Тооны цувралын тодорхойлолт. Геометр ба арифметик цувралууд

Хариулах: цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ №3

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ цувралын нийлбэрийг ол.

Доод нийлбэрийн хязгаар нь 1 тул нийтлэг гишүүнцувралыг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Зохиоцгооё n-р хэсэгцувралын нийлбэр, өөрөөр хэлбэл. Өгөгдсөн тооны цувралын эхний $n$ нөхцлүүдийг нийлбэрлэе:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Би яагаад $\frac(2)(15)$ биш яг $\frac(2)(3\cdot 5)$ гэж бичдэг нь цаашдын ярианаас тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч хэсэгчлэн бичсэн нь биднийг зорилгодоо нэг ч болтугай ойртуулсангүй. Бид $\lim_(n\to\infty)S_n$-г олох хэрэгтэй, гэхдээ зүгээр л бичвэл:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\баруун), $$

тэгвэл хэлбэрийн хувьд бүрэн зөв болсон энэ бичлэг мөн чанартаа юу ч өгөхгүй. Хязгаарыг олохын тулд эхлээд хэсэгчилсэн нийлбэрийн илэрхийллийг хялбарчлах хэрэгтэй.

Цувралын ерөнхий гишүүнийг илэрхийлэх $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ бутархайг энгийн бутархай болгон задлахаас бүрдэх стандарт хувиргалт байдаг. Задрах асуудал рационал бутархайбага ангид зориулагдсан тусдаа сэдэв(Жишээ нь, энэ хуудасны №3 жишээг үзнэ үү). $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ бутархайг энгийн бутархай болгон өргөжүүлбэл бид дараах байдалтай болно:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Бид зүүн талд байгаа бутархайн тоог тэнцүүлж байна зөв хэсгүүдҮүний үр дүнд тэгш байдал:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

$A$ ба $B$-ийн утгыг олох хоёр арга бий. Та хаалт нээж, нэр томъёог дахин цэгцэлж болно, эсвэл $n$-ын оронд тохирох утгыг орлуулж болно. Зөвхөн олон янз байхын тулд энэ жишээнд бид эхний замаар явах болно, дараагийнх нь хувийн утгыг $n$ орлуулах болно. Хаалтуудыг нээж, нэр томъёог дахин цэгцлэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Тэгш байдлын зүүн талд $n$-ийн өмнө тэг байна. Хэрэв та дуртай бол зүүн талТодорхой болгохын тулд тэгш байдлыг $0\cdot n+ 2$ гэж илэрхийлж болно. Тэгш байдлын зүүн талд $n$-ийн өмнө тэг, баруун талд $n$-ийн өмнө $2A+2B$ байгаа тул эхний тэгшитгэл $2A+2B=0$ байна. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг нэн даруй 2-т хуваагаад дараа нь $A+B=0$ гарна.

Учир нь тэгш байдлын зүүн талд чөлөөт гишүүннь 2-той тэнцүү бөгөөд тэгш байдлын баруун талд чөлөөт нэр томъёо нь $3A+B$, дараа нь $3A+B=2$ байна. Тиймээс, бидэнд систем бий:

$$ \зүүн\(\эхлэх(эгцэлсэн) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун. $$

Бид аргыг ашиглан нотолгоо хийх болно математикийн индукц. Эхний алхамд та нотлогдож буй тэгш байдал үнэн эсэхийг шалгах хэрэгтэй $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=1$. Бид $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ гэдгийг мэдэж байгаа ч $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ илэрхийлэл нь $\frac( гэсэн утгыг өгөх үү. 2 )(15)$, хэрэв бид $n=1$-г орлуулбал? Шалгацгаая:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Тэгэхээр $n=1$-ын хувьд $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ тэгшитгэл хангагдана. Энэ нь математикийн индукцийн аргын эхний алхамыг дуусгаж байна.

$n=k$-ын хувьд тэгш байдал хангагдсан гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. $n=k+1$-д ижил тэгш байдал хангагдана гэдгийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ тул $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 болно. )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Дээрх таамаглалын дагуу $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, тиймээс томьёо $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ хэлбэрийг авна:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Дүгнэлт: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ томьёо нь $n=k+1$-д зөв байна. Иймд математикийн индукцийн аргын дагуу $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ томъёо нь N$ дахь дурын $n\-д үнэн байна. Тэгш байх нь батлагдсан.

Стандарт курст дээд математикТэд ихэвчлэн ямар нэгэн нотлох баримт шаардалгүйгээр цуцлах нөхцөлийг "хасах"даа сэтгэл хангалуун байдаг. Тиймээс бидэнд илэрхийлэл бий n-р хэсэгнийлбэр: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$-ийн утгыг олъё:

Дүгнэлт: өгөгдсөн цувралнийлдэг ба түүний нийлбэр $S=\frac(1)(3)$.

Хэсэгчилсэн нийлбэрийн томъёог хялбарчлах хоёр дахь арга.

Үнэнийг хэлэхэд, би өөрөө энэ аргыг илүүд үздэг :) Хэсэгчилсэн дүнг товчилсон хувилбараар бичье:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Бид өмнө нь $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ гэдгийг олж мэдсэн тул:

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(2)((2к+1)(2к+3))=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\зүүн (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\баруун). $$

$S_n$ нийлбэр нь хязгаарлагдмал тооны нөхцлүүдийг агуулж байгаа тул бид тэдгээрийг хүссэнээрээ өөрчлөх боломжтой. Би эхлээд $\frac(1)(2k+1)$ маягтын бүх нөхцөлийг нэмээд дараа нь $\frac(1)(2k+3)$ маягтын нөхцөл рүү шилжихийг хүсэж байна. Энэ нь бид хэсэгчилсэн дүнг дараах байдлаар танилцуулна гэсэн үг юм.

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\баруун). $$

Мэдээжийн хэрэг, өргөтгөсөн тэмдэглэгээ нь туйлын тохиромжгүй тул дээрх тэгш байдлыг илүү нягт бичиж болно.

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\зүүн(\фрак(1)(2к+1)-\фрак(1)(2к+3)\баруун)=\нийлбэр\хязгаар_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Одоо $\frac(1)(2k+1)$ болон $\frac(1)(2k+3)$ илэрхийллүүдийг нэг хэлбэрт шилжүүлье. Би онцлоход тохиромжтой гэж бодож байна илүү том хэсэг(хэдийгээр энэ нь бага байж болох ч энэ нь амтны асуудал юм). $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ тул (хүлээгч том байх тусам бага фракц), дараа нь бид $\frac(1)(2k+3)$ бутархайг $\frac(1)(2k+1)$ хэлбэрт оруулна.

Би $\frac(1)(2k+3)$ бутархайн хуваагч дахь илэрхийллийг дараах байдлаар үзүүлнэ.

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Мөн $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ нийлбэрийг одоо дараах байдлаар бичиж болно.

$$ \нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3)=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Хэрэв тэгшитгэл $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) 1) $ ямар ч асуулт гаргахгүй бол цаашаа явцгаая. Хэрэв танд асуулт байвал тэмдэглэлийг өргөжүүлнэ үү.

Бид хөрвүүлсэн дүнг хэрхэн авсан бэ? харуулах\нуух

Бидэнд $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2() цуврал байсан. k+1)+1)$. $k+1$-ын оронд шинэ хувьсагчийг оруулъя - жишээ нь $t$. Тэгэхээр $t=k+1$.

Хуучин хувьсагч $k$ хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ? Мөн 1-ээс $n$ болж өөрчлөгдсөн. $t$ шинэ хувьсагч хэрхэн өөрчлөгдөхийг олж мэдье. Хэрэв $k=1$ бол $t=1+1=2$. Хэрэв $k=n$ бол $t=n+1$. Тэгэхээр $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ илэрхийлэл нь одоо болж байна: $\sum\limits_(t=2)^(n) +1)\frac(1)(2т+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2т+1). $$

Бидэнд $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ нийлбэр байна. Асуулт: Энэ хэмжээгээр ямар үсэг хэрэглэх нь хамаагүй юу? :) Зүгээр л $t$-ийн оронд $k$ үсгийг бичихэд бид дараах зүйлийг олж авна.

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1). $$

Ингэж бид $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+) тэгш байдлыг олж авдаг. 1) \frac(1)(2k+1)$.

Тиймээс хэсэгчилсэн нийлбэрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+1)-\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3) )=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+1)-\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2к+1) ). $$

$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ болон $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) нийлбэрүүдийг анхаарна уу )(2k+1)$ нь зөвхөн нийлбэрийн хязгаарт ялгаатай. Эдгээр хязгаарлалтыг ижил болгоцгооё. $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ нийлбэрээс эхний элементийг "зайлуулах" нь бидэнд дараах байдалтай байна:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\нийлбэр\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ нийлбэрээс хамгийн сүүлийн элементийг “зайлаад” бид дараахыг авна:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Дараа нь хэсэгчилсэн нийлбэрийн илэрхийлэл дараах хэлбэртэй болно.

$$ S_n=\нийлбэр\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1)=\frac(1)(3)+\нийлбэр\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\баруун)=\\ =\frac(1)(3)+\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Хэрэв та бүх тайлбарыг алгасвал n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийн товчилсон томъёог олох үйл явц дараах хэлбэртэй болно.

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)u_k =\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(2)((2к+1)(2к+3)) = \нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\зүүн(\фрак(1)(2к+1)-\фрак(1)(2к+3)\баруун)=\\ =\нийлбэр\хязгаар_(к) =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\баруун)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Бид $\frac(1)(2k+3)$ бутархайг $\frac(1)(2k+1)$ хэлбэрт оруулсныг сануулъя. Мэдээжийн хэрэг, та эсрэгээр нь хийж болно, i.e. $\frac(1)(2k+1)$ бутархайг $\frac(1)(2k+3)$ хэлбэрээр илэрхийлнэ. Хэсэгчилсэн нийлбэрийн эцсийн илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүй. Энэ тохиолдолд би хэсэгчилсэн дүнг олох үйл явцыг тэмдэглэлийн доор нуух болно.

Хэрэв өөр бутархай руу хөрвүүлбэл $S_n$-г хэрхэн олох вэ? харуулах\нуух

$$ S_n =\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+1)-\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3) ) =\нийлбэр\хязгаар_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2к+3)-\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3) )=\\ =\фрак(1)(3)+\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2к+3)-\зүүн(\нийлбэр\хязгаар_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\баруун) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3) ). $$

Тэгэхээр $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$ хязгаарыг ол:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\зүүн(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\баруун)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Өгөгдсөн цуваа нийлдэг ба түүний нийлбэр $S=\frac(1)(3)$.

Хариулах: $S=\frac(1)(3)$.

Цувралын нийлбэрийг олох сэдвийн үргэлжлэлийг хоёр, гуравдугаар хэсэгт авч үзэх болно.

u1, u2, u3... тоонуудын хязгааргүй дарааллыг өгье.

u1+ u2+ u3…+ un (1) илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг тооны цуврал, мөн үүнийг бүрдүүлж буй тоонууд нь цувралын гишүүд юм.

Цувралын эхний гишүүний n төгсгөлтэй тооны нийлбэрийг цувааны n-р хэсэгчилсэн нийлбэр гэнэ: Sn = u1+..+un.

Хэрэв нэр үг хязгаарлагдмал хязгаар: дараа нь цувралын нийлбэр гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв ийм хязгаар байхгүй бол цуваа нийлдэг гэж тэд хэлдэг.

2 Геометр ба арифметик цуваа

Хязгааргүй гишүүдээс бүрдсэн цуврал геометрийн прогрессдуудсан геометрийн:
эсвэл

a+ aq +…+aq n -1

a  0 эхний гишүүн q нь хуваагч болно. Мөрийн нийлбэр:

тиймээс цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийн дарааллын эцсийн хязгаар нь q-ийн утгаас хамаарна

Боломжит тохиолдлууд:

1 |q|<1

өөрөөр хэлбэл цуврал ба түүний нийлбэр
2 |q|>1
нийлбэрийн хязгаар нь мөн хязгааргүйтэй тэнцүү байна

өөрөөр хэлбэл, цувралууд хуваагдана.

3-д q = 1 үед цуваа гарна: a+a+…+a… Sn = na
цуврал нь ялгаатай

4 q1-ийн хувьд цуваа дараах хэлбэртэй байна: a-a+a ... (-1) n -1 a тэгш n хувьд Sn=0, сондгой n бол Sn=a хэсэгчилсэн нийлбэрт хязгаарлалт байхгүй. эгнээ зөрж байна.

Арифметик прогрессийн хязгааргүй гишүүний цувааг авч үзье.
u нь эхний гишүүн, d нь ялгаа. Цувралын нийлбэр

аль ч u1 ба d-ийн хувьд нэгэн зэрэг  0 байх ба цуваа үргэлж салдаг.

3 S-va нэгдэх цуваа

Хоёр цуврал өгөгдье: u1+u2+…un = (1) andv1+v2+…vn = (2)

(1) цувралын   R тооны үржвэрийг цуваа гэнэ: u1+u2+…un = (3)

(1) ба (2) цувралын нийлбэрийг цуврал гэж нэрлэдэг.

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(зөвхөн гадаад үзэмжийг ялгахын тулд)

T1 Нийтлэг хүчин зүйлийн тухай

Хэрэв (1) цуваа нийлж, түүний нийлбэр = S байвал дурын тооны  цуваа = мөн нийлдэг ба түүний нийлбэр S’ = S Хэрэв (1) цуваа салж   0 байвал цуваа бас ялгаатай. Өөрөөр хэлбэл, нийтлэг хүчин зүйл нь цувралын зөрүүнд нөлөөлдөггүй.

T2 Хэрэв (1) ба (2) цуваа нийлж, тэдгээрийн нийлбэр нь = S ба S’ байвал цуваа:
мөн нийлдэг ба хэрэв  нь түүний нийлбэр бол  = S+S’ болно. Өөрөөр хэлбэл, нийлсэн цувааг гишүүнээр нь нэмж хасах боломжтой. Хэрэв (1) цуваа нийлж, (2) цуваа салж байвал тэдгээрийн нийлбэр (эсвэл зөрүү) нь мөн ялгаатай байна. Гэхдээ хэрэв хоёр эгнээ зөрөх юм бол. тэгвэл тэдгээрийн нийлбэр (эсвэл зөрүү) нь салгах (хэрэв un=vn бол) эсвэл нийлэх (хэрэв un=vn бол) болно.

Мөр (1) эгнээний хувьд
цувралын n-р үлдэгдэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв цувралын энэ үлдэгдэл нийлбэл түүний нийлбэрийг: r n = гэж тэмдэглэнэ.

T3 Цуврал нийлбэл түүний үлдэгдэл нийлнэ, хэрэв цуваа нийлбэл цуваа өөрөө нийлнэ. Түүнчлэн, нийт нийлбэр = Sn + r n цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр

Хязгаарлагдмал тооны нэр томъёог өөрчлөх, хасах, нэмэх нь цувралын нийлэх (дивергенц) байдалд нөлөөлөхгүй.

4 Цуврал нийлэх зайлшгүй шинж тэмдэг

Хэрэв цуврал нийлбэл түүний нийтлэг гишүүний хязгаар тэг болно.

Баримт бичиг:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, тиймээс:

Энэ шинж чанар нь зөвхөн шаардлагатай, гэхдээ хангалттай биш, өөрөөр хэлбэл хэрэв нийтлэг нэр томъёоны хязгаар нь тэгтэй тэнцүү бол цувралыг нэгтгэх шаардлагагүй болно. Үүний үр дүнд, хэрэв энэ нь биелэгдээгүй бол энэ нөхцөл болно хангалттай нөхцөлцувралын ялгаа.

5 Цувралын нийлэлтийг тодорхойлох интеграл тест. Дирихлетийн цуврал

T1 Үүнийг дараалан өгье (1), нөхцлүүд нь сөрөг биш бөгөөд өсөхгүй: u1>=u2>=u3...>=un

Хэрэв f(n) = Un,  n  N байхаар нэмэгдэхгүй, сөрөг бус, тасралтгүй, f(x) функц байвал (1) цуваа нийлэхийн тулд нийлэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай. буруу интеграл:
, мөн ялгахын тулд энэ интеграл нь эсрэгээрээ салах нь хангалттай бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай (WOW!).

Дирихлетийн цувралыг судлахын тулд энэ функцийг ашиглацгаая: Энд байна: ( x>=1) энэ функц нь теорем 1-ийн нөхцлийг хангаж байгаа тул Дирихлегийн цувралын нэгдэл (дивергенц) нь интегралын дивергенцийн нийлбэртэй тэнцүү байна:

Гурван тохиолдол боломжтой:

1  >1,

Интеграл ба тиймийн тул цуваа нийлдэг.

Интеграл ба цувааны зөрүү

Интеграл ба цувааны зөрүү

Үндсэн тодорхойлолтууд.

Тодорхойлолт. Хязгааргүй тооны дарааллын гишүүний нийлбэрийг нэрлэнэ тооны цуврал.

Үүний зэрэгцээ тоонууд
бид тэднийг цувралын гишүүд гэж нэрлэх болно, мөн у n- цувралын нийтлэг гишүүн.

Тодорхойлолт. Дүн
,n = 1, 2, … гэж нэрлэдэг хувийн (хэсэгчилсэн) дүнэгнээ.

Тиймээс цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллыг авч үзэх боломжтой С 1 , С 2 , …, С n , …

Тодорхойлолт. Мөр
дуудсан нэгдэх, хэрэв түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нийлбэл. Нийцсэн цувааны нийлбэрнь түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллын хязгаар юм.

Тодорхойлолт. Хэрэв цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал зөрүүтэй байвал, i.e. хязгааргүй, эсвэл байдаг хязгааргүй хязгаар, дараа нь цувралыг дуудна ялгаатаймөн түүнд ямар ч дүн тогтоогдоогүй.

Мөрний шинж чанарууд.

1) Хэрэв та өөрчлөх, хаях эсвэл нэмэх тохиолдолд цувралын нэгдэл, зөрүүг зөрчихгүй. эцсийн тооцувралын гишүүд.

2) Хоёр мөрийг авч үзье
Тэгээд
, хаана C - тогтмол тоо.

Теорем. Хэрэв эгнээ
нийлдэг ба нийлбэр нь тэнцүү байнаС, дараа нь цуврал
мөн нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь С-тэй тэнцүү байнаС. (C  0)

3) Хоёр эгнээ авч үзье
Тэгээд
.Дүнэсвэл ялгааЭдгээр цувралыг цуврал гэж нэрлэх болно
, элементүүдийг ижил тоотой анхны элементүүдийг нэмэх (хасах) замаар олж авдаг.

Теорем. Хэрэв мөрүүд
Тэгээд
нийлэх ба тэдгээрийн нийлбэрүүд тус тус тэнцүү байнаСТэгээд , дараа нь цуврал
мөн нийлдэг ба нийлбэр нь тэнцүү байнаС +  .

Хоёр нийлсэн цувааны ялгаа нь мөн нийлэх цуваа байх болно.

Дивергент ба дивергент цувааны нийлбэр нь салангид цуваа юм.

Хоёр зөрүүтэй цувралын нийлбэрийн талаар ерөнхий дүгнэлт хийх боломжгүй юм.

Цувралыг судлахдаа нийлбэрийг судлах, цувааны нийлбэрийг олох гэсэн хоёр асуудлыг голчлон шийддэг.

Кошигийн шалгуур.

(цуврал нийлэхэд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл)

Дарааллын дагуу
нийлсэн байсан, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм
ийм тоо байсанН, тэр цагтn > Нболон аливаах> 0, p нь бүхэл тоо бол дараах тэгш бус байдал үүснэ.

.

Баталгаа. (шаардлагатай)

Болъё
, дараа нь дурын тооны хувьд
тэгш бус байдлыг хангахуйц N тоо байна

n>N үед биелнэ. n>N ба дурын бүхэл p>0 тоонуудын хувьд тэгш бус байдал бас биелнэ
. Хоёр тэгш бус байдлыг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хэрэгцээтэй нь нотлогдсон. Бид хангалттай байдлын нотолгоог авч үзэхгүй.

Цувралын Коши шалгуурыг томъёолъё.

Цуврал гаргахын тулд
нийлсэн байсан, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм
тоо байсанНийм цагтn> Нболон аливаах>0 бол тэгш бус байдал хадгалагдана

.

Гэсэн хэдий ч практик дээр Коши шалгуурыг шууд ашиглах нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Тиймээс, дүрмээр бол илүү энгийн нэгдэх тестийг ашигладаг.

1) Хэрэв эгнээ
нийлдэг, дараа нь нийтлэг нэр томъёо байх шаардлагатай у nтэг рүү чиглэсэн. Гэсэн хэдий ч энэ нөхцөл хангалттай биш юм. Хэрэв нийтлэг нэр томъёо нь тэг рүү чиглээгүй бол цуврал нь мэдээжийн хэрэг зөрүүтэй байна гэж бид хэлж чадна. Жишээлбэл, гармоник цуврал гэж нэрлэгддэг нийтлэг нэр томъёо нь тэг байх хандлагатай ч гэсэн ялгаатай байна.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг судал

Бид олох болно
- шаардлагатай тэмдэгнийлмэл байдал хангагдаагүй, энэ нь цуваа зөрүүтэй байна гэсэн үг.

2) Хэрэв цуврал нийлбэл түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь хязгаарлагдмал байна.

Гэсэн хэдий ч энэ тэмдэг нь хангалттай биш юм.

Жишээ нь, 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… цуваа зөрүүтэй, учир нь гэсэн шалтгаанаар түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал зөрж байна

Гэсэн хэдий ч хэсэгчилсэн нийлбэрийн дараалал хязгаарлагдмал, учир нь
аль ч үед n.

Сөрөг бус нэр томъёо бүхий цуврал.

Тогтмол тэмдгийн цувааг судлахдаа бид сөрөг бус нэр томъёо бүхий цувааг авч үзэхээр хязгаарлагдах болно, учир нь Эдгээр цувралаас -1-ээр үржүүлснээр сөрөг нөхцөлтэй цуваа гарч ирнэ.

Теорем. Цувралыг нэгтгэхийн тулд
сөрөг бус нөхцөлтэй бол цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг хязгаарлахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Цувралыг сөрөг бус нөхцөлтэй харьцуулах тэмдэг.

Хоёр эгнээ өгье
Тэгээд
цагт у n , v n  0 .

Теорем. Хэрэв у n  v nаль ч үед n, дараа нь цувралын нийлбэрээс
цуврал нэгдэж байна
, мөн цувралын зөрүүгээс
цуврал нь ялгаатай
.

Баталгаа. -ээр тэмдэглэе С n Тэгээд  nцувралын хэсэгчилсэн нийлбэр
Тэгээд
. Учир нь теоремын нөхцлийн дагуу цуваа
нийлдэг, дараа нь түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүд нь хязгаарлагддаг, i.e. хүн бүрийн өмнө n n  M, энд M нь тодорхой тоо. Гэхдээ учир нь у n  v n, Тэр С n   nдараа нь цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүд
мөн хязгаарлагдмал байдаг бөгөөд энэ нь нэгдэхэд хангалттай.

Жишээ.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Учир нь
, ба гармоник цуврал хуваагдана, дараа нь цуваа нь хуваагдана
.

Жишээ.

Учир нь
, болон цуврал
нийлдэг (багарах геометр прогресс гэх мэт), дараа нь цуваа
бас нэгддэг.

Дараах нийлэх тэмдгийг мөн ашигладаг.

Теорем. Хэрэв
мөн хязгаар бий
, Хаанаh– тэгээс өөр тоо, дараа нь цуваа
Тэгээд
нийлэмжийн хувьд адилхан аашлах.

Д'Аламберын тэмдэг.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - Францын математикч)

Хэрэв цуврал бол
эерэг нөхцөлтэй бол ийм тоо байдагq<1, что для всех достаточно больших nтэгш бус байдал бий

дараа нь цуврал
Хэрэв бүгдэд хангалттай том байвал нийлдэгnнөхцөл хангагдсан байна

дараа нь цуврал
ялгаатай.

D'Alembert-ийн хязгаарлах тэмдэг.

D'Alembert-ийн хязгаарлах шалгуур нь дээрх D'Alembert шалгуурын үр дагавар юм.

Хэрэв хязгаар байгаа бол
, тэгээд хэзээ < 1 ряд сходится, а при  > 1 – зөрүүтэй. Хэрэв = 1, тэгвэл нэгдэх тухай асуултад хариулж чадахгүй.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг тодорхойл .

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг тодорхойл

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Кошигийн тэмдэг. (радикал шинж тэмдэг)

Хэрэв цуврал бол
сөрөг бус нөхцөлтэй ийм тоо байдагq<1, что для всех достаточно больших nтэгш бус байдал бий

,

дараа нь цуврал
Хэрэв бүгдэд хангалттай том байвал нийлдэгnтэгш бус байдал бий

дараа нь цуврал
ялгаатай.

Үр дагавар. Хэрэв хязгаар байгаа бол
, тэгээд хэзээ<1 ряд сходится, а при >1-р эгнээ зөрүүтэй байна.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг тодорхойл
.

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг тодорхойл
.

Тэдгээр. Коши тест нь цувралын нэгдмэл байдлын асуултанд хариулдаггүй. Шаардлагатай нэгдэх нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгацгаая. Дээр дурдсанчлан хэрэв цуврал нийлбэл цувралын нийтлэг гишүүн тэг рүү чиглэдэг.

,

Тиймээс, шаардлагатай нөхцөлнийлмэл байдал хангагдаагүй байгаа нь цуваа зөрүүтэй байна гэсэн үг.

Интеграл Коши тест.

Хэрэв (x) нь интервалаар буурдаг тасралтгүй эерэг функц юмТэгээд
дараа нь интегралууд
Тэгээд
нийлэмжийн хувьд адилхан аашлах.

Ээлжит цуврал.

Ээлжит эгнээ.

Ээлжит цувралыг дараах байдлаар бичиж болно.

Хаана

Лейбницийн тэмдэг.

Хэрэв ээлжлэн эгнээний тэмдэг үнэмлэхүй утгууду би буурч байна
мөн нийтлэг нэр томъёо нь тэг рүү чиглэдэг
, дараа нь цуврал нийлнэ.

Цувралуудын үнэмлэхүй ба нөхцөлт нийлэлт.

Зарим ээлжлэн цувааг (дурын тэмдгийн нөхцлөөр) авч үзье.

(1)

ба түүнээс бүрдсэн цуврал үнэмлэхүй утгуудэгнээний гишүүд (1):

(2)

Теорем. Цуврал (2)-ын нийлбэрээс (1) цувааны нийлэлтийг дагана.

Баталгаа. Цуврал (2) нь сөрөг бус нөхцөл бүхий цуврал юм. Хэрэв (2) цуваа нийлбэл, Коши шалгуураар дурын >0-ийн хувьд n>N ба бүхэл p>0 тоонуудын хувьд дараах тэгш бус байдал үнэн болох N тоо байна.

Үнэмлэхүй утгын шинж чанарын дагуу:

Өөрөөр хэлбэл, Кошигийн шалгуурын дагуу (2) цувралын нийлбэрээс (1) цувааны нийлэгжилт гарч ирнэ.

Тодорхойлолт. Мөр
дуудсан туйлын нэгдмэл, хэрэв цуваа нийлбэл
.

Тогтмол тэмдгийн цувралын хувьд нийлбэр ба туйлын нэгдэл гэсэн ойлголтууд давхцаж байгаа нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт. Мөр
дуудсан нөхцөлт нийлдэг, хэрвээ энэ нь нийлдэг ба цуваа
ялгаатай.

Д'Аламберт, Коши нарын шинж тэмдэг ээлжлэн цуврал.

Болъё
- ээлжлэн цуврал.

Д'Аламберын тэмдэг. Хэрэв хязгаар байгаа бол
, тэгээд хэзээ<1 ряд
туйлын нийлэх ба хэзээ> байх болно

Кошигийн тэмдэг. Хэрэв хязгаар байгаа бол
, тэгээд хэзээ<1 ряд
абсолют нийлэх ба >1 бол цуваа дивергенц болно. =1 үед тэмдэг нь цувааны нийлбэрийн талаар хариулт өгөхгүй.

Үнэмлэхүй нийлсэн цувааны шинж чанарууд.

1) Теорем. Цувралын үнэмлэхүй ойртохын тулд
сөрөг бус гишүүнтэй нийлэх хоёр цувааны зөрүүгээр дүрслэгдэх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Үр дагавар. Нөхцөлтэй нийлсэн цуваа нь сөрөг бус гишүүнчлэлтэй хоёр салангид цувааны зөрүүг тэг рүү чиглүүлдэг.

2) Нийлмэл цувааны хувьд дарааллыг нь өөрчлөөгүй нэр томъёоны аль нэг бүлэглэл нь цувааны нийлэгжилт, хэмжээг хадгалдаг.

3) Хэрэв цуваа үнэмлэхүй нийлдэг бол түүнээс олж авсан нэр томъёоны орлуулалт нь мөн абсолют нийлдэг бөгөөд ижил нийлбэртэй байна.

Нөхцөлт нийлэх цувааны нөхцлүүдийг дахин цэгцэлснээр ямар нэгэн урагштай нөхцөлт нийлэх цувааг олж авч болно. өгөгдсөн хэмжээ, тэр ч байтугай ялгаатай цуврал.

4) Теорем. Үнэмлэхүй нийлсэн цувралын гишүүдийн аль ч бүлэглэлийн хувьд (энэ тохиолдолд бүлгийн тоо нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно, бүлгийн гишүүдийн тоо нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно) нийлбэр нийлбэр цувралыг олж авдаг. үүнээс анхны цувралын нийлбэртэй тэнцүү байна.

5) Хэрэв мөрүүд Тэгээд туйлын нийлдэг ба тэдгээрийн нийлбэрүүд тус тус тэнцүү байна С ба , дараа нь хэлбэрийн бүх бүтээгдэхүүнээс бүрдэх цуваа
дурын дарааллаар авсан, мөн үнэмлэхүй нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь тэнцүү байна С - үржүүлсэн цувааны нийлбэрийн үржвэр.

Хэрэв та нөхцөлт нийлсэн цувааг үржүүлбэл үр дүнд нь дивергент цуваа гаргаж болно.

Функциональ дараалал.

Тодорхойлолт. Хэрэв цувралын гишүүд нь тоо биш, харин функц юм X, дараа нь цувралыг дуудна ажиллагаатай.

Функциональ цувааны нийлэлтийг судлах нь тоон цувааг судлахаас илүү төвөгтэй байдаг. Нэг ба адилхан функциональ хүрээижил хувьсагчтай байж магадгүй Xнийлж, бусадтай хамт - салах. Тиймээс функциональ цувааг нэгтгэх асуудал нь хувьсагчийн эдгээр утгыг тодорхойлоход ирдэг X, энэ үед цуврал нийлдэг.

Ийм утгуудын багцыг нэрлэдэг нэгдэх талбар.

Цувралын нэгдэх мужид багтсан функц бүрийн хязгаар нь тодорхой тоо тул функциональ дарааллын хязгаар нь тодорхой функц байх болно.

Тодорхойлолт. Дараалал ( е n (x) } нийлдэгажиллах е(x) хэрчим дээр хэрэв дурын тооны >0 болон дурын цэгийн хувьд Xавч үзэж буй хэрчимээс N = N(, x) тоо байгаа бөгөөд тэгш бус байдал

n>N үед биелнэ.

Сонгосон утга >0 бол сегментийн цэг бүр өөрийн гэсэн дугаартай тул сегментийн бүх цэгүүдэд тохирох хязгааргүй тооны тоо байх болно. Хэрэв та эдгээр бүх тоонуудаас хамгийн томийг нь сонговол энэ тоо сегментийн бүх цэгүүдэд тохиромжтой байх болно, өөрөөр хэлбэл. бүх цэгүүдэд нийтлэг байх болно.

Тодорхойлолт. Дараалал ( е n (x) } жигд нийлдэгажиллах е(x) хэрчим дээр >0 тооны хувьд N = N() тоо байвал тэгш бус байдал

сегментийн бүх цэгийн хувьд n>N хувьд биелнэ.

Жишээ.Дарааллыг анхаарч үзээрэй

Энэ дараалал нь бүхэл тоон мөрөнд нийлдэг е(x)=0 , учир нь

Энэ дарааллын графикуудыг байгуулъя:

синкс

Үүнээс харахад тоо нэмэгдэж байна nдарааллын график тэнхлэгт ойртож байна X.

Функциональ цуврал.

Тодорхойлолт. Хувийн (хэсэгчилсэн) дүнфункциональ хүрээ
функцууд гэж нэрлэдэг

Тодорхойлолт. Функциональ хүрээ
дуудсан нэгдэхцэг дээр ( x=x 0 ), хэрэв энэ үед түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нийлбэл. Дарааллын хязгаарлалт
дуудсан хэмжэээгнээ
цэг дээр X 0 .

Тодорхойлолт. Бүх утгуудын багц X, үүний төлөө цуврал нийлдэг
дуудсан нэгдэх талбарэгнээ.

Тодорхойлолт. Мөр
дуудсан жигд нийлдэгхэрэв энэ цувааны хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал энэ интервал дээр жигд нийлдэг бол интервал дээр.

Теорем. (Цувралуудын жигд нийлэх Коши шалгуур)

Цувралыг жигд нэгтгэхийн тулд
Энэ нь ямар ч тооны хувьд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм >0 ийм тоо байсанН( ), аль цагтn> Нболон бүхэл бүтэнх>0 тэгш бус байдал

интервал дахь бүх x-д байх болно [а, б].

Теорем. (Вэйерштрассын жигд нийлэлтийг шалгах тест)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - Германы математикч)

Мөр
интервал дээр жигд ба туйлын нийлдэг.а, б], хэрэв нэг сегмент дээрх нөхцлүүдийн модулиуд нь эерэг гишүүнтэй нийлсэн тооны цувралын харгалзах гишүүнээс хэтрэхгүй бол:

тэдгээр. тэгш бус байдал байна:

.

Тэд мөн энэ тохиолдолд функциональ цуврал гэж хэлдэг
мэргэшсэнтооны цуврал
.

Жишээ.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу
.

Учир нь
үргэлж, энэ нь ойлгомжтой байдаг
.

Түүнээс гадна ерөнхий гармоник цуврал гэдгийг мэддэг =3>1 нийлэх үед Вейерштрассын тестийн дагуу судлагдаж буй цуваа жигд, цаашлаад дурын интервалд нийлдэг.

Жишээ.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу .

[-1,1] интервал дээр тэгш бус байдал явагдана
тэдгээр. Вейерштрассын шалгуурын дагуу судалж буй цуваа нь энэ сегмент дээр нийлдэг боловч (-, -1)  (1, ) интервалаар зөрөөд байна.

Нэгт нийлсэн цувааны шинж чанарууд.

1) Цувралын нийлбэрийн тасралтгүй байдлын тухай теорем.

Хэрэв цувралын гишүүд
- сегмент дээр тасралтгүй [а, б] функц ба цуваа жигд нийлж, дараа нь түүний нийлбэр болноС(x) Байна тасралтгүй функцсегмент дээр [а, б].

2) Цувралын гишүүн гишүүний интегралчлалын теорем.

Сегмент дээр жигд нийлэх [а, б] тасралтгүй нөхцөл бүхий цувралыг энэ интервал дээр гишүүнээр нь нэгтгэж болно, i.e. сегмент дэх нөхцлүүдийн интегралаас бүрдэх цуваа [а, б] , энэ сегмент дээрх цувааны нийлбэрийн интегралд нийлдэг.

3) Цувралыг гишүүн гишүүнээр ялгах теорем.

Хэрэв цувралын гишүүд
сегмент дээр нийлэх [а, б] нь тасралтгүй дериватив бүхий тасралтгүй функцууд ба эдгээр деривативуудаас бүрдэх цувааг илэрхийлнэ
Энэ сегмент дээр жигд нийлдэг, дараа нь энэ цуваа жигд нийлж, нэр томъёогоор нь ялгаж болно.

Цувралын нийлбэр нь хувьсагчийн зарим функц гэдгийг үндэслэн X, функцийг нэгтгэх, ялгах болон бусад үйлдлүүдэд өргөн хэрэглэгддэг цуврал хэлбэрээр (функцийг цуврал болгон өргөтгөх) үйлдлийг гүйцэтгэх боломжтой.

Практикт функцүүдийн эрчим хүчний цуврал өргөтгөлийг ихэвчлэн ашигладаг.

Эрчим хүчний цуврал.

Тодорхойлолт. Эрчим хүчний цувралхэлбэрийн цуваа гэж нэрлэдэг

.

Эрчим хүчний цувааны нийлэлтийг судлахын тулд d'Alembert тестийг ашиглах нь тохиромжтой.

Жишээ.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

.

Энэ цуврал нь нийлдэг болохыг бид олж мэдсэн
болон өөр өөр байдаг
.

Одоо бид 1 ба -1 хилийн цэгүүдийн нийлэлтийг тодорхойлж байна.

x = 1-ийн хувьд:
Цуврал нь Лейбницийн шалгуурын дагуу нийлдэг (харна уу Лейбницийн тэмдэг.).

x = -1 үед:
цуваа хуваагдана (гармоник цуврал).

Абелийн теоремууд.

(Нильс Хенрик Абел (1802 - 1829) - Норвегийн математикч)

Теорем. Хэрэв эрчим хүчний цуврал
цагт нийлдэгx = x 1 , дараа нь энэ нь нийлдэг бөгөөд үүнээс гадна бүх хүмүүст зориулагдсан
.

Баталгаа. Теоремын нөхцлийн дагуу цувааны нөхцлүүд хязгаарлагдмал тул тэгвэл

Хаана к- зарим тогтмол тоо. Дараахь тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Энэ тэгш бус байдлаас харахад хэзээ x< x 1 Манай цувралын нөхцлийн тоон утга нь геометрийн прогрессийг бүрдүүлдэг дээр дурдсан тэгш бус байдлын баруун талд байгаа цувралын харгалзах нөхцлөөс бага (ядаж их биш) байх болно. Энэ дэвшлийн хуваагч теоремын нөхцлийн дагуу энэ нь нэгээс бага тул энэ прогресс нь нэгдэх цуваа юм.

Тиймээс харьцуулах шалгуурыг үндэслэн бид цуврал гэж дүгнэж байна
нийлж байгаа нь цуваа гэсэн үг
туйлын нийлдэг.

Тиймээс, хэрэв эрчим хүчний цуврал
цэг дээр нийлдэг X 1 , дараа нь 2 уртын интервалын аль ч цэгт туйлын нийлдэг цэг дээр төвлөрсөн X = 0.

Үр дагавар. Хэрэв цагт x = x 1 Цуврал нь хуваагдаж, дараа нь хүн бүрийн хувьд ялгаатай байдаг
.

Тиймээс, чадлын цуваа бүрийн хувьд R эерэг тоо байдаг бөгөөд энэ нь бүгдэд зориулагдсан байдаг Xтиймэрхүү
цуврал нь туйлын нийлдэг бөгөөд бүгдэд зориулагдсан
эгнээ зөрж байна. Энэ тохиолдолд R тоог дуудна нэгдэх радиус. Интервал (-R, R) гэж нэрлэгддэг нийлэх интервал.

Энэ интервалыг нэг эсвэл хоёр талдаа хааж, хааж болохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Нэгдэх радиусыг дараах томъёогоор олж болно.

Жишээ.Цувралын нийлэх талбайг ол

Нэгдэх радиусыг олох
.

Иймээс энэ цуваа ямар ч утгын хувьд нийлдэг X. Энэ цувралын нийтлэг нэр томъёо нь тэг рүү чиглэдэг.

Теорем. Хэрэв эрчим хүчний цуврал
эерэг утгад нийлдэг x=x 1 , дараа нь доторх дурын интервалд жигд нийлдэг
.

Хүч чадлын цуваатай үйлдлүүд.

Энэ нийтлэл нь зохион байгуулалттай бөгөөд дэлгэрэнгүй мэдээлэл, энэ нь дасгал, даалгаварт дүн шинжилгээ хийхэд тустай байж болох юм. Бид тооны цувралын сэдвийг авч үзэх болно.

Энэ нийтлэл нь үндсэн тодорхойлолт, ойлголтуудаас эхэлдэг. Дараа нь бид стандарт хувилбаруудыг судлах болно үндсэн томъёо. Материалыг нэгтгэхийн тулд нийтлэлд үндсэн жишээ, даалгавруудыг өгсөн болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Үндсэн дипломууд

Эхлээд системийг төсөөлье: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , энд a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Жишээ нь: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, гэх мэт тоонуудыг авъя. . . .

Тодорхойлолт 1

Тооны цуваа нь ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + гишүүний нийлбэр юм. . . + a n + . . . .

Тодорхойлолтыг илүү сайн ойлгохын тулд q = - 0 гэсэн өгөгдсөн тохиолдлыг авч үзье. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Тодорхойлолт 2

a k ерөнхий буюу k --рцувралын гишүүн.

Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна - 16 · - 1 2 к.

Тодорхойлолт 3

Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэриймэрхүү харагдаж байна S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , үүнд n- дурын тоо. S n бол nthцувралын нийлбэр.

Жишээлбэл, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k нь S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 байна.

S 1 , S 2 , . . . , S n, . . . тоонуудын хязгааргүй дараалал үүсгэнэ.

Нэг эгнээний хувьд nthнийлбэрийг S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n томъёогоор олно. Бид хэсэгчилсэн нийлбэрийн дараах дарааллыг ашигладаг: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

Тодорхойлолт 4

∑ k = 1 ∞ a k цуваа нэгдэхдараалал байгаа үед хязгаарлагдмал хязгаар S = lim S n n → + ∞ . Хэрэв хязгаар байхгүй эсвэл дараалал нь төгсгөлгүй бол ∑ k = 1 ∞ a k цувааг нэрлэнэ. ялгаатай.

Тодорхойлолт 5

Нэгдсэн цувааны нийлбэр∑ k = 1 ∞ a k нь ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S дарааллын хязгаар юм.

IN энэ жишээнд lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , цуврал ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 12к нийлдэг. Нийлбэр нь 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Жишээ 1

Дивергент цувааны жишээ нь нэгээс их хуваагчтай геометр прогрессийн нийлбэр юм: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.

n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаар нь хязгааргүй: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Дивергент тооны цувралын өөр нэг жишээ бол ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + хэлбэрийн нийлбэр юм. . . . Энэ тохиолдолд n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг Sn = 5n гэж тооцоолж болно. Хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаар нь хязгааргүй lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

Тодорхойлолт 6

∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + -тэй ижил хэлбэрийн нийлбэр. . . + 1 n + . . . - Энэ гармониктооны цуврал.

Тодорхойлолт 7

Нийлбэр ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 с + 1 3 с +. . . + 1 n s + . . . , Хаана с –бодит тоо, нь ерөнхий гармоник тооны цуврал юм.

Дээр дурдсан тодорхойлолтууд нь ихэнх жишээ, асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Тодорхойлолтыг дуусгахын тулд тодорхой тэгшитгэлийг батлах шаардлагатай.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – дивергент.

Бид урвуу аргыг ашигладаг. Хэрэв энэ нь нэгдэж байвал хязгаар нь хязгаарлагдмал байна. Бид тэгшитгэлийг lim n → + ∞ S n = S ба lim n → + ∞ S 2 n = S гэж бичиж болно. Тодорхой үйлдлүүдийн дараа бид l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 тэгш байдлыг авна.

эсрэг,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 н

Шударга дараах тэгш бус байдал 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Бид S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + гэдгийг олж авна. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . S 2 n - S n > 1 2 илэрхийлэл нь lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 хүрэхгүй байгааг харуулж байна. Цуврал нь ялгаатай.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Тоонуудын дарааллын нийлбэр q дээр нийлдэг гэдгийг батлах шаардлагатай< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Дээрх тодорхойлолтуудын дагуу хэмжээ nнэр томъёог S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 томъёогоор тодорхойлно.

Хэрэв q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Тоон цуваа нийлдэг гэдгийг бид нотолсон.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +-ийн хувьд. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Нийлбэрүүдийг S n = b 1 · n томъёог ашиглан олж болно, хязгаар нь хязгааргүй lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. Үзүүлсэн хувилбарт цувралууд хоорондоо ялгаатай байна.

Хэрэв q = - 1, дараа нь цуврал нь b 1 - b 1 + b 1 - шиг харагдана. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Хэсэгчилсэн нийлбэр нь сондгой бол S n = b 1 шиг харагдана n, мөн тэгш байдлын хувьд S n = 0 байна n. Энэ тохиолдлыг авч үзсэний дараа бид ямар ч хязгаарлалтгүй, цуврал нь зөрүүтэй байгаа эсэхийг шалгах болно.

q > 1-ийн хувьд lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Тооны цуваа зөрүүтэй байдгийг бид нотолсон.

1. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ 1 k s цуваа нийлнэ s > 1ба s ≤ 1 бол ялгаатай.

Учир нь s = 1бид ∑ k = 1 ∞ 1 k -г олж авах ба цуваа нь салж байна.

Хэзээ с< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для к,натурал тоо. Цуврал нь дивергент ∑ k = 1 ∞ 1 k тул хязгаар байхгүй. Үүний дараа ∑ k = 1 ∞ 1 k s дараалал нь хязгааргүй болно. Сонгосон цувралууд хэзээ зөрүүтэй байна гэж бид дүгнэж байна с< 1 .

∑ k = 1 ∞ 1 k s цуваа нь нийлдэг гэдгийг нотлох шаардлагатай. s > 1.

S 2 n - 1 - S n - 1 гэж төсөөлье:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 с + 1 3 с +. . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) с - - 1 + 1 2 с + 1 3 с + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) с

1 (n + 1) s байна гэж үзье< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Байгалийн ба тэгш n = 2 тоонуудын тэгшитгэлийг төсөөлье: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Бид авах:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 с + 1 3 с + 1 4 с +. . . + 1 7 секунд + 1 8 секунд + . . . + 1 15 секунд + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Илэрхийлэл нь 1 + 1 2 с - 1 + 1 2 с - 1 2 + 1 2 с - 1 3 +. . . нь q = 1 2 с - 1 геометр прогрессийн нийлбэр юм. Анхны мэдээллээр цагт s > 1, дараа нь 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1нэмэгдэж, 1 1 - 1 2 с - 1-ээс дээш хязгаарлагдана. Хязгаарлалт байгаа ба цуваа нийлэг ∑ k = 1 ∞ 1 k s байна гэж төсөөлье.

Тодорхойлолт 8

Цуврал ∑ k = 1 ∞ a k Энэ тохиолдолд эерэг байна, хэрэв гишүүд нь > 0 a k > 0 бол k = 1, 2, . . . .

Цуврал ∑ k = 1 ∞ b k дохио өгөх, хэрэв тоонуудын тэмдгүүд өөр байвал. Энэ жишээг ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k эсвэл ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , энд a k > гэж үзүүлэв. 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Цуврал ∑ k = 1 ∞ b k ээлжлэн, Энэ нь сөрөг болон эерэг олон тооны тоог агуулдаг.

Хоёрдахь эгнээний сонголт бол онцгой тохиолдолгурав дахь сонголт.

Тохиолдол бүрийн жишээг энд харуулав.

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Гурав дахь сонголтын хувьд та үнэмлэхүй болон нөхцөлт нийлэлтийг тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт 9

∑ k = 1 ∞ b k-г мөн нийлэг гэж үзэх тохиолдолд ∑ k = 1 ∞ b k цуваа туйлын нийлдэг.

Хэд хэдэн ердийн сонголтыг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 2

Хэрэв эгнээ 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + байвал. . . ба 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . нийлсэн гэж тодорхойлсон бол 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + гэж үзэх нь зөв. . .

Тодорхойлолт 10

Хувьсах ∑ k = 1 ∞ b k цувааг ∑ k = 1 ∞ b k нь салангид байвал нөхцөлт нийлдэг, ∑ k = 1 ∞ b k цувааг нийлдэг гэж үзнэ.

Жишээ 3

∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + гэсэн сонголтыг нарийвчлан авч үзье. . . . Үнэмлэхүй утгуудаас бүрдэх ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k цувралыг дивергент гэж тодорхойлно. Энэ сонголтыг тодорхойлоход хялбар тул нэгдмэл гэж үздэг. Энэ жишээнээс бид цуврал ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + болохыг олж мэдэв. . . нөхцөлт нийлсэн гэж үзнэ.

Конвергент цувралын онцлог

Тодорхой тохиолдлуудад шинж чанаруудад дүн шинжилгээ хийцгээе

1. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ a k нийлдэг бол ∑ k = m + 1 ∞ a k цувааг мөн нийлдэг гэж үзнэ. Энэ нь ямар ч эгнээ гэдгийг тэмдэглэж болно мнэр томъёог мөн нийлмэл гэж үздэг. Хэрэв бид ∑ k = m + 1 ∞ a k дээр хэд хэдэн тоог нэмбэл гарсан үр дүн нь мөн нийлэх болно.
2. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ a k нийлж, нийлбэр нь = С, тэгвэл ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S цуваа мөн нийлнэ, энд А- тогтмол.
3. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ a k ба ∑ k = 1 ∞ b k нийлбэр байвал нийлбэрүүд АТэгээд БМөн ∑ k = 1 ∞ a k + b k ба ∑ k = 1 ∞ a k - b k цуваа мөн нийлнэ. Хэмжээ нь тэнцүү байх болно A+BТэгээд А - Бтус тус.

Цуврал ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 нийлдэг болохыг тодорхойл.

∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 илэрхийллийг өөрчилье. ∑ k = 1 ∞ 1 k s цуваа нийлдэг тул ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 цувааг нийлэх гэж үзнэ. s > 1. Хоёрдахь шинж чанарын дагуу ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Жишээ 5

∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 цуваа нийлэх эсэхийг тодорхойл.

Анхны хувилбарыг ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞1 гэж өөрчилье.

Бид ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 ба ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 нийлбэрийг авна. Цуврал бүрийг шинж чанарын дагуу нийлсэн гэж үзнэ. Тиймээс цуврал нийлэхийн хэрээр анхны хувилбар нь нийлдэг.

Жишээ 6

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + цуваа нийлэх эсэхийг тооцоол. . . мөн дүнг тооцно.

Анхны хувилбарыг өргөжүүлье:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Цуврал бүр нийлдэг, учир нь энэ нь нэр томъёоны нэг юм тооны дараалал. Гурав дахь шинж чанарын дагуу бид анхны хувилбар нь нийлдэг гэдгийг тооцоолж болно. Бид нийлбэрийг тооцоолно: Цувралын эхний гишүүн ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, хуваагч = 0. 5, үүний дараа, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 байна. 5 = 2. Эхний гишүүн ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3, буурах тоон дарааллын хуваагч нь = 1 3 байна. Бид авна: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + -ийн нийлбэрийг тодорхойлохын тулд бид дээр авсан илэрхийлэлүүдийг ашигладаг. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Цуврал нийлэх эсэхийг тодорхойлох зайлшгүй нөхцөл

Хэрэв ∑ k = 1 ∞ a k цуваа нийлэг байвал түүний хязгаар болно kthгишүүн = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Хэрэв бид ямар нэг сонголтыг шалгавал зайлшгүй нөхцөл байдлын талаар мартаж болохгүй. Хэрэв энэ нь биелээгүй бол цувралууд хуваагдана. Хэрэв lim k → + ∞ a k ≠ 0 бол цуваа дивергент байна.

Нөхцөл байдал нь чухал боловч хангалттай биш гэдгийг тодруулах хэрэгтэй. Хэрэв lim k → + ∞ a k = 0 тэнцүү байвал ∑ k = 1 ∞ a k нь нийлдэг гэсэн баталгаа болохгүй.

Нэг жишээ хэлье. ∑ k = 1 ∞ 1 k гармоник цувааны хувьд нөхцөл хангагдсан lim k → + ∞ 1 k = 0, гэхдээ цуваа зөрөөтэй хэвээр байна.

Жишээ 7

∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n нийлэлтийг тодорхойл.

lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n болзол биелсэн эсэхийг анхны илэрхийллийг шалгая. = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Хязгаар nthгишүүн нь 0-тэй тэнцүү биш. Энэ цуврал нь ялгаатай гэдгийг бид нотолсон.

Эерэг цувааны нийлэлтийг хэрхэн тодорхойлох вэ.

Хэрэв та эдгээр шинж чанаруудыг байнга ашигладаг бол хязгаарыг байнга тооцоолох хэрэгтэй болно. Энэ хэсэгжишээ, асуудлыг шийдвэрлэхэд бэрхшээлээс зайлсхийхэд тусална. Эерэг цувааны нийлэлтийг тодорхойлохын тулд тодорхой нөхцөл байдаг.

Эерэг тэмдгийн нийлэгжилтийн хувьд ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . тодорхойлох шаардлагатай хязгаарлагдмал дараалалнийлбэр

Цувралыг хэрхэн харьцуулах вэ

Цувралуудыг харьцуулах хэд хэдэн шинж тэмдэг байдаг. Бид нийлэлтийг тодорхойлохыг санал болгож буй цувааг нийлэх нь мэдэгдэж буй цувралуудтай харьцуулж үздэг.

Эхний тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k ба ∑ k = 1 ∞ b k нь эерэг тэмдгийн цуваа. a k ≤ b k тэгш бус байдал нь хүчинтэй k = 1, 2, 3, ...Эндээс ∑ k = 1 ∞ b k цуваанаас ∑ k = 1 ∞ a k -ийг олж авч болно. ∑ k = 1 ∞ a k нь дивергент тул ∑ k = 1 ∞ b k цувралыг дивергент гэж тодорхойлж болно.

Энэ дүрмийг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд байнга ашигладаг бөгөөд нэгдмэл байдлыг тодорхойлоход туслах ноцтой аргумент юм. Хэцүү байдал нь тухайн тохиолдол бүрт харьцуулах тохиромжтой жишээг олох боломжгүй байгаатай холбоотой байж болох юм. Ихэнх тохиолдолд цувралыг индикатор гэсэн зарчмын дагуу сонгодог kthХугацаа нь хуваагч ба хуваагчийн илтгэгчийг хассан үр дүнтэй тэнцүү байна kthцувралын гишүүн. a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, ялгаа нь тэнцүү байна гэж үзье. 2 – 3 = - 1 . IN энэ тохиолдолд-тэй цувралыг харьцуулах гэж тодорхойлж болно к-р b k = k - 1 = 1 k, энэ нь гармоник юм.

Хүлээн авсан материалыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн ердийн сонголтыг нарийвчлан авч үзэх болно.

Жишээ 8

∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 цуваа юу болохыг тодорхойл.

Хязгаар = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 тул бид шаардлагатай нөхцөлийг хангасан. Тэгш бус байдал нь шударга байх болно 1 k< 1 k - 1 2 для к,эдгээр нь байгалийн юм. Өмнөх догол мөрүүдээс бид гармоник цуваа ∑ k = 1 ∞ 1 k ялгаатай болохыг олж мэдсэн. Эхний шалгуурын дагуу анхны хувилбар нь ялгаатай гэдгийг баталж болно.

Жишээ 9

Цуврал нь нийлэх эсвэл дивергент ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 эсэхийг тодорхойл.

Энэ жишээнд lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 тул шаардлагатай нөхцөл хангагдсан байна. Бид үүнийг 1 k 3 + 3 k - 1 тэгш бус байдлаар төлөөлдөг< 1 k 3 для любого значения к. Гармоник цуваа ∑ k = 1 ∞ 1 k с нийлдэг тул ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 цуваа нь нийлдэг. s > 1. Эхний шалгуурын дагуу бид тооны цуваа нийлдэг гэж дүгнэж болно.

Жишээ 10

∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) цуваа юу болохыг тодорхойл. lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Энэ сонголтоор та хүссэн нөхцлийн биелэлтийг тэмдэглэж болно. Харьцуулахын тулд цувралыг тодорхойлъё. Жишээлбэл, ∑ k = 1 ∞ 1 k s. Зэрэг гэж юу болохыг тодорхойлохын тулд дарааллыг (ln (ln k)), k = 3, 4, 5 гэж үзнэ. . . . Дарааллын гишүүд ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . хязгааргүй хүртэл нэмэгддэг. Тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийсний дараа бид N = 1619-ийг утга болгон авч дарааллын нөхцлүүд > 2 болохыг тэмдэглэж болно. Энэ дарааллын хувьд 1 k ln (ln k) тэгш бус байдал үнэн болно< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Хоёр дахь тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k ба ∑ k = 1 ∞ b k нь эерэг тооны цуваа гэж үзье.

lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ бол ∑ k = 1 ∞ b k цуваа нийлж, ∑ k = 1 ∞ a k нь мөн нийлнэ.

Хэрэв lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 бол ∑ k = 1 ∞ b k цуваа нь хуваагддаг тул ∑ k = 1 ∞ a k нь мөн салах болно.

Хэрэв lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ ба lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 байвал цувааны нийлэх буюу дивергенц нь нөгөө цувралын нийлэх буюу дивергенцийг хэлнэ.

Хоёрдахь тэмдгийг ашиглан ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 гэж үзье. ∑ k = 1 ∞ b k харьцуулахын тулд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 нийлэх цувааг авна. Хязгаарыг тодорхойлъё: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Хоёрдахь шалгуурын дагуу ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 нийлсэн цуваа нь анхны хувилбар мөн нийлдэг болохыг тодорхойлж болно.

Жишээ 11

∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 цуваа юу болохыг тодорхойл.

Энэ хувилбарт хангагдсан lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 шаардлагатай нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийцгээе. Хоёрдахь шалгуурын дагуу ∑ k = 1 ∞ 1 k цувралыг авна. Бид хязгаарыг хайж байна: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Дээрх диссертацийн дагуу дивергент цуврал нь анхны цувралын ялгааг дагуулдаг.

Гурав дахь тэмдэг

Харьцуулах гурав дахь тэмдгийг авч үзье.

∑ k = 1 ∞ a k ба _ ∑ k = 1 ∞ b k эерэг тооны цуваа гэж үзье. a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k тодорхой тооны хувьд нөхцөл хангагдвал энэ цувааны нийлэг ∑ k = 1 ∞ b k нь ∑ k = 1 ∞ a k цуваа мөн нийлдэг гэсэн үг юм. Дивергент цуваа ∑ k = 1 ∞ a k нь ∑ k = 1 ∞ b k ялгааг агуулна.

Д'Аламберын тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k нь эерэг тооны цуваа гэж төсөөлье. Хэрэв lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, дараа нь ялгаатай.

Тайлбар 1

Хэрвээ хязгаар нь хязгааргүй бол D'Alembert-ийн тест хүчинтэй.

Хэрэв lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ бол цуваа нийлдэг, хэрэв lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ бол дивергент байна.

Хэрэв lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 бол d’Alembert-ийн тэмдэг тус болохгүй бөгөөд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай болно.

Жишээ 12

Д’Аламбертийн шалгуурыг ашиглан цуваа нь нийлэх эсвэл дивергент ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k эсэхийг тодорхойл.

Шаардлагатай нэгдэх нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах шаардлагатай. L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоолъё: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Нөхцөл хангагдсаныг бид харж байна. d'Alembert-ийн тестийг ашиглая: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 к + 3 2 к + 1 = 1 2< 1

Цуврал нь нийлдэг.

Жишээ 13

Цуврал дивергент ∑ k = 1 ∞ k k k эсэхийг тодорхойлно уу! .

Цувралын зөрүүг тодорхойлохын тулд d'Alembert-ийн тестийг ашиглая: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! к к к! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Тиймээс цуврал нь ялгаатай байна.

Радикал Кошигийн шинж тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k нь эерэг тэмдэгтэй цуваа гэж үзье. Хэрэв lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, дараа нь ялгаатай.

Тайлбар 2

Хэрэв lim k → + ∞ a k k = 1 бол энэ тэмдэг нь ямар ч мэдээлэл өгөхгүй - нэмэлт дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай.

Энэ онцлогийг тодорхойлоход хялбар жишээнүүдэд ашиглаж болно. Тооны цувралын гишүүн нь экспоненциал чадлын илэрхийлэл байх тохиолдолд энэ тохиолдол ердийн байх болно.

Хүлээн авсан мэдээллийг нэгтгэхийн тулд хэд хэдэн ердийн жишээг авч үзье.

Жишээ 14

∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k эерэг тэмдгийн цуваа нийлэх эсэхийг тодорхойл.

Шаардлагатай нөхцөл lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 байх тул биелсэн гэж үзнэ.

Дээр дурдсан шалгуурын дагуу бид lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0-г авна.< 1 . Энэ цувралнийлдэг.

Жишээ 15

∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 тооны цуваа нийлэх үү?

Бид өмнөх догол мөрөнд тайлбарласан функцийг ашигладаг lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Интеграл Коши тест

∑ k = 1 ∞ a k нь эерэг тэмдэгтэй цуваа гэж үзье. Үргэлжилсэн аргументийн функцийг тэмдэглэх шаардлагатай у = f(x), энэ нь n = f (n) -тай давхцдаг. Хэрэв у = f(x)тэгээс их, тасалддаггүй бөгөөд [ a ; + ∞) , энд a ≥ 1

Дараа нь буруу интеграл ∫ a + ∞ f (x) d x нийлдэг бол авч үзэж буй цуваа мөн нийлнэ. Хэрэв энэ нь зөрүүтэй байвал авч үзэж буй жишээн дээр цуваа бас ялгаатай байна.

Функц буурч байгаа эсэхийг шалгахдаа өмнөх хичээлүүдийн материалыг ашиглаж болно.

Жишээ 16

Нэгдэх ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k жишээг авч үзье.

lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 байх тул цуваа нийлэх нөхцөл хангагдсан гэж үзнэ. y = 1 x ln x гэж үзье. Энэ нь тэгээс их, тасалддаггүй бөгөөд [ 2 ; + ∞). Эхний хоёр зүйл тодорхой мэдэгдэж байгаа боловч гурав дахь нь илүү нарийвчлан хэлэлцэх ёстой. Бид деривативыг олно: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Энэ нь тэгээс багадээр [2; + ∞). Энэ нь функц буурч байна гэсэн тезисийг баталж байна.

Үнэн хэрэгтээ y = 1 x ln x функц нь бидний дээр авч үзсэн зарчмын шинж чанаруудтай тохирч байна. Үүнийг ашиглая: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln) ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Хүлээн авсан үр дүнгээс харахад анхны жишээбуруу интеграл нь дивергент учраас дивергент.

Жишээ 17

∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 цувааны нийлэлтийг батал.

lim k → + ∞ 1 (10 к - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0 тул нөхцөл хангагдсан гэж үзнэ.

k = 4-ээс эхлэн зөв илэрхийлэл нь 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Хэрэв ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 цувралыг нийлсэн гэж үзвэл харьцуулах зарчмуудын аль нэгний дагуу ∑ k = 4 ∞ 1 (10) цуврал болно. k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3-ыг мөн нийлэх гэж үзнэ. Ингэснээр бид анхны илэрхийлэл нь нийлдэг болохыг тодорхойлж чадна.

Баталгаажуулалт руу шилжье: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 функц нь тэгээс их тул тасалдахгүй бөгөөд [ 4 ; + ∞). Бид өмнөх догол мөрөнд дурдсан функцийг ашигладаг:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln) 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

Үүссэн конвергентын цуваа ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, бид ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k +) болохыг тодорхойлж болно. 8 )) 3 бас нийлдэг.

Раабегийн тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k нь эерэг тооны цуваа гэж үзье.

lim k → + ∞ k · a k a k + 1 бол< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, дараа нь нийлнэ.

Хэрэв дээр дурдсан аргууд нь харагдахуйц үр дүнг өгөхгүй бол энэ тодорхойлох аргыг ашиглаж болно.

Үнэмлэхүй конвергенцийн судалгаа

Судалгааны хувьд бид ∑ k = 1 ∞ b k авна. Бид эерэг тэмдгийг ∑ k = 1 ∞ b k ашигладаг. Бид дээр дурдсан аль ч тохиромжтой функцийг ашиглаж болно. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ b k цуваа нийлбэл анхны цуваа туйлын нийлнэ.

Жишээ 18

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 цувааг нэгтгэх ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k гэсэн утгыг судал. 3 + 2 к - 1.

Нөхцөл хангагдсан lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Бид ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2, хоёр дахь тэмдгийг ашиглана: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 цуваа нийлдэг. Анхны цуврал нь мөн туйлын нийлдэг.

Хувьсах цувралын ялгаа

Хэрэв ∑ k = 1 ∞ b k цуваа дивергенц байвал харгалзах ээлжлэн ∑ k = 1 ∞ b k цуваа дивергент эсвэл нөхцөлт нийлнэ.

∑ k = 1 ∞ b k модулиудын зөрүүгээс ∑ k = 1 ∞ b k-ийн талаар дүгнэлт хийхэд зөвхөн d'Alembert тест болон радикал Коши тест тусална. Шаардлагатай нийлэх нөхцөл хангагдаагүй, өөрөөр хэлбэл lim k → ∞ + b k ≠ 0 бол ∑ k = 1 ∞ b k цуваа мөн ялгаагүй болно.

Жишээ 19

Ялгааг шалгах 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

Модуль kthнэр томъёог b k = k гэж илэрхийлнэ! 7 к.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k цувааг авч үзье! d'Alembert-ийн шалгуурыг ашиглан нийлэх 7 k: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 к + 1 к! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 к нь анхны хувилбартай адил зөрүүтэй байна.

Жишээ 20

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) нийлдэг.

Шаардлагатай нөхцөлийг авч үзье lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Нөхцөл хангагдаагүй тул ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) цуваа зөрүүтэй байна. Хязгаарыг L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан тооцоолсон.

Нөхцөлтэй нийлэх шалгуур

Лейбницийн тест

Хэрэв ээлжилсэн цувааны нөхцлийн утга буурч байвал b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . ба модулийн хязгаар = 0 k → + ∞ байвал ∑ k = 1 ∞ b k цуваа нийлнэ.

Жишээ 17

Нэгдэхийн тулд ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) гэж үзье.

Цувралыг ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) хэлбэрээр илэрхийлнэ. Шаардлагатай нөхцөл хангагдсан: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Хоёр дахь харьцуулалтын шалгуураар ∑ k = 1 ∞ 1 k гэж үзье lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) зөрүүтэй болохыг бид олж мэдэв. ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) цуврал нь Лейбницийн шалгуурын дагуу нийлдэг: дараалал 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . буурч, lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 байна.

Цуврал нь нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Абел-Дирихлетийн тест

( u k ) нэмэгдэхгүй ба ∑ k = 1 + ∞ v k дараалал нь хязгаарлагдмал байвал ∑ k = 1 + ∞ u k · v k нийлнэ.

Жишээ 17

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + -ийг судлах. . . нэгдлийн төлөө.

Төсөөлөөд үзье

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

Энд (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . нь өсөхгүй байх ба дараалал (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . хязгаарлагдмал (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . Цуврал нэгдэж байна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу