Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах. Энгийн бутархайг нэмэх, хасах

Бутархай нь энгийн тоо бөгөөд нэмж хасах боломжтой. Гэвч тэдгээр нь хуваагчийг агуулсан байдаг тул илүү нарийн төвөгтэй дүрэмбүхэл тооноос илүү.

Ижил хуваагчтай хоёр бутархай байх хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь:

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Ижил хуваагчтай бутархайг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасаад дахин хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Илэрхийлэл бүрийн дотор бутархайн хуваагч тэнцүү байна. Бутархайг нэмэх, хасахын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олж авна.

Таны харж байгаагаар энэ нь тийм ч төвөгтэй зүйл биш юм: бид зүгээр л тоологчдыг нэмж эсвэл хасдаг, тэгээд л болоо.

Гэхдээ ийм байдалд ч гэсэн энгийн үйлдлүүдхүмүүс алдаа гаргаж чаддаг. Хамгийн их мартагддаг зүйл бол хуваагч өөрчлөгддөггүй. Жишээлбэл, тэдгээрийг нэмэхэд тэд бас нэмж эхэлдэг бөгөөд энэ нь үндсэндээ буруу юм.

зайлуул муу зуршилХуваарилагчдыг нэмэх нь маш энгийн. Хасахдаа ижил зүйлийг туршиж үзээрэй. Үүний үр дүнд хуваагч нь тэг болж, бутархай нь (гэнэт!) утгаа алдах болно.

Тиймээс, нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: нэмэх, хасах үед хуваагч өөрчлөгдөхгүй!

Мөн хэд хэдэн хүн нэмэхдээ алдаа гаргадаг сөрөг бутархай. Тэмдгүүдийн хувьд төөрөгдөл байдаг: хасахыг хаана, нэмэхийг хаана тавих вэ.

Энэ асуудлыг шийдэх нь бас маш хялбар юм. Бутархайн тэмдгийн өмнөх хасахыг үргэлж тоологч руу шилжүүлж болно гэдгийг санахад хангалттай - мөн эсрэгээр. Мэдээжийн хэрэг, хоёр энгийн дүрмийг мартаж болохгүй:

1. Дээрээс нь хасах нь хасах өгдөг;
2. Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог.

Энэ бүгдийг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Эхний тохиолдолд бүх зүйл энгийн, гэхдээ хоёр дахь тохиолдолд бид бутархайн тоологчдод хасах зүйлийг оруулав.

Хэрэв хуваагч нь өөр байвал яах вэ

Бутархайг шууд нэмэх өөр өөр хуваагчэнэ нь хориотой. Наад зах нь энэ арга надад мэдэгдэхгүй байна. Гэсэн хэдий ч хуваагч нь ижил байхын тулд анхны бутархайг үргэлж дахин бичиж болно.

Бутархайг хөрвүүлэх олон арга бий. Эдгээрийн гурвыг "Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах" хичээл дээр авч үзсэн тул бид энд ярихгүй. Зарим жишээг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Эхний тохиолдолд бид бутархайг багасгадаг нийтлэг хуваагч"Criss-cross" аргыг ашиглан. Хоёрдугаарт бид ҮОХ-г хайх болно. 6 = 2 · 3 гэдгийг анхаарна уу; 9 = 3 · 3. Эдгээр өргөтгөлийн сүүлийн хүчин зүйлүүд тэнцүү бөгөөд эхнийх нь харьцангуй анхдагч байна. Тиймээс LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Бутархай нь бүхэл тоотой бол яах вэ

Би та нарт таалагдаж чадна: бутархайд өөр өөр хуваагч байх нь хамгийн чухал зүйл биш юм агуу муу. Маш их илүү олон алдаабутархай-нэг томьёог тодруулсан үед үүсдэг бүхэл хэсэг.

Мэдээжийн хэрэг, ийм бутархайн хувьд өөрийн нэмэх, хасах алгоритмууд байдаг боловч тэдгээр нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд шаардлагатай байдаг. урт хугацааны судалгаа. Илүү сайн ашиглах энгийн диаграм, доор өгөгдсөн:

1. Бүхэл тоо агуулсан бүх бутархайг буруу бутархай болгон хөрвүүлнэ. Бид дээр дурдсан дүрмийн дагуу тооцоолсон ердийн нэр томъёог (өөр өөр хуваагчтай ч гэсэн) олж авдаг;
2. Үнэн хэрэгтээ үүссэн бутархайнуудын нийлбэр эсвэл зөрүүг тооцоол. Үүний үр дүнд бид хариултыг бараг олох болно;
3. Хэрэв энэ нь даалгаварт шаардагдах бүх зүйл бол бид гүйцэтгэнэ урвуу хувиргалт, өөрөөр хэлбэл ангижрах буруу бутархай, үүний бүхэл бүтэн хэсгийг онцлон тэмдэглэв.

Бутархай бутархай руу шилжих, бүх хэсгийг тодруулах дүрмийг "Тоон бутархай гэж юу вэ" хичээлд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Хэрэв та санахгүй байгаа бол давтахаа мартуузай. Жишээ нь:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Энд бүх зүйл энгийн. Илэрхийлэл бүрийн доторх хуваагч нь тэнцүү тул бүх бутархайг буруу тоо болгон хувиргаж, тоолоход л үлддэг. Бидэнд:

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд би сүүлийн жишээн дэх зарим тодорхой алхмуудыг алгассан.

Хоёрын тухай жижиг тэмдэглэл хамгийн сүүлийн үеийн жишээнүүд, энд бүхэл хэсгийг тодруулсан бутархайг хасна. Хоёрдахь бутархайн өмнөх хасах нь зөвхөн бүхэл хэсгийг нь биш харин бүхэлд нь хасна гэсэн үг юм.

Энэ өгүүлбэрийг дахин уншаад, жишээнүүдийг харж, бодоод үзээрэй. Үүнийг эхлэгчид хүлээн зөвшөөрдөг асар их хэмжээалдаа. Тэд ийм даалгавар өгөх дуртай туршилтууд. Удахгүй хэвлэгдэх энэ хичээлийн тестүүд дээр та тэдэнтэй хэд хэдэн удаа таарах болно.

Дүгнэлт: ерөнхий тооцооны схем

Эцэст нь би өгөх болно ерөнхий алгоритм, энэ нь хоёр ба түүнээс дээш бутархайн нийлбэр эсвэл зөрүүг олоход тусална:

1. Хэрэв нэг буюу хэд хэдэн бутархай бүхэл тоотой бол эдгээр бутархайг буруу болгон хөрвүүлэх;
2. Бүх бутархайг өөрт тохирсон ямар нэгэн байдлаар нийтлэг хуваагч руу аваач (мэдээжийн хэрэг, асуудлын зохиолчид үүнийг хийгээгүй бол);
3. Үүссэн тоог ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах дүрмийн дагуу нэмэх, хасах;
4. Боломжтой бол үр дүнг богиносгох хэрэгтэй. Хэрэв бутархай буруу байвал хэсгийг бүхэлд нь сонгоно.

Хариултыг бичихийн өмнө асуудлын төгсгөлд хэсгийг бүхэлд нь тодруулах нь дээр гэдгийг санаарай.

Нэг хамгийн чухал шинжлэх ухаан, түүний хэрэглээ нь хими, физик, тэр ч байтугай биологи зэрэг салбаруудад харагдахуйц математик юм. Энэ шинжлэх ухааныг судлах нь оюуны зарим чанарыг хөгжүүлэх, анхаарлаа төвлөрүүлэх чадварыг сайжруулах боломжийг олгодог. Зохистой сэдвүүдийн нэг онцгой анхааралМатематикийн хичээлд - бутархайг нэмэх, хасах. Олон оюутнууд суралцахад хэцүү байдаг. Магадгүй бидний нийтлэл энэ сэдвийг илүү сайн ойлгоход тусална.

Хуваах хэсэг нь ижил бутархайг хэрхэн хасах вэ

Бутархай нь янз бүрийн үйлдлийг гүйцэтгэх боломжтой ижил тоонууд юм. Тэдний бүхэл тооноос ялгаатай нь хуваагч байгаа явдал юм. Тийм ч учраас бутархайтай үйлдэл хийхдээ тэдгээрийн зарим шинж чанар, дүрмийг судлах хэрэгтэй. Ихэнх энгийн тохиолдолхасах үйлдэл юм энгийн бутархай, хуваагч нь ижил тоогоор илэрхийлэгддэг. Хэрэв та энгийн дүрмийг мэддэг бол энэ үйлдлийг гүйцэтгэх нь хэцүү биш байх болно.

• Нэг бутархайгаас секундийг хасахын тулд хасагдсан бутархайг багасгаж буй бутархайгаас секундийг хасах шаардлагатай. Бид энэ тоог зөрүүний тоонд бичиж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ: k/m - b/m = (k-b)/m.

Хугацаа нь ижил байдаг бутархайг хасах жишээ

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

"7" бутархайн тоологчоос бид хасах "3" бутархайн тоог хасаад "4" авна. Бид энэ тоог хариултын тоологч хэсэгт бичиж, хуваагч дээр эхний ба хоёр дахь бутархайн хуваагчтай ижил тоог "19" гэж бичнэ.

Доорх зурагт ижил төстэй хэд хэдэн жишээг харуулав.

Ижил хуваагчтай бутархайг хасдаг илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

"29" бутархайн тоологчоос "3", "8", "2", "7" гэсэн дараагийн бүх бутархайнуудын тоог ээлжлэн хасаж бууруулна. Үүний үр дүнд бид хариултын тоологч хэсэгт бичсэн "9" гэсэн үр дүнг авч, хуваарьт бид эдгээр бүх бутархайн хуваагчдад байгаа тоог "47" гэж бичнэ.

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх

Энгийн бутархайг нэмэх, хасах нь ижил зарчмаар явагдана.

• Хугацагч нь ижил бутархайг нэмэхийн тулд та тоог нэмэх хэрэгтэй. Үр дүнгийн тоо нь нийлбэрийн хуваагч бөгөөд хуваагч нь хэвээр байх болно: k/m + b/m = (k + b)/m.

Энэ нь ямар байгааг жишээгээр харцгаая:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Бутархайн эхний гишүүний тоологч - "1" дээр - бутархайн хоёр дахь гишүүний тоологч - "2"-г нэмнэ. Үр дүн нь "3" -ыг нийлбэрийн тоонд бичиж, хуваагч нь бутархай хэсэгт байгаа "4"-тэй адил үлдэнэ.

Өөр өөр хуваарьтай бутархай ба тэдгээрийг хасах

Байгаа бутархайтай үйлдэл ижил хуваагч, бид аль хэдийн авч үзсэн. Бидний харж байгаагаар, мэдэж байгаа энгийн дүрэм, ийм жишээг шийдвэрлэх нь маш хялбар юм. Гэхдээ өөр өөр хуваагчтай бутархайтай үйлдэл хийх шаардлагатай бол яах вэ? Ийм жишээн дээр дунд сургуулийн олон сурагч андуурч байна. Гэхдээ энд ч гэсэн та шийдлийн зарчмыг мэддэг бол жишээнүүд танд хэцүү байхаа болино. Энд бас дүрэм байдаг бөгөөд үүнгүйгээр ийм бутархайг шийдэх боломжгүй юм.

Янз бүрийн хуваарьтай бутархайг хасахын тулд тэдгээрийг ижил хамгийн бага хуваарьт хүртэл багасгах шаардлагатай.



Үүнийг хэрхэн хийх талаар бид илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.

Бутархайн өмч

Хэд хэдэн бутархайг нэг хуваарьт хүргэхийн тулд та шийдэл дэх бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй: тоологч ба хуваагчийг хувааж эсвэл үржүүлсний дараа. ижил тоота өгөгдсөнтэй тэнцэх бутархайг авна.

Жишээлбэл, 2/3 бутархай нь "6", "9", "12" гэх мэт хуваагчтай байж болно, өөрөөр хэлбэл "3"-ын үржвэртэй ямар ч тооны хэлбэртэй байж болно. Тоолуур ба хуваагчийг "2"-оор үржүүлсний дараа бид 4/6 бутархайг авна. Анхны бутархайн хуваагч ба хуваагчийг "3"-аар үржүүлсний дараа бид 6/9, "4" тоогоор ижил төстэй үйлдлийг хийвэл 8/12 болно. Нэг тэгш байдлыг дараах байдлаар бичиж болно.

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Хэрхэн олон бутархайг ижил хуваагч руу хөрвүүлэх вэ

Хэрхэн олон бутархайг нэг хуваагч болгон багасгахыг харцгаая. Жишээлбэл, доорх зурагт үзүүлсэн бутархайг авч үзье. Эхлээд та аль тоо нь бүгдийн хуваагч болж болохыг тодорхойлох хэрэгтэй. Ажлыг хөнгөвчлөхийн тулд одоо байгаа хуваагчдыг хүчин зүйлээр ангилъя.

1/2 бутархайн хуваагч ба 2/3 бутархайг үржүүлэх боломжгүй. 7/9 хуваагч нь 7/9 = 7/(3 x 3) гэсэн хоёр хүчин зүйлтэй, бутархайн хуваагч 5/6 = 5/(2 x 3) байна. Одоо бид эдгээр дөрвөн фракцын хувьд аль хүчин зүйл хамгийн бага болохыг тодорхойлох хэрэгтэй. Эхний бутархай нь хуваарьт "2" гэсэн тоо байгаа тул энэ нь бүх хуваагчдад байх ёстой гэсэн үг юм 7/9 бутархайд хоёр гурвалсан байна, энэ нь хоёулаа хуваагч дээр байх ёстой гэсэн үг юм. Дээр дурдсан зүйлсийг харгалзан бид хуваагч нь 3, 2, 3 гэсэн гурван хүчин зүйлээс бүрдэх ба 3 x 2 x 3 = 18-тай тэнцүү болохыг тодорхойлно.



Эхний бутархайг авч үзье - 1/2. Түүний хуваарьт "2" байгаа боловч нэг "3" оронтой тоо байхгүй, гэхдээ хоёр байх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд бид хуваагчийг хоёр гурав дахин үржүүлэх боловч бутархайн шинж чанарын дагуу бид хуваагчийг хоёр гурав дахин үржүүлэх ёстой.
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Бид үлдсэн фракцуудтай ижил зүйлийг хийдэг.

• 2/3 - хуваарьт нэг гурав, нэг хоёр дутуу байна:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 эсвэл 7/(3 x 3) - хуваарьт хоёр дутуу байна:
  7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
• 5/6 эсвэл 5/(2 x 3) - хуваарьт гурв дутуу байна:
  5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Бүгд нийлээд иймэрхүү харагдаж байна:



Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн хасах, нэмэх

Дээр дурдсанчлан өөр өөр хуваарьтай бутархайг нэмэх, хасахын тулд тэдгээрийг ижил хуваарь болгон бууруулж, дараа нь аль хэдийн хэлэлцсэн ижил хуваарьтай бутархайг хасах дүрмийг ашиглах ёстой.

Үүнийг жишээ болгон авч үзье: 4/18 - 3/15.

18 ба 15-ын үржвэрийг олох:

• 18 тоо нь 3 x 2 x 3-аас бүрдэнэ.
• 15 тоо нь 5 х 3-аас бүрдэнэ.
• Нийтлэг үржвэр нь дараах хүчин зүйлүүд байх болно: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Хуваагчийг олсны дараа бутархай тус бүрт өөр өөр байх хүчин зүйлийг тооцоолох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл зөвхөн хуваагч төдийгүй хуваагчийг үржүүлэх шаардлагатай тоог тооцоолох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид олсон тоог (нийтийн үржвэр) нэмэлт хүчин зүйлийг тодорхойлох шаардлагатай бутархайн хуваагчаар хуваана.

• 90-ыг 15-д хуваа. Үр дүнд нь "6" тоо нь 3/15-ын үржүүлэгч болно.
• 90-ыг 18-д хуваана. Үр дүнд нь "5" тоо нь 4/18-ийн үржүүлэгч болно.

Бидний шийдлийн дараагийн шат бол бутархай бүрийг "90" гэсэн хуваарь болгон багасгах явдал юм.

Үүнийг хэрхэн яаж хийх талаар бид аль хэдийн ярьсан. Үүнийг жишээн дээр хэрхэн бичсэнийг харцгаая.

(4 x 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Хэрэв бутархай жижиг тоотой бол доорх зурагт үзүүлсэн шиг нийтлэг хуваагчийг тодорхойлж болно.



Өөр өөр нэр томъёотой хүмүүсийн хувьд ч мөн адил.

Хасах ба бүхэл хэсгүүдтэй байх

Бутархайг хасах, нэмэх талаар бид аль хэдийн дэлгэрэнгүй ярилцсан. Харин бутархай нь бүхэл тоотой бол яаж хасах вэ? Дахин хэлэхэд хэд хэдэн дүрмийг ашиглая:

• Бүхэл тоотой бүх бутархайг буруу бутархай болгон хөрвүүлнэ. Ярьж байна энгийн үгээр, хэсгийг бүхэлд нь арилгана. Үүнийг хийхийн тулд бүхэл хэсгийн тоог бутархайн хуваагчаар үржүүлж, үржүүлсэн үржвэрийг тоологч дээр нэмнэ. Эдгээр үйлдлийн дараа гарч ирэх тоо нь буруу бутархайн тоо юм. Хуваарилагч өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
• Хэрэв бутархайнууд өөр өөр хуваарьтай бол тэдгээрийг ижил хуваагч болгон бууруулна.
• Ижил хуваагчтай нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ.
• Буруу бутархайг хүлээн авахдаа бүхэл хэсгийг сонгоно.



Бүхэл хэсгүүдтэй бутархайг нэмэх, хасах өөр арга бий. Үүнийг хийхийн тулд үйлдлүүдийг бүхэл хэсгүүдээр тусад нь, бутархайтай үйлдлүүдийг тусад нь хийж, үр дүнг нь хамт тэмдэглэнэ.



Өгөгдсөн жишээ нь ижил хуваагчтай бутархай хэсгүүдээс бүрдэнэ. Хэрэв хуваагч өөр байвал тэдгээрийг ижил утгад хүргэж, дараа нь жишээнд үзүүлсэн шиг үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

Бүхэл тооноос бутархайг хасах

Бутархайтай өөр нэг төрлийн үйлдэл нь анх харахад бутархайг хасах шаардлагатай тохиолдол юм ижил төстэй жишээшийдвэрлэхэд хэцүү юм шиг байна. Гэсэн хэдий ч энд бүх зүйл маш энгийн. Үүнийг шийдэхийн тулд та бүхэл тоог бутархай болгон хөрвүүлэх хэрэгтэй бөгөөд хасагдсан бутархайд байгаа ижил хуваагчтай байх ёстой. Дараа нь бид ижил хуваагчтай хасахтай төстэй хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Энэ зүйлд өгөгдсөн бутархайг хасах (6-р зэрэг) нь илүү ихийг шийдэх үндэс суурь болно нарийн төвөгтэй жишээнүүд, үүнийг дараагийн ангиудад авч үзэх болно. Энэ сэдвийн талаарх мэдлэгийг дараа нь функц, дериватив гэх мэтийг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Тиймээс дээр дурдсан бутархайтай үйлдлүүдийг ойлгож, ойлгох нь маш чухал юм.

Бутархайтай үйлдлүүд.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Тиймээс, бутархай, бутархайн төрөл, хувиргалт гэж юу вэ - бид санаж байна. Гол асуудалдаа орцгооё.

Та бутархайгаар юу хийж чадах вэ?Тиймээ, хамт байгаа бүх зүйл энгийн тоонууд. Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах.

Эдгээр бүх үйлдлүүд нь аравтынбутархайтай ажиллах нь бүхэл тоотой ажиллахаас ялгаагүй. Үнэндээ энэ бол тэдний сайн тал, аравтын нэг. Цорын ганц зүйл бол та таслалыг зөв тавих хэрэгтэй.

Холимог тооБи аль хэдийн хэлсэнчлэн ихэнх үйлдлүүдэд бага ашиг тустай байдаг. Тэдгээрийг энгийн бутархай болгон хувиргах шаардлагатай хэвээр байна.

Харин үйлдлүүд нь энгийн бутархайтэд илүү зальтай байх болно. Мөн илүү чухал! Би танд сануулъя: Үсэг, синус, үл мэдэгдэх гэх мэт бутархай илэрхийлэл бүхий бүх үйлдэл нь энгийн бутархайтай үйлдлээс ялгаатай биш юм.! Энгийн бутархайтай үйлдлүүд нь бүх алгебрийн үндэс болдог. Ийм учраас бид энэ бүх арифметикийг энд нарийвчлан шинжлэх болно.

Бутархайг нэмэх, хасах.

Хүн бүр ижил хуваагчтай бутархайг нэмж (хасах) боломжтой (би үнэхээр найдаж байна!). За ингээд мартамхай хүмүүст сануулъя: нэмэх (хасах) үед хуваагч өөрчлөгддөггүй. Үр дүнгийн тоологчийг өгөхийн тулд тоонуудыг нэмж (хасах) хийдэг. Төрөл:

Товчхондоо, in ерөнхий үзэл:

Хэрэв хуваагч нь өөр байвал яах вэ? Дараа нь бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглан (энд энэ нь дахин хэрэг болно!), бид хуваагчдыг ижил болгодог! Жишээ нь:

Энд бид 2/5-ын бутархайг 4/10 болгох ёстой байсан. Зөвхөн хуваагчийг ижил болгох зорилгоор. 2/5 ба 4/10 гэдгийг зөвхөн тохиолдлоор тэмдэглэе ижил бутархай! Зөвхөн 2/5 нь бидний хувьд эвгүй, 4/10 нь үнэхээр зүгээр.

Дашрамд хэлэхэд, энэ бол математикийн аливаа асуудлыг шийдэх мөн чанар юм. Бид хэзээнээс эвгүйбид илэрхийлэл хийдэг ижил зүйл, гэхдээ шийдвэрлэхэд илүү тохиромжтой.

Өөр нэг жишээ:

Нөхцөл байдал ижил төстэй байна. Энд бид 16-аас 48-ыг гаргаж байна. Энгийн үржүүлэх замаар at 3. Энэ бүхэн тодорхой байна. Гэхдээ бид иймэрхүү зүйлтэй тулгарсан:

Яаж байх вэ?! Долооноос ес гаргах хэцүү! Гэхдээ бид ухаалаг, бид дүрмийг мэддэг! Өөрчилье бүрхуваагч ижил байхаар бутархай. Үүнийг "нийтлэг хуваагч болгон бууруулах" гэж нэрлэдэг:

Хөөх! Би 63-ыг яаж мэдсэн юм бэ? Маш энгийн! 63 гэдэг нь 7 ба 9-д нэгэн зэрэг хуваагддаг тоо юм. Ийм тоог хуваагчийг үржүүлэх замаар үргэлж олж авч болно. Жишээлбэл, бид тоог 7-оор үржүүлбэл үр дүн нь 7-д хуваагдах нь гарцаагүй!

Хэрэв та хэд хэдэн бутархай нэмэх (хасах) шаардлагатай бол хосоор нь, алхам алхмаар хийх шаардлагагүй. Та зүгээр л бүх бутархайн нийтлэг хуваагчийг олж, бутархай бүрийг ижил хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй. Жишээ нь:

Мөн нийтлэг зүйл юу байх вэ? Та мэдээж 2, 4, 8, 16-г үржүүлж болно. Бид 1024. Хар дарсан зүүд. 16 тоо нь 2, 4, 8-д төгс хуваагддаг гэдгийг тооцоолоход илүү хялбар байдаг. Тиймээс эдгээр тооноос 16-г авахад хялбар байдаг. Энэ тоо нь нийтлэг хуваагч болно. 1/2-ыг 8/16, 3/4-ийг 12/16 гэх мэтээр эргүүлье.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та 1024-ийг нийтлэг хуваагчаар авбал бүх зүйл бүтнэ, эцэст нь бүх зүйл багасна. Гэхдээ хүн бүр энэ зорилгод хүрэхгүй, учир нь тооцоолол ...

Жишээг өөрөө гүйцээнэ үү. Ямар нэг логарифм биш... 29/16 болж хувирах ёстой.

Тэгэхээр бутархайн нэмэх (хасах) тодорхой байна, би найдаж байна? Мэдээжийн хэрэг, нэмэлт үржүүлэгчтэй, богиносгосон хувилбарт ажиллах нь илүү хялбар байдаг. Гэхдээ энэ таашаал нь үнэнч шударгаар ажилласан хүмүүст байдаг бага ангиуд... Тэгээд би юу ч мартаагүй.

Одоо бид ижил үйлдлүүдийг хийх болно, гэхдээ бутархай биш, харин бутархай илэрхийллүүд. Шинэ тармуур эндээс олдох болно, тиймээ ...

Тиймээс бид хоёрыг нэмэх хэрэгтэй бутархай илэрхийллүүд:

Бид хуваагчдыг адилхан болгох хэрэгтэй. Мөн зөвхөн тусламжтайгаар үржүүлэх! Үүнийг бутархайн үндсэн шинж чанар зааж өгдөг. Тиймээс би хуваарийн эхний бутархайн X дээр нэгийг нэмж чадахгүй. (энэ нь сайхан байх болно!). Гэхдээ хуваагчийг үржүүлбэл бүх зүйл хамтдаа өсөх болно! Тиймээс бид бутархай шугамыг дээд талд бичнэ хоосон зайҮүнийг орхиё, дараа нь нэмээд, мартахгүйн тулд хуваагчийн үржвэрийг доор бичнэ үү.

Мэдээжийн хэрэг, бид баруун талд нь юу ч үржүүлдэггүй, хаалт нээхгүй! Одоо баруун талд байгаа нийтлэг хуваагчийг хараад бид ойлгож байна: эхний бутархай дахь хуваагч x(x+1)-ийг авахын тулд та энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг (x+1) үржүүлэх хэрэгтэй. . Хоёрдахь бутархайд - x хүртэл. Энэ бол таны авах зүйл юм:

Анхаар! Энд хаалт байна! Энэ бол олон хүний ​​гишгэдэг тармуур юм. Мэдээжийн хэрэг, хаалт биш, гэхдээ тэдгээрийн байхгүй байна. Бид үржиж байгаа тул хаалт гарч ирнэ бүгдтоологч ба бүгдхуваагч! Мөн тэдний бие даасан хэсгүүд биш ...

Баруун талын тоологч дээр бид тоологчдын нийлбэрийг бичдэг, бүх зүйл ижил байна тоон бутархай, дараа нь баруун талын тоологч дахь хаалтуудыг нээнэ үү, i.e. Бид бүгдийг үржүүлж, ижил төстэй зүйлийг өгдөг. Хугацааны хаалт нээх, үржүүлэх шаардлагагүй! Ерөнхийдөө, хуваагч (аль ч) бүтээгдэхүүн нь үргэлж илүү тааламжтай байдаг! Бид авах:

Тиймээс бид хариултаа авлаа. Процесс нь урт бөгөөд хэцүү мэт боловч энэ нь дадлагаас хамаарна. Нэгэнт та жишээнүүдээ шийдэж, дасвал бүх зүйл энгийн болно. Бутархайг цаг тухайд нь эзэмшсэн хүмүүс эдгээр бүх үйлдлийг нэг зүүн гараараа автоматаар хийдэг!

Бас нэг тэмдэглэл. Олон хүмүүс бутархай тоог ухаалаг харьцдаг ч жишээн дээр гацдаг бүхэлд ньтоо. Жишээ нь: 2 + 1/2 + 3/4=? Хоёр хэсгийг хаана бэхлэх вэ? Та үүнийг хаана ч бэхлэх шаардлагагүй, та хоёроос бутархай хийх хэрэгтэй. Энэ нь амар биш, гэхдээ маш энгийн! 2=2/1. Энэ мэт. Аливаа бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр бичиж болно. Тоолуур нь өөрөө тоо, хуваагч нь нэг юм. 7 нь 7/1, 3 нь 3/1 гэх мэт. Үсгийн хувьд ч мөн адил. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 гэх мэт. Тэгээд бид бүх дүрмийн дагуу эдгээр фракцуудтай ажилладаг.

За тэгээд бутархайн нэмэх хасах үйл ажиллагааны мэдлэг сэргэлээ. Бутархайг нэг төрлөөс нөгөөд шилжүүлэх үйлдлийг давтав. Та мөн шалгуулж болно. Жаахан шийдэх үү?)

Тооцоолох:

Хариултууд (эмх замбараагүй):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Бутархайг үржүүлэх/хуваах - дараагийн хичээл дээр. Мөн бутархай бүхий бүх үйлдлүүдийн даалгавар байдаг.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Энд бид яаж гэдгийг ойлгох болно бутархайг хасах. Эхлээд адил хуваагчтай бутархайг хасах дүрмийг авъя. Дараа нь бид өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах аргыг авч үзээд хасахын жишээг өгнө. нарийвчилсан шийдлүүд. Үүний дараагаас бутархайг хасахад анхаарлаа хандуулцгаая натурал тооба бутархайгаас тоог хасах. Дүгнэж хэлэхэд, бид энэ үйлдлийн шинж чанарыг ашиглан энгийн бутархайг хэрхэн яаж хасахыг харуулах болно.

Энэ нийтлэлд бид зөвхөн хасах үйлдлийн тухай ярих болно гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе жижиг хэсэг-аас илүү том хэсэг. Бусад тохиолдлуудыг оновчтой тоог хасах нийтлэлд авч үзсэн болно.

Хуудасны навигаци.

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах

Юуны өмнө хэрхэн яаж болохыг олж мэдэх жишээг хэлье ижил хуваарьтай бутархайг хасах.

Тавган дээр алимны тавны найм, өөрөөр хэлбэл алимны 5/8 байх ёстой, үүний дараа алимны наймны хоёрыг авав. Хасах утгын дагуу (хасах үйлдлийн ерөнхий санааг үзнэ үү) заасан үйлдэлдараах байдлаар тодорхойлсон байна: . Энэ нь тавган дээр алимны 5−2=3 наймны хэсгийг үлдээх нь тодорхой байна. Энэ нь, .

Үзсэн жишээг харуулж байна ижил хуваарьтай бутархайг хасах дүрэм: Түүнтэй төстэй хуваарьтай бутархайг хасахдаа хасахын хүртэгчийг хасах боловч хуваарь нь хэвээр үлдэнэ.

Заасан дүрмийг үсгээр дараах байдлаар бичнэ. . Бид ижил хуваарьтай бутархайг хасахдаа энэ томъёог ашиглана.

Ингээд авч үзье ижил хуваарьтай бутархайг хасах жишээ.

Жишээ.

24/15 энгийн бутархайгаас 17/15 энгийн бутархайг хас.

Шийдэл.

Хасаж буй бутархайн хуваагч нь тэнцүү байна. Хасалтын тоо нь 24, хасахын тоо нь 17, тэдгээрийн зөрүү нь 7 (24−17=7, шаардлагатай бол натурал тоог хасахыг үзнэ үү). Иймд 24/15 ба 17/15 хуваарьтай ижил бутархайг хасвал 7/15 бутархай гарна.

Богино хувилбаршийдэл нь иймэрхүү харагдаж байна: .

Хариулт:

.

Боломжтой бол бутархайг багасгаж, (эсвэл) ижил хуваагчтай бутархайг хасах замаар олж авсан буруу бутархай хэсгээс бүхэлд нь тусгаарлах шаардлагатай.

Жишээ.

Ялгааг тооцоол.

Шийдэл.

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах томъёог ашиглая: .

Мэдээжийн хэрэг, үүссэн бутархайн хүртэгч ба хуваагч нь 2-т хуваагддаг (харна уу), өөрөөр хэлбэл 22/12 нь бууруулж болох бутархай юм. Энэ бутархайг 2-оор бууруулснаар бид 11/6 бутархайд хүрнэ.

Бутархай 11/6 нь буруу (зөв ба буруу бутархайг үзнэ үү). Тиймээс та үүнээс бүхэл бүтэн хэсгийг сонгох хэрэгтэй: .

Тэгэхээр ижил хуваагчтай бутархайнуудын тооцоолсон зөрүү нь тэнцүү байна.

Энд бүх шийдэл байна: .

Хариулт:

.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах

Ялгаатай хуваагчтай бутархайг хасах нь ижил төстэй хуваарьтай бутархайг хасахад буурдаг. Үүнийг хийхийн тулд өөр өөр хуваагчтай бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахад хангалттай.

Тиймээс, хэрэгжүүлэх өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах, шаардлагатай:

• бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах (ихэвчлэн бутархай нь хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл буурдаг);
• Үүссэн бутархайг ижил хуваагчтай хас.

Ингээд авч үзье өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах жишээ.

Жишээ.

2/9 энгийн бутархайгаас 1/15 энгийн бутархайг хас.

Шийдэл.

Хасах бутархайн хуваагч өөр өөр байдаг тул эхлээд бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваарь болгон бууруулна: LCM(9, 15)=45 тул 2/9 бутархайн нэмэлт хүчин зүйл нь 45:9=5 гэсэн тоо болно. , мөн 1/15 бутархайн нэмэлт хүчин зүйл нь 45:15=3 гэсэн тоо юм. Тэгээд .

10/45 бутархайгаас 3/45-ын бутархайг хасахад л үлддэг , энэ нь өөр өөр хуваагчтай бутархайнуудын хоорондох хүссэн ялгааг өгдөг.

Товчхондоо шийдлийг дараах байдлаар бичнэ. .

Хариулт:

Хассаны дараа олж авсан бутархайг багасгах, мөн бүхэл бүтэн хэсгийг тодруулах талаар мартаж болохгүй.

Жишээ.

19/9 бутархайгаас 7/36 бутархайг хас.

Шийдэл.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваарь 36 хүртэл бууруулсны дараа бид 76/9 ба 7/36 бутархайтай болно. Тэдний ялгааг тооцоолъё: .

Үүссэн фракцыг 3-аар бууруулсны дараа бид 23/12 болно. Мөн энэ фракц нь зохисгүй, бүхэл бүтэн хэсгийг нь салгаж, бид .

Янз бүрийн хуваагчтай анхны бутархайг хасах үед гүйцэтгэсэн бүх үйлдлүүдийг нэгтгэж үзье: .

Хариулт:

.

Энгийн бутархайгаас натурал тоог хасах

Бутархайгаас натурал тоог хасахэнгийн бутархайг хасах хүртэл багасгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд натурал тоог 1 хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлэхэд хангалттай. Жишээн дэх шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

83/21 бутархайгаас 3-ын тоог хас.

Шийдэл.

3-ын тоо нь 3/1 бутархайтай тэнцүү тул.

Хариулт:

Гэхдээ бутархайг холимог тоогоор үзүүлснээр буруу бутархайгаас натурал тоог хасах нь илүү тохиромжтой. Өмнөх жишээний шийдлийг ингэж үзүүлье.

Натурал тооноос бутархайг хасах

Натурал тооноос бутархайг хасахнатурал тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх замаар энгийн бутархайг хасах хүртэл бууруулж болно. Энэ хандлагыг харуулсан жишээний шийдлийг харцгаая.

Жишээ.

Натурал 7 тооноос 5/3 энгийн бутархайг хас.

Шийдэл.

7-ын тоог 7/1 бутархай гэж төсөөлье, үүний дараа бид хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ: .

Үүссэн бутархай хэсгийг бүхэлд нь тусгаарласнаар бид эцсийн хариултыг авна.

Хариулт:

Гэсэн хэдий ч илүү олон зүйл бий оновчтой арганатурал тооноос бутархайг хасах. Үүний давуу тал нь натурал тоог багасгаж, бутархайн хуваагчийг хасах үед мэдэгдэхүйц юм. их тоо. Энэ бүхэн доорх жишээнүүдээс тодорхой болно.

Хэрэв хасагдаж буй бутархай зөв бол багасгаж буй натурал тоог нэг нь нэгтэй тэнцүү хоёр тооны нийлбэрээр сольж, хасаж болно. зөв бутархайнэгээс, дараа нь тооцооллыг гүйцээнэ.

Жишээ.

1065 натурал тооноос 13/62 энгийн бутархайг хас.

Шийдэл.

Хасаж буй энгийн бутархай зөв байна. 1065 тоог 1064+1 нийлбэрээр орлуулъя. . Үлдсэн зүйл бол үүссэн илэрхийллийн утгыг тооцоолох явдал юм (бид ийм илэрхийллийг тооцоолох талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих болно).

Хасах үйл ажиллагааны шинж чанараас шалтгаалан үүссэн илэрхийллийг дахин бичиж болно . Нэгжийг 1/1 бутархайгаар сольж, хаалтанд байгаа зөрүүний утгыг тооцоод үзье. . Ийнхүү, . Ингэснээр натурал 1065 тооноос 13/62 бутархайг хасаж дуусгана.

Энд бүх шийдэл байна:

Одоо харьцуулахын тулд хэрэв бид анхны тоонуудын хасалтыг бутархайн хасалт болгон багасгахаар шийдсэн бол ямар тоонуудтай ажиллах ёстойг харуулъя.

Хариулт:

.

Хэрэв хасаж буй бутархай нь буруу байвал холимог тоогоор сольж, дараа нь натурал тооноос холимог тоог хасаж болно.