Pravila za odpiranje oklepajev. Oklepaj: pravila, primeri, rešitve

“Graf funkcije 7” -). 1. Sestavi graf funkcije po točkah: 2. (. Primeri, ki vodijo do pojma funkcije. Množenje monomov: Graf funkcije. 7. razred. Predstavi izraze v obliki monoma. standardni pogled: Graf funkcije. Odvisna spremenljivka. Neodvisna spremenljivka.

"Polinom v algebri" - Kaj se imenuje redukcija podobni člani? 2a5a2 + a2 + a3 – 3a2. 4x6y3 + 2x2y2 + x. 3ax – 6ax + 9a2x. Odgovorite na vprašanja: 17a4 + 8a5 + 3a – a3. Pouk algebre v 7. razredu. Ustno delo. 1. Izberi polinome, zapisane v standardni obliki: 12a2b – 18ab2 – 30ab3. učiteljica matematike občinske izobraževalne ustanove "Srednja šola št. 2" Tokareva Yu.I. Pojasnite, kako reducirate polinom na standardno obliko.

“Polinomi 7. razred” - 1. 6. Kot rezultat množenja polinoma s polinomom dobimo polinom. 9. Dobesedni faktor monoma, zapisan v standardni obliki, se imenuje koeficient monoma. 4. Množenje polinoma z monomom proizvede monom. 5. 5. Algebraična vsota več monomov imenujemo polinom. - + + - + + - + +. 3. Ustno delo. 2.

“Zmanjševanje algebrskih ulomkov” - 3. Glavno lastnost ulomka lahko zapišemo takole: , kjer je b?0, m?0. 7. (a-b)?=(a-b) (a+b). Lekcija algebre v 7. razredu »Algebraični ulomki. 1. Izraz oblike se imenuje algebraični ulomek. "Potovanje v svet algebrski ulomki" Potovanje v svet algebraičnih ulomkov. 2. V algebraičnem ulomku je števec in imenovalec - algebrski izrazi. "Popotovanje v svet algebraičnih ulomkov." Zmanjševanje ulomkov" Učiteljica Stepninske srednje šole Zhusupova A.B. Dosežki veliki ljudje Nikoli ni bilo lahko!

"Razkritje oklepajev" - Razširitev oklepajev. c. Matematika. a. 7. razred. b. S = a · b + a · c.

"Ravninske koordinate" - pravokotne mreže so uporabljali tudi renesančni umetniki. Vsebina Kratek povzetek II. Pri igranju šaha se uporablja tudi koordinatna metoda. Sklep V. Literatura VI. Os Oy je ordinata y. Descartesov cilj je bil opisati naravo z uporabo matematičnih zakonov. Piloti in mornarji s pomočjo koordinatne mreže določijo lokacijo predmetov. Pravokotni sistem koordinate Kratek povzetek. Priloga Zbirka nalog. Igrišče sta določali dve koordinati - črka in številka. Uvod Relevantnost teme.

A+(b + c) lahko zapišemo brez oklepaja: a+(b + c)=a + b + c. Ta operacija se imenuje odpiranje oklepajev.

Primer 1. Odprimo oklepaje v izrazu a + (- b + c).

rešitev. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Če je pred oklepajem znak “+”, potem lahko oklepaje in ta znak “+” izpustite, medtem ko ohranite znake izrazov v oklepaju. Če je prvi izraz v oklepaju zapisan brez predznaka, mora biti zapisan z znakom “+”.

Primer 2. Poiščimo vrednost izraza -2,87+ (2,87-7,639).

rešitev.Če odpremo oklepaje, dobimo - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Če želite najti vrednost izraza - (- 9 + 5), morate dodati številke-9 in 5 ter poiščite število, ki je nasprotno dobljeni vsoti: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Enako vrednost lahko dobite na drug način: najprej zapišite številke, ki so nasprotne tem izrazom (tj. Spremenite jim znake), nato pa seštejte: 9 + (- 5) = 4. Tako je -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Če želite napisati vsoto nasproti vsote več členov, morate spremeniti predznake teh členov.

To pomeni - (a + b) = - a - b.

Primer 3. Poiščimo vrednost izraza 16 - (10 -18 + 12).

rešitev. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Če želite odpreti oklepaje, pred katerimi je znak "-", morate ta znak zamenjati z "+", spremeniti znake vseh izrazov v oklepajih v nasprotne in nato odpreti oklepaje.

Primer 4. Poiščimo vrednost izraza 9,36-(9,36 - 5,48).

rešitev. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Razširitev oklepajev in uporaba komutativnega in asociativne lastnosti dodatek vam omogočajo poenostavitev izračunov.

Primer 5. Poiščimo vrednost izraza (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

rešitev. Najprej odpremo oklepaje, nato pa posebej poiščemo vsoto vseh pozitivnih in posebej vsoto vseh negativnih števil ter na koncu seštejemo rezultate:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Primer 6. Poiščimo vrednost izraza

rešitev. Najprej predstavimo vsak člen kot vsoto njihovega celega števila in delni deli, nato odprite oklepaje, nato dodajte cele posebej in ločeno ulomek delov in na koncu seštejte rezultate:

Kako odprete oklepaje, pred katerimi je znak "+"? Kako lahko najdete vrednost izraza, ki je nasproten vsoti več števil? Kako razširiti oklepaje, pred katerimi je znak "-"?

1218. Odpri oklepaj:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Poišči pomen izraza:

1220. Odpri oklepaj:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Odpri oklepaje in poišči pomen izraza:

1222. Poenostavi izraz:

1223. Napiši znesek dva izraza in ju poenostavite:

a) - 4 - m in m + 6,4; d) a+b in p - b
b) 1,1+a in -26-a; e) - m + n in -k - n;
c) a + 13 in -13 + b; e) m - n in n - m.

1224. Zapiši razliko dveh izrazov in jo poenostavi:

1226. Za rešitev naloge uporabi enačbo:

a) Na eni polici je 42 knjig, na drugi pa 34 knjig, s prve police pa so vzeli toliko knjig, kot jih je ostalo na drugi. Po tem je na prvi polici ostalo 12 knjig. Koliko knjig je bilo umaknjenih z druge police?

b) V prvem razredu je 42 učencev, v drugem 3 učenci manj kot v tretjem. Koliko učencev je v tretjem razredu, če je v teh treh razredih 125 učencev?

1227. Poišči pomen izraza:

1228. Ustno izračunaj:

1229. Najdi najvišjo vrednost izrazi:

1230. Določite 4 zaporedna cela števila, če:

a) manjši od njih je -12; c) manjši od njih je n;
b) največji med njimi je -18; d) večji izmed njih je enak k.

Zdaj bomo prešli na odpiranje oklepajev v izrazih, v katerih je izraz v oklepaju pomnožen s številom ali izrazom. Oblikujmo pravilo za odpiranje oklepajev, pred katerimi je znak minus: oklepaj skupaj z znakom minus izpustimo, znake vseh izrazov v oklepajih pa nadomestimo z nasprotnimi.

Ena vrsta transformacije izraza je razširitev oklepajev. številčno, dobesedni izrazi izrazi s spremenljivkami pa so lahko sestavljeni z uporabo oklepajev, ki lahko nakazujejo vrstni red, v katerem se dejanja izvajajo, vsebujejo negativno število itd. Predpostavimo, da so lahko v zgoraj opisanih izrazih namesto števil in spremenljivk poljubni izrazi.

In bodimo pozorni še na eno točko glede posebnosti pisanja rešitve pri odpiranju oklepaja. V prejšnjem odstavku smo se ukvarjali s tem, kar imenujemo odpiranje oklepaja. Če želite to narediti, obstajajo pravila za odpiranje oklepajev, ki jih bomo zdaj pregledali. To pravilo narekuje dejstvo, da se pozitivna števila običajno pišejo brez oklepajev; v tem primeru oklepaji niso potrebni. Izraz (−3,7)−(−2)+4+(−9) lahko zapišemo brez oklepaja kot −3,7+2+4−9.

Končno, tretji del pravila je preprosto posledica posebnosti zapisovanja negativnih števil na levi v izrazu (ki smo jih omenili v razdelku o oklepajih za zapisovanje negativnih števil). Morda boste naleteli na izraze, sestavljene iz števila, znakov minus in več parov oklepajev. Če odprete oklepaje in se premikate od notranjega k zunanjemu, bo rešitev naslednja: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Kako odpreti oklepaje?

Tukaj je razlaga: −(−2 x) je +2 x, in ker je ta izraz prvi, lahko +2 x zapišemo kot 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x in −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prvi del zapisanega pravila za odpiranje oklepaja izhaja neposredno iz pravila za množenje negativnih števil. Njegov drugi del je posledica pravila za množenje števil z različna znamenja. Preidimo na primere odpiranja oklepajev pri produktih in količnikih dveh števil z različnimi predznaki.

Oklepaj: pravila, primeri, rešitve.

Zgornje pravilo upošteva celotno verigo teh dejanj in znatno pospeši postopek odpiranja oklepajev. Isto pravilo omogoča odpiranje oklepajev v izrazih, ki so zmnožki, in delnih izrazih z znakom minus, ki niso vsote in razlike.

Oglejmo si primere uporabe tega pravila. Navedimo ustrezno pravilo. Zgoraj smo že srečali izraza v obliki −(a) in −(−a), ki ju brez oklepaja zapišemo kot −a oziroma a. Na primer −(3)=3 in. Gre za posebne primere navedenega pravila. Zdaj pa si poglejmo primere odpiranja oklepajev, ko vsebujejo vsote ali razlike. Pokažimo primere uporabe tega pravila. Izraz (b1+b2) označimo z b, nakar uporabimo pravilo množenja oklepaja z izrazom iz prejšnjega odstavka, imamo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Z indukcijo lahko to izjavo razširimo na poljubno število členov v vsakem oklepaju. Ostaja, da odpremo oklepaje v nastalem izrazu z uporabo pravil iz prejšnjih odstavkov, na koncu dobimo 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

Pravilo v matematiki je odpiranje oklepajev, če sta pred oklepajem (+) in (-).

Ta izraz je produkt treh faktorjev (2+4), 3 in (5+7·8). Oklepaje boste morali odpreti zaporedno. Zdaj uporabimo pravilo za množenje oklepaja s številom, imamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stopnje, katerih osnove so nekateri izrazi, napisani v oklepaju, z v naravi si lahko predstavljamo kot produkt več oklepajev.

Na primer, transformirajmo izraz (a+b+c)2. Najprej ga zapišemo kot zmnožek dveh oklepajev (a+b+c)·(a+b+c), zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem, dobimo a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Recimo tudi, da dvignemo vsote in razlike dveh števil v naravna stopnja Priporočljivo je uporabiti Newtonovo binomsko formulo. Na primer (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nič manj priročno ni, če deljenje najprej zamenjamo z množenjem, nato pa uporabimo ustrezno pravilo za odpiranje oklepajev v produktu.

Še vedno je treba razumeti vrstni red odpiranja oklepajev z uporabo primerov. Vzemimo izraz (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Te rezultate nadomestimo v prvotni izraz: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Vse kar ostane je, da dokončamo odpiranje oklepajev, kot rezultat imamo −5+3·2:4+6·7. To pomeni, da je pri premikanju z leve strani enakosti na desno prišlo do odpiranja oklepaja.

Upoštevajte, da smo v vseh treh primerih preprosto odstranili oklepaje. Najprej dodajte 445 k 889. To dejanje je mogoče izvesti miselno, vendar ni zelo enostavno. Odprimo oklepaje in ugotovimo, da bo spremenjeni postopek bistveno poenostavil izračune.

Kako razširiti oklepaje na drugo stopnjo

Ponazoritev primera in pravila. Poglejmo primer: . Vrednost izraza lahko poiščete tako, da seštejete 2 in 5 ter nato vzamete dobljeno število nasprotno znamenje. Pravilo se ne spremeni, če v oklepaju nista dva, ampak trije ali več izrazov. Komentiraj. Predznaki so obrnjeni le pred izrazi. Če želite odpreti oklepaje, v tem primeru zapomniti si moramo lastnost distribucije.

Za posamezne številke v oklepaju

Vaša napaka ni v znakih, ampak v motnja z ulomki? V 6. razredu smo spoznali pozitivne in negativna števila. Kako bomo reševali primere in enačbe?

Koliko je v oklepajih? Kaj lahko rečete o teh izrazih? Seveda je rezultat prvega in drugega primera enak, kar pomeni, da lahko med njima postavimo enačaj: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Kaj smo naredili z oklepaji?

Predstavitev diapozitiva 6 s pravili za odpiranje oklepajev. Tako nam bodo pravila za odpiranje oklepajev v pomoč pri reševanju primerov in poenostavljanju izrazov. Nato učence prosimo, da delajo v parih: s puščicami morajo povezati izraz, ki vsebuje oklepaje, z ustreznim izrazom brez oklepaja.

Slide 11 Bilo je nekoč Sončno mesto Znayka in Dunno sta se prepirala, kateri od njiju je pravilno rešil enačbo. Nato učenci samostojno rešijo enačbo po pravilih za odpiranje oklepajev. Reševanje enačb" Cilji lekcije: izobraževalni (okrepitev znanja na temo: "Odpiranje oklepajev.

Tema lekcije: »Odpiranje oklepajev. V tem primeru morate vsak člen iz prvih oklepajev pomnožiti z vsakim členom iz drugega oklepaja in nato sešteti rezultate. Najprej vzamemo prva dva faktorja, ki ju zapremo še v en oklepaj, znotraj teh oklepajev pa odpremo oklepaje po enem od že znanih pravil.

rawalan.freezeet.ru

Odpiranje oklepajev: pravila in primeri (7. razred)

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti številski izrazi . Na primer, V številčno\(5·3+7\) najprej bo izračunan množenje in nato seštevek: \(5·3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) bo najprej izračunan seštevek v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Vendar, če imamo opravka z algebrski izraz ki vsebuje spremenljivka- na primer takole: \(2(x-3)\) - potem ni mogoče izračunati vrednosti v oklepaju, spremenljivka je v napoto. Zato se v tem primeru oklepaji "odprejo" z ustreznimi pravili.

Pravila za odpiranje oklepajev

Če je pred oklepajem znak plus, se oklepaj preprosto odstrani, izraz v njem ostane nespremenjen. Z drugimi besedami:

Tukaj je treba pojasniti, da je v matematiki za skrajšanje zapisov običajno, da se znaka plus ne piše, če se v izrazu pojavi prvi. Na primer, če seštejemo dve pozitivni števili, na primer sedem in tri, potem ne pišemo \(+7+3\), ampak preprosto \(7+3\), kljub temu, da je tudi sedem pozitivno število . Podobno, če vidite na primer izraz \((5+x)\) - to vedite pred oklepajem je plus, ki se ne piše.

Primer . Odprite oklepaj in podajte podobne izraze: \((x-11)+(2+3x)\).
rešitev : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Če je pred oklepajem znak minus, potem ko oklepaj odstranimo, vsak izraz v njem spremeni predznak v nasprotno:

Tukaj je treba pojasniti, da medtem ko je bil a v oklepaju, je bil znak plus (le da ga niso napisali), po odstranitvi oklepaja pa se je ta plus spremenil v minus.

Primer : Poenostavite izraz \(2x-(-7+x)\).
rešitev : znotraj oklepaja sta dva izraza: \(-7\) in \(x\), pred oklepajem pa je minus. To pomeni, da se bodo znaki spremenili - in sedem bo zdaj plus, x pa minus. Odprite oklepaj in predstavljamo podobne pogoje .

Primer. Odprite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Če je pred oklepajem faktor, se vsak člen oklepaja pomnoži z njim, to je:

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\), pred oklepajem pa je petica. To pomeni, da je vsak člen v oklepaju pomnožen z \(5\) - na to vas spominjam Znak za množenje med številom in oklepajem v matematiki ni zapisan zaradi zmanjšanja velikosti vnosov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
rešitev : Kot v prejšnjem primeru se \(-3x\) in \(5\) v oklepaju pomnožita z \(-2\).

Ostaja še razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja z oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
rešitev : Imamo produkt oklepajev in ga je mogoče takoj razširiti z uporabo zgornje formule. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranite prvi oklepaj in vsak člen pomnožite z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite produkte oklepajev in faktorja, kot je opisano zgoraj:
-Najprej...

Korak 3. Zdaj pomnožimo in predstavimo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba opisati tako podrobno, lahko jih takoj pomnožimo. Če pa se šele učite odpirati oklepaje, pišite podrobno, bo manj možnosti za napake.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav vam ni treba zapomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate le eno, tole: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zakaj? Kajti če zamenjate enega namesto c, dobite pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

Oklepaj znotraj oklepaja

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi znotraj drugih oklepajev. Tukaj je primer takšne naloge: poenostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Za uspešno reševanje takšnih nalog potrebujete:
- skrbno razumejo ugnezdenost oklepajev - kateri je v katerem;
— odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikaj se preostalega izraza, samo prepišem, kot je.
Oglejmo si zgoraj napisano nalogo kot primer.

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Začnimo nalogo z odpiranjem notranjega nosilca (tistega znotraj). Če ga razširimo, se ukvarjamo samo s tem, kar je neposredno povezano z njim - to je sam oklepaj in minus pred njim (označeno z zeleno). Vse ostalo (nepoudarjeno) prepišemo tako, kot je bilo.

Reševanje matematičnih nalog na spletu

Spletni kalkulator.
Poenostavitev polinoma.
Množenje polinomov.

Uporaba tega program za matematiko polinom lahko poenostaviš.
Medtem ko program teče:
- množi polinome
— sešteva monome (navaja podobne)
- odpre oklepaje
- dvigne polinom na potenco

Program za poenostavitev polinoma ne samo da odgovor na problem, ampak tudi poda podrobna rešitev s pojasnili, t.j. prikaže postopek reševanja, tako da lahko preverite svoje znanje matematike in/ali algebre.

Ta program je lahko koristen za študente srednje šole v pripravah na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le opraviti čim hitreje? Domača naloga pri matematiki ali algebri? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Tako lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali svoje usposabljanje. mlajši bratje ali sester, medtem ko se stopnja izobrazbe na področju problemov, ki se rešujejo, povečuje.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakajte sekundo.

Malo teorije.

Produkt monoma in polinoma. Koncept polinoma

Med različne izraze, ki se obravnavajo v algebri, pomembno mesto zasedajo vsote monomov. Tu so primeri takih izrazov:

Vsoto monomov imenujemo polinom. Člene v polinomu imenujemo členi polinoma. Monome uvrščamo tudi med polinome, pri čemer velja, da je monom polinom, sestavljen iz enega člena.

Predstavimo vse člene v obliki monomov standardne oblike:

Predstavimo podobne člene v dobljenem polinomu:

Rezultat je polinom, katerega vsi členi so monomi standardne oblike in med njimi ni podobnih. Takšni polinomi se imenujejo polinomi standardne oblike.

zadaj stopnja polinoma standardne oblike prevzame najvišje pristojnosti svojih članov. Tako ima binom tretjo stopnjo, trinom pa drugo.

Običajno so členi polinomov standardne oblike, ki vsebujejo eno spremenljivko, razvrščeni v padajočem vrstnem redu eksponentov. Na primer:

Vsoto več polinomov lahko pretvorimo (poenostavimo) v polinom standardne oblike.

Včasih je treba člene polinoma razdeliti v skupine in vsako skupino zapreti v oklepaje. Ker je oklepaj oklepajev inverzna transformacija odpirajočih oklepajev, ga je enostavno formulirati pravila za odpiranje oklepajev:

Če je pred oklepajem znak »+«, so izrazi v oklepaju zapisani z istimi znaki.

Če je pred oklepajem znak »-«, so izrazi v oklepaju zapisani z nasprotnimi predznaki.

Transformacija (poenostavitev) produkta monoma in polinoma

Z uporabo razdelitvena lastnina množenja lahko pretvorimo (poenostavimo) v polinom, produkt monoma in polinoma. Na primer:

Zmnožek monoma in polinoma je identično enak vsoti zmnožkov tega monoma in vsakega od členov polinoma.

Ta rezultat je običajno oblikovan kot pravilo.

Če želite pomnožiti monom s polinomom, morate ta monom pomnožiti z vsakim členom polinoma.

To pravilo smo že večkrat uporabili za množenje z vsoto.

Produkt polinomov. Transformacija (poenostavitev) produkta dveh polinomov

Na splošno je zmnožek dveh polinomov identično enak vsoti zmnožka vsakega člena enega polinoma in vsakega člena drugega.

Običajno se uporablja naslednje pravilo.

Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega in sešteti nastale produkte.

Formule za skrajšano množenje. Vsota kvadratov, razlike in razlika kvadratov

Z nekaj izrazi v algebraične transformacije se morajo ukvarjati pogosteje kot drugi. Morda najpogostejši izrazi so u, torej kvadrat vsote, kvadrat razlike in razlika kvadratov. Opazili ste, da so imena teh izrazov videti nepopolna, na primer, to seveda ni samo kvadrat vsote, ampak kvadrat vsote a in b. Kvadrat vsote a in b pa se praviloma ne pojavlja prav pogosto, namesto črk a in b vsebuje različne, včasih precej zapletene izraze.

Izraze je mogoče enostavno pretvoriti (poenostaviti) v polinome standardne oblike, pravzaprav ste že naleteli na takšno nalogo pri množenju polinomov:

Koristno si je zapomniti dobljene identitete in jih uporabiti brez vmesnih izračunov. Pri tem pomagajo kratke besedne formulacije.

- kvadrat vsote enaka vsoti kvadratov in podvojite produkt.

— kvadrat razlike je enak vsoti kvadratov brez dvojnega produkta.

- razlika kvadratov je enaka zmnožku razlike in vsote.

Te tri identitete omogočajo zamenjavo njegovih levih delov z desnimi v transformacijah in obratno - desne dele z levimi. Najtežje je videti ustrezne izraze in razumeti, kako sta spremenljivki a in b v njih zamenjani. Oglejmo si nekaj primerov uporabe formul za skrajšano množenje.

knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in OGE testi Spletne igre, uganke Grafične funkcije pravopisni slovar Ruski jezik Slovar mladinskega slenga Katalog ruskih šol Katalog srednješolskih izobraževalnih ustanov Rusije Katalog ruskih univerz Seznam nalog Iskanje GCD in LCM Poenostavitev polinoma (množenje polinomov) Deljenje polinoma s polinomom s stolpcem Izračun številčni ulomki Reševanje problemov, ki vključujejo odstotke Kompleksna števila: vsota, razlika, produkt in količnik sistema 2 linearne enačbe z dvema spremenljivke Rešitev kvadratna enačba Kvadriranje binoma in faktoring kvadratni trinom Reševanje neenačb Reševanje sistemov neenačb Risanje grafa kvadratna funkcija Izris grafa frakcijska linearna funkcija Reševanje aritmetike in geometrijske progresije Reševanje trigonometričnih, eksponentnih, logaritemske enačbe Izračun limitov, odvod, tangentni integral, Antiderivativna rešitev trikotniki Izračuni dejanj z vektorji Izračuni dejanj s premicami in ravninami Območje geometrijske oblike Obseg geometrijskih oblik Volumen geometrijska telesa Površina geometrijskih teles
Konstruktor prometne situacije
Vreme - novice - horoskopi

www.mathsolution.ru

Razširjanje oklepajev

Nadaljujemo z učenjem osnov algebre. IN to lekcijo naučili se bomo razširiti oklepaje v izrazih. Razširitev oklepajev pomeni odstranitev oklepajev iz izraza.

Če želite odpreti oklepaje, si morate zapomniti samo dve pravili. pri redni pouk lahko odprete oklepaje z zaprte oči in tista pravila, ki si jih je bilo treba zapomniti, lahko varno pozabite.

Prvo pravilo za odpiranje oklepajev

Razmislite o naslednjem izrazu:

Vrednost tega izraza je 2 . Odprimo oklepaje v tem izrazu. Razširitev oklepajev pomeni, da se jih znebite, ne da bi to vplivalo na pomen izraza. To je, ko se znebite oklepajev, vrednost izraza 8+(−9+3) mora biti še vedno enako dvema.

Prvo pravilo za odpiranje oklepajev je naslednje:

Pri odpiranju oklepajev, če je pred oklepajem plus, potem ta plus izpustimo skupaj z oklepaji.

Torej, to vidimo v izrazu 8+(−9+3) Pred oklepajem je znak plus. Ta plus je treba izpustiti skupaj z oklepaji. Z drugimi besedami, oklepaji bodo izginili skupaj s plusom, ki je stal pred njimi. In kar je bilo v oklepajih, bo zapisano brez sprememb:

8−9+3 . Ta izraz enako 2 , tako kot prejšnji izraz z oklepaji, je bil enak 2 .

8+(−9+3) in 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Primer 2. Razširi oklepaje v izrazu 3 + (−1 − 4)

Pred oklepajem je plus, kar pomeni, da je ta plus izpuščen skupaj z oklepaji. Kar je bilo v oklepaju, bo ostalo nespremenjeno:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Primer 3. Razširi oklepaje v izrazu 2 + (−1)

IN v tem primeru odpiranje oklepaja je postalo neke vrste obratno delovanje zamenjava odštevanja s seštevanjem. Kaj to pomeni?

V izrazu 2−1 pride do odštevanja, vendar ga je mogoče nadomestiti s seštevanjem. Potem dobimo izraz 2+(−1) . Če pa v izrazu 2+(−1) odprite oklepaje, dobite original 2−1 .

Zato lahko prvo pravilo za odpiranje oklepajev uporabimo za poenostavitev izrazov po nekaterih transformacijah. To pomeni, da ga znebite oklepajev in ga poenostavite.

Na primer, poenostavimo izraz 2a+a−5b+b .

Za poenostavitev tega izraza lahko navedemo podobne izraze. Spomnimo se, da morate za zmanjšanje podobnih izrazov dodati koeficiente podobnih izrazov in rezultat pomnožiti s skupnim delom črke:

Dobil izraz 3a+(−4b). Odstranimo oklepaje v tem izrazu. Pred oklepajem je plus, zato uporabimo prvo pravilo za odpiranje oklepajev, torej oklepaje izpustimo skupaj s plusom pred temi oklepaji:

Torej izraz 2a+a−5b+b poenostavlja na 3a−4b .

Ko ste odprli nekaj oklepajev, boste morda na poti naleteli na druge. Zanje veljajo enaka pravila kot za prve. Na primer, razširimo oklepaje v naslednjem izrazu:

Obstajata dve mesti, kjer morate odpreti oklepaje. V tem primeru velja prvo pravilo odpiranja oklepajev, in sicer izpuščanje oklepajev skupaj z znakom plus, ki je pred temi oklepaji:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Primer 3. Razširi oklepaje v izrazu 6+(−3)+(−2)

Na obeh mestih, kjer so oklepaji, je pred njimi plus. Tukaj ponovno velja prvo pravilo odpiranja oklepajev:

Včasih je prvi izraz v oklepaju zapisan brez predznaka. Na primer v izrazu 1+(2+3−4) prvi izraz v oklepaju 2 napisano brez znaka. Postavlja se vprašanje, kakšen znak se bo pojavil pred dvema, ko izpustimo oklepaj in plus pred oklepajem? Odgovor se nakazuje sam - pred dvema bo plus.

Pravzaprav je tudi v oklepaju plus pred dvema, a ga ne vidimo, ker ni zapisan. To smo že povedali poln zapis pozitivne številke izgledajo +1, +2, +3. Toda po tradiciji plusi niso zapisani, zato vidimo pozitivna števila, ki so nam znana 1, 2, 3 .

Zato razširite oklepaje v izrazu 1+(2+3−4) , kot običajno morate izpustiti oklepaje skupaj z znakom plus pred temi oklepaji, ampak prvi izraz, ki je bil v oklepaju, zapisati z znakom plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Primer 4. Razširi oklepaje v izrazu −5 + (2 − 3)

Pred oklepajem je plus, zato uporabimo prvo pravilo za odpiranje oklepajev, in sicer oklepaje izpustimo skupaj s plusom, ki je pred temi oklepaji. Toda prvi izraz, ki ga zapišemo v oklepaju z znakom plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Primer 5. Razširi oklepaje v izrazu (−5)

Pred oklepajem je plus, ki pa ni zapisan, ker pred njim ni bilo drugih števil ali izrazov. Naša naloga je, da odstranimo oklepaj tako, da uporabimo prvo pravilo odpiranja oklepaja, in sicer izpustimo oklepaj skupaj s tem plusom (tudi če je neviden)

Primer 6. Razširi oklepaje v izrazu 2a + (−6a + b)

Pred oklepajem je plus, kar pomeni, da je ta plus izpuščen skupaj z oklepaji. Kar je bilo v oklepaju, bo zapisano nespremenjeno:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Primer 7. Razširi oklepaje v izrazu 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

V tem izrazu sta dve mesti, kjer morate razširiti oklepaje. V obeh razdelkih je plus pred oklepajem, kar pomeni, da je ta plus izpuščen skupaj z oklepajem. Kar je bilo v oklepaju, bo zapisano nespremenjeno:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Drugo pravilo za odpiranje oklepajev

Zdaj pa poglejmo drugo pravilo za odpiranje oklepajev. Uporablja se, kadar je pred oklepajem minus.

Če je pred oklepajem minus, potem ta minus skupaj z oklepajem izpustimo, izrazi, ki so bili v oklepaju, pa spremenijo predznak v nasprotno.

Na primer, razširimo oklepaje v naslednjem izrazu

Vidimo, da je pred oklepajem minus. To pomeni, da morate uporabiti drugo pravilo razširitve, in sicer izpustiti oklepaje skupaj z znakom minus pred temi oklepaji. V tem primeru bodo izrazi, ki so bili v oklepajih, spremenili predznak v nasprotno:

Dobili smo izraz brez oklepaja 5+2+3 . Ta izraz je enak 10, tako kot je bil prejšnji izraz z oklepaji enak 10.

Tako med izrazi 5−(−2−3) in 5+2+3 lahko postavite znak enačaja, ker sta enaki isti vrednosti:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Primer 2. Razširi oklepaje v izrazu 6 − (−2 − 5)

Pred oklepajem je minus, zato uporabimo drugo pravilo za odpiranje oklepajev, in sicer oklepaje izpustimo skupaj z minusom, ki je pred temi oklepaji. V tem primeru izraze, ki so bili v oklepaju, zapišemo z nasprotnimi predznaki:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Primer 3. Razširi oklepaje v izrazu 2 − (7 + 3)

Pred oklepajem je minus, zato za odpiranje oklepajev uporabimo drugo pravilo:

Primer 4. Razširi oklepaje v izrazu −(−3 + 4)

Primer 5. Razširi oklepaje v izrazu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Obstajata dve mesti, kjer morate odpreti oklepaje. V prvem primeru morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev in ko gre za izraz +(−9−2) morate uporabiti prvo pravilo:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Primer 6. Razširi oklepaje v izrazu −(−a − 1)

Primer 7. Razširi oklepaje v izrazu −(4a + 3)

Primer 8. Razširi oklepaje v izrazu a − (4b + 3) + 15

Primer 9. Razširi oklepaje v izrazu 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Obstajata dve mesti, kjer morate odpreti oklepaje. V prvem primeru morate uporabiti prvo pravilo za odpiranje oklepajev in ko gre za izraz −(3c+5) morate uporabiti drugo pravilo:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Primer 10. Razširi oklepaje v izrazu −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Na treh mestih morate odpreti oklepaje. Najprej morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev, nato prvo in nato spet drugo:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Mehanizem za odpiranje nosilca

Pravila za odpiranje oklepajev, ki smo jih zdaj preučili, temeljijo na distribucijskem zakonu množenja:

Pravzaprav odpiranje oklepaja pokličite postopek, ko skupni množitelj pomnoženo z vsakim izrazom v oklepajih. Zaradi tega množenja oklepaji izginejo. Na primer, razširimo oklepaje v izrazu 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Torej, če morate pomnožiti število z izrazom v oklepaju (ali pomnožiti izraz v oklepaju s številom), morate reči odprimo oklepaje.

Toda kako je distribucijski zakon množenja povezan s pravili za odpiranje oklepajev, ki smo jih pregledali prej?

Dejstvo je, da je pred vsakim oklepajem skupni faktor. V primeru 3×(4+5) skupni faktor je 3 . In v primeru a(b+c) skupni faktor je spremenljivka a.

Če pred oklepaji ni številk ali spremenljivk, potem je skupni faktor 1 oz −1 , odvisno od tega, kateri znak je pred oklepajem. Če je pred oklepajem plus, potem je skupni faktor 1 . Če je pred oklepajem minus, potem je skupni faktor −1 .

Na primer, razširimo oklepaje v izrazu −(3b−1). Pred oklepajem je znak minus, zato morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepaja, to je, da izpustite oklepaj skupaj z znakom minus pred oklepajem. In izraz, ki je bil v oklepaju, zapišite z nasprotnimi predznaki:

Oklepaje smo razširili po pravilu za razširitev oklepajev. Toda te iste oklepaje je mogoče odpreti z uporabo distribucijskega zakona množenja. To naredimo tako, da pred oklepaje najprej napišemo skupni faktor 1, ki ni bil zapisan:

Znak minus, ki je prej stal pred oklepajem, se je nanašal na to enoto. Zdaj lahko odprete oklepaje z uporabo distribucijskega zakona množenja. V ta namen skupni faktor −1 morate pomnožiti z vsakim izrazom v oklepajih in sešteti rezultate.

Za udobje zamenjamo razliko v oklepajih z zneskom:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Kot v prejšnjič smo dobili izraz −3b+1. Vsi se bodo strinjali, da je bilo tokrat za reševanje tako preprostega primera porabljenega več časa. Zato je pametneje uporabiti že pripravljena pravila za odpiranje oklepajev, o katerih smo razpravljali v tej lekciji:

Vendar ne škodi vedeti, kako ta pravila delujejo.

V tej lekciji smo se naučili še eno stvar identična transformacija. Skupaj z odpiranjem oklepajev, dajanjem splošnega iz oklepajev in prinašanjem podobnih izrazov lahko nekoliko razširite obseg problemov, ki jih je treba rešiti. Na primer:

Tukaj morate izvesti dve dejanji - najprej odprite oklepaje in nato prinesite podobne pogoje. Torej po vrsti:

1) Odprite oklepaje:

2) Predstavljamo podobne pogoje:

V dobljenem izrazu −10b+(−1) lahko razširite oklepaje:

Primer 2. Odprite oklepaje in dodajte podobne izraze v naslednji izraz:

1) Odprimo oklepaje:

2) Predstavimo podobne izraze. Tokrat zaradi prihranka časa in prostora ne bomo zapisali, kako se koeficienti množijo z navadnim črkovnim delom

Primer 3. Poenostavite izraz 8m+3m in ugotovite njegovo vrednost pri m=−4

1) Najprej poenostavimo izraz. Da poenostavimo izraz 8m+3m, lahko izločite skupni faktor m zunaj oklepaja:

2) Poiščite vrednost izraza m(8+3) pri m=−4. Če želite to narediti, v izrazu m(8+3) namesto spremenljivke m zamenjajte številko −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

V tej lekciji se boste naučili, kako pretvoriti izraz, ki vsebuje oklepaje, v izraz brez oklepajev. Naučili se boste odpreti oklepaje, pred katerimi sta znaka plus in minus. Spomnili se bomo, kako odpreti oklepaje z uporabo distribucijskega zakona množenja. Obravnavani primeri vam bodo omogočili, da povežete novo in predhodno preučeno gradivo v eno celoto.

Tema: Reševanje enačb

Lekcija: Razširjanje oklepajev

Kako razširiti oklepaje, pred katerimi je znak »+«. Uporaba asociativnega zakona seštevanja.

Če morate številu dodati vsoto dveh števil, lahko temu številu najprej dodate prvi člen in nato drugega.

Levo od enačaja je izraz z oklepajem, desno pa izraz brez oklepaja. To pomeni, da je pri premikanju z leve strani enakosti na desno prišlo do odpiranja oklepaja.

Poglejmo si primere.

Primer 1.

Z odpiranjem oklepajev smo spremenili vrstni red dejanj. Postalo je bolj priročno šteti.

Primer 2.

Primer 3.

Upoštevajte, da smo v vseh treh primerih preprosto odstranili oklepaje. Oblikujmo pravilo:

Komentiraj.

Če je prvi člen v oklepaju nepredznačen, mora biti zapisan z znakom plus.

Primeru lahko sledite korak za korakom. Najprej dodajte 445 k 889. To dejanje je mogoče izvesti miselno, vendar ni zelo enostavno. Odprimo oklepaje in ugotovimo, da bo spremenjeni postopek bistveno poenostavil izračune.

Če sledite v določenem vrstnem redu dejanj, potem morate od 512 najprej odšteti 345, nato pa rezultatu dodati 1345. Z odpiranjem oklepajev bomo spremenili vrstni red dejanj in bistveno poenostavili izračune.

Ponazoritev primera in pravila.

Poglejmo primer: . Vrednost izraza lahko najdete tako, da seštejete 2 in 5, nato pa dobljeno število vzamete z nasprotnim predznakom. Dobimo -7.

Po drugi strani pa lahko enak rezultat dobimo s seštevanjem nasprotnih števil prvotnih.

Oblikujmo pravilo:

Primer 1.

Primer 2.

Pravilo se ne spremeni, če v oklepaju nista dva, ampak trije ali več izrazov.

Primer 3.

Komentiraj. Predznaki so obrnjeni le pred izrazi.

Da odpremo oklepaje, se moramo v tem primeru spomniti lastnosti distribucije.

Najprej pomnožite prvi oklepaj z 2, drugega pa s 3.

Pred prvim oklepajem je znak “+”, kar pomeni, da morata znaka ostati nespremenjena. Pred drugim znakom je znak "-", zato je treba vse znake spremeniti v nasprotje

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stranmi učbenika matematike. - Razsvetljenje, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Naloge za razrede matematike 5-6 - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priročnik za učence 6. razreda dopisne šole MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učbenik-sogovornik za 5.-6 Srednja šola. Knjižnica učiteljev matematike. - Razsvetljenje, 1989.

1. Spletni testi iz matematike ().
2. Prenesete lahko tiste, ki so navedeni v členu 1.2. knjige().

Domača naloga

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (povezava glej 1.2)
2. Domača naloga: št. 1254, št. 1255, št. 1256 (b, d)
3. Druge naloge: št. 1258(c), št. 1248

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti. Na primer, bo v številskem izrazu \(5·3+7\) najprej izračunan množenje, nato pa seštevek: \(5·3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) bo najprej izračunan seštevek v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Primer. Razširite oklepaj: \(-(4m+3)\).
rešitev : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Primer. Odprite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\), pred oklepajem pa je petica. To pomeni, da je vsak člen v oklepaju pomnožen z \(5\) - na to vas spominjam Znak za množenje med številom in oklepajem v matematiki ni zapisan zaradi zmanjšanja velikosti vnosov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
rešitev : Kot v prejšnjem primeru se \(-3x\) in \(5\) v oklepaju pomnožita z \(-2\).

Primer. Poenostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
rešitev : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Ostaja še razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja z oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
rešitev : Imamo produkt oklepajev in ga je mogoče takoj razširiti z uporabo zgornje formule. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranite prvi oklepaj - vsak njegov izraz pomnožite z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite produkte oklepajev in faktorja, kot je opisano zgoraj:
-Najprej...

Potem drugi.

Korak 3. Zdaj pomnožimo in predstavimo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba opisati tako podrobno, lahko jih takoj pomnožimo. Če pa se šele učite odpirati oklepaje, pišite podrobno, bo manj možnosti za napake.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav vam ni treba zapomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate le eno, tole: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zakaj? Kajti če zamenjate enega namesto c, dobite pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

Oklepaj znotraj oklepaja

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi znotraj drugih oklepajev. Tukaj je primer takšne naloge: poenostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Za uspešno reševanje takšnih nalog potrebujete:
- skrbno razumejo ugnezdenost oklepajev - kateri je v katerem;
- odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikaj se preostalega izraza, samo prepišem, kot je.
Oglejmo si zgoraj napisano nalogo kot primer.

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
rešitev :

Razširjanje oklepajev je osnovna veščina pri matematiki. Brez te spretnosti je nemogoče imeti oceno nad C v 8. in 9. razredu. Zato priporočam, da dobro razumete to temo.