Сансар огторгуйн 2 цэгийн хоорондох зай. Цэгээс цэг хүртэлх зай, томъёо, жишээ, шийдэл

Нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн байрлалын дагуу Гринвич дэх хуучин Гринвичийн ажиглалтын төвөөр дамжин өнгөрөх гол меридиан гэж тооцогддог. Байршлын газарзүйн координатыг GPS навигатор ашиглан олж авах боломжтой. Энэхүү төхөөрөмж нь дэлхийн хэмжээнд ижил төстэй WGS-84 координатын системд хиймэл дагуулын байршлын системийн дохиог хүлээн авдаг.

Навигаторын загварууд нь үйлдвэрлэгч, функциональ байдал, интерфейсээр ялгаатай байдаг. Одоогоор зарим загварт суурилуулсан GPS навигаторууд байдаг гар утас. Гэхдээ ямар ч загвар нь цэгийн координатыг бичиж, хадгалах боломжтой.

GPS координат хоорондын зай

Жишээлбэл, та дараах координатуудын хоорондох зайг тодорхойлж болно: 1-р цэг - өргөрөг 55°45'07" N, уртраг 37°36'56" E; 2-р цэг - өргөрөг 58°00′02″ N, уртраг 102°39′42″ E.

Хамгийн хялбар арга бол тооцоолуур ашиглан хоёр цэгийн хоорондох уртыг тооцоолох явдал юм. Хөтөч хайлтын системд та дараах хайлтын параметрүүдийг тохируулах ёстой: онлайн - хоёр координатын хоорондох зайг тооцоолох. Онлайн тооцоолуур дээр өргөрөг, уртрагийн утгыг эхний болон хоёр дахь координатын асуулгын талбарт оруулсан болно. Тооцоолохдоо онлайн тооцоолуур үр дүнг өгсөн - 3,800,619 м.

Дараагийн арга нь илүү их хөдөлмөр шаарддаг, гэхдээ бас харагдахуйц байдаг. Та боломжтой газрын зураг эсвэл навигацийн програмыг ашиглах ёстой. Координат ашиглан цэг үүсгэж, тэдгээрийн хоорондын зайг хэмжих программууд орно дараах програмууд: BaseCamp (MapSource програмын орчин үеийн аналог), Google Earth, SAS.Planet.

Дээрх бүх программыг сүлжээний хэрэглэгч бүр ашиглах боломжтой. Жишээлбэл, Google Earth дээрх хоёр координатын хоорондох зайг тооцоолохын тулд та эхний цэг ба хоёр дахь цэгийн координатыг харуулсан хоёр шошго үүсгэх хэрэгтэй. Дараа нь "Захирагч" хэрэгслийг ашиглан та эхний болон хоёр дахь тэмдгийг шугамаар холбох хэрэгтэй бөгөөд програм нь хэмжилтийн үр дүнг автоматаар харуулж, дэлхийн хиймэл дагуулын зураг дээрх замыг харуулах болно.

Дээр дурдсан жишээний хувьд Google Earth програм нь үр дүнг буцааж өгсөн - 1-р цэгээс 2-р цэгийн хоорондох зайны урт нь 3,817,353 м байна.

Зайг тодорхойлоход яагаад алдаа гардаг вэ

Математикийн асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн оюутнуудад олон бэрхшээл дагалддаг. Суралцагчдаа эдгээр бэрхшээлийг даван туулахад нь тусалж, түүнд байгаа зүйлээ ашиглахыг зааж өг онолын мэдлэгшийдэх үед тодорхой ажлууд"Математик" хичээлийн бүх хэсэгт - манай сайтын гол зорилго.

Сэдвийн дагуу асуудлыг шийдэж эхлэхдээ оюутнууд түүний координатыг ашиглан хавтгай дээр цэг байгуулах, мөн өгөгдсөн цэгийн координатыг олох чадвартай байх ёстой.

Хавтгай дээр авсан A(x A; y A) ба B(x B; y B) хоёр цэгийн хоорондох зайг томъёогоор тооцоолно. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), энд d нь хавтгай дээрх эдгээр цэгүүдийг холбосон сегментийн урт юм.

Хэрвээ сегментийн төгсгөлүүдийн нэг нь координатын эхлэлтэй давхцаж, нөгөө нь M(x M; y M) координаттай бол d-г тооцоолох томъёо нь OM = √(x M 2 + y M 2) хэлбэртэй болно. ).

1. Эдгээр цэгүүдийн өгөгдсөн координатыг үндэслэн хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох

Жишээ 1.

-ийг холбосон сегментийн уртыг ол координатын хавтгай A(2; -5) ба B(-4; 3) цэгүүд (Зураг 1).

Шийдэл.

Асуудлын мэдэгдэлд: x A = 2; x B = -4; y A = -5 ба y B = 3. d-г ол.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашигласнаар бид дараахийг олж авна.

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Өгөгдсөн гурван цэгээс ижил зайд орших цэгийн координатыг тооцоолох

Жишээ 2.

А(7; -1) ба В(-2; 2) ба С(-1; -5) гурван цэгээс ижил зайд орших О 1 цэгийн координатыг ол.

Шийдэл.

Асуудлын нөхцлийн томьёоллоос үзэхэд O 1 A = O 1 B = O 1 C. Хүссэн O 1 цэгийг координаттай болгоё (a; b). d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашиглан бид дараахийг олно.

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Хоёр тэгшитгэлийн системийг байгуулъя:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Зүүн талыг квадрат болгосны дараа ба зөв хэсгүүдБид тэгшитгэлийг бичнэ:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Хялбаршуулж бичье

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Системийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг авна: a = 2; b = -1.

O 1 (2; -1) цэг нь нэг шулуун дээр хэвтэхгүй байх нөхцөлд заасан гурван цэгээс ижил зайд байна. Энэ цэг нь гурвыг дайран өнгөрөх тойргийн төв юм оноо өгсөн (Зураг 2).

3. Абсцисс (ординат) тэнхлэг дээр байрлах ба тухайн цэгээс өгөгдсөн зайд байрлах цэгийн абсцисса (ординат)-ын тооцоо.

Жишээ 3.

B(-5; 6) цэгээс Үхрийн тэнхлэгт байрлах А цэг хүртэлх зай 10. А цэгийг ол.

Шийдэл.

Асуудлын нөхцөлийг томъёолсноор А цэгийн ординат тэгтэй тэнцүү ба AB = 10 байна.

А цэгийн абсциссыг а-аар тэмдэглээд A(a; 0) гэж бичнэ.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Бид тэгшитгэлийг олж авна √((a + 5) 2 + 36) = 10. Үүнийг хялбарчлахад бид байна.

a 2 + 10a – 39 = 0.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 1 = -13; ба 2 = 3.

Бид A 1 (-13; 0) ба A 2 (3; 0) гэсэн хоёр оноо авдаг.

Шалгалт:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Олж авсан оноо хоёулаа асуудлын нөхцөлийн дагуу тохиромжтой (Зураг 3).

4. Абсцисса (ординат) тэнхлэг дээр байрлах ба өгөгдсөн хоёр цэгээс ижил зайд орших цэгийн абсцисса (ординат)-ын тооцоо.

Жишээ 4.

Ой тэнхлэг дээрх А (6, 12) ба В (-8, 10) цэгүүдээс ижил зайд байгаа цэгийг ол.

Шийдэл.

Бодлогын нөхцлөөр шаардагдах Ой тэнхлэгт байрлах цэгийн координатыг O 1 (0; b) (Ой тэнхлэг дээр байрлах цэгт абсцисса тэг байна) гэж үзье. Энэ нь O 1 A = O 1 B гэсэн нөхцлөөс гарна.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашиглан бид дараахийг олно:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Бид √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) эсвэл 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 тэгшитгэлтэй байна.

Хялбаршуулсаны дараа бид дараахийг авна: b – 4 = 0, b = 4.

Бодлогын нөхцлөөр шаардлагатай O 1 (0; 4) цэг (Зураг 4).

5. Координатын тэнхлэгүүд болон өгөгдсөн зарим цэгээс ижил зайд байрлах цэгийн координатыг тооцоолох

Жишээ 5.

Координатын тэнхлэгүүд болон А(-2; 1) цэгээс ижил зайд координатын хавтгай дээр байрлах М цэгийг ол.

Шийдэл.

А(-2; 1) цэг шиг шаардлагатай M цэг нь хоёрдугаарт байрлана координатын өнцөг, учир нь энэ нь A, P 1, P 2 цэгүүдээс ижил зайд байрладаг (Зураг 5). М цэгийн координатын тэнхлэгээс хол зай нь ижил тул координат нь (-a; a) байх бөгөөд энд a > 0 байна.

Асуудлын нөхцлөөс MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

тэдгээр. |-a| = a.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашиглан бид дараахийг олно:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Тэгшитгэл хийцгээе:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Квадрат болон хялбаршуулсаны дараа бид: a 2 – 6a + 5 = 0. Тэгшитгэлийг шийдэж, 1 = 1-ийг ол; ба 2 = 5.

Бид асуудлын нөхцлийг хангасан M 1 (-1; 1) ба M 2 (-5; 5) хоёр цэгийг олж авдаг.

6. Абсцисс (ординат) тэнхлэг болон өгөгдсөн цэгээс тодорхой заасан зайд байрлах цэгийн координатыг тооцоолох.

Жишээ 6.

Ординатын тэнхлэгээс А(8; 6) цэгээс зай нь 5-тай тэнцүү байхаар M цэгийг ол.

Шийдэл.

Бодлогын нөхцлөөс харахад MA = 5 ба М цэгийн абсцисса нь 5-тай тэнцүү байна. М цэгийн ординат b-тэй тэнцүү байвал M(5; b) (Зураг 6).

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Тэгшитгэл хийцгээе:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Үүнийг хялбарчилж үзвэл: b 2 – 12b + 20 = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь b 1 = 2; b 2 = 10. Иймээс бодлогын нөхцөлийг хангасан хоёр цэг байна: M 1 (5; 2) ба M 2 (5; 10).

Олон оюутнууд мэддэг бие даасан шийдвэрАсуудлыг шийдвэрлэх арга техник, аргуудын талаар байнга зөвлөлдөх шаардлагатай байдаг. Ихэнхдээ оюутан багшийн тусламжгүйгээр асуудлыг шийдэх арга замыг олж чадахгүй. Оюутан манай вэбсайтаас асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зөвлөгөөг авах боломжтой.

Асуулт хэвээр байна уу? Та онгоцны хоёр цэгийн хоорондох зайг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Захирагч ашиглах. Үүнийг аль болох нимгэн хуудас материалаар хийсэн нь дээр. Хэрэв тархсан гадаргуу нь тэгш бус байвал оёдлын тоолуур туслах болно. Хэрэв танд нимгэн захирагч байхгүй бол картыг цоолохыг хүсэхгүй байгаа бол хэмжихдээ луужин ашиглах нь тохиромжтой, хоёр зүүгээр хэмжихэд тохиромжтой. Дараа нь та үүнийг график цаас руу шилжүүлж, түүний дагуух сегментийн уртыг хэмжиж болно.

Хоёр цэгийн хоорондох замууд шулуун байх нь ховор. Тохиромжтой төхөөрөмж - curvimeter нь шугамын уртыг хэмжихэд тусална. Үүнийг ашиглахын тулд эхлээд сумыг тэгтэй зэрэгцүүлэхийн тулд булыг эргүүлнэ. Хэрэв curvimeter нь электрон бол үүнийг гараар тэг болгох шаардлагагүй - дахин тохируулах товчийг дарахад л хангалттай. Роллерыг барьж, сегментийн эхлэх цэг хүртэл дарж, бие дээрх тэмдэг (булны дээгүүр байрлах) энэ цэг рүү шууд чиглэнэ. Дараа нь тэмдэглэгээтэй тэнцэх хүртэл өнхрүүлгийг шугамын дагуу хөдөлгөнө төгсгөлийн цэг. Гэрчлэлийг уншина уу. Зарим curvimeters нь хоёр масштабтай байдаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь сантиметрээр, нөгөө нь инчээр төгссөн байдаг гэдгийг анхаарна уу.

Газрын зураг дээрх масштабын индикаторыг олоорой - энэ нь ихэвчлэн баруун доод буланд байрладаг. Заримдаа энэ үзүүлэлт нь тохируулсан урттай хэсэг бөгөөд түүний хажууд ямар зайд тохирохыг зааж өгдөг. Энэ сегментийн уртыг захирагчаар хэмжинэ. Жишээлбэл, энэ нь 4 сантиметр урттай, хажууд нь 200 метртэй тохирч байгаа нь тогтоогдвол хоёр дахь тоог эхний тоонд хуваавал газрын зураг дээрх бүх хүн таарч байгааг олж мэдэх болно. газар дээр 50 метр хүртэл. Зарим дээр сегментийн оронд байдаг бэлэн хэллэг, жишээ нь: "Нэг сантиметрт 150 метр байдаг." Хуваарийг мөн дараах хэлбэрийн харьцаагаар тодорхойлж болно: 1:100000. Энэ тохиолдолд 100000/100 (метр дэх сантиметр) = 1000 м байх тул газрын зураг дээрх сантиметр нь газар дээрх 1000 метртэй тохирч байгааг бид тооцоолж болно.

Сантиметрээр илэрхийлсэн захирагч эсвэл муруметрээр хэмжсэн зайг газрын зураг дээр заасан эсвэл нэг сантиметрээр тооцсон метрийн тоогоор үржүүлнэ. Үр дүн нь байх болно бодит зай, тус тус илэрхийлсэн, эсвэл километр.

Аливаа газрын зураг бол зарим нутаг дэвсгэрийн бяцхан дүрс юм. Зурагтай харьцуулахад хэр хэмжээгээр багасч байгааг харуулсан коэффициент бодит объект, масштаб гэж нэрлэдэг. Үүнийг мэдсэнээр та тодорхойлж чадна зай. Жинхнээсээ одоо байгаа газрын зурагцаасан дээр масштаб нь тогтмол утга юм. Виртуал хувьд цахим картуудмониторын дэлгэц дээрх газрын зургийн томруулалт өөрчлөгдөхөд энэ утга өөрчлөгдөнө.

Зааварчилгаа

Зайгаар газрын зураггеомэдээллийн багц дахь “Ruler” хэрэглүүрийг ашиглан хэмжиж болно Google Earthболон Yandex газрын зураг нь хиймэл дагуулын газрын зургийн үндэс юм. Зүгээр л энэ хэрэгслийг асаагаад замынхаа эхлэл болон дуусгахаар төлөвлөж буй цэг дээр дарна уу. Зайны утгыг өгөгдсөн хэмжилтийн аль ч нэгжээс олж болно.

Хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай.
Координатын системүүд

Хавтгайн А цэг бүр нь координатаараа (x, y) тодорхойлогддог. Тэдгээр нь координатын гарал үүсэл - 0 цэгээс гарч буй 0А векторын координатуудтай давхцдаг.

А ба В байг дурын цэгүүд(x 1 y 1) ба (x 2, y 2) координаттай онгоцууд.

Тэгвэл AB вектор координаттай байх нь ойлгомжтой (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Энэ нь вектор уртын квадрат гэдгийг мэддэг нийлбэртэй тэнцүү байнатүүний координатын квадратууд. Иймээс А ба В цэгүүдийн хоорондох d зай, эсвэл ижил байх нь AB векторын уртыг нөхцөлөөс тодорхойлно.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Үүссэн томъёо нь зөвхөн эдгээр цэгүүдийн координатыг мэддэг бол хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг олох боломжийг олгоно.

Хавтгай дээрх тодорхой цэгийн координатын тухай ярих болгондоо бид нарийн тодорхойлогдсон координатын систем x0y гэсэн үг юм. Ерөнхийдөө хавтгай дээрх координатын системийг янз бүрийн аргаар сонгож болно. Тиймээс x0y координатын системийн оронд хуучин координатын тэнхлэгүүдийг 0 эхлэлийн цэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан x"0y" координатын системийг авч үзэж болно. цагийн зүүний эсрэгбуланд байгаа сумнууд α .

Хэрэв x0y координатын систем дэх хавтгайн аль нэг цэг нь координаттай (х, у) байвал шинэ системкоординат x"0y" нь өөр өөр координаттай байх болно (x,y").

Жишээ болгон 0х тэнхлэг дээр байрлах, 0 цэгээс 1-ийн зайд тусгаарлагдсан М цэгийг авч үзье.

Мэдээжийн хэрэг, x0y координатын системд энэ цэг нь координаттай (cos α ,нүгэл α ), x"0y" координатын системд координатууд (1,0) байна.

А ба В хавтгай дээрх дурын хоёр цэгийн координат нь энэ хавтгайд координатын системийг хэрхэн зааж байгаагаас хамаарна. Гэхдээ эдгээр цэгүүдийн хоорондох зай нь координатын системийг тодорхойлох аргаас хамаардаггүй. Бид дараагийн догол мөрөнд энэ чухал нөхцөл байдлыг чухалчлан ашиглах болно.

Дасгал

I. Хавтгайн цэгүүдийн хоорондох зайг координаттай ол:

1) (3.5) ба (3.4); 3) (0.5) ба (5, 0); 5) (-3,4) ба (9, -17);

2) (2, 1) ба (- 5, 1); 4) (0, 7) ба (3,3); 6) (8, 21) ба (1, -3).

II. Талууд нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн гурвалжны периметрийг ол.

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ба у = 1.

III. x0y координатын системд M ба N цэгүүд нь (1, 0) ба (0,1) координаттай байна. Хуучин тэнхлэгүүдийг тойрон эргүүлсний үр дүнд олж авсан шинэ координатын систем дэх эдгээр цэгүүдийн координатыг ол. эхлэх цэгцагийн зүүний эсрэг 30 ° өнцгөөр.

IV. x0y координатын системд M ба N цэгүүд (2, 0) ба (\) координаттай байна. / 3/2, - 1/2) тус тус. Хуучин тэнхлэгүүдийг цагийн зүүний дагуу 30° өнцгөөр эхлэх цэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан шинэ координатын систем дэх эдгээр цэгүүдийн координатыг ол.

Тэгш өнцөгт координатын системийг өгье.

Теорем 1.1.Хавтгайн дурын M 1 (x 1;y 1) ба M 2 (x 2;y 2) хоёр цэгийн хувьд тэдгээрийн хоорондох d зайг томъёогоор илэрхийлнэ.

Баталгаа. M 1 ба M 2 цэгүүдээс M 1 B ба M 2 A перпендикуляруудыг тус тус буулгая.

Oy ба Ox тэнхлэг дээр M 1 B ба M 2 A шугамуудын огтлолцлын цэгийг K-ээр тэмдэглэнэ (Зураг 1.4). Дараах тохиолдлууд боломжтой.

1) M 1, M 2, K цэгүүд өөр байна. Мэдээжийн хэрэг, К цэг нь координаттай (x 2;y 1). M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô гэдгийг харахад хялбар байдаг. Учир нь ∆M 1 KM 2 тэгш өнцөгт, тэгвэл Пифагорын теоремоор d = M 1 M 2 = = .

2) K цэг нь M 2 цэгтэй давхцаж байгаа боловч M 1 цэгээс ялгаатай (Зураг 1.5). Энэ тохиолдолд y 2 = y 1 байна

ба d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) К цэг нь M 1 цэгтэй давхцаж байгаа боловч M 2 цэгээс ялгаатай. Энэ тохиолдолд x 2 = x 1 ба d = байна

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) M 2 цэг нь M 1 цэгтэй давхцаж байна. Дараа нь x 1 = x 2, y 1 = y 2 ба

d = M 1 M 2 = O =.

Үүнтэй холбогдуулан сегментийг хуваах.

Хавтгай дээр дурын M 1 M 2 хэрчим өгөгдөх ба үүний дурын цэг M ─ байг.

М 2 цэгээс ялгаатай сегмент (Зураг 1.6). l = тэгшитгэлээр тодорхойлогддог l тоо , дуудсан хандлага,энэ үед M нь M 1 M 2 хэрчмийг хуваана.

Теорем 1.2.Хэрэв M(x;y) цэг нь M 1 M 2 хэрчмийг l-тэй харьцуулахад хуваавал энэ цэгийн координатыг томъёогоор тодорхойлно.

x = , y = , (4)

Энд (x 1;y 1) ─ M 1 цэгийн координат, (x 2;y 2) ─ М 2 цэгийн координат.

Баталгаа.(4) томъёоны эхнийхийг баталцгаая. Хоёр дахь томьёо нь ижил төстэй байдлаар батлагдсан. Хоёр боломжит тохиолдол бий.

x = x 1 = = = .

2) Шулуун шугам M 1 M 2 нь Ox тэнхлэгт перпендикуляр биш (Зураг 1.6). M 1, M, M 2 цэгүүдээс Ox тэнхлэгт перпендикуляруудыг буулгаж, тэдгээрийн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг P 1, P, P 2 гэж тус тус тэмдэглэе. тухай теоремоор пропорциональ сегментүүд = л.

Учир нь P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô ба (x – x 1) болон (x 2 – x) тоонууд ижил тэмдэгтэй (x 1 дээр)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 сөрөг байна), тэгвэл

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Дүгнэлт 1.2.1.Хэрэв M 1 (x 1;y 1) ба M 2 (x 2;y 2) нь дурын хоёр цэг бөгөөд M(x;y) цэг нь M 1 M 2 хэрчмийн дунд хэсэг юм бол

x = , y = (5)

Баталгаа. M 1 M = M 2 M тул l = 1 ба (4) томъёог ашиглан бид (5) томъёог олж авна.

Гурвалжны талбай.

Теорем 1.3.А(x 1;y 1), B(x 2;y 2) ба C(x 3;y 3) цэгүүдийн хувьд ижил дээр оршдоггүй.

шулуун, талбай S ABC гурвалжинтомъёогоор илэрхийлнэ

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Баталгаа.∆ ABC талбайг Зураг дээр үзүүлэв. 1.7, бид дараах байдлаар тооцоолно

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Бид трапецын талбайг тооцоолно.

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Одоо бидэнд байна

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x) 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Өөр ∆ ABC байршлын хувьд (6) томъёог ижил төстэй байдлаар нотолсон боловч "-" тэмдгээр гарч болно. Тиймээс (6) томъёонд тэд модулийн тэмдгийг тавьдаг.

Лекц 2.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл: үндсэн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл, ерөнхий тэгшитгэлшугам, сегмент дэх шулууны тэгшитгэл, хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг, хавтгай дээрх шулуун шугамын параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл.

2.1. Тэгш өнцөгт координатын систем ба зарим L шулууныг хавтгайд өгье.

Тодорхойлолт 2.1. F(x;y) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, холбогдох хувьсагч x ба y гэж нэрлэдэг шугамын тэгшитгэл L(В өгөгдсөн системкоординат), хэрэв энэ тэгшитгэлийг L шулуун дээр байрлах дурын цэгийн координатаар хангасан бол энэ шулуун дээр ороогүй цэгийн координатаар биш.

Хавтгай дээрх шулуунуудын тэгшитгэлийн жишээ.

1) Ой тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг авч үзье тэгш өнцөгт системкоординатууд (Зураг 2.1). Энэ шулууны Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг А үсгээр тэмдэглэе, (a;o) ─ түүний эсвэл-

динат. x = a тэгшитгэл нь өгөгдсөн шугамын тэгшитгэл юм. Үнэн хэрэгтээ, энэ тэгшитгэл нь энэ шулууны аль ч цэгийн M(a;y) координатаар хангагдсан бөгөөд шулуун дээр хэвтээгүй аливаа цэгийн координатаар хангагддаггүй. Хэрэв a = 0 бол шулуун шугам нь x = 0 тэгшитгэлтэй Oy тэнхлэгтэй давхцдаг.

2) x - y = 0 тэгшитгэл нь I ба биссектрисаг бүрдүүлдэг хавтгайн цэгүүдийн багцыг тодорхойлно. III координатбулангууд

3) x 2 - y 2 = 0 ─ тэгшитгэл нь координатын өнцгийн хоёр биссектрисын тэгшитгэл юм.

4) x 2 + y 2 = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх ганц O(0;0) цэгийг тодорхойлно.

5) Тэгшитгэл x 2 + y 2 = 25 ─ радиус 5-тай тойргийн тэгшитгэл нь төв нь эх дээр байна.