Pri študiju te teme morajo učenci obvladati tehnike računanja, pridobiti močne računske sposobnosti, zapomniti si rezultate seštevanja in odštevanja znotraj 10, pa tudi sestavo števil prvih 10, prepoznati in prikazati komponente in rezultate dveh računskih operacij in razumejo njihova imena v govoru učitelja.

Kot učenci obvladajo naravno zaporedještevil in lastnosti tega niza, se moramo seznaniti tudi s tehnikami seštevanja in odštevanja, ki temeljijo na tej lastnosti naravnega niza števil. Otroci se naučijo teh tehnik seštevanja in odštevanja ena od števila, tj. štejte in odštevajte do 1.

Ko učenci osvojijo tehniko štetja, jih učitelj uvede v tehniko štetja.

Če učenci prvega razreda dokaj hitro osvojijo tehniko računanja, potem je tehnika računanja veliko počasnejša.

Težava je v tem, da metoda štetja temelji na dobro znanještetje nazaj, štetje nazaj pa je mnogim učencem prvega razreda težko. Poleg tega si učenci težko zapomnijo, koliko je treba odnesti, koliko je že odneseno, koliko je treba še odnesti.

Pri preučevanju vsake številke v prvi desetici učenci dobijo tudi predstavo o sestavi teh števil.

Na začetku je treba podati vaje, pri katerih otroci enega od izrazov zaznajo vizualno, drugega pa iščejo s predstavo.

Pri izvajanju operacij seštevanja in odštevanja znotraj dano številko predstavljene so rešitve primerov z manjkajočo komponento. Označen je s pikami, okvirji, vprašaji itd., na primer:

I – 3, 4 +... = b, ? – 2 = 4. b - ? = 2.

Zapišimo 1-1=0 (odsotnost predmetov je označena s številkami O. Več primerov je rešenih, ko je razlika nič).

Število nič bi morali uvesti kot odštevanec in nato kot seštevek v velikem številu vaj. Pomen operacij z ničlo bodo učenci bolje razumeli, če ničle kot odštevanca in ničle kot seštevka ne uvedemo hkrati. Nato se izvajajo vaje za razlikovanje primerov, v katerih se bo dodajala in odštevala ničla.
Učitelj prvega razreda naj učence opozori na dejstvo, da je vsota vedno večja od vsakega izmed členov, ostanek pa vedno manjši od odštevancev.

Minuend je večji ali enak odštevancu, sicer odštevanja ni mogoče izvesti.

Že od prvega razreda je treba učence navajati na preverjanje pravilnosti rešitev primerov.

Analiza Moreaujevega učbenika

Študent bo vedel:

Poseben pomen in ime dejanj seštevanja in odštevanja;

Poznajo in uporabljajo imena komponent ter rezultate seštevanja in odštevanja pri branju in pisanju številskih izrazov;

Pozna komutativno lastnost seštevanja;

poznati tabelo seštevanja znotraj 10 in ustrezne primere odštevanja;

Enoti za dolžino: cm in dm, razmerje med njima;

Enota mase: kg.

Poišči pomen številskih izrazov v 1–2 korakih brez oklepajev;

Uporabite tehnike izračuna:

pri dodajanju - dodajanje delov; preureditev številk;

pri odštevanju - odštevanje števila po delih in odštevanje na podlagi poznavanja ustreznega primera seštevanja;

Izvedite seštevanje in odštevanje s številko 0;

Poiščite število, ki je za nekaj enot večje ali manjše od danega;

Biti sposoben rešiti naloge seštevanja in odštevanja v enem koraku.

Študij pri skupne dejavnosti z učiteljem se boste imeli priložnost naučiti:

- združevati predmete po dani lastnosti;

- reševanje ugank, magični kvadrati, krožni primeri, iznajdljivostne naloge, uganke, verige primerov, šaljive naloge, logične težave;

- graditi poligone in lomljene črte.

Kognitivni UUD:

1. Poiščite svojo usmeritev v učbenikih (notni sistem, struktura besedila, naslovi, besedišče, vsebina).

2. Iskanje potrebne informacije izvršiti izobraževalne naloge uporabo referenčni materiali učbenik (pod vodstvom učitelja).

3. Razumeti informacije, predstavljene v obliki besedila, slik, diagramov.

4. Primerjajte predmete, predmete: poiščite skupne in razlike.

5. Združevanje, razvrščanje predmetov po bistvenih lastnostih, po določenih kriterijih.

Regulativni UUD:

1. Organizirajte svoje delovnem mestu pod vodstvom učitelja.

2. Izvedite kontrolo v obliki primerjave svojega dela z danim standardom.

3. Naredite potrebne dodatke in popravke k svojemu delu, če se razlikuje od standarda (vzorca).

4. V sodelovanju z učiteljem določite zaporedje preučevanja gradiva na podlagi ilustrativnega niza "poti".

Komunikativni UUD:

1. Sledite najpreprostejšim standardom govorni bonton: pozdravi, poslovi se, hvala.

2. Sodelujte v dialogu (odgovarjajte na vprašanja, postavljajte vprašanja, razjasnite vse, kar ni jasno).

3. Sodelujte s tovariši pri opravljanju nalog v parih: vzpostavite in upoštevajte vrstni red dejanj, pravilno poročajte o napakah tovarišu.

4. Sodelovati v kolektivni razpravi o vzgojnem problemu.

Primerjaj različne metode izračunov, izberite priročnega.

Simuliraj situacije, ki ponazarjajo aritmetično operacijo in potek njene izvedbe.

Uporaba matematično terminologijo pri pisanju in izvajanju računskih operacij (seštevanje, odštevanje).

Simuliraj preučevali aritmetične odvisnosti.

Napoved rezultat izračuna.

Spremljajte in izvajajte postopno kontrolo pravilnosti in popolnosti izvajanja algoritma aritmetične operacije.

Uporaba različne tehnike za preverjanje pravilnosti iskanja številskega izraza (na podlagi algoritmov za izvajanje aritmetičnih operacij, ocenjevanje rezultata).

Načrtujte rešitev problema.

Pojasni izbiranje aritmetičnih operacij za rešitve.

dejanje po danem načrtu reševanja problema.

Uporaba geometrijske slike za rešitev problema.

Nadzor: odkriva in odpravlja napake aritmetične (računske) narave.

Opazujte za spremembo rešitve problema, ko se spremenijo njegovi pogoji.

Izpolniti kratka opomba na različne načine, vključno z uporabo geometrijskih slik (segment, pravokotnik itd.).

Raziskovanje situacije, ki zahtevajo primerjavo količin in njihovo naročanje.

Označite pojavov in dogodkov z uporabo količin.

11) Metodologija učenja aritmetičnih operacij. Seštevanje in odštevanje števil druge desetice (naloge teme, obravnavani primeri, seštevanje in odštevanje na podlagi znanja številčenja, primeri seštevanja in odštevanja brez premikanja po rangu - vključite utemeljitev tehnik!!!).

Učenje številčenja in dejanj znotraj 20, torej drugega in 1. središča, poteka v 2. razredu popravne šole.

Cilji druge koncentracije: podati koncept desetice kot nove enote; učiti štetje do 20, štetje in štetje po ena, deset in enake skupine (2, vendar 5, 4); predstavi decimalni sestav števil; razvijati razumevanje eno- in dvomestnih števil; naučiti se označevati številke od 1 do 20 s števkami; predstavi načelo lokalnega pomenaštevilke; učiti seštevanje in odštevanje v hodnikih 20; podajte koncept novih dejanj: množenje in deljenje; (uvesti tabelo množenja in deljenja znotraj 20.

Pri izbiri ali izdelavi posebnih pripomočkov ne pozabite, da morajo prikazovati decimalno sestavo števil druge desetice, zato morajo biti desetica in enice jasno poudarjeni.

Te ugodnosti vključujejo: 20 palic (10 palic raztresenih in 10 povezanih v snop, tj. 1 ducat); 20 kock in 2 palici po 10 kock; 20 kvadratov in 2 črti po 10 kvadratov; ravnilo dolžine 20 cm, vsi kartonski trakovi dolžine 10 cm, razdeljeni na 10 enakih delov; škatlica za kovance; razredni in individualni abakus; tabela števk z enotami in deseticami; digitalna blagajna; tabela s številkami od 1 do 20, zapisanimi v eni in dveh vrsticah; tabele za štetje v enakih številčnih skupinah po 2, 3, 4, 5; tabela s številkami od 1 do 20, ki prikazuje soda in liha števila različne barve; komplet tablic (10 kosov) s številko 10 za sestavljanje in razstavljanje števil (na desetice in enice) od 11 do 20; znaki s številko 20.

Osnova za razumevanje oštevilčenja števil druge desetice je izbira desetice in jasno razumevanje, da je desetica deset enot in hkrati nova enotaštetje, ki ga lahko štejemo na enak način kot enote, dodajanje ena k številkam itd., imena te štetne enote, na primer ena deset deset.

Številčenje števil znotraj 20 je sestavljeno iz več stopenj: 1) pridobitev ene desetice; 2) pridobitev druge desetice od 11 do 19 s štetjem več enot do ena; 3) pridobivanje števila 20 iz dveh desetic 1) pisno oštevilčevanje števil od 11 do 20; 5) pridobitev druge desetice s štetjem ena do prejšnjega števila in štetjem enega ptiča od naslednjega števila.

Rezultat je znotraj 20.

Najprej morajo učenci ponoviti oštevilčenje števil prve desetice: pridobivanje števil v številskem nizu s seštevanjem prejšnjemu številu in odštevanjem 1 od naslednjega, razmerje med sosednjimi števili, ime števil in njihov pomen. v številkah. Učitelj učence opozori na dejstvo, da je vsako število od 0 do 10 označeno z novo, ni povezano z drugo besedo in za označevanje vsakega od števil iz O) 9 obstaja poseben znak, ki se imenuje številka. Število m je označeno z dvema števkama 1 in 0. Učitelj sporoči, da je števk le 10. Najprej se ponovi štetje v enotah znotraj 10 in se prikaže prejem desetice. Pomembno je razlikovati pojma »deset enot« in »od > deset«. Deset je celota, ena.

Naslednja stopnja pri delu s števili druge desetice je štetje do 20. Učenci se morajo spomniti imen števnikov po vrstnem redu številske serije, šteti predmete, jih predstavljati z zvoki, skakanjem, udarjanjem z žogo, ploskanjem. dano številko večkrat preštejte določeno število predmetov v hodnikih 20, štetje poteka s štetjem in branjem enega za drugim. Ko se seznanite s številčenjem znotraj 20, je priporočljivo. , seznaniti učence z mersko enoto dm.

Seštevanje in odštevanje števil znotraj 20 brez preskoka mestne vrednosti
Ponovi decimalni sestav števil od 10 do 20, štetje naprej in nazaj od 1 do 20

Okrepite računalniške spretnosti znotraj 20, ne da bi presegli uvrstitev

(Serije številk).

Zaporedje števil je od 10 do 20, vendar nekaterim številkam manjkajo števke.

vsak mora iz moje torbe vzeti številko, z zaprte oči ugani in postavi na svoje mesto.

10,1., 1., 1., 14, 1., 1., 1., 1., 1., 2..

Ponavljanje decimalne sestave števila

Učitelj pokliče decimalno sestavo števila, učenci pa to število pokažejo.

1dec.3 enote, 1dec. 6 enot, 1 des., 1 des.

Koliko desetic in enic je v številu 15? (V 15 je 1 desetica in 5 enic.)

Kako lahko dobiš številko 15?

Matematični narek.

Učitelj navede primer, učenci pa zapišejo le odgovor.

10 + 5 15 – 1 15 – 10 14 + 1 15 – 5

Odgovori: 15, 14, 5, 15, 10, 10.

Preverjanje: en učenec prebere odgovore, vsi ostali pa preverijo.

Enomestna števila podčrtaj z eno črto.

Katere številke ste podčrtali?

Reševanje besedne naloge.

Naloga: »Fantje pri pouku dela so pripravljali okraske za božično drevo. Prvi dan so izdelali 12 igrač, drugi dan pa 2 igrači manj. Koliko igrač so fantje naredili drugi dan?

Delo na vsebini naloge.

Kaj pravi problem?

Kdo je naredil igrače?

Koliko dni ste izdelovali igrače?

Pisanje kratke opombe.

Koliko igrač ste naredili prvi dan?

Kaj piše o drugem dnevu? (Rekel je 2 igrači manj)

Kaj sprašuje problem? (Problem sprašuje, koliko igrač so fantje naredili drugi dan?)

1 – 12 iger.

2 – ? igre., za 2 igri. manj.

Iskanje rešitve problema.

Torej, koliko igrač je bilo narejenih prvi dan? (12)

Kaj se pravi o drugem dnevu?

Kaj pomeni "2 igrači manj"? (2 igrački manj - to je enako kot prvi dan, vendar brez dveh).

Kako lahko ugotovimo, koliko igrač je drugi dan? (z odštevanjem)

Kako napišemo rešitev naloge?

Ste odgovorili na vprašanje naloge?

Snemanje rešitve problema.

12 iger. – 2 igri. = 10 iger.

Snemanje odgovora.

Odgovor: 10 igrač.

zaporedje in tehnike za učenje seštevanja in odštevanja znotraj 20.

I. Metode seštevanja in odštevanja na podlagi poznavanja decimalne sestave števil (10+3, 13-3, 13-10) in številčenja števil znotraj 20 (16+1, 17-1).

Pri reševanju teh primerov se določi razmerje med seštevanjem in odštevanjem, komutativno lastnost seštevanja, imena komponent in rezultati dejanj. Hkrati učenci postopoma prenehajo uporabljati vizualne pripomočke, vendar morajo razložiti dejanja.

II. Seštevanje in odštevanje brez prehoda čez deset.

Izvajanje dejanj temelji na razgradnji komponent na desetice in enice: enomestnemu številu se doda dvomestno število. Odštejte enomestno število od dvomestnega. Najprej moramo razmisliti o primerih, ko je število enot v 1 polžu. večje kot v drugem členu (13+2, 1+3), in šele nato vključi primere oblike 11+6, 13+5, čeprav so njihove rešitve enake, --5

Razlaga, ki ji sledi uporaba vizualni pripomočki in podroben zapis rešitve, na primer: 13+2. Prvi člen (13) je sestavljen iz 1 desetice in 3 enot: 1 desetice in 1e 3 palice. Drugi člen je 2. Dodajte 2 palčki. 3 palice in 2 palici - 5 palic in 1 ducat palic. Pridobite 1 desetico (palčke) in 5 enot (palčke) - to je število 15. Shechit, 13+2=15. Primeri vas so razloženi na podoben način.

Pomembno je nenehno poudarjanje, da se pri reševanju takih primerov enote seštevajo in odštevajo. Pri pisanju primera lahko učenci podčrtajo enote: 14+2 = 16, 16-2 = 14. Včasih je priporočljivo, da enote in desetice zapišemo z različnimi barvami. Lahko jih obkrožite na tabli.

Pri reševanju primerov seštevanja se krepi sposobnost učencev za uporabo komutativnega zakona seštevanja: rešitev primera 2 + 14 poteka na podlagi rešitve primera 14 + 2. Koristno je primerjati primere za seštevanje in odštevanje znotraj 20 s primeri za iste operacije znotraj 10:

7+ 2= 9 9-2= 7 5+ 3= 8- 3=

2+ 7= 9 9-7= 2 3+...= 8-...=

17+ 2=19 19-2 = 17 17+ 2= 19- 2=

2+17=19 19-7=12 2+...= 19-...=

b) dobimo vsoto 20 in od 20 odštejemo enomestno število:

Reševanje primerov te vrste, zlasti odštevanje, povzroča velike težave mnogim duševno zaostalim šolarjem. Učence zmoti dejstvo, da je pri seštevanju enic na mestu enic rezultat nič. Deljenje 20 na dve desetici in odštevanje od ene desetice določeno količino enote, otroci pozabijo dodati ta rezultat desetim in dobijo napačen odgovor: 20-3 = 7.

Uporaba vizualnih pripomočkov, posodabljanje obstoječega znanja in zanašanje nanj pomaga premagovati te težave. Treba je ponoviti tabelo seštevanja in odštevanja znotraj 10. seštevanje enomestnega števila do deset, odštevanje od 10.

Razlaga seštevanja ne predstavlja nič novega v primerjavi z razlago reševanja primerov oblike 13 + 2, razen tvorbe 1 desetice: 5 + 5 = 10 (ali 1 desetica); 1 dec. + 1 dec.=2 dec.=20. ^"Razmislite o primeru odštevanja: 20-3. Število 20 ima nič enot, vendar morate odšteti 3 enote. Vzamemo 1 desetico, jo razdelimo na 10 enot in odštejemo 3 enote, dobimo 7 enot. Skupaj, Ostane 1 desetica in 7 enot ali 17. Izvedeno sklepanje

Gibanje je zapisano takole: 20-3=17.

V primeru težav pri razumevanju in sprejemanju izračunov se lahko razlaga izvede s pomočjo palic, povezanih v snope. Na primer, 20 sta 2 desetici (vzamemo 2 šopka palic) in nič enice. Vzamemo 1 desetico in jo razdelimo na 10 enot (odvežemo snop palic). 10 enot minus 3 enote je enako 7 enot. Samo še 1 desetica in 7 enot oziroma 17.

Primeri preurejanja izrazov so rešeni, sestavljeni po modelu, po analogiji:

Primerjamo operaciji seštevanja in odštevanja: 15+5=20; 20-5=15;

c) odštevanje dvomestnega števila od dvomestnega: 15-12; 20-15. x Rešitev primerov te vrste je mogoče razložiti na različne načine:

1. razstavljajo manjšec in odštevalec na desetice in enice ter odštevajo desetice od desetic, enice od enic;

2. odštevanec razgradi na desetice in enice. Od minuenda odštejte desetice, od nastalega števila pa enote.

Učenci se težko seznanijo z dvema tehnikama hkrati, še težko pa se dosledno seznanijo najprej z eno in nato z drugo tehniko. Psihično zaostali šolarji Ne morejo samostojno izbrati, kdaj je bolj primerno uporabiti eno ali drugo tehniko. Zato jih poznavanje dveh tehnik le zmede. Bolje je dobro delati na eni metodi računanja in učence naučiti samostojne uporabe.

Začetek obrazca

Konec obrazca

12) Metodologija učenja aritmetičnih operacij. Seštevanje in odštevanje števil druge desetice (tematski problemi, obravnavani primeri, seštevanje in odštevanje s prehodom skozi mestno vrednost; metode seznanjanja s kombinatorno lastnostjo seštevanja, pravilo odštevanja števila od vsote in vsote od števila ).

Seštevanje in odštevanje znotraj 20.

Obvladovanje računskih tehnik seštevanja in odštevanja znotraj 20 temelji na dobrem poznavanju seštevanja in odštevanja znotraj 10, poznavanju številčenja in sestavljanja števil znotraj 20.

Pri preučevanju operacij seštevanja in odštevanja znotraj 20, pa tudi pri preučevanju ustreznih operacij znotraj 10, velika vrednost ima jasnost in praktične dejavnosti s koristmi študentov samih. Zato bodo vse vrste vizualnih pripomočkov, ki se uporabljajo pri študiju oštevilčevanja, našle uporabo tudi pri študiju aritmetičnih operacij.

Primerneje je, da se operacije seštevanja in odštevanja po seznanitvi učijo vzporedno določen primer seštevanje preuči ustrezen primer odštevanja proti seštevanju.

V drugem razredu morajo učenci poznati imena sestavin seštevanja in odštevanja.

1. Tehnike seštevanja in odštevanja, ki temeljijo na poznavanju decimalne sestave števil.

2. Seštevanje in odštevanje brez prehoda skozi deset:

a) enomestnemu številu dodamo dvomestno število. Od dvomestnega števila se odšteje enomestno število;

b) pridobivanje vsote 20 in od 20 odštevanje enomestnega števila;

c) odštevanje dvomestnega števila od dvomestnega: 15-12, 20-15.

Reševanje primerov te vrste je mogoče razložiti na različne načine:

1. Odštevanec in odštevalec razstavi na desetice in enice ter odštej desetice od desetic, enice od enic.

2. Odštevanec razgradi na desetice in enice. Od minuenda odštejte desetice, od nastalega števila pa enote.

3. Seštevanje in odštevanje s prehodom skozi serije predstavlja največje težave za učence s psihofizičnimi motnjami. tudi odštevanje s prehodom čez deset zahteva številne operacije;

Minuend razdeli na desetice in enice

Razčlenite subtrahend na dve števili, od katerih je eno enako številu minuenda.

Odštejte enote

Preostalo število enot odštejte od deset

Pripravljalna dela mora biti sestavljen iz ponavljanja:

a) tabela seštevanja in odštevanja znotraj 10,

b) sestava števil prve desetice (vse možne možnosti

dveh številk)

c) seštevanje števil do 10

d) razstavljanje dvomestnega števila na desetice in enote

d) odštevanje od deset enomestna števila

f) obravnavanje primerov tipa 17-8, 15-5.

Učenci delajo s števili 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).

učenec: »9+8=. K 10 moramo prišteti 9, 8 je 1 in 7. 9 in 1 je 10. Vse, kar ostane, je, da prištejemo 7, 10+7=17, kar pomeni 9+8=17. Naredil bom drugače: 8+9=. 9 je 2 in 7, 8+2=10, 10+7=17, kar pomeni 8+9=17. Preurejanje členov ne spremeni vsote. Torej je izračun narejen, kajne. Zapišimo izraz v zvezek 9+8=17.

seštevanje enomestnih števil s prehodom čez desetico

Naredimo seštevanje po delih:

7 + 9 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16 Odgovor: 7 + 9 = 16.

→ Aritmetične operacije

Aritmetične operacije

Iskanje enega novega števila iz več danih števil se imenuje aritmetična operacija. Pri aritmetiki je vključenih šest operacij: dodatek, odštevanje, množenje, delitev, potenciranje, pridobivanje korenin.

1. Dodatek. To dejanje je sestavljeno iz uporabe več števil, imenovanih seštevalci, za iskanje števila, imenovanega njihova vsota.

Primer: 4+3=7, kjer sta 4 in 3 člena, 7 pa njuna vsota.

2. Odštevanje- dejanje, s katerim najdemo zahtevani člen (razliko) iz danega seštevka (minuend) in danega člena (odštevec).
To je obratno od seštevanja.

Primer: 7 – 3 = 4, kjer je 7 manjšec, 3 odštevanec in 4 razlika.

3. Množenje. Pomnožiti določeno število (množenec) s celim številom (faktorjem) pomeni ponoviti množitelj kot seštevek tolikokrat, kolikor je enot v faktorju. Rezultat množenja imenujemo produkt.

Primer: 2 ∙ 3 ​​​​= 6, kjer je 2 množitelj, 3 množitelj in 6 produkt. (2 ∙ 3 ​​​​= 2 + 2+ 2 = 6)

Če množitelj in množitelj zamenjata svoji vlogi, ostane zmnožek enak. Zato se imenujeta tudi množitelj in množitelj dejavniki.

Primer: 2 ∙ 3 ​​​​= 3 ∙ 2, to je (2 + 2 + 2 = 3 + 3)

Predpostavlja se, da če je faktor 1, potem je a ∙ 1 = a.

Na primer: 2 ∙ 1 = 2, 44 ∙ 1 = 44, 13 ∙ 1 = 13.

4. Delitev. Z deljenjem z to delo(deljeni) in podani faktor (deljenec) poišči iskani faktor (količnik).
To je obratno od množenja.

Primer: 8: 2 = 4, kjer je 8 dividenda, 2 delitelj in 4 količnik.

Preverjanje delitve: produkt delitelja 2 in količnika 4 daje dividendo 8. 2 ∙ 4 = 8

Deljenje z ostankom

Če pri deljenju celega števila s celim številom količnik dobi celo število, se takšno deljenje celih števil imenuje natančno, ali tisto prvo številko popolnoma razdeljen(ali preprosto - deljeno) s sekundo.

Na primer: 35 je deljivo (s celim številom) s 5, količnik je celo število 7.

Drugo število imenujemo delitelj prvega, prvo pa je večkratnik drugega.

V mnogih primerih lahko ugotovite brez deljenja Ali je popolnoma deljiva? eno celo število deljeno z drugim (glej znake deljivosti).

Natančna delitev ni vedno mogoča. V tem primeru izvedite t.i deljenje z ostankom. V tem primeru poiščite največje število, ki bo pomnoženo z deliteljem dalo produkt, ki ne presega dividende. Ta številka se imenuje nepopolno zasebno. Razlika med dividendo in produktom delitelja in delnega količnika se imenuje preostanek delitve.
Dividenda je enaka delitelju, pomnoženemu z delnim količnikom in preostankom. Ostanek je vedno manj kot delitelj.

Primer: delni količnik deljenja števila 27 s 4 je 6, ostanek pa 3. Očitno je 27 = 4∙6 + 3 in 3˂4.

5. Potenciranje. Dvig določenega števila na celo potenco (na drugo, tretjo itd.) pomeni, da to število dvakrat, trikrat itd. Z drugimi besedami, potenciranje se doseže s ponavljajočim se množenjem.
Število, ki je vzeto kot faktor, se imenuje diplomska osnova; kliče se številka, ki označuje, kolikokrat se baza ponovi eksponent; se imenuje rezultat dviga števila na potenco moč tega števila.

Primer: 2∙2∙2 = 2³ = 8; kjer je 2 osnova stopnje, 3 je eksponent, 8 je stopnja.

Imenuje se tudi druga potenca števila kvadrat, tretja stopnja – kocka. Prva potenca števila je število samo.

6. Pridobivanje korenin je dejanje, s katerim glede na dano stopnjo ( radikalno število ) In ta indikator stopinj ( korenski eksponent) poiščite želeno osnovo (koren).
To je nasprotje dviga na potenco.

Primer: ³√64 = 4; kjer je 64 radikalno število, 3 je korenski eksponent, 4 je koren.

Preverjanje ekstrakcije korenin: 4³=64. Če število 4 dvignemo na 3. potenco, dobimo 64.

Imenuje se tudi koren druge stopnje kvadrat; koren tretje stopnje - kubični.
Ob znaku kvadratni koren Običajno je izpustiti korenski eksponent: √36 = 6 pomeni ²√36 = 6.

Porabljen liter:
Vodnik do elementarna matematika- Vygodsky M.Ya., "Znanost", 1974
Priročnik za matematiko. Priročnik za učence 9-11 razredov. - Shakhno K.U., "Uchpedgiz", 1961

Vprašanja metodologije učenja aritmetičnih operacij bomo razdelili na dva dela. V tem delu si bomo ogledali, kako učencem oblikovati predstave o seštevanju, odštevanju, množenju, deljenju, pojmu računske operacije, njihovih lastnostih, v naslednjem delu poglavja pa, kako razvijati računalniške sposobnosti.

7.3.1. Cilji in rezultati učenja aritmetičnih operacij. Aritmetične operacije – ključni pojmi teorija števil in najpomembnejše značilnosti številskih množic. Njihov študij je sestavni del oblikovanja pojma števila in računalniških veščin. V matematiki je posplošitev aritmetičnih operacij privedla do koncepta operacije in nato do konceptov, kot so matematična struktura, skupina, obroč, polje, ki igrajo veliko vlogo v sodobni matematiki in njeni uporabi na različnih področjih življenja. Učenje računskih operacij otrokom omogoča intuitivni stik s številnimi matematičnimi idejami, predvsem z idejami funkcionalnosti, matematične strukture, matematičnega modeliranja in principa dualnosti. Aritmetične operacije imajo bogat potencial za razvoj mišljenja, govora, oblikovanje in razvoj univerzalnih izobraževalnih dejanj.

Aritmetične operacije v moderne oblike zapisi so priročni za opazovanje in odkrivanje vzorcev ter sestavljanje številskih zaporedij. Omogočajo izumljanje metod za izvajanje dejanj in ustreznih algoritmov, metod za pretvorbo številskih izrazov, zato lahko služijo kot sredstvo za razvoj samostojnega mišljenja in ustvarjalnih sposobnosti. Naloga poučevanja računanja ni izgubila na pomenu, čeprav se je vloga računalniških veščin zdaj spremenila. Spremenili so se tudi cilji študija računskih operacij in zahteve za rezultate njihovega študija.

Učni cilji aritmetične operacije mlajši šolarji – osebni in intelektualni razvoj, razvoj predstav o številu in aritmetične operacije, oblikovanje računalniških spretnosti, propedevtično spoznavanje z ključne ideje matematika, doseganje načrtovanih rezultatov.

Osebne in metapredmetne rezultate zagotavlja a) narava študentove predstavitve računskih operacij, vključno z upoštevanjem ne le ozko vsebinskih, ampak tudi interdisciplinarnih, humanitarnih vidikov le-teh; b) povečana pozornost na pomene računskih operacij, na logične povezave in sklepe, na uporabo računskih operacij za opisovanje sveta okoli nas; c) vključevanje v proces proučevanja obstoječe in nastajajoče subjektivne numerične izkušnje otrok, izkušnje kognicije.

Osebni rezultati učenje računskih operacij - oblikovan odnos do sveta, ljudi, sebe, učenja, števil in računskih operacij. Metapredmetni rezultati povezana z aritmetičnimi operacijami je zmožnost njihove uporabe kot modelov vsebinske tožbe in sredstva za pridobivanje nove informacije na različnih področjih znanja in vsakdanjega življenja je to sposobnost uporabe risb, diagramov, tabel kot sredstva za razumevanje pomenov in lastnosti računskih operacij; poznavanje splošnih aritmetičnih metod za reševanje nalog; modeliranje situacij z uporabo aritmetičnih operacij. Metapredmetni rezultati študija aritmetičnih operacij vključujejo tudi UUD, ki nastanejo med študijem katerega koli učnega gradiva.

Predmetni rezultati- to je tisto, kar bo vsak učenec vedel o aritmetičnih operacijah kot matematičnih objektih, kar se bo naučil in se bo imel priložnost učiti in učiti. Učiteljeva naloga je zagotoviti, da vsi učenci po končani osnovni šoli dosežejo načrtovane rezultate učenja aritmetičnih operacij v skladu z zahtevami zveznega državnega izobraževalnega standarda. Spodaj je predstavljena različica načrtovanih predmetnih rezultatov.

Kot rezultat učenja računskih operacij maturantka OŠ se bo naučil: z računskimi operacijami opisujejo in razlagajo okoliške predmete, procese, pojave, njihova kvantitativna in prostorska razmerja, rešujejo besedne težave(v 2 – 3 korakih); izvajati ustno seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje enomestnih, dvomestnih in trimestna števila v primerih, ki jih je mogoče zmanjšati na dejanja znotraj 100 (vključno z ničlo in številko 1); izvajati aritmetične operacije z večmestnimi števili z uporabo zapisanih računskih algoritmov (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje z enomestnim številom, dvomestna števila

znotraj 10.000), s kalkulatorjem preveri pravilnost ustnega in pisnega računanja; izolirati neznano komponento aritmetične operacije in poiskati njeno vrednost; izračunati vrednost številskega izraza, ki vsebuje 2-3 računske operacije, z oklepaji in brez njih. Diplomirati bodo imeli priložnost učiti se

: uporablja lastnosti aritmetičnih operacij za poenostavitev in racionalizacijo računanja; izvajajo dejanja z vrednostnimi vrednostmi; preveriti pravilnost izračunov, vključno s kalkulatorji (z uporabo obratnega dejanja, ocene in vrednotenja rezultata dejanja). Po oblikovanju načrtovanih rezultatov je treba določiti diagnostična orodja in diagnostična gradiva, ki omogočajo ugotavljanje, v kolikšni meri je maturant dosegel načrtovane rezultate. Spodaj je ena možna možnost naloge za končna ocena

predmetni in metapredmetni rezultati. A..

1. Del stene modela hiše je sestavljen iz 5 enakih lesenih blokov v obliki paralelepipeda. (Dimenzije bloka so 10 cm × 2 cm × 2 cm. Palice so zložene na mizo.) S pomočjo meritev dolžin stranic in operacij seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja označi ta del steno z odgovori na vprašanja: 1.1. Kolikšna je dolžina, debelina, višina tega dela stene? 1.2. Kakšna je površina notranje stene? 1.3. Primerjajte dolžine stranic bloka z vprašanji "Ali sta enaki ali neenaki?", "Koliko centimetrov več (manjše)?", "Kolikokrat več (manjše)?"

2. V skladišče so pripeljali 4560 kg riževih žit v vrečah po 80 kg in 64 vreč ajde. Koliko vreč žit so pripeljali v skladišče?

3. Poišči pomene izrazov: (360 – 24 ∙ 5) : 40; 450:50; 78:4; 73 + 89; 0 ∙ 256; (36: 9 – 3) ∙ 17;

32 ∙ (1462 + 748) : (7846 – 7781) IN..

Povečana raven

1. Del stene modela hiše je sestavljen iz 5 enakih lesenih blokov v obliki paralelepipeda. (Dimenzije palice so 10 cm × 2 cm × 2 cm. Palice so zložene na mizo.)

Z merjenjem dolžin stranic in operacijami seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja označi ta del stene z odgovori na vprašanja: 1.1. Kolikšna je dolžina, širina in debelina tega dela stene? 1.2. Kakšna je površina notranje stene? 1.3. Kakšna je prostornina bloka? volumen stene? 1.4. Primerjajte dolžine stranic bloka z vprašanji "Koliko centimetrov več (manjše)?", "Kolikokrat več (manjše)?" 1.5. Primerjaj prostornino dela stene in prostornino bloka.

2. V skladišču je 4560 kg riževih kosmičev v vrečah po 80 kg in 3840 kg ajde v 64 vrečah. Katera vrečka kosmičev je težja in za koliko? Katero zrno ima več vreč in za koliko?

3. Poiščite vrednosti številskih izrazov z uporabo miselnih izračunov in lastnosti aritmetičnih operacij: (480 – 24 ∙ 6) : 16; 354 + 188; 162:4; 18∙4 – 1345∙0; 317: 50; 45:45; (27 - 108: 9) ∙ 17.

4. Poiščite vrednosti številskih izrazov s pisnimi algoritmi za izračun: 26 (1672 + 1448) : (4825 – 4773) »Spretnost, ki se preverja: sposobnost izvajanja aritmetičnih operacij s preučenimi algoritmi (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje z eno- in dvomestnimi števili znotraj 10.000). Nastavitev osnovne črte. Izračunaj: 2072: 37. Naloga napredne stopnje.

Označi pravilen odgovor ✔.

« □ 0 □ 4 □ 5 □ 6.« Spretnost »Spretnost, ki se preverja: sposobnost izvajanja aritmetičnih operacij s preučenimi algoritmi (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje z eno- in dvomestnimi števili znotraj 10.000).: razumejo pomen deljenja z ostankom, izpostavijo nepopoln količnik in ostanek.

Kupili smo sladkarije za darila. Skupaj je 199 bonbonov. V vsako darilo morate dati 5 bonbonov. Koliko bonbonov bo ostalo? Za nogometno ekipo smo kupili 18 vozovnic za en kupe vagon. Številke vstopnic od 1 do 18. V koliko kupejih bodo nameščeni nogometaši, če lahko v vsakem kupeju bivajo 4 osebe?« »Sposobnost: oceniti in preveriti rezultat aritmetične operacije. Naloga 31 osnovna raven.

Katero število je rezultat dejanja 12064: 4? Obkroži številko odgovora. 1) dvomestno; 2) trimestno; 3) štirimestno; 4) petmestno. Naloga 32 višja raven.

Ali je 1000 rubljev dovolj za nakup štirih knjig po ceni 199 rubljev na knjigo in koledarja za 250 rubljev? Zapiši in obrazloži svoj odgovor. Odgovor: …< 250», то оценить владение прикидкой и оценкой по этому ответу нельзя, так как в этом обосновании они не показаны.

7.3.2. Pojasnilo. Odgovor: ne dovolj. Primer razlage: po nakupu štirih knjig bo ostalo nekaj več kot dvesto rubljev. Ta denar ni dovolj za nakup koledarja za 250 rubljev. ...« 18 Možna razlaga: »Ni dovolj. V 1000 rub. vsebuje 5-krat 200 rubljev. Plačajo 4-krat za 1 rubelj. manj kot 200, tj. za 4 r. manj kot 4-krat za 200 rubljev. Po plačilu štirih knjig bodo ostali le še 4 rublji. več kot 200, kar je manj kot 250." Če je podana razlaga: »Ni dovolj, ker: 199 ∙ 4 = 796 (r.); 1000 – 796 = 204 (r.); 204 Zaporedje učenja aritmetičnih operacij v. osnovna šola

Tradicionalno se aritmetične operacije preučujejo v zaporedju: seštevanje in odštevanje, množenje, deljenje (celo) in deljenje z ostankom. Ta vrstni red lahko vidimo v mnogih učbenikih za osnovno šolo matematike. Vendar pa obstajajo tudi drugi pristopi k zaporedju učenja dejanj.

Ni nesoglasja glede zaporedja uvajanja množenja in deljenja. Množenje običajno uvedemo nekoliko pred deljenjem. Deljenje se začne preučevati, ko učenci osvojijo pomen množenja. Včasih se po uvedbi množenja učijo tabelnega množenja in šele nato deljenja. Pogosteje pa se deljenje tabele obravnava sočasno s tabelnim množenjem v istih ali zaporednih lekcijah po uvedbi deljenja.

Obstajajo različna stališča glede učne sekvence polne delitve in deljenje z ostankom. Po enem od njih je najprej predstavljena celotna delitev, njeni pomeni in tabelarični primeri delitve. Po njihovi asimilaciji je deljenje z ostankom uvedeno kot posebno dejanje s svojimi pomeni, lastnostmi in algoritmi, ki temeljijo na deljenju tabele kot celote. Nato sta obravnavana osnovna netabelarna načina deljenja s celoto in deljenja z ostankom ter pisno deljenje kot deljenje z ostankom, katerega poseben primer je deljenje s celoto - z ostankom 0.

Po drugem stališču lahko delitev na celoto in delitev z ostankom uvedemo kot oznako za razdelitev skupine predmetov na dele, enake dani osnovi (v skladu s teoretičnim in veličinskim pomenom dejanja delitve ) hkrati ali v nizu zaporednih lekcij. Rezultat takšnega uvoda bo sposobnost študentov, da določijo predmetna dejanja delitve po vsebini in na enake dele z zapisi oblike 12: 3, 13: 3, 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (ostal. 1) in obratno, izvajajte ciljna dejanja ali risite, kot je napisano.

Ko obvladajo osebne pomene deljenja, ki so enaki za deljenje s celoto in deljenje z ostankom, preidejo na obravnavo vprašanja, kako najti rezultate deljenja brez subjektovih dejanj. Odgovor iščemo tako, da vzpostavimo povezavo med deljenjem in množenjem najprej za celoštevilsko deljenje in se osredotočimo na tabelarične primere, lastnosti celoštevilskega deljenja in lastnosti tabel množenja/deljenja. Primere deljenja z ostankom v tem obdobju obravnavamo mimogrede, s čimer utrjujemo razumevanje in študentom ponudimo možnost, da poiščejo količnik in ostanek na podlagi intuitivnega razumevanja povezave med deljenjem s celoto in deljenjem z ostankom. Po obvladovanju tabelnega množenja in deljenja se obravnavajo značilnosti, lastnosti, metode in algoritmi deljenja z ostankom.

Utemeljitev zadnjega stališča je, da prisotnost ali odsotnost ostanka ne spremeni poteka praktične delitve. Na primer, razdelimo 12 in 13 kock na enake dele po 3 kocke. V obeh primerih postopamo enako: vzamemo 3 kocke in jih odložimo. To dejanje ponavljamo, dokler ne vzamemo 3 kocke. Določeno: 12: 3 in 13: 3. Takoj ko ni več kock ali ostanejo manj kot tri, preštejemo nastale dele. Njihova številka bo zasebna. V obeh primerih so nastali 4 enaki deli po 3 kocke - količnik bo število 4. V primeru 12 kock ne bo ostalo nobene »nerazdeljene« kocke, pri deljenju 13 kock s 3 pa bo 1 kocka ostanejo nerazdeljeni. Dobimo: 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (ostalo 1).

Razdelili bomo 12 in 13 kock na 3 enake dele. Vzamemo toliko kock, kolikor je potrebnih enakih delov, in jih razporedimo eno za drugo. Nato spet vzamemo toliko predmetov, kolikor je delov, in jih enega za drugim razporedimo na že položene. Tako nadaljujemo, dokler ne zmanjka kock ali pa jih ostane manj od zahtevanega števila kosov. V obeh primerih je količnik 4 (v treh enakih delih so 4 kocke). Pri deljenju 12 : 3 ni ostanka, pri deljenju 13 : 3 je ostanek 1. Vnos: 12 : 3 = 4 in 13 : 3 = 4 (preostanek 1).

V objektivnih dejavnostih ob začetku procesa delitve največkrat ne vedo, ali bo ostanek. IN izkušnja iz otroštva Obstaja veliko situacij praktične delitve. Otroci si med seboj delijo igrače, sladkarije, v igrah so razdeljeni v ekipe in še marsikaj. Popolna delitev se ne izide vedno. Z uvedbo samo popolne delitve je treba otroke zaščititi pred situacijami, ko je popolna delitev nemogoča. In če je obdobje srečanj samo z deljenjem povsem dolgo, potem otroci razvijejo stereotip: pri deljenju števil vedno dobijo eno število - količnik. Zaradi tega je deljenje z ostankom težko razumljivo. To je deloma razlog, zakaj se deljenje z ostankom šteje za težko operacijo, besedilne težave, v katerih se lahko uporablja, pa se ne upoštevajo (z izjemo preproste naloge pri uvajanju deljenja z ostankom) ali pa jih uvrščamo med naloge povečane težavnosti.

Na podlagi zgornjega sklepanja je zaporedje učenje množenja in deljenja lahko izgleda takole: uvajanje množenja, osvajanje njegovih pomenov; uvajanje deljenja v celoti in z ostankom, osvajanje pomena deljenja; tabelo množenja in deljenja (cela števila); ustni računski algoritmi za deljenje z ostankom na podlagi tabelnega deljenja; algoritmi za netablično (ustno) množenje in deljenje, vključno z deljenjem z ostankom; pisni algoritmi množenja; algoritmi pisna delitev

kot algoritmi za deljenje z ostankom, katerih poseben primer je deljenje z ostankom nič - deljenje s celim številom; množenje in deljenje s pomočjo kalkulatorja.

Študij vsake aritmetične operacije lahko predstavimo po stopnjah: priprava na uvedbo aritmetične operacije ali dejanj; uvedba dejanja (dejanj), motivacija za študij, načrtovanje dela pri preučevanju aritmetičnega dejanja (ali dejanj), oblikovanje pomena dejanja, ki se preučuje; preučevanje lastnosti aritmetičnih operacij; preučevanje algoritmov za izvajanje dejanj in razvijanje računalniških spretnosti. Priprava na uvedbo aritmetične operacije ali operacij

sestoji iz ustvarjanja predmetno-dejavnostne osnove za aritmetične operacije, ki se izvaja v dejanjih s skupinami objektov (teoretični pristop) in s predmeti glede na dano vrednost (magnitudni pristop), v "sprehodu" skozi vrsto števil, vključno s številom 0 in naravno vrsto (ordinalni pristop). Tukaj je treba razjasniti, poglobiti ideje o številu, posodobiti metode objektivnih dejanj in jih uporabiti za reševanje besedilnih problemov, ki ustrezajo aritmetičnim operacijam. Glavni cilji lekcij uvajanje aritmetičnega dejanja (ali dejanj) in oblikovanje pomena dejanja, ki se preučuje

so: ustvarjanje pozitivne motivacije za učenje dejanja, izolacija, izvajanje in označevanje z novim dejanjem ciljnih dejanj, na katerih temelji uvedena računska operacija; dijaki obvladajo izraze in metode simbolnega označevanja in besednega opisa dejanj; vključitev nove aritmetične operacije v sistem obstoječih numeričnih predstavitev. Pozitivne motive za učno dejanje je mogoče oblikovati skozi otrokovo čustveno doživljanje aritmetičnega dejanja kot kratkega in hitrega načina za ohranjanje in prenašanje informacij o dejanju s predmeti, kot sredstva obogatitve., kot razširitev komunikacijskih možnosti, kot sredstvo za modeliranje delovnih situacij, kot sredstvo za pridobivanje novih informacij. Predmet zanimanja za otroke so lahko in bi morali biti lastnosti dejanj, posebnosti obnašanja posameznih števil v zvezi z aritmetičnimi operacijami, nenavadne metode izračuna, številska zaporedja, zgrajena na vzorcih, izraženih v jeziku aritmetičnih operacij. To je mogoče z razkritjem pomenov aritmetičnih operacij, z možnostjo generiranja lastnih, osebnih pomenov.

Naj spomnimo: aritmetične operacije so matematične operacije na številski množici (v osnovni šoli na množici nenegativnih celih števil). Operacija – korespondenca med nizom parov številk iz nabor številk in elementi istega sklopa. Ujemanje je mogoče določiti z oštevilčenjem in značilno lastnostjo. Takšne lastnosti so vključene v definicijo dejanja. Na posnetku je to označeno z akcijskim znakom. V vnosih 3 + 4, 17 – 9, 25 ∙ 7, 12: 6, 17: 5 so operacije določene, saj so navedeni določeni pari števil, znak pa označuje način pridobivanja ustreznega števila. V enačbah 3 + 4 = 7, 17 – 9 = 8, 25 ∙ 7 = 175, 12: 6 = 2, 17: 5 = 3 (ostalo 2) je ustrezno število ali števila določeno ne le z značilno lastnostjo , ampak tudi z naštevanjem .

Upoštevajte, da na začetni fazi pri obvladovanju aritmetične operacije, pa tudi pri preučevanju lastnosti, pri posploševanju nekaterih značilnosti dejanja, je koristno uporabiti simbole za številke, ki so jih izumili otroci, na primer: ⌂ + ○; ⌂ – ○ = ◊ , ⌂ + ○ = ○ + ⌂ ali ☼ +☺; ☼ +☺=☻. Takšni zapisi nam omogočajo, da razmislimo o dejanju in njegovih lastnostih, ko otroci še ne morejo zapisati potrebnih števil, pa tudi kadar določene številčne značilnosti skupine predmetov ali predmeta ni mogoče natančno določiti, ko je treba pokazati. splošni pogled izrazi in enakosti. Še več, tak konvencionalni znaki nosijo čustveno komponento svojih avtorjev ali »izbir«.

Lastnosti aritmetičnih operacij lahko učenci odkrijejo v procesu izobraževalnih in raziskovalnih dejavnosti, ki jih organizira učitelj. Pomembno je, da je vsaka lastnost rešitev problema, ki jo učenci sprejmejo, odgovor na vprašanje, ki se jim poraja. To se lahko zgodi, ko otroke od prvih dni izobraževanja učimo opazovati in prepoznavati podobnosti in razlike med vsemi predmeti, tudi med dejanji s predmeti, med njihovimi zapiski.

Glavna vprašanja, ki vodijo k odkrivanju lastnosti aritmetičnih operacij, so vprašanja o možnosti zamenjave nekaterih izrazov in torej zaporedja aritmetičnih operacij z drugimi, ki vsebujejo enaka števila in imajo enako številsko vrednost kot izvirni izraz, vendar različna dejanja ali drugačno zaporedje dejanj.

Seznam lastnosti aritmetičnih operacij (na množici naravnih števil in ničle) je lahko naslednji:

Lastnosti povezave relacij "(neposredno) sledi" ter seštevanja in odštevanja: a + 1 = A′ in A′ – 1 = a(če številu prišteješ 1, dobiš naslednje število; če odšteješ 1, dobiš prejšnje število); komutativna lastnost seštevanja, množenja 3 + 4 = 4 + 3, a + b = b + a, ab= ba; asociativna lastnost dodatek ( a + b) + c = a + (b + c), množenje ( ab)c = a(pr) ali v obliki pravil za seštevanje števila vsoti in vsote številu, množenje števila s produktom in produkta s številom; pravila za odštevanje števila od vsote in vsote od števila: (7 + 9) – 5 = (7 – 5) + 9 = 7 + (9 – 5), 9 – (4 + 3) = 9 – 4 – 3; pravila za deljenje produkta s številom in števil s produktom: (12  8) : 4 = (12 : 4)  8 = 12  (8 ; 4), 24 : (3  4) = (24 : 3) ) : 4; pravilo za deljenje vsote s številom: če in pr ac a + b) : c = a:c + b:c(- je popolnoma deljivo), potem ( a + b = c ↔ c – b = a, (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6; razdelitvena lastnost množenja glede na seštevanje (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ali v obliki pravil za množenje vsote z število in števila z vsoto: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; pravilo množenja razlike s številom: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; lastnosti, ki odražajo razmerje med seštevanjem in odštevanjem, množenjem in deljenjem: c – a = b; a : b = in ↔ a = q in a : in = b, a : b = inbq(počitek.), (počitek. < b ↔ a = q + (počitek. r a + b = c (a ± ;) + b = c ± ; odvisnosti med spremembami komponent in rezultatom dejanja: a + b = c ↔ (a + ;) + (b – ;) = c d a – b = c ↔ (a ± ;) – (b ± ;) = c (če en člen povečamo (zmanjšamo) za neko število, potem se vsota poveča (zmanjša za isto število); ab = c ↔ (a: ;)  b = c: ;; ab = c ↔ (a: ;)((če en člen povečamo in drugega zmanjšamo za isto število, se vsota ne spremeni);) = ((če se minuend in subtrahend povečata (zmanjšata) za isto število, potem se razlika ne spremeni);)(b: ;) = c; a : b = in ↔ (če se minuend in subtrahend povečata (zmanjšata) za isto število, potem se razlika ne spremeni); : b = bd; oglas .

CD lastnosti deljenja z ostankom: deljenje z ostankom je izvedljivo za poljubna števila (razen deljenja z nič); ostanek je manjši od delitelja; dividenda je enaka vsoti zmnožka količnika in delitelja ter ostanka, ..., ki je sestavljen iz dejstva, da vsaka resnična izjava tega razdelka ustreza dvojni izjavi, ki jo je mogoče dobiti iz prve z zamenjavo konceptov, ki so vanj vključeni, z drugimi, tako imenovanimi. njim dvojni pojmi."

Načelo dvojnosti ena izmed pomembnih smiselnih idej matematike, ki bistveno razširja možnosti znanja. Idejo o dvojnosti otroci odkrijejo, če učitelj organizira preučevanje novega dejanja, lastnosti tega dejanja na podlagi že naučenih dejanj, otroke spodbuja k napovedovanju lastnosti, preverjanju napovedi, na primer z uporabo preprostih vprašanj in naloge o podobnostih in razlikah: »V čem je odštevanje podobno seštevanju? V čem je drugače?«, … »V čem je deljenje podobno drugim aritmetičnim operacijam, ki jih poznate? Kako je deljenje podobno odštevanju? Kako se deljenje razlikuje od odštevanja?«, »Saj veste, da ima seštevanje komutativne in kombinativne lastnosti. Formulirajte enake lastnosti za množenje. Preverite njihovo veljavnost na več primerih", "Formulirajte komutativne in asociativne lastnosti za deljenje. Njihovo veljavnost preverite z več primeri.«

7.3.3. Učenje seštevanja in odštevanja. Vsebina preučevanja dejanj je bistveno odvisna od pristopa k konceptu števila, ki se ga učitelj drži, od pomenov, ki jih vlaga v ta koncept. Sledili bomo univerzalnemu pristopu in z učenci preučevali število v vseh njegovih osnovnih pomenih.

Teoretično množice pomen dejanja dodajanja v učencem dostopnem jeziku je mogoče predstaviti prek naloge, z opisom ustreznih predmetnih dejanj in risb zanje (slika 7.7). Na enem krožniku so 4 jabolka, na drugem pa 3. Koliko jabolk je na obeh krožnikih? (Naloga najti vsoto). Na enem krožniku so 4 jabolka, na drugem pa še 3 jabolka. Koliko jabolk je na drugem krožniku? Na enem krožniku so 4 jabolka, kar je 3 jabolka manj kot na drugem. Koliko jabolk je na drugem krožniku? (Težave z relacijami »več (manj) z«, pri katerih je večje število neznano.); Na enem krožniku so 4 jabolka, na drugem pa 3 jabolka. Na koliko načinov lahko izberete en sadež? (Kombinatorične težave, ki določajo pravilo vsote za štetje števila kombinacij).

Naloge razkrivajočo teoretiko množic pomen dejanja odštevanja. a) Na krožniku so bila 4 jabolka, pojedli so 3 jabolka. Koliko jabolk je ostalo? (Iskanje ostanka (razlike)); b) Na enem krožniku so 4 jabolka, na drugem pa 3 jabolka manj. Koliko jabolk je na drugem krožniku? Na enem krožniku so 4 jabolka, kar je 3 jabolka več kot na drugem. Koliko jabolk je na drugem krožniku? Na enem krožniku so 4 jabolka, na drugem pa 3 jabolka. Koliko več jabolk je na prvem krožniku kot na drugem? Koliko jabolk manj je na drugem krožniku kot na prvem? (Težave z relacijami »več (manj) za«) z neznanim manjšim številom ali za koliko je eno število večje ali manjše od drugega (z razlikovalno primerjavo. (sl. 7.8 a, b).

Pomeni seštevanja in odštevanja na podlagi koncepta velikosti, izražajo operacije združevanja in odstranjevanja predmetov z dolžino, površino, prostornino, maso in drugimi količinami, ki jih je mogoče prikazati praktično dejanje ali risba (slika 7.9)

Vrstni pomen seštevanja in odštevanja se kaže v zaporednem prehodu od prvega člena do števila, ki mu sledi, od njega do naslednjega tolikokrat kot drugi člen. Odštevanje lahko definiramo kot zaporedni prehod od minuenda do prejšnjega tolikokrat, kot je subtrahend. Pri uvajanju seštevanja in odštevanja je ta pomen predstavljen s pravilom, ki je oblikovano kot rezultat opazovanja položaja števila, ki mu dodamo enoto, z dejanji s predmeti (od katerih se enota odšteje) in rezultatom teh dejanj : »Če številu prišteješ ena, dobiš naslednje število ; Če od števila odštejemo ena, dobimo prejšnje število.«

Priprava na uvajanje seštevanja in odštevanja Spodbujajo se vaje v dejanjih s predmeti, ki ustrezajo vhodnim dejanjem, ter štetje predmetov in mer, ki ta dejanja spremlja pri merjenju količin v najpreprostejših primerih. Na primer štetje korakov pri hoji (merjenje dolžine poti), štetje enakih trikotnikov, pravokotnikov, ki sestavljajo lik (merjenje površine), štetje kozarcev vode, nalitih v kozarec ali iztočenih iz kozarca, premiki sekundne roke na številčnica itd. Koristno je štetje v dvoje, tri, štiri in pet.

Možne vrste objektivne operacije, ki ustrezajo seštevanju in odštevanju lahko takole.

Na levo postavite 3 kocke. Spodaj položite kartico prava številka. Na desno položite 5 kock. Postavite kartico s številko. Združite kocke tako, da jih približate eno drugi. Poiščite trak s 3 dolžinskimi enotami (3 mere, sestavljene iz treh enakih delov) in trak s 5 enakimi dolžinskimi enotami. Iz teh dveh trakov naredite en dolg trak. Kaj pomenita številki 3 in 5 za kocke? ... Za črte? ...Kaj si naredil s kockami? ...Kaj si naredil s črtami? ...

Preštejte vse trikotnike. (8) Preštej vse rdeče trikotnike. (3) Dajte jih v ovojnico. Ta kozarec vsebuje 8 kozarcev vode. Odlijte 3 kozarce vode. Oznaka s številkami.

Seštevanje in odštevanje. Značilnost aritmetičnih operacij, vključno s seštevanjem in odštevanjem, ki spodbujajo otroke, da jih preučujejo, je zmožnost večkratnega zmanjšanja zapisovanja informacij. Da bi to pokazali učencem, ko učenci opravijo zgornje naloge, se na tabli pojavi besedilo: Postavite 3 kocke na levo. Na desno položite 5 kock. Kombinirane kocke. Vzeli smo trak dolžine 3 enot in trak dolžine 5 enot. Iz dveh trakov smo naredili en dolg trak. (Če se odštevanje uvede hkrati z dodajanjem, bo besedilo vsebovalo tudi stavke, kot so: "Bilo je 8 trikotnikov. 3 trikotnike smo odstranili", "Bilo je 8 kozarcev vode. 3 kozarce smo natočili"). Spodaj so številke, napisane (ali postavljene na kartice): 3 5 (8 3).

Na tabli piše, kaj ste pravkar naredili s kockami, s črtami, (s trikotniki, z vodo). Ali vam je lahko brati to besedilo? (Ni lahko.) – Če pa uporabiš jezik matematike, lahko to zapišeš veliko bolj na kratko. Mogoče kdo že ve, kako v matematiki označimo naša dejanja? Skupaj z otroki sestavimo vzorčni zapis (sprva le izraz): 3 + 5 (8 – 5).

Ta vnos nadomešča vse to besedilo. Koliko števk je v matematičnem zapisu? (Skupaj 3. S hkratnim uvodom in odštevanjem - 6.) - Koliko znakov je v besedilu?

Če je bil posnetek narejen dne interaktivno tablo, potem z izbiro besedila enostavno določimo število znakov: 163 (ali odštejemo 236!): 163! (ali 236!) v primerjavi s 3 (ali 6!) je matematični zapis več kot 50 (skoraj 40-krat) krajši! To odkritje je lahko točka presenečenja, ki bo dalo čustveno barvo temu, kar se preučuje, in povečalo zanimanje zanj.

Morda nekateri že veste, kako se ta zapis bere in kaj pomeni? (Najprej spregovorijo otroci, nato učitelj.) – Vnos 3 + 5 se običajno glasi »trem prištej pet« (in »od osem odštej pet«). Preberi še enkrat z mano. ... Ta zapis pomeni, da so bili 3 predmeti in 5 predmetov, ki so bili združeni (Bilo je 8 predmetov, 5 jih je bilo odvzetih in odstranjenih). Ali da so iz dveh trakov dolžine 3 in 5 dolžinskih enot sestavili en trak dolžine 3 in 5 dolžinskih enot. Pravijo tudi, da je 3 + 5 zapis za dejanje dodatek(8 – 5 je akcijski zapis odštevanje).

Nato so organizirane tri vrste nalog za razvijanje zmožnosti prehajanja od dejanj predmetov k dejanjem s števili in od dejanj s števili k dejanjem predmetov: (1) dejanja predmetov se demonstrirajo (učitelj, učenci, na slikah v učbeniku oz. delovni zvezek, na interaktivni tabli), učenci pa jih označijo kot ustrezne številski izrazi, brati izraze; (2) številski izrazi so poimenovani ali prikazani (seštej dva k štirim, odštej tri od štiri, 4 + 2; 4 – 3), učenci pa izvajajo dejanja s predmeti, narišejo ali izberejo slike dejanj predmetov, ki bi jih lahko označili s seštevanjem ( odštevanje); (3) vzpostavi se ujemanje med podobo predmetnih dejanj in številskimi izrazi (risbe in izrazi so lahko v priročnikih, na ločenih listih, na tabli, interaktivni ali navadni; to sta lahko dva niza kartic - z risbami predmetnih dejanj). in s številskimi izrazi ali kartami po tipu domina).

Bodimo pozorni na več pomembnih točk. Čeprav uvod v seštevanje in odštevanje izhaja iz preučevanja števil v prvi deseterici, je koristno razmisliti o situacijah, ki jih predstavljata seštevanje in odštevanje, ne samo s števili v prvi deseterici, ampak tudi s števili v drugih nizih števil. Na primer, učitelj pokaže eno škatlo s 14 gumbi in drugo s 26 enakimi gumbi. Na vsakem polju je ustrezna številka napisana veliko. Enake številke morate postaviti na svoje mize s kartami s številkami. Nato prelije gumbe iz druge škatle v prvo in učence prosi, naj med številke vstavijo kartonček z ustreznim znakom. Nastali zapis je: 14 + 26. Otroci s pomočjo učiteljice preberejo zapis in povedo, kaj pomeni.

Na začetku uvajanja aritmetične operacije označimo predmetna dejanja s številskim izrazom ali številskim izrazom in enakostjo. Enakopravnost zahteva poimenovanje in pisanje določenega števila, rezultata nekega dejanja, ki ga otroci razen predmetnih dejanj in štetja še ne znajo poiskati. Številski izraz ne poimenuje števila, rezultata dejanja, ampak podaja način, kako ga pridobiti s predznakom dejanja. V tem primeru dobimo priložnost razmisliti o dejanju za poljubne številke in dejanja s poljubnimi predmetnimi modeli dejanj. To je pomembno za oblikovanje pomena dejanja. Dijaki dobijo tudi možnost določiti mejo uporabnosti izračunov z uporabo objektov, kar jih motivira za izumljanje metod in algoritmov brez interakcije s predmeti.

Na prvi stopnji akcijskega učenja je treba pozornost otrok usmeriti na vprašanja " Kaj Kaj je "seštevanje"?", "Kaj je "odštevanje?" Tukaj je bolje, da dejanje zapišete kot številski izraz. Ko so odgovori na vprašanja "Kaj ...?" bo razumel in sprejel, lahko preidemo na vprašanje " kako poišči rezultat dejanja (vrednost vsote, razlika)? Zdaj lahko seštevanje in odštevanje zapišemo in izgovorimo kot enakosti.

Preden preidemo na enakosti in iskanje rezultatov ter pisanje enakosti, povzamemo vmesni seštevek, ki daje učencem priložnost, da pokažejo svoje razumevanje seštevanja (in odštevanja, če sta operaciji predstavljeni v isti lekciji).

Torej, zdaj veste, kako označiti dejanja s predmeti za dodajanje številk. Pokažite, kako zmorete. Preberi matematične oznake in povejte, kaj bi lahko vsak pomenil: 3 + 2, 1 + 3, 5 + 8, 10 + 4, 1000 + 5000, Ω + ☼. (Na tabli so ustrezne risbe, na primer za vnos 1000 + 5000 je risba dveh bankovcev, za vnos v "magičnih" številkah - dva zabojnika s tovorom na železniški ploščadi, ki označujeta maso v tonah Ω in ☼.).

Prav ste rekli: ta dodatek označuje situacije, ko je nekaj nečemu dodano, združeno. Kako lahko pokažemo, kaj izhaja iz takih dejanj? - Opazujte Dimino gibanje, izmerite z njim dolžino vsakega dela poti in štejte korake. (Dima naredi 4 korake od mize do table, se ustavi, nato naredi še 3 korake do okna). - Posnemite dejanje. (4 + 3). – Dima, pojdi skozi to še enkrat in preštej vse korake. Koliko korakov je skupaj? (7) – Kako to zapisati? Dopolnite zapis o tem, kaj ste storili, z rezultatom dejanja. (Po predlogih otrok zapišemo: 4 + 3 = 7. – Preberite to enačbo. (S pomočjo učitelja preberite: »K štirim smo prišteli tri in dobili sedem.«)

Nato otroci opravijo naloge zgornjih vrst (1), (2) in (3). V primeru, ko je mogoče prešteti število predmetov v kombinaciji ali število mer pri merjenju količine, učenci zapišejo enačbe, v drugih primerih pa samo izraze.

V istem obdobju so bili uvedeni izrazi izraz, izraz, vsota; minuend, subtrahend, razlika. Koristno je, da pred uvodom izrazov spregovorimo o imenih. Vsak od nas ima veliko imen in nazivov. Ena skupina imen so lastna imena: Tanya, Lena, Valentina Sergeevna. Imena dobimo tudi glede na to, kaj počnemo – kolesar, pešec, potnik, mimoidoči, bralec; po poklicu in poklicu - učitelj, študent, krojač, strugar, pilot in še mnogo drugih razlogov - oseba, zaposleni, prijatelj, sestra, hči, vnuk.

Če ta pristop uporabimo za števila, potem so lastna imena "ena", "dva", "tristo sedemdeset" itd. Sodelovanje števil pri aritmetičnih operacijah in njihovo izvajanje določene funkcije ali vloge vam omogoča, da jih poimenujete glede na te funkcije. Najprej naj otroci predlagajo svoja imena in jih utemeljijo. Lahko celo objavite natečaj! Le v kontekstu lastnega besednega ustvarjanja bodo splošno sprejeti izrazi za otroke »živi«, nepozabni in čustveno nabiti.

Ko učenci prosto prehajajo iz predmetnih situacij v zapisovanje s seštevanjem in odštevanjem in obratno, bo postalo aktualno vprašanje »Kako najti rezultat seštevanja, odštevanja brez risanja, štetja na prste, merjenja?«

V tem istem obdobju je že treba začeti vključevati otroke načrtovanje svojega akademskega dela, spodbujajo refleksijo poučevanja in njegovih rezultatov, t.j. oblikovati vzgojno-izobraževalne dejavnosti, jih postopoma, ko obvladajo ustrezne učne dejavnosti, prenašati iz zunanje nadzorovanih izobraževalnih dejavnosti v samostojne.

Na primer, po uvedbi seštevanja in odštevanja vprašamo:

Ali zdaj veš, kaj je seštevanje in kaj odštevanje? (Da.) - Vsi, ali veste vse o seštevanju? O odštevanju? (Ne, ne vse.) – Kaj mislite, da bi morali še vedeti o teh dejanjih? Kaj narediti? ... - Na katera vprašanja o seštevanju in odštevanju bi radi dobili odgovore? Kaj se naučiti? ...

Na podlagi tega dialoga, med katerim učitelj zapisuje vprašanja in predloge otrok na tablo, organizira izmenjavo mnenj, učenci ob sodelovanju učitelja kot organizatorja in nosilca znanja o obstoječih dogovorih gradijo zaporedje učenja. seštevanje in odštevanje.

Naslednja pedagoška naloga je razvijanje spretnosti tabelnega računanja, A učna nalogaštudenti - nauči se poiskati rezultate seštevanja in odštevanja, vsote in razlike (vrednost vsote in vrednost razlike), pojasnite izračune, preizkusite se, načrtujte nadaljnje ukrepe.

Preučevanje lastnosti seštevanja in odštevanja. Posebnost študija lastnosti seštevanja in odštevanja je, da so to prve računske operacije, s katerimi se otroci seznanijo. Lastnosti dejanj se upoštevajo v obdobju obvladovanja objektivnega pomena dejanj in so utemeljene s temi objektivnimi, intuitivnimi lastnostmi dejanj. Vse lastnosti lahko otroci odkrivajo v procesu, ki ga organizira učitelj izobraževalne dejavnosti. Pomembno je, da izjave o lastnostih in zapisi niso okorni.

Številni izračuni v prvem razredu, zlasti v prvi polovici leta, se izvajajo na načine, na katere znane lastnosti pojavijo na intuitivni ravni. Te lastnosti so predstavljene s sodelovanjem otrok v njim dostopni obliki. Na primer metode za seštevanje in odštevanje enega po enega, po delih: 3 + 4 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2; 7 – 4 = 7 – 2 – 2 = 7 – 1 – 3.

Prve lastnosti, ki so na voljo študentom, so lahko lastnosti, ki povezujejo pojme »naslednji«, »prejšnji« (»takoj naslednji«) z operacijama seštevanja in odštevanja. to lastnosti naravne serije, ki kažejo ordinalni pomen števila v aritmetičnih operacijah, ki smo jih formulirali zgoraj. Pred tem je bil izum metod za hitro štetje predmetov v kombinaciji dveh skupin predmetov, na primer štetje ene skupine predmetov z drugo do znanega števila predmetov: ⌂⌂⌂⌂⌂⌂ - 6 ⌂ 7⌂ 8 ⌂ 9. 9 kosov.

Posledica te metode je iskanje rezultatov seštevanja in odštevanja s »stopanjem« po naravni vrsti najprej v posameznih korakih, nato pa v različno dolgih korakih (seštevanje, odštevanje v skupinah).

Odkrij komutativna lastnost seštevanja oz preureditev terminov učenci lahko v več situacijah.

1. Z objektivnimi dejanji izračunajte vrednosti parov oblike 4 + 3 in 3 + 4. Ugotovite podobnosti in razlike. Podajte predpostavke o vrednosti drugih podobnih vsot, preverite predpostavko z izračunom vrednosti z uporabo razpoložljivih metod.

2. V procesu izvajanja objektivnih dejanj združevanja dveh skupin predmetov, dveh predmetov, snovi je ugotovljeno, da ko se spremeni lokacija delov ali vrstni red kombinacije, se kvantitativne značilnosti rezultata kombinacije spremenijo. ne spremeniti. Če predmetna dejanja označimo s številskimi izrazi, dobimo dva izraza z različnim vrstnim redom členov in enakimi vrednostmi.

3. Dva učenca, ki se nahajata na nasprotnih straneh mize, sta s seštevanjem (vsoto dveh izrazov) označila število predmetov na mizi (Chekin A.L. Matematika, 1. razred 2011) in prejela dva različna izraza: 3 + 4 in 4. + 3. Otroci se tako, da se postavijo v položaj vsakega, prepričajo, da oba vnosa pravilno označujeta isto situacijo, število istih predmetov. Na podlagi tega je 3 + 4 = 4 + 3. Ker je na mizo mogoče postaviti katero koli drugo število predmetov, na primer Ω in ☼, potem je Ω + ☼.= ☼ + Ω, kjer sta Ω in ☼ poljubni števili.

Pomembna značilnost seštevanja in odštevanja je, da ti dejanja izražajo odnose « bolj (manj) po" Katera koli enakost oblike a + b = c in m – n = k definira razmerja, v katerih so udeležena tri števila: večje, manjše in število, ki odgovarja na vprašanje, za koliko je eno število večje (manjše) od drugega. Če je podana enakost, na primer 5 + 3 = 8, potem sta števili, povezani z razmerjem »več (manj) z«, lahko števili 5 in 8, število 3 pa bo pokazalo, koliko je 5 manj kot 8. , in 8 je več kot 5. tee, ali 3 in 8, potem bo 5 pokazalo, koliko je 3 manj kot 8 in 8 je več kot 3.

Tudi druge lastnosti operacij seštevanja in odštevanja lahko učenci odkrijejo z ustrezno organizacijo. Za odkrivanje lastnosti je zelo pomembna usmerjenost nalog v primerjanje, razvrščanje in opazovanje sprememb. Z uvedbo operacij množenja in deljenja, pravil za vrstni red operacij, delitvene lastnosti množenja glede na seštevanje, pravila za deljenje vsote, razlik s številom, zmnožkov s številom, števil s zmnožkom in preučujejo se druge lastnosti, povezane z eno ali več lastnostmi.

Nadaljnja širitev in poglabljanje znanja o seštevanju in odštevanju je povezano s širitvijo številskih nizov in prenosom predhodno preučenih tehnik, algoritmov, izrazov, lastnosti nanje, s študijem lastnosti in obvladovanjem računalniških veščin, z obogatitvijo terminologije. z imeni lastnosti (kombinativna lastnost, distribucijska lastnost), imeni rangov in razredov, imeni večmestnih števil, značilnosti števil.

7.3.4. Učenje množenja in deljenja. Najprej se spomnimo glavnega pomeni množenja in deljenja.

Teoretično množice pomen operacij množenja, (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6; razdelitvena lastnost množenja glede na seštevanje (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ali v obliki pravil za množenje vsote z število in števila z vsoto: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; pravilo množenja razlike s številom: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; lastnosti, ki odražajo razmerje med seštevanjem in odštevanjem, množenjem in deljenjem: divizije Predstavimo jim besedilne naloge in slike zanje. a) »Na enem krožniku so 4 jabolka. Koliko jabolk je na 3 takih krožnikih? (slika 7.10 a); b) Na šahovskem turnirju so sodelovale 3 ekipe, od katerih so bile v vsaki 4 šahisti - kandidat za mojstra športa in šahisti 1., 2. in 3. kategorije. Koliko šahistov se je udeležilo turnirja?«; c) »Na enem krožniku so 4 jabolka, na drugem pa 3-krat več. Koliko jabolk je na drugem krožniku?«, »Na enem krožniku so 4 jabolka, to je 3-krat manj kot na drugem krožniku. Koliko jabolk je na drugem krožniku? (naloge z razmerji "več (manj) za ... krat", pri katerih je večje število neznano) (slika 7.10, c); d) Na koliko načinov je mogoče sestaviti par »kuverta, znamka«, če obstajajo 3 vrste ovojnic in 4 vrste znamk? (naloge za štetje števila kombinacij, pravilo izdelka) (slika 7.10, d).

Deljenje števil v množičnoteoretičnem smislu nastal kot oznaka dve vrsti praktične delitve skupine predmetov na dele, enake po številu predmetov, ki se v metodah poučevanja matematike imenujejo delitev po vsebini in delitev na enake dele. Delitev po vsebini: skupina predmetov je razdeljena na dele glede na dano enako število predmetov v vsakem delu in treba je ugotoviti, koliko takih delov je sestavljenih. Delitev na enake dele: skupina predmetov je razdeljena na določeno število enakih (po številu predmetov) delov in ugotoviti morate, koliko predmetov bo v vsakem delu.

Predmetno dejanje delitev po vsebini- to je zaporedno odlaganje določenega števila elementov, dokler niso vsi predmeti razloženi ali dokler ne ostane manj predmetov, kot bi jih moralo biti v enem delu. Postopek odlaganja ustreza objektivnemu pomenu odštevanja in ga lahko označimo z odštevanjem. Delitev deluje kot krajši zapis

1 Mikulina, G. G. Posploševanje znanja iz matematike z uporabo pravljičnih figur / G. G. Mikulina. – Osnovna šola, 1986. - št. 6 - Od 25.-29.

2 Matematika. Vilenkin N.Y., Pyshkalo A.M.

in drugi, M., 1977.

3 Ondar Ch. Etnokulturni vidiki pri oblikovanju numeričnih upodobitev // Osnovna šola. 2010. št. 11. – S. 4 zvezna vladne zahteve

strukturi osnovnega splošnoizobraževalnega programa predšolske vzgoje.

Odredba Ministrstva za izobraževanje in znanost Ruske federacije z dne 23. novembra 2009 št. 655 http://www.rg.ru/2010/03/05/obr-dok.html Datum dostopa 26.10.2011 5 Piaget J. Izbrana psihološka dela, M., 1994. 6 Menchinska N.A. Psihologija poučevanja aritmetike. – M., 1955. Menchinskaya N. A. Psihologija pridobivanja znanja v šoli.

M., 1959. Menchinskaya N. A., Moreau. M.I. Vprašanja metodologije in psihologije poučevanja aritmetike v

osnovna šola

. – M., 1965.

7 Kostyuk G.S. O genezi koncepta števila pri otrocih / Naukovi zapiski, T. 1. Raziskovalni inštitut za psihologijo, Kijev, 1949 8 L. S. Cvetkova. Nevropsihologija štetja, pisanja in branja: okvara in okrevanje, M., 2000; 9 L.F. Magnitski.

Aritmetika. 1703 / http://www.math.ru/lib/176 Datum dostopa: 29.09.2011

10 Galanin D.D. Zgodba

metodološke ideje

v aritmetiki v Rusiji. Del I. XVIII stoletja.

M., 1915.

11 Galanin D.D. Uvod v metodologijo aritmetike Moskva, 1911. 12 Kurganov S.Yu. Otrok in odrasli v vzgojnem dialogu.

M., 1988; Berlyand I.E. Številske uganke. M..1996

13 Bashmakov M.I., Nefedova M.G. Matematika. 1. razred. 1. del. M, 2006

14 Čekin A.L. Matematika. 1. razred. 1. del M., 2010

osnovnošolsko izobraževanje

matematika Novosibirsk, 1998.

17 Lysenkova S.N. Ko se je enostavno naučiti. – M.: 1985. 18 Ocenjevanje doseganja načrtovanih rezultatov v osnovni šoli. Sistem nalog. Ob 14. uri 1. del/ [M. Yu Demidova, S. V. Ivanov itd.]; uredil G. S. Kovaleva, O. B. Loginova - M. 2011. Str. 58 19 http://slovari.yandex.ru/~books/TSB/Princip dvojnosti/.

ru

Najdi

1) Preučevanje najpreprostejših izrazov oblike: vsota (2 + 3); razlika (5 -1); izdelek (3 4); zasebno (12:4).

2) Preučevanje zapletenih izrazov, ki vsebujejo dve ali več dejanj, z oklepaji in brez njih.

1) Pri delu z najpreprostejšimi izrazi v skladu z zahtevami programa se učitelj sooča z nalogo, da pri otrocih razvije sposobnost branja in pisanja takšnih izrazov.

Učenci se z izrazi prvič srečajo v prvem razredu pri temi »Števila od 1 do 10«, kjer se otroci prvič seznanijo z znaki dejanja »+« in »-«. Na tej stopnji otroci zapisujejo izraze in jih berejo, pri čemer se osredotočajo na pomen akcijskih znakov, ki jih prepoznajo kratko poimenovanje besedi "dodaj" in "spusti". To se odraža v branju izrazov: 3 + 2 (3 da 2); 3 - 1 (3 minus ena).

Postopoma se ideje otrok o teh dejanjih širijo. Učenci se bodo naučili, da če številu dodamo nekaj enot, ga povečamo za enako število enot, z odštevanjem pa zmanjšamo. To se odraža pri branju izrazov: 4 + 2 (4 povečano za dve enoti); 7 - 1 (7 zmanjša za eno enoto).

Nato se otroci naučijo imen akcijskih znakov plus in minus. (Pri učenju seštevanja in odštevanja prvih desetih števil). Ti izrazi se berejo drugače: 4 + 2 (4 "plus" 2); 7 - 1 (7 minus 1).

In šele ko se seznanite z imeni komponent in rezultati dejanja dodajanja, se uvede stroga matematična terminologija, poda se ime tega matematičnega izraza - "vsota", nekoliko kasneje pa se podobno uvede izraz "razlika". .

Imena naslednjih dveh matematične izraze»Produkt« in »kvocient« uvedemo podobno pri preučevanju operacij množenja in deljenja v drugem razredu. Tu se v drugem razredu uvajajo izrazi »izraz«, »pomen izraza«, ki naj bi jih tako kot druge matematične pojme otroci usvojili naravno, tako kot usvajajo druge zanje nove besede, če jih pogosto uporabljajo drugi in najdejo uporabo v praksi.

2) Poleg najpreprostejših matematičnih izrazov se preučujejo tudi kompleksni izrazi, ki vsebujejo dve ali več dejanj, z oklepaji in brez njih. Takšni izrazi se pojavljajo glede na obravnavo relevantnih vprašanj pri pouku matematike. Njihova obravnava pa je v glavnem podrejena enemu didaktični namen– razvijati zmožnost iskanja pomena izraza, kar je neposredno povezano s pravili za vrstni red izvajanja računskih operacij.

a) Prvo upoštevanje je pravilo o vrstnem redu operacij v izrazih brez oklepajev, ko sta pri številih samo seštevanje in odštevanje ali samo množenje in deljenje. Prve takšne izraze v obliki 5 + 1 + 1, 7 - 1 - 1 najdemo na samem začetku študija seštevanja in odštevanja števil znotraj 10. Že tukaj je glavna pozornost namenjena razjasnitvi vprašanja, kako razum pri računanju pomena izrazov. IN I-II razred so vaje: 70 – 26 + 10, 90 – 20 – 15, 42 + 18 – 19; v II. razredu so vaje: 4 · 10: 5, 60: 10 · 3, 36: 9: 2. Pri nadaljnjem pregledu podobnih izrazov pride do zaključka: v izrazih brez oklepaja sta dejanji seštevanje in odštevanje (množenje in delitev) se izvajajo v vrstnem redu, kot so zapisane: od leve proti desni.

b) Nato se pojavijo izrazi z oklepaji in spet je glavna pozornost namenjena pravilu o vrstnem redu izvajanja dejanj v izrazih z oklepaji. Tako otroke pravzaprav seznanimo z drugim pravilom o vrstnem redu operacij v izrazih, ki vsebujejo oklepaje. Vaje: 80 – (34+13), 85 – (46 – 14), 60: (30 – 20), 90: (2 ·5).

V drugem razredu se pri obravnavi operacij množenja in deljenja srečujemo z izrazi, ki vsebujejo dejanja seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje. Da bi razjasnili vprašanje vrstnega reda izvajanja dejanj v takšnih izrazih, je priporočljivo, da najprej upoštevamo izraz 3 · 5 + 3. Če uporabimo pomen dejanja množenja, pridemo do zaključka, da je vrednost tega izraz je 18. To pomeni vrstni red izvajanja dejanj. Posledično dobimo pravzaprav tretje pravilo o vrstnem redu operacij v izrazih brez oklepajev, ki vsebujejo operacije seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja: v izrazih brez oklepajev se najprej izvedejo operacije množenja ali deljenja, nato pa operacije seštevanja ali odštevanja v vrstnem redu, v katerem so zapisani. Hkrati je podan vzorec sklepanja, kjer je pozornost namenjena izgovorjavi vmesni rezultat, ki omogoča opozarjanje možne napake otroci. Vaje: 21 + 9 : 3, 34 – 12 2, 90 : 30 – 2, 25 4 + 100.

Pravila o vrstnem redu izvajanja aritmetičnih operacij si zaslužijo posebna pozornost. To je eno od zapletenih in abstraktnih vprašanj začetnega tečaja matematike. Delo na njem zahteva številne časovne porazdelitve vadbene vaje. Sposobnost uporabe teh pravil v praksi izračunov je vključena v osnovne zahteve programa ob koncu vsakega leta, začenši z drugim razredom in ob koncu usposabljanja v osnovnih razredih.

vaje:

1. Od danih parov primere izberite samo tiste, kjer se izračuni izvajajo po pravilih vrstnega reda dejanj: 20 + 30: 5 = 10, 20 + 30: 5 = 26, 42 – 12: 6 = 40,

42 – 12: 6 = 5, 6 5 + 40: 2 = 50, 6 5 + 40: 2 = 35.

Po razlagi napak dajte nalogo: spremenite vrstni red dejanj, tako da ima izraz nastavljeno vrednost.

2. Postavite oklepaje, tako da ima izraz navedeno vrednost:

72 – 24: 6 + 2 = 66, 72 – 24: 6 + 2 = 6, 72 – 24: 6 + 2 = 10, 72 – 24: 6 + 2 = 69

Vklopljeno lansko leto poučevanja v osnovni šoli obravnavana pravila dopolnjujejo nova pravila za otroke o vrstnem redu izvajanja dejanj v izrazih, ki vsebujejo dva para oklepajev ali dva dejanja v oklepajih. Na primer: 90 8 – (240 + 170) + 190, 469 148 – 148 9 + (30 100 – 26 909), 65 6500: (50 + (654 – 54)).

Seznanitev z enakimi transformacijami izrazov. Identična transformacija izraza je zamenjava podani izraz drugega, katerega vrednost je enaka vrednosti danega izraza. Takšne pretvorbe izrazov izvajajo na podlagi lastnosti aritmetičnih operacij in posledic, ki iz njih izhajajo (kako številu prišteti vsoto, kako od vsote odšteti število, kako število pomnožiti s produktom itd.) Na primer: Nadaljujte s pisanjem tako, da ostane znak »=«:

76 – (20 + 4) = 76 – 20…

(10 + 7) 5 = 10 5 …

60: (2 10) = 60: 10…

S pomočjo znanja o lastnostih dejanj za utemeljitev računskih metod učenci izvajajo transformacije izrazov oblike:

36 + 20 + (30 + 6) =+ 20 = (30 + 20) + 6 = 56

72: 3 = (60 + 12) : 3 = 60: 3 + 12: 3 = 24

18 30 = 18 (3 10) = (18 3) 10 = 540

Treba je razumeti, da so vsi ti izrazi povezani z znakom "=", ker imajo enak pomen.

Identične transformacije izrazov se izvajajo tudi na podlagi specifičnega pomena dejanj. Na primer, vsota enakih členov se nadomesti z zmnožkom: 6 + 6 + 6 + 6 = 6 4 in obratno, 6 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Tudi glede na pomen dejanja množenja, se bolj preoblikujejo zapleteni izrazi: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6 – 7 = 7 5.

Če v izrazih z oklepaji oklepaji ne vplivajo na vrstni red dejanj, jih lahko izpustimo: (30 + 20) + 10 = 30 + 20 + 10, (10 6) : 4 = 10 6 : 4 itd.

Nato učenci s pomočjo naučenih lastnosti dejanj in pravil za vrstni red dejanj vadijo pretvorbo izrazov z oklepajem v enake izraze brez oklepaja. Na primer: zapišite izraze brez oklepajev, tako da se njihove vrednosti ne spremenijo: (65 + 30) – 20, (20 + 4) 3, 96 – (46 + 30)

Razmislimo, katera teoretična in praktična vprašanja se preučujejo v temi "Aritmetične operacije", kakšna je stopnja njihovega razkritja in vrstni red uvajanja.

Specifični pomen aritmetičnih operacij, tj. povezave med operacijami na množicah in ustreznimi aritmetičnimi operacijami (na primer povezava med operacijo združevanja disjunktnih množic in akcijo seštevanja). Poznavanje specifičnega pomena aritmetičnih operacij mora biti pridobljeno na ravni empirično posploševanje: učenci se morajo naučiti praktično vzpostavljati povezave med operacijami na množicah in računskimi operacijami pri iskanju rezultatov računskih operacij v številnih primerih ter izbirati računske operacije pri reševanju besedilnih nalog. aritmetične težave.

Lastnosti aritmetičnih operacij. To so matematične določbe o identičnih transformacijah matematičnih izrazov; odražajo, pri katerih transformacijah danega matematičnega izraza se njegova vrednost ne spremeni. Začetni tečaj matematike vključuje lastnosti, ki so teoretična osnova računalniške tehnike.

IN začetni tečajštudirajo se matematiki naslednje lastnosti aritmetične operacije: komutativne in asociativne lastnosti seštevanja, lastnost odštevanja števila od vsote, lastnost odštevanja vsote od števila, lastnost odštevanja vsote od vsote, komutativne in asociativne lastnosti množenja, razdelilna lastnost množenja glede na seštevanje, lastnost deljenja vsote s številom, lastnost deljenja števila s produktom .

Lastnosti aritmetičnih operacij, ki jih predvideva program, je treba usvojiti na ravni konceptualne posplošitve: učenci morajo poznati njihovo formulacijo in jih praktično uporabljati pri utemeljevanju računskih tehnik, pri reševanju problemov, enačb, vaj na transformacije identitete itd.

Druge lastnosti aritmetičnih operacij (obstoj in enkratnost rezultata, monotonost vsote in zmnožka itd.) so razkrite na ravni empirične posplošitve: učenci z njimi praktično operirajo, formulacija lastnosti ni podana.

Povezave med komponentami in rezultati aritmetičnih operacij. To so matematične izjave, ki odražajo, kako je vsaka komponenta aritmetičnih operacij izražena z rezultatom in njegovo drugo komponento.

Pri začetnem tečaju matematike se najprej prouči povezava med komponentami in rezultatom dejanja seštevanja, nato pa še povezava med komponentami in rezultatom dejanj odštevanja, množenja in deljenja.

Znanje o povezavah mora biti pridobljeno na ravni pojmovnega posploševanja: študent mora poznati ustrezno formulacijo in to znanje praktično uporabljati pri reševanju enačb in utemeljevanju računskih tehnik.

Spreminjanje rezultatov aritmetičnih operacij glede na spremembo ene od komponent, to je matematične določbe, ki označujejo, kako se vrednost izraza spreminja glede na spremembo ene od njegovih komponent.

V zvezi s tem materialom je zagotovljena empirična raven posploševanja: učenci, ki izvajajo posebne vaje, opazujejo ustrezne spremembe v konkretni primeri določite naravo spremembe rezultatov aritmetičnih operacij glede na povečanje ali zmanjšanje ene od komponent ali ugotovite kvantitativne spremembe– kako se bo rezultat spremenil, če eno od komponent povečamo ali zmanjšamo za več enot ali večkrat. Takšna opažanja bodo služila nadaljnjo osnovo uvesti pojem funkcije, hkrati sta odlične vaje razvojne narave.

Odnosi med komponentami in med komponentami ter rezultati aritmetičnih operacij. To so matematične določbe, ki odražajo razmerja »večje od«, »manjše od«, »enako« bodisi med komponentami (minuend je večji ali enak odštevancu) bodisi med komponentami in rezultati aritmetičnih operacij ( vsota je lahko večja od vsakega od členov ali pa je lahko enaka enemu ali vsakemu izmed členov). To gradivo se absorbira tudi na ravni empirične posplošitve: učenci z izvajanjem posebnih vaj vzpostavijo ustrezne odnose. Poznavanje teh odnosov služi tudi za namene funkcionalne propedevtike.

Pravila. To so najprej določbe, ki so posledice definicije računskih operacij in njihovega specifičnega pomena: pravila seštevanja in odštevanja s številom 0, množenja in deljenja s številkama 1 in 0, pa tudi zgodovinsko uveljavljena določila - pravila o vrstnem redu izvajanja računskih operacij v matematičnih izrazih. Učenci morajo razumeti besedilo pravil in jih znati praktično uporabljati.

Izrazi in simboli. V povezavi s preučevanjem teh vprašanj, povezanih s teoretičnim gradivom, je uvedena ustrezna terminologija in simbolika: ime aritmetičnih operacij, simboli, ki jih označujejo, in njihovo ime, ime komponent in rezultatov aritmetičnih operacij, ime aritmetičnih operacij. ustrezne matematične izraze. Pogoji morajo biti vključeni v aktivni slovar učenci in jih ti uporabljajo pri oblikovanju matematičnih izjav, se morajo učenci naučiti tudi pravilne uporabe ustreznih simbolov. Vneseni so izrazi in simboli tesna povezava s študijem ustreznih aritmetičnih operacij.

Skupaj z teoretično gradivo in v organska povezava se zdravi praktična vprašanja: računske tehnike in reševanje aritmetičnih problemov. Računalniške tehnike so tehnike za iskanje rezultatov aritmetičnih operacij. Računalniške tehnike so razkrite na podlagi eksplicitne uporabe ustreznih teoretične določbe. Na primer, na podlagi komutativne lastnosti seštevanja je uvedena tehnika preurejanja členov. Vsak center preučuje računalniške tehnike nad celimi števili. nenegativna števila ustrezen segment naravne serije (v prvi koncentraciji - znotraj 10, v drugi - znotraj 100 itd.). V koncentraciji »Desetka« se preučujejo samo tehnike seštevanja in odštevanja, v preostalih koncentracijah pa tehnike vseh štirih računskih operacij.

Vrstni red uvedbe vseh zgornjih vprašanj je predmet glavni cilj preučevanje aritmetičnih operacij - oblikovanje zavestnih, močnih, samodejnih računskih veščin.

3. Splošne določbe metode oblikovanja pojmov in predstav o računskih operacijah pri osnovnošolcih.

Učenčevo usvajanje teoretičnega gradiva se zmanjša na usvajanje bistvenih vidikov matematičnih principov, ki se preučujejo, na ravni posploševanja, ki jo predvideva program. Posledično naj bodo vse dejavnosti študentov pri pridobivanju znanja usmerjene v osvetljevanje in razumevanje bistvenih vidikov teoretičnih principov, ki se preučujejo. To poteka predvsem tako, da učenci izvajajo ustrezen sistem vaj, ki je podrejen ciljem posamezne stopnje oblikovanja znanja. V metodologiji oblikovanja znanja obstajajo naslednje korake: pripravljalna faza, seznanitev z novo snovjo, utrjevanje znanja.

Na stopnji priprave na seznanitev z novim teoretičnim gradivom Najprej so predvidene vaje za reprodukcijo predhodno pridobljenega znanja, ki so sredstvo za asimilacijo novega znanja. V večini primerov je v tem obdobju priporočljivo ustvarjati v glavah otrok " predmetni modeli» generirano znanje z izvajanjem operacij na množicah. Na primer, preden se seznanite z poseben pomen izvesti dodatne ukrepe zadostna količina vaje za izvedbo operacije združevanja disjunktnih množic (4 kroglicam seštej 3 kroglice in ugotovi, koliko je kroglic), ki bodo kasneje služile kot osnova za seznanitev s pomenom operacije seštevanja.

Na stopnji seznanitve z novim gradivom bistveni vidiki matematičnih trditev, ki se preučujejo, se razkrijejo s pomočjo sistema vaj, ki jih izvajajo učenci. Pri seznanjanju z lastnostmi aritmetičnih operacij, povezavami in odvisnostmi med njihovimi komponentami in rezultati je bolj priporočljiva uporaba metoda hevrističnega pogovora, neuspešni učenci induktivno do »odkrivanja« ustreznega vzorca in prepričevanja o njegovi veljavnosti z vizualnimi sredstvi. Pri seznanjanju s pravili, pri uvajanju terminologije in simbolov uporabljajte metoda razlage, tj. Učitelj snov predstavi, učenci pa jo zaznajo.

Po pregledu induktivno s specifičnim pomenom računskih operacij, z njihovimi lastnostmi, povezavami in odvisnostmi med sestavinami in rezultati so učencem ponujene vaje, pri katerih se ob izvajanju pojavijo ustrezni vzorci. Študenti, ki jih analizirajo, prepoznajo bistvene značilnosti oblikovanega znanja in, odvisno od stopnje njegove posplošitve, ali oblikujejo več posebnih zaključkov (z empirični ravni), ali od njih preidejo na splošni zaključek(na konceptualni ravni). Pomembno je poudariti ne le bistvene značilnosti, ampak tudi številne nebistvene lastnosti. Na primer, razmislite, kako lahko uvedete komutativno lastnost množenja. Učenci naj razporedijo 6 kvadratov v vsaki vrsti v 4 vrstice in ugotovijo skupna količina kvadrati, ki so bili postavljeni. Hkrati je pozornost učencev opozorjena na dejstvo, da štetje skupno število kvadratov lahko izvedemo na dva načina: 6* 4 = 24 in 4* 6 = 24. Pri primerjavi prejetih zapisov učenci ugotavljajo podobne značilnosti (produkti so podani, enaki faktorji so enaki, vrednosti produktov so enako) in značilne lastnosti(množitelji se zamenjajo). Nato se izvajajo podobne vaje, od katerih sta ena ali dve otroci. Po opravljenem dovolj vajah za primerjavo parov produktov učenci ugotovijo, da imajo vsi pari produktov enake faktorje in da so vrednosti produktov v vsakem paru enake, faktorji pa so zamenjani. Ta opažanja študentom omogočajo, da pridejo do splošnega zaključka, ki je formulacija komutativne lastnosti množenja: "Če faktorje zamenjamo, se vrednost produkta ne bo spremenila."

Pri tej metodi uvajanja novega materiala mora sistem vadbe izpolnjevati številne zahteve:

· Sistem vaj naj zagotavlja vizualno podlago za znanje, ki se oblikuje. Zato je pri izvajanju vaj v mnogih primerih pomembno, da uporabljamo jasnost: operacije na množicah (v obravnavanem primeru unija enakih disjunktnih množic kvadratov) in ustrezne matematične zapise (6* 4 = 24 in 4* 6 = 24). To ustvarja priložnost, da otroci sami »odkrijejo« vzorce, ki jih preučujejo.

· Vaje morajo biti izbrane tako, da bistvene plati oblikovanega znanja ostanejo nespremenjene, nebistvene pa se spremenijo. Torej, za komutativno lastnost množenja bistvene lastnosti bo: produkti imajo enake faktorje, produkti se razlikujejo po vrstnem redu faktorjev, vrednosti produktov so enake; Nepomembne lastnosti so same številke in njihovo razmerje. Zato jih morate pri izbiri parov del vzeti iz različne številke, števila pa so v različnih razmerjih (6* 4 in 4* 6; 2*5 in 5* 2; 7* 3 in 3* 7 itd.). To bo študentom omogočilo, da izpostavljajo ne le bistvene, ampak tudi nebistvene značilnosti novega znanja, kar bo prispevalo k pravilnemu posploševanju.

· Študente je treba spodbujati, da ustvarijo vaje, podobne tem, o katerih se razpravlja. Sposobnost sestavljanja takšnih nalog bo pokazala, da so učenci prepoznali bistvene vidike znanja, ki se oblikuje.

· Pri seznanjanju z novim gradivom pogosto pride do situacij, ko so otrokove prejšnje izkušnje tako pozitivne kot negativen vpliv osvojiti novo snov. To je treba upoštevati pri uvajanju novega gradiva in ponuditi posebne vaje za primerjavo in primerjanje vprašanj, ki imajo nekaj podobnosti. Na primer, preden se naučite komutativne lastnosti množenja, morate ponoviti komutativno lastnost seštevanja in uporabiti isto tehniko. V tem primeru bo analogija pomagala pri obvladovanju nove lastnosti. Pred študijem razdelitvena lastnina Pri množenju glede na seštevanje je koristno ponoviti asociativno lastnost seštevanja, da preprečimo zamenjavo teh lastnosti in pojav napak pri učenju nove lastnosti.

Torej, kot rezultat izvajanja posebnih vaj, študente vodijo bodisi do splošne formulacije matematične izjave, ki se preučuje, bodisi le do posebnih zaključkov.

Na stopnji utrjevanja znanja Kot rezultat tega, da učenci opravijo sistem vaj za uporabo preučene snovi, se njihovo znanje obogati z novimi specifičnimi vsebinami in vključi v sistem obstoječega znanja. Utrjevanje znanja vsakega matematičnega položaja je doseženo kot rezultat opravljenih študentov. poseben sistem vaje, ob upoštevanju splošne zahteve:

· Vsaka vaja sistema mora imeti možnost uporabe ustvarjenega znanja. Nato bo učenec, ki jih izvaja, vsakič poudaril bistvene lastnosti oblikovanega znanja in ga s tem bolje usvojil. V tem primeru so na prvem mestu vaje, ki jih je mogoče izvajati tako na podlagi uporabe znanja, ki se oblikuje, kot drugega predhodno pridobljenega znanja. Izvajanje tovrstnih vaj z ustrezno tehniko ustvarja prave priložnosti posplošiti znanje, ki ga oblikuje vsak študent.

· Vaje za uporabo znanja naj temeljijo na različnih specifičnih vsebinah (reševanje računskih nalog, primerjanje matematičnih izrazov ipd.). To bo zagotovilo oblikovanje smiselnega in fleksibilnega znanja ter preprečilo njegovo formalno asimilacijo.

· Sistem vaj naj zagotavlja vzpostavljanje znotrajpojmovnih povezav (povezave med računskimi operacijami, med njihovimi lastnostmi itd.) in medpojmovnih povezav (povezave med sestavinami in rezultati računskih operacij z rešitvijo enačb). To določa vključitev novega znanja v sistem obstoječega znanja.

· Vaj mora biti dovolj, da se zagotovi trdnost oblikovanega znanja.

· Vaje morajo biti študentom dostopne in se gibljejo od preprostih do zapletenih.

· Sistem naj zagotavlja posebne vaje, ki učence pripravljajo na obvladovanje vprašanj praktične narave: računanje, reševanje aritmetičnih problemov, reševanje enačb itd.

· Na tej stopnji je treba bolj kot na prejšnji predvideti vaje za primerjavo in primerjanje nove snovi s predhodno naučeno snovjo, kar bo preprečilo zamenjavo podobnih vprašanj in pomagalo pri vzpostavljanju znotrajpojmovnih in medpojmovnih povezav.

· Pri organizaciji študentskih dejavnosti na tej stopnji je treba metodo uporabljati pogosteje samostojno delo, v celoti spodbujati duševni razvoj učencev.

· Poleg tega je treba upoštevati, da mlajši šolarji Snov se bolje naučijo, če je vključena v pouk v majhnih delih, vendar dovolj dolgo.

Priloga št. 1

Aritmetične operacije

Priloga št. 2

Povezane informacije.