Хавтгай хоорондын өнцгийг өнцөг гэж нэрлэдэг. Онгоц хоорондын өнцгийг тооцоолохдоо координатын аргыг ашиглах

Хоёр өөр онгоцны хоорондох өнцгийг аль ч тохиолдолд тодорхойлж болно харьцангуй байрлалонгоцууд.

Хэрэв онгоцууд параллель байвал өчүүхэн тохиолдол. Дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Онгоцууд огтлолцсон бол өчүүхэн бус тохиолдол. Энэ хэрэг цаашид хэлэлцэх сэдэв юм. Эхлээд бид хоёр талт өнцөг гэсэн ойлголт хэрэгтэй.

9.1 Хоёр талт өнцөг

Хоёр талт өнцөг гэдэг нь нийтлэг шулуун шугамтай хоёр хагас хавтгай (үүнийг хоёр талт өнцгийн ирмэг гэж нэрлэдэг) гэнэ. Зураг дээр. 50-д хагас хавтгайгаар үүссэн хоёр талт өнцгийг харуулсан ба; энэ хоёр өнцөгт өнцгийн ирмэг нь эдгээр хагас хавтгайд нийтлэг байдаг шулуун a шулуун байна.

Цагаан будаа. 50. Хоёр талт өнцөг

Хоёр өнцөгт өнцгийг градусаар эсвэл нэг үгээр радианаар хэмжиж болно, хоёр талт өнцгийн өнцгийн утгыг оруулна уу. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ.

Хагас хавтгай болон үүссэн dihedral өнцгийн ирмэг дээр, бид дурын цэг M. авч үзье эдгээр хагас хавтгайд хэвтэж, ирмэг (Зураг. 51) перпендикуляр тус тус MA болон MB туяаг зурж үзье.

Цагаан будаа. 51. Шугаман хоёр талт өнцөг

Үүссэн өнцөг нь AMB байна шугаман өнцөгхоёр талт өнцөг. " = \AMB өнцөг нь бидний хоёр талт өнцгийн өнцгийн утга юм.

Тодорхойлолт. Өнцгийн утгахоёр өнцөгт өнцөг нь өгөгдсөн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцгийн хэмжээ юм.

Хоёр талт өнцгийн бүх шугаман өнцгүүд хоорондоо тэнцүү байна (эцсийн эцэст тэдгээрийг параллель шилжилтээр бие биенээсээ олж авдаг). Тийм ч учраас энэ тодорхойлолтзөв: " утга нь хоёр талт өнцгийн ирмэг дээрх М цэгийн тодорхой сонголтоос хамаарахгүй.

9.2 Онгоц хоорондын өнцгийг тодорхойлох

Хоёр хавтгай огтлолцох үед дөрвөн хоёр талт өнцөг гарна. Хэрэв тэд бүгд байгаа бол ижил хэмжээтэй(90-ээр), дараа нь онгоцыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг; Дараа нь хавтгайн хоорондох өнцөг 90 байна.

Хэрэв бүх хоёр өнцөгт өнцөг ижил биш бол (өөрөөр хэлбэл, хоёр хурц ба мохоо хоёр байдаг) хавтгай хоорондын өнцөг нь хурц хоёр өнцөгт өнцгийн утга юм (Зураг 52).

Цагаан будаа. 52. Онгоц хоорондын өнцөг

9.3 Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Гурван асуудлыг авч үзье. Эхнийх нь энгийн, хоёр, гурав дахь нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын С2 түвшинд байна.

Бодлого 1. Энгийн тетраэдрийн хоёр нүүрний өнцгийг ол.

Шийдэл. ABCD ердийн тетраэдр. Харгалзах нүүрний AM ба DM медианууд, мөн DH тетраэдрийн өндрийг зурцгаая (Зураг 53).

Цагаан будаа. 53. 1-р даалгаварт

Медиан болохын хувьд AM болон DM нь бас өндөр юм тэгш талт гурвалжин ABC ба DBC. Тиймээс " = \AMD өнцөг нь ABC ба DBC нүүрнүүдийн үүсгэсэн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм. Бид үүнийг DHM гурвалжнаас олно:

Хариулт: arccos 1 3 .

Бодлого 2. Энгийн дөрвөлжин пирамид SABCD (S оройтой) хажуугийн хавиргасуурийн хажуу талтай тэнцүү. K цэг нь SA ирмэгийн дунд байна. Хавтгай хоорондын өнцгийг ол

Шийдэл. BC шугам нь AD-тай параллель, улмаар ADS хавтгайтай параллель байна. Тиймээс KBC хавтгай нь ADS хавтгайг BC-тэй параллель KL шулуун шугамын дагуу огтолж байна (Зураг 54).

Цагаан будаа. 54. 2-р даалгаварт

Энэ тохиолдолд KL нь мөн AD шугамтай зэрэгцээ байх болно; Тиймээс KL дунд шугамгурвалжин ADS ба L цэг нь DS-ийн дунд цэг юм.

SO пирамидын өндрийг олъё. N-г DO-ийн дунд гэж үзье. Дараа нь LN нь DOS гурвалжны дунд шугам, тиймээс LN k SO. Энэ нь LN ABC хавтгайд перпендикуляр байна гэсэн үг юм.

N цэгээс бид перпендикуляр NM-ийг BC шулуун шугам руу буулгана. NM шулуун шугам нь налуу LM-ийн ABC хавтгай дээрх проекц болно. Гурван перпендикулярын теоремоос LM нь BC-д мөн перпендикуляр байна.

Тиймээс " = \LMN өнцөг" нь KBC ба ABC хагас хавтгайнуудын үүсгэсэн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм. Бид энэ өнцгийг дараахаас хайх болно. зөв гурвалжин LMN.

Пирамидын ирмэгийг a-тай тэнцүү болго. Эхлээд бид пирамидын өндрийг олно.

Шийдэл. A1 K ба AB шулуунуудын огтлолцох цэгийг L гэж үзье. Дараа нь A1 KC хавтгай нь CL шулуун шугамын дагуу ABC хавтгайг огтолно (Зураг 55).

А C

Цагаан будаа. 55. 3-р асуудалд

A1 B1 K ба KBL гурвалжин нь хөл ба хурц өнцгөөр тэнцүү байна. Тиймээс бусад хөл нь тэнцүү байна: A1 B1 = BL.

ACL гурвалжинг авч үзье. Үүнд BA = BC = BL. CBL өнцөг нь 120; тиймээс \BCL = 30 . Мөн \BCA = 60 . Тиймээс \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Тэгэхээр, LC? АС. Харин АС шугам нь A1 C шугамын ABC хавтгайд проекц болдог. Гурван перпендикулярын теоремоор бид LC гэж дүгнэж байна? A1 C.

Тиймээс A1 CA өнцөг нь A1 KC ба ABC хагас хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм. Энэ бол хүссэн өнцөг юм. А1 АС тэгш өнцөгт гурвалжнаас бид 45-тай тэнцүү байгааг харж байна.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Өнцгийг тооцоолохдоо координатын аргыг ашиглах

онгоц хооронд

Ихэнх ерөнхий аргаөнцгийг олохонгоц хооронд - координатын арга (заримдаа векторуудыг ашигладаг). Бусад бүх зүйлийг туршиж үзсэн тохиолдолд үүнийг ашиглаж болно. Гэхдээ координатын аргыг нэн даруй хэрэглэх нь утга учиртай нөхцөл байдал байдаг, тухайлбал координатын систем нь асуудлын мэдэгдэлд заасан олон өнцөгттэй холбоотой байх үед, өөрөөр хэлбэл. Гурван хос перпендикуляр шугам нь тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд тэдгээр дээр координатын тэнхлэгүүдийг зааж өгч болно. Ийм олон өнцөгт нь тэгш өнцөгт параллелепипед ба тогтмол юм дөрвөлжин пирамид. Эхний тохиолдолд координатын системийг нэг оройноос сунаж тогтсон ирмэгээр (Зураг 1), хоёр дахь тохиолдолд суурийн өндөр ба диагональаар (Зураг 2) тодорхойлж болно.

Координатын аргыг хэрэглэх нь дараах байдалтай байна.

Орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлсэн. Үүнийг "байгалийн" аргаар нэвтрүүлэхийг зөвлөж байна - нийтлэг цэгтэй хос перпендикуляр гурвалсан шугамтай "холбох".

Хоорондын өнцгийг хайж буй хавтгай бүрийн хувьд тэгшитгэлийг зурна. Ийм тэгшитгэлийг үүсгэх хамгийн хялбар арга бол нэг шулуун дээр оршдоггүй хавтгай дээрх гурван цэгийн координатыг мэдэх явдал юм.

Хавтгайн тэгшитгэл ерөнхий үзэлшиг харагдаж байна Ax + By + Cz + D = 0.

Коэффициент A, B, Энэ тэгшитгэлийн C нь хавтгайн хэвийн векторын координатууд юм (вектор, хавтгайд перпендикуляр). Дараа нь бид урт ба цэгийн бүтээгдэхүүнхавтгайд хэвийн векторууд, тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хайж байна. Хэрэв эдгээр векторуудын координат(A 1, B 1; C 1) ба (A 2; B 2; C 2). ), дараа нь хүссэн өнцөгтомъёогоор тооцоолно

Сэтгэгдэл. Векторуудын хоорондох өнцөг (онгоц хоорондын өнцгөөс ялгаатай) нь мохоо байж болох бөгөөд тодорхойгүй байдлаас зайлсхийхийн тулд томъёоны баруун талд байгаа тоологч нь модулийг агуулна гэдгийг санах нь зүйтэй.

Энэ асуудлыг координатын аргыг ашиглан шийд.

Бодлого 1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 шоо өгөгдсөн. K цэг нь AD ирмэгийн дунд, L цэг нь CD ирмэгийн дунд байна. А хавтгайн хоорондох өнцөг хэд вэ? 1 KL болон A 1 AD?

Шийдэл . Координатын системийн гарал үүсэл нь цэг дээр байгА, мөн координатын тэнхлэгүүд нь цацрагийн дагуу явдаг AD, AB, AA 1 (Зураг 3). Шоо дөрвөлжин ирмэгийг 2-той тэнцүү болгоцгооё (үүнийг хагас болгон хуваахад тохиромжтой). Дараа нь цэгүүдийн координатууд A 1 , K, L нь дараах байдалтай байна: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Цагаан будаа. 3

Хавтгайн тэгшитгэлийг бичье A 1K L ерөнхий утгаараа. Дараа нь бид энэ хавтгайд сонгосон цэгүүдийн координатыг орлуулна. Бид дөрвөн үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Коэффициентүүдийг илэрхийлье A, B, C-аас D хүртэл тэгээд бид тэгшитгэлд хүрнэ

Хоёр хэсэг болгон хуваах D (яагаад D = 0?) дараа нь -2-оор үржүүлснээр бид онгоцны тэгшитгэлийг олж авна A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Тэгвэл энэ хавтгайн хэвийн вектор координаттай байна (2: -2; 1). Хавтгай тэгшитгэл 1 AD нь: y=0, ба хэвийн векторын координатууд, жишээлбэл, (0; 2: 0). Хавтгай хоорондын өнцгийн косинусын дээрх томьёоны дагуу бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ нийтлэл нь онгоц хоорондын өнцөг болон түүнийг хэрхэн олох тухай юм. Нэгдүгээрт, хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийн тодорхойлолтыг өгч, график дүрслэлийг үзүүлэв. Үүний дараа хоёр огтлолцох онгоцны хоорондох өнцгийг координатын аргаар олох зарчмыг шинжилж, эдгээр хавтгайн хэвийн векторуудын мэдэгдэж буй координатыг ашиглан огтлолцох хавтгайн хоорондын өнцгийг тооцоолох томьёог олж авна. Дүгнэж хэлэхэд үүнийг харуулав нарийвчилсан шийдлүүдонцлог даалгавар.

Хуудасны навигаци.

Онгоц хоорондын өнцөг - тодорхойлолт.

Хоёр огтлолцох онгоцны хоорондох өнцгийг тодорхойлоход аажмаар ойртох боломжийг олгох аргументуудыг танилцуулъя.

Бидэнд огтлолцох хоёр хавтгай ба . Эдгээр онгоцууд шулуун шугамын дагуу огтлолцдог бөгөөд бид үүнийг c үсгээр тэмдэглэдэг. c шулууны М цэгийг дайрч в шулуунд перпендикуляр хавтгай байгуулъя. Энэ тохиолдолд онгоц нь онгоцнуудтай огтлолцох ба. Онгоцуудын огтлолцох шулуун шугамыг a гэж, хавтгайн огтлолцох шулууныг b гэж тэмдэглэе. a ба b шугамууд М цэг дээр огтлолцох нь ойлгомжтой.

Огтлолцож буй a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг нь хавтгай өнгөрөх c шулуун дээрх М цэгийн байршлаас хамаарахгүй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг.

c шулуунтай перпендикуляр, хавтгайгаас ялгаатай хавтгай байгуулъя. Онгоц нь хавтгай ба шулуун шугамын дагуу огтлолцсон бөгөөд бид үүнийг 1 ба b 1 гэж тус тус тэмдэглэдэг.

Хавтгай байгуулах аргаас харахад a ба b шулуунууд c шулуунтай перпендикуляр, a 1 ба b 1 шулуунууд нь c шулуунтай перпендикуляр байна. a ба 1 шулуунууд нь нэг хавтгайд оршдог ба в шулуунд перпендикуляр байдаг тул параллель байна. Үүний нэгэн адил b ба b 1 шулуунууд нь нэг хавтгайд оршдог ба в шулуунд перпендикуляр байдаг тул параллель байна. Тэгэхээр та чадна зэрэгцээ шилжүүлэг a 1 шулуун нь а шулуунтай, b шулуун нь b 1 шулуунтай давхцаж байгаа хавтгайгаас хавтгай. Иймд огтлолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцөг a 1 ба b 1 байна өнцөгтэй тэнцүүогтлолцох a ба b шугамын хооронд.

Энэ нь огтлолцох хавтгайд байрлах a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг нь хавтгай өнгөрөх M цэгийн сонголтоос хамаарахгүй болохыг баталж байна. Тиймээс энэ өнцгийг огтлолцох хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг гэж үзэх нь логик юм.

Одоо та хоёр огтлолцох онгоцны хоорондох өнцгийн тодорхойлолтыг дуугаар хэлэх боломжтой.

Тодорхойлолт.

Шулуун шугамаар огтлолцох хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг ба– энэ нь в шулуунд перпендикуляр хавтгайтай огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг юм.

Хоёр онгоцны хоорондох өнцгийн тодорхойлолтыг арай өөрөөр өгч болно. Хэрэв хавтгай ба огтлолцох c шулуун дээр M цэгийг тэмдэглэж, түүгээр нь шулуун c шулуунд перпендикуляр, хавтгайд хэвтэх a ба b шулуун зураасыг зурвал a шулуунуудын хоорондох өнцгийг зурна. ба b нь ба хавтгай хоорондын өнцөг. Ихэвчлэн практик дээр онгоцны хоорондох өнцгийг олж авахын тулд ийм барилга байгууламжийг хийдэг.

Огтлолцож буй шугамуудын хоорондох өнцөг нь -ээс хэтрэхгүй тул заасан тодорхойлолтоос үзэхэд градусын хэмжүүрогтлолцох хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг илэрхийлнэ бодит тооинтервалаас. Энэ тохиолдолд огтлолцох онгоцуудыг дуудна перпендикуляр, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь ерэн градус байвал. Хоорондын өнцөг зэрэгцээ хавтгайнуудэсвэл огт тодорхойлохгүй, эсвэл тэгтэй тэнцүү гэж үздэг.

Хоёр огтлолцох онгоцны хоорондох өнцгийг олох.

Ихэвчлэн огтлолцсон хоёр онгоцны хоорондох өнцгийг олохдоо эхлээд хийх хэрэгтэй нэмэлт барилга байгууламжөнцөг нь хүссэн өнцөгтэй тэнцүү огтлолцсон шугамуудыг харж, тэгш байдлын тэмдэг, ижил төстэй байдлын тэмдэг, косинусын теорем эсвэл өнцгийн синус, косинус, тангенсийн тодорхойлолтыг ашиглан энэ өнцгийг анхны өгөгдөлтэй холбоно. Геометрийн хичээл дээр ахлах сургуульижил төстэй асуудал гардаг.

Жишээлбэл, 2012 оны математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын C2 асуудлын шийдлийг өгье (нөхцөлийг зориудаар өөрчилсөн боловч энэ нь шийдлийн зарчимд нөлөөлөхгүй). Үүнд та огтлолцож буй хоёр онгоцны хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй байв.

Жишээ.

Шийдэл.

Эхлээд зураг зуръя.

Онгоц хоорондын өнцгийг “харах” нэмэлт бүтээн байгуулалтуудыг хийцгээе.

Эхлээд ABC болон BED 1 онгоцууд огтлолцох шулуун шугамыг тодорхойлъё. В цэг нь тэдний нийтлэг цэгүүдийн нэг юм. Эдгээр онгоцны хоёр дахь нийтлэг цэгийг олъё. DA ба D 1 E шугамууд нь нэг ADD 1 хавтгайд орших ба тэдгээр нь параллель биш тул огтлолцдог. Нөгөө талаас, DA шугам нь ABC хавтгайд, D 1 E шугам нь BED 1 хавтгайд байрладаг тул DA ба D 1 E шугамуудын огтлолцлын цэг болно. нийтлэг цэг ABC онгоцуудболон ОР 1. Тиймээс DA ба D 1 E шугамыг тэдгээрийн огтлолцол хүртэл үргэлжлүүлж, тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг F үсгээр тэмдэглэе. Дараа нь BF нь ABC ба BED 1 онгоцууд огтлолцох шулуун шугам юм.

ABC ба BED 1 хавтгайд байрлах BF шугамын нэг цэгийг дайран өнгөрч, BF шугаманд перпендикуляр хоёр шугамыг барихад л үлддэг - эдгээр шугамын хоорондох өнцөг нь тодорхойлолтоор бол тэдгээрийн хоорондох хүссэн өнцөгтэй тэнцүү байх болно. ABC ба BED 1 онгоцууд. Үүнийг хийцгээе.

Цэг A нь Е цэгийн ABC хавтгай дээрх проекц юм. M цэг дээр зөв өнцгөөр BF шугамыг огтлолцсон шулуун шугамыг зуръя. Дараа нь AM шулуун шугам нь EM шулуун шугамын ABC хавтгай дээрх проекц бөгөөд гурван перпендикулярын теорем юм.

Тиймээс ABC ба BED 1 хавтгайн хоорондох шаардлагатай өнцөг нь -тэй тэнцүү байна.

Хэрэв бид хоёр талын уртыг мэддэг бол AEM гурвалжны зөв гурвалжнаас энэ өнцгийн синус, косинус эсвэл тангенсыг (мөн өнцгийг өөрөө) тодорхойлж чадна. Нөхцөл байдлаас харахад AE уртыг олоход хялбар байдаг: E цэг нь AA 1 талыг 4-3 харьцаагаар хуваадаг тул А цэгээс тоолж, АА 1 талын урт нь 7 байвал AE = 4 байна. AM уртыг олцгооё.

Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт ABF гурвалжинг авч үзье, AM нь өндөр юм. AB = 2 нөхцөлөөр. DD 1 F ба AEF тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлаас бид AF талын уртыг олж болно.

Пифагорын теоремыг ашиглан бид ABF гурвалжнаас олно. ABF гурвалжны талбайгаар бид AM уртыг олдог: нэг талдаа ABF гурвалжны талбай нь тэнцүү байна. , нөгөө талд , хаана .

Тиймээс, AEM гурвалжин гурвалжингаас бид байна .

Дараа нь ABC ба BED 1 онгоцуудын хоорондох шаардлагатай өнцөг тэнцүү байна (үүнийг анхаарна уу ).

Хариулт:

Зарим тохиолдолд огтлолцсон хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг олохын тулд Oxyz-ийг тохируулж, координатын аргыг ашиглах нь тохиромжтой байдаг. Энд зогсоцгооё.

Даалгаврыг өгцгөөе: огтлолцож буй хоёр хавтгай ба хоёрын хоорондох өнцгийг ол. Хүссэн өнцгийг гэж тэмдэглэе.

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын Oxyz системд бид огтлолцох хавтгайн хэвийн векторуудын координатыг мэддэг ба эсвэл тэдгээрийг олох боломжтой гэж бид таамаглах болно. Болъё нь хавтгайн хэвийн вектор ба нь онгоцны хэвийн вектор юм. Бид огтлолцсон хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг, эдгээр хавтгайн хэвийн векторуудын координатаар дамжуулан харуулах болно.

Хавтгай ба огтлолцох шулуун шугамыг c гэж тэмдэглэе. c шулуун дээрх M цэгээр бид c шулуунд перпендикуляр хавтгай зурна. Онгоц нь хавтгайнуудыг огтолж, a ба b шугамын дагуу, a ба b шулуунууд нь М цэг дээр огтлолцоно. Тодорхойлолтоор огтлолцох хавтгайн хоорондын өнцөг нь ба огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна.

Хавтгайн M цэгээс хэвийн вектор ба хавтгайг зуръя. Энэ тохиолдолд вектор нь a шулуунтай перпендикуляр шулуун дээр, вектор нь b шулуунтай перпендикуляр шулуун дээр байрладаг. Тиймээс хавтгайд вектор нь а шулууны хэвийн вектор, b шулууны хэвийн вектор юм.

Огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцгийг олох тухай өгүүлэлд бид ердийн векторуудын координатыг ашиглан огтлолцох шугамуудын хоорондох өнцгийн косинусыг тооцоолох боломжийг олгодог томьёог хүлээн авсан. Тиймээс, a ба b шугамын хоорондох өнцгийн косинус, улмаар огтлолцох хавтгайн хоорондох өнцгийн косинусба томъёогоор олно, хаана Тэгээд онгоцуудын хэвийн векторууд ба тус тус. Дараа нь үүнийг тооцоолно .

Өмнөх жишээг координатын аргаар шийдье.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 өгөгдсөн бөгөөд үүнд AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7, Е цэг нь AA 1 талыг 4-3 харьцаагаар хувааж, А цэгээс тоолно. ABC ба BED 1 хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл.

Талуудаас хойш тэгш өнцөгт параллелепипеднэг орой нь хос перпендикуляр байвал нэвтрүүлэхэд тохиромжтой тэгш өнцөгт систем Oxyz-ийн координатууд нь: эхлэл нь С оройтой зэрэгцэж байна, ба координатын тэнхлэгүүд Ox, Oy болон Oz нь CD, CB болон CC 1 тал руу тус тус чиглэгддэг.

ABC болон BED 1 хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг эдгээр хавтгайнуудын хэвийн векторуудын координатаар томъёогоор олно, энд ба нь ABC ба BED 1 хавтгайнуудын хэвийн векторууд байна. Нормал векторуудын координатыг тодорхойлъё.

Хавтгай хоорондын өнцгийн хэмжүүр нь хурц өнцөг, эдгээр хавтгайд байрлах хоёр шулуун шугамаар үүсгэгдсэн ба тэдгээрийн огтлолцлын шугамд перпендикуляр татсан.

Барилгын алгоритм

1. -аас дурын цэг K өгөгдсөн хавтгай бүрт перпендикуляр зур.
2. Түвшингийн шугамыг тойрон эргэснээр K цэгийн оройтой γ° өнцгийг тодорхойлно.
3. γ° > 90° байх нөхцөлд ϕ° = 180 – γ° хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг тооцоол. Хэрэв γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Зурагт α ба β хавтгайг ул мөрөөр өгсөн тохиолдлыг харуулав. Шаардлагатай бүх бүтээн байгуулалтыг алгоритмын дагуу гүйцэтгэсэн бөгөөд доор тайлбарлав.

Шийдэл

1. Зургийн дурын газарт K цэгийг тэмдэглэ. Үүнээс бид α ба β хавтгайд m ба n перпендикуляруудыг тус тус буулгана. m ба n проекцуудын чиглэл дараах байдалтай байна: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
2. Бид m ба n шугамын хоорондох бодит хэмжээ ∠γ°-ийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд f урд талын эргэн тойронд бид K оройтой өнцгийн хавтгайг параллель байрлалд эргүүлнэ урд талын хавтгайтөсөөлөл. K цэгийн эргэх радиус R утгатай тэнцүү байнатэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз O""K""K 0, тал нь K""K 0 = y K – y O.
3. ∠γ° нь хурц өнцөгтэй тул хүссэн өнцөг нь ϕ° = ∠γ° байна.

Доорх зурагт параллель ба огтлолцох шугамаар өгөгдсөн α ба β хавтгайн хоорондох γ° өнцгийг олох шаардлагатай асуудлын шийдлийг үзүүлэв.

Шийдэл

1. Бид α ба β хавтгайд хамаарах h 1, h 2 хэвтээ ба f 1, f 2 фронтуудын проекцын чиглэлийг сумаар заасан дарааллаар тодорхойлно. Талбай дээрх дурын K цэгээс. α ба β, бид e ба k перпендикуляруудыг орхигдуулдаг. Энэ тохиолдолд e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 ба k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
2. Бид e ба k мөрүүдийн хооронд ∠γ°-г тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд h 3 хэвтээ шугамыг зурж, эргэн тойронд бид K цэгийг K 1 байрлал руу эргүүлж, △CKD параллель болно. хэвтээ хавтгайба үүн дээр байгалийн хэмжээгээр тусгагдах болно - △C"K" 1 D". Эргэлтийн төвийн проекц O" нь перпендикуляр K"O дээр h"-д татагдсан 3. R радиусыг баруун талаас нь тодорхойлно. гурвалжин O"K"K 0, аль талд нь K"K 0 = Z O – Z K.
3. γ° өнцөг нь хурц өнцөгтэй тул хүссэн утгын утга нь ∠ϕ° = ∠γ° байна.