Өнөөдөр тэр яруу найргаар дуулагдах ёстой
Үндэсний шинж чанарын тухай Виетийн теорем.
Юу нь илүү дээр вэ, надад хэлээрэй, тууштай байдал нь иймэрхүү:
Та үндсийг үржүүлэв - мөн фракц бэлэн боллоо
Тоолуур дотор -тай, хуваарьт А.
Мөн бутархайн язгууруудын нийлбэр нь мөн тэнцүү байна
Энэ бутархайг хассан ч гэсэн
Ямар асуудал вэ
Тоолуураар В, хуваарьт А.
(Сургуулийн ардын аман зохиолоос)
Эпиграф дээр гайхалтай теоремФрансуа Виетаг бүрэн үнэн зөвөөр өгөөгүй. Үнэн хэрэгтээ бид үндэсгүй квадрат тэгшитгэлийг бичиж, тэдгээрийн нийлбэр, үржвэрийг бичиж болно. Жишээлбэл, x 2 + 2x + 12 = 0 тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй. Гэхдээ албан ёсны арга барилаар бид тэдгээрийн үржвэрийг (x 1 · x 2 = 12) болон нийлбэрийг (x 1 + x 2 = -2) бичиж болно. Манай шүлгүүд нь "хэрэв тэгшитгэл үндэстэй бол" гэсэн анхааруулга бүхий теоремтой тохирч байх болно. D ≥ 0.
Эхлээд практик хэрэглээЭнэ теорем нь үндсийг өгсөн квадрат тэгшитгэлийг байгуулах явдал юм. Хоёрдугаарт, энэ нь олон квадрат тэгшитгэлийг амаар шийдэх боломжийг олгодог. Сургуулийн сурах бичгүүд эдгээр чадварыг хөгжүүлэхэд голлон анхаардаг.
Энд бид илүү ихийг авч үзэх болно нарийн төвөгтэй даалгавар, Виетийн теоремыг ашиглан шийдэв.
Жишээ 1.
5x 2 – 12x + c = 0 тэгшитгэлийн язгууруудын нэг нь хоёр дахьоос гурав дахин их байна. s олох.
Шийдэл.
Хоёрдахь үндэс нь x 2 байг.
Дараа нь эхний үндэс нь x1 = 3x 2.
Вьетагийн теоремын дагуу язгууруудын нийлбэр нь 12/5 = 2.4 байна.
3x 2 + x 2 = 2 тэгшитгэлийг байгуулъя.4.
Тиймээс x 2 = 0.6. Тиймээс x 1 = 1.8.
Хариулт: c = (x 1 x 2) a = 0.6 1.8 5 = 5.4.
Жишээ 2.
x 1 ба x 2 нь x 2 – 8x + p = 0, 3x 1 + 4x 2 = 29 тэгшитгэлийн үндэс болох нь мэдэгдэж байна. p-г ол.
Шийдэл.
Виетийн теоремын дагуу x 1 + x 2 = 8, нөхцөлөөр 3x 1 + 4x 2 = 29.
Эдгээр хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдсэний дараа бид x 1 = 3, x 2 = 5 утгыг олно.
Тиймээс p = 15.
Хариулт: p = 15.
Жишээ 3.
3x 2 + 8 x – 1 = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг тооцохгүйгээр x 1 4 + x 2 4-ийг ол.
Шийдэл.
Виетийн теоремоор x 1 + x 2 = -8/3 ба x 1 x 2 = -1/3 бөгөөд илэрхийллийг хувиргана.
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2 (x 1 x) 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Хариулт: 4898/9.
Жишээ 4.
a параметрийн ямар утгуудад хамгийн том ба хоёрын ялгаа байна хамгийн жижиг үндэстэгшитгэл
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 нь тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Шийдэл.
Энэ бол квадрат тэгшитгэл юм. Хэрэв D > 0 бол 2 өөр үндэстэй болно. Өөрөөр хэлбэл (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 эсвэл (a – 3) 2 > 0. Тиймээс бид бүх a, 2 үндэстэй болно. a = 3-аас бусад тохиолдолд.
Тодорхой байхын тулд бид x 1 > x 2 гэж үзээд x 1 + x 2 = (a + 1)/2 ба x 1 x 2 = (a – 1)/2 болно. Бодлогын нөхцөл дээр үндэслэн x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Бүх гурван нөхцлийг нэгэн зэрэг хангасан байх ёстой. Эхний болон сүүлчийн тэгшитгэлийг систем болгон авч үзье. Үүнийг алгебрийн нэмэлтээр амархан шийдэж болно.
Бид x 1 = a/2, x 2 = 1/2-ийг авна. Юу болохыг шалгацгаая Ахоёр дахь тэгш байдал хангагдана: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Хүлээн авсан утгыг орлуулъя, бид дараах байдалтай болно: a/4 = (a - 1)/2. Дараа нь a = 2. Энэ нь ойлгомжтой хэрэв a = 2 бол бүх нөхцөл хангагдсан болно.
Хариулт: a = 2 үед.
Жишээ 5.
Юутай тэнцүү вэ хамгийн бага утга a, тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 нь түүний язгууруудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү.
Шийдэл.
Юуны өмнө тэгшитгэлийг багасгая каноник хэлбэр: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. D/4 ≥ 0 бол үндэстэй болно. Иймд: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Эсвэл (a – 1) 2 ≥ 0. Мөн энэ нь ямар ч тохиолдолд хүчинтэй нөхцөл a.
Виетийн теоремыг хэрэгжүүлье: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Тооцоолъё.
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Эсвэл орлуулсны дараа x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Бодлогын нөхцөлд тохирох тэгш байдлыг бий болгоход л үлддэг: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2. Бид дараахийг авна: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Энэ квадрат тэгшитгэл нь 2 үндэстэй: a 1 = 1, a 2 = 1/2. Тэдний хамгийн бага нь -1/2.
Хариулт: 1/2.
Жишээ 6.
Тэгшитгэлийн язгууруудын шоо нийлбэр нь эдгээр язгууруудын квадратуудын үржвэртэй тэнцүү бол ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг ол.
Шийдэл.
Үүний үндсэн дээр бид ажиллах болно өгөгдсөн тэгшитгэлүндэстэй тул Виетийн теоремыг түүнд хэрэглэж болно.
Дараа нь бодлогын нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Эсвэл: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
Хоёрдахь хүчин зүйлийг хөрвүүлэх шаардлагатай. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
Бид (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2-ыг авна. Үндэсийн нийлбэр ба үржвэрийг коэффициентээр орлуулах хэвээр байна.
(-б/а)((б/а) 2 – 3 в/а) = (в/а) 2 . Энэ илэрхийллийг маягт руу хялбархан хөрвүүлж болно b(3ac – b 2)/a = c 2.Харилцаа олдсон.
Сэтгэгдэл.Үүний үр дүнд үүссэн хамаарлыг зөвхөн нөгөө нь хангагдсаны дараа авч үзэх нь утга учиртай гэдгийг анхаарах хэрэгтэй: D ≥ 0.
Жишээ 7.
x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэр хамгийн их утга болох a хувьсагчийн утгыг ол.
Шийдэл.
Хэрэв энэ тэгшитгэл нь x 1 ба x 2 үндэстэй бол тэдгээрийн нийлбэр нь x 1 + x 2 = -2a, үржвэр нь x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2 байна.
Бид x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 гэж тооцно. (a – 3) 2 + 22.
Одоо энэ илэрхийлэл авах нь тодорхой байна хамгийн өндөр үнэ цэнэ a = 3 үед.
Анхны квадрат тэгшитгэл үнэхээр a = 3 дээр үндэстэй эсэхийг шалгах л үлдлээ. Бид орлуулалтаар шалгаад: x 2 + 6x + 7 = 0, түүний хувьд D = 36 – 28 > 0 болно.
Тиймээс хариулт нь: a = 3-ын хувьд.
Жишээ 8.
2x 2 – 7x – 3 = 0 тэгшитгэл нь x 1 ба x 2 үндэстэй. Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгуур нь X 1 = 1/x 1 ба X 2 = 1/x 2 тоонууд болох коэффициентүүдийн гурвалсан нийлбэрийг ол. (*)
Шийдэл.
Мэдээжийн хэрэг, x 1 + x 2 = 7/2 ба x 1 x 2 = -3/2. Хоёр дахь тэгшитгэлийг язгуураас нь x 2 + px + q = 0 хэлбэрээр байгуулъя.Үүний тулд Виетийн теоремын эсрэг заалтыг ашиглана. Бид дараахийг авна: p = -(X 1 + X 2) ба q = X 1 · X 2.
Эдгээр томъёонд (*) үндэслэн орлуулалтыг хийсний дараа: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 ба q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Шаардлагатай тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Одоо бид түүний коэффициентүүдийн гурав дахин нийлбэрийг хялбархан тооцоолж болно:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Хариултыг хүлээн авлаа.
Асуулт хэвээр байна уу? Вьетагийн теоремыг хэрхэн ашиглахаа мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.
Хотын захиргаа боловсролын байгууллага
"Очкуровская дунд сургууль дунд сургууль»
Николаевский хотын дүүрэг Волгоград муж
Вьетагийн теорем
Гүйцэтгэсэн: Оноприенко Кристина,
8-р ангийн сурагч
MKOU "Очкуровская дунд сургууль"
Николаевский дүүрэг
Дарга: Э.А
-тай. Очкуровка
2015
Агуулгын хүснэгт
Оршил……………………………………………………………………………………………3
Үндсэн хэсэг
1. Түүхэн сурвалж ………………………………………………….4
2. Вьетагийн теоремын баталгаа…………………………………………………………..6
3. Виетийн теоремыг ашиглан шийдсэн тэгшитгэлийн блокийн эмхэтгэл……………….8
4. Симуляторын бүтээн байгуулалт……………………………………………………10
Дүгнэлт
Төслийн практик ач холбогдол……………………………………... 12
Дүгнэлт……………………………………………………………………………….13
Мэдээллийн эх сурвалжийн жагсаалт…………………………………………………14
Өргөдөл……………………………………………………………………..15
Яруу найрагт дуулагдах нь зүй ёсны хэрэг
Үндэсний шинж чанарын тухай Виетийн теорем.
Юу нь илүү дээр вэ, надад хэлээрэй, тууштай байдал нь иймэрхүү:
Та үндсийг үржүүлсний дараа фракц бэлэн боллоо!
Тоолуур нь c, хуваагч нь а.
Мөн бутархайн язгууруудын нийлбэр нь мөн тэнцүү байна.
Хасах бутархай ч гэсэн ямар асуудал вэ!
Тоолуур дотор
б
, хуваарьт a.
Танилцуулга
Төслийн сэдвийн хамаарал: Виетийн теоремыг хэрэглэх нь шийдвэрлэх өвөрмөц арга юм квадрат тэгшитгэламаар. Сурах бичигт Виетийн теоремоор шийдэж болох квадрат тэгшитгэл маш цөөхөн байдаг. Манай ангийнхан бид хоёр алдаа гаргадаг.
Объект судалгаа нь алгебрийн хичээлд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх салшгүй хэсэг болох Виетийн теорем юм.
Судалгааны сэдэв – Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадварыг бэхжүүлэхийн тулд Виетийн теорем ба тэгшитгэлийн блок эмхэтгэх.
Таамаглал: Би симулятор ашиглан Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг зөв шийдэж сурахыг санал болгосон.
Төслийн зорилго : Виетийн теоремыг ашиглан шийдсэн тэгшитгэлийн симулятор бүтээ.
Даалгаварууд:
вьетагийн теоремыг нээсэн түүхийг сурах;
квадратын коэффициентуудын хамаарлын судалгааг хийх
тэгшитгэл ба үржвэр ба түүний язгуурын нийлбэр.
вьетагийн теоремыг баталж сурах;
Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болох тэгшитгэлийг бие даан зохио
цаасан дээр тэгшитгэлийн блок зурж, электрон хэлбэрээр симулятор үүсгэх
ангийнхандаа Вьетагийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх симулятор санал болго
Арга зүй :
үр дүнгийн харьцуулалт бие даасан ажилтөслийн өмнө болон сургалтын дараа Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
судлах, дүн шинжилгээ хийх цахим эх сурвалжуудболон уран зохиол
тэгшитгэлийн блок, симулятор эмхэтгэх бие даасан ажил
1. Түүхэн мэдээлэл
Франсуа Виет 1540 онд Францын өмнөд хэсэгт орших Фантеней-ле-Комт хэмээх жижиг хотод төржээ.
Вьетийн аав прокурор байсан. Хүү нь эцгийнхээ мэргэжлийг сонгон хуульч болж, Пойтоу дахь их сургуулийг төгсчээ. 1560 онд хорин настай хуульч мэргэжлээрээ ажиллаж эхэлжээ төрөлх хот, гэхдээ гурван жилийн дараа тэрээр язгууртан Хугенот де Парфенейн гэр бүлд үйлчлэхээр явав. Тэрээр байшингийн эзний нарийн бичгийн дарга, арван хоёр настай охин Кэтринийнхээ багш болжээ. Энэ нь залуу хуульчийн математикийн сонирхлыг төрүүлсэн юм.
Оюутан өсч том болж, гэр бүлтэй болоход Вьетнам гэр бүлээсээ салаагүй бөгөөд түүнтэй хамт Парис руу нүүсэн бөгөөд Европ дахь тэргүүлэх математикчдын ололт амжилтын талаар суралцах нь түүнд илүү хялбар байв. Тэрээр Сорбонны нэрт профессор Рамустай харилцаж, Италийн хамгийн агуу математикч Рафаэль Бомбеллитай найрсаг захидал харилцаатай байв.
1571 онд Вьетнам руу шилжсэн төрийн үйлчилгээ, парламентын зөвлөх, дараа нь Францын хаан III Генригийн зөвлөх болсон.
1580 онд Генри IIIВьетнамыг засгийн газрын чухал албан тушаалд томилсон бөгөөд энэ нь түүнд тус улсад тушаалын хэрэгжилтэд хяналт тавих, томоохон феодалуудын тушаалыг түдгэлзүүлэх эрхийг олгосон юм.
1584 онд Гизесийн шаардлагын дагуу Виетаг албан тушаалаас нь чөлөөлж, Парисаас хөөжээ. Амар амгалан, тайвшралыг олж авсны дараа эрдэмтэн аливаа асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог цогц математик бүтээхийг зорилгоо болгосон.
Виет судалгааныхаа хөтөлбөрийг тодорхойлж, нийтлэг ойлголтоор нэгтгэгдсэн, бичсэн зохиолуудыг жагсаав математик хэл 1591 онд хэвлэгдсэн алдарт "Аналитик урлагийн оршил"-д шинэ үсэг алгебр. Виет өөрийн арга барилын үндэсийг төрөл зүйлийн логистик гэж нэрлэж, тоо, тоо хэмжээ, харилцааг тодорхой ялгаж, тэдгээрийг тодорхой "төрөл зүйл" болгон цуглуулсан. Энэ системд жишээлбэл, хувьсагч, тэдгээрийн үндэс, квадрат, шоо, дөрвөлжин дөрвөлжин гэх мэтийг багтаасан. Эдгээр төрлүүдийн хувьд Вьетнам тусгай бэлгэдэл өгч, тэдгээрийг тодорхойлжээ. том үсгээр Латин цагаан толгой. Үл мэдэгдэх тоонуудын хувьд эгшиг, хувьсагчийн хувьд гийгүүлэгч ашигласан.
Виет тэмдэгтүүдтэй ажилласнаар ямар ч харгалзах хэмжигдэхүүнд хамаарах үр дүнг олж авах боломжтой, өөрөөр хэлбэл дээрх асуудлыг шийдэж болно гэдгийг харуулсан. ерөнхий үзэл. Энэ нь алгебрийн хөгжилд эрс өөрчлөлтийн эхлэлийг тавьсан: шууд утгаараа тооцоолол хийх боломжтой болсон.
Олон гишүүнтийн коэффициент ба түүний язгууруудын хоорондын холбоог тогтоодог алдартай теоремыг 1591 онд нийтэлсэн. Одоо энэ нь Виета нэртэй болсон бөгөөд зохиогч өөрөө үүнийг ингэж томъёолсон: "Хэрэв B + D үржвэр А хасах А квадрат нь BD, A нь B, D нь тэнцүү."
Тэрээр "Геометрийн нэмэлтүүд" хэмээх зохиолдоо гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн аргыг ашиглан нэгэн төрлийн геометрийн алгебр бүтээхийг эрэлхийлсэн. Гурав, дөрөвдүгээр зэргийн аливаа тэгшитгэлийг шийдэж болно гэж Вьетнам үзэж байна геометрийн аргаөнцгийн гурвалсан хэсэг эсвэл хоёр дундаж пропорциональ байгуулах замаар.
Олон зууны турш математикчид одон орон судлал, архитектур, геодезийн хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй гурвалжинг шийдэх асуудлыг сонирхож ирсэн. Виет бол хамгийн түрүүнд тодорхой томъёолсон аман хэлбэркосинусын теорем хэдий ч эквивалентуудыг МЭӨ I зуунаас хойш хааяа хэрэглэж ирсэн. Өгөгдсөн хоёр тал ба тэдгээрийн эсрэг талын нэг өнцгийг ашиглан гурвалжинг шийдэх тохиолдол өмнө нь хэцүү байдгаараа алдартай байсан бөгөөд Вьетнамаас бүрэн дүн шинжилгээ хийсэн. Виетад алгебрийн гүнзгий мэдлэг өгсөн асар их ашиг тус. Түүгээр ч зогсохгүй тригонометр, одон орон судлалд хэрэглэгдэж байсан нь түүний алгебрийг сонирхох болсон. Алгебрийн шинэ хэрэглээ бүр нь тригонометрийн шинэ судалгаанд түлхэц өгөөд зогсохгүй, олж авсан тригонометрийн үр дүн нь эх сурвалж болсон. чухал амжилтуудалгебр. Ялангуяа Виета нь олон нумын синус (эсвэл хөвч) болон косинусын илэрхийлэлийг гарган авах үүрэгтэй.
Францын зарим ордныхны дурсамжид Вьетнам гэрлэсэн, тэр үл хөдлөх хөрөнгийн цорын ганц өв залгамжлагч охинтой байсан бөгөөд үүний дараа Вьетнамыг Сейнёр де ла Бигаутье гэж нэрлэдэг байжээ. Шүүхийн мэдээнд Летулийн Маркиз бичжээ: “... 1603 оны 2-р сарын 14 Ноён Вьетнам, рэкетчин, агуу оюун ухаан, үндэслэлтэй хүн бөгөөд хамгийн шилдэг хүмүүсийн нэг юм. эрдэмтэд математикчидзуун нас барсан ... Парист. Тэр жаран настай байсан."
2. Вьетагийн теоремийн баталгаа
3. Тэгшитгэлийн блок, электрон симуляторын эмхэтгэл
Лавлагаа
Алгебр 8-р анги: сурах бичиг боловсролын байгууллагууд. Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова
8-р ангийн алгебрийн дидактик материал. В.И.Жохов, Ю.Н.Миндюк. М.: Боловсрол, 2000 он.
Математик.8-р анги: дидактик материал"Математик 8. Алгебр" сурах бичигт / ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Тодог, 2012\
муж эцсийн баталгаажуулалт. 9-р анги. Математик. Сэдэвчилсэн тестийн даалгавар./L.D. Лаппо, М.А. Попов/-М.: Шалгалтын хэвлэлийн газар, 2011 он
Төлөвлөсөн үр дүн
1. Мэдээллийн
Мэдээллийн цуглуулга, түүний дүн шинжилгээ
Уран зохиол судлал
Төслийн онолын хэсгийн материал
2. Зохион байгуулалтын
Дүн шинжилгээ, ерөнхий дүгнэлт
Тэгшитгэлийн блок боловсруулах
Ажлын материал
3. Технологийн үе шат
Тэгшитгэлийн сонголт
Симулятор үүсгэх
Симулятор
4. Төгсгөл
Туршлагыг нэгтгэх
Хийсэн ажлын талаархи дүгнэлт, төслийн зураг төсөл
Төсөл. Цуглуулгын загвар. Мастер анги. Уралдаанд оролцох.
X 2 + 17x - 38 = 0,
X 2 - 16x + 4 = 0,
3x 2 + 8x - 15 = 0,
7x 2 + 23x + 5 = 0,
X 2 + 2x - 3 = 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
X 2 - 7x + 10 = 0,
X 2 - 2x - 3= 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
2x 2 - 11x + 15 = 0,
3x 2 + 3x - 18 = 0,
2x 2 - 7x + 3 = 0,
X 2 + 17x - 18 = 0,
X 2 - 17x - 18 = 0,
X 2 - 11x + 18 = 0,
X 2 + 7x - 38 = 0,
X 2 - 9x + 18 = 0,
X 2 - 13x + 36 = 0,
X 2 - 15x + 36 = 0,
X 2 - 5х - 36 = 0.
X 2 + x – 2 = 0
X 2 + 2x – 3 =0
X 2 - 3x + 2 =0
X 2 - x – 2 = 0
X 2 - 2х – 3 =0
X 2 - 3x – 4 = 0
x 2 +17 x -18=0
x 2 + 23 x – 24=0
x 2 - 39x-40 =0
x 2 - 37x – 38=0
x 2 – 3x – 10 = 0
x 2 – 5x + 3 = 0
x 2 + 8 x – 11 = 0
x 2 + 6x + 5 = 0
x 2 – x – 12 = 0
x 2 + 5 x + 6 = 0
x 2 + 3 x – 10 = 0
x 2 – 8 x– 9 = 0
X 2 + x – 56 = 0
X 2 – 19x + 88 = 0
X 2 – 4х – 4 = 0
x 2 -15x+14=0
x 2 +8x+7=0
x 2 +9x+20=0
x 2 +18x -11 = 0
x 2 +27x – 24 = 0
5x 2 +10x – 3 = 0
3x 2 - 16x +9 = 0
x 2 +18x -11 = 0
x 2 +27x – 24 = 0
4х-21=0
4х-21=0
x 2 -15x+56=0
x 2 -4х-60=0
x 2 +5x+6=0
2х-3=0
x 2 +18x+81=0
X-20=0
x 2 +4х+21=0
x 2 -10х-24=0
x 2 + x-56=0
x 2 -x-56=0
x 2 +3x+2=0
x 2 +5х-6=0
x 2 -18x+81=0
x 2 -9х+20=0
x 2 -5 X +6=0
x 2 -4х-21=0
X 2 - 7x+6=0
x 2 -15x+56=0
X 2 – 3x + 2 = 0
X 2 – 4x + 3 = 0
X 2 – 2x + 4 = 0
X 2 – 2x + 5 = 0
X 2 – 2x + 6 = 0
X 2 – 11x + 24 = 0
X 2 + 11x – 30 = 0
X 2 + x – 12 = 0
x 2 – 6x + 8 = 0
X 2 – 15x + 14 = 0
x 2 – 15x + 14 = 0
x 2 + 4 x -21 =0
X 2 + x – 42 =0
X 2 – x – 20 =0
X 2 + 4 x -32=0
X 2 - 2х – 35 =0
X 2 + x - 20 =0
X 2 + 7 x + 10 =0
X 2 - x - 6=0
X 2 + 2 х+0 =0
X 2 + 6 х+0 =0
X 2 + 3x - 18=0
X 2 + 5 x -24=0
X 2 - 2 x - 24=0
X 2 – 15x + 14 = 0
X 2 + 8x + 7 =0
X 2 + 9х – 20=0
X 2 – 6x - 7 = 0
X 2
4.
Төслийн практик ач холбогдол
8-р ангийн алгебрийн хичээл болон OGE-ийн эцсийн давталтанд хэрэглэх Дүгнэлт:
Миний ажлын үр дүн бол Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болох квадрат тэгшитгэлийн блок юм. Би ажилд автсан, хамгийн хялбар арга бол үржүүлэх хүснэгтийн дагуу чөлөөт нэр томъёог олох квадрат тэгшитгэлийг бий болгох явдал байв. Одоо би Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг нарийн олоод зогсохгүй аливаа квадрат тэгшитгэлийн шийдийг шалгахдаа үүнийг ашигладаг. Симулятор ашиглан ангийнхан бид хоёр Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэж сурсан. Мэдээллийн эх сурвалжийн жагсаалт:
“Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ” - Шийдвэрлэх ур чадвар. Кострома. Ярославль. Ладыженская Ольга Александровна. Стеклов Владимир Андреевич. Тэгшитгэлээ шийдье. Тэгш байдал. Аман ажил. Казань. Хөдөлгөөний объект. Криптографийн хүснэгт. Нижний Новгород. Ляпунов Александр Михайлович. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Хурд. Автобус. Хөдөлгөөний даалгавар.
“Математик “Квадрат тэгшитгэл”” - е) тэгшитгэл нь а-ийн аль утгад нэг үндэстэй байх вэ? Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Квадрат тэгшитгэлийг амаар шийд. Үсгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг шийд. Оюун ухаандаа аль болох их хоол өгөхийг хичээ. Зорилго: харж сурах оновчтой аргаквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. М.В. Ломоносов. Дасгал хийж байна.
“Франсуа Вьет ба түүний теорем” - Хоёр олон гишүүнт ижил тэнцүү байна. Математикийн хичээл. Математикийн нээлтүүд. Вьетагийн томъёо. Франсуа Вьетнам. Багш нар. -аас олж мэдээрэй янз бүрийн эх сурвалжФрансуа Виет гэж хэн бэ? Ялгаварлан гадуурхагч. Виетийн теоремыг аль ч зэрэгтэй олон гишүүнтэд нэгтгэж болно. Квадрат тэгшитгэлийн хувьд Viethe-ийн гаргаж авсан томъёо.
“Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох” - Тэгшитгэлд үндэс байхгүй. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл. Тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд. Томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тоог тодорхойлох. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олох. Ялгаварлагчийг олох. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.
“Квадрат язгууртай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх” - Хавсралт. Зурах. "Шидэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. График шийдэлквадрат тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд. Factorization. Сонгох арга бүтэн дөрвөлжин. Тэгшитгэл. Коэффицент. Коэффициентуудын нийлбэр. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга. Чөлөөт гишүүн.
“Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх” - Бодлого шийдвэрлэх. Баримтуудын хуримтлал. Эдгээр тэгшитгэлийг 4 бүлэгт хуваарил. Үе тэнгийн үнэлгээ. Судалсан материалын анхан шатны ойлголт, хэрэглээ. Хичээлийн сэдэв. Юу ч сураагүй өдөр эсвэл цагийг азгүйтсэн гэж бод. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Асуулт. Сурах даалгавар тавих.
Энэ сэдвээр нийт 34 илтгэл тавигдсан
Франсуа Виет 1540 онд Францын Фонтеней-ле-Комт хотод төржээ. Хуульч мэргэжилтэй. Тэрээр хуульчийн ажилд ихээхэн оролцож байсан бөгөөд 1571-1584 онд тэрээр III Жорж, IV Жорж хаадын зөвлөхөөр ажиллаж байжээ. Гэхдээ бүх зүйл чинийх чөлөөт цаг, тэрээр бүх чөлөөт цагаа математик, одон орон судлалд зориулжээ. Тэрээр 1584 онд албан тушаалаасаа чөлөөлөгдсөний дараа математикийн чиглэлээр ялангуяа эрчимтэй ажиллаж эхэлсэн. хааны шүүх. Виет эртний болон орчин үеийн математикчдын бүтээлийг нарийвчлан судалжээ.
Франсуа Виет үндсэндээ шинэ алгебрийг бий болгосон. Тэрээр цагаан толгойн үсгийн бэлгэдлийг оруулав. Түүний гол санааг "Аналитик урлагийн танилцуулга" бүтээлд толилуулжээ. Тэрээр: "Бүх математикчид юутай ч зүйрлэшгүй эрдэнэс нь алгебр, алмукабалагийн дор нуугдаж байдгийг мэддэг байсан ч яаж олохоо мэдэхгүй байв: тэдний хамгийн хэцүү гэж үзсэн асуудлуудыг манай урлагийн тусламжтайгаар амархан шийддэг."
Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь хичнээн амархан болохыг бид бүгд мэднэ. Тэдгээрийг шийдвэрлэхэд бэлэн томъёо байдаг. Ф.Вьетагаас өмнө квадрат тэгшитгэл бүрийн шийдлийг өөрийн дүрмийн дагуу маш урт аман аргумент, тайлбар хэлбэрээр, нэлээд чирэгдэлтэй үйлдлүүдийн хэлбэрээр гүйцэтгэдэг байв. Тэр ч байтугай тэгшитгэл нь өөрөө орчин үеийн хэлбэрбичиж чадсангүй. Энэ нь бас нэлээд урт бөгөөд төвөгтэй ажил шаарддаг аман тайлбар. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмшихийн тулд олон жил зарцуулсан. Ерөнхий дүрмүүд, орчин үеийнхтэй төстэй, тэр ч байтугай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо байхгүй байв. Тогтмол магадлалүсгээр заагаагүй. Зөвхөн тодорхой тоон коэффициент бүхий илэрхийлэлийг авч үзсэн.
Вьетнам алгебрт үсгийн тэмдгийг нэвтрүүлсэн. Виетийн шинэчлэлийн дараа дүрмийг томъёо хэлбэрээр бичих боломжтой болсон. Үнэн бол Вьетнам илтгэгчийг үгээр тэмдэглэсэн хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд тодорхой бэрхшээл учруулсан. Вьетнамын үед дугаарын нийлүүлэлт хязгаарлагдмал хэвээр байв. Франсуа Вьет бүтээлдээ нэгээс дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолыг нарийвчлан тодорхойлсон байдаг.
Вьетагийн хамгийн том гавьяа бол дурын бууруулсан хэлбэрийн тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг нээсэн явдал байв. байгалийн зэрэг. Бид бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн тухай Вьетагийн алдартай теоремыг сайн мэднэ: "Багасгасан хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр нь дараахаас авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна. эсрэг тэмдэг, мөн энэ тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь тэнцүү байна чөлөөт гишүүн" Энэ теорем нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зөв эсэхийг амаар шалгах, хамгийн энгийн тохиолдолд тэгшитгэлийн үндсийг олох боломжийг олгодог.
Виет Европ дахь π тооны анхны аналитик (томъёо ашиглан) дүрслэлийг өгсөн болохыг анхаарна уу.
Виет 1603 онд 63 насандаа таалал төгсөв.
Вьетагийн теорем.
Үндэс нийлбэр квадрат гурвалжин x2 + px + q нь эсрэг тэмдэгтэй түүний хоёр дахь коэффициент p-тэй тэнцүү бөгөөд үржвэр нь q чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.
Баталгаа.
x1 ба x2 нь квадрат гурвалсан x2 + px + q-ийн өөр үндэс байг. Виетийн теоремд дараах хамааралууд биелнэ гэж заасан: x1 + x2 = –p x1 x2 = q
Үүнийг батлахын тулд язгуур тус бүрийг квадрат гурвалжны илэрхийлэлд орлъё. Бид хоёр зөв тоон тэгшитгэлийг авна: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0
Эдгээр тэгш байдлыг бие биенээсээ хасъя. Бид x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0-ийг авна
Квадратуудын зөрүүг өргөтгөж, хоёр дахь гишүүнийг баруун тийш шилжүүлье.
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)
Нөхцөлөөр x1 ба x2 язгуурууд өөр тул x1 – x2 ≠ 0 байх ба тэгш байдлыг x1 – x2 гэж хувааж болно. Бид теоремын эхний тэгшитгэлийг олж авна: x1 + x2 = –p
Хоёрдахь зүйлийг батлахын тулд дээр бичсэн тэгш байдлын аль нэгэнд (жишээ нь, эхний) p коэффициентийн оронд тэнцүү тоог – (x1 + x2) орлъё: x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0.
Хувирч байна зүүн тал, бид олж авна: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
Буураагүй квадрат тэгшитгэлийн хувьд ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =
Виетийн теоремтой урвуу теорем.
Хэрэв x1+x2 = ба x1x2 = тэнцэл хангагдсан бол x1 ба x2 тоонууд ax2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно.
Баталгаа.
x1+x2 = ба x1x2 = тэгшитгэлээс x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2 байна.
Харин x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) тэгэхээр x2 + x + = (x-x1)(x-x2).
Эндээс x1 ба x2 нь x2 + x + = 0 тэгшитгэлийн үндэс, тэгэхээр ax2 + bx + c = 0 тэгшитгэлүүд болно.
Виетийн теоремын хэрэглээ.
Виетийн теоремыг 8-р ангид квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олоход ашигладаг. Та энэ теоремыг ашиглах хүрээг өргөжүүлж болно, жишээлбэл, 9-11-р ангийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх, квадрат тэгшитгэл, тэдгээрийн язгуурыг судлахтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх. Энэ нь цаг хугацааг багасгаж, системийг шийдвэрлэхэд хялбар болгодог.
Тэгшитгэлийн системийг шийд:
Хэрэв бид язгууруудын нийлбэр нь 5, үржвэр нь 6-тай тэнцүү квадрат тэгшитгэлийн x ба у язгуур гэж үзвэл бид хоёр системийн олонлогийг олж авна.
Хариулт: (2;3), (3;2).
Оюутнууд шийдвэрлэх энэ аргыг хурдан эзэмшиж, дуртайяа ашигладаг. Цаашилбал, та системийг нарийн төвөгтэй болгож, суралцахдаа энэ техникийг ашиглаж болно янз бүрийн сэдэв 10-11-р ангид.
Тэгшитгэлийн системийг шийд:
x > 0 y > 0 нөхцөлөөр бид авна
Зарим бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба байг энэ системхоёр системийн хослолтой тэнцэнэ
Популяцийн хоёр дахь системд шийдэл байхгүй байна.
Хариулт: (9;4).
Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болох тэгшитгэлийн системийг доор харуулав.
Хариулт: (65;3),(5;63).
Хариулт: (23;11),(7;27).
Хариулт: (4;729),(81;4096).
Хариулт: (2; 2).
5. x + y =12 Хариулт: (8;4),(4;8).
Хариулт: (9;4),(4;9).
Үүнтэй төстэй тэгшитгэлийн системийг багш өөрөө эмхэтгэх эсвэл оюутнуудыг үүнд оролцуулж болох бөгөөд энэ нь тухайн сэдвийг сонирхоход хувь нэмэр оруулдаг.
Амаар шийдвэрлэх даалгавар.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр тэдгээрийн үндсийг ол.
1. x2 - 6x + 8 = 0 Хариулт: 2;4.
2. x2 – 5x – 6 = 0 Хариу: -1;6.
3. x2 + 2x - 24 = 0 Хариулт: -6;4.
4. x2 + 9x + 14 = 0 Хариулт: -7;-2.
5. x2 – 7x + 10 = 0 Хариу: 2;5.
6. 2х2 + 7х + 5 = 0 Хариулт: -2.5;-1.
Виетийн теоремыг ашигласан асуудлуудыг авч үзье.
9x²+18x-8=0 тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр x1³+x2³, x1,x2 түүний язгуурыг ол.
9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0
1) Ялгаварлан гадуурхах тэгээс их, D>0 гэдэг нь x1,x2 нь бодит язгуур гэсэн үг.
Виетийн теоремын дагуу: x1+x2=-2 x1∙x2= -
3) x1³+x2³ илэрхийллийг хувирга: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –
X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).
Үр дүнгийн томъёонд бидний мэддэг утгыг орлуулж хариултыг авцгаая.
2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -
9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 тэгшитгэлийн k-ийн ямар утгатай байх вэ.
9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.
Виетийн теоремын дагуу: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1) бид хоёр тэгшитгэлийн системийг олж аваад x2-ын оронд 2x1-ийг орлуулсан.
2x12=-k│:2 x1²=-k
3x1=2(k-1)│:3 x1=k-
Гарсан тэгшитгэлүүдийг харьцуулж үзье:
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, k-г олцгооё.
D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1
Хариулт: k1=-1 ба k2=2.
x²+13x-17=0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь x1;x2 байг. Үндэс нь 2-x1 ба 2-x2 тоо байх тэгшитгэл зохио.
x²+13x-17=0 тэгшитгэлийг авч үзье.
1) Дискриминант D>0, x1 нь бодит язгуур гэсэн үг;
Виетийн теоремоор: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17
3) Энэ системд 2-х2 ба 2-х2 тоог орлуулна уу.
(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17
(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17
2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13
Иймд Виетийн теоремыг хэрэглэвэл хүссэн тэгшитгэл нь x²-17x+13=0 болно.
Хариулт: x²-17x+13=0.
ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн бол x2>x1,x1>0,x2 бол b ба c-ийн тэмдгүүд ямар байх вэ?
x2 x1 тул b>0,c гэж гарна
Хариулт: b>0,с
6) ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн бол x1 0,x2>0 бол b ба c тэмдэгтүүд ямар байх вэ.
Виетийн теоремоор: x1+x2=-b x1∙x2=c
x1>0, x2>0, and x2>x1 тул b 0 байна.
Бие даасан шийдлийн даалгавар.
1) 2x²-3x-11=0 тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр +-г ол, энд x1;x2 түүний үндэс.
2) x1;x2 нь x²-18x+11=0 гурвалсан гишүүний үндэс байх + илэрхийллийн утгыг ол.
3) x²-7x-46=0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь x1;x2 байг.
Үндэс нь тоо болох квадрат тэгшитгэлийг бич
2x1 +x2 ба 2x2 +x1.
Хариулт: 9х2-21х-481=0
4) k-ийн ямар бүхэл утга нь тэгшитгэлийн язгууруудын нэг байх болно
4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 секундээс гурав дахин бага уу?
Хариулт: k=2.
5) ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн бол x1 0 бол b ба c ямар тэмдэгтэй байх вэ?
