ӨНЦГИЙГ ТОЙРОГТ ОРУУЛСАН

Өнцөг нь хавтгайг хоёр хэсэгт хуваадаг. Хэсэг бүрийг хавтгай өнцөг гэж нэрлэдэг. 13-р зурагт a ба b талуудтай хавтгай өнцгүүдийн нэг нь сүүдэрлэсэн байна. Хавтгай өнцөгтэй нийтлэг талууднэмэлт гэж нэрлэдэг.

Хэрэв хавтгай өнцөг нь хагас хавтгайн нэг хэсэг бол түүний градусын хэмжүүрийг ижил талуудтай энгийн өнцгийн хэмжүүр гэж нэрлэдэг. Хэрэв хавтгайн өнцөг нь хагас хавтгайг агуулж байвал түүний градусын хэмжүүрийг 360 ° - b-тэй тэнцүү авна, b нь нэмэлт хавтгай өнцгийн градусын хэмжүүр (Зураг 14).

Цагаан будаа. 13

Тойрог доторх төв өнцөг нь төвдөө оройтой хавтгай өнцөг юм. Хавтгай өнцгийн дотор байрлах тойргийн хэсгийг энэ төв өнцөгт тохирох тойргийн нум гэнэ (Зураг 15). Тойргийн нумын градусын хэмжүүр нь харгалзах төв өнцгийн градусын хэмжүүр юм.

Цагаан будаа. 15

Орой нь тойрог дээр байрладаг бөгөөд талууд нь энэ тойрогтой огтлолцдог өнцгийг тойрог дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг. 16-р зураг дээрх BAC өнцгийг тойрог хэлбэрээр бичжээ. Түүний А орой нь тойрог дээр байх ба талууд нь тойрогтой B ба C цэгүүдээр огтлолцдог. Мөн А өнцөг нь ВС хөвч дээр тогтдог гэж үздэг. BC шулуун шугам нь тойргийг хоёр нуман болгон хуваана. Төв өнцөг, А цэгийг агуулаагүй эдгээр нумуудын нуманд тохирохыг өгөгдсөн бичээстэй өнцөгт харгалзах төв өнцөг гэнэ.

Теорем 5. Өнцгийг тойрог хэлбэрээр бичсэн хагастай тэнцүүхаргалзах төв өнцөг.

Баталгаа.Эхлээд авч үзье онцгой тохиолдол, өнцгийн талуудын аль нэг нь тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх үед (Зураг 17, а). AOB гурвалжин нь тэгш өнцөгт юм, учир нь түүний OA ба OB талууд нь радиусаараа тэнцүү. Тиймээс гурвалжны А ба В өнцөг нь тэнцүү байна. Мөн тэдний нийлбэр тэнцүү учраас гадна булангурвалжин О орой дээр байвал гурвалжны В өнцөг нь AOC өнцгийн хагастай тэнцүү байх ба үүнийг батлах шаардлагатай.

Туслах диаметр BD (Зураг 17, b, c) зурах замаар ерөнхий тохиолдлыг авч үзсэн онцгой тохиолдол болгон бууруулна. Зураг 17, b-д үзүүлсэн тохиолдолд ABC = CBD + ABD = S COD + S AOD = S AOC.

Зураг 17, в-д үзүүлсэн тохиолдолд,

CBD - ABD = COD - AOD = AOC.

Теорем бүрэн батлагдсан.

ХОРДЫН ХЭСГҮҮД БА ТОЙРГИЙН СЕКАНТЫН ПРОПРОЦИОНАЛ БАЙДАЛ

Хэрэв тойргийн AB ба CD хөвчүүд S цэг дээр огтлолцвол

Дараа нь AS?BS=CS?DS.

Эхлээд ASD болон CSB гурвалжин ижил төстэй гэдгийг баталцгаая (Зураг 19). DCB ба DAB бичээстэй өнцөг нь теорем 5-ын үр дүнд тэнцүү байна. ASD болон BSC өнцөг нь босоо өнцөгтэй тэнцүү байна. Заасан өнцгүүдийн тэгш байдлаас харахад ASZ ба CSB гурвалжин ижил төстэй байна.

Гурвалжны ижил төстэй байдлаас пропорцийг дагадаг

AS?BS = CS?DS, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм

Зураг 19

Хэрэв P цэгээс тойрог руу A, B, C, D цэгүүдээр тойргийг тус тус огтолж буй хоёр зүсэлт зурвал

А ба С цэгүүдийг P цэгт хамгийн ойр байгаа тойрогтой огтлолцох цэгүүд гэж үзье (Зураг 20). Гурвалжин PAD ба ПХБ нь ижил төстэй. Тэдгээр нь P орой дээр нийтлэг өнцөгтэй бөгөөд B ба D оройн өнцөг нь тойрог дотор сийлсэн өнцгийн шинж чанарын дагуу тэнцүү байна. Гурвалжны ижил төстэй байдлаас пропорцийг дагадаг

Тиймээс PA?PB=PC?PD, энэ нь нотлогдох ёстой зүйл юм.

сэдвээр 8-р ангид геометрийн хичээл

"Хүч, шүргэгч, секантын сегментүүдийн пропорциональ байдал"

Хичээлийн зорилго:

хөвч, шүргэгч, секантын сегментүүдийн хоорондох хэв маягийг тодорхойлох; шүргэлтийн цэг хүртэл татсан шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцгийн (төв болон бичээсгүй) хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох;

геометрийн дүрслэл, бичих томъёогоор дамжуулан шинэ материалын ойлголтыг баталгаажуулах;

оюутнуудыг өмнө нь авч үзсэн материалын талаархи асуултуудыг удирдан чиглүүлэх замаар теоремын нотолгоог бие даан олж мэдэхэд чиглүүлэх; нотлох чадварыг бий болгох;

өгөгдсөн даалгаврыг алгоритмчилж, түүнийг шийдвэрлэхийн тулд хуримтлагдсан мэдлэгийг ашиглаж сурах;

геометрийн нотолгооны дизайны бичиг үсгийг хөгжүүлэх;

дүн шинжилгээ, синтез, индукцийн аргуудын тусламжтайгаар дүгнэлт, дүгнэлтийг бий болгох;

оюутнуудад бодол санааг бий болгох, хэрэгжүүлэхэд нарийвчлал, тодорхой, логик зэрэг шинж чанаруудыг хөгжүүлэх;

хөгжил хийсвэр сэтгэлгээ, идэвхжүүлэлт бодлын үйл явц, харааны хөгжил ба сонсголын санах ой, сурагчдын ярианы ур чадвар.

Хичээлийн төрөл:шинэ материал сурах.

Хичээлийн төлөвлөгөө.

Шинэ зүйл сурахад бэлдэж байна онолын материалүндсэн чиглэлээр оюутнуудаас санал асуулга авах замаар онолын зарчимтойрог ба түүнтэй холбоотой элементүүдийн тухай (шүргэгч, секант, хөвч, өнцөг).

Онолын материалын танилцуулга.

1. Диаметр ба хөвчний сегментийн пропорциональ байдал; хөвчний сегментүүдийн пропорциональ байдал.

   Шүргэх цэг хүртэл татсан шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцөг.

   Секант ба шүргэгч сегментүүдийн пропорциональ байдал, таслагч хэсгүүдийн пропорциональ байдал.

Хичээлийг нэгтгэн дүгнэх: теоремын томъёолол, теоремыг батлах санаа, гэрийн даалгаврыг багшийн тайлбараар бичих, оюутнуудаас санал асуулга авах.

Шинэ материалыг судлахад бэлтгэж байна.

Сэдвүүдийн үндсэн заалтуудыг сануулах " Харилцан байр суурьтойрог ба шулуун шугам”, “Тойрогтой шүргэгч”, “Шүргэгчийн хэрчмүүдийн шинж чанар”, “Төв өнцөг”, “Бичээстэй өнцөг. Төв өнцгөөр дамжуулан бичээстэй өнцгийг хэмжих." Дараахь асуултуудыг багтаасан байх ёстой.

ижил төстэй гурвалжин; гурвалжингийн ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг.

Шугаман ба тойргийн харьцангуй байрлал: тойрог дотор хэвтэж буй зүсэгчийн сегмент болох хөвчийг тодорхойлох; шүргэгч.

Төвийн өнцгийг тодорхойлох; бичээстэй өнцгийг тодорхойлох; төв өнцгийн градусын хэмжилт; төвөөр дамжуулан бичээстэй өнцгийг хэмжих; бичээстэй өнцгийн теоремын үр дагавар.

Онолын шинэ материалыг судлах, тэмдэглэл хөтлөх.

2.1. Хөвчний сегментүүдийн пропорциональ байдал.

Энэ онолын хэсэгнэг нийтлэг цэгтэй хөвч ба диаметрийн хэрчмүүдийн пропорциональ байдлын тухай теорем, хоёр хөвчний тохиолдлын үр дүн, нэг нийтлэг цэгээр дамжин өнгөрөх дурын тооны хөвчний тохиолдлын ерөнхий дүгнэлтийг багтаасан болно.

Теорем 1: Хэрэв тойрог доторх цэгээр (M) авбал зарим хөвч (AB) ба диаметр (CD), тэгвэл хөвчний сегментүүдийн үржвэр () нь диаметр сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна ()
)(Зураг 1.).

Д тийм:Окр( ТУХАЙ; О.А),
- диаметр, AB- хөвч,
.

Нотлох:= .

Нотолгоо:Тэгш байдлыг батлахын тулд харьцааг харьцуулах нь хангалттай
Тэгээд
. Пропорциональ сегментүүд нь ижил төстэй гурвалжны ижил төстэй талууд юм. Гурвалжныг авч үзье
Тэгээд
. Эдгээр гурвалжнууд нь гурвалжингийн ижил төстэй байдлын эхний шинж тэмдгийн дагуу ижил төстэй байх болно: босоо байдлаар; бичээстэй адил нуман дээр тулгуурласан БА. Гурвалжны ижил төстэй байдлаас харахад ижил төстэй талуудын пропорциональ байдал, өөрөөр хэлбэл.

, эсвэл
, эсвэл = .

Дүгнэлт 2: Хэрэв тойргийн хоёр хөвч огтлолцож байвал нэг хөвчний хэрчмүүдийн үржвэр нь нөгөө хөвчийн сегментийн үржвэртэй тэнцүү байна (Зураг 2.).

Өгөгдсөн:Окр( ТУХАЙ; О.А), AB,Э.Ф.- хөвч,
.

Нотлох:=
.

Нотолгоо:Диаметрийг зурцгаая CDцэгээр дамжуулан М. Дараа нь 1-р теоремын дагуу хөвчний хувьд AB: = ;

хөвчний хувьд Э.Ф.:
= .

Тэнцүү байдлын баруун талууд тэнцүү тул зүүн талууд нь мөн адил тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Дүгнэлт 3 (Үндэслэл 1-ийг нэгтгэн дүгнэх): Хэрэв тойрог доторх цэгээр (M) авбал хэдэн ч хөвч (AB, Э.Ф., KL,...), тэгвэл хөвч бүрийн сегментүүдийн үржвэр нь бүх хөвчүүдийн хувьд тогтмол байдаг тоо (учир нь хөвч бүрийн хувьд энэ бүтээгдэхүүн нь өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх диаметрийн сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна).

Шүргэх цэг хүртэл татсан шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцөг.

Энэ зүйл нь шүргэх цэг рүү татсан шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцгийн хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжийг олгодог (энэ нь төв өнцөг эсвэл тойрог дотор бичигдсэн өнцөг биш). Мөн тангенс ба секантын хэрчмүүдийн пропорциональ байдлын тухай теоремыг батлах боломжийг танд олгоно.

Теорем 4: Шүргэх цэг ба хөвчний хоорондох өнцгийг энэ хөвчний хажуугийн нумын хагасаар хэмжинэ (Зураг 3.).

Д тийм:Окр( Өө ОА), АС- шүргэгч, А- холбоо барих цэг,

AB- хөвч.

Нотлох:
.

Нотолгоо:Шаардлагатай гэж тэмдэглэе
дамжуулан . Учир нь АС- тэгвэл шүргэгч
. Ингээд авч үзье
- тэгш өнцөгт ( ХК, В.О- радиус), дараа нь

Олъё

нөгөө талд
, тиймээс,
, эсвэл
.

Тангенс ба секант сегментүүдийн пропорциональ байдал.

Энэ хэсэг нь тодорхойлох боломжийг танд олгоно пропорциональ сегментүүднэг цэгээс татсан шүргэгч ба секантын хувьд, нэг цэгээс өгөгдсөн тойрог руу татсан хоёр ба түүнээс дээш секантын хувьд.

Теорем 5: Хэрэв тойргийн гаднаас авсан (M) цэгээс түүн рүү зарим секант (MA) ба шүргэгч (MS) татагдсан бол секант (MA) ба түүний гадаад хэсгийн (MB) үржвэр нь тэнцүү байна. шүргэгчийн квадрат (MC) (Зураг 4.).

Д тийм:Окр( Өө ОА), MS- шүргэгч, МА- секант

MV- секантын гаднах хэсэг МА.

Нотлох:
.

Нотолгоо:Тэгш байдлыг батлахын тулд харьцааг харьцуулах нь хангалттай
Тэгээд
, өөрөөр хэлбэл авч үзэх
Тэгээд
. Тэд адилхан гэдгийг харуулъя. Үнэндээ,
- ерөнхий,
бичээстэй, мөн
4-р теоремоор (шүргэх цэг хүртэл татсан шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцөг гэх мэт), i.e. .

Тиймээс, энэ нь ижил төстэй (гурвалжны ижил төстэй байдлын 1-р шалгуурын дагуу), тиймээс = , эсвэл .

Дүгнэлт 6: Хэрэв тойргийн гаднаас авсан цэгээс түүн рүү хэдэн ч секант татагдсан бол секант тус бүрийн үржвэр ба түүний гадаад хэсэг нь эдгээр бүх секантуудын хувьд тогтмол тоо байна (учир нь энэ үржвэр нь квадраттай тэнцүү байна. авсан цэгээр татсан шүргэгч).

Дүгнэж байна.

Теорем ба үр дагаварын томъёолол, тэдгээрийг нотлох санааг хэлэх замаар онолын материалыг анхдагч нэгтгэх.

Гэрийн даалгавар болгон дараахь зүйлийг санал болгов.

онолын асуудал: Диаметр ABцэгээс цааш сунгасан өгөгдсөн тойргийн IN. Ямар нэг цэгээр ХАМТЭнэ үргэлжлэлээс шулуун шугам татагдана
. Хэрэв дурын цэг Мүүнийг перпендикуляр цэгтэй холбоно А, дараа нь (тэмдэглэсэн энэ шугамын тойрогтой огтлолцох хоёр дахь цэг) бүтээгдэхүүн
нь ямар ч M цэгийн тогтмол утга юм.

томьёо хэрэглэх тухай асуудал № 666 ба 671 (Л. С. Атанасяны сурах бичиг) пропорциональ сегментүүдхөвч, шүргэгч ба секант;

“Бичээстэй өнцөг” сэдвийг давтах 660-р даалгавар;

сайн уншсан онолын материалыг сурах ( дараагийн хичээл-аас эхлэх ёстой туршилтын ажилэнэ онолын дагуу).

Бүтээмж.Хичээлийн үеэр оюутнууд хөвч, шүргэгч, секантын сегментүүдийн хоорондын хэв маягийг тодорхойлсон; шүргэгч ба шүргэх цэг хүртэл татсан хөвч хоорондын өнцгийн хэмжүүрийг тодорхойлно; геометрийн дүрслэл, бичих томъёогоор дамжуулан оюутнуудын шинэ материалын ойлголтыг баталгаажуулсан; Оюутнуудыг геометрийн нотолгооны загвар зохион бүтээх чадварт сургасан.

Теоремуудыг батлахын тулд та “Тойрог. Шулуун шугам ба тойргийн харьцангуй байрлал. Төв ба бичээстэй өнцөг. Сегментүүдийн пропорциональ байдлын тухай ойлголтыг талууд гэж санаарай ижил төстэй гурвалжин.

Хоёр хөвчний сегментүүдийн пропорциональ байдлыг тусад нь тодруулах шаардлагатай. Тодорхой анги, хичээлийн хурдаас хамааран нотолгоог бичгээр болон аман хэлбэрээр хийж болно.

Багш цаг хугацаа, дизайны чанарыг хэмнэх, теоремын нотолгоог олоход оюутнуудыг аль болох оролцуулахын тулд онолын материалыг (бичих томъёолол) самбар дээр бичих нь дээр.

Ажлын өндөр хурдтай үед та бодож болно онолын асуудал, онд санал болгосон гэрийн даалгавар, нотлох санааг дэвшүүлж, дизайныг байшинд үлдээгээрэй.

Дараагийн хичээл дээр судалсан материалыг хянахын тулд та удирдан явуулах хэрэгтэй урд талын судалгаахэлбэрээр онол бичсэн ажил, үүнд багтаж болно энгийн даалгавардээр үндсэн томъёотойрог дахь пропорциональ байдал.

Уран зохиол.

пропорциональ байдал сегментүүд? Мэдээжийн хэрэг, ижил төстэй байдлаас харахад ... жишээлбэл, хичээлгеометр VI-д ангидээр сэдэв"Гурвалжин барих Byхоёр өнцөг ... үүссэн хөвчТэгээд шүргэгчТөгсгөлийн үүрэг гүйцэтгэдэг цэгүүдэд нуман руу хөвч, тэнцүү байна "...

Хөвч ба секантын сегментүүдийн пропорциональ байдал.

Шүргэдэг сегментийн шинж чанар.

Цэгүүдийн байршлын тухай теорем.

Перпендикуляр биссектрис.

Хязгаарлагдмал тойрог. Тойрог дотор бичээстэй гурвалжин.

Гурвалжин дотор бичээстэй тойрог.

Бүх үзэл баримтлал, мэдэгдэлд асуудлуудыг санал болгож байна.

Танилцуулга нь цуврал хичээлд зориулагдсан болно. Зайны сургалтанд ашиглаж болно.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

СЭДЭВ: "ТОЙРОГ".

Тойрог. Радиус. Аккорд. Диаметр. Төв булан. Төв булан. Бичсэн өнцөг. Даалгавар. Бичсэн өнцгийн шинж чанар. Даалгавар. Нумануудын хагас нийлбэрийн тухай теорем. Даалгавар. Нумын хагас ялгааны тухай теорем. Даалгавар. огтлолцсон хөвчүүдийн сегментүүдийн бүтээгдэхүүн. Хөвч ба секантын сегментүүдийн пропорциональ байдал. Шүргэдэг сегментийн шинж чанар. Даалгавар. Геометрийн цэгүүдийн байршил. Цэгүүдийн байршлын тухай теорем. Перпендикуляр биссектрис. Хязгаарлагдмал тойрог. Тойрог дотор бичээстэй гурвалжин. Даалгавар. Даалгавар. Тойрогтой шүргэгч. Гурвалжин дотор бичээстэй тойрог. Даалгавар. Дөрвөн өнцөгтийг тойрсон тойрог. Даалгавар. Дөрвөн өнцөгт бичээстэй тойрог. Даалгавар.

Тойрог гэдэг нь өгөгдсөн цэгээс буюу тойргийн төвөөс ижил зайд байгаа онгоцны бүх цэгүүдээс бүрдэх дүрс юм. Тойргийн төвөөс түүн дээр хэвтэж буй А цэг хүртэлх зай 5 см бөгөөд энэ тойргийн О цэгээс В цэг хүртэлх зай 5 см, харин О цэгээс түүн дээр хэвтээгүй С ба D цэг хүртэлх зайг батал. 5 см-тэй тэнцүү биш .тойрог. O C D A B буцаж

РАДИУС. Радиус нь төвийг тойргийн аль ч цэгтэй холбосон сегмент юм. X,Y,Z цэгүүд M төвтэй тойрог дээр хэвтэнэ. Энэ тойргийн радиус нь MX сегмент; YZ сегмент? Y X Z буцаж

ХОРД. Тойргийн хөвч гэж юу вэ? Хөвч нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент юм. буцаж О А Б

ДИАМЕТР. Тойргийн диаметр хэд вэ? Диаметр нь төвөөр дамжин өнгөрөх хөвч юм. буцаж О А Б

ТӨВ ӨНЦӨГ Төв өнцөг нь орой нь тойргийн төвд байх өнцөг юм. Төв өнцгийн градусын хэмжүүр нь тохирч байна градусын хэмжүүртүүний тулгуурласан нум (хэрэв нум нь хагас тойргоос бага бол). Зурган дээрх бүх төв өнцгийг нэрлэнэ үү. O C A B м буцаж

Хэрэв өгөгдсөн тойргийн төв өнцгүүд тэнцүү бол харгалзах нумууд нь хосоороо тэнцүү байна. Эсрэг заалтыг томъёол. A O C B D буцаж

ХАМТ ӨНЦӨГ. Орой нь тойрог дээр байрладаг бөгөөд талууд нь энэ тойрогтой огтлолцдог өнцгийг тойрог дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг. Ямар өнцгүүдийг тойрогт дүрсэлсэн бэ? буцаж A B C

ABC өнцгийг тойрог дотор бичжээ. AC - диаметр. ABC өнцөг нь зөв өнцөг гэдгийг батал. Даалгавар. буцах O A C B

INLUSION ANGLE PROPERTY. Тойрог дотор бичээстэй бүх өнцөг тэнцүү, талууд нь тойргийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх ба оройнууд нь эдгээр цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын нэг талд оршдог болохыг батал. буцаж

ДААЛГАВАР. A, B, C цэгүүд нь төв О,  ABC = 50 ,  AB:  CB = 5: 8. Эдгээр нум ба  AOC-ийг ол. буцаж

ТЕОРЕМИЙГ ЗУРАГТАЙ БАТЛ. Орой нь тойрог дотор байрлах өнцгийг ( ABC) хоёр нумын (AC ба D E) хагасын нийлбэрээр хэмжигддэг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь хажуугийн хооронд, нөгөө нь хажуугийн суналтын хооронд байрладаг. .  ABC = 0.5 ( D E +  AC). D E A C буцаж

ДААЛГАВАР. MK ба PT хөвчүүд А цэгт огтлолцоно.AR = 2 дм, AT = 24 дм, AM: KA = 3: 4 бол AM уртыг ол.

ТЕОРЕМИЙГ ЗУРАГТАЙ БАТЛ. Орой нь тойргийн гадна байрлах ба талууд нь тойрогтой огтлолцдог өнцгийг ( ABC) талуудын хооронд хүрээлэгдсэн хоёр нумын (AC ба D E) хагасын зөрүүгээр хэмждэг.  ABC = 0.5 ( D E +  AC). B D E A C буцаж

ДААЛГАВАР. А цэгээс 5 см радиустай тойргийн төв хүртэлх зай нь 10 см байна. А цэгээр дамжин тойргийг B ба C цэгүүдээр огтолно. Хэрэв В цэг АС хэрчмийг хагасаар хуваавал АС-ийг ол. буцаж

ОРОЛЦОГЧ ХОРДЫН ХЭСГҮҮДИЙН БҮТЭЭГДЭХҮҮН. Осолдож буй хөвчүүдийн сегментүүдийн уртын үржвэр тэнцүү байна. Энэ теоремыг “хэрэв” ба “тэгвэл” гэсэн үгээр илэрхийл. Өөрийгөө туршиж үзээрэй: “Хэрэв AB ба C D хөвчүүд М цэгт огтлолцвол AM  BM = CM  D M C B m A D буцна.

ХОРД БА СЕКУНДЫН ХЭСГҮҮДИЙН ПРОПРОЦИОНАЛ. Таслах сегментийн уртын үржвэр нь шүргэгч сегментийн уртын квадраттай тэнцүү байна. М цэгээр тойргийн секант ба шүргэгчийг татсан бол А ба В цэгүүд нь тойргийн зүсэгчтэй огтлолцох цэг, С нь шүргэлтийн цэг байвал AM  BM = CM болно. M S V A буцаж

ШОРГОГЧ ХЭСГЭРИЙН ХИЧЭЭЛ. Түүний гаднах цэгээс тойрог руу татсан хоёр шүргэгчийн хэрчмүүд нь тэнцүү бөгөөд хэлбэртэй байна тэнцүү өнцөгэнэ цэгийг төвтэй холбосон шулуун шугамаар. Теоремыг өөрөө батал. A O C B буцаж

ДААЛГАВАР. М цэгээс төв О, радиус нь 8 см тойрог хүртэл AM ба BM шүргэгчийг зурсан (А ба В шүргэлтийн цэгүүд). AOB өнцөг 120 бол ABM гурвалжны периметрийг ол. буцаж

ЦЭГИЙН ГЕОМЕТРИЙН БАЙРШИЛ. Цэгүүдийн байрлал гэдэг нь хавтгайд байгаа бүх цэгүүдээс бүрдэх дүрс юм тодорхой өмч. Тойрог яагаад өгөгдсөн цэгээс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байршил болохыг тайлбарла. буцаж О А Б

ГЕОМЕТРИЙН ЦЭГИЙН ТУХАЙ ТЕОРЕМ. Өгөгдсөн хоёр цэгээс ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал нь эдгээр цэгүүдийг холбосон хэрчимтэй перпендикуляр шулуун шугам бөгөөд түүний дунд цэгийг дайран өнгөрдөг. Өгөгдсөн: a; AB  a; AO = OB. Нотлох: a - байршилА ба В цэгээс ижил зайд байгаа цэгүүд. Хэрэв а шулуун дээрх дурын цэг нь А ба В цэгээс ижил зайд байгааг тогтоовол теорем батлагдах уу. Буцах A B O M a

ДУНДЫН ПЕРПЕНДИКУЛЬ. AB хэрчимтэй перпендикуляр биссектриса нь түүнд перпендикуляр AB хэрчмийн дундыг дайран өнгөрөх шулуун юм. Тойргийн төв нь дээр байгааг батал перпендикуляр биссектрисэнэ тойргийн дурын хөвч рүү. буцаж

Тойрог дугуй. ГУРВАЛЖИНГ ТОЙРОГТ БИЧСЭН. Тойрог гурвалжны бүх оройг дайран өнгөрвөл түүнийг тойруулан тойрсон тойрог гэнэ. Энэ тохиолдолд гурвалжинг тойрог дотор бичээстэй гэж хэлдэг. Бичсэн гурвалжны талууд нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн хөвч гэдгийг батал. Гурвалжны тойргийн төв хаана байна вэ? буцаж

Тэгш өнцөгт гурвалжны тойргийн төв хаана байх вэ? Даалгавар. буцах O A C B

ДААЛГАВАР. 10, 12, 10 см ар талтай гурвалжингаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол.

Тойрогтой нэг л нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг тойрогтой шүргэгч гэнэ. Нийтлэг цэгтойрог ба шүргэгчийг шүргэлтийн цэг гэж нэрлэдэг. C D E гурвалжны талуудын талаар тойрогтой холбоотой юу хэлж болох вэ? буцаж

ГУРВАЛЖИНД БИЧСЭН ТОЙРОГ. Тойрог бүх талдаа хүрвэл гурвалжинд бичээстэй гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд гурвалжинг тойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг. Гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв хаана байна вэ? ABC гурвалжин нь тойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн байна. AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA гурвалжнуудын аль нь тэнцүү вэ? буцаж

ДААЛГАВАР. IN зөв гурвалжинөнцгүүдийн нэг нь 30  байна. Хэрэв бичээстэй тойргийн радиус 4 см бол гурвалжны жижиг талыг ол

КВАДАГОН ОРЧИН ДУРССАН ТОЙРОГ. Хэрэв тухай бол гүдгэр дөрвөлжинтойрог, дараа нь түүний нийлбэрийг дүрсэлж болно эсрэг талын булангуудхоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна. Баталгаажуулах:  A +  C = 180  . Эсрэг заалтыг томъёол. Ямар дөрвөн өнцөгтийг тойруулан тойрог зурж болох вэ? Яагаад? B C D A нуруу

ДААЛГАВАР. Трапецын диагональ нь c том суурьөнцөг нь 30 бөгөөд трапецын ойролцоо дүрслэгдсэн тойргийн төв нь энэ сууринд хамаарна. Хэрэв трапецын талбайг ол тал 2 см-ийн ар талтай тэнцүү

ДӨРВӨВЧИЛГИЙН ДӨРВӨНГӨД БИЧСЭН ТОЙРОГ Хэрэв дугуйг дөрвөлжин дотор бичиж болох юм бол түүний уртын нийлбэр эсрэг талуудтэнцүү байна. Баталгаажуулах: AB+C D = BC+A D. Эсрэг заалтыг томъёол. Тойрог ямар дөрвөн өнцөгт дүрсэлж болох вэ? B C D A N P K M буцаж

ДААЛГАВАР. Талбайг ол тэгш өнцөгт трапецХэрэв түүний суурь нь 2 см, 8 см буцаж байвал тойрог орчимд хүрээлэгдсэн байна

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байвал энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Зорилтот:суралцах сэдлийг нэмэгдүүлэх; тооцоолох чадвар, оюун ухаан, багаар ажиллах чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн явц

Мэдлэгийг шинэчлэх. Өнөөдөр бид тойргийн талаар үргэлжлүүлэн ярих болно. Тойргийн тодорхойлолтыг танд сануулъя: тойрог гэж юу вэ?

Тойрогхавтгайн нэг цэгээс өгөгдсөн зайд байгаа хавтгайн бүх цэгүүдээс тогтсон шулууныг тойргийн төв гэж нэрлэдэг.

Слайд нь тойрог харуулж, түүний төвийг тэмдэглэсэн - O цэг, хоёр сегментийг зурсан: OA ба SV. OA сегмент нь тойргийн төвийг тойрог дээрх цэгтэй холбодог. Үүнийг РАДИУС гэж нэрлэдэг (Латин радиусаар - "дугуйнд ярьсан"). CB сегмент нь тойргийн хоёр цэгийг холбож, төвийг нь дайран өнгөрдөг. Энэ бол тойргийн диаметр (Грек хэлнээс "диаметр" гэж орчуулагдсан) юм.

Бидэнд мөн тойргийн хөвчний тодорхойлолт хэрэгтэй болно - энэ нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент юм (зураг дээр - хөвч DE).

Асуултыг олж мэдье шулуун ба тойргийн харьцангуй байрлалын тухай.

Дараагийн асуулт бөгөөд энэ нь гол асуулт байх болно: огтлолцох хөвч, секант, шүргэгч ямар шинж чанартай болохыг олж мэд.

Та эдгээр шинж чанаруудыг математикийн хичээлээр нотлох бөгөөд бидний даалгавар бол эдгээр шинж чанаруудыг Улсын нэгдсэн шалгалт болон улсын шалгалтын хэлбэрээр шалгалтанд өргөн ашигладаг тул асуудлыг шийдвэрлэхдээ эдгээр шинж чанаруудыг хэрхэн ашиглах талаар сурах явдал юм.

Багуудад зориулсан даалгавар.

• Р цэгт огтлолцох CM ба NF хөвчний шинж чанарыг зурж бич.
• KM тангенс ба секантын KF-ийн шинж чанарыг зурж бич.
• KM ба MF секантын шинж чанарыг зурж бич.

Зураг дээрх өгөгдлийг ашиглан x-г ол. Слайд 5-6

Хэн хурдан байх нь илүү зөв юм. Дараа нь бүх асуудлын шийдлийг хэлэлцэж, баталгаажуулна. Хариулт өгсөн хүмүүс багийнхаа шагналын оноо авдаг.

За, одоо илүү ноцтой асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шилжье. Бид танд гурван блок санал болгож байна: огтлолцох хөвч, шүргэгч ба секант, хоёр секант. Бид блок бүрээс нэг асуудлын шийдлийг нарийвчлан шинжлэх болно.

(Уусмалыг шинжилнэ нарийвчилсан бүртгэл №4, №7, №12)

2. Асуудлыг шийдвэрлэх семинар

a) огтлолцох хөвч

1. E – AB ба CD хөвчүүдийн огтлолцох цэг. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. CD олох.

Шийдэл:

2. E – AB ба CD хөвчүүдийн огтлолцох цэг. AB=17, CD=18, ED=2CE. AE болон BE-г ол.

Шийдэл:

3. E – AB ба CD хөвчүүдийн огтлолцох цэг. AB=10, CD=11, BE=CE+1. CE-г олоорой.

Шийдэл:

4. E нь AB ба CD хөвчүүдийн огтлолцох цэг юм. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. CD олох.

Шийдэл:

б) Тангенс ба секант

5. Нэг цэгээс тойрог руу шүргэгч ба секант зурсан. Шүргэх нь 6, секант нь 18. Секантын дотоод сегментийг тодорхойл.

Шийдэл:

6. Нэг цэгээс тойрог руу шүргэгч ба секант зурсан. Секантын дотоод хэрчмээс 4-өөр бага, гадаад хэрчмээс 4-өөр их байгаа нь мэдэгдэж байвал шүргэгчийг ол.

Шийдэл:

7. Нэг цэгээс тойрог руу шүргэгч ба секант зурсан. Хэрэв дотоод сегмент нь гадаад хэрчимтэй 3:1 харьцаатай, шүргэгчийн урт нь 12 байх нь мэдэгдэж байгаа бол секантыг ол.

Шийдэл:

8. Нэг цэгээс тойрог руу шүргэгч ба секант зурсан. Дотор сегмент нь 12, шүргэгчийн урт нь 8 гэдгийг мэдэж байвал түүний гаднах сегментийг ол.

Шийдэл:

9. Нэг цэгээс гарч буй шүргэгч ба секант нь тус тус 12 ба 24-тэй тэнцүү бөгөөд хэрэв секант төвөөс 12 зайд байвал тойргийн радиусыг тодорхойл.

Шийдэл:

в) Хоёр секант

10. Нэг цэгээс хоёр секантыг тойрог руу татсан бөгөөд тэдгээрийн дотоод хэрчмүүд нь 8 ба 16-тай тэнцүү байна. Хоёр дахь секантын гадаад сегмент нь эхнийхээс 1-ээр бага байна. Секант бүрийн уртыг ол.

Шийдэл:

11. Нэг цэгээс тойрог руу хоёр секант зурсан. Эхний секантын гадаад сегмент нь түүний дотоод хэсэгтэй 1: 3 харьцаатай байдаг. Хоёрдахь секантын гаднах сегмент нь эхнийх нь гаднах сегментээс 1-ээр бага бөгөөд түүний дотоод сегменттэй 1: 8 харьцаатай байна. Секант бүрийн уртыг ол.

Шийдэл:

12. Тойргийн гадна талд төвөөсөө 7 зайд байрлах А цэгээр дамжин В, С цэгүүдээр тойргийг огтлолцсон шулуун зурсан байна. AB = 3, ВС бол тойргийн радиусын уртыг ол. = 5.

Шийдэл:

13. А цэгээс 12 см урттай секанс ба зүсэлтийн дотоод сегментийн бүрэлдэхүүн хэсэг болох шүргэгчийг тойрог руу татав. Шүргэгчийн уртыг ол.

Шийдэл:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Мэдлэгийг нэгтгэх

Та дараах станцуудаар зочлон оюун ухааныхаа төөрдөг шороон дундуур богино аялал хийх хангалттай мэдлэгтэй гэдэгт итгэж байна.

• Бодоод үз дээ!
• Шийдээрэй!
• Надад хариул!

Та буудал дээр 6 минутаас илүүгүй байж болно. Тус бүрийн хувьд зөв шийдвэрбаг урамшууллын оноо авдаг даалгавар.

Багуудад маршрутын хуудсыг өгдөг:

Маршрутын хуудас

Би чамайг сэтгэлээр унагамаар байна бидний хичээлийн үр дүн:

Шинэ мэдлэгээс гадна бие биенээ илүү сайн таньж, багаар ажиллаж туршлага хуримтлуулсан гэдэгт итгэлтэй байна. Та олж авсан мэдлэгээ амьдралын хаа нэгтээ ашигладаг гэж бодож байна уу?

Яруу найрагч Г.Лонфэллоу мөн математикч байсан. Тийм ч учраас түүний “Каванг” романдаа ашигласан математикийн үзэл баримтлалыг чимэглэсэн тод дүрслэлүүд нь зарим теоремууд, тэдгээрийн амьдралд хэрэглэгдэхүүнийг үлдээх боломжийг олгодог байх. Бид романаас дараах асуудлыг уншсан.

“Усны гадаргаас нэг алхмын өндөрт өргөгдсөн сараана шинэхэн салхины дор өмнөх газраасаа хоёр тохой зайд нуурын гадаргууд хүрэв; үүн дээр үндэслэн нуурын гүнийг тодорхойлох шаардлагатай болсон” (1 зай нь 10 инч, 2 тохой нь 21 инч).

Мөн энэ асуудлыг огтлолцсон хөвчний өмч дээр үндэслэн шийддэг. Зургийг харвал нуур хэр гүн болох нь тодорхой болно.

Шийдэл:

В.Хичээлийн хураангуй

U. Үүссэн бүх бичээстэй өнцгийг нэрлэнэ үү (Зураг 30).

D. CAB; ABC; Нар.

U. Шүргэгч ба хөвчний хоорондох бүх өнцгийг нэрлэнэ үү.

D. NAB; NBA; KBC; KCB; МСС; MAC.

U. Тэдний аль нь тэнцүү байх вэ, яагаад?

D. NAB = NBA; KBC= KCB; MCA = MAC. Тангенс ба хөвчний хоорондох эдгээр өнцгийн хос бүр нь ижил нумыг агуулдаг тул тоон хувьд хагастай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бие биетэйгээ тэнцүү байна.

U. Гурвалжны аль өнцөг нь эдгээр гурван хос тус бүртэй тэнцүү вэ, яагаад?

D. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. Шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцөг нь шүргэгч ба хөвчний хооронд агуулагдах нумын дагуух бичээстэй өнцөгтэй тэнцүү тул.

U. ANB гурвалжны төрлүүдийн талаар та юу хэлж чадах вэ; BKC; CMA?

D. Эдгээр гурвалжин тус бүр нь хоёр тэнцүү өнцөгтэй тул ижил өнцөгтүүд юм.

ВI. Гэрийн даалгавар

Атанасяны сурах бичгийн дагуу № 656, 663.

Онолд суралцах (шалгалтанд бэлтгэх).

Хичээл 6-7

Сэдэв. Хөвч ба секантын сегментүүдийн пропорциональ байдал.

Хичээлийн зорилго.Сэдвийн талаар сурагчдын мэдлэг, ойлголтыг шалгах: “Бичээстэй өнцөг”; онолын материалыг авч үзэх (хөвч ба секантуудын тухай); асуудлыг шийдвэрлэх ур чадварыг бэхжүүлэх.

I. Гэрийн даалгавар

II. Мэдлэгийн тест

Онол шалгах, “Бичигдсэн өнцөг” сэдвээр сурагчдын мэдлэгийг шалгах нь тестийн мөн чанар юм. Туршилт нь зөвхөн тодорхойлолт, шинж чанарын талаархи бодит мэдлэгийг шалгаад зогсохгүй ухагдахуун хоорондын холболтын талаархи ойлголтыг шалгадаг. Тиймээс зарим асуултуудыг сурах бичгийн дагуу хатуу бүрдүүлдэггүй. Үүнийг дуусгахад 5-7 минут шаардлагатай. Ажлыг үнэлэх хэрэгтэй. Хэрэв оюутан амжилтгүй болвол сурах бичгээс үгийн талаархи мэдлэгээ шалгахыг зөвлөж байна.

Туршилтыг сэдвийн төгсгөлд хийдэг, учир нь нуман, төв ба бичээстэй өнцгүүдийн хоорондох бүх холболтыг боловсруулах шаардлагатай байдаг.

Оюутнууд шалгалт өгөхдөө зөвхөн харгалзах тоог бичих шаардлагатай. Бид цаг хэмнэж, оюутнуудыг сэтгэн бодоход хүргэдэг.

Туршилтын дараа та ихэнх оюутнуудын сонирхлыг татсан асуултанд хариулж болно.

Тест (Л. С. Атанасяны сурах бичгийн дагуу)

Өгүүлбэрийн эхлэл ба төгсгөлийг хослуулан хий үнэн мэдэгдэл. Хариултдаа даалгаврын зүүн ба баруун хэсгийн тоог зааж өгнө үү, жишээлбэл: 2-5.

Сонголт 1

Сонголт 2

Хариултууд: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Өгүүлбэрийн эхлэл ба төгсгөлийг нэгтгэн үнэн дүгнэлт гарга. Хариултдаа даалгаврын зүүн ба баруун хэсгийн тоог зааж өгнө үү, жишээлбэл: 2-5.

Сонголт 1

Хариултууд: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

Сонголт 2

Хариултууд. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Шинэ материалын тайлбар

У.Хичээлийн сэдвийг бичиж, дууссан зургийг амаар ашиглан бодлогод дүн шинжилгээ хийцгээе (Зураг 31).

У.Диаметрийг тойрог хэлбэрээр зурсан АС, хөвч Б.Д, NEба AD ба шүргэгч CN, AD хөвчний үргэлжлэлээр 30° өнцгийг үүсгэдэг.

Хай DBC.

Асуудлын шалтгаан:

1) Өнцгийн нэр юу вэ DBC, Энэ нь ямар нуман дээр тулгуурладаг вэ?

2) Нүүрсний талаар юу хэлж болох вэ БОЛНО?

3) Тангентын шинж чанар CN.

4) CAN өнцгийг хэрхэн тооцоолох вэ, яагаад?

Дүгнэлт: DBC = 60°

Үндэслэл хийх явцад бид зураг дээрх ижил өнцгийг тэмдэглэдэг ACN = 90 °. Дараа нь бид гурвалжингуудыг авч үзэхийг санал болгож байна HSRболон AMD. Эдгээр гурвалжин нь ижил төстэй (хэрэв та үүнийг өөрөө олж харахгүй бол танд зөвлөгөө өгөх боломжтой).

Гурвалжны ижил төстэй байдлыг батлахын тулд бид ижил төстэй байдлын шинж тэмдгийг санах хэрэгтэй.

Зураг дээр тэгш өнцөгтүүдийг аль хэдийн тэмдэглэсэн байна C.B.M. = CAD(нэг нуман дээр тулгуурладаг). Үлдсэн зүйл бол босоо өнцгийг анзаарах явдал юм :

IUD = AMD, VSM ~ ∆AMD(хоёр буланд).

Ижил төстэй гурвалжны харгалзах талуудын талаар юу хэлэх хэрэгтэй вэ? Пропорцийг бүрдүүлэх:

BMAM = CMDM = BCAD.

У.. Тойрог доторх ямар хэрчмүүд пропорцонд орсон бэ?

Д.Хөвчний хэсэг ба диаметр.

У.Өөрөөр хэлбэл, тойрог дахь огтлолцсон хөвчүүдийн хооронд холбоо байгаа гэж бид үзэж болно.

Теоремыг томъёолъё: хэрэв тойргийн хоёр хөвч огтлолцвол нэг хөвчний сегментийн үржвэр нь нөгөө хөвчний сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Баталгаажуулалт нь Атанасяны сурах бичгийн дагуу хийгдсэн бөгөөд оюутнууд теоремыг ойлгоход бэлтгэгдсэн бөгөөд үүнийг бичихэд их цаг хугацаа шаардагдахгүй.

Секантын теоремыг авч үзэх шаардлагатай гэж бид үзэж байна.

Бид теоремын зургийг бэлтгэж, тойрог руу чиглүүлэх гэж юу болохыг олж мэдэв: тойргийг хоёр цэгээр огтолж буй шулуун шугам.

Үүнийг бичээд үзье теоремын томъёолол: нэг цэгээс худал хэлж байгаа бол

тойргийн гадна талд хоёр секант зурж, дараа нь секантын бүтээгдэхүүн ба тэдгээрийн гаднах хэсгүүд тэнцүү байна. (Эсвэл: Р цэгээс тойрог руу хоёр секант зурсан бол тойрогтой А цэгээр огтлолцсон бол, INболон C, Дтус тус

Тэр ARB.P. = = C.P.- Д.П..)

Өгөгдсөн: B.P.Тэгээд Д.П.- секант (Зураг 32).

Баталгаажуулах: АД AP = PD PC.

Нотолгоо:

1. Нэмэлт бүтээн байгуулалтыг хийцгээе: НарnAD.

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP АД.

Секант ба тойргийн харьцангуй байрлалыг үргэлжлүүлэн авч үзье. Хэрэв бид энэ зургийг PB секант шүргэгчийн байрлалыг авахаар өөрчилвөл бидний теоремыг дараах байдлаар томъёолно: хэрвээ тойргийн гаднах нэг цэгээс энэ тойрогт секант ба шүргэгчийг зурсан бол квадрат шүргэгчийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнатүүний гаднах хэсэг рүү чиглэнэ.

ПТиймээс бид үүнийг батлах хэрэгтэй B.P. 2 = PDPC.

Аккорд зурцгаая НарТэгээд Б.Д.

BDC = ½уНар(бичсэн шиг);

SVR = ½уНар(шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцөг), тиймээс

BDC = C.B.P..

∆BPD ~ ∆ C.P.B.хоёр буланд.

Пропорцийг бичье:

BD/BC = BP/PC =PD/BP гэсэн үг B.P.2 = компьютерП.Д.

Теоремын томъёоллыг бичиж авсны дараа №670 (Атанасян) асуудлыг шийдэж, теоремыг батлах боломжтой. Баталгаажуулах зарчим давтагддаг тул бүх гурван теорем дээр ижил төстэй байдал дээр суурилдаг тул та оюутнуудын нэгээс самбар дээр нотлохыг хүсч болно.

Асуудал 1

KL ба MN нь секант юм (Зураг No34). Ямар өмчийг томъёолж болох вэ? (Бид зураг төслийг хэлэлцэж, бэлтгэж, энэ зураг дээр үндэслэн асуудлыг шийддэг.)

Аккорд MN болон KL C цэгт огтлолцоно.Хэсэгтийн уртыг тодорхойлC.L., ХэрэвKC= 3см, MS = 3см; CH = 9 см.сэдэв " ТөвТэгээд бичээстэй өнцөг". Дүгнэж, ... Өнөөдөр бид финалтай байна хичээл By сэдэв: "ТөвТэгээд бичээстэй өнцөг"Бид давтан, ерөнхийлүүлж, танилцуулж байна ...