэдэгдлийг илүү үнэмшилтэй болгох боловч хараахан нотлогдоогүй байна.

Энэ мэдэгдлийг батлахын тулд гурван өнцөг нь зөв байх дурын дөрвөн өнцөгтийг авч үзье. Аливаа гүдгэр дөрвөн өнцөгт өнцгийн нийлбэр 360⁰ байдаг тул энэ нь 360⁰ байна. Гурван тэгш өнцөгтийн нийлбэр нь 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰) тул дөрөв дэх нь 90⁰ (360⁰ - 270⁰) утгатай байна. Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцөг нь тэгш өнцөгт байвал энэ нь тэгш өнцөгт болно. Q.E.D.

Нотлох баримтын мөн чанар нь үнэн мэдэгдлүүдийн (теорем, аксиом, тодорхойлолт) дарааллыг бий болгоход оршино гэдгийг анхаарна уу.

Ер нь мэдэгдлийг нотлох гэдэг нь энэ мэдэгдэл нь үнэн ба холбогдох мэдэгдлийн системээс логикийн дагуу гарч байгааг харуулах гэсэн үг юм.

Логикийн хувьд хэрэв тухайн мэдэгдэл нь аль хэдийн батлагдсан мэдэгдлээс логикийн хувьд дагалддаг бол энэ нь үндэслэлтэй бөгөөд сүүлчийнхтэй адил үнэн гэж үздэг.

Тиймээс математик нотлох үндэс нь дедуктив дүгнэлт юм. Мөн нотлох баримт нь өөрөө дүгнэлтийн гинжин хэлхээ бөгөөд тэдгээрийн тус бүрийн дүгнэлт (сүүлийнхээс бусад) нь дараагийн дүгнэлтүүдийн аль нэгний суурь юм.

Жишээлбэл, дээрх нотолгоонд дараахь дүгнэлтийг ялгаж болно.

1. Аливаа гүдгэр дөрвөн өнцөгт өнцгийн нийлбэр нь 360⁰; энэ тоо – гүдгэр дөрвөлжинТиймээс түүний өнцгийн нийлбэр нь 360⁰ байна.

2. Дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцгийн нийлбэр ба гурвын нийлбэр нь мэдэгдэж байгаа бол хасах аргаар дөрөв дэхийн утгыг олох боломжтой; Өгөгдсөн дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцгийн нийлбэр нь 360⁰, гурвын нийлбэр нь 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), дөрөв дэхийн утга нь 360⁰ - 270⁰ = 90⁰ байна.

3. Дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцөг зөв байвал энэ дөрвөн өнцөгт тэгш өнцөгт болно; Өгөгдсөн дөрвөн өнцөгт бүх өнцөг нь тэгш өнцөгт байдаг тул энэ нь тэгш өнцөгт юм.

Дээрх бүх дүгнэлтүүд нь дүгнэлтийн дүрмийн дагуу хийгдсэн тул дедуктив шинж чанартай байдаг.

Хамгийн энгийн нотолгоо нь нэг дүгнэлтээс бүрдэнэ. Жишээлбэл, энэ нь 6 гэсэн мэдэгдлийн нотолгоо юм< 8.

Тиймээс математикийн баталгааны бүтцийн талаар ярихдаа энэ нь юуны түрүүнд нотлогдож байгаа мэдэгдэл, нотлох баримтыг ашиглан үнэн мэдэгдлийн системийг агуулдаг гэдгийг ойлгох ёстой.

Математик нотолгоо нь зөвхөн дүгнэлтийн багц биш, тодорхой дарааллаар байрлуулсан дүгнэлтүүд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Удирдлагын аргын дагуу (хэлбэр) тэд ялгадаг шууд ба шууд бус нотлох баримт. Өмнө нь авч үзсэн нотолгоо нь шууд байсан - үүнд зарим үнэн өгүүлбэр дээр үндэслэн, теоремын нөхцлийг харгалзан жинхэнэ дүгнэлтэд хүргэсэн дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээг бий болгосон.

Шууд бус нотлох баримтын жишээ бол нотлох баримт юм зөрчилдөөнөөр . Үүний мөн чанар нь дараах байдалтай байна. Теоремыг батлах шаардлагатай байг

A ⇒ B. Зөрчилдөөнөөр нотлохдоо (В) теоремын дүгнэлт худал, тиймээс түүнийг үгүйсгэх нь үнэн гэж үздэг. "Б биш" гэсэн өгүүлбэрийг нотлох үйл явцад ашигласан үнэн байруудын багцад (түүний дотор А нөхцөл) хавсаргаснаар тэд аль нэг заалттай зөрчилдсөн мэдэгдлийг олж авах хүртэл дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээг бий болгодог, ялангуяа: нөхцөл A. Зөвхөн ийм зөрчил хэрхэн тогтоогдож, нотлох үйл явц дуусч, үүссэн зөрчил нь теоремын үнэнийг нотолж байна гэж хэлдэг

Бодлого 1. Хэрэв a + 3 > 10 бол a ≠ 7. Зөрчилөөр арга.

Бодлого 2. Хэрвээ x² тэгш тоо бол x тэгш тоо гэдгийг батал. Эсрэг арга.

Бодлого 3. Дөрвөн дараалсан натурал тоо өгөгдсөн. Энэ дарааллын дундаж тоонуудын үржвэр нь үнэн үү илүү их ажилтуйлын 2-оор? Бүрэн бус индукцийн арга.

Бүрэн индукц- энэ нь бүх тодорхой тохиолдлуудад мэдэгдлийн үнэн нь түүний үнэнээс гардаг нотлох арга юм.

Бодлого 4. Бүрэлдэхүүн хэсэг бүр гэдгийг батал натурал тоо, 4-өөс их боловч 20-оос бага бол хоёр анхны тооны нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Бодлого 5. Натурал n тоо 3-ын үржвэр биш бол n² + 2 илэрхийллийн утга 3-ын үржвэр гэж үнэн үү? Бүрэн индукцийн арга.

Гол дүгнэлтүүд

Энэ үед бид дүгнэлт, үндэслэл ба дүгнэлт, дедуктив (зөв) дүгнэлт, бүрэн бус индукц, аналоги, ойлголттой танилцсан. шууд нотолгоо, шууд бус нотолгоо, бүрэн индукц.

Бүрэн бус индукц ба аналоги нь дедукцтэй нягт холбоотой болохыг бид олж мэдсэн: бүрэн бус индукц ба аналоги ашиглан олж авсан дүгнэлтийг нотлох эсвэл үгүйсгэх ёстой. Нөгөөтэйгүүр, хасалт үүсэхгүй хоосон зай, гэхдээ материалын урьдчилсан индуктив судалгааны үр дүн юм.

Дедуктив үндэслэл нь одоо байгаа мэдлэгээс шинэ үнэнийг олж авах боломжийг олгодог бөгөөд үүнээс гадна туршлага, зөн совин гэх мэт зүйлийг ашиглахгүйгээр үндэслэлийн тусламжтайгаар.

Математикийн баталгаа нь дагуу хийгдсэн дедуктив дүгнэлтийн гинжин хэлхээ гэдгийг бид олж мэдсэн тодорхой дүрэм. Бид тэдгээрийн хамгийн энгийн нь: дүгнэлтийн дүрэм, үгүйсгэх дүрэм, силлогизмын дүрэмтэй танилцсан. Та Эйлерийн тойргийг ашиглан дүгнэлтийн зөв эсэхийг шалгаж болно гэдгийг бид олж мэдсэн.

ТЕКСТИЙН АСУУДАЛ, ТҮҮНИЙ ШИЙДЭХ ПРОЦЕСС

Лекц 11. Үгийн асуудалтүүнийг шийдвэрлэх үйл явц

1. Үгийн бодлогын бүтэц

2. Үгийн бодлого шийдвэрлэх арга, арга

3. Асуудлыг шийдвэрлэх үе шат, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх арга

Үүнээс бусад нь янз бүрийн ойлголтууд, санал, нотлох баримтыг дурын математикийн курсдаалгавар байдаг. Математик заахдаа бага сургуулийн сурагчидзонхилох зүйлүүд нь арифметик, текст, өрнөл гэж нэрлэгддэг. Эдгээр даалгавруудыг байгалийн хэлээр томъёолсон (тэдгээрийг нэрлэдэг текст):Тэд ихэвчлэн зарим үзэгдэл, үйл явдлын тоон талыг дүрсэлдэг (тиймээс тэдгээрийг ихэвчлэн нэрлэдэг арифметикэсвэл талбай);Эдгээр нь хайж буй зүйлийг олох асуудлыг илэрхийлж, тодорхой хэмжигдэхүүний үл мэдэгдэх утгыг тооцоолоход хүргэдэг (тиймээс тэдгээрийг заримдаа гэж нэрлэдэг). тооцоолох).

Энэхүү гарын авлагад бид "Үгийн бодлого" гэсэн нэр томъёог бага сургуулийн хүүхдүүдэд математик заах арга зүйд ихэвчлэн ашигладаг тул ашиглах болно.

Хэзээ үгийн асуудлыг шийдвэрлэх бага боловсролихээхэн анхаарал хандуулж байна. Энэ нь ийм даалгавар нь зөвхөн олон зүйлийг бий болгох хэрэгсэл биш байдагтай холбоотой юм математикийн ойлголтууд, гэхдээ хамгийн чухал нь - барих ур чадварыг хөгжүүлэх хэрэгсэл юм математик загварууд бодит үзэгдэл, түүнчлэн хүүхдийн сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлэх хэрэгсэл юм.

Янз бүрийн байдаг арга зүйн хандлагахүүхдүүдэд үгийн асуудлыг шийдвэрлэхийг заах. Гэхдээ багш ямар заах аргыг сонгохоос үл хамааран ийм асуудал хэрхэн явагддагийг мэдэж, тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой янз бүрийн аргаболон арга замууд.

Үгийн асуудлын бүтэц

Дээр дурдсанчлан аливаа текстийн даалгавар нь үзэгдлийн (нөхцөл байдал, үйл явц) дүрслэл юм. Энэ үүднээс авч үзвэл текстийн асуудал нь аливаа үзэгдлийн (нөхцөл байдал, үйл явц) аман загвар юм. Аливаа загварын нэгэн адил текстийн асуудал нь үзэгдлийг бүхэлд нь дүрсэлдэггүй, зөвхөн түүний зарим талыг, голчлон тоон шинж чанарыг нь тодорхойлдог. Жишээлбэл, дараах асуудлыг авч үзье: "Машин А цэгээс 60 км/цагийн хурдтай явсан. 2 цагийн дараа түүний араас хоёр дахь машин 90 км/цагийн хурдтайгаар гарч ирэв. Хоёр дахь машин А-аас хэдэн зайд эхнийхийг гүйцэх вэ?

Асуудал нь хоёр машины хөдөлгөөнийг тодорхойлдог. Та бүхний мэдэж байгаагаар аливаа хөдөлгөөн нь гурван хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогддог: явсан зай, хурд, хөдөлгөөний цаг. Энэ асуудалд эхний болон хоёр дахь машинуудын хурдыг мэддэг (60 км / цаг ба 90 км / цаг), тэдгээр нь А цэгээс уулзах газар хүртэл ижил зайг туулсан нь тоон үзүүлэлттэй байх ёстой. олдсон. Нэмж дурдахад эхний машин хоёр дахь машинаас 2 цаг илүү байсан нь мэдэгдэж байна.

Дүгнэж хэлэхэд, бид үгийн бодлого нь тайлбар гэж хэлж болно байгалийн хэлзарим үзэгдэл (нөхцөл байдал, үйл явц) нь энэ үзэгдлийн аль нэг бүрэлдэхүүн хэсгийн тоон шинж чанарыг өгөх, бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хооронд ямар нэгэн хамаарал байгаа эсэхийг тогтоох, эсвэл энэ харилцааны төрлийг тодорхойлох шаардлагатай.

Өөр нэг асуудлыг авч үзье анхан шатны курсматематикчид: “1 кг 200 гр ноосоор цамц, малгай, ороолт сүлжсэн. Ороолт нь малгайнаас 100 гр илүү ноос, цамцнаас 400 гр бага шаардагдана. Нэг зүйлд хэдэн ширхэг ноос ашигласан бэ?

Асуудал нь цамц, малгай, ороолт зэрэгт ноосыг зарцуулахтай холбоотой. Эдгээр объектуудын талаар тодорхой зүйл байдаг мэдэгдэлТэгээд шаардлага.

Мэдэгдэл:

1. 1200 гр ноосоор цамц, малгай, ороолт сүлжмэл байна.

2. Бид ороолтонд малгайнаас 100 гр илүү зарцуулсан.

3. Бид ороолтонд ноосон цамцнаас 400 гр бага зарцуулсан.

Тавигдах шаардлага:

1. Ноосон цамцандаа хэр их ноос ашигласан бэ?

2. Малгайнд хэр хэмжээний ноос ашигласан бэ?

3. Ороолтдоо хэр хэмжээний ноос ашигласан бэ?

Асуудлын мэдэгдлүүд гэж нэрлэгддэг нөхцөл(эсвэл бага сургуулийнх шиг нөхцөл байдал). Асуудал нь ихэвчлэн нэг нөхцөл биш, хэд хэдэн үндсэн нөхцөлийг агуулдаг. Эдгээр нь даалгаврын объектуудын тоон эсвэл чанарын шинж чанар, тэдгээрийн хоорондын харилцааг илэрхийлдэг. Ажилд хэд хэдэн шаардлага тавигдаж болно. Тэдгээрийг асуулга болон хоёуланг нь томъёолж болно батлах хэлбэр. Нөхцөл, шаардлага нь харилцан уялдаатай байдаг.

Харилцан уялдаатай нөхцөл, шаардлагын тогтолцоог даалгаврын илэрхийлэл загвар гэж нэрлэдэг.

Тиймээс, даалгаврын бүтэц гэж юу болохыг ойлгохын тулд түүний бүтцэд нөлөөлөхгүй хоёрдогч, шаардлагагүй бүх зүйлийг хаяж, түүний нөхцөл, шаардлагыг тодорхойлох шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, асуудлын илэрхийлэлтэй загварыг бий болгох шаардлагатай.

Энэ загварыг олж авахын тулд та даалгаврын текстийг (үүнийг бичгээр эсвэл амаар хийж болно) өргөжүүлэх хэрэгтэй, учир нь даалгаврын текстийг дүрмээр бол товчилсон, хумигдсан хэлбэрээр өгдөг. Үүнийг хийхийн тулд та асуудлыг дахин тайлбарлаж, түүний график загварыг бий болгож, зарим тэмдэглэгээг нэвтрүүлж болно.

Үүнээс гадна асуудлын нөхцлийн тусгаарлалтыг өөр өөр гүнд хийж болно. Асуудлын нөхцөл, шаардлагын гүнзгий дүн шинжилгээ нь тухайн асуудалд хамаарах асуудлын төрлийг мэддэг эсэх, ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэддэг эсэхээс хамаарна.

Жишээ 1. Даалгаврын нөхцөл, шаардлагыг томъёол.

Хоёр охин 420 м урттай спортын зам дагуу нэгэн зэрэг гүйж, эхнийх нь хоёр дахь охиноос 60 м илүү гүйв. Охид бүр 30 секундын дараа тааралдвал хэр хурдан гүйсэн бэ?

Асуудал нь хоёр охин бие бие рүүгээ чиглэсэн хөдөлгөөнтэй холбоотой юм. Та бүхний мэдэж байгаагаар хөдөлгөөн нь зай, хурд, цаг гэсэн гурван хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогддог.

Асуудлын нөхцөл:

1. Хоёр охин бие бие рүүгээ гүйж байна.

2. Тэд нэгэн зэрэг хөдөлж эхлэв.

3. Тэдний гүйсэн зай нь 420 м.

4. Нэг охин нөгөөгөөсөө 60 м илүү гүйсэн.

5. Охид 30 секундын дараа уулзсан.

6. Нэг охины хурд хөдөлгөөний хурдаас их.
өөр.

Ажлын шаардлага:

1. 1-р охин хэр хурдан гүйсэн бэ?

2. 2-р охин хэр хурдан гүйсэн бэ?

Нөхцөл байдал, шаардлагын хувьд:

A) тодорхой ажлууд -тэдний дотор өгөгдсөн нөхцөлаль болох их
шаардлагыг хангахад шаардлагатай, хангалттай байх;

б) тодорхойлогдоогүй ажлууд -тэдний дотор нөхцөл нь хариулт авахад хангалтгүй;

V) дахин тодорхойлсон ажлууд -тэдгээр нь шаардлагагүй нөхцөлүүдийг агуулдаг.

IN бага сургуульдутуу тодорхойлогдоогүй ажлуудыг дутуу өгөгдөлтэй, хэт тодорхойлогдсон ажлыг илүүдэл өгөгдөлтэй ажил гэж үзнэ.

Жишээлбэл, "Байшингийн ойролцоо 5 алим, 2 интоор, 3 хус мод байсан. Байшингийн ойролцоо хэдэн жимсний мод ургасан бэ? нэмэлт нөхцөл агуулж байгаа тул хүчингүй болгосон.

Бодлого "Эхлээд 12 сандал заалнаас гарсан, дараа нь дахиад 5 сандал зааланд үлдсэн бэ?" дутуу тодорхойлогддог - түүний нөхцөл нь тавьсан асуултанд хариулахад хангалтгүй юм.

Одоо "асуудлын шийдэл" гэсэн нэр томъёоны утгыг тодруулцгаая. Энэ нэр томъёог хэлдэг нь ийм болсон өөр өөр ойлголтууд:

1) асуудлын шийдэл нь үр дүн, i.e. эрэлтийн хариу
даалгавар;

2) асуудлыг шийдвэрлэх нь энэ үр дүнг олох үйл явц бөгөөд энэ үйл явцыг хоёр аргаар авч үздэг: үр дүнг олох арга болгон (жишээлбэл, тэд асуудлыг шийдвэрлэх талаар ярьдаг. арифметик арга) мөн шийдвэр гаргагчийн нэг буюу өөр аргыг ашиглан гүйцэтгэдэг үйлдлүүдийн дараалал болгон (жишээ нь: энэ тохиолдолддоор
Асуудлын шийдэл гэдэг нь асуудлыг шийдэж байгаа хүний ​​бүх үйл ажиллагаа гэж ойлгогдоно).

Дасгал

1. Дараах ажлуудад нөхцөл, шаардлагыг тодруулна уу.

a) Хотоос тосгон руу хоёр автобус нэгэн зэрэг хөдөлсөн бөгөөд 72 км зайтай. Эхний автобус хоёр дахь автобуснаас 15 минутын өмнө тосгонд иржээ. Аль нэгнийх нь хурд нөгөөгийнхөө хурдаас 4 км/цаг их байсан бол автобус бүр ямар хурдтай явсан бэ?

б) Хоёр тооны нийлбэр нь 199. Нэг нь нөгөөгөөсөө 61-ээр их байвал эдгээр тоог ол.

2. 1-р дасгалын бодлогуудыг шаардлага агуулсан өгүүлбэрт нөхцөл агуулаагүй байхаар томъёол.

3. Дасгал 1-ээс гарсан асуудлуудад зайлшгүй хэлбэрШаардлагуудыг асуух үгээр, асуух үгийг тушаалаар соль.

4. I дасгалаас асуудлаа шийд.

5. “42 кг өргөст хэмх түүж, нийт өргөст хэмхүүдийн 5/7-г даршилсан” гэсэн даалгаврын нөхцөлийг өгсөн.

Доорх жагсаалтаас энэ нөхцөлд тавигдах шаардлагыг сонгоод, үүссэн асуудлыг шийднэ үү.

a) Хэдэн кг өргөст хэмх давсгүй үлдсэн бэ?

б) Хэдэн кг улаан лооль давсгүй үлдсэн бэ?

в) Аль нь илүү вэ - давсалсан өргөст хэмхүүд эсвэл давсгүй үлдсэн өргөст хэмхүүдийн масс уу?

6. Асуудлын нөхцлийн боломжит шаардлагыг томъёол:

a) Бид 12 м даавуу худалдан авч, даавууны гуравны нэгийг даашинзанд ашигласан.

б) Явган зорчигч тосгоныг орхиж, 2 цагийн дараа дугуйчин түүний ард үлджээ. Дугуйчны хурд 10 км/цаг, явган хүнийх 5 км/цаг.

7. Дараах шаардлагыг хангахын тулд ямар өгөгдөл шаардлагатай вэ?
даалгавар:

a) Хичээлийн аль хэсгийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигласан бэ?

б) Худалдан авсан даавуугаар хичнээн даашинз хийсэн бэ?

в) Тэгш өнцөгтийн периметрийг ол.

8. Оюутанд даалгавар өгсөн: “Дугуйчин 2 цаг хамт унасан
зарим хурд. Тэр түүнтэй 60 км замыг туулсаны дараа
хурд, түүний зам 48 км байх болно. Хэр хурдан байсан бэ?
дугуйчин?" Тэр үүнийг ингэж шийдсэн:

1)60-48= 12 (км)

2) 12:2 = 6 (км/цаг)

Хариулт: 6 км/цаг бол дугуйчны хурд юм.

Энэ асуудлыг шийдэх энэ шийдэлтэй та санал нийлж байна уу?

9. Дараах асуудлын шаардлагад хариулт өгч чадах уу?

a) 3 м даавууны хувьд тэд 60,000 рубль төлсөн. Хоёр дахь удаагаа бид 6 м даавуу худалдаж авсан. Хоёр дахь удаагаа авсан даавуундаа хэдэн төгрөг төлсөн бэ?

б) Хоёр мотоцикльчин бие бие рүүгээ явж байна. Нэгнийх нь хурд 62 км/цаг, нөгөөгийнх нь хурд 54 км/цаг. Мотоцикльчид хэдэн цагийн дараа уулзах вэ?

Хэрэв асуудлын шаардлагад хариулах боломжгүй бол түүний нөхцөлийг нэмж, асуудлыг шийдээрэй.

10. Байгаа юу доорх даалгаварууднэмэлт өгөгдөлтэй:

a) Өрөөний хэмжээ 72 м³ байна. Өрөөний өндөр нь 3 м, урт нь 6 м бол өрөөний талбайг ол.

5) Ой мод тарих зориулалтаар 300 га талбай олгосон. Талбайн 7/10-д Ду6, 3/10-д нарс тарьсан. Хэдэн га талбайг царс, нарс мод эзэлдэг вэ?

Асуудал нь шаардлагагүй өгөгдөл агуулсан бол үүнийг арилгаж, асуудлыг шийдээрэй.