Гэр
Эссэ Хажуугаар нь өнгөрцгөөе!Том ба
зуун жилийн түүх
товч бөгөөд энгийнээр.
Пуанкарегийн таамаглалын дагуу гурван хэмжээст бөмбөрцөг нь ямар нэгэн таамаглал бүхий "гиперкорд"-оор гадаргууг нэг цэгт татах боломжтой цорын ганц гурван хэмжээст биет юм.
Тийм ээ.......
Таамаглал байхаа больсон Пуанкаре таамаглал нь ТОПОЛОГИЙН суурийн “үндэс” юм.
Топологи, энэ үг нэлээд танил юм (нэн даруй "График" ба "Сүлжээ" гэсэн цувралууд гарч ирнэ)
илүү энгийн - математикийн хэсэг,
тасралтгүй байдлын үзэгдлийг судлах, ялангуяа тасралтгүй хэв гажилтын үед өөрчлөгдөөгүй орон зайн шинж чанарууд (холбогдсон байдал, чиг баримжаа).Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн үзэгдлүүд бөгөөд үүнийг хэмжих, хуваах нь бидний санаанд ордоггүй.
ерөнхий тохиолдол
Тэд бүгд тасралтгүй байдаг.
Геометрээс ялгаатай нь топологи нь объектын хэмжүүрийн шинж чанарыг харгалзан үздэггүй.
За, бид дахин явлаа - хязгааргүй, хэмжилтгүй - шинжлэх ухаангүй,
ба сонгосон объект (талбай) дахь тасралтгүй байдал, объект өөрөө - энэ бол хэрэглээний болон хэрэглээний шинжлэх ухааны газар юм.
Ерөнхийдөө энэ бол философи - (бодит байдлын ерөнхий үндсэн шинж чанар, үндсэн зарчмуудыг судалдаг).
Харааны хувьд - гайхалтай жишээ:
Гурилан болон аяганы тасралтгүй байдлын гомотопи тэнцэл -
Пуанкаре руу -Пуанкарегийн таамаглалын дагуу гурван хэмжээст бөмбөрцөг нь ямар нэгэн таамаглал бүхий "гиперкорд"-оор гадаргууг нэг цэгт татах боломжтой цорын ганц гурван хэмжээст биет юм.
гурван хэмжээст бөмбөрцөг
нь дөрвөн хэмжээст бөмбөгний гадаргуу юм.
хаанаас ирсэн бэ?
Энд бүх хүнд (намайг оруулаад) хүртээмжтэй товч тайлбар байна.
Ерөнхийдөө математикчид орчлон ертөнцийг гурван хэмжээст "олон талт", өөрөөр хэлбэл, цэг бүрийг тойрон гурван хэмжээс бүхий нарийн төвөгтэй, муруй, ерөнхийдөө объект гэж үздэг (өөрөөр хэлбэл та түүнээс яг гурван хэсэгт шилжиж болно). харилцан перпендикуляр чиглэлүүд X).
Гэхдээ хязгаарлагдмал эзэлхүүнтэй муруй ертөнцүүд бас боломжтой, жишээлбэл, Пуанкаре таамаглалд дурдсан гурван хэмжээст бөмбөрцөг. Энэ нь юу болохыг ойлгох хамгийн сайн арга бол нэг хэмжээст бөмбөрцөг - тойрог, хоёр хэмжээст бөмбөрцөг - гурван хэмжээст бөмбөгний гадаргуутай зүйрлэх явдал юм. Гурван хэмжээст бөмбөрцөг нь дөрвөн хэмжээст бөмбөгний гадаргуу юм.
Та ердийн тойрог авч, хилийн тойргийг цэг болгон "нурсан" мэт бүх хилийн цэгүүдийг нэг болгон нааж хоёр хэмжээст бөмбөрцөг (деформац хүртэл) авч болно. (Үүнийг тойргийг нь уян харимхай туузаар оёсон даавууны тойрог дээр хийж болно - уян харимхай туузыг чангалснаар та "цүнх" - гажигтай хоёр хэмжээст бөмбөрцөг авах болно. Өмнө нь түрийвчийг ингэж хийдэг байсан. - Дундад зууны тухай кинонуудыг санаарай).
Үүний нэгэн адил гурван хэмжээст бөмбөг аваад нааж, хилийн бөмбөрцгийн бүх цэгүүдийг нэг болгон "нураарай". Та яг деформаци хүртэл гурван хэмжээст бөмбөрцөг авах болно.
Дэлхий хавтгай, нэг бол ирмэгтэй хуушуур шиг эсвэл хязгааргүй хавтгай гэдэгт итгэлтэй байсан эртний хүмүүсийн оронд өөрийгөө төсөөлөөд үз дээ. Гэхдээ дараа нь хэрэв та үргэлж нэг чиглэлд явбал эхлэх цэг рүү буцаж ирдэг нь тодорхой болсон урвуу тал- өөрөөр хэлбэл дэлхий даяар аялах.
Хэрэв орчлон ертөнц гурван хэмжээст бөмбөрцөг юм бол цаашаа хөдөлнө гэрлийн туяа- үргэлж шулуун шугамаар - та эсрэг талаасаа эхлэх цэг рүү буцах болно.
Одоо манай Орчлон ертөнцийг зүгээр л холбож өгөх шинж чанартай гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. Орчлон ертөнц дээр шидэгдсэн дур зоргоороо "лассо" (гогцоо) нь ямар ч байсан цэг рүү татагдаж болно. (Яг ковбойнууд ердийн lasso-г хэрхэн чангалдаг, гэхдээ гогцоо нь нэг цэг хүртэл шахагдах хүртэл).
(Хэрэв жишээлбэл, бүхэл бүтэн ертөнцийн дагуу хоёр чиглэлд төгсгөлгүй хоосон хонгилыг огтолбол ийм зүйл болохгүй. Дараа нь та хонгилын дээгүүр шидсэн гогцоог чангалж чадахгүй - энэ нь түүний ирмэгийг сайтар ороож болно. цааш явахгүй байх болно).
Тиймээс, (дашрамд хэлэхэд, маш үнэмшилтэй) бидний жинхэнэ гурван хэмжээст орчлон ертөнц 1. хаалттай ("хана-ирмэггүй") 2. зүгээр л холбогдсон (ямар ч лассо нэг цэгт татагддаг) - дараа нь Пуанкаре шинж чанартай гэж үзье. Энэ тохиолдолд энэ нь заавал гурван хэмжээст бөмбөрцөг эсвэл ГЯГТСАН гурван хэмжээст бөмбөрцөг байх ёстой гэж санал болгов (жишээлбэл, манай дэлхий төгс бөмбөрцөг биш, харин туйлдаа бага зэрэг хавтгайрсан байдаг шиг).
Мэдээжийн хэрэг, Пуанкарегийн мэдэгдэл хийсвэр гурван хэмжээст олон талт зүйлд хамаатай бөгөөд манай Орчлон ертөнц зүгээр л нэг дүрслэл юм. (Манай дэлхий ойролцоогоор бөмбөгний дүрслэл байж чаддаг шиг эртний Грекчүүдийн үеэс математикчид хамгийн тохиромжтой объектуудын тухай өгүүлбэрүүдийг нотолж ирсэн - хамгийн тохиромжтой шулуун шугам, тойрог, бөмбөлөг - тэдгээр нь бодит байгальд байдаггүй. Энэ нь Платоныг идеалист ертөнцийн идеалист гүн ухааныг бий болгоход түлхэц өгсөн. бодит объектууд- тэдний гажсан сүүдэр шиг).
Манай орчлон ертөнц ямар хэлбэртэй вэ?
Перелманы нотолгоо нь орчлон ертөнцийг яг ижил гурван хэмжээст бөмбөрцөг гэж маш үндэслэлтэй таамаглах боломжийг бидэнд олгодог.
Хэрэв орчлон ертөнц бол нэг цэг хүртэл агшиж болох цорын ганц "дүрс" юм бол түүнийг цэгээс сунгаж болно.
Энэ нь онолын шууд бус баталгаа болж өгдөг том тэсрэлт, үүнд: Орчлон ертөнц яг энэ үеэс үүссэн.
Перелман Пуанкарегийн хамт орчлон ертөнцийн тэнгэрлэг эхлэлийг дэмжигчид гэж нэрлэгддэг креационистуудыг бухимдуулсан нь харагдаж байна. Товчхондоо: бүтээгч-бурхан гэж байдаггүй.
Мөн тэд материалист физикчдийн тээрэм рүү чулуу асгав.
Энэ нь надад илүү тодорхой болсон.
Мөн үл мэдэгдэх аймшигт хязгааргүй байдал арилав.
5.2.1 Эллипсоид
\[ \frac(x^2)(a^2)+\frac(z^2)(c^2)-ийн эргэлтийн үр дүнд үүссэн гадаргуугийн эргэлтийн эллипсоидыг бичье. $z$ тэнхлэгийн эргэн тойронд =1 \]. (40)-ын дагуу харгалзах тэгшитгэлийг $x \rightarrow \sqrt(x^2+y^2)$: \begin(equation) \frac(x^2+y^2)(a)-ийг орлуулах замаар олно. ^2) +\frac(z^2)(c^2)=1. (41) \label(ellipsd1) \end(equation) $a,\,c$ утгуудын харьцаанаас хамааран бид хэд хэдэн утгыг авна. өөр төрөлгадаргуу. $a>c$ үед гадаргууг хувьсгалын шахсан эллипсоид гэж нэрлэдэг бол $a үед.
Зураг 17: Хувьсгалын шахсан эллипсоид.
Зураг 18: Хувьсгалын пролат эллипсоид.
$y$ координатыг сунгавал \begin(equation) \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)+\frac ерөнхий эллипсоидын тэгшитгэлийг авна. (z^2 )(c^2)=1. (42) \label(ellipsd11) \end(equation) Хэрэв бид гадаргуугийн огтлолыг $z$ тэнхлэгтэй параллель хавтгайгаар оруулбал (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлд $z=z_0$ утгыг тогтоовол) эллипсоидын хувьд. хувьсгалаас бид тойрог олж авдаг ($ |z_0| c$ хавтгай ба эллипсоид огтлолцохгүй).
1. Эллипсоидын параметрийн тайлбарыг бич.
5.2.2 Гиперболоидууд
$(x,z)$ координат дахь гиперболын тэгшитгэлийг \[ \frac(z^2)(c^2)-\frac(x^2)(a^2)=1 хэлбэрээр бичье. \] ба $z$ тэнхлэгийн эргэн тойронд энэ муруйг эргүүлсний үр дүнг авч үзье. Энэ тохиолдолд бид эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын тэгшитгэлийг олж авна: \[ \frac(z^2)(c^2)-\frac(x^2+y^2)(a^2)=1 , \]
Зураг 19: Хувьсгалын нэг хуудас гиперболоид.
зургийг үзнэ үү. 19. Энэ бол хязгааргүй гадаргуу бөгөөд холбогдсон (өөрөөр хэлбэл тогтсон цэгээс та гадаргууг орхихгүйгээр бусад газарт хүрч болно). Түүний $x=const, \, y=const$ гэсэн хавтгайн хэсгүүд нь гипербол, $z=const$ хавтгайн хэсгүүд нь тойрог юм. Хэрэв бид \[ \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1, \] гиперболыг тойрон эргүүлсний үр дүнг авч үзвэл өөр гадаргуу гарч ирнэ. $z$ тэнхлэгт харгалзах гадаргууг эргэлтийн хоёр хуудас гиперболоид гэж нэрлэдэг. Түүний тэгшитгэлийг бичье: \[ \frac(x^2+y^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1. \] Энэ нь бас хязгааргүй гадаргуу боловч энэ нь "хоёр хэсэг"-ээс бүрддэг, зургийг үз. 19
Зураг 20: Хувьсгалын давхар хуудас гиперболоид.
Түүний $x=const, \, y=const$ гэсэн хавтгайн хэсгүүд нь гипербол, $z=const$ хавтгайн хэсгүүд нь (хэсгүүд байгаа $const$ утгуудын хувьд) тойрог юм. Гиперболоидын хязгаарлах тохиолдол нь дугуй конус- хос шулуун шугамын $z$ тэнхлэгийг тойрон эргүүлсний үр дүн \[ \frac(x^2)(a^2)=\frac(z^2)(c^2), \] Зураг. \ref(konus). Энэ гадаргуугийн тэгшитгэлийг \[ \frac(x^2+y^2)(a^2)=\frac(z^2)(c^2) стандарт процедурын үр дүнд олж авна. \]
Зураг 21: Дугуй хэлбэртэй конус.
Энэ гадаргуугийн $x=const \neq 0, \, y=const \neq 0$ хавтгайгаар зүссэн хэсгүүд нь гипербол, $z=const \neq 0$ хавтгайн хэсгүүд нь тойрог юм. $x=0$, $y=0$ хавтгайн зүсэлтүүд нь огтлолцсон хос шулуунууд, хавтгайд $z=0$ нь цэг юм. Мэдээжийн хэрэг, координатын суналтын тусламжтайгаар хувьсгалын гадаргууг илүү ерөнхий болгон хувиргаж болох бөгөөд бид энд ярихгүй.
1. Дугуй конусын параметрийн тайлбарыг бич.
5.2.3 Параболоидууд
Хэрэв бид $x^2=2pz$ параболыг $z$ тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлсний үр дүнг авч үзвэл \[ x^2+y^2=2pz эргэлтийн параболоидыг олж авна, \] Зураг. 22. 
будаа. 22: Хувьсгалын параболоид.
$x$ ба $y$ тэнхлэгүүдийг сунгаснаар \[ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=2z эллипс параболоидыг олж авна. \] Энэ гадаргуугийн $x=const, \, y=const$ хавтгайн зүсэлтүүд нь парабол, $z=const>0$ хавтгайн зүсэлтүүд нь эллипс юм. Хэрэв сүүлийн тэгшитгэлд бид хоёр дахь гишүүний тэмдгийг өөрчилвөл бид гиперболын параболоид \[ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=2z, \ болно. ] зургийг үзнэ үү. 23.
будаа. 23: Гиперболын параболоид.
Энэ гадаргууг гэж нэрлэгддэг зүйлийг тодорхойлоход ашигладаг. "эмээл" цэгүүд. Түүний $x=const, \, y=const$ хавтгайн хэсгүүд нь парабол, $z=const \neq 0$ хавтгайн хэсгүүд нь гипербол, $z=0$ хавтгайд огтлолцсон хос шулуун шугамууд юм.
1. \[ \frac(x^2)(16)+\frac(y^2)(12)+\frac(z^2)(4)=1 \] гадаргуугийн огтлолцлын цэгүүдийг ол. мөр \[ \frac (x-4)(2)=\frac(y+6)(-3)=\frac(z+2)(-2). \] 2. $(6,2,8)$ цэгийг дайран өнгөрч, бүхэлдээ \[ \frac(x^2)(9)+\frac(y^2)(4)-\frac( гадаргуу дээр хэвтэж байгаа шугамуудыг ол. z ^2)(16)=1. \] 3. $(5,1,2)$ цэгээр \[ \frac(x^2)(9)+\frac(y^2)(4)-\frac гадаргуутай огтлолцох шулуун шугамыг зур. (z^ 2)(1)=1. \] зөвхөн нэг удаа. 4. Гадаргуугийн диаметрийг \[ \frac(x^2)(27)+\frac(y^2)(2)-\frac(z^2)(9)=1 \]-ээр дамжин өнгөрөх уртыг тооцоол. цэг $(4 , -8/9, 8/3)$. 5. $(2,1,-1)$ цэгээр дамжуулан дараах гадаргуугийн хөвчийг зурна \[ \frac(x^2)(25)+\frac(y^2)(16)+\frac(z^2) )( 9)=1, \] нь энэ үед хагаст хуваагдана. 6. Эхийг дайран өнгөрч, гадаргуу дээр бүхэлдээ хэвтэж байгаа шугамуудыг олоорой $y^2+3xy+2yz-zx+3x+2y=0$. 7. $2x^2+10y^2-2z^2+12xy+8yz+12x+4y+8z-1=0$ гадаргууг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул.
Сергей Дужин, физик, математикийн ухааны доктор. Шинжлэх ухаан, Санкт-Петербург дахь салбарын ахлах эрдэм шинжилгээний ажилтан Математикийн хүрээлэн RAS
Цэвэр математикийн сүүлчийн том ололт бол 2002-2003 онд Санкт-Петербургийн оршин суугч Григорий Перелман 1904 онд дэвшүүлсэн Пуанкаре таамаглалыг нотолж, "холбогдсон, энгийн холбогдсон, хил хязгааргүй авсаархан гурван хэмжээст олон талт бүр нь юм" гэж хэлсэн байдаг. S^3 бөмбөрцөгт гомеоморф.”
Энэ хэллэгт хэд хэдэн нэр томъёо байгаа тул би тайлбарлахыг хичээх болно ерөнхий утгаМатематикч бус хүмүүст ойлгомжтой болсон (Уншигч дуусгасан гэж бодож байна ахлах сургуульболон зарим нь сургуулийн математикодоо ч санаж байна).
Топологийн төвд байдаг гомеоморфизмын тухай ойлголтоос эхэлье. Ерөнхийдөө топологийг ихэвчлэн "резинэн геометр" гэж тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл, гөлгөр хэв гажилтын үед завсарлага, наалтгүйгээр өөрчлөгддөггүй геометрийн дүрсийн шинж чанаруудын шинжлэх ухаан гэж тодорхойлдог. -хоёр объектын хоорондох нэг ба харилцан тасралтгүй захидал харилцаа .
Гол санаатайлбарлах хамгийн хялбар арга сонгодог жишээаяга, уут. Эхнийх нь тасралтгүй хэв гажилтаар хоёр дахь болж хувирч болно.
Эдгээр тоонууд нь аяга нь гурилан бүтээгдэхүүний хувьд гомеоморф болохыг тодорхой харуулж байгаа бөгөөд энэ баримт нь тэдгээрийн гадаргуу (торус гэж нэрлэгддэг хоёр хэмжээст олон талт) болон дүүрсэн биетүүдийн хувьд (ирмэгтэй гурван хэмжээст олон талт) хоёуланд нь үнэн юм.
Таамаглалыг боловсруулахад үлдсэн нэр томъёоны тайлбарыг өгье.
- Ирмэггүй гурван хэмжээст олон талт.Энэ бол цэг бүр нь гурван хэмжээст бөмбөг хэлбэртэй хөрштэй байдаг геометрийн объект юм. 3-олон талтуудын жишээнд, нэгдүгээрт, R^3 гэж тэмдэглэгдсэн гурван хэмжээст орон зай, түүнчлэн дурын орон зай орно. нээлттэй багц R^3 дахь цэгүүд, жишээлбэл, хатуу торус (пончик) -ийн дотоод хэсэг. Хэрэв бид хаалттай хатуу торусыг авч үзвэл, өөрөөр хэлбэл түүний хилийн цэгүүдийг (torus-ийн гадаргуу) нэмбэл бид ирмэг бүхий олон талт хэсгийг олж авдаг - ирмэгийн цэгүүд нь бөмбөг хэлбэртэй хөршүүдтэй байдаггүй, гэхдээ зөвхөн хэлбэрээр байдаг. хагас бөмбөг.
- Холбогдсон.Энд байгаа холболтын тухай ойлголт нь хамгийн энгийн зүйл юм. Олон талт утас нь нэг хэсгээс бүрдэх юм уу аль ч хоёр цэг нь хил хязгаараас нь гарахгүй үргэлжилсэн шугамаар холбогдож байвал холбогдсон байна.
- Зүгээр л холбогдсон.Энгийн холболтын тухай ойлголт нь илүү төвөгтэй байдаг. Энэ нь өгөгдсөн олон талт дотор бүхэлдээ байрлах аливаа тасралтгүй хаалттай муруйг энэ олон талт талбараас гарахгүйгээр цэг хүртэл жигд агшиж болно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, R^3 дахь энгийн хоёр хэмжээст бөмбөрцөгийг зүгээр л холбодог (алимны гадаргуу дээр ямар нэгэн байдлаар байрлуулсан резинэн туузыг алимны резинийг таслахгүйгээр гөлгөр хэв гажилтаар нэг цэг хүртэл жигд татах боломжтой). ). Нөгөөтэйгүүр, тойрог ба торус нь зүгээр л холбогддоггүй.
- Компакт.Гомеоморф дүрсийн аль нэг нь байвал олон талт авсаархан байна хязгаарлагдмал хэмжээтэй. Жишээ нь, шугам дээрх нээлттэй интервал (хэсгүүдийн төгсгөлөөс бусад бүх цэгүүд) нь хязгааргүй шугам хүртэл тасралтгүй үргэлжлэх боломжтой тул нягт биш юм. Гэхдээ битүү сегмент (төгсгөлүүдтэй) нь хил хязгаартай авсаархан олон талт хэсэг юм: аливаа тасралтгүй хэв гажилтын хувьд төгсгөлүүд нь зарим тодорхой цэгүүдэд очдог бөгөөд бүх сегмент нь эдгээр цэгүүдийг холбосон хязгаарлагдмал муруй руу орох ёстой.
Олон талт хэсгийн хэмжээ- энэ нь үүн дээр "амьдрах" цэг дэх эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо юм. Цэг бүр нь харгалзах хэмжээсийн диск хэлбэртэй хөрштэй, өөрөөр хэлбэл нэг хэмжээст тохиолдолд шугамын интервал, хоёр хэмжээст хавтгай дээрх тойрог, гурван хэмжээст бөмбөг гэх мэт. Цэгээс топологийн үүднээс авч үзвэл ирмэггүй нэг хэмжээст холбогдсон олон талт хоёр л байдаг: шугам ба тойрог. Эдгээрээс зөвхөн тойрог нь авсаархан байна.
Олон талт бус орон зайн жишээ бол жишээлбэл, огтлолцсон хос шугам юм - эцсийн эцэст, хоёр шугамын огтлолцлын цэг дээр ямар ч хороололд загалмай хэлбэртэй байдаг, түүнд ийм хөрш байдаггүй. өөрөө зүгээр л интервал байх (мөн бусад бүх цэгүүд ийм хөрштэй байдаг). Ийм тохиолдолд математикчид бид нэг онцгой цэгтэй тусгай сорттой харьцаж байна гэж хэлдэг.
Хоёр хэмжээст авсаархан олон талт төхөөрөмжүүдийг сайн мэддэг. Хэрэв бид зөвхөн чиг баримжаатай гэж үзвэл ( Орон зай хомс байгаа тул би чиглүүлэх боломжгүй олон талтуудын талаар ярихгүй бөгөөд үүний жишээ бол алдартай Клейн сав юм - огтлолцолгүйгээр огторгуйд суулгах боломжгүй гадаргуу юм.) хил хязгааргүй олон талт, дараа нь топологийн үүднээс тэд хязгааргүй ч гэсэн энгийн жагсаалт үүсгэдэг: гэх мэт. Ийм олон талт бүрийг хэд хэдэн бариулыг наах замаар бөмбөрцөгөөс гаргаж авдаг бөгөөд тэдгээрийн тоог гадаргуугийн төрөл гэж нэрлэдэг.
Зураг дээр 0, 1, 2, 3 төрлийн гадаргууг харуулж байна. Энэ жагсаалтад байгаа бүх гадаргуугаас бөмбөрцөг юугаараа онцлог вэ? Энэ нь зүгээр л холбогдсон байна: бөмбөрцөг дээр ямар ч битүү муруй нь цэг хүртэл агшиж болох боловч өөр ямар ч гадаргуу дээр гадаргуугийн дагуух цэг хүртэл агших боломжгүй муруйг үргэлж зааж өгч болно.
Хил хязгааргүй гурван хэмжээст авсаархан олон талт утсыг тодорхой нэг жагсаалтад багтааж ангилж болох нь сонин байна. хоёр хэмжээст хэрэг, мөн хангалттай нарийн төвөгтэй бүтэц. Гэсэн хэдий ч, 3D бөмбөрцөг S^3 нь дээрх жагсаалтад байгаа 2D бөмбөрцөгтэй адил энэ жагсаалтад тод харагдаж байна. S ^ 3 дээрх аливаа муруй нь нэг цэг хүртэл хумигддаг нь хоёр хэмжээст тохиолдлын адил энгийн нотлогддог. Харин эсрэг заалт, тухайлбал, энэ шинж чанар нь бөмбөрцөгт тусгайлан онцгой шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл, бусад гурван хэмжээст олон талт дээр агшихгүй муруй байдаг гэсэн үг нь маш хэцүү бөгөөд бидний ярьж буй Пуанкаре таамаглалын агуулгыг яг бүрдүүлдэг. .
Олон талт байдал нь бие даан амьдрах чадвартай гэдгийг ойлгох нь чухал бөгөөд үүнийг хаана ч ороогүй бие даасан объект гэж үзэж болно. (Ердийн бөмбөрцгийн гадаргуу дээр гуравдагч хэмжээст байгааг мэдэхгүй хоёр хэмжээст амьтад шиг амьдарч байна гэж төсөөлөөд үз дээ.) Аз болоход дээрх жагсаалтад байгаа бүх хоёр хэмжээст гадаргууг энгийн R^3 орон зайд байрлуулж болно. тэдгээрийг төсөөлөхөд илүү хялбар байдаг. Гурван хэмжээст бөмбөрцөг S ^ 3 (ерөнхийдөө хил хязгааргүй авсаархан гурван хэмжээст олон талт хувьд) энэ нь цаашид байхаа больсон тул түүний бүтцийг ойлгоход бага зэрэг хүчин чармайлт шаардагдана.
бололтой хамгийн энгийн аргаГурван хэмжээст бөмбөрцгийн топологийн бүтцийг тайлбарлахын тулд S ^ 3 нь нэг цэгийн нягтаршлын тусламжтайгаар юм. Тодруулбал, гурван хэмжээст бөмбөрцөг S ^ 3 нь энгийн гурван хэмжээст (хязгааргүй) R ^ 3 орон зайн нэг цэгийн нягтаршил юм.
Эхлээд энэ бүтцийг тайлбарлая энгийн жишээнүүд. Энгийн хязгааргүй шулуун шугамыг (орон зайн нэг хэмжээст аналог) аваад, шулуун шугамын дагуу баруун эсвэл зүүн тийш шилжихдээ эцэст нь энэ цэгт хүрнэ гэж үзээд түүнд нэг "хязгааргүй алслагдсан" цэгийг нэмье. Топологийн үүднээс авч үзвэл хязгааргүй шугам ба хязгаарлагдмал нээлттэй шугамын сегмент (төгсгөлийн цэггүй) хооронд ямар ч ялгаа байхгүй. Ийм сегментийг нуман хэлбэрээр тасралтгүй нугалж, нэгтгэж болно ойрхон төгсгөлүүдмөн дутуу цэгийг холбоос руу наа. Бид мэдээж тойрог авах болно - бөмбөрцгийн нэг хэмжээст аналог.
Үүнтэй адилаар, хэрэв би авбал хязгааргүй хавтгайЯмар ч чиглэлд өнгөрч буй анхны хавтгайн бүх шулуун шугамууд чиглэдэг хязгааргүйд нэг цэгийг нэмбэл хоёр хэмжээст (ердийн) бөмбөрцөг S ^ 2 гарч ирнэ. Энэ процедурыг стереографийн проекц ашиглан ажиглаж болно, үүнийг эс тооцвол бөмбөрцгийн P цэг бүрийн хувьд. хойд туйл N, P хавтгай дээрх тодорхой цэгийг холбодог."
Тиймээс нэг цэггүй бөмбөрцөг нь топологийн хувьд хавтгайтай ижил бөгөөд цэгийг нэмбэл хавтгай нь бөмбөрцөг болж хувирдаг.
Зарчмын хувьд яг ижил бүтэц нь гурван хэмжээст бөмбөрцөг, гурван хэмжээст орон зайд хамаарах бөгөөд үүнийг хэрэгжүүлэхийн тулд зөвхөн дөрөв дэх хэмжээсийг оруулах шаардлагатай бөгөөд үүнийг зураг дээр дүрслэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тиймээс би өөрийгөө хязгаарлах болно аман тайлбар R^3 зайг нэг цэгээр нягтруулах.
Бидний физик орон зайд (бид Ньютоныг дагаж, x, y, z гурван координаттай, хязгааргүй Евклидийн орон зай гэж үздэг) нэг "хязгааргүй" цэгийг шулуун шугамаар хөдөлгөх үед ямар ч чиглэлд нэмж оруулдаг гэж төсөөлөөд үз дээ. та тийшээ очих чиглэл (өөрөөр хэлбэл орон зайн шугам бүр тойрог болж хаагдана). Дараа нь бид авсаархан гурван хэмжээст олон талт хэсгийг авдаг бөгөөд энэ нь тодорхойлолтоор S ^ 3 бөмбөрцөг юм.
S^3 бөмбөрцөг нь зүгээр л холбогдсон гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Үнэн хэрэгтээ энэ бөмбөрцөг дээрх ямар ч хаалттай муруйг бага зэрэг шилжүүлж болох бөгөөд ингэснээр нэмэлт цэгээр дамжин өнгөрөхгүй. Дараа нь бид энгийн R ^ 3 орон зайд муруйг олж авдаг бөгөөд энэ нь гомотетиар дамжуулан цэг хүртэл амархан агшиж, өөрөөр хэлбэл бүх гурван чиглэлд тасралтгүй шахагдана.
S ^ 3 сорт хэрхэн бүтэцтэй болохыг ойлгохын тулд түүнийг хоёр хатуу тори болгон хуваахыг авч үзэх нь маш сургамжтай юм. Хэрэв бид R ^ 3 орон зайнаас хатуу торусыг арилгах юм бол тийм ч тодорхой бус зүйл үлдэх болно. Хэрэв орон зай бөмбөрцөг болж нягтарвал энэ нэмэлт нь хатуу торус болж хувирдаг. Өөрөөр хэлбэл, S3 бөмбөрцөг нь хоёр хатуу торид хуваагдана нийтлэг хил- торус
Та үүнийг хэрхэн ойлгохыг эндээс үзнэ үү. Торусыг ердийнхөөрөө R^3-д дугуй гурилан бүтээгдэхүүн хэлбэрээр оруулаад босоо шугамыг зуръя - энэ гурилан бүтээгдэхүүний эргэлтийн тэнхлэг. Зурагт үзүүлсэн хоёр тойргийн дагуу тэнхлэгийн дагуу дурын хавтгайг зуръя ногоон, мөн онгоцны нэмэлт хэсэг нь улаан дугуйлангийн тасралтгүй гэр бүлд хуваагдана. Үүнд төв тэнхлэгийг илүү зоримог тодруулсан, учир нь S ^ 3 бөмбөрцөгт шулуун шугам нь тойрог болж хаагддаг. Энэхүү хоёр хэмжээст зургаас тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх замаар гурван хэмжээст зургийг гаргаж авдаг. Бүрэн багцЭргүүлсэн тойргийн тоо үүнийг бөглөнө гурван хэмжээст бие, гомеоморф нь хатуу торустай боловч ер бусын харагддаг.
Үнэн хэрэгтээ төв тэнхлэг нь тэнхлэгийн тойрог байх бөгөөд үлдсэн хэсэг нь ердийн хатуу торусыг бүрдүүлдэг параллелуудын үүрэг гүйцэтгэх болно.
Гурван бөмбөрцөгтэй харьцуулах зүйлтэй байхын тулд би авсаархан 3 олон талт, тухайлбал гурван хэмжээст торусын өөр жишээг өгөх болно. Гурван хэмжээст торусыг дараах байдлаар барьж болно. Эхлэх материал болгон энгийн гурван хэмжээст шоо авч үзье.
Энэ нь зүүн ба баруун, дээд ба доод, урд ба хойд гэсэн гурван хос ирмэгтэй. Зэрэгцээ нүүр царай бүрт бид кубын ирмэгийн дагуу шилжүүлснээр бие биенээсээ олж авсан цэгүүдийг хосоор нь тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл, бид (цэвэр хийсвэр байдлаар, физик хэв гажилтыг ашиглахгүйгээр) жишээлбэл, А ба А" нь ижил цэг, В ба В" нь бас нэг цэг боловч А цэгээс ялгаатай гэж үзэх болно. дотоод цэгүүдбид кубыг ердийнхөөрөө авч үзэх болно. Шоо нь өөрөө ирмэгтэй олон талт хэлбэртэй боловч наалт хийсний дараа ирмэг нь өөрөө хаагдаж алга болдог. Үнэн хэрэгтээ, шоо дахь А ба А цэгүүдийн хөршүүд (тэдгээр нь зүүн, баруун сүүдэртэй нүүрэн дээр байрладаг) нь бөмбөлгүүдийн хагас бөгөөд тэдгээр нь нүүрээ наалдсаны дараа бүхэл бүтэн бөмбөлөг болж нийлдэг. гурван хэмжээст торусын харгалзах цэг.
Физик орон зайн талаархи өдөр тутмын санаан дээр үндэслэн 3-torus-ийн бүтцийг мэдрэхийн тулд та урагш, зүүн, дээш гэсэн гурван перпендикуляр чиглэлийг сонгох хэрэгтэй. уран зөгнөлт түүхүүд, эдгээр чиглэлүүдийн аль нэгэнд шилжих үед нэлээд урт байдаг, гэхдээ дуусах цаг, бид эхлэх цэг рүү буцах болно, гэхдээ хамт эсрэг чиглэл. Энэ нь мөн "орон зайг нягтруулах" боловч өмнө нь бөмбөрцөг бүтээхэд ашигладаг байсан нэг цэг биш, харин илүү төвөгтэй юм.
Гурван хэмжээст торус дээр агших боломжгүй замууд байдаг; жишээлбэл, энэ нь зураг дээрх AA сегмент юм (torus дээр энэ нь хаалттай замыг илэрхийлдэг). Энэ нь агших боломжгүй, учир нь ямар ч тасралтгүй хэв гажилтын хувьд А ба А" цэгүүд нь нүүрний дагуу хөдөлж, бие биенийхээ эсрэг талд байх ёстой ( эс бөгөөс муруй нээгдэнэ).
Тиймээс бид энгийн холбогдсон ба энгийн холболтгүй авсаархан 3-олон талбарууд байгааг харж байна. Перелман энгийн холбогдсон олон талт нь яг нэг гэдгийг нотолсон.
Баталгаажуулах анхны санаа нь "Ricci урсгал" гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах явдал юм: бид зүгээр л холбосон авсаархан 3-олон талбарыг авч, дурын геометрээр (өөрөөр хэлбэл зай, өнцөг бүхий зарим хэмжигдэхүүнийг оруулаад) оруулдаг. Риччи урсгалын дагуух хувьслыг авч үзье. 1981 онд энэ санааг дэвшүүлсэн Ричард Хамилтон энэхүү хувьсал нь бидний олон янз байдлыг бөмбөрцөг болгон хувиргана гэж найдаж байсан. Энэ нь үнэн биш болох нь тогтоогдсон - гурван хэмжээст тохиолдолд Ricci урсгал нь олон талт хэсгийг сүйтгэх чадвартай, өөрөөр хэлбэл олон талт бус болгох чадвартай (дээрх огтлолцсон шугамын жишээн дээрх цорын ганц цэгтэй зүйл) . Перелман техникийн гайхалтай бэрхшээлийг даван туулж, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн хүнд төхөөрөмжийг ашиглан Риччи урсгалын ойролцоо засвар хийж чаджээ. ганц бие цэгүүдИйм байдлаар хувьслын явцад олон талт топологи өөрчлөгддөггүй, тусгай цэгүүд үүсдэггүй бөгөөд эцэст нь дугуй бөмбөрцөг болж хувирдаг. Гэхдээ бид эцэст нь энэ Ricci урсгал гэж юу болохыг тайлбарлах ёстой. Хамилтон, Перелман нарын ашигласан урсгалууд нь хийсвэр олон талт талбар дээрх дотоод хэмжигдэхүүн дэх өөрчлөлтийг хэлдэг бөгөөд үүнийг тайлбарлахад нэлээд хэцүү тул би хавтгайд суулгагдсан нэг хэмжээст олон талт дээрх "гадаад" Риччи урсгалыг тайлбарлахаар хязгаарлах болно.
Евклидийн хавтгай дээр гөлгөр битүү муруйг төсөөлж, түүн дээрх чиглэлийг сонгож, цэг бүрт нэгж урттай шүргэгч векторыг авч үзье. Дараа нь сонгосон чиглэлд муруйг туулахдаа энэ вектор заримтай нь эргэлдэнэ өнцгийн хурд, үүнийг муруйлт гэж нэрлэдэг. Муруй нь эгц муруйсан газруудад муруйлт (б үнэмлэхүй үнэ цэнэ) илүү том байх ба гөлгөр бол муруйлт бага байх болно.
Хэрэв хурдны вектор нь бидний муруйн дагуу хоёр хэсэгт хуваагдсан онгоцны дотоод хэсэг рүү эргэвэл муруйлт эерэг, гадагш эргэвэл сөрөг гэж үзнэ. Энэ конвенц нь муруйг туулах чиглэлээс хамааралгүй юм. Эргэлтийн чиглэлийг өөрчилдөг гулзайлтын цэгүүдэд муруйлт нь 0 байна. Жишээлбэл, 1-р радиустай тойрог нь 1-ийн тогтмол эерэг муруйлттай байна (радианаар хэмжсэн бол).
Одоо шүргэгч векторуудын тухай мартаж, эсрэгээр нь муруйн цэг бүрт перпендикуляр, өгөгдсөн цэгийн муруйлттай тэнцүү урттай, муруйлт эерэг байвал дотогшоо чиглэсэн, сөрөг байвал гадагш чиглэсэн векторыг хавсаргая. , дараа нь цэг бүрийг урттай пропорциональ хурдтайгаар харгалзах векторын чиглэлд хөдөлгөнө. Энд нэг жишээ байна:
Хавтгай дээрх аливаа битүү муруй нь ийм хувьслын үед ижил төстэй байдлаар ажилладаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь эцэстээ тойрог болж хувирдаг. Энэ бол Риччи урсгалыг ашиглан Пуанкаре таамаглалын нэг хэмжээст аналогийн нотолгоо юм (гэхдээ мэдэгдэл нь өөрөө энэ тохиолдолдЭнэ нь ойлгомжтой, зөвхөн нотлох арга нь 3-р хэмжээстэд юу болж байгааг харуулж байна).
Перелманы үндэслэл нь зөвхөн Пуанкаре таамаглалыг төдийгүй Турстоны геометрийн илүү ерөнхий таамаглалыг нотолж байгааг дүгнэж үзье. тодорхой утгаараабүх ерөнхийдөө авсаархан гурван хэмжээст олон талтуудын бүтцийг дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ сэдэв нь энэхүү анхан шатны өгүүллийн хамрах хүрээнээс гадуур байна.
