Бүх шинжлэх ухааны хатан хаан болох математикийг судалж байхдаа хүн бүр хэзээ нэгэн цагт бутархайтай тулгардаг. Хэдийгээр энэ ойлголт (бутархайн төрлүүд эсвэл тэдгээртэй хийсэн математикийн үйлдлүүд гэх мэт) огтхон ч төвөгтэй биш боловч үүнийг анхааралтай авч үзэх хэрэгтэй, учир нь жинхэнэ амьдралЭнэ нь сургуулиас гадуур маш их хэрэг болно. Тиймээс, бутархайн тухай мэдлэгээ сэргээцгээе: тэдгээр нь юу вэ, тэдгээр нь юунд зориулагдсан, тэдгээр нь ямар төрөл байдаг, тэдэнтэй хэрхэн өөр өөр зүйл хийх талаар арифметик үйлдлүүд.
Эрхэмсэг фракц: энэ юу вэ
Математикийн хувьд бутархай нь тоонууд бөгөөд тус бүр нь нэгжийн нэг буюу хэд хэдэн хэсгээс бүрддэг. Ийм бутархайг энгийн эсвэл энгийн гэж нэрлэдэг. Дүрмээр бол тэдгээрийг хэвтээ эсвэл ташуу зураасаар тусгаарласан хоёр тооны хэлбэрээр бичдэг бөгөөд үүнийг "бутархай" шугам гэж нэрлэдэг. Жишээ нь: ½, ¾.
Эдгээр тоонуудын дээд буюу эхнийх нь тоологч (тооноос хэдэн хэсэг авсныг харуулдаг), доод буюу хоёр дахь нь хуваагч (нэгж хэдэн хэсэгт хуваагдаж байгааг харуулдаг).
Бутархайн хэсэг нь үнэндээ хуваах тэмдгийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, 7:9=7/9
Уламжлал ёсоор энгийн бутархай нь нэгээс бага байдаг. Харин аравтын бутархай үүнээс том байж болно.
Бутархай нь юунд зориулагдсан вэ? Бүх зүйлд тийм, учир нь бодит ертөнцБүх тоо бүхэл тоо биш. Жишээлбэл, цайны газарт сургуулийн хоёр охин хамтдаа нэг амттай шоколад худалдаж авсан. Тэд амттангаа хуваалцах гэж байтал нэг найзтайгаа уулзаж, бас түүнийг дайлахаар шийджээ. Гэсэн хэдий ч одоо шоколадны баар нь 12 квадратаас бүрддэгийг харгалзан зөв хуваах шаардлагатай байна.
Эхлээд охид бүх зүйлийг тэнцүү хуваахыг хүсч, дараа нь тус бүр дөрвөн ширхэг авах болно. Гэвч сайтар бодсоны эцэст тэд найздаа шоколадны 1/3 биш, харин 1/4-ээр нь дайлахаар шийджээ. Сургуулийн охид бутархайг сайн судлаагүй тул ийм нөхцөлд хоёр хуваахад маш хэцүү 9 ширхэгтэй болно гэдгийг тэд тооцоогүй. Энэ маш энгийн жишээ нь тооны хэсгийг зөв олох нь ямар чухал болохыг харуулж байна. Гэхдээ амьдралд ижил төстэй тохиолдлуудилүү их.
Бутархайн төрлүүд: энгийн ба аравтын бутархай
Бүгд математикийн бутархайэнгийн ба аравтын бутархай гэсэн хоёр том ангилалд хуваагддаг. Тэдний эхнийх нь онцлог шинж чанаруудыг өмнөх догол мөрөнд тайлбарласан тул одоо хоёр дахь хэсэгт анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй юм.
Аравтын тоо гэдэг нь таслалаар тусгаарлан зураас, зураасгүй бичгээр бичдэг тооны бутархайн байрлалын тэмдэглэгээ юм. Жишээ нь: 0.75, 0.5.
Үнэндээ аравтыннь энгийнтэй ижил боловч хуваагч нь үргэлж нэг, дараа нь тэг байдаг - эндээс түүний нэр гарч ирдэг.
Аравтын бутархайн өмнөх тоо бүхэл хэсэг, мөн түүнээс хойшхи бүх зүйл бутархай байна. би үүнд дуртай энгийн бутархайаравтын тоо руу хөрвүүлэх боломжтой. Тиймээс өмнөх жишээнд заасан аравтын бутархайг ердийн байдлаар бичиж болно: ¾ ба ½.
Аравтын бутархай болон энгийн бутархай аль аль нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв тэдгээрийн өмнө "-" тэмдэг байвал, өгөгдсөн бутархайсөрөг, хэрэв "+" бол эерэг.
Энгийн бутархайн дэд төрлүүд
Ийм төрлийн энгийн бутархай хэсгүүд байдаг.
Аравтын бутархайн дэд төрлүүд
Энгийн бутархайгаас ялгаатай нь аравтын бутархай нь зөвхөн 2 төрөлд хуваагддаг.
- Эцсийн - аравтын бутархайн дараа хязгаарлагдмал (хязгаарлагдмал) цифртэй байдаг тул энэ нэрийг авсан: 19.25.
- Хязгааргүй бутархай гэдэг нь аравтын бутархайн дараа хязгааргүй тооны оронтой тоо юм. Жишээлбэл, 10-ыг 3-т хуваахад үр дүн гарна хязгааргүй бутархай 3,333…
Бутархай нэмэх
Бутархай тоогоор янз бүрийн арифметик залруулга хийх нь арай илүү хэцүү байдаг энгийн тоонууд. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та үндсэн дүрмийг ойлгож байгаа бол тэдгээрийн тусламжтайгаар ямар ч жишээг шийдэх нь хэцүү биш байх болно.
Жишээ нь: 2/3+3/4. Тэдний хувьд хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 12 байх тул энэ тоо нь хуваагч бүрт байх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид эхний бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 4-ээр үржүүлбэл 8/12 болж, бид хоёр дахь гишүүнтэй ижил зүйлийг хийдэг, гэхдээ зөвхөн 3 - 9/12-оор үржүүлнэ. Одоо та жишээг хялбархан шийдэж чадна: 8/12+9/12= 17/12. Тоолуур нь хуваагчаас их байгаа тул үүссэн бутархай нь буруу утга юм. Үүнийг 17:12 = 1 ба 5/12-т хуваах замаар зөв холимог болгон хувиргах боломжтой бөгөөд үүнийг хийх ёстой.
Холимог бутархай нэмэх үед үйлдлүүдийг эхлээд бүхэл тоогоор, дараа нь бутархайгаар гүйцэтгэдэг.
Хэрэв жишээнд аравтын бутархай ба энгийн бутархай байгаа бол хоёуланг нь энгийн болгож, дараа нь ижил хуваагч руу авчирч, нэмэх шаардлагатай. Жишээ нь 3.1+1/2. 3.1 тоог ингэж бичиж болно холимог фракц 3 ба 1/10 эсвэл буруу - 31/10. Нөхцөлүүдийн нийтлэг хуваагч нь 10 байх тул 1/2-ын хуваагч ба хуваагчийг 5-аар ээлжлэн үржүүлэх шаардлагатай бөгөөд 5/10 болно. Дараа нь та бүгдийг хялбархан тооцоолж болно: 31/10+5/10=35/10. Хүлээн авсан үр дүн нь буруу бууруулж болох фракц бөгөөд бид үүнийг багасгадаг хэвийн харагдах байдал, 5-аар багасгах: 7/2 = 3 ба 1/2, эсвэл аравтын бутархай - 3.5.
2 аравтын бутархай нэмэхдээ аравтын бутархайн араас ижил тооны цифр байх нь чухал. Хэрэв тийм биш бол та зүгээр л нэмэх хэрэгтэй шаардлагатай хэмжээтэг, учир нь аравтын бутархайн хувьд үүнийг өвдөлтгүйгээр хийх боломжтой. Жишээлбэл, 3.5+3.005. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд эхний тоон дээр 2 тэг нэмээд дараа нь нэг нэгээр нь нэмэх хэрэгтэй: 3.500+3.005=3.505.
Бутархайг хасах
Бутархайг хасахдаа нэмэхийн адил хийх ёстой: багасгах Ерөнхий хуваарь, нэг тоологчийг нөгөөгөөсөө хасч, шаардлагатай бол үр дүнг холимог бутархай болгон хувиргана.
Жишээ нь: 16/20-5/10. Нийтлэг хуваагч нь 20 байх болно. Та хоёр дахь бутархайг энэ хуваагч руу хоёр хэсгийг нь 2-оор үржүүлээд 10/20 гарна. Одоо та жишээг шийдэж болно: 16/20-10/20= 6/20. Гэсэн хэдий ч энэ үр дүн нь бууруулж болох бутархай хэсгүүдэд хамаарах тул хоёр талыг 2-оор хуваах нь зүйтэй бөгөөд үр дүн нь 3/10 байна.
Бутархайг үржүүлэх
Бутархай хуваах, үржүүлэх нь нэмэх, хасахаас хамаагүй хялбар үйлдлүүд юм. Үнэн хэрэгтээ эдгээр ажлыг гүйцэтгэхдээ нийтлэг хуваагч хайх шаардлагагүй болно.
Бутархайг үржүүлэхийн тулд та хоёр тоологчийг нэг нэгээр нь, дараа нь хуваагчийг хоёуланг нь үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв фракц нь бууруулж болох хэмжигдэхүүн байвал үр дүнг бууруулна.
Жишээ нь: 4/9x5/8. Ээлжлэн үржүүлсний дараа үр дүн нь 4x5/9x8=20/72 болно. Энэ бутархайг 4-өөр багасгаж болох тул жишээн дээрх эцсийн хариулт нь 5/18 байна.
Бутархайг хэрхэн хуваах вэ
Бутархайг хуваах нь бас энгийн үйлдэл бөгөөд үнэндээ энэ нь тэдгээрийг үржүүлэхэд хүргэдэг. Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд хоёр дахь хэсгийг эргүүлж, эхнийх нь үржүүлэх хэрэгтэй.
Жишээлбэл, 5/19 ба 5/7 бутархайг хуваах. Жишээг шийдэхийн тулд та хоёр дахь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг сольж, үржүүлэх хэрэгтэй: 5/19x7/5=35/95. Үр дүнг 5-аар бууруулж болно - энэ нь 7/19 болж хувирна.
Хэрэв та бутархайг анхны тоонд хуваах шаардлагатай бол техник нь арай өөр байна. Эхлээд та энэ тоог буруу бутархай гэж бичиж, дараа нь ижил схемийн дагуу хуваах хэрэгтэй. Жишээлбэл, 2/13: 5-ыг 2/13: 5/1 гэж бичих хэрэгтэй. Одоо та 5/1-ийг эргүүлж, үүссэн бутархайг үржүүлэх хэрэгтэй: 2/13x1/5= 2/65.
Заримдаа та холимог бутархайг хуваах хэрэгтэй. Та тэдгээрийг бүхэл тоонуудын адилаар авч үзэх хэрэгтэй: тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, хуваагчийг эргүүлж, бүгдийг үржүүл. Жишээлбэл, 8 ½: 3. Бүх зүйлийг эргүүл буруу бутархай: 17/2: 3/1. Үүний дараа 3/1 эргүүлэх ба үржүүлэх: 17/2x1/3= 17/6. Одоо та буруу бутархайг зөв болгон хувиргах хэрэгтэй - 2 бүхэл ба 5/6.
Тиймээс, бутархай гэж юу болох, тэдгээрийн тусламжтайгаар янз бүрийн арифметик үйлдлүүдийг хэрхэн хийж болохыг олж мэдсэнийхээ дараа та үүнийг мартахгүй байхыг хичээх хэрэгтэй. Эцсийн эцэст хүмүүс аливаа зүйлийг нэмэхээсээ илүү хэсэг болгон хуваах хандлагатай байдаг тул та үүнийг зөв хийх чадвартай байх хэрэгтэй.
Бид сургуульд сурч эхлэхээсээ хамаагүй эрт амьдралдаа бутархайтай тааралддаг. Хэрэв бид бүхэл бүтэн алимыг хагас болгон хуваасан бол бид жимсний хагасыг авна. Үүнийг дахин таслацгаая - энэ нь ¼ болно. Эдгээр нь бутархай юм. Тэгээд бүх зүйл энгийн мэт санагдсан. Насанд хүрсэн хүний хувьд. Хүүхдийн хувьд (ба энэ сэдэвтөгсгөлд нь сурч эхэлнэ бага сургууль) хийсвэр математикийн ойлголтуудЭнэ нь аймшигтай ойлгомжгүй хэвээр байгаа бөгөөд багш зөв бутархай ба буруу бутархай, энгийн ба аравтын бутархай гэж юу болох, тэдгээртэй ямар үйлдлүүд хийж болох, хамгийн чухал нь энэ бүхэн юунд хэрэгтэйг тодорхой тайлбарлах ёстой.
Ямар төрлийн бутархай байдаг вэ?
Танилцаж байна шинэ сэдэвсургуульд энэ нь энгийн бутархайгаар эхэлдэг. Тэдгээрийг дээд ба доор гэсэн хоёр тоог тусгаарлах хэвтээ шугамаар амархан танина. Дээд талыг нь тоологч, доод хэсгийг хуваагч гэж нэрлэдэг. Буруу, зөв энгийн бутархай бичих жижиг үсгийн сонголт байдаг - ташуу зураасаар, жишээлбэл: ½, 4/9, 384/183. Энэ сонголт нь шугамын өндөр хязгаарлагдмал, "хоёр давхар" бүртгэлийн маягтыг ашиглах боломжгүй үед ашиглагддаг. Яагаад? Тийм ээ, учир нь энэ нь илүү тохиромжтой. Бид үүнийг хэсэг хугацааны дараа харах болно.
Энгийн бутархайгаас гадна аравтын бутархай байдаг. Тэдгээрийг ялгах нь маш энгийн: хэрэв нэг тохиолдолд хэвтээ эсвэл налуу зураас ашигладаг бол нөгөө тохиолдолд тоонуудын дарааллыг тусгаарлахад таслал ашигладаг. Жишээ авч үзье: 2.9; 163.34; 1.953. Бид тоонуудыг зааглахдаа цэг таслалыг зориуд ашигласан. Тэдний эхнийх нь "хоёр цэг есөн" гэж унших болно.
Шинэ ойлголтууд
Энгийн бутархай руу буцъя. Тэд хоёр төрлөөр ирдэг.
Зөв бутархайн тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: энэ нь тоологч нь бутархай юм хуваагчаас бага. Яагаад чухал вэ? Бид одоо харах болно!
Та хэд хэдэн алимтай, хоёр дахин хуваасан. Нийт - 5 хэсэг. Та "хоёр хагас" эсвэл "таван хагас" алимтай юу гэж хэлэх вэ? Мэдээжийн хэрэг, эхний сонголт нь илүү байгалийн сонсогдож байгаа бөгөөд бид үүнийг найзуудтайгаа ярилцахдаа ашиглах болно. Гэхдээ хэрэв хүн бүр хэдэн жимс авахыг тооцоолох шаардлагатай бол, хэрэв компанид таван хүн байвал бид 5/2 тоог бичиж, 5-д хуваана - математикийн үүднээс энэ нь илүү тодорхой болно. .
Тиймээс зөв ба буруу бутархайг нэрлэх дүрэм нь ийм байна: хэрэв бүхэл хэсгийг бутархайгаар (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) ялгаж чадвал энэ нь жигд бус байна. Хэрэв ½, 13/16, 9/10-ын жишээн дээр үүнийг хийх боломжгүй бол энэ нь зөв байх болно.
Бутархайн үндсэн шинж чанар
Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг нэгэн зэрэг үржүүлж эсвэл ижил тоогоор хуваавал түүний утга өөрчлөгдөхгүй. Төсөөлөөд үз дээ: тэд бялууг 4 тэнцүү хэсэгт хувааж, танд нэгийг өгсөн. Тэд нэг бялууг найман хэсэг болгон хувааж, танд хоёрыг өгсөн. Энэ үнэхээр чухал уу? Эцсийн эцэст ¼ ба 2/8 нь ижил зүйл юм!
Бууруулах
Математикийн сурах бичгүүдийн бодлого, жишээнүүдийн зохиогчид бичихэд төвөгтэй боловч товчилсон бутархайг санал болгож, оюутнуудыг төөрөгдүүлэхийг эрмэлздэг. Зөв бутархайн жишээ энд байна: 167/334, энэ нь маш "аймар" мэт санагдаж байна. Гэхдээ бид үүнийг ½ гэж бичиж болно. 334 тоо нь 167-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг - энэ үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа бид 2-ыг авна.
Холимог тоо
Бутархай бутархайг холимог тоогоор илэрхийлж болно. Энэ нь бүхэл хэсгийг урагш авчирч, хэвтээ шугамын түвшинд бичих явдал юм. Үнэн хэрэгтээ илэрхийлэл нь нийлбэр хэлбэртэй байна: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 гэх мэт.
Хэсгийг бүхэлд нь гаргахын тулд тоологчийг хуваагчаар хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн хуваалтыг дээд талд, мөрний дээгүүр, бүх хэсгийг илэрхийллийн өмнө бичнэ. Тиймээс бид бүтцийн хоёр хэсгийг авна: бүхэл нэгж + зөв бутархай.
Үүнийг хэрэгжүүлэх боломжтой урвуу ажиллагаа- үүнийг хийхийн тулд та бүхэл хэсгийг хуваагчаар үржүүлж, үр дүнгийн утгыг тоологч дээр нэмэх хэрэгтэй. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.
Үржүүлэх, хуваах
Хачирхалтай нь бутархайг үржүүлэх нь нэмэхээс хялбар байдаг. Шаардлагатай бүх зүйл бол хэвтээ шугамыг сунгах явдал юм: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Хуваах үед бүх зүйл бас энгийн: та бутархайг хөндлөн чиглэлд үржүүлэх хэрэгтэй: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Бутархай нэмэх
Хэрэв та нэмэх шаардлагатай бол юу хийх эсвэл тэдгээрийн хуваагч нь өөр өөр тоо? Үржүүлэхтэй адил зүйл хийх нь ажиллахгүй болно - энд та зөв бутархайн тодорхойлолт ба түүний мөн чанарыг ойлгох хэрэгтэй. Нэр томъёог нийтлэг хуваагч руу авчрах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл хоёр бутархайн доод тал нь ижил тоотой байх ёстой.
Үүнийг хийхийн тулд та бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй: хоёр хэсгийг ижил тоогоор үржүүлнэ. Жишээлбэл, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Нөхцөлүүдийг багасгахын тулд аль хуваагчийг хэрхэн сонгох вэ? Энэ нь бутархайн хуваагч дахь хоёр тооны үржвэр болох хамгийн бага тоо байх ёстой: 1/3 ба 1/9-ийн хувьд энэ нь 9 байх болно; ½ ба 1/7 - 14-ийн хувьд, учир нь бага утга, 2 ба 7-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг, байхгүй.
Хэрэглээ
Буруу бутархайг юунд ашигладаг вэ? Эцсийн эцэст, бүхэл бүтэн хэсгийг нэн даруй сонгож, холимог тоо авах нь илүү тохиромжтой бөгөөд үүнийг дуусгах болно! Хэрэв та хоёр бутархайг үржүүлэх эсвэл хуваах шаардлагатай бол жигд бус хэсгийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг.
Авцгаая дараагийн жишээ: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Энэ нь огтлох зүйл огт байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ эхний хаалтанд нэмэх үр дүнг буруу бутархай гэж бичвэл яах вэ? Харах: (37/17) / (37/68)
Одоо бүх зүйл байрандаа орно! Бүх зүйл тодорхой болохуйц жишээг бичье: (37*68) / (17*37).
Тоолуур ба хуваагч дахь 37-г цуцалъя, эцэст нь дээд ба доод хэсгийг 17-д хуваая. Та зөв ба буруу бутархайн үндсэн дүрмийг санаж байна уу? Бид хуваагч болон хуваагчийг нэгэн зэрэг хийвэл ямар ч тоогоор үржүүлж, хувааж болно.
Тиймээс бид хариултыг авах болно: 4. Жишээ нь төвөгтэй мэт санагдсан боловч хариулт нь зөвхөн нэг тоог агуулдаг. Энэ нь математикт ихэвчлэн тохиолддог. Хамгийн гол нь айх хэрэггүй, энгийн дүрмийг дагаж мөрдөх явдал юм.
Нийтлэг алдаа
Хэрэгжүүлэхдээ оюутан нийтлэг алдаануудын нэгийг амархан гаргаж чаддаг. Ихэнхдээ тэдгээр нь анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж, заримдаа судлагдсан материал нь толгойдоо зөв хадгалагдаагүй байгаатай холбоотой байдаг.
Ихэнхдээ тоологч дахь тоонуудын нийлбэр нь түүний бие даасан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг багасгахыг хүсдэг. Жишээн дээр хэлье: (13 + 2) / 13, хаалтгүй (хэвтээ шугамаар) бичсэн, олон оюутнууд туршлагагүйн улмаас 13-ыг дээр болон доороос нь зурсан байна. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд үүнийг хийх ёсгүй, учир нь энэ бол бүдүүлэг алдаа юм! Хэрэв нэмэхийн оронд үржүүлэх тэмдэг байсан бол бид хариултанд 2-ын тоог авах болно, гэхдээ нэмэх үед аль нэг нөхцөлтэй үйлдэл хийхийг зөвшөөрдөггүй, зөвхөн бүхэл нийлбэрээр.
Залуус ч гэсэн бутархайг хуваахдаа алдаа гаргадаг. Хоёр зөвийг авъя бууруулж болохгүй бутархайба бие биенээ хуваана: (5/6) / (25/33). Сурагч үүнийг хольж, үүссэн илэрхийлэлийг (5*25) / (6*33) гэж бичиж болно. Гэхдээ энэ нь үржүүлэхэд тохиолдох болно, гэхдээ бидний тохиолдолд бүх зүйл арай өөр байх болно: (5*33) / (6*25). Бид боломжтой зүйлийг багасгаж, хариулт нь 11/10 байх болно. Бид үүссэн буруу бутархайг аравтын бутархай гэж бичнэ - 1.1.
Хаалт
Аль ч тохиолдолд үүнийг санаарай математик илэрхийллүүдүйл ажиллагааны дарааллыг үйл ажиллагааны тэмдгүүдийн тэргүүлэх чиглэл, хаалт байгаа эсэхээр тодорхойлно. Бусад бүх зүйл тэнцүү, үйлдлийн дарааллыг зүүнээс баруун тийш тоолно. Энэ нь бутархайн хувьд бас үнэн юм - тоологч эсвэл хуваагч дахь илэрхийлэлийг энэ дүрмийн дагуу нарийн тооцдог.
Эцсийн эцэст энэ нь нэг тоог нөгөөд хуваах үр дүн юм. Хэрэв тэдгээр нь жигд хуваагдаагүй бол энэ нь бутархай болно - энэ бол бүх зүйл.
Компьютер дээр бутархайг хэрхэн бичих вэ
Стандарт хэрэгслүүд нь хоёр "давхарга" -аас бүрдэх бутархай үүсгэхийг үргэлж зөвшөөрдөггүй тул оюутнууд заримдаа янз бүрийн заль мэх хийдэг. Жишээлбэл, тэд тоологч болон хуваагчийг Paint график засварлагч руу хуулж, хооронд нь нааж, хооронд нь зурдаг. хэвтээ шугам. Мэдээжийн хэрэг, илүү хялбар сонголт байдаг бөгөөд энэ нь маш их зүйлийг өгдөг нэмэлт функцууд, энэ нь ирээдүйд танд хэрэгтэй болно.
Microsoft Word програмыг нээнэ үү. Дэлгэцийн дээд хэсэгт байрлах самбаруудын нэгийг "Оруулах" гэж нэрлэдэг - үүн дээр дарна уу. Баруун талд, цонхны хаах, багасгах дүрс байрладаг талд "Формула" товчлуур байна. Энэ бол яг бидэнд хэрэгтэй зүйл юм!
Хэрэв та энэ функцийг ашиглавал дэлгэцэн дээр аль нэгийг ашиглаж болох тэгш өнцөгт хэсэг гарч ирнэ математикийн тэмдэг, гар дээр байхгүй, мөн сонгодог хэлбэрээр бутархай бичнэ. Өөрөөр хэлбэл, тоологч ба хуваагчийг хэвтээ шугамаар хуваана. Ийм зөв бутархай бичихэд маш амархан байгаад та гайхах байх.
Математик сур
Хэрэв та 5-6-р ангид суралцаж байгаа бол удалгүй математикийн мэдлэг (бутархай тоотой ажиллах чадварыг оруулаад!) олон хүмүүст шаардлагатай болно. Сургуулийн хичээл. Физикийн бараг бүх асуудалд, хими, геометр, тригонометрийн бодисын массыг хэмжихдээ та бутархайгүйгээр хийж чадахгүй. Удалгүй та цаасан дээр илэрхийлэл бичихгүйгээр оюун ухаандаа бүх зүйлийг тооцоолж сурах болно, гэхдээ улам бүр нэмэгдэнэ нарийн төвөгтэй жишээнүүд. Тиймээс зөв бутархай гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар суралцаарай сургалтын хөтөлбөр, гэрийн даалгавраа цаг тухайд нь хийвэл амжилтанд хүрнэ.
Энгийн бутархайг \textit (зөв) ба \textit (буруу) бутархай гэж хуваадаг. Энэ хуваалт нь тоологч ба хуваагч хоёрын харьцуулалт дээр суурилдаг.
Зөв бутархай
Зөв бутархайдуудсан энгийн бутархай$\frac(m)(n)$, түүний тоологч нь хуваагчаас бага, өөрөөр хэлбэл. $м
Жишээ 1
Жишээлбэл, $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ бутархайнууд зөв байна. , тэгэхээр яаж тус бүрд нь зөв бутархайн тодорхойлолтыг хангасан хуваагчаас бага байна.
Бутархайг нэгтэй харьцуулах үндсэн дээр зөв бутархай гэсэн тодорхойлолт байдаг.
зөв, нэгээс бага бол:
Жишээ 2
Жишээ нь $\frac(6)(13)$ энгийн бутархай зөв учир нь $\frac(6)(13) нөхцөл хангагдсан
Буруу бутархай
Буруу бутархайнь энгийн бутархай $\frac(m)(n)$ бөгөөд түүний тоологч нь эсвэл -ээс их байна. хуваагчтай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл $м\ge n$.
Жишээ 3
Жишээлбэл, $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ бутархайнууд жигд бус байна. , тэгэхээр яаж тэдгээрийн тус бүр дэх тоологч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх нь буруу бутархайн тодорхойлолтод нийцдэг.
Бутархай бутархайн тодорхойлолтыг нэгтэй харьцуулан авч үзье.
Энгийн бутархай $\frac(m)(n)$ байна буруу, хэрэв энэ нь нэгтэй тэнцүү эсвэл түүнээс их бол:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Жишээ 4
Жишээ нь, энгийн бутархай $\frac(21)(4)$ буруу байна, учир нь $\frac(21)(4) >1$ нөхцөл хангагдсан;
энгийн бутархай $\frac(8)(8)$ буруу байна, учир нь $\frac(8)(8)=1$ нөхцөл хангагдсан.
Бутархай бутархай гэсэн ойлголтыг нарийвчлан авч үзье.
Жишээ болгон $\frac(7)(7)$ буруу бутархайг авч үзье. Энэ бутархайн утга нь объектын долоон хувийг авах бөгөөд долоон тэнцүү хэсэгт хуваагдана. Тиймээс бэлэн байгаа долоон хувьцаанаас объектыг бүхэлд нь бүрдүүлж болно. Тэдгээр. $\frac(7)(7)$ буруу бутархайг дүрсэлдэг бүхэл бүтэн сэдэвболон $\frac(7)(7)=1$. Тиймээс, тоологч нь хуваагчтай тэнцүү байх буруу бутархай нь нэг бүхэл объектыг дүрсэлсэн бөгөөд ийм бутархайг $1$ натурал тоогоор сольж болно.
$\frac(5)(2)$ - эдгээр таван секундын хэсгээс та $2$ бүхэл объект (нэг бүхэл бүтэн объект $2$ хэсгээс бүрдэх бөгөөд хоёр бүхэл объектыг бүтээхэд танд хэрэгтэй) нь ойлгомжтой. $2+2=4$ хувьцаа) ба нэг секундын хувьцаа үлдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, $\frac(5)(2)$ буруу бутархай нь объектын $2$-ыг, энэ объектын эзлэх хувийг $\frac(1)(2)$ гэж тодорхойлдог.
$\frac(21)(7)$ -- хорин нэгийн долооны хэсгээс та $3$ бүхэл объект хийж болно (тус бүрд $7$-ийн хувьцаатай $3$ объект). Тэдгээр. $\frac(21)(7)$ бутархай нь $3$ бүхэл объектыг дүрсэлдэг.
Үзсэн жишээнүүдээс дүгнэж болно дараагийн гаралт: Тоолуур нь хуваарьт хуваагддаг бол буруу бутархайг натурал тоогоор сольж болно (жишээлбэл, $\frac(7)(7)=1$ ба $\frac(21)(7)=3$), эсвэл нийлбэр натурал тоомөн хуваагч нь хуваарьт бүрэн хуваагдахгүй бол зохих бутархай (жишээлбэл, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Тийм учраас ийм бутархайг нэрлэдэг буруу.
Тодорхойлолт 1
Бутархай бутархайг натурал тоо ба зөв бутархайн нийлбэр (жишээлбэл, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) хэлбэрээр илэрхийлэх үйл явцыг гэнэ. бүхэл хэсгийг буруу бутархайгаас салгах.
Буруу бутархайтай ажиллахдаа ажиглаж болно ойр холболттэдгээрийн хооронд ба холимог тоо.
Бутархай бутархайг ихэвчлэн холимог тоо гэж бичдэг - бүхэл тоо ба бутархай хэсгээс бүрдэх тоо.
Бутархай бутархайг холимог тоогоор бичихийн тулд та хуваагчийг үлдэгдэлтэй хуваах ёстой. Хуваагч нь холимог тооны бүхэл хэсэг, үлдсэн хэсэг нь бутархай хэсгийн хуваагч, хуваагч нь бутархай хэсгийн хуваагч байх болно.
Жишээ 5
$\frac(37)(12)$ буруу бутархайг холимог тоогоор бич.
Шийдэл.
Тоолуурыг үлдэгдэлтэй хуваагчаар хуваана:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (үлдэгдэл\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Хариулах.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Холимог тоог буруу бутархай болгон бичихийн тулд та хуваагчийг бүхэл тоогоор үржүүлж, гарсан үржвэрт бутархай хэсгийн тоог нэмж, үр дүнг бутархайн тоонд бичих хэрэгтэй. Бутархай бутархайн хуваагч нь холимог тооны бутархай хэсгийн хуваагчтай тэнцүү байна.
Жишээ 6
$5\frac(3)(7)$ холимог тоог буруу бутархай хэлбэрээр бич.
Шийдэл.
Хариулах.$5 \ frac (3) (7) = \ frac (38) (7) $.
Холимог тоо ба зөв бутархайг нэмэх
Холимог тооны нэмэгдэл$a\frac(b)(c)$ ба зөв бутархай$\frac(d)(e)$ нь өгөгдсөн холимог тооны бутархай хэсгийг өгөгдсөн бутархайд нэмэх замаар гүйцэтгэнэ.
Жишээ 7
Тохирох бутархай $\frac(4)(15)$ ба холимог тоо $3\frac(2)(5)$ нэмнэ.
Шийдэл.
Холимог тоо ба зөв бутархайг нэмэх томъёог ашиглая:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\зүүн(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\баруун)=3+\ зүүн(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\баруун)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
\textit(5) тоонд хуваах замаар бид $\frac(10)(15)$ бутархайг багасгаж болохыг тодорхойлж чадна. Бууруулах үйлдлийг хийж, нэмэхийн үр дүнг олцгооё.
Тэгэхээр $\frac(4)(15)$ зөв бутархай ба холимог тоо $3\frac(2)(5)$-ийг нэмсний үр дүн $3\frac(2)(3)$ болно.
Хариулт:$3\frac(2)(3)$
Холимог тоо ба буруу бутархайг нэмэх
Бутархай бутархай болон холимог тоонуудыг нэмэхХолимог хоёр тоог нэмэхэд хүргэдэг бөгөөд үүний тулд бүх хэсгийг буруу бутархайгаас тусгаарлахад хангалттай.
Жишээ 8
Холимог тоо $6\frac(2)(15)$ ба буруу бутархай $\frac(13)(5)$-ын нийлбэрийг тооцоол.
Шийдэл.
Эхлээд $\frac(13)(5)$ буруу бутархайгаас бүхэл тоог гаргаж авъя:
Хариулт:$8\frac(11)(15)$.
“Бутархай” гэдэг үг олон хүний сэтгэлийг хөдөлгөдөг. Учир нь би сургууль, математикийн хичээлээр шийдэгдсэн даалгавруудыг санаж байна. Энэ бол заавал биелүүлэх ёстой үүрэг байсан. Хэрэв та зөв ба буруу бутархайтай холбоотой асуудлуудыг оньсого мэт авч үзсэн бол яах вэ? Эцсийн эцэст олон насанд хүрэгчид дижитал болон Японы кроссвордуудыг шийддэг. Бид дүрмийг нь олж мэдсэн, тэгээд л болоо. Энд ч мөн адил. Хүн зөвхөн онолыг судлах хэрэгтэй - тэгвэл бүх зүйл байрандаа орно. Мөн жишээнүүд таны тархийг сургах арга болж хувирах болно.
Ямар төрлийн бутархай байдаг вэ?
Энэ юу вэ гэдгээс эхэлье. Бутархай гэдэг нь нэг хэсэгтэй тоо юм. Үүнийг хоёр хэлбэрээр бичиж болно. Эхнийх нь энгийн гэж нэрлэгддэг. Энэ нь хэвтээ эсвэл налуу шугамтай гэсэн үг юм. Энэ нь хуваах тэмдэгтэй тэнцэнэ.
Ийм тэмдэглэгээнд шугаман дээрх тоог тоологч, доор байгаа тоог хуваагч гэж нэрлэдэг.
Энгийн бутархайн дотроос зөв ба буруу бутархайг ялгадаг. Эхнийх нь тоологчийн үнэмлэхүй утга нь хуваагчаас үргэлж бага байдаг. Бүх зүйл эсрэгээрээ байдаг учраас буруу хүмүүсийг ингэж нэрлэдэг. Зөв бутархайн утга нь үргэлж нэгээс бага байдаг. Хэдийгээр буруу нь үргэлж энэ тооноос их байдаг.
Холимог тоонууд, өөрөөр хэлбэл бүхэл тоо, бутархай хэсэг байдаг.
Хоёрдахь төрлийн тэмдэглэгээ нь аравтын бутархай юм. Түүний тухай тусдаа яриа байдаг.
Бутархай бутархай нь холимог тооноос юугаараа ялгаатай вэ?
Үндсэндээ юу ч биш. Эдгээр нь ижил тооны өөр өөр бичлэгүүд юм. Буруу бутархай нь энгийн алхмуудын дараа амархан холимог тоо болж хувирдаг. Мөн эсрэгээр.
Энэ бүхэн үүнээс хамаарна тодорхой нөхцөл байдал. Заримдаа даалгаварт буруу бутархай ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. Тэгээд заримдаа үүнийг холимог тоо болгон хувиргах шаардлагатай бөгөөд дараа нь жишээ нь маш амархан шийдэгдэх болно. Тиймээс юу хэрэглэх вэ: буруу бутархай, холимог тоо, асуудлыг шийдэж буй хүний ажиглах чадвараас хамаарна.
Холимог тоог мөн бүхэл хэсэг ба бутархай хэсгийн нийлбэртэй харьцуулна. Түүнээс гадна хоёр дахь нь үргэлж нэгээс бага байдаг.
Холимог тоог буруу бутархайгаар хэрхэн илэрхийлэх вэ?
Хэрэв та хэд хэдэн тоогоор бичсэн ямар нэгэн үйлдэл хийх шаардлагатай бол янз бүрийн төрөл, дараа нь та тэдгээрийг ижил болгох хэрэгтэй. Нэг арга бол тоог буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм.
Үүний тулд та дараах алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.
- хуваагчийг бүхэл хэсэг болгон үржүүлэх;
- үр дүнд тоологчийн утгыг нэмэх;
- хариултыг мөрний дээгүүр бичих;
- хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.
Холимог тооноос буруу бутархай бичих жишээ энд байна.
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Бутархай бутархайг холимог тоогоор хэрхэн бичих вэ?
Дараагийн техник нь дээр дурдсаны эсрэг юм. Энэ нь бүх холимог тоонуудыг буруу бутархайгаар солих явдал юм. Үйлдлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна.
- үлдэгдлийг авахын тулд тоологчийг хуваагчаар хуваах;
- холимог хэсгийн бүхэл хэсгийн оронд хуваалтыг бичих;
- үлдсэн хэсгийг шугамаас дээш байрлуулах ёстой;
- хуваагч нь хуваагч байх болно.
Ийм өөрчлөлтийн жишээ:
76/14; 76:14 = 5, үлдэгдэл 6; хариулт нь 5 бүхэл ба 6/14 байх болно; бутархай хэсэгэнэ жишээнд та 2-оор багасгах хэрэгтэй, та 3/7 авна; эцсийн хариулт нь 5 оноо 3/7.
108/54; хуваагдсаны дараа 2-ын коэффициентийг үлдэгдэлгүй авна; энэ нь бүх буруу бутархайг холимог тоогоор илэрхийлэх боломжгүй гэсэн үг юм; Хариулт нь бүхэл тоо байх болно - 2.
Бүхэл тоог хэрхэн буруу бутархай болгох вэ?
Ийм арга хэмжээ авах шаардлагатай нөхцөл байдал байдаг. Мэдэгдэж буй хуваарьтай буруу бутархай авахын тулд та дараах алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.
- бүхэл тоог хүссэн хуваагчаар үржүүлэх;
- энэ утгыг мөрний дээгүүр бичих;
- түүний доор хуваагчийг байрлуул.
Хамгийн энгийн сонголт бол хуваагч юм нэгтэй тэнцүү. Дараа нь та ямар нэгэн зүйлийг үржүүлэх шаардлагагүй болно. Зүгээр л жишээнд өгөгдсөн бүхэл тоог бичиж, нэгийг мөрний доор байрлуулахад хангалттай.
Жишээ: 5-ыг 3 хуваарьтай бутархай бутархай болго. 5-ыг 3-аар үржүүлэхэд 15 гарна. Энэ тоо нь хуваагч болно. Даалгаврын хариулт нь бутархай байна: 15/3.
Өөр өөр тоотой асуудлыг шийдвэрлэх хоёр арга
Жишээ нь 2 бүхэл тоо 3/5 ба 14/11 гэсэн нийлбэр ба зөрүү, түүнчлэн үржвэр ба хуваалтыг тооцоолохыг шаарддаг.
Эхний хандлагадхолимог тоо нь буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх болно.
Дээр дурдсан алхмуудыг хийсний дараа та дараах утгыг авах болно: 13/5.
Нийлбэрийг олохын тулд бутархайг багасгах хэрэгтэй ижил хуваагч. 11-ээр үржүүлсний дараа 13/5 нь 143/55 болно. 5-аар үржүүлсний дараа 14/11 нь: 70/55 болно. Нийлбэрийг тооцоолохын тулд та зөвхөн тоологчдыг нэмэх хэрэгтэй: 143 ба 70, дараа нь хариултыг нэг хуваагчаар бичнэ үү. 213/55 - энэ буруу бутархай нь асуудлын хариулт юм.
Ялгааг олохдоо ижил тоонуудыг хасна: 143 - 70 = 73. Хариулт нь бутархай байх болно: 73/55.
13/5 ба 14/11-ийг үржүүлэхдээ тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагагүй. Тоолуур ба хуваагчийг хосоор нь үржүүлэхэд хангалттай. Хариулт нь: 182/55 байх болно.
Хуваах тухайд ч мөн адил. Учир нь зөв шийдвэрта хуваалтыг үржүүлэх замаар сольж, хуваагчийг эргүүлэх хэрэгтэй: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Хоёрдахь аргадбуруу бутархай нь холимог тоо болно.
Алгоритмын үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа 14/11 нь 1-ийн бүхэл хэсэг, 3/11-ийн бутархай хэсэгтэй холимог тоо болж хувирна.
Нийлбэрийг тооцоолохдоо бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг тусад нь нэмэх хэрэгтэй. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Эцсийн хариулт нь 3 оноо 48/55. Эхний хандлагад бутархай нь 213/55 байсан. Холимог тоонд хөрвүүлэн зөв эсэхийг шалгаж болно. 213-ыг 55-д хуваасны дараа үр дүн нь 3, үлдэгдэл нь 48. Хариулт нь зөв болохыг харахад амархан.
Хасах үед "+" тэмдгийг "-" тэмдгээр солино. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Шалгахын тулд өмнөх аргын хариултыг холимог тоо болгон хувиргах шаардлагатай: 73-ыг 55-д хуваавал 1, үлдсэн нь 18 байна.
Бүтээгдэхүүн ба коэффициентийг олохын тулд холимог тоонуудыг ашиглах нь тохиромжгүй байдаг. Энд буруу бутархай руу шилжихийг үргэлж зөвлөж байна.
Энгийн математикийн дүрэмболон техник, хэрэв тэдгээрийг байнга ашиглахгүй бол хамгийн хурдан мартагддаг. Нэр томьёо ой санамжаас бүр ч хурдан арилдаг.
Эдгээрийн нэг энгийн үйлдлүүд– буруу бутархайг зөв буюу өөрөөр хэлбэл холимог бутархай болгон хувиргах.
Буруу бутархай
Тоолуур (шугам дээрх тоо) нь хуваагчаас (шугам доорх тоо) их буюу тэнцүү байхыг буруу бутархай гэнэ. Энэ бутархайг бутархай нэмэх эсвэл бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх замаар олж авна. Математикийн дүрмийн дагуу ийм бутархайг зөв болгон хувиргах ёстой.
Зөв бутархай
Бусад бүх бутархайг зөв гэж нэрлэдэг гэж үзэх нь логик юм. Хатуу тодорхойлолт бол хуваагч нь хуваагчаасаа бага бутархайг зөв гэж нэрлэдэг. Бүхэл тоотой бутархайг заримдаа холимог бутархай гэж нэрлэдэг.
Бутархай бутархайг зөв бутархай болгон хувиргах
- Эхний тохиолдол: тоологч ба хуваагч нь хоорондоо тэнцүү байна. Ийм бутархайг хөрвүүлсний үр дүн нь нэг юм. Гуравны гурав, нэг зуун хорин таван зуун хорин тавны аль нь ч хамаагүй. Үндсэндээ ийм бутархай нь тоог өөрөө хуваах үйлдлийг илэрхийлдэг.
- Хоёр дахь тохиолдол: тоологч нь хуваагчаас их байна. Энд та тоог үлдэгдэлтэй хуваах аргыг санах хэрэгтэй.
Үүнийг хийхийн тулд хуваарьт үлдэгдэлгүй хуваагдах хүртэгчийн утгад хамгийн ойр байгаа тоог олох хэрэгтэй. Жишээлбэл, танд арван есөн гуравны нэг хэсэг байна. Ихэнх ойрын дугааргуравт хувааж болох нь арван найм. Энэ бол зургаа. Одоо гарсан тоог тоологчоос хас. Бид нэгийг авдаг. Энэ бол үлдсэн хэсэг. Хөрвүүлсний үр дүнг бичнэ үү: зургаан бүтэн ба гуравны нэг.
Гэхдээ бутархайг багасгахын өмнө зөв төрөл, та үүнийг богиносгож болох эсэхийг шалгах хэрэгтэй.
Хэрэв тоологч ба хуваагчтай бол бутархайг багасгах боломжтой нийтлэг хуваагч. Энэ нь хоёулаа үлдэгдэлгүй хуваагдах тоо юм. Хэрэв хэд хэдэн ийм хуваагч байгаа бол хамгийн томыг нь олох хэрэгтэй.
Жишээлбэл, бүх тэгш тоонууд ийм нийтлэг хуваагчтай байдаг - хоёр. Арван зургаагийн арван хоёрын бутархай нь өөр нэг нийтлэг хуваагчтай - дөрөв. Энэ хамгийн том хуваагч. Тоолуур ба хуваагчийг дөрөв хуваа. Бууруулах үр дүн: гуравны дөрөв. Одоо дадлага болгон энэ бутархайг зөв бутархай болгон хувирга.
