Цэгийн байрлалыг эх цэг гэж нэрлэдэг нэг цэгээр огтлолцох тогтмол шулуунууд дээрх проекц гэж тодорхойлж болох орон зайд. Эдгээр төсөөллийг цэгийн координат гэж нэрлэдэг ба шулуун шугамыг координатын тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
IN ерөнхий тохиолдолонгоцонд декартын системкоординат ( аффины системкоординатууд) нь О цэг (координатын гарал үүсэл) ба түүнд хавсаргасан e 1 ба e 2 векторуудын эрэмбэлэгдсэн хосоор (суурь векторууд) өгөгдсөн бөгөөд тэдгээр нь нэг шулуун дээр оршдоггүй. Үндсэн векторуудын чиглэлд эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг өгөгдсөн декартын координатын системийн координатын тэнхлэгүүд гэнэ. e 1 вектороор тодорхойлогддог эхнийх нь абсцисса тэнхлэг (эсвэл Ox тэнхлэг), хоёр дахь нь ординатын тэнхлэг (эсвэл Oy тэнхлэг) юм. Декартын координатын системийг өөрөө Oe 1 e 2 эсвэл Oxy гэж тэмдэглэнэ. Декартын координатын системийн Oe 1 e 2 дахь М цэгийн декарт координатуудыг (e 1,) үндсэн дагуу OM векторын тэлэлтийн коэффициент болох эрэмбэлэгдсэн хос тоо (x, y) гэж нэрлэдэг. e 2), өөрөөр хэлбэл x ба у нь OM = xe 1 + ue 2 байхаар байна. x тоо, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).
Хэрэв суурь векторууд (e' 1, e' 2) суурь векторуудаар (e 1, e 2) илэрхийлэгдэхийн тулд хавтгай дээр Oe 1 e 2 ба 0'e' 1 e' 2 хоёр декартын координатын системийг оруулбал. томъёогоор
e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e’ 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2
ба О' цэг нь декартын координатын систем Oe 1 e 2 координаттай (x 0, y 0), дараа нь декартын координатын систем дэх М цэгийн координат (х, у) Oe 1 e2 ба координат (x') байна. , y') декартын координатын системийн ижил цэгийн O'e 1 e' 2 нь хамаарлаар холбогдоно.
x = a 11 x’ + a 21 y’ + x 0, y = a 12 x’+ a 22 y’+ y 0.
Хэрэв суурь (e 1, e 2) нь ортонормаль, өөрөөр хэлбэл e 1 ба e 2 векторууд харилцан перпендикуляр, урттай бол декартын координатын системийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. нэгтэй тэнцүү(энэ тохиолдолд e 1 ба e 2 векторуудыг вектор гэж нэрлэдэг). Тэгш өнцөгт декартын координатын системд М цэгийн х ба у координат нь хэмжигдэхүүн юм. ортогональ проекцуудҮхэр ба Ой тэнхлэг дээрх M цэгүүд. Тэгш өнцөгт декартын координатын Oxy системд M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) цэгүүдийн хоорондох зай нь √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1) -тэй тэнцүү байна. ) 2
Нэг тэгш өнцөгт декартын координатын Oxy системээс нөгөө тэгш өнцөгт декартын координатын систем O'x'y', эхлэл нь O'(x0, y0) гэсэн хэлбэртэй декартын координатын системд шилжих томьёо.
x = x’cosα - y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0
x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.
Эхний тохиолдолд суурь векторуудыг e 1 эргүүлэх замаар O'x'y' систем үүсдэг; e 2 өнцгөөр α ба дараа нь координатын эхийг О цэг рүү шилжүүлэх (Зураг 2),
ба хоёр дахь тохиолдолд - e 1, e 2 суурь векторуудыг α өнцгөөр эргүүлж, e 1 векторыг тээж буй шулуун шугамтай харьцуулахад e 2 векторыг агуулсан тэнхлэгийг дараа нь тусгаж, О эхийг О цэг рүү шилжүүлнэ. (Зураг 3).
Заримдаа ташуу декартын координатын системийг ашигладаг бөгөөд энэ нь тэгш өнцөгтөөс ялгаатай нь нэгжийн суурь векторуудын хоорондох өнцөг зөв биш юм.
Сансар огторгуй дахь декартын ерөнхий координатын систем (аффин координатын систем) ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог: О цэгийг зааж өгсөн - координатын гарал үүсэл ба түүнд хавсаргасан е 1 , е 2 , е 3 (суурь векторууд) векторуудын дараалсан гурвалсан ба хэвтдэггүй. нэг хавтгайд. Хавтгайн нэгэн адил координатын тэнхлэгүүдийг тодорхойлно - абсцисса тэнхлэг (Ox тэнхлэг), ординатын тэнхлэг (Oy тэнхлэг) ба хэрэглээний тэнхлэг (Oz тэнхлэг) (Зураг 4).
Орон зай дахь декартын координатын системийг Oe 1 e 2 e 3 (эсвэл Oxyz) гэж тэмдэглэнэ. Хос координатын тэнхлэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцыг дуудна координатын хавтгайнууд. Хэрэв Үхрийн тэнхлэгээс Ой тэнхлэг рүү эргэдэг бол орон зай дахь декартын координатын системийг зөв гэж нэрлэдэг. эсрэг хөдөлгөөнцагийн зүүний дагуу, хэрэв та Oz-ийн эерэг хагас тэнхлэгийн аль нэг цэгээс Окси хавтгайг харвал декартын координатын системийг зүүн гар гэж нэрлэдэг; Хэрэв суурь векторууд e 1, e 2, e 3 нь нэгтэй тэнцүү урттай ба хосоороо перпендикуляр байвал декартын координатын системийг тэгш өнцөгт гэнэ. Нэг тэгш өнцөгт декартын координатын ижил чиглэлтэй өөр нэг тэгш өнцөгт декартын координатын системтэй харьцуулахад огторгуй дахь байрлалыг Эйлерийн гурван өнцгөөр тодорхойлно.
Декартын координатын системийг Р.Декартын нэрээр нэрлэсэн боловч түүний "Геометр" (1637) бүтээлдээ цэгүүдийн координат нь зөвхөн эерэг байх боломжтой ташуу координатын системийг авч үзсэн. 1659-61 оны хэвлэлд Голландын математикч И.Гуддегийн бүтээлийг Геометрт нэмж оруулсан бөгөөд анх удаа эерэг ба сөрөг утгуудкоординатууд Орон зайн декартын координатын системийг Францын математикч Ф.Лахир (1679) нэвтрүүлсэн. 18-р зууны эхээр декартын координатын x, y, z гэсэн тэмдэглэгээг тогтоожээ.
Тэгш өнцөгт системХавтгай дээрх координатууд нь харилцан перпендикуляр хоёр координатын X'X ба Y'Y тэнхлэгээр үүсгэгддэг. Координатын тэнхлэгүүд нь гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд тэнхлэг бүр дээр эерэг чиглэл сонгогддог (баруун гар талын координатын системд) X'X тэнхлэгийг эргүүлэх үед тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлийг сонгоно. цагийн зүүний эсрэг 90°, түүний эерэг чиглэл нь Y'Y тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцдаг. X'X ба Y'Y координатын тэнхлэгүүдээс үүссэн дөрвөн өнцгийг (I, II, III, IV) координатын өнцөг гэж нэрлэдэг (1-р зургийг үз).
Хавтгай дээрх А цэгийн байрлалыг х ба у хоёр координатаар тодорхойлно. Х координат нь OB сегментийн урттай, у координат нь сонгосон хэмжилтийн нэгж дэх OC сегментийн урттай тэнцүү байна. OB ба OC сегментүүд нь А цэгээс Y'Y ба X'X тэнхлэгт параллель татсан шугамаар тодорхойлогддог. х координатыг А цэгийн абсцисса, у координатыг А цэгийн ординат гэнэ.Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: A(x, y).
Хэрэв А цэг нь координатын I өнцөгт оршдог бол А цэг нь эерэг абсцисса ба ординататай байна. Хэрэв А цэг нь II координатын өнцөгт оршдог бол А цэг нь сөрөг абсцисса ба эерэг ординаттай байна. Хэрэв А цэг нь координатын III өнцөгт оршдог бол А цэг нь сөрөг абсцисса ба ординататай байна. Хэрэв А цэг нь координатын IV өнцөгт оршдог бол А цэг нь эерэг абсцисса ба сөрөг ординаттай байна.
Орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем OX, OY, OZ харилцан перпендикуляр гурван координатын тэнхлэгээр үүсгэгддэг. Координатын тэнхлэгүүд нь гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд тэнхлэг тус бүр дээр эерэг чиглэлийг сонгож, сумаар зааж, тэнхлэг дээрх сегментүүдийн хэмжилтийн нэгжийг сонгоно. Хэмжилтийн нэгжүүд бүх тэнхлэгт ижил байна. OX - abscissa тэнхлэг, OY - ординатын тэнхлэг, OZ - хэрэглэх тэнхлэг. Тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлийг сонгосон бөгөөд ингэснээр OX тэнхлэгийг цагийн зүүний эсрэг 90 ° эргүүлэхэд түүний эерэг чиглэл нь OZ тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс ажиглагдвал OY тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцдаг. Ийм координатын системийг баруун гар гэж нэрлэдэг. Хэрэв эрхий хуруу баруун гар X чиглэлийг X чиглэл, индекс нэгийг Y чиглэл, дунд хэсгийг Z чиглэл болгон авбал баруун гар координатын систем үүснэ. Зүүн гарын ижил төстэй хуруунууд нь зүүн координатын системийг бүрдүүлдэг. Харгалзах тэнхлэгүүд давхцахын тулд баруун ба зүүн координатын системийг нэгтгэх боломжгүй (2-р зургийг үз).
А цэгийн орон зайн байрлалыг x, y, z гэсэн гурван координатаар тодорхойлно. х координат нь OB сегментийн урттай тэнцүү, у координат нь OC сегментийн урт, z координат нь сонгосон хэмжилтийн нэгж дэх OD сегментийн урт юм. OB, OC ба OD хэрчмүүд нь А цэгээс YOZ, XOZ, XOY хавтгайтай параллель татсан хавтгайгаар тодорхойлогддог. х координатыг А цэгийн абсцисса, у координатыг А цэгийн ординат, z координатыг А цэгийн аппликейшн гэнэ.Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: A(a, b, c).
Орти
Тэгш өнцөгт координатын системийг (ямар ч хэмжээстэй) координатын тэнхлэгүүдтэй координатын чиглэлтэй нэгж векторуудын багцаар дүрсэлсэн байдаг. Нэгж векторын тоо нь координатын системийн хэмжээстэй тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь бүгд бие биедээ перпендикуляр байна.
Гурван хэмжээст тохиолдолд ийм нэгж векторуудыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг би j кэсвэл д x д y д z. Түүнээс гадна, тохиолдолд зөв системкоординатууд хүчинтэй байна дараах томъёонуудвекторуудын хөндлөн үржвэрээр:
- [би j]=к ;
- [j к]=би ;
- [к би]=j .
Өгүүллэг
Тэгш өнцөгт координатын системийг анх Рене Декарт 1637 онд "Аргын тухай яриа" бүтээлдээ нэвтрүүлсэн. Тиймээс тэгш өнцөгт координатын системийг бас нэрлэдэг - Декартын координатын систем. Геометрийн объектуудыг дүрслэх координатын арга нь суурийг тавьсан аналитик геометр. Пьер Ферма мөн координатын аргыг хөгжүүлэхэд хувь нэмрээ оруулсан боловч түүний бүтээлүүд нас барсны дараа анх хэвлэгджээ. Декарт, Фермат нар ашигласан координатын аргазөвхөн онгоцонд.
Координатын арга гурван хэмжээст орон зайАнх 18-р зуунд Леонхард Эйлер ашигласан.
Мөн үзнэ үү
Холбоосууд
Викимедиа сан.
2010 он.
Бусад толь бичгүүдээс "Картезийн координатын систем" гэж юу болохыг харна уу. КАРТЕЗИЙН КООРДИНАТЫН ТОГТОЛЦОО, хавтгай эсвэл огторгуй дахь шулуун шугаман координатын систем (ихэвчлэн харилцан перпендикуляр тэнхлэгтэй, тэнхлэгийн дагуу тэнцүү хуваарьтай). Р.Декартын нэрээр нэрлэгдсэн (DESCARTES Rene-г үзнэ үү). Декарт анх танилцуулсан ...
Нэвтэрхий толь бичигКАРТЕЗИЙН КОРДИНАТЫН СИСТЕМ
КАРТЕЗИЙН КООРДИНАТЫН ТОГТОЛЦОО, Рене ДЕСКАРТЫН танилцуулсан систем бөгөөд цэгийн байрлалыг түүнээс харилцан огтлолцох шугам (тэнхлэг) хүртэлх зайгаар тодорхойлдог. Системийн хамгийн энгийн хувилбарт тэнхлэгүүд (х ба у гэж тэмдэглэгдсэн) перпендикуляр байна.... ... Шинжлэх ухаан, техникийн нэвтэрхий толь бичиг
Декартын координатын систем
Хавтгай эсвэл орон зайд (ихэвчлэн тэнхлэгийн дагуу ижил масштабтай) шулуун шугаман координатын систем (Координатыг үзнэ үү). Р.Декарт өөрөө “Геометр” (1637) бүтээлдээ хавтгай дээрх (ерөнхийдөө ташуу) координатын системийг л ашигласан. Ихэнхдээ…… Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг
Координатын аргыг хэрэгжүүлдэг тодорхойлолтуудын багц, өөрөөр хэлбэл тоо эсвэл бусад тэмдэглэгээг ашиглан цэг эсвэл биеийн байрлалыг тодорхойлох арга. Тодорхой цэгийн байрлалыг тодорхойлох тооны багцыг энэ цэгийн координат гэж нэрлэдэг. ... ... Википедиа
декартын систем- Dekarto koordinačių системийн статусууд T sritis fizika atitikmenys: engl. Декартын систем; Координатын декартын систем вок. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Декартын систем, f; Декартын систем... ... Физикос терминų žodynas
КОРДИНАТЫН СИСТЕМ- шулуун шугам, хавтгай, орон зай дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлох нөхцлийн багц. Төрөл бүрийн шугаман хэлбэрүүд байдаг: декарт, ташуу, цилиндр, бөмбөрцөг, муруй, гэх мэт. Шугаман ба өнцгийн утгууд, байр сууриа тодорхойлох ... ... Том Политехник нэвтэрхий толь бичиг
Евклидийн орон зай дахь ортонормаль шулуун координатын систем. D.p.s. Хавтгай дээр харилцан перпендикуляр шулуун координатын хоёр тэнхлэгээр тодорхойлогддог бөгөөд тус бүр дээр эерэг чиглэл, нэгжийн сегментийг сонгосон ... Математик нэвтэрхий толь бичиг
Тэгш өнцөгт координатын систем нь хавтгай эсвэл огторгуйд харилцан перпендикуляр тэнхлэг бүхий шулуун шугаман координатын систем юм. Хамгийн энгийн, тиймээс хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг координатын систем. Маш амархан бөгөөд шууд хураангуй... ... Википедиа
Номууд
- Тооцооллын шингэний динамик. Онолын үндэс. Сурах бичиг, Павловский Валерий Алексеевич, Никущенко Дмитрий Владимирович. Энэхүү ном нь системчилсэн танилцуулгад зориулагдсан болно онолын үндэсдаалгавар тохируулахын тулд математик загварчлалшингэн ба хийн урсгал. Онцгой анхааралбарилгын асуудалд зориулагдсан ...
Орон зай дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд бид декартын тэгш өнцөгт координатыг ашиглана (Зураг 2).
Орон зай дахь декартын тэгш өнцөгт координатын систем нь OX, OY, OZ харилцан перпендикуляр гурван координатын тэнхлэгээр үүсгэгддэг. Координатын тэнхлэгүүд нь гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд тэнхлэг тус бүр дээр эерэг чиглэлийг сонгож, сумаар зааж, тэнхлэг дээрх сегментүүдийн хэмжилтийн нэгжийг сонгоно. Хэмжилтийн нэгжүүд нь ихэвчлэн (заавал биш) бүх тэнхлэгт ижил байдаг. OX тэнхлэгийг абсцисса тэнхлэг (эсвэл зүгээр л абсцисса) гэж нэрлэдэг бөгөөд OY тэнхлэг нь ордны тэнхлэг, OZ тэнхлэг нь хэрэглээний тэнхлэг юм.
А цэгийн орон зайн байрлалыг x, y, z гэсэн гурван координатаар тодорхойлно. х координат нь OB сегментийн урттай тэнцүү, у координат нь OC сегментийн урт, z координат нь сонгосон хэмжилтийн нэгж дэх OD сегментийн урт юм. OB, OC ба OD хэрчмүүд нь YOZ, XOZ, XOY хавтгайтай параллель цэгээс зурсан хавтгайгаар тодорхойлогддог.
х координатыг А цэгийн абсцисса, у координатыг А цэгийн ординат, z координатыг А цэгийн аппликат гэнэ.
Бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичигдсэн байна.
эсвэл координатын бичлэгийг холбоно уу тодорхой цэгиндексийг ашиглан:
x A , y A , z A ,
Тэнхлэг бүрийг тоон шугам гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл эерэг чиглэлтэй, цэгүүд байрладаг сөрөг туяа, координатын сөрөг утгуудыг өгсөн (зайг хасах тэмдгээр авна). Өөрөөр хэлбэл, жишээлбэл, В цэг нь зураг дээрх шиг биш, харин OX туяа дээр, харин түүний үргэлжлэл дээр байрладаг. урвуу талО цэгээс (OX тэнхлэгийн сөрөг хэсэг дээр), тэгвэл А цэгийн х абцисса сөрөг байх болно (ОБ зайг хассан). Бусад хоёр тэнхлэгийн хувьд мөн адил.
OX, OY, OZ координатын тэнхлэгүүдийг Зураг дээр үзүүлэв. 2, баруун гарын координатын системийг бүрдүүлнэ. Энэ нь хэрэв та OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу YOZ хавтгайг харвал OY тэнхлэгийн OZ тэнхлэг рүү чиглэсэн хөдөлгөөн цагийн зүүний дагуу байна гэсэн үг юм. Энэ нөхцөл байдлыг gimlet дүрмийг ашиглан тодорхойлж болно: хэрвээ gimlet (баруун гар утастай шураг) OY тэнхлэгээс OZ тэнхлэг рүү чиглэсэн чиглэлд эргэлддэг бол энэ нь OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу хөдөлнө.
Координатын тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгж урттай векторуудыг координатын нэгж вектор гэнэ. Тэдгээрийг ихэвчлэн гэж нэрлэдэг 
(Зураг 3). Тодорхойлолт бас бий 
Нэгж векторууд нь координатын системийн үндэс болдог.
Баруун гартай координатын системийн хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна вектор ажилладагортов:
Өөр хоорондоо перпендикуляр огтлолцсон хоёр буюу гурван тэнхлэгийн дараалсан систем нийтлэг эхлэллавлагаа (гарал үүсэл) ба уртын нийтлэг нэгжийг нэрлэдэг тэгш өнцөгт декартын координатын систем .
Ерөнхий декартын координатын систем (аффины координатын систем) заавал перпендикуляр тэнхлэгүүдийг оруулахгүй байж болно. Хүндэтгэлд Францын математикчРене Декарт (1596-1662) бүх тэнхлэгт уртын нийтлэг нэгжийг хэмжиж, тэнхлэг нь шулуун байдаг яг ийм координатын системийг нэрлэсэн.
Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын систем хоёр тэнхлэгтэй ба орон зай дахь тэгш өнцөгт декартын координатын систем - гурван тэнхлэг. Хавтгай эсвэл орон зайн цэг бүрийг координатын дараалсан багцаар тодорхойлдог - координатын системийн уртын нэгжид тохирох тоонууд.
Тодорхойлолтоос харахад шулуун шугам дээр, өөрөөр хэлбэл нэг хэмжээст дээр декартын координатын систем байгааг анхаарна уу. Шулуун дээр декартын координатыг оруулах нь шугамын аль ч цэгийг нарийн тодорхойлогдсон бодит тоо, өөрөөр хэлбэл координаттай холбох арга замуудын нэг юм.
Рене Декартын бүтээлүүдэд бий болсон координатын арга нь бүх математикийн хувьсгалт бүтцийн өөрчлөлтийг тэмдэглэв. Тайлбарлах боломжтой болсон алгебрийн тэгшитгэл(эсвэл тэгш бус байдал) геометрийн дүрс (график) хэлбэрээр, эсрэгээр нь шийдлийг хайх геометрийн асуудлууданалитик томъёо, тэгшитгэлийн системийг ашиглах. Тийм ээ, тэгш бус байдал z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyмөн энэ хавтгай дээр 3 нэгжээр байрладаг.
Декартын координатын системийг ашиглан өгөгдсөн муруй дээрх цэгийн гишүүнчлэл нь тоонуудтай тохирч байна. xТэгээд yзарим тэгшитгэлийг хангана. Тиймээс, төв нь at байгаа тойрог дээрх цэгийн координатууд өгсөн оноо (а; б) тэгшитгэлийг хангана (x - а)² + ( y - б)² = Р² .
Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын систем
Нийтлэг гарал үүсэлтэй хавтгай дээрх хоёр перпендикуляр тэнхлэг нь ижил масштабын нэгжийг үүсгэдэг Хавтгай дээрх декартын тэгш өнцөгт координатын систем . Эдгээр тэнхлэгүүдийн нэгийг тэнхлэг гэж нэрлэдэг Үхэр, эсвэл x тэнхлэг , нөгөө нь - тэнхлэг Өө, эсвэл у тэнхлэг . Эдгээр тэнхлэгүүдийг координатын тэнхлэгүүд гэж бас нэрлэдэг. -ээр тэмдэглэе МxТэгээд Мyтус тус дурын цэгийн проекц Мтэнхлэг дээр ҮхэрТэгээд Өө. Хэрхэн төсөөлөл авах вэ? Цэгээр дамжин өнгөрье М Үхэр. Энэ шулуун шугам нь тэнхлэгийг огтолж байна Үхэрцэг дээр Мx. Цэгээр дамжин өнгөрье Мтэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам Өө. Энэ шулуун шугам нь тэнхлэгийг огтолж байна Өөцэг дээр Мy. Үүнийг доорх зурагт үзүүлэв.
xТэгээд yоноо МБид чиглүүлсэн сегментүүдийн утгыг зохих ёсоор дуудах болно ОМxТэгээд ОМy. Эдгээр чиглэсэн сегментүүдийн утгыг дараах байдлаар тооцоолно x = x0 - 0 Тэгээд y = y0 - 0 . Декарт координатууд xТэгээд yоноо М абсцисса Тэгээд ординат . Гол нь тэр Мкоординаттай xТэгээд y, дараах байдлаар тэмдэглэнэ. М(x, y) .
Координатын тэнхлэгүүд нь онгоцыг дөрөв хуваадаг квадрат , дугаарлалтыг доорх зурагт үзүүлэв. Энэ нь мөн тодорхой квадрант дахь байршлаас хамааран цэгүүдийн координатын тэмдэглэгээний зохицуулалтыг харуулдаг.
Хавтгай дээрх декартын тэгш өнцөгт координатаас гадна туйлын координатын системийг ихэвчлэн авч үздэг. Нэг координатын системээс нөгөөд шилжих аргын талаар - хичээл дээр туйлын координатын систем .
Орон зай дахь тэгш өнцөгт декартын координатын систем
Орон зай дахь декарт координатуудыг хавтгай дээрх декарт координатуудтай бүрэн адилтгаж оруулав.
Орон зай дахь харилцан перпендикуляр гурван тэнхлэг ( координатын тэнхлэгүүд) нийтлэг эхлэлтэй Омөн ижил масштабын нэгжээр тэдгээр нь үүсдэг Орон зай дахь декартын тэгш өнцөгт координатын систем .
Эдгээр тэнхлэгүүдийн нэгийг тэнхлэг гэж нэрлэдэг Үхэр, эсвэл x тэнхлэг , нөгөө нь - тэнхлэг Өө, эсвэл у тэнхлэг , гурав дахь - тэнхлэг Оз, эсвэл тэнхлэг хэрэглэнэ . Болъё Мx, Мy Мz- дурын цэгийн төсөөлөл Мтэнхлэг дээрх орон зай Үхэр , ӨөТэгээд Озтус тус.
Цэгээр дамжин өнгөрье М ҮхэрҮхэрцэг дээр Мx. Цэгээр дамжин өнгөрье Мтэнхлэгт перпендикуляр хавтгай Өө. Энэ онгоц тэнхлэгийг огтолж байна Өөцэг дээр Мy. Цэгээр дамжин өнгөрье Мтэнхлэгт перпендикуляр хавтгай Оз. Энэ онгоц тэнхлэгийг огтолж байна Озцэг дээр Мz.
Декартын тэгш өнцөгт координатууд x , yТэгээд zоноо МБид чиглүүлсэн сегментүүдийн утгыг зохих ёсоор дуудах болно ОМx, ОМyТэгээд ОМz. Эдгээр чиглэсэн сегментүүдийн утгыг дараах байдлаар тооцоолно x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Тэгээд z = z0 - 0 .
Декарт координатууд x , yТэгээд zоноо Мдагуу дуудагддаг абсцисса , ординат Тэгээд өргөдөл гаргах .
Хосоор авсан координатын тэнхлэгүүд нь координатын хавтгайд байрладаг xOy , yOzТэгээд zOx .
Декартын координатын систем дэх цэгүүдийн талаархи асуудлууд
Жишээ 1.
А(2; -3) ;
Б(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Эдгээр цэгүүдийн абсцисса тэнхлэг дээрх проекцуудын координатыг ол.
Шийдэл. Энэ хичээлийн онолын хэсгээс үзэхэд абсцисса тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь абсцисса тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Үхэр, тиймээс тухайн цэгийн абсциссатай тэнцэх абсцисса, ординат (тэнхлэг дээрх координат) байна. Өө, x тэнхлэг нь 0 цэгт огтлолцдог), тэгтэй тэнцүү. Тиймээс бид x тэнхлэг дээрх эдгээр цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.
Аx(2;0);
Бx(3;0);
Cx (-5; 0).
Жишээ 2.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг
А(-3; 2) ;
Б(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Эдгээр цэгүүдийн ордны тэнхлэг дээрх проекцуудын координатыг ол.
Шийдэл. Энэ хичээлийн онолын хэсгээс үзэхэд ординатын тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь ординатын тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Өө, тиймээс цэгийн ординаттай тэнцэх ординат ба абсцисса (тэнхлэг дээрх координат) байна. Үхэр, ординатын тэнхлэг нь 0 цэгт огтлолцдог), тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс бид ордны тэнхлэг дээрх эдгээр цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.
Ау(0;2);
Бу(0;1);
Cу(0;-2).
Жишээ 3.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг
А(2; 3) ;
Б(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Үхэр .
Үхэр Үхэр Үхэр, ижил абсциссатай байх болно өгсөн оноо, ба ординат нь тэнцүү үнэмлэхүй үнэ цэнэӨгөгдсөн цэгийн ординат ба түүний эсрэг тэмдэг. Тиймээс бид тэнхлэгтэй харьцуулахад эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Үхэр :
А"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Декартын координатын системийг ашиглан асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлүүдийг хар
Жишээ 4.Аль квадратуудад (дөрвөлжин, квадранттай зурах - "Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын систем" догол мөрний төгсгөлд) цэг байрлаж болохыг тодорхойлох. М(x; y) , Хэрэв
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Жишээ 5.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг
А(-2; 5) ;
Б(3; -5) ;
C(а; б) .
Эдгээр цэгүүдэд тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол Өө .
Хамтдаа асуудлыг шийдье
Жишээ 6.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг
А(-1; 2) ;
Б(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Эдгээр цэгүүдэд тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол Өө .
Шийдэл. Тэнхлэгийг тойрон 180 градус эргүүл Өөтэнхлэгээс чиглэлтэй сегмент Өөэнэ хүртэл. Хавтгайн квадратуудыг харуулсан зураг дээр бид тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй байгааг харж байна. Өө, өгөгдсөн цэгтэй ижил ординаттай байх ба абсцисса нь үнэмлэхүй утгаараа тухайн цэгийн абсцисстай тэнцүү ба тэмдгийн эсрэг байна. Тиймээс бид тэнхлэгтэй харьцуулахад эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Өө :
А"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Жишээ 7.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг
А(3; 3) ;
Б(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Эхтэй харьцуулахад эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол.
Шийдэл. Бид эхлэлээс өгөгдсөн цэг рүү чиглэсэн сегментийг эхийн эргэн тойронд 180 градус эргүүлнэ. Хавтгайн квадратуудыг харуулсан зураг дээр бид координатын эхтэй харьцуулахад өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь абсцисса ба ординат нь абсцисса ба өгөгдсөн цэгийн ординаттай үнэмлэхүй утгатай байх болно, гэхдээ бид харж байна. эсрэг талын тэмдэг. Тиймээс бид гарал үүсэлтэй харьцуулахад эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.
А"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Жишээ 8.
А(4; 3; 5) ;
Б(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Эдгээр цэгүүдийн проекцуудын координатыг ол.
1) онгоцонд Окси ;
2) онгоцонд Oxz ;
3) онгоц руу Ойз ;
4) абсцисса тэнхлэг дээр;
5) ординатын тэнхлэг дээр;
6) хэрэглээний тэнхлэг дээр.
1) Хавтгай дээрх цэгийн проекц Оксинь өөрөө энэ хавтгай дээр байрладаг тул өгөгдсөн цэгийн абсцисса ба ординаттай тэнцэх абсцисса ба ординат, тэгтэй тэнцэх аппликаттай байна. Тиймээс бид эдгээр цэгүүдийн проекцуудын дараах координатуудыг олж авна Окси :
Аxy (4; 3; 0);
Бxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Хавтгай дээрх цэгийн проекц Oxzнь өөрөө энэ хавтгайд байрладаг тул өгөгдсөн цэгийн абсцисса ба аппликейттай тэнцэх абсцисса ба аппликейт, тэгтэй тэнцүү ординаттай байна. Тиймээс бид эдгээр цэгүүдийн проекцуудын дараах координатуудыг олж авна Oxz :
Аxz (4; 0; 5);
Бxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Хавтгай дээрх цэгийн проекц Ойзнь өөрөө энэ хавтгайд байрладаг тул өгөгдсөн цэгийн ординат ба аппликаттай тэнцүү, абсцисса нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс бид эдгээр цэгүүдийн проекцуудын дараах координатуудыг олж авна Ойз :
Аyz(0; 3; 5);
Бyz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Энэ хичээлийн онолын хэсгээс үзэхэд абсцисса тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь абсцисса тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Үхэр, тиймээс тухайн цэгийн абсциссатай тэнцүү абсциссатай ба проекцын ординат ба хэрэглүүр нь тэгтэй тэнцүү байна (ординат ба хэрэглээний тэнхлэгүүд абсциссатай 0 цэгт огтлолцдог тул). Бид эдгээр цэгүүдийн абсцисса тэнхлэг дээрх проекцуудын дараах координатуудыг олж авна.
Аx (4; 0; 0);
Бx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Ординатын тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь ординатын тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Өө, тиймээс тухайн цэгийн ординаттай тэнцэх ординаттай байх ба проекцын абсцисса болон хэрэглүүр нь тэгтэй тэнцүү байна (абсцисс ба хэрэглээний тэнхлэгүүд нь ординатын тэнхлэгийг 0 цэгт огтолж байгаа тул). Эдгээр цэгүүдийн ордны тэнхлэг дээрх проекцуудын дараах координатуудыг бид олж авна.
Ау(0; 3; 0);
Бу (0; 2; 0);
Cу(0;-3;0).
6) Хэрэглээний тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь хэрэглээний тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Оз, тиймээс тухайн цэгийн өөрийнх нь хэрэглүүртэй тэнцэх хэрэглүүртэй ба проекцын абсцисса ба ординат нь тэгтэй тэнцүү байна (абсцисса ба ординатын тэнхлэгүүд нь хэрэглээний тэнхлэгийг 0 цэгт огтолж байгаа тул). Эдгээр цэгүүдийн хэрэглээний тэнхлэг дээрх проекцуудын дараах координатуудыг бид олж авна.
Аz (0; 0; 5);
Бz (0; 0; 1);
Cz (0; 0; 0).
Жишээ 9.Декартын координатын системд цэгүүдийг орон зайд өгдөг
А(2; 3; 1) ;
Б(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол:
1) онгоц Окси ;
2) онгоц Oxz ;
3) онгоц Ойз ;
4) абсцисса тэнхлэгүүд;
5) ординатын тэнхлэгүүд;
6) тэнхлэгийг хэрэглэх;
7) координатын гарал үүсэл.
1) Тэнхлэгийн нөгөө талд байгаа цэгийг "зөөх" Окси Окси, өгөгдсөн цэгийн абсцисса ба ординаттай тэнцэх абсцисса ба ординататай, өгөгдсөн цэгийн апликатын хэмжээтэй тэнцүү, харин тэмдгээр эсрэг талын аппликейшнтэй байна. Тиймээс бид хавтгайтай харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Окси :
А"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) Тэнхлэгийн нөгөө талд байгаа цэгийг "зөөх" Oxzижил зайд. Координатын орон зайг харуулсан зургаас бид тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй байгааг харж байна. Oxz, өгөгдсөн цэгийн абсцисса ба аппликаттай тэнцэх абсцисса ба хэрэглүүртэй, өгөгдсөн цэгийн ординаттай тэнцүү хэмжээтэй, харин тэмдгээр эсрэг талтай ординаттай байна. Тиймээс бид хавтгайтай харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Oxz :
А"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) Тэнхлэгийн нөгөө талд байгаа цэгийг "зөөх" Ойзижил зайд. Координатын орон зайг харуулсан зургаас бид тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй байгааг харж байна. Ойз, өгөгдсөн цэгийн ординат ба апликаттай тэнцүү, абсцисса нь тухайн цэгийн абсцисстай тэнцүү, гэхдээ тэмдгээр нь эсрэг байна. Тиймээс бид хавтгайтай харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Ойз :
А"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
-тай зүйрлэвэл тэгш хэмтэй цэгүүдхавтгай ба орон зайн цэгүүд дээр хавтгайтай харьцуулахад өгөгдлүүдтэй тэгш хэмтэй байх тохиолдолд орон зай дахь декартын координатын системийн зарим тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмийн тохиолдолд тэгш хэмийг өгсөн тэнхлэг дээрх координатыг бид тэмдэглэж байна. тэмдгээ хадгалах ба нөгөө хоёр тэнхлэг дээрх координатууд нь үнэмлэхүй утгаараа тухайн цэгийн координаттай ижил утгатай боловч тэмдгээр эсрэгээрээ байх болно.
4) Абсцисса тэмдэг нь хэвээр байх боловч ордны болон аппликат тэмдэг нь өөрчлөгдөнө. Тиймээс бид абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.
А"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ординат тэмдэг нь хэвээр байх боловч абсцисса болон аппликейт нь тэмдгийг өөрчилнө. Тиймээс бид ордны тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.
А"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Өргөдөл гаргагч тэмдэгээ хэвээр үлдээх боловч абсцисса болон ордны тэмдэг нь тэмдгийг өөрчилнө. Тиймээс бид хэрэглээний тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.
А"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Хавтгай дээрх цэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй адилтгаж, координатын гарал үүслийн тэгш хэмийн хувьд өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн бүх координатууд нь тухайн цэгийн координатуудтай үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү байх болно. гэхдээ эсрэгээрээ тэмдэгт. Тиймээс бид гарал үүсэлтэй холбоотой өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.
