Түүний амьд үлдэх магадлал тэг байсан.

Мэдээжийн хэрэг, математик нь зөвхөн хийсвэр ойлголтоор ажилладаг. Хамгийн их тод жишээтоо нь ийм хийсвэрлэл болж чаддаг. Жишээлбэл, 2-ын тоог авч үзье. "Хоёр" гэсэн хийсвэр ойлголт нь 2 рубль, 2 килокалори, 2 алим, хулганы 2 товшилт, 2 квант гэрэл, бүр 2 Орчлон ертөнцтэй холбоотой байж болно.

дунд математикийн хийсвэрлэлилүү олон байдаг хийсвэр ойлголтууд, жишээ нь: цэг, шулуун шугам, хязгааргүй, тэг... Бусад математикийн хийсвэрлэлээс хожуу гарч ирсэн тэг нь хамгийн том нууц хэвээр байна. Нэг талаас, тэгийг математикт оролцдог тул тоо гэж үздэг математик үйлдлүүдбусад тоонуудын хамт. Нөгөө талаас, тэг нь тоонуудын шинж чанаргүй шинж чанартай байдаг: ялангуяа энэ нь хуваагч болж чадахгүй (зураг харна уу).

Дээрхтэй холбогдуулан хоёр өөр зүйлийг тодорхой ялгахыг санал болгож байна математикийн ойлголтууд: "тэг" ба "нэг" гэсэн үгнүүд нь одоо синоним болгон өргөн хэрэглэгддэг.

1. “Тэг” гэж юу вэ?

"Тэг" гэсэн ойлголтыг тодорхойлохын тулд бид ангиудыг тусгаарладаг математикийн асуудлууд, түүний гадаад төрх байдалд хүргэдэг.

1.1. "Тэг" үүсэх нь

"Тэг" гарч ирэх цорын ганц эх сурвалж эсвэл шалтгаан нь тооноос өөр эсвэл түүнтэй адилтгах тоог хасах даалгавар юм. сөрөг тоонууд, Жишээ нь:

• x - x = 0;
• x + (-x) = 0.

объект гэдгийг санах нь чухал юм бодит ертөнц, харьцуулсан хийсвэр ойлголт"Тэг" хаана ч алга болдоггүй, тэд орчлон ертөнцөд үлддэг!

Жишээлбэл, хэрэв танд 2 рубль байсан бөгөөд та 2 рубль төлсөн бол энэ мөнгө зүгээр л гараа өөрчилсөн. Цаасан мөнгө шатаалаа ч гэх шиг физик объекталга болоогүй, харин тэдний төлөв байдлыг өөрчилж, үнс, энерги болон хувирсан. Эхний болон хоёр дахь жишээн дээр "тэг" гэдэг нь таны хувьд мөнгө байхгүй, гэхдээ энэ нь орчлон ертөнцөөс алга болсон гэсэн үг биш юм.

1.2. "Тэг"-ийн хэрэглээ

Нэгдүгээрт, "тэг" -ийг янз бүрийн математик үйлдлүүдэд ашигладаг, тухайлбал:

• 0 + 0 = 0;
• 0 - 0 = 0;
• 0 + x = x;
• 0 - x = -x;
• 0 - (-x) = x;
• 0 x = 0;
• 0 / x = 0;
• 0 x = 0;
• x0 = 1;
• 0! = 1;
• √0 = 0;

Хоёрдугаарт, "тэг" нь хоосон цифрийг заахдаа ашиглагддаг байрлалын системүүдтоонууд, жишээ нь:

• 101 10 – инч аравтын тоо“нэг зуун нэг” 0 гэдэг нь аравтын оронгүй гэсэн үг;
• 1010 2 – инч хоёртын тоо"арав" зүүн 0 нь 4 жинтэй цифр байхгүй байгааг илтгэнэ.

Өгөгдсөн бүх жишээнд "0" тэмдгийг тоо болгон ашигладаг нь онцлог юм. Иймд энэ төрлийн бодлогод “0” тоог “n” гэсэн нэр томъёогоор илэрхийлэхийг санал болгож байна. Ол", өөрөөр хэлбэл " үсэгтэй үг О”, гадаад төрх нь “0” тоотой төстэй тул. IN Англи хувилбарЭнэ нь "тэг" гэсэн үг байж болно.

2. “Тэг” гэж юу вэ?

Ижил нэр томъёо нь огт өөр үүрэг гүйцэтгэдэг тул түүний нэр томъёонд огт өөр үг шаарддаг асуудлын ангиллыг одоо тодорхойлъё.

• Юуны өмнө энд "тэг" нь буурах хязгаарыг илэрхийлдэг бодлогуудыг оруулъя тооны дараалалжишээлбэл, сегмент эсвэл тоог дараалан хуваах даалгавар;
• Үүнд хуваах асуудал ч багтах ёстой ямар ч тоо"тэг" хүртэл;
• эцэст нь математикийн цэгийн хэмжээг зааж өгөх "тэг"-ийн хэрэглээ.

Үнэн хэрэгтээ, эдгээр бүх даалгавар нэг болж, "n цагтЭнд "L" нь тоо ч биш, харин огт өөр ойлголттой нийцэж байгаа бөгөөд синоним нь "" гэсэн нэр томъёо байж болно. юу ч биш", тэр нь бүрэн байхгүйямар нэг зүйл. Эдгээр ажлуудад ямар нэг зүйлОрчлон ертөнцөөс ул мөргүй алга болох хүртэл байнга буурдаг!

Ийм учраас энд итали хэлтэй гийгүүлэгч "тэг" гэсэн нэр томъёо тохиромжтой байх болно. nulla"юу ч биш"; лат. nullus"байхгүй, байхгүй, байхгүй, хоосон"; Герман null"тэг, хүчингүй, бага"; Англи null"ач холбогдолгүй, ач холбогдолгүй, байхгүй, хоосон".

3. “Тэг” гэж байдаг уу?

Зөвхөн "тэг" ба "тэг" гэсэн нэр томъёог ялгах нь хангалтгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

"Тэг" гэсэн нэр томъёог бид ойлгох ёстой.

• тоо биш;
• тоо биш;
• "тэг" гэсэн нэр томъёотой ижил утгатай биш юм;
• Орчлон ертөнцөд ижил төстэй зүйл байхгүй тул график дүрсгүй;
• практикт хэрэгжих боломжгүй, гэхдээ математикийн хэрэглээ"н цагт"la" бол бодит байдлыг бүдүүлэг хялбарчлах явдал юм. Тиймээс математикт "тэг"-ийн хэрэглээг хэрэглээтэй харьцуулж болно сүххуваах зориулалттай атомын цөмүүдфизикт.

"Тэг" гэсэн нэр томъёог "юу ч биш" гэсэн ойлголттой адилтгасны хамгийн чухал үр дагавар нь математик (мөн үүнтэй хамт бүх шинжлэх ухаан!) хамгийн анхдагч шинжлэх ухааны хүрээнд үлддэг явдал юм. гурван хэмжээст загварОрчлон ертөнц ба түүнд шилжих үндсэн боломжгүй байдал математик тайлбар Дээд ертөнцүүдолон хэмжээст ертөнц.

Уран зохиол

1. Микиша А.М., Орлов В.Б.Толковы математикийн толь бичиг: Үндсэн нэр томъёо. М .: Орос. lang., 1989. – 244 х.

Энэ нийтлэлээс та дараахь зүйлийг сурах болно.

Яаж гадаад төрх тэгшитгэл нь энэ тэгшитгэл байх эсэхийг тодорхойлно бүрэн бусквадрат тэгшитгэл? Яаж бүрэн бус шийдвэрлэхквадрат тэгшитгэлүүд?

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг нүдээр хэрхэн таних вэ

Зүүнтэгшитгэлийн нэг хэсэг Байна квадрат гурвалжин , А зөв - тоо. Ийм тэгшитгэл гэж нэрлэдэг дүүрэн квадрат тэгшитгэл.

У дүүрэнквадрат тэгшитгэл Бүгд магадлал, Мөн тэнцүү биш. Тэдгээрийг шийдэхийн тулд бид дараа нь танилцах тусгай томъёо байдаг.

Ихэнх энгийншийдлийн хувьд бүрэн бусквадрат тэгшитгэл. Эдгээр нь квадрат тэгшитгэлүүд юм зарим коэффициент нь тэг байна.

Тодорхойлолтоор коэффициент тэг байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь квадрат биш байх болно. Бид энэ талаар ярилцсан. Энэ нь ийм болж байна гэсэн үг юм тэд тэг рүү явж болно зөвхөнмагадлал эсвэл.

Үүнээс хамаарч байгаа гурван төрлийн бүрэн бусквадрат тэгшитгэл.

1) , Хаана;
2) , Хаана;
3) , Хаана.

Тэгэхээр, хэрэв бид квадрат тэгшитгэлийг харах юм бол түүний зүүн талд оронд нь гурван гишүүн одоо байгаа хоёр шооэсвэл нэг гишүүн, тэгвэл тэгшитгэл болно бүрэн бусквадрат тэгшитгэл.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлҮүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг , аль нь ядаж нэг коэффициент эсвэл тэгтэй тэнцүү .

Энэ тодорхойлолт маш их байдаг чухалхэллэг" ядаж нэгкоэффициентуудаас... тэгтэй тэнцүү". Энэ нь гэсэн үг нэг эсвэл илүүкоэффициентүүд тэнцүү байж болно тэг.

Үүний үндсэн дээр энэ нь боломжтой юм гурван сонголт: эсвэл нэгкоэффициент нь тэг, эсвэл өөркоэффициент нь тэг, эсвэл хоёулаакоэффициентүүд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байна. Ингэж бид гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг олж авдаг.

Бүрэн бусКвадрат тэгшитгэлүүд нь дараах тэгшитгэлүүд юм.
1)
2)
3)

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Товчхон дурдъя шийдлийн төлөвлөгөөэнэ тэгшитгэл. Зүүнтэгшитгэлийн нэг хэсэг нь амархан байж болно хүчин зүйлчлэх, учир нь тэгшитгэлийн зүүн талд нөхцөлүүд байна нийтлэг үржүүлэгч , үүнийг хаалтнаас гаргаж авах боломжтой. Дараа нь зүүн талд та хоёр хүчин зүйлийн үржвэрийг авах ба баруун талд - тэг.

Дараа нь "хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь утга учиртай байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү" гэсэн дүрэм ажиллах болно. Энэ бол маш энгийн!

Тэгэхээр, шийдлийн төлөвлөгөө.
1) Бид зүүн талыг хүчин зүйл болгон тооцдог.
2) Бид "бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү ..." дүрмийг ашигладаг.

Би ийм төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг "хувь заяаны бэлэг". Эдгээр нь тэгшитгэлүүд юм баруун талтэгтэй тэнцүү, А зүүнхэсгийг өргөтгөх боломжтой үржүүлэгчээр.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх төлөвлөгөөний дагуу.

1) Задарцгаая зүүн талтэгшитгэл үржүүлэгчээр, үүний тулд бид нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж аваад дараах тэгшитгэлийг авна .

2) тэгшитгэлд. бид үүнийг харж байна зүүнзардал ажил, А баруун талд тэг. Бодит хувь заяаны бэлэг!Энд бид мэдээж "хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь утга учиртай байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна" гэсэн дүрмийг ашиглах болно. Энэ дүрмийг математикийн хэл рүү орчуулахдаа бид олж авдаг хоёртэгшитгэл эсвэл .

Бид тэгшитгэлийг харж байна салсанхоёроор илүү энгийнтэгшитгэлүүд, эхнийх нь аль хэдийн шийдэгдсэн ().

Хоёрдахь асуудлыг шийдьетэгшитгэл Үл мэдэгдэх нэр томъёог зүүн тийш, мэдэгдэж буй нэр томъёог баруун тийш шилжүүлье. Үл мэдэгдэх гишүүн аль хэдийн зүүн талд байгаа, бид түүнийг тэнд үлдээх болно. Мэдэгдэж буй нэр томъёог баруун тийш шилжүүлье эсрэг тэмдэг. Бид тэгшитгэлийг авдаг.

Бид үүнийг олсон, гэхдээ бид үүнийг олох хэрэгтэй. Хүчин зүйлээс ангижрахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах хэрэгтэй.

Одоо дөрвөн сартай Логан хөгжиж байна жирийн хүүхэдтүүний нас

Ирээдүйн ээж Келли Бурвилл жирэмсэн байхдаа ховор тохиолддог өвчин туссанаас болж бие нь хэвлий дэх хүүхдийнхээ эсрэг тэмцдэг. Эмч нар маш их байдаг гэж хэлсэн өндөр эрсдэлтэйохиных нь тархи маш их гэмтсэн тул амьд үлдэх боломжгүй болно. Хүүхэд төрсний дараа ч гэсэн эцэг эхчүүд охиндоо баптисм хүртэхийг зөвлөж байсан, учир нь охин хэдхэн цагаас илүү амьдрахгүй байв.

36 долоо хоногтой жирэмсэн байхдаа Келлид эмч нь хүүхэд арын хэвтээ байрлалтай байгаа бөгөөд энэ нь төрөх үеийн хүндрэлд хүргэж болзошгүй гэж хэлээд түүнийг шинжилгээнд шилжүүлжээ. Мэргэжилтэн процедурыг эхлүүлэхэд жирэмсэн эцэг эхчүүд ямар нэг зүйл буруу болсныг мэдээд даваа гаригт эргэж ирэхийг хэлэв. “Би юу болсон талаар асуусан боловч тэр бидэнд хэлэх эрхгүй гэж хэлсэн. Энэ бол урт, аймшигтай амралтын өдөр байлаа. Бид юу болсныг мэдээгүй" гэж Келли дурсав.

Эцэг эх нь охиноо сүйрсэн гэж бодож, төрсөн даруйдаа оршуулах ёслолд бэлджээ.

Дараагийн даваа гаригт зөвлөх нь хүүхэд тархинд цус алдсан тухай аймшигтай мэдээг хүргэж, жирэмслэлтийг зогсоохыг санал болгов. “Тэр үед манай дэлхий сүйрсэн. "Би Каллум руу хараад нулимс унагав" гэж Келли дурсав. -Бид охинтой болохоо аль хэдийн мэдэж, түүнд бүх зүйлийг худалдаж авсан. Жирэмслэлтээ таслах талаар огт бодоогүй. Амьд гарсан ч алхаж, ярьж чадахгүй гэж эмч тайлбарлав. Тэр хоол идэж чадахгүй, биднийг хэн болохыг мэдэхгүй. Түүнийг төрсний дараа юу ч хийхгүй, ямар нэгэн байдлаар эмчлэхгүй гэж хэлсэн. Каллум бид хоёр энэ талаар бодохгүй байхыг хичээсэн ч бид түүний оршуулга дээр сонсохыг хүссэн хэдэн дууг сонгосон."

Логан амьд үлдэх ёсгүй байсан!

Төрөх хугацаанаас долоо хоногийн өмнө кесар хагалгаа хийхээр төлөвлөж байсан. Тэгээд Логан төрсөн. “Түүний хашгирахыг сонсох үнэхээр гайхалтай байсан. Манай охин амьд байсан!" - гэж Келли дурсав. Охин аюултай байсан бага түвшинтромбоцитууд болон түүнд цус сэлбэсэн. Хосуудыг байрлуулсан тусдаа өрөөохинтойгоо үлдсэн жаахан цагийг өнгөрөөх. Логан нярайн аллоиммун тромбоцитопени гэж оношлогдсон бөгөөд эхийн бие нь хэвлий дэх хүүхдээ хортой түрэмгийлэгч гэж хүлээн зөвшөөрдөг. Эхийн эсрэгбие нь хүүхдийн ялтас руу дайрдаг бөгөөд энэ нь тархи, ходоод, эсвэл цус алдахад хүргэдэг. нуруу нугасхүүхэд. Энэ нь Логантай тохиолдсон боловч дараа нь болсон явдал гайхамшиг мэт санагдав. Дөрвөн сартай Логан хөгжиж байна жирийн хүүхэдтүүний нас. "Тэр таны хүлээж байсан бүх зүйлийг хийдэг эрүүл хүүхэд, - залуу ээж баярлаж байна. -Хүүхдүүд их уян хатан байдаг гэж зөвлөх нь хэлсэн. Тэд тархиныхаа бусад бүрэн бүтэн хэсгийг ашиглаж болно. Тэр бол миний бяцхан гайхамшиг!"

Шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдал I

§ 32. Тэгшитгэлийн системийн үндсэн ба туслах тодорхойлогч хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх тохиолдол.

Өмнөх догол мөрүүдэд тэгшитгэлийн системийг судалж байна

Бид хоёр тохиолдлыг авч үзсэн:

1) үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн хувьд X Тэгээд цагт пропорциональ биш ( Δ =/= 0);

2) үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн хувьд X Тэгээд цагт Үүний дагуу пропорциональ бөгөөд зарим үл мэдэгдэх болон коэффициентүүдийн коэффициентүүд чөлөөт гишүүдпропорциональ биш ( Δ = 0 ба тодорхойлогчдын ядаж нэг нь байна Δ x Тэгээд Δ y тэгээс ялгаатай).

Үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлох өөр нэг тохиолдлыг авч үзэх хэвээр байна X Тэгээд цагт мөн чөлөөт нөхцөлүүд нь пропорциональ, өөрөөр хэлбэл

а 1 =ка 2 ,б 1 = кб 2 , в 1 = kc 2

а 2 = к"а 1 ,б 2 = k"b 1 , в 2 = k"c 1

Тодорхой болгохын тулд бид эдгээр хоёр хувилбарын эхнийхийг авч үзэх болно. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн систем (1) дараах хэлбэртэй байна.

(2)

Мэдээжийн хэрэг, хос тоо бүр ( x 0 , y (2) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг хангасан 0) нь энэ системийн эхний тэгшитгэлийг мөн хангах ёстой. Иймд (2) тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд зөвхөн энэ системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдэхэд хангалттай. Өөрөөр хэлбэл, ийм бүх хос тоог олоход хангалттай ( x 0 , y 0), энэ нь тэгшитгэлийг буцаах

а 2 X + б 2 цагт = в 2

тоон тэгш байдал руу.

Энэ тэгшитгэлд ядаж нэг коэффициент байна гэж үзье а 2 ба б 2 нь тэгээс ялгаатай. Жишээлбэл, б 2 =/= 0. Дараа нь адил x 0 бол ямар ч дугаар сонгох боломжтой т ; y Энэ тохиолдолд 0-ийг нөхцөл байдлаас олж болно а 2 т + б 2 y 0 = в 2, хаанаас .

Тиймээс авч үзэж буй тохиолдолд тэгшитгэлийн систем (2) байна хязгааргүй олонлогшийдвэрүүд. Тэдгээрийг бүгдийг нь томъёогоор өгсөн болно

Хаана т - дурын тоо.

Наад зах нь нэг коэффициент байна гэсэн таамаглалаар бид энэ үр дүнг авсан а 2 ба б 2 нь тэгээс ялгаатай. Хэрвээ хоёулаа тэгтэй тэнцүү байвал яах вэ? Дараа нь тэгшитгэлийн систем (2) дараах хэлбэртэй байна.

Ийм тогтолцоог төлөөлдөггүй онцгой сонирхол. Хэрэв в 1 = в 2 = 0 бол түүний шийдэл нь дурын хос тоо ( x 0 , y 0). Хэрэв тоонуудын дор хаяж нэг нь байвал в 1 ба в 2 нь тэг биш бол систем (3) зөрчилтэй байна.

Мэдээж хэрэг, хэзээ а 2 = б Хэрэв бид үл мэдэгдэх коэффициентуудын дунд үүнийг нэмж шаардвал 2 = 0 автоматаар хасагдах болно x Тэгээд цагт тэгшитгэлийн системд (1) дор хаяж нэг тэгээс ялгаатай коэффициент байсан.

Бид дараах теоремыг баталсан.

Хэрэв (1) тэгшитгэлийн систем дэх үл мэдэгдэх болон чөлөөт гишүүний коэффициентүүд нь пропорциональ бөгөөд үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн дунд 0-ээс ялгаатай ядаж нэг коэффициент байвал (1) тэгшитгэлийн систем нь дараах байдалтай байна. хязгааргүй тооны шийдэл. Тэдгээрийг бүгдийг нь ижил тэгшитгэлийн шийдэл болгон олж авсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэхийн хувьд тэгээс өөр коэффициент агуулдаг.

Жишээ.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Энэхүү тэгшитгэлийн системийн үл мэдэгдэх коэффициент ба чөлөөт гишүүдийн коэффициентүүд нь пропорциональ байна. Иймд энэ тэгшитгэлийн системийн бүх шийдлийг эхний тэгшитгэлийн шийдэл болгон авч болно

X -2цагт = 3.

Итгэж байна x = t , бид үүнийг олдог цагт = 1 / 2 (т - 3).

Тэгэхээр, энэ системтэгшитгэл нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй:

x = t , цагт = 1 / 2 (т - 3),

Хаана т - дурын тоо. Ялангуяа хэзээ т = 0 уусмалыг олж авна X = 0, y = - 3/2, at т = 5 - шийдэл X = 5, цагт = 1 гэх мэт.

Дээр нотлогдсон теоремыг тодорхойлогчийн хувьд томъёолох нь ашигтай.

Хэрэв үл мэдэгдэх коэффициент ба тэгшитгэлийн системийн чөлөөт гишүүн (1) нь пропорциональ байвал (2) ашиглан шууд олж авахад хялбар болно.

Δ = Δ x = Δ y = 0.

Мөн эсрэгээр нь нотлогдож болно. Хэрэв Δ = Δ x = Δ y = 0 ба хамгийн багадаа нэг коэффициент байна үл мэдэгдэх системүүдтэгшитгэл (1) нь тэгээс ялгаатай бол үл мэдэгдэх коэффициент ба ийм тэгшитгэлийн системийн чөлөөт нөхцлүүд нь пропорциональ байх болно. Зарчмын хувьд үүнийг хийх боломжтой байсан ч бид энэ баримтыг нотлох талаар ярихгүй. Гэхдээ үүнийг итгэл дээр тулгуурлан бид одоо дээр дурдсан теоремыг дараах байдлаар томъёолж болно.

Хэрэв (1) тэгшитгэлийн системийн үндсэн ба туслах тодорхойлогч хоёулаа тэгтэй тэнцүү бөгөөд үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр коэффициент байвал (1) тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны тоотой байна. шийдлүүд. Тэдгээрийг бүгдийг нь ижил тэгшитгэлийн шийдэл болгон олж авсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэхийн хувьд тэгээс өөр коэффициент агуулдаг.

Дасгал

241. (Аман) Эдгээр тэгшитгэлийн систем бүр хязгааргүй тооны шийдтэй болохыг харуул.

Тэгшитгэлийн системийг шийд (No 242-244):

245. Тэгшитгэлийн систем өгөгдсөн

a) Энэ системийн тэгшитгэл бүр хэдэн шийдэлтэй вэ?

б) Системд хэдэн шийдэл байдаг вэ?

246. Хэр их янз бүрийн шийдэлбайна нэгэн төрлийн системтэгшитгэл