Аксиоматик аргын мөн чанар
Евклид
П.Дирак
Хэрэв теоремыг баталж чадахгүй бол аксиом болно.
Математик нь үзэл баримтлал дээр суурилдаг. Үзэл баримтлалыг тодорхойлсон эсвэл тодорхойгүй байж болно. Доод тодорхойлолт тодорхой ойлголтын нарийн томъёололыг ойлгох. Математикийн үзэл баримтлалыг тодорхойлох нь энэ ойлголтыг бусад зүйлээс ялгах онцлог шинж чанар, шинж чанарыг илтгэнэ гэсэн үг юм. Тодорхойлох ердийн арга математикийн ойлголтҮүнд: 1) ойрын төрөл, өөрөөр хэлбэл тодорхойлсон ойлголт нь хамаарах илүү ерөнхий ойлголт; 2) зүйлийн ялгаа, өөрөөр хэлбэл тэдгээр онцлог шинж чанаруудэсвэл энэ тодорхой үзэл баримтлалд хамаарах шинж чанарууд.
Жишээ 1.Тодорхойлолт: "Дөрвөлжин бол бүх тал нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм." Хамгийн ойрын төрөл, өөрөөр хэлбэл илүү ерөнхий ойлголт нь тэгш өнцөгтийн тухай ойлголт бөгөөд тодорхой ялгаа нь квадратын бүх талууд тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн хувьд илүү ерөнхий ойлголт бол параллелограмм, параллелограммын хувьд дөрвөлжин, дөрвөлжингийн хувьд олон өнцөгт гэх мэт ойлголт юм. Гэхдээ энэ хэлхээ эцэс төгсгөлгүй биш юм.
Бусдаас өөрөөр тодорхойлох боломжгүй ойлголтууд байдаг ерөнхий ойлголтууд. Математикт тэдгээрийг нэрлэдэг үндсэн тодорхойгүй ойлголтууд . Үндсэн ойлголтуудын жишээ бол цэг, шулуун, хавтгай, зай, олонлог гэх мэт.
Үндсэн ойлголтуудын хоорондын холбоо, харилцааг аксиом ашиглан томъёолдог.
Аксиомнь өгөгдсөн онолд нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн математикийн санал юм.
Нэг юм уу өөр зүйл баригдсан аксиомын системд математикийн онол, тууштай байдал, бие даасан байдал, бүрэн бүтэн байдалд тавигдах шаардлагууд байдаг.
Аксиомын системийг нэрлэдэг тууштай , хэрэв үүнээс бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр өгүүлбэрийг нэгэн зэрэг гаргаж авах боломжгүй бол: А, үгүйА.
Аксиомын системийг нэрлэдэг бие даасан , хэрэв энэ системийн аксиомуудын аль нь ч энэ системийн бусад аксиомуудын үр дагавар биш бол.
Аксиомын системийг нэрлэдэг дүүрэн , хэрэв хоёр зүйлийн аль нэг нь заавал нотлох боломжтой бол: аль нэг нь мэдэгдэл А, эсвэл үгүйА.
Аксиомын жагсаалтад ороогүй саналыг батлах ёстой. Ийм санал гэж нэрлэдэг теорем .
Теоремнь нотолгоо гэж нэрлэгддэг сэтгэхүйн үйл явцаар үнэнийг нь тогтоодог математикийн санал юм.
Аксиом: "Ямар ч шулуун, энэ шулуунд хамаарах цэгүүд, түүнд хамаарахгүй цэгүүд байдаг."
Теорем: "Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн диагональууд огтлолцож, огтлолцлын цэгээр хуваагдсан бол энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болно."
Гол аргуудын нэг орчин үеийн математикбайна аксиоматик арга . Үүний мөн чанар нь дараах байдалтай байна.
1) барьж буй онолын үндсэн тодорхойгүй ойлголт, харилцааг жагсаасан (харилцааны жишээ: дагаж ..., ... хооронд худал хэлэх);
2) үндсэн ойлголт, тэдгээрийн хоорондын уялдаа холбоог илэрхийлдэг аксиомуудыг томъёолж, энэ онолд нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрсөн;
3) үндсэн ойлголт, үндсэн харилцаанд ороогүй өгүүлбэрийг тодорхойлсон байх;
4) аксиомын жагсаалтад ороогүй саналуудыг эдгээр аксиомууд болон өмнө нь батлагдсан саналууд дээр үндэслэн нотлох ёстой.
1.2 Евклидийн геометр - анхны байгалийн шинжлэх ухааны онол
Түүхийн тоймгеометрийн үндэслэл.болохоосоо өмнө геометр аксиоматик онол, эмпирик хөгжлийн урт замыг туулсан.
Геометрийн талаархи анхны мэдээллийг соёл иргэншил олж авсан Эртний Дорнод(Египет, Хятад, Энэтхэг) газар тариалангийн хөгжил, хязгаарлагдмал үржил шимт газар гэх мэт. Эдгээр оронд геометр нь эмпирик шинж чанартай байсан бөгөөд үүнийг шийдвэрлэх тусдаа "жор-дүрэм"-ийн багц байв. тодорхой ажлууд. МЭӨ 2-р мянганы үед аль хэдийн. Египетчүүд гурвалжны талбай, таслагдсан пирамидын эзэлхүүн, тойргийн талбайг хэрхэн зөв тооцоолохыг мэддэг байсан бол вавилончууд Пифагорын теоремыг мэддэг байв. Ямар ч нотлох баримт байхгүй, харин тооцоолох дүрэм байсан гэдгийг анхаарна уу.
Грекийн үеГеометрийн хөгжил 7-6-р зууны үеэс эхэлсэн. МЭӨ. Египетчүүдийн нөлөөн дор. Грекийн математикийн эцэг гэж тооцогддог алдартай философичФалес (МЭӨ 640-548). Талес, эс тэгвээс тэр математикийн сургуульэд хөрөнгийн нотолгоонд хамаарна тэгш өнцөгт гурвалжин, босоо өнцөг. Дараа нь геометр Эртний Грекорчин үеийн бараг бүх агуулгыг хамарсан үр дүн гарсан сургуулийн курсгеометр.
Пифагорын философийн сургууль (МЭӨ 570-471) гурвалжны өнцгийн нийлбэрийн тухай теоремыг нээж, Пифагорын теоремыг баталж, таван төрлийн тогтмол олон талт болон үл хэмжигдэх хэрчмүүд байдгийг тогтоожээ. Демокрит (МЭӨ 470-370) пирамид ба конусын эзэлхүүний тухай теоремуудыг нээсэн. Евдокс (МЭӨ 410-356) бүтээжээ геометрийн онолпропорц (жишээ нь пропорциональ тооны онол).
Менахмус, Аполлониус нар конус хэлбэрийн хэсгүүдийг судалжээ. Архимед (МЭӨ 289-212) бөмбөг болон бусад дүрсийн гадаргуугийн талбай, эзэлхүүнийг тооцоолох дүрмийг нээсэн. Мөн π тооны ойролцоо утгыг олсон.
Онцгой гавьяаЭртний Грекийн эрдэмтэд тэд геометрийн мэдлэгийг хатуу барих асуудлыг анх тавьж, үүнийг анхны ойролцоо байдлаар шийдсэн гэж үздэг. Асуудлыг Платон (МЭӨ 428-348) тавьсан. Аристотель (МЭӨ 384-322) - хамгийн агуу философич, үндэслэгч албан ёсны логик– геометрийг зөвхөн логикийн дүрэмд тулгуурлан нэг нэгнээсээ нөгөөг нь дагаж мөрддөг гинжин хэлхээ хэлбэрээр геометрийг бий болгох санааг тодорхой томъёололд хамааруулдаг. Грекийн олон эрдэмтэд (Гиппократ, Федиус) энэ асуудлыг шийдэхийг оролдсон.
Евклид (МЭӨ 330-275) - эртний хамгийн том геометр, Платоны сургуулийг төгссөн, Египетэд (Александри хотод) амьдарч байжээ. Түүний эмхэтгэсэн "Зарчмууд" нь эдгээр дээр гүйцэтгэсэн геометрийн зарчмуудыг системтэй танилцуулж өгдөг. шинжлэх ухааны түвшинОлон зууны турш геометрийн хичээл нь түүний бүтээл дээр тулгуурладаг байсан. “Зарчмууд” нь 13 номоос (бүлэг) бүрдэнэ.
I-VI - планиметр;
VII-IX – геометрийн дүрслэл дэх арифметик;
X - харьцуулшгүй сегментүүд;
ХI-ХII - стереометр.
Элементүүдэд геометрийн мэддэг бүх мэдээллийг оруулаагүй болно. Жишээлбэл, эдгээр номонд онол ороогүй болно конус хэсгүүд, өндөр эрэмбийн муруй.
Ном бүр түүн дээр гарч буй ойлголтуудын тодорхойлолтоос эхэлдэг. Жишээлбэл, I дэвтэрт 23 тодорхойлолт байдаг. Эхний дөрвөн ойлголтын тодорхойлолтыг энд оруулав.
1 Цэг нь ямар ч хэсэггүй зүйлийг хэлнэ.
2 Шугам нь өргөнгүй урт юм.
3 Шугамын хил хязгаар нь цэг юм.
Евклид нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн саналуудыг өгч, тэдгээрийг постулат болон аксиомд хуваадаг. Тэрээр таван постулат, долоон аксиомтой. Тэдгээрийн заримыг энд харуулав.
IV Тэгээд бүх тэгш өнцөгтүүд тэнцүү байна.
V Тиймээс шулуун шугам нь бусад хоёр шулуун шугамтай огтлолцохдоо тэдгээрийн нийлбэр нь хоёр шулуунаас бага байх дотоод нэг талт өнцөг үүсгэх үед эдгээр шулуун шугамууд нь энэ нийлбэр бага байх тал дээр огтлолцдог. хоёр шулуун шугамаас илүү.
Аксиомууд
Би тус тусдаа гурав дахь нь хоорондоо тэнцүү байна.
II Хэрэв бид тэнцүү гэж нэмэх юм бол бид тэнцүү болно.
VII Мөн хосолсон нь тэнцүү байна.
Евклид постулат ба аксиомын ялгааг заагаагүй. Одоо ч үгүй эцсийн шийдвэрэнэ асуулт.
Евклид Грекийн эрдэмтэд, ялангуяа Аристотель, i.e.-ийн шаардсан геометрийн онолыг тодорхойлсон. Теоремуудыг дараагийнх бүр нь зөвхөн өмнөх хувилбаруудын үндсэн дээр нотлогддог байхаар зохион байгуулдаг. Өөрөөр хэлбэл, Евклид геометрийн онолыг хөгжүүлдэг хатуу логикийн хувьд. Энэ бол Евклидийн шинжлэх ухаанд оруулсан түүхэн гавьяа юм.
Евклидийн "Элементүүд" нь математик болон бүх хүн төрөлхтний соёлын түүхэнд асар их үүрэг гүйцэтгэсэн. Эдгээр номууд нь 1482 оноос хойш дэлхийн бүх томоохон хэл рүү орчуулагдсан бөгөөд 500 орчим хэвлэлийг дамжуулсан.
Евклидийн системийн сул талууд.Орчин үеийн математикийн үүднээс авч үзвэл элементүүдийн танилцуулгыг төгс бус гэж үзэх ёстой. Энэ системийн гол сул талуудыг нэрлэе.
1) олон ухагдахуунууд нь эргээд тодорхойлогдох ёстой (жишээлбэл, 1-р бүлгийн 1-4-т өргөн, урт, хил гэсэн ойлголтуудыг ашигладаг бөгөөд тэдгээрийг мөн тодорхойлсон байх ёстой);
2) аксиом ба постулатын жагсаалт нь геометрийг хатуу логик аргаар бүтээхэд хангалтгүй. Жишээлбэл, энэ жагсаалтад дарааллын аксиом агуулаагүй бөгөөд үүнгүйгээр геометрийн олон теоремуудыг батлах боломжгүй; Гаусс энэ нөхцөл байдалд анхаарлаа хандуулсныг тэмдэглэе. Энэ жагсаалтад хөдөлгөөн (хослол) гэсэн ойлголт, хөдөлгөөний шинж чанарын тодорхойлолт байхгүй байна, i.e. хөдөлгөөний аксиомууд. Архимедийн аксиом (тасралтгүй байдлын хоёр аксиомын нэг) жагсаалтад бас байхгүй. чухал үүрэгсегментийн урт, дүрс, биетийн объектын талбайг хэмжих онолын хувьд. Үүнийг Евклидийн орчин үеийн Архимед анзаарсан гэдгийг анхаарна уу;
3) IV постулат нь илт илүүц бөгөөд үүнийг теоремоор баталж болно. Тав дахь постулатыг онцгойлон авч үзье. Элементүүдийн 1-р номонд эхний 28 санааг тав дахь постулатыг эс тооцвол нотлогдсон. Аксиом, постулатуудын жагсаалтыг багасгах оролдлого, ялангуяа V постулатыг теорем гэж батлах оролдлого нь Евклидийн үеэс хойш хийгдсэн. Прокл (МЭ 5-р зуун), Омар Хайям (1048-1123), Уоллис (17-р зуун), Сакери, Ламберт (18-р зуун), Лежендре (1752-1833) нар мөн V постулатыг теорем гэж батлахыг оролдсон. Тэдний нотлох баримтууд алдаатай байсан ч энэ нь үүнд хүргэсэн эерэг үр дүн- өөр хоёр геометрийн төрөлт (Риман, Лобачевский).
Евклидийн бус геометрийн системүүд.нээсэн Н.Лобачевский (1792-1856). шинэ геометр– Лобачевскийн геометр нь мөн В. постулатыг батлах оролдлогоор эхэлсэн.
Николай Иванович зөрчилдөөнийг олж авахын тулд өөрийн системийг "Зарчмууд" -ын хэмжээнд хүртэл боловсруулсан. Тэр үүнийг хүлээж аваагүй боловч 1826 онд тэрээр зөв дүгнэлт хийсэн: Евклидийн геометрээс өөр геометр байдаг.
Өнгөц харахад энэ дүгнэлт нь хангалттай үндэслэлгүй мэт санагдаж магадгүй: магадгүй үүнийг цааш нь хөгжүүлснээр зөрчилдөөн гарч ирж магадгүй юм. Гэхдээ ижил асуулт Евклидийн геометрт хамаарна. Өөрөөр хэлбэл, логик тууштай байдлын асуудалтай тулгарах үед геометрийн аль аль нь тэнцүү байна. Цаашдын судалгаагаар нэг геометрийн тууштай байдал нь нөгөө геометрийн тууштай байдлыг илэрхийлдэг болохыг харуулсан. логик системүүдийн тэгш байдал байдаг.
Лобачевский өөр геометр байдаг гэж дүгнэсэн анхны боловч цорын ганц хүн биш юм. Гаусс (1777-1855) энэ санааг аль 1816 онд хувийн захидалдаа илэрхийлсэн боловч албан ёсны хэвлэлд мэдэгдэл хийгээгүй.
Лобачевскийн үр дүнг нийтлэснээс хойш гурван жилийн дараа (1829 онд), өөрөөр хэлбэл. 1832 онд Унгарын Ж.Боляйн (1802-1860) бүтээл хэвлэгдэн гарсан бөгөөд тэрээр 1823 онд өөр геометрийн оршин тогтнох тухай дүгнэлтэд хүрсэн боловч Лобачевскийг бодвол хожуу, бага хөгжсөн хэлбэрээр нийтлэв. Тиймээс энэ геометр нь Лобачевскийн нэрийг авсан нь шударга юм.
Лобачевскийн геометрийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрөхөд Лобачевскийн дараа геометрийн ажил ихээхэн тус болсон. 1868 онд Италийн математикч Э.Бельтрами (1825-1900) Лобачевскийн геометр нь байнгын сөрөг муруйлттай (псевдосфер гэж нэрлэгддэг) гадаргуу дээр тогтдог болохыг баталжээ. Белтрамигийн тайлбар дээр үндэслэсэн Лобачевскийн геометрийн тууштай байдлын нотлох баримтын сул тал нь Д.Хилберт (1862-1943) харуулсанчлан бүрэн гадаргуушинж чанаргүй байнгын сөрөг муруйлт. Тиймээс тогтмол сөрөг муруйлттай гадаргуу дээр хавтгай Лобачевскийн геометрийн зөвхөн нэг хэсгийг л тайлбарлаж болно. Энэ дутагдлыг А.Пуанкаре (1854-1912), Ф.Клейн (1849-1925) нар арилгасан.
Лобачевскийн геометрийн тууштай байдлын нотолгоо нь нэгэн зэрэг тав дахь постулатын бусдаас хараат бус байдлын нотолгоо байв. Үнэн хэрэгтээ, хараат байдлын хувьд Лобачевскийн геометр нь хоорондоо зөрчилдсөн байх болно, учир нь энэ нь бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр мэдэгдлийг агуулсан болно.
Евклидийн геометрийн цаашдын судалгаа нь Евклидийн аксиом ба постулатын системийн бүрэн бус байдлыг харуулсан. Евклидийн аксиоматикийн судалгааг 1899 онд Гильберт хийж дуусгасан.
Хилбертийн аксиоматик нь таван бүлгээс бүрдэнэ.
Холболтын аксиомууд (харьяалах);
Захиалгын аксиомууд;
Тохиромжтой байдлын аксиомууд (тэгш байдал, давхцал);
Тасралтгүй байдлын аксиомууд;
Параллелизмын аксиом.
Эдгээр аксиомууд нь (нийтдээ 20 байдаг) цэг, шулуун, хавтгай гэсэн гурван төрлийн объект, түүнчлэн тэдгээрийн хоорондох "харьяалах", "хооронд орших", "тохирох" гэсэн гурван харилцааг илэрхийлдэг. Тодорхой утгацэг, шугам, хавтгай, харилцааг заагаагүй болно. Тэдгээрийг аксиомоор дамжуулан шууд бусаар тодорхойлдог. Үүний ачаар Хилбертийн аксиомууд дээр суурилсан геометр нь янз бүрийн тодорхой хэрэгжилтийг хийх боломжийг олгодог.
Жагсаалтад орсон аксиомууд дээр баригдсан геометрийн системийг нэрлэдэг Евклидийн геометр,Учир нь энэ нь Евклидийн элементүүдэд тайлбарласан геометртэй давхцдаг.
Евклидээс бусад геометрийн системийг нэрлэдэг Евклидийн бус геометр.дагуу ерөнхий онолХарьцангуй онолын хувьд огторгуйд аль нь ч, нөгөө нь ч туйлын үнэн зөв байдаггүй, гэхдээ жижиг масштабаар (дэлхийн хэмжээсүүд бас нэлээд "жижиг" байдаг) орон зайг дүрслэхэд тохиромжтой. Евклидийн томъёог практикт ашиглаж байгаа шалтгаан нь тэдний энгийн байдал юм.
Хилберт өөрийн аксиомын системийг иж бүрэн судалж үзээд арифметик нь зөрчилдөөнгүй бол (өөрөөр хэлбэл бодитой буюу гадаад нийцтэй байдал нь нотлогдвол) тууштай байдгийг харуулсан. Тэрээр геометрийг батлахын тулд геометрийн олон зуун жилийн судалгааг дуусгасан. Энэ бүтээлийг өндрөөр үнэлж, 1903 онд Лобачевскийн шагнал хүртжээ.
Евклидийн геометрийн орчин үеийн аксиоматик танилцуулгад Гильбертийн аксиомуудыг үргэлж ашигладаггүй: геометрийн сурах бичгүүдийг энэ аксиомын системийн янз бүрийн өөрчлөлтүүд дээр бүтээдэг.
20-р зуунд Лобачевскийн геометр нь зөвхөн биш гэдгийг олж мэдсэн чухалхийсвэр математикийн хувьд боломжит геометрийн нэг болохоос гадна математикийн хэрэглээтэй шууд холбоотой. Орон зай, цаг хугацааны хоорондын хамаарлыг А.Эйнштейн болон бусад эрдэмтэд нээсэн нь тогтоогдсон тусгай онолхарьцангуйн онол нь Лобачевскийн геометртэй шууд холбоотой.
"Стереометрийн үндэс" - Онгоц дээрх орон зайн дүрсийн зураг. Октаэдр. Орон зайн шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг. Хамтарсан инженерчлэл. Пирамид. Зэрэгцээ төсөөлөл хавтгай дүрсүүд. Додекаэдр. Бөмбөгний хэмжээ. Зэрэгцээ хавтгайн шинж тэмдэг. Орон зайн шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцөг. Пифагор. Стереометрийн үндсэн үзүүлэлтүүд.
“Сансар дахь хавтгай” - Коэффициент B=C=D=0. Орон зай дахь шулуун шугамын тэгшитгэл. 1. Ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ. 2. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл. Коэффициент A,B,Cтэгшитгэл нь хэвийн векторын координатыг тодорхойлно: Өгөгдсөн: цэг ба нормал вектор Хавтгайн тэгшитгэл: Координатын хавтгайнууд. 3. Зэрэгцээ шугамын нөхцөл. 4. Шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл.
"Хавтгай дээрх орон зайн дүрсүүд" - Проекцийн арга. Төвийн төсөөлөл. Зэрэгцээ ба огтлолцох шугамууд нь нийтлэг цэгүүдтэй байдаггүй. Даалгаврууд. Сүүдрийн тоглоом. Хоёр хавтгай хоёр зэрэгцээ шугамаар огтлолцдог. Жерард Дезаргус. Зэрэгцээ төсөөлөл. Аксонометрийн проекц. Бие биентэйгээ өнцөг үүсгэдэг шулуун ба хавтгайн шинж чанар.
"Стереометрийн танилцуулга" - Стереометр -. Зураг. "Квант" сэтгүүл. Бие махбод. 6 тоглолтыг авч үзье. Сургуулийн геометр. Индианчуудын зөөврийн байрыг Типис гэдэг. Геометрийн мэдлэгөргөдөл гаргасан. Кроссворд. Арифметик. Онгоц. Үүнийг квадрат хэл рүү орчуулъя. Планиметр. Хичээлийг дүгнэж байна. Геометрийн мэдлэг тусалсан.
"Геометрийн аксиомууд" - Та зөвхөн нэг урттай сегментийг зурж болно. Цэгүүд. Янз бүрийн онгоцууд байдаг нийтлэг цэг. Практик ажил. Туршилтын хариултууд. Сегмент бүр тодорхой урттай байдаг. Хоёр өөр өөр онгоцууднийтлэг санаатай. Та хавтгай дээр хамгийн ихдээ нэг шулуун шугам зурж болно. -аас ямар ч хагас шугам дээр эхлэх цэгТа булангаа хажуу тийш нь тавьж болно.
"Стереометрийн сэдэв" - Пентаграм. Орчлон ертөнц. Стереометрийн үндсэн ойлголтууд. Түүхээс. Евклид. Стереометр. Та Пифагорын теоремыг санаж байна уу? Чиглэл. Пифагорын теорем. Харааны дүрслэл. Стереометрийн аксиомууд. Тодорхойлох боломжгүй ойлголтууд. Ердийн олон талт. Геометр. Стереометрийн шинжлэх ухааны ойлголт. Үл үзэгдэх тал.
Энэ сэдвээр нийт 15 илтгэл тавигдсан
Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчийг хамгийн их анхаарч үзээрэй ашигтай нөөцУчир нь
1. Планиметрийн үндсэн ойлголтууд
Яагаад бүх зүйл зураг дээр, үг хэллэггүй байдаг вэ? Үг хэрэгтэй юу? Эхэндээ тэд тийм ч шаардлагагүй юм шиг санагдаж байна. Мэдээжийн хэрэг математикчид бүх зүйлийг үгээр дүрслэхийг мэддэг бөгөөд та дараах онолын түвшинд ийм тайлбарыг олж болно, гэхдээ одоо зургаар үргэлжлүүлье.
Өөр юу гэж? Тийм ээ, бид сегмент, өнцгийг хэрхэн хэмжих талаар сурах хэрэгтэй.
Сегмент бүр урттай байдаг - энэ сегментэд хуваарилагдсан тоо (зарим шалтгааны улмаас ...). Уртыг ихэвчлэн хэмждэг ... захирагчаар, мэдээжийн хэрэг, сантиметр, миллиметр, метр, тэр ч байтугай километрээр хэмждэг.
Одоо өнцгийг хэмжиж байна. Зарим шалтгааны улмаас өнцгийг ихэвчлэн градусаар хэмждэг. Яагаад? Үүнд ямар нэг зүйл бий түүхэн шалтгаанууд, гэхдээ бид одоо түүхтэй харьцахгүй байна. Тиймээс бид дараах гэрээг зүгээр л зөв гэж үзэх хэрэгтэй болно.
Хөгжүүлсэн градусын өнцөгт.
Товчхондоо тэд бичдэг: . Энэ тохиолдолд мэдээжийн хэрэг, хэрэв та эвхээгүй өнцгийн аль хэсэг болохыг олж мэдвэл бусад бүх өнцгийн хэмжээг олох боломжтой. өгөгдсөн өнцөг. Өнцгийг хэмжих хэрэгслийг протектор гэж нэрлэдэг. Та түүнийг амьдралдаа нэгээс олон удаа харсан байх гэж бодож байна.
2. Өнцгийн тухай хоёр үндсэн баримт
I. Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр.
Энэ бол бүрэн байгалийн зүйл, тийм үү? Эцсийн эцэст, зэргэлдээх өнцөг нь нийлээд урвуу өнцгийг бүрдүүлдэг!
II. Босоо өнцөгтэнцүү байна.
Яагаад? Тэгээд хараарай:
Одоо юу гэж? Мэдээжийн хэрэг, үүнийг дагадаг. (Жишээ нь, эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь нь хасахад хангалттай. Гэхдээ ерөнхийдөө та зүгээр л зургийг харж болно).
Тэгш өнцгийн хэмжээ хэд вэ?
За, мэдээжийн хэрэг! Эцэст нь.
4. Хурц ба мохоо өнцөг.
Энэ бол үндсэндээ эхлэхийн тулд мэдэх ёстой бүх зүйл юм. Яагаад бид аксиомын талаар ганц ч үг хэлээгүй юм бэ?
Аксиомууд нь цэг ба шугамын талаархи анхны мэдэгдлүүд болох планиметрийн үндсэн объектуудтай ажиллах дүрэм юм. Эдгээр мэдэгдлүүд нь нотлогдоогүй үндэслэл болгон авсан болно.
Бид яагаад одоо болтол тэдгээрийг томъёолж, хэлэлцэхгүй байна вэ? Та харж байна уу, планиметрийн аксиомууд нь тодорхой утгаараа маш урт хугацаанд зөн совингийн хувьд тодорхой харилцааг дүрсэлдэг. математик хэл. Дассан хойноо аксиоматикийн талаар тодорхой ойлголттой байх шаардлагатай геометрийн ойлголтуудэрүүл саруул ухааны түвшинд. Дараа нь - тавтай морилно уу - аксиомуудын талаар нэлээд дэлгэрэнгүй хэлэлцүүлэг байна. Энэ хооронд Евклидийн үеэс өмнөх эртний Грекчүүд шиг ажиллахыг хичээгээрэй - зүгээр л ашиглан асуудлыг шийдээрэй. эрүүл ухаан. Би танд баталж байна, танд олон даалгавар хийх боломжтой болно!
ДУНДАЖ ТҮВШИН
Та өөрийгөө гэнэт өөр гариг дээр, эсвэл ... компьютер тоглоомд орлоо гэж төсөөлөөд үз дээ.
Таны өмнө үл мэдэгдэх бүтээгдэхүүний багц байгаа бөгөөд таны даалгавар бол энэ багцаас аль болох олон амттай хоол бэлтгэх явдал юм. Танд юу хэрэгтэй вэ? Мэдээжийн хэрэг, дүрэм журам, заавар - тодорхой бүтээгдэхүүнээр юу хийж болох вэ. Хэрэв та гэнэт зөвхөн түүхийгээр нь иддэг зүйлээ чанаж, эсвэл эсрэгээр нь салатанд заавал буцалгаж, шарсан байвал яах вэ? Тиймээс, зааваргүйгээр - хаана ч байхгүй!
За, гэхдээ яагаад ийм танилцуулга хийх болов? Геометр үүнтэй ямар холбоотой вэ? Та харж байна уу, геометрийн бүх төрлийн дүрсүүдийн тухай маш олон мэдэгдэл бол бидний хоол хийж сурах ёстой маш олон "таваг" юм. Гэхдээ юунаас? Геометрийн үндсэн объектуудаас! Гэхдээ тэдгээрийг "ашиглах" зааврыг нэрлэдэг ухаалаг үгсээр "аксиомын систем".
Тиймээс, анхаарлаа хандуулаарай!
Планиметрийн үндсэн объект ба аксиомууд.
Цэг ба шугам
Эдгээр нь планиметрийн хамгийн чухал ойлголтууд юм. Математикчид эдгээрийг "тодорхойлох боломжгүй ойлголтууд" гэж хэлдэг. Яаж тэгэх вэ? Гэхдээ та хаа нэг газар эхлэх хэрэгтэй.
Одоо цэг, шугамтай харьцах анхны дүрэм. Математикийн эдгээр дүрмийг гэж нэрлэдэг "аксиомууд"- үндэс болгон авсан мэдэгдлүүд, үүнээс үндсэн бүх зүйлийг гаргаж авах болно (бид геометрийг "хоол хийх" том хоолны даалгавартай гэдгийг санаж байна уу?). Тиймээс, аксиомуудын эхний цувралыг нэрлэв
I. Харъяаллын аксиомууд.
Энэхүү аксиом нь дараах байдлаар зурах боломжийг танд олгоно.
Үүнтэй адил: хоёр цэг байсан:
Дараа нь шулуун шугам олдлоо:
Харин нөгөө нь тэгдэггүй!
Хэрэв энэ бүхэн танд хэтэрхий ойлгомжтой мэт санагдаж байвал та өөр гариг дээр байгаа бөгөөд объекттой юу хийхээ мэдэхгүй хэвээр байгаа гэдгээ санаарай. "цэг"Тэгээд "Чигээрээ".
Туяа, сегмент, өнцөг.
Одоо бид шугаман дээр цэг тавьж, цэгүүдээр шугам зурж сурсан тул эхний энгийн "таваг" -ыг аль хэдийн бэлтгэж болно. шугамын сегмент,булан.
1) туяа
Тэр энд байна,
2) CUT
Одоо бүх зүйлийг цэгцэлье. Дараагийн аксиомын цувралыг:
II. Захиалгын аксиомууд.
Одоо - дараагийн түвшин. Бидэнд заавар хэрэгтэй байна хэмжилтсегмент ба өнцөг. Эдгээр аксиомуудыг нэрлэдэг
III. Сегмент ба өнцгийн хэмжүүрийн аксиомууд.
Тэгээд одоо бол огт хачирхалтай.
IV. Өгөгдсөнтэй тэнцүү гурвалжин оршин тогтнох аксиомууд.
Энэ аксиомын хоёр үр дагавар илүү тодорхой байна:
За, сүүлчийнх нь домогт юм зэрэгцээ аксиом!
Гэхдээ эхлээд тодорхойлолт:
V. Зэрэгцээ байдлын аксиом.
За ингээд дууслаа Планиметрийн аксиомууд! Тэд хэтэрхий олон байна уу? Гэхдээ тэд бүгд хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэд тус бүрийн хувьд зальтай, зальтай үндэслэл байдаг бөгөөд хэрэв та энэ аксиомыг арилгах юм бол геометрийн байгууламж бүхэлдээ нурж унах болно гэдгийг харуулж байна! За, эсвэл бидний дассан зүйлээс тэс өөр зүйл үлдэх болно.
Одоо өнцгийн талаархи хоёр үндсэн баримт!
Зэргэлдээх болон босоо өнцөг.
Өнцөг үүсгэгч цацрагуудыг өнцгийн талууд гэж нэрлэдэг ба тэдгээрийн ерөнхий эхлэл- дээд
Энэ бол бүрэн энгийн теорем, Үнэн үү?
Эцэст нь нийтлэг тал зэргэлдээ булангуудзүгээр л шулуун өнцгийг хоёр өнцөгт хуваадаг тул (АНХААР: Аксиом 3.2 ажилладаг!)зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь задалсан хэмжээтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
Дүрслэхээс илүү зурах нь илүү хялбар байдаг - зургийг харна уу.
Энэ нь бас хялбар теорем юм. Үүнд итгэлтэй байна:
Хурц ба мохоо өнцөг.
ТОВЧ ТОДОРХОЙЛОЛТ, ҮНДСЭН Формулууд
Харъяаллын аксиомууд:
- Аксиом 1. Ямар ч шулуун энэ шулуунд хамаарах цэг, түүнд хамаарахгүй цэгүүд байдаг.
- Аксиом 2. Дурын хоёр цэгээр дамжуулан та шулуун шугам зурж болно, зөвхөн нэг.
Захиалгын аксиомууд:
- Аксиом 3. Шулуун дээрх гурван цэгийн нэг нь нөгөө хоёрын дунд оршдог.
- Аксиом 4. Хавтгайд байрлах шулуун шугам нь энэ хавтгайг хоёр хагас хавтгайд хуваана. Хэрэв сегментийн төгсгөлүүд нь ижил хагас хавтгайд хамаарах бол сегмент нь шугамыг огтлохгүй. Хэрэв сегментийн төгсгөлүүд өөр өөр хагас хавтгайд хамаарах бол сегмент нь шугамыг огтолно.
Сегмент ба өнцгийн хэмжүүрийн аксиомууд:
- Аксиом 5. Хэсэг бүр тэгээс их тодорхой урттай. Сегментийн урт нь түүний аль нэг цэгт хуваагдсан хэсгүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна.
- Аксиом 6. Өнцөг бүр тодорхой хэмжүүртэй, тэгээс их. Шулуун өнцөг нь тэнцүү байна. Өнцгийн хэмжүүр нь нийлбэртэй тэнцүү байна зэрэглэлийн хэмжүүртүүний талуудын хооронд өнгөрч буй аливаа туяагаар хуваагдах өнцөг.
Өгөгдсөнтэй тэнцүү гурвалжин оршин тогтнох аксиомууд:
Зэрэгцээ аксиом:
- Аксиом 8. Хавтгай дээр өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шулуунтай хамгийн ихдээ нэг шулуун шугам зурж болно.
Өнцгийн талаархи үндсэн баримтууд:
- Теорем.
Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр тэнцүү байна.
За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш дажгүй байна гэсэн үг.
Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь ямар нэг зүйлийг бие даан эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та эцсээ хүртэл уншсан бол та энэ 5% -д байна!
Одоо хамгийн чухал зүйл.
Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.
Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...
Юуны төлөө? Амжилтанд хүрэхийн тулдУлсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэн
, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.
Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, нэг л зүйлийг хэлье... Хүлээн авсан хүмүүссайн боловсрол
, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.
Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм. Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байхилүү их боломжууд
тэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...
Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...
Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?
ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.
Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй. Танд хэрэгтэй болно.
цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх
Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.
Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй. Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ
мөн шийд, шийд, шийд!
Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.
Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:
- Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
- Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль
Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.
Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.
Дүгнэж хэлэхэд...
Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.
“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.
Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!
Аксиоматикийн жишээ болгон хавтгайн геометрийг авч үзье. Энгийн байх үүднээс бид зөвхөн байрлалын геометрийн аксиомууд (Хилбертийн "Геометрийн үндэс" номонд холболтын аксиом ба дарааллын аксиом гэсэн нэрээр өгөгдсөн) болон параллель аксиомуудыг авч үзэх болно. Үүний зэрэгцээ, бидний зорилгын үүднээс Гильбертийн аксиомын системээс бага зэрэг хазайх нь тохиромжтой байх болно: бид цэг, шугамаас хоёр объектыг үүсгэдэг объект гэж эхлэхгүй. янз бүрийн системүүд, гэхдээ хувь хүний хувьд зөвхөн оноо авъя. "Цэг ба y шулуун шугамыг тодорхойлно" гэсэн харьцааны оронд бид гурвалсан харьцаатай болно: цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг" гэсэн тэмдэглэгээг ашиглана. Энэ харьцаатай зэрэгцэн бид хоёр дахь үндсэн хамаарлыг авах болно: Бид дараагийнхыг гүйцэж түрүүлэх болно, логиктой холбоотой ойлголт болохын хувьд бид тэгш байдлын харьцаатай тулгарах болно харилцааны хувьд бид ердийн тэнцүү тэмдгийг ашиглана:
Аксиомуудын бэлгэдлийн бичлэгийн хувьд бидэнд логик тэмдэг, юуны түрүүнд бүх нийтийн байдал, оршихуйг илэрхийлэх тэмдэг хэрэгтэй болно; Хэрэв хувь х-тэй холбоотой предикат байгаа бол энэ нь "бүх x нь өмчтэй, мөн -" өмчтэй x байна гэсэн үг юм. Тэмдгийг "бүх нийтийн байдлын хэмжигч" ба "оршихуйн хэмжигч" гэж нэрлэдэг. Бүх нийтийн хэмжигч ба
оршихуй тэнцүү x хувьсагч болон бусад зарим хувьсагчийг хоёуланг нь холбож болно интеграцийн хувьсагчнь интеграл тэмдгээр холбогддог тул бүх хэллэг нь энэ хувьсагчийн ямар ч утгаас хамаарахаа больсон.
Дараагийн логик шинж тэмдгүүдийн хувьд бид үгүйсгэх тэмдэг, мэдэгдлийг нэгтгэх тэмдгүүдийг нэмнэ. Мэдэгдэлийг үгүйсгэхийн тулд бид энэ мэдэгдлийн өмнөх тэмдгийг ашиглана. 1 (x = y)-ийн оронд товчилсон байхын тулд бид хоёр мэдэгдлийн хооронд зогсож буй & ("ба") тэмдгийг бичвэл эдгээр мэдэгдлүүд хоёулаа үнэн (холбоо) гэсэн үг юм. Хоёр мэдэгдлийн хооронд байрлах тэмдэг ("эсвэл" "vel" гэсэн утгатай) нь эдгээр мэдэгдлийн дор хаяж нэг нь үнэн (дизюнкц) гэсэн үг юм.
Хоёр мэдэгдлийн хооронд байгаа тэмдэг нь тэдгээрийн эхнийх нь үнэн нь хоёр дахь нь үнэнийг агуулна, өөрөөр хэлбэл эдгээр мэдэгдлийн эхнийх нь хоёр дахь нь үнэн байхгүйгээр үнэн байж чадахгүй гэсэн үг юм. Дээр дурдсанчлан, 21 ба 95 гэсэн хоёр мэдэгдлийн утга нь зөвхөн 21 нь үнэн, худал байвал худал болно; бусад тохиолдолд энэ нь үнэн юм.
Далдлалын тэмдэг нь бүх нийтийн хэмжигдэхүүнтэй хослуулан ерөнхийдөө баталгаатай таамаглалыг дүрсэлдэг. Жишээлбэл, томъёо
x ба y хоорондын зарим хамаарал нь дараах өгүүлбэрийг илэрхийлнэ: "Хувь хүний хос бүрийн хувьд энэ нь бас үнэн юм.
Тэдгээрээс томьёо бүтээхдээ бүрэлдэхүүн хэсгүүдБид хаалт хийх ердийн аргыг ашиглах болно. Тэдгээрийг аврахын тулд тэмдэг нь тэмдгүүдээс илүү хүчтэй хуваагддаг, тэр нь илүү хүчтэй хуваагддаг, мөн тэмдэг ба V нь түгээмэл байдал ба оршихуйн хэмжигдэхүүнүүдээс илүү хүчтэй хуваагддаг гэдэгтэй бид санал нийлэх болно. Энэ нь үл ойлголцол үүсгэхгүйн тулд бид хашилтыг орхихыг зөвшөөрнө. Тиймээс, жишээ нь, илэрхийллийн оронд
Энд x ба у хоёрын хооронд ямар нэгэн хамаарлыг илэрхийлж байгаа бол энэ илэрхийллийг зөвхөн нэг аргаар унших боломжтой тул бид энгийнээр бичих болно: "х бүрт хамаарал нь үнэн болох у байдаг.
Одоо бид томъёоны тусламжтайгаар авч үзэж буй аксиомын системийг аль хэдийн бичих боломжтой болсон. Уншихад хялбар болгох үүднээс эхлээд бид аксиомуудыг байгалийн хэлээр бичсэн хувилбаруудыг дагалдана.
Доор өгөгдсөн аксиомуудыг бүлэгт хуваах нь Гильбертийн "Геометрийн зарчмууд"-д баталсан хуваагдалтай бүрэн нийцэхгүй байна. Тиймээс бид аксиомын бүлэг бүрд Гилбертийн өгсөн аксиомуудын томъёог ашиглан энд илэрхийлсэн аксиомуудын хамаарлын тайлбарыг өгөх болно.
I. Холболтын аксиомууд (дагалдах хэрэгсэл):
(үргэлж нэг шулуун шугам дээр хэвтэх).
(хэрэв x, y, z цэгүүд нэг шулуун дээр хэвтэж байвал y, x, z цэгүүд мөн нэг шулуун дээр байрладаг).
(хэрэв x ба у нь өөр цэг бөгөөд хэрэв x, y, z цэгүүд ба x, y цэгүүд нэг шулуун дээр хэвтэж байвал x, z, мөн нэг шулуун дээр хэвтэж байна).
(нэг шулуун дээр хэвтдэггүй x, y, z цэгүүд байдаг).
1) ба 2) аксиомууд - шулуун шугамын тухай ойлголтыг арилгахыг харгалзан солих - аксиом I 1); аксиом 3) I 3) аксиомын хоёрдугаар хэсгийн аксиомтой тохирч байна.
II. Захиалгын аксиомууд
(хэрэв цэгүүд өөр бол y ба z-ийн хооронд байрлах цэг үргэлж байдаг).
1) ба 2) аксиомуудыг хамтад нь авч үзвэл Гилбертийн II 1) аксиомын эхний хэсгийг бүрдүүлнэ. 3) Гилбертийн II аксиомын сүүлчийн хэсгийн нэгдэл 1) аксиом II 3); 4) II 4) хавтгай дарааллын аксиом юм.
III. Зэрэгцээ байдлын тухай аксиом. Тохирлын аксиомууд бидний аксиомуудын жагсаалтад байдаггүй тул бид параллель аксиомыг дараах томьёоллоор танилцуулах шаардлагатай болно: дурын шулуун ба түүний гадна байрлах цэгийн хувьд энэ цэгийг дайран өнгөрөх цорын ганц шулуун байна. мөн анхны шуудтай огтлолцохгүй.
Энэхүү аксиомын бэлгэдлийн томъёоллыг хялбарчлахын тулд бид товчлолыг танилцуулж байна: тэмдэг
Цаана нь юу байна нууцлаг үг"аксиом", энэ нь хаанаас ирсэн бэ, энэ нь юу гэсэн үг вэ? 7-8-р ангийн сурагч энэ асуултад маш амархан хариулж чадна, учир нь саяхан, төгс эзэмших болно үндсэн курсПланиметрийн хувьд тэрээр "Ямар мэдэгдлүүдийг аксиом гэж нэрлэдэг вэ, жишээ хэлнэ үү" гэсэн даалгавартай аль хэдийн тулгарч байсан. Насанд хүрэгчдийн ижил төстэй асуулт нь хүндрэл учруулах болно. Суралцахаас хойш цаг хугацаа өнгөрөх тусам шинжлэх ухааны үндсийг санахад хэцүү байдаг. Үүний зэрэгцээ "аксиом" гэдэг үгийг өдөр тутмын амьдралд ихэвчлэн ашигладаг.
Нэр томъёоны тодорхойлолт
Тэгэхээр ямар мэдэгдлийг аксиом гэж нэрлэдэг вэ? Аксиомын жишээнүүд нь маш олон янз бөгөөд шинжлэх ухааны аль нэг чиглэлээр хязгаарлагдахгүй. Дээр дурдсан нэр томъёо нь үүсэлтэй эртний Грек хэлболон дотор шууд орчуулга"хүлээн зөвшөөрсөн байр суурь" гэсэн утгатай.
Энэ нэр томъёоны хатуу тодорхойлолт нь аксиом бол нотлох шаардлагагүй онолын гол үзэл баримтлал юм. Энэ ойлголт нь математик (ялангуяа геометр), логик, гүн ухаанд өргөн тархсан.
Илүү эртний ГрекАристотель ингэж хэлсэн илэрхий баримтууднотлох шаардлагагүй. Жишээлбэл, үүнд хэн ч эргэлздэггүй нарны гэрэлзөвхөн өдрийн цагаар л харагдана. Энэ онолыг өөр математикч Евклид боловсруулсан. Хэзээ ч огтлолцдоггүй аксиомуудын жишээ түүнд хамаарна.
Цаг хугацаа өнгөрөхөд энэ нэр томъёоны тодорхойлолт өөрчлөгдсөн. Одоо аксиом нь зөвхөн шинжлэх ухааны эхлэл биш, харин цаашдын онолын эхлэлийн цэг болох олж авсан зүйл гэж ойлгогддог.
Сургуулийн хичээлийн мэдэгдлүүд
Сургуулийн хүүхдүүдэд математикийн хичээл дээр баталгаажуулах шаардлагагүй постулатуудтай танилцдаг. Тиймээс ахлах сургуулийн төгсөгчдөд "Аксиомын жишээг өг" гэсэн даалгавар өгөхөд геометр, алгебрийн хичээлийг ихэвчлэн санаж байдаг. Нийтлэг хариултуудын жишээ энд байна:
- шугамын хувьд үүнтэй холбоотой цэгүүд байдаг (өөрөөр хэлбэл шугаман дээр хэвтэх) бөгөөд үүнтэй холбоогүй (шугам дээр бүү хэвт);
- дурын хоёр цэгээр шулуун шугам зурж болно;
- Онгоцыг хоёр хагас хавтгайд хуваахын тулд шулуун шугам зурах хэрэгтэй.
Алгебр, арифметик нь ийм мэдэгдлийг тодорхой заагаагүй боловч аксиомын жишээг эдгээр шинжлэх ухаанаас олж болно.
- ямар ч тоо өөртэй тэнцүү байна;
- нэг нь бүх натурал тоонуудын өмнө байна;
- Хэрэв k=l бол l=k.
Тиймээс, энгийн диссертациар дамжуулан илүү нарийн төвөгтэй ойлголтууд, үр дүн гарч, теоремууд гарна.
Аксиом дээр суурилсан шинжлэх ухааны онолыг бий болгох
Барих шинжлэх ухааны онол(Бид ямар судалгааны чиглэлээр ярьж байгаагаас үл хамааран) бидэнд суурь хэрэгтэй - түүнийг барих тоосго. Үүний мөн чанар нь нэр томьёоны толь бичгийг бий болгож, аксиомын жишээг боловсруулж, үүний үндсэн дээр үлдсэн постулатуудыг гаргаж авсан явдал юм.
Шинжлэх ухааны тайлбар толь бичигт заавал байх ёстой анхан шатны ойлголтууд, өөрөөр хэлбэл бусдаар тодорхойлох боломжгүй:
- Нэр томьёо бүрийг тууштай тайлбарлаж, утгыг нь тодорхойлсноор аливаа шинжлэх ухааны үндэс суурь тавигддаг.
- Дараагийн алхам бол онолын үлдсэн мэдэгдлүүдийг батлахад хангалттай байх ёстой үндсэн багц мэдэгдлийг тодорхойлох явдал юм. Үндсэн постулатуудыг өөрсдөө үндэслэлгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг.
- Эцсийн алхам бол теоремыг бүтээх, логик гарган авах явдал юм.
Төрөл бүрийн шинжлэх ухааны постулатууд
Нотлох баримтгүй илэрхийлэл зөвхөн дотор байдаггүй нарийн шинжлэх ухаан, гэхдээ бас ихэвчлэн хүмүүнлэгийн гэж ангилагддаг. Гайхалтай жишээ- аксиомыг практик мэдлэггүйгээр мэдэж болох мэдэгдэл гэж тодорхойлдог философи.
Аксиомын жишээ байдаг хууль зүйн шинжлэх ухаан: "Та өөрийнхөө үйлдлийг шүүж чадахгүй." Энэхүү мэдэгдэлд үндэслэн хэм хэмжээг гаргаж авдаг иргэний хууль- шүүх хуралдааны шударга байдал, өөрөөр хэлбэл шүүгч шууд болон шууд бусаар сонирхож байгаа тохиолдолд хэргийг хянан шийдвэрлэх боломжгүй.
Бүх зүйлийг энгийн зүйл гэж үздэггүй
Жинхэнэ аксиом ба хоорондын ялгааг ойлгох энгийн илэрхийллүүд, үнэн гэж зарласан бол тэдэнд хандах хандлагыг шинжлэх шаардлагатай. Жишээлбэл, бүх зүйлийг итгэл үнэмшлээр авдаг шашны тухай ярьж байгаа бол тэнд зарчим өргөн тархсан байдаг бүрэн итгэл үнэмшилЭнэ нь нотлогдох боломжгүй учраас үнэн юм. Шинжлэх ухааны нийгэмлэгт тэд ямар ч байр суурийг баталгаажуулах боломжгүй гэж ярьдаг, энэ нь аксиом болно. Эргэлзэх, дахин шалгах хүсэл эрмэлзэл нь жинхэнэ эрдэмтнийг ялгадаг зүйл юм.
