Курсын ажил

сэдвээр: “Хууль их тоо»

Ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

Олон зүйлийг шийдэхийн тулд практик асуудлуудхуримтлагдсан нөлөөллийн үр дүнд бий болсон нөхцөл байдлын цогцыг мэдэх шаардлагатай их хэмжээнийсанамсаргүй хүчин зүйлүүд тохиолдлын байдлаас бараг хамааралгүй байдаг. Эдгээр нөхцлийг хэд хэдэн теоремууд гэж нэрлэдэг нийтлэг нэр k-р туршилтын үр дүн амжилттай эсвэл бүтэлгүйтсэн эсэхээс хамаарч санамсаргүй хэмжигдэхүүн k нь 1 эсвэл 0-тэй тэнцүү байх том тооны хууль. Тиймээс Sn нь харилцан хамааралгүй n-ийн нийлбэр юм санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тус бүр нь p ба q магадлал бүхий 1 ба 0 утгыг авна.

Хамгийн энгийн хэлбэрих тооны хууль - Бернуллигийн теорем, хэрэв бүх туршилтанд үйл явдлын магадлал ижил байвал туршилтын тоо нэмэгдэх тусам үйл явдлын давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлал руу чиглэж, санамсаргүй байхаа болино. .

Пуассоны теорем нь цуваа дахь үйл явдлын давтамжийг хэлдэг бие даасан туршилтуудмагадлалынхаа арифметик дундаж руу чиглэж, санамсаргүй байхаа болино.

Магадлалын онолын хязгаарын теоремууд, Мойвр-Лапласын теорем нь үйл явдлын давтамжийн тогтвортой байдлын мөн чанарыг тайлбарладаг. Энэ мөн чанар нь туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх (хэрэв үйл явдлын магадлал бүх туршилтанд ижил байвал) үйл явдлын тохиолдлын тоог хязгаарлах хуваарилалт нь хэвийн тархалттай байдагт оршино.

Төв хязгаарын теоремхэвийн тархалтын хуулийн өргөн тархалтыг тайлбарлав. Нэмэлтийн үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх бүрд гэж теорем заасан их тооХязгаарлагдмал дисперстэй бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд, энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь бараг хэвийн хууль болж хувирдаг.

Ляпуновын теорем нь хэвийн тархалтын хуулийн өргөн тархалтыг тайлбарлаж, үүсэх механизмыг тайлбарлав. Тус теорем нь нийлбэрийн дисперстэй харьцуулахад дисперс нь бага, бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олон тооны нэмсний үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх бүрт энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өөрчлөгддөг гэдгийг хэлэх боломжийг бидэнд олгодог. бараг хэвийн хууль болсон. Мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд үргэлж үүсдэг тул хязгааргүй тоошалтгаанууд бөгөөд ихэнхдээ тэдгээрийн аль нь ч санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалттай харьцуулахуйц дисперсгүй байдаг тул практикт тохиолддог ихэнх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь ердийн хуульхуваарилалт.

Олон тооны хуулийн чанарын болон тоон мэдэгдлүүд дээр үндэслэсэн болно Чебышевын тэгш бус байдал. Энэ нь тодорхойлдог дээд хязгаарсанамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын математикийн хүлээлтээс хазайх нь зарим үзүүлэлтээс их байх магадлал өгсөн дугаар. Чебышевын тэгш бус байдал нь тархалт нь тодорхойгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнд тохиолдох үйл явдлын магадлалын тооцоог өгдөг нь гайхалтай юм. хүлээгдэж буй үнэ цэнэба тархалт.

Чебышевын тэгш бус байдал. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн х дисперстэй бол дурын x > 0-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн байна, энд М x ба Д x - x санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс.

Бернуллигийн теорем. Бернуллигийн n туршилтын амжилтын тоог x n, хувь хүний ​​туршилтын амжилтын магадлалыг p гэж үзье. Дараа нь дурын s > 0 бол .

Ляпуновын теорем. s 1, s 2, …, s n, …– гэж үзье. хязгааргүй дараалалматематикийн хүлээлт m 1, m 2, …, m n, … болон дисперсүүд s 1 2, s 2 2, …, s n 2 … бүхий бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. , , , -г тэмдэглэе.

Дараа нь = Ф(б) - Ф(а) аль нэг нь бодит тоо a ба b, энд Ф(х) нь хэвийн тархалтын функц юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Амжилтын тоо Sn нь туршилтын тоо n-ээс хамааралтай болохыг авч үзье. Туршилт бүрийн хувьд Sn 1 эсвэл 0-ээр нэмэгддэг. Энэ мэдэгдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Их тооны хууль. (k) нь ижил тархалттай харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг. Хэрэв математикийн хүлээлт = M(k) байгаа бол n-ийн хувьд дурын > 0 байна

Өөрөөр хэлбэл, дундаж S n /n нь математикийн хүлээлтээс дур зоргоороо өгөгдсөн утгаас бага зөрүүтэй байх магадлал нэг рүү чиглэдэг.

Төвийн хязгаарын теорем. (k) нь ижил тархалттай харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг. Тэд байдаг гэж бодъё. Sn = 1 +…+ n , Дараа нь дурын тогтмол хувьд

F () - F () (1.3)

Энд F(x) - хэвийн үйл ажиллагааБи тарааж байна. Энэ теоремыг Линлберг томъёолж, нотолсон. Ляпунов болон бусад зохиогчид үүнийг илүү хязгаарлагдмал нөхцөлд эрт нотолсон. Дээр томъёолсон теорем нь зөвхөн маш онцгой тохиолдол гэж төсөөлөх хэрэгтэй ерөнхий теорем, энэ нь эргээд бусад олон хязгаарын теоремуудтай нягт холбоотой. (1.3) нь зөрүү нь -ээс их байх магадлалын тооцоог өгдөг тул (1.3) нь (1.2)-аас хамаагүй хүчтэй болохыг анхаарна уу. Нөгөөтэйгүүр k санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хязгаарлагдмал дисперсгүй байсан ч их тооны хууль (1.2) үнэн тул илүү их тоонуудад үйлчилнэ. ерөнхий тохиолдолтөвлөрсөн хязгаарын теоремоос (1.3). Сүүлийн хоёр теоремыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ. a) Симметрик шидэлтийн бие даасан шидэлтийн дарааллыг авч үзье. k-р шидэлтийн үед авсан онооны тоог k гэж үзье. Дараа нь

M( k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D( k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 ба S n /n

нь n шидэлтийн үр дүнд авсан онооны дундаж тоо юм.

Их тооны хуулинд n-ийн хувьд энэ дундаж нь 3.5-тай ойролцоо байх нь үнэмшилтэй гэж заасан байдаг. Төв хязгаарын теорем нь |Sn - 3.5n | байх магадлалыг илэрхийлдэг< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

б) Дээж авах. Үүнийг дотор гэж үзье хүн ам,

N гэр бүлээс бүрдэх Nk гэр бүл тус бүрдээ яг k хүүхэдтэй

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Хэрэв гэр бүлийг санамсаргүй байдлаар сонгосон бол түүний доторх хүүхдийн тоо нь p = N / N магадлал бүхий утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Ар араас нь сонгохдоо n хэмжээтэй түүврийг n бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний цуглуулга эсвэл бүгд ижил тархалттай "ажиглалт" 1, ..., n гэж харж болно; S n /n нь түүврийн дундаж юм. Их тооны хуулинд хангалттай их хэмжээний хувьд гэж заасан байдаг санамсаргүй түүвэртүүний дундаж нь хүн амын дундажтай ойролцоо байх магадлалтай. Төвлөрсөн хязгаарын теорем нь эдгээр утгуудын хоорондын зөрүүний магадлалыг тооцоолж, найдвартай тооцоолол хийхэд шаардагдах түүврийн хэмжээг тодорхойлох боломжийг олгодог. Практикт, мөн ихэвчлэн үл мэдэгдэх; Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд урьдчилсан тооцоог олж авахад хялбар байдаг бөгөөд үүнийг үргэлж найдвартай хил хязгаарт багтааж болно. Хэрэв бид түүврийн дундаж S n / n нь үл мэдэгдэх популяцийн дунджаас 1/10-аас бага зөрүүтэй байх магадлалыг 0.99 ба түүнээс дээш байлгахыг хүсвэл түүврийн хэмжээг авах ёстой.

F(x) - F(- x) = 0.99 тэгшитгэлийн x язгуур нь x = 2.57..., тиймээс n нь 2.57 буюу n > 660 байх ёстой. Нарийвчилсан урьдчилсан тооцоолол нь шаардлагатай түүврийн хэмжээг олох боломжийг олгодог.

в) Пуассоны тархалт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн k нь Пуассон тархалттай (p(k; )) байна гэж бодъё. Тэгвэл Sn нь n-тэй тэнцүү дундаж ба дисперстэй Пуассон тархалттай байна.

n-ийн оронд бичвэл бид n-ийн хувьд гэж дүгнэж байна

Нийлбэрийг 0-ээс бүх k-д гүйцэтгэнэ. Ph-la (1.5) нь дур зоргоороо байх үед бас хамаарна.

Хуваарилалтын хуулийн дагуу олж болно гэдгийг аль хэдийн мэддэг болсон тоон шинж чанарсанамсаргүй хувьсагч. Хэрэв хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн ижил тархалттай бол тэдгээрийн тоон шинж чанар ижил байна.

Ингээд авч үзье nхарилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд X 1 , X 2 , …,X n, ижил тархалттай, тиймээс ижил шинж чанартай (математикийн хүлээлт, тархалт гэх мэт). Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажийн тоон шинж чанарыг судлах нь хамгийн их сонирхол татдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажийг дараах байдлаар тэмдэглэе.

.

Дараах гурван заалт нь арифметик дундажийн тоон шинж чанар болон бие даасан хэмжигдэхүүн бүрийн харгалзах шинж чанаруудын хоорондын холбоог тогтооно.

1. Дундажийн математикийн хүлээлт арифметик нэгХамт тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утга тус бүрийн математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна:

Баталгаа.Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглах ( тогтмол хүчин зүйлматематикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно; нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна), бид байна

Нөхцөл байдлын дагуу хэмжигдэхүүн тус бүрийн математикийн хүлээлт тэнцүү байна гэдгийг харгалзан үзнэ А, бид авдаг

.

2. Арифметик дундажийн тархалт nижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд nдахин бага хэлбэлзэл Дхэмжээ тус бүр:

Баталгаа. Тархалтын шинж чанарыг ашиглах (тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар хуваах замаар дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно; нийлбэрийн дисперс) бие даасан хэмжигдэхүүнүүднэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү), бидэнд байна

Нөхцөл байдлын дагуу хэмжигдэхүүн тус бүрийн хэлбэлзэл нь тэнцүү байгааг харгалзан үзэх Д, бид авдаг

.

3. Дундаж стандарт хэлбэлзэлАрифметик дундаж nИжил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь утга тус бүрийн стандарт хазайлтаас дахин бага байна:

Баталгаа. -ээс хойш стандарт хазайлт нь тэнцүү байна

.

Ерөнхий дүгнэлт(7.3) ба (7.4) томъёоноос: дисперс ба стандарт хазайлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэмжүүр болдог гэдгийг санаж, хангалттай олон тооны харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь тус бүрээс хамаагүй бага дисперстэй байна гэж дүгнэж байна. хувь хүний ​​үнэ цэнэ.

Энэхүү дүгнэлт нь практикт ямар ач холбогдолтой болохыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ.Ихэвчлэн заримыг нь хэмжих физик хэмжигдэхүүнхэд хэдэн хэмжилт хийж, дараа нь хэмжсэн утгын ойролцоо утга болгон авсан тоонуудын арифметик дундажийг олно. Хэмжилтийг ижил нөхцөлд хийсэн гэж үзвэл:

a) арифметик дундаж нь бие даасан хэмжилтээс илүү найдвартай үр дүнг өгдөг;

б) хэмжилтийн тоо нэмэгдэх тусам энэ үр дүнгийн найдвартай байдал нэмэгддэг.

Шийдэл. a) Хувь хүний ​​хэмжилт нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний өөр өөр утгыг өгдөг нь мэдэгдэж байна. Хэмжилт бүрийн үр дүн нь урьдчилан бүрэн тооцдоггүй олон санамсаргүй шалтгаанаас (температурын өөрчлөлт, багаж хэрэгслийн хэлбэлзэл гэх мэт) хамаардаг.

Энэ шалтгааны улмаас бид боломжит үр дүнг авч үзэх эрхтэй nбие даасан хэмжилтийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон X 1 , X 2 , …,X n(индекс нь хэмжилтийн тоог заана). Эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь ижил магадлалын тархалттай (хэмжилтийг ижил аргачлал, ижил багаж ашиглан хийдэг), тиймээс ижил тоон шинж чанаруудтай; үүнээс гадна тэдгээр нь бие биенээсээ хамааралгүй (хэмжилт бүрийн үр дүн нь бусад хэмжилтээс хамаардаггүй).

Дээр дурдсанчлан ийм хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь бие даасан хэмжигдэхүүнээс бага тархалттай байдаг. Өөрөөр хэлбэл, арифметик дундаж нь ойролцоо болж хувирдаг жинхэнэ утганэг хэмжилтийн үр дүнгээс хэмжсэн хэмжигдэхүүн. Энэ нь хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь нэг хэмжилтээс илүү найдвартай үр дүнг өгдөг гэсэн үг юм.

б) Хувь хүний ​​санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр арифметик дундажийн тархалт буурдаг нь мэдэгдэж байна. Энэ нь хэмжилтийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь хэмжсэн утгын бодит утгаас бага ба бага зөрүүтэй байна гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлснээр илүү найдвартай үр дүнд хүрнэ.

Жишээлбэл, хэрэв бие даасан хэмжилтийн стандарт хазайлт нь s = 6 м, бүгдийг нь хийсэн бол n= 36 хэмжилт, тэгвэл эдгээр хэмжилтийн арифметик дундажийн стандарт хазайлт нь ердөө 1 м байна.

.

Мэдээжийн хэрэг, хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь тусдаа хэмжилтийн үр дүнгээс илүү хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад ойр байсан нь ойлгомжтой.

Олон тооны практик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн хамтарсан нөлөөллийн үр дүн нь санамсаргүй байдлаас бараг хамааралгүй байх нөхцөл байдлын багцыг мэдэх шаардлагатай. k-р туршилтын үр дүн амжилттай эсвэл бүтэлгүйтсэн эсэхээс хамаарч санамсаргүй хэмжигдэхүүн k нь 1 эсвэл 0-тэй тэнцүү байх эдгээр нөхцлүүдийг олон тооны теоремоор дүрсэлсэн байдаг. Тиймээс Sn нь бие биенээсээ хамааралгүй n санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр бөгөөд тус бүр нь p ба q магадлал бүхий 1 ба 0 утгыг авдаг.

Их тооны хуулийн хамгийн энгийн хэлбэр нь Бернуллигийн теорем бөгөөд хэрэв аливаа үйл явдлын магадлал бүх туршилтанд ижил байвал туршилтын тоо нэмэгдэх тусам үйл явдлын давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлал болон санамсаргүй байхаа болино.

Пуассоны теоремХэд хэдэн бие даасан туршилтын явцад үйл явдлын давтамж нь түүний магадлалын арифметик дундаж руу чиглэж, санамсаргүй байхаа болино гэж заасан.

Магадлалын онолын хязгаарын теоремууд, Мойвр-Лапласын теорем нь үйл явдлын давтамжийн тогтвортой байдлын мөн чанарыг тайлбарладаг. Энэ мөн чанар нь туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх (хэрэв үйл явдлын магадлал бүх туршилтанд ижил байвал) үйл явдлын тохиолдлын тоог хязгаарлах хуваарилалт нь хэвийн тархалттай байдагт оршино.

Төвийн хязгаарын теоремхэвийн тархалтын хуулийн өргөн тархалтыг тайлбарлав. Хязгаарлагдмал дисперстэй олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нэмсний үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх бүрд энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль бараг хэвийн хууль болж хувирдаг гэж теорем заасан байдаг.

Ляпуновын теоремхэвийн тархалтын хуулийн өргөн тархалтыг тайлбарлаж, үүсэх механизмыг тайлбарлав. Тус теорем нь нийлбэрийн дисперстэй харьцуулахад дисперс нь бага, бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олон тооны нэмсний үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх бүрт энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өөрчлөгддөг гэдгийг хэлэх боломжийг бидэнд олгодог. бараг хэвийн хууль болсон. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь үргэлж хязгааргүй олон шалтгаанаар үүсгэгддэг бөгөөд ихэнхдээ тэдгээрийн аль нь ч санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперстэй дүйцэхүйц тархалтгүй байдаг тул практикт тохиолддог ихэнх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь ердийн тархалтын хуульд захирагддаг.

Олон тооны хуулийн чанарын болон тоон мэдэгдлүүд дээр үндэслэсэн болно Чебышевын тэгш бус байдал. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын математикийн хүлээлтээс хазайх нь тодорхой заасан тооноос их байх магадлалын дээд хязгаарыг тодорхойлдог. Чебышевын тэгш бус байдал нь тархалт нь тодорхойгүй, зөвхөн математикийн хүлээлт ба дисперс нь мэдэгдэж байгаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд үйл явдлын магадлалын тооцоог өгдөг нь гайхалтай юм.

Чебышевын тэгш бус байдал. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн х дисперстэй бол дурын x > 0-ийн хувьд дараах тэгш бус байдал үнэн болно. М x ба Д x - x санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс.

Бернуллигийн теорем. Бернуллигийн n туршилтын амжилтын тоог x n, хувь хүний ​​туршилтын амжилтын магадлалыг p гэж үзье. Дараа нь ямар ч s > 0 бол энэ нь үнэн юм.

Ляпуновын теорем. s 1, s 2, …, s n, … математикийн хүлээлт m 1, m 2, …, m n, … ба s 1 2, s 2 2, …, s n 2… дисперсүүдтэй бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хязгааргүй дараалал байцгаая. гэж тэмдэглэе.

Дараа нь = Ф(b) - Ф(a) a ба b бодит тоонуудын хувьд Ф(х) нь хэвийн тархалтын функц юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Амжилтын тоо Sn нь туршилтын тоо n-ээс хамааралтай болохыг авч үзье. Туршилт бүрийн хувьд Sn 1 эсвэл 0-ээр нэмэгддэг. Энэ мэдэгдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Их тооны хууль. (k) нь ижил тархалттай харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг. Хэрэв математикийн хүлээлт = M(k) байгаа бол n-ийн хувьд дурын > 0 байна

Өөрөөр хэлбэл, дундаж S n /n нь математикийн хүлээлтээс дур зоргоороо өгөгдсөн утгаас бага зөрүүтэй байх магадлал нэг рүү чиглэдэг.

Төвийн хязгаарын теорем.(k) нь ижил тархалттай харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг. Тэд байдаг гэж бодъё. Sn = 1 +…+ n , Дараа нь дурын тогтмол хувьд

F () -- F () (1.3)

Энд Ф(х) нь хэвийн тархалтын функц юм. Энэ теоремыг Линлберг томъёолж, нотолсон. Ляпунов болон бусад зохиогчид үүнийг илүү хязгаарлагдмал нөхцөлд эрт нотолсон. Дээр томъёолсон теорем нь илүү ерөнхий теоремын маш онцгой тохиолдол бөгөөд энэ нь эргээд бусад олон хязгаарын теоремуудтай нягт холбоотой гэж төсөөлөх шаардлагатай. (1.3) нь зөрүү нь түүнээс их байх магадлалын тооцоог өгдөг тул (1.3) нь (1.2)-аас хамаагүй хүчтэй болохыг анхаарна уу. Нөгөөтэйгүүр k санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хязгаарлагдмал дисперсгүй байсан ч их тооны хууль (1.2) үнэн тул төв хязгаарын теорем (1.3)-аас илүү ерөнхий тохиолдолд хамаарна. Сүүлийн хоёр теоремыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ. a) Симметрик шидэлтийн бие даасан шидэлтийн дарааллыг авч үзье. k-р шидэлтийн үед авсан онооны тоог k гэж үзье. Дараа нь

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 ба S n /n

нь n шидэлтийн үр дүнд авсан онооны дундаж тоо юм.

Их тооны хуулинд n-ийн хувьд энэ дундаж нь 3.5-тай ойролцоо байх нь үнэмшилтэй гэж заасан байдаг. Төвийн хязгаарын теорем нь |Sn -- 3.5n | байх магадлалыг заасан< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

б) Дээж авах. Нийт хүн амын дунд гэж бодъё.

N гэр бүлээс бүрдэх Nk гэр бүл тус бүрдээ яг k хүүхэдтэй

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Хэрэв гэр бүлийг санамсаргүй байдлаар сонгосон бол түүний доторх хүүхдийн тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд p = N/N магадлал бүхий утгыг авна. Ар араас нь сонгохдоо n хэмжээтэй түүврийг n бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний цуглуулга эсвэл бүгд ижил тархалттай "ажиглалт" 1, ..., n гэж харж болно; S n /n нь түүврийн дундаж юм. Том тооны тухай хуульд хангалттай том санамсаргүй түүврийн хувьд дундаж нь хүн амын дундажтай ойролцоо байх магадлалтай гэж заасан байдаг. Төвлөрсөн хязгаарын теорем нь эдгээр утгуудын хоорондох зөрүүний хэмжээг тооцоолох, найдвартай тооцоолоход шаардагдах түүврийн хэмжээг тодорхойлох боломжийг олгодог. Практикт, мөн ихэвчлэн үл мэдэгдэх; Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд урьдчилсан тооцоог олж авахад хялбар байдаг бөгөөд үүнийг үргэлж найдвартай хил хязгаарт багтааж болно. Хэрэв бид түүврийн дундаж S n / n нь үл мэдэгдэх популяцийн дунджаас 1/10-аас бага зөрүүтэй байх магадлалыг 0.99 ба түүнээс дээш байлгахыг хүсвэл түүврийн хэмжээг авах ёстой.

Ф(x) - Ф(-- x) = 0.99 тэгшитгэлийн х язгуур нь x = 2.57 ...-тэй тэнцүү тул n нь 2.57 буюу n > 660 байх ёстой. Нарийвчилсан урьдчилсан тооцоолол нь шаардлагатай түүврийн хэмжээг олох боломжийг олгодог.

в) Пуассоны тархалт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн k нь Пуассон тархалттай (p(k;)) байна гэж бодъё. Тэгвэл Sn нь дундаж ба дисперс нь n-тэй тэнцүү Пуассон тархалттай байна.

n-ийн оронд бичснээр бид n-ийн хувьд гэж дүгнэж байна

Нийлбэрийг 0-ээс бүх k-д гүйцэтгэнэ. Ph-la (1.5) нь дур зоргоороо байх үед бас хамаарна.

Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтыг мэддэг байг. Эдгээр хэмжигдэхүүний нийлбэрийн стандарт хазайлтыг хэрхэн олох вэ? Энэ асуултын хариултыг дараах теоремоор өгнө.

Теорем. Нийлбэрийн стандарт хазайлт хязгаарлагдмал тоохарилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тэнцүү байна квадрат язгуурэдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн стандарт хазайлтын квадратуудын нийлбэрээс."

Баталгаа. -ээр тэмдэглэе XХаргалзаж буй харилцан бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр:

Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийн дисперс нь нэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна (§ 5, Үр дүн 1-г үзнэ үү), тиймээс

эсвэл эцэст нь

Ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

Тархалтын хуулийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг олж болно гэдгийг аль хэдийн мэддэг болсон. Үүнээс үзэхэд хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн ижил тархалттай бол тэдгээрийн тоон шинж чанар нь ижил байна.

Ингээд авч үзье Пхарилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд X v X v ..., Xfi,ижил тархалттай, тиймээс ижил шинж чанартай (математикийн хүлээлт, тархалт гэх мэт). Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажийн тоон шинж чанарыг судлах нь хамгийн их сонирхол татдаг бөгөөд үүнийг бид энэ хэсэгт хийх болно.

Харгалзаж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундажийг гэж тэмдэглэе X:

Дараах гурван заалт нь арифметик дундажийн тоон шинж чанаруудын хоорондын холбоог тогтооно Xболон бие даасан хэмжигдэхүүн бүрийн харгалзах шинж чанарууд.

1. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажийн математик хүлээлт нь хувьсагч бүрийн математикийн a-тай тэнцүү байна.

Баталгаа. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан (тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдэгээс гаргаж болно; нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна) бид

Нөхцөл байдлын дагуу хэмжигдэхүүн тус бүрийн математикийн хүлээлт тэнцүү байна гэдгийг харгалзан үзнэ А, бид авдаг

2. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй n санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундажийн дисперс нь хувьсагч бүрийн D дисперсээс n дахин бага байна:

Баталгаа. Дисперсийн шинж чанарыг ашиглан (тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар хуваах замаар дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно; бие даасан хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь нэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү) бид байна.

§ 9. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд 97

Нөхцөлөөр хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалт D-тэй тэнцүү байгааг харгалзан бид олж авна

3. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй n-ийн арифметик дундажийн стандарт хазайлт

утга тус бүрийн стандарт хазайлтаас 4n дахин бага байна:

Баталгаа. Учир нь D(X) = D/nдараа нь стандарт хазайлт Xтэнцүү байна

(*) ба (**) томъёоны ерөнхий дүгнэлт: тархалт ба стандарт хазайлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэмжүүр болдог гэдгийг санаж, хангалттай олон тооны харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь дараах байдалтай байна гэж дүгнэж байна.

тус бүрийн утгаас хамаагүй бага тархалт.

Энэхүү дүгнэлт нь практикт ямар ач холбогдолтой болохыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ. Ихэвчлэн тодорхой физик хэмжигдэхүүнийг хэмжихийн тулд хэд хэдэн хэмжилт хийж, дараа нь авсан тоонуудын арифметик дундажийг олдог бөгөөд үүнийг хэмжсэн хэмжигдэхүүний ойролцоо утга болгон авдаг. Хэмжилтийг ижил нөхцөлд хийсэн гэж үзвэл:

• a) арифметик дундаж нь бие даасан хэмжилтээс илүү найдвартай үр дүнг өгдөг;
• б) хэмжилтийн тоо нэмэгдэх тусам энэ үр дүнгийн найдвартай байдал нэмэгддэг.

Шийдэл, a) Хувь хүний ​​хэмжилт нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний тэгш бус утгыг өгдөг нь мэдэгдэж байна. Хэмжилт бүрийн үр дүн нь санамсаргүй олон шалтгаанаас (температурын өөрчлөлт, багаж хэрэгслийн хэлбэлзэл гэх мэт) хамаардаг бөгөөд үүнийг урьдчилан бүрэн авч үзэх боломжгүй юм.

Тиймээс бид боломжит үр дүнг авч үзэх эрхтэй Пбие даасан хэмжилтийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон X v X 2,..., X х(индекс нь хэмжилтийн тоог заана). Эдгээр тоо хэмжээ нь байна тэгш хуваарилалтмагадлал (хэмжилтийг ижил аргачлал, ижил багаж ашиглан хийдэг), тиймээс ижил тоон шинж чанарууд; үүнээс гадна тэдгээр нь бие биенээсээ хамааралгүй (хэмжилт бүрийн үр дүн нь бусад хэмжилтээс хамаардаггүй).

Ийм хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь бие даасан хэмжигдэхүүнээс бага тархалттай байдаг гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Өөрөөр хэлбэл, арифметик дундаж нь тусдаа хэмжилтийн үр дүнгээс илүү хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад ойрхон байна. Энэ нь хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь нэг хэмжилтээс илүү тохиолдолын үр дүнг өгдөг гэсэн үг юм.

б) Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр арифметик дундажийн тархалт буурдаг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Энэ нь хэмжилтийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь хэмжсэн утгын бодит утгаас бага ба бага зөрүүтэй байна гэсэн үг юм. Тиймээс хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлснээр илүү найдвартай үр дүнд хүрнэ.

Жишээлбэл, хэрэв хувь хүний ​​хэмжилтийн стандарт хазайлт нь a = 6 м, нийт П= 36 хэмжилт, тэгвэл эдгээр хэмжилтийн арифметик дундажийн стандарт хазайлт нь ердөө 1 м байна.

Хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь тусдаа хэмжилтийн үр дүнгээс илүү хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад ойртсон болохыг бид харж байна.