Kapitulli 1. Shtim. Transformimi kartezian koordinatat drejtkëndore në aeroplan dhe në hapësirë. Sisteme të veçanta të koordinatave në aeroplan dhe në hapësirë.
Rregullat për ndërtimin e sistemeve të koordinatave në një rrafsh dhe në hapësirë janë diskutuar në pjesën kryesore të kapitullit 1. U vu re lehtësia e përdorimit të sistemeve të koordinatave drejtkëndore. Në përdorim praktik mjetet e gjeometrisë analitike, shpesh ekziston nevoja për të transformuar sistemin e përshtatur të koordinatave. Kjo zakonisht diktohet nga konsideratat e komoditetit: imazhet gjeometrike thjeshtohen, modelet analitike dhe shprehjet algjebrike të përdorura në llogaritjet bëhen më të qarta.
Ndërtimi dhe përdorimi sisteme të veçanta diktohen koordinatat: polare, cilindrike dhe sferike kuptimi gjeometrik problemi që zgjidhet. Modelimi duke përdorur sisteme të veçanta koordinative shpesh lehtëson zhvillimin dhe përdorimin e modeleve analitike në zgjidhjen e problemeve praktike.
Rezultatet e marra në Shtojcën e Kapitullit 1 do të përdoren në algjebër lineare, shumica- V analiza matematikore dhe në fizikë.
Shndërrimi i koordinatave drejtkëndëshe karteziane në rrafsh dhe në hapësirë.
Kur shqyrtohet problemi i ndërtimit të një sistemi koordinativ në një plan dhe në hapësirë, u vu re se sistemi i koordinatave formohet duke u kryqëzuar në një pikë. boshtet e numrave: kërkohen dy akse në një aeroplan, tre në hapësirë. Në lidhje me ndërtimin e modeleve analitike të vektorëve, futja e operacionit produkt me pika vektorëve dhe zgjidhjes së problemeve të përmbajtjes gjeometrike, u tregua se përdorimi i sistemeve të koordinatave drejtkëndore është më i preferuari.
Nëse kemi parasysh problemin e transformimit sistem specifik koordinon në mënyrë abstrakte, pastaj në rast i përgjithshëm do të ishte e mundur të lejohej një lëvizje arbitrare hapësirë e dhënë akset koordinuese me të drejtën për të riemërtuar në mënyrë arbitrare akset.
Do të nisemi nga koncepti parësor sistemet e referencës , i pranuar në fizikë. Duke vëzhguar lëvizjen e trupave, u zbulua se lëvizja trup i izoluar nuk mund të përcaktohet në vetvete. Ju duhet të keni të paktën një trup më shumë në lidhje me të cilin vërehet lëvizje, domethënë një ndryshim në të i afërm dispozitat. Për të marrë modele analitike, ligje dhe lëvizje, një sistem koordinativ u shoqërua me këtë trup të dytë, si një sistem referimi, dhe në atë mënyrë që sistemi koordinativ të ishte të ngurta !
Meqenëse lëvizja arbitrare e një trupi të ngurtë nga një pikë në hapësirë në tjetrën mund të përfaqësohet nga dy lëvizje të pavarura: përkthimore dhe rrotulluese, opsionet për transformimin e sistemit të koordinatave ishin të kufizuara në dy lëvizje:
1). Transferimi paralel: ndjekim vetëm një pikë - pikën.
2). Rrotullimi i boshteve të sistemit koordinativ në lidhje me një pikë: si një trup i ngurtë.
Shndërrimi i koordinatave drejtkëndore karteziane në një rrafsh.
Le të kemi sisteme koordinative në rrafsh: , dhe . Sistemi i koordinatave fitohet nga përkthimi paralel i sistemit. Sistemi i koordinatave fitohet duke rrotulluar sistemin përmes një këndi, dhe drejtimi pozitiv i rrotullimit merret si një rrotullim në drejtim të kundërt të akrepave të orës të boshtit.
Le të përcaktojmë vektorët bazë për sistemet koordinative të miratuara. Meqenëse sistemi është përftuar me transferim paralel të sistemit, atëherë për të dy këto sisteme pranojmë vektorët bazë: , dhe ato njësi dhe që përkojnë në drejtim me boshtet koordinative , përkatësisht. Për sistemin, marrim si bazë vektorët vektorë njësi, që përkon në drejtim me akset , .
Le të jepet një sistem koordinativ dhe të përcaktohet një pikë = në të. Do të supozojmë se para transformimit kemi sisteme koordinative që përputhen dhe . Aplikoni në sistemin e koordinatave transferim paralel, të përcaktuara nga vektori. Kërkohet të përcaktohet transformimi koordinativ i një pike. Le të përdorim barazinë e vektorit: = + , ose:
Le të ilustrojmë transformimin e përkthimit paralel me një shembull të njohur në algjebrën elementare.
Shembulli D–1 : Është dhënë barazimi i parabolës: = = . Reduktoni ekuacionin e kësaj parabole në formën e saj më të thjeshtë.
Zgjidhje:
1). Le të përdorim teknikën shkarkimi katror i plotë : = , e cila mund të paraqitet lehtësisht si: –3 = .
2). Le të zbatojmë transformimin e koordinatave - transferim paralel := . Pas kësaj, ekuacioni i parabolës merr formën: . Ky transformim në algjebër përcaktohet si më poshtë: parabola = fitohet me zhvendosje parabola më e thjeshtë djathtas me 2 dhe lart me 3 njësi.
Përgjigje: forma më e thjeshtë parabolat: .
Le të jepet një sistem koordinativ dhe të përcaktohet një pikë = në të. Do të supozojmë se para transformimit kemi sisteme koordinative që përputhen dhe . Le të zbatojmë një transformim rrotullimi në sistemin e koordinatave në mënyrë që në lidhje me pozicionin e tij origjinal, domethënë në lidhje me sistemin, të rezultojë të rrotullohet nga një kënd. Kërkohet të përcaktohet transformimi koordinativ i pikës = . Le të shkruajmë vektorin në sistemet koordinative dhe : = .
Në të njëjtën kohë, për çdo kënd kemi: 
gjë që vërehet fare thjesht nga figura. Pastaj: = . Kjo e fundit mund të shkruhet në formën: = . Nga barazia vektoriale fitojmë transformimin e koordinatave për pikën: .Shkelja e të drejtës së autorit dhe
Transformimet në aeroplan dhe në hapësirë
Në grafikën kompjuterike, çdo gjë që lidhet me kutinë e sheshtë zakonisht caktohet 2D (2-dimensionale) dydimensionale, dhe gjithçka që lidhet me rastin hapësinor është 3D.
Transformimet afine në sipërfaqe
Affinis – i lidhur (latinisht). Sepse figurat ruhen nën transformime afinike.
Supozoni se ekziston një sistem koordinativ drejtvizor (OXY). Pastaj, çdo pikë M mund të shoqërohet me një çift koordinatash (x,y). Duke futur një sistem tjetër koordinativ O * X * Y *, mund të caktoni një palë tjetër koordinatash (x *, y *) në të njëjtën pikë M. Kalimi nga një sistem në tjetrin:
x * =ax+nga+c, me kushtin |a b|¹0
y * =dx+ey+f |d e|
Këto formula mund të konsiderohen në dy mënyra, ose ruhet pika dhe ndryshohet sistemi i koordinatave, ose ruhet sistemi i koordinatave dhe ndryshohet pika. Në të ardhmen, këto formula do të konsiderohen pikërisht si një transformim i pikave në një sistem të caktuar koordinativ. Për më tepër, të gjitha sistemet në shqyrtim do të jenë drejtkëndëshe (formulat ju lejojnë të punoni me ato jo drejtkëndore).
 |
Duhet theksuar se koordinatat e pikës M mund të paraqiten si vektor nga origjina me koordinatat Mx, My.
Atëherë transformimi mund të shkruhet si forma vektoriale(kjo është e vërtetë vetëm për sistem drejtkëndor koordinatat).
M*=((M-O*)X*,(M-O*)Y*)
Ku janë koordinatat O* të origjinës së sistemit të dytë në koordinatat e të parit. X*,Y* - vektorët (drejtimet vektoriale) të sistemit të dytë të koordinatave në koordinatat e të parit.
a=(Xx*), b=(Xy*),c=-O*X*
d=(Yx*), e=(Yy*),f=-O*Y*
Ky transformim mund të shkruhet edhe në formë matrice
, ose 
, ku vektorët konsiderohen në formën e matricave të formës 1´2.
Elementi Cij i matricës C=AB është shuma e produkteve të elementeve të rreshtit të i-të të matricës A nga elementët e kolonës j të matricës B.
Konvertimi i kundërt– zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare, ose përdorimi i matricës së kundërt 
, por për rastin kur sistemi përfaqësohet me orte mund të jetë më i thjeshtë. Në këtë rast matricë e anasjelltë e barabartë me atë të transpozuar.
Transformimi afinal - transformimi gjeometrik plani ose hapësira ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ mund të merret duke kombinuar rrotullimin, përkthimin, reflektimet spekulare dhe shkallëzimi në drejtimet e boshteve të koordinatave.
Rrotullimi (R - rrotullimi). Rreth origjinës në një kënd a.
x * =x*cosa-y*sina
y * =x*sina+y*cosa
Tensioni, ngjeshja përgjatë akseve koordinative (D – dilatim).
Reflektimi (M – pasqyrë). Në lidhje me boshtin e abshisave.
Transferimi (T – përkthim).
Transferimi nuk mund të përfaqësohet si produkte të një vektori nga një matricë, por mund të përfaqësohet si një shumë vektorësh. 
Në rrjedhën e gjeometrisë analitike vërtetohet se çdo transformim mund të paraqitet si një ekzekutim (superpozicioni) vijues i këtyre shndërrimeve më të thjeshta.
Ndonjëherë është e përshtatshme të përfaqësohen të gjitha transformimet në një forma matrice, për këtë qëllim përdoren koordinata homogjene.
Koordinatat homogjene
Për pikën M me koordinatat x,y në rrafsh, koordinatat homogjene janë një trefish i numrave x1, x2, x3, të cilët janë njëkohësisht të pabarabartë me zero dhe të lidhura me marrëdhënie x1/x3=x, x2/x3=y. Një pikë me koordinata x,y në rrafsh shoqërohet me një pikë xh,y,h,h në një hapësirë homogjene, zakonisht h=1 (x,y,1).
Konvertimi i përgjithshëm pikë në koordinata homogjene ah mund të shkruhet në formë.
Dhe matricat bazë të transformimit do të duken kështu:
Kombinimi i transformimeve.
Supozoni se ju duhet të rrotulloni një pikë me një kënd rreth një pike A.
Së pari, zhvendoseni pikën A në origjinën e koordinatave (-Ax,-Ay). Kthesa tjetër. Më pas, transferojeni përsëri në pikën A. (Ax,Ay). Është e mundur të merret një transformim i vetëm
Transformimet afinale në hapësirë
Në hapësirën 3D, një pikë (vektor) përfaqësohet nga tre koordinata (x,y,z), ose katër koordinata homogjene (x,y,z,1).
Duhet të prezantohen konceptet e trefishit të majtë dhe të djathtë të vektorëve. Tre vektori a,b,c formoni një treshe me dorën e djathtë nëse, pas kombinimit të fillimeve të vektorëve, një vëzhgues që shikon nga fundi i vektorit c duke shkuar në drejtim të kundërt të akrepave të orës, nga a në b i shfaqet kthesa më e shkurtër. Rregulli dora e djathtë– vektori a është në linjë me bërrylin, vektori b përfshihet në pëllëmbë, vektori c përkon me gishtin e madh. Një sistem koordinativ zakonisht quhet i djathtë nëse vektorët e drejtimit të tij formojnë një treshe me dorën e djathtë.
Vepra arti vektoriale c=a´b, c është një vektor pingul me të dy vektorët, duke formuar një treshe të djathtë me ta.
Cx=Ay*Bz-Az*By, Cy=Az*Bx-Ax*Bz, C z=Ax*By- Ay*Bx
Transformimet mbeten të njëjta: rrotullimi (vetëm tani rreth tre boshteve), shtrirja, reflektimi (në lidhje me tre plane), transferimi.
Rrotullimi në drejtim të kundërt të akrepave të orës, nëse shihet nga origjina për sistemin koordinativ të majtë (për të djathtën, anasjelltas).
, 
, 
, 
, 
, 
Për shembull, ju duhet të ndërtoni një matricë rrotullimi rreth një vije të drejtë me një vektor drejtimi L që kalon nëpër pikën A.
1. Transferimi i A në origjinë
2. Përafrimi i vijës së drejtë me boshtin X.
Së pari rrotullohu rreth boshtit X
sipas këndit a, cosa=Lz/d, sina=Lx/d, ku d=
Nëse d=0, atëherë drejtëza tashmë përkon me boshtin X.
Më pas rrotullohu rreth boshtit Y me një kënd b.
Vektori i rrotulluar është (Lx,Ly,Lz,1)=(Lx,0,d,1).
cosb=Lx, sinb=d 
3. Rrotulloni rreth boshtit X në këndin e dëshiruar
4. Kthehu në boshtin L,
5. Transferimi në pikën A
Matrica e përgjithshme do të jetë
Konvertimi në një sistem koordinativ të specifikuar nga ortet
Nëse sistemi jepet nga një trefish i vektorëve njësi pingul X*,Y*,Z*.
, transformim i anasjelltë – matrica e transpozuar [R] T
Dizajn
Dizajni është jashtëzakonisht i rëndësishëm, para së gjithash, për t'u shfaqur objekte tredimensionale në një ekran të sheshtë, por ka aplikacione të tjera, të tilla si hijet.
Ekzistojnë dy lloje të dizajnit më të përdorura: paralel dhe qendror (perspektivë).
Kur projektoni një objekt në një plan, duhet të vizatoni një vijë të drejtë nga një rreze e caktuar projektuese përmes çdo pike të objektit dhe të gjeni kryqëzimin e kësaj vije të drejtë me rrafshin.
Në dizajn paralel trau përbëhet nga vija paralele, me një qendrore që kalon nëpër një pikë të caktuar.
Projeksionet paralele mund të ndahen në dy lloje, kur vijat e rrezeve janë pingul me rrafshin e projeksionit - projeksionet quhen aksonometrike, dhe kur jo, të zhdrejtë (ne nuk do t'i konsiderojmë projeksione të tilla).
Sidoqoftë, për të marrë një projeksion paralel aksonometrik të një objekti në ekran, duhet të kombinoni drejtimin e rrezes me një nga akset (zakonisht Z). Boshtet X dhe Y do të përkojnë me akset X,Y në ekran dhe boshti Z do të drejtohet thellë në ekran.
Për të marrë një projeksion perspektiv të një pike, është jashtëzakonisht e rëndësishme të vendosni pikën e zhdukjes së rrezes në origjinën e koordinatave, të rreshtoni drejtimin me ekranin (pingul nga pika e zhdukjes në planin e projektimit) me boshtin Z, pastaj Xp=X*d/Z, Yp=Y*d/Z, ku d është distanca nga origjina në planin e projeksionit.
Ky transformim mund të shkruhet si matricë. 
,
E vetmja gjë është se në një transformim të tillë thellësia (z) humbet, por mund të llogaritet nga koordinata e fundit e vektorit.
Përveç këtyre transformimeve të dizajnit, është jashtëzakonisht e rëndësishme të bëhen edhe disa të tjera për t'u siguruar që imazhi të duket saktë në ekran. Para së gjithash, duhet të shtrihet në madhësinë e dritares, së dyti, duhet të pasqyrohet rreth boshtit X (pasi boshti Y zakonisht drejtohet poshtë), së treti, duhet të zhvendoset në qendër të dritare.
Matrica e përgjithshme e transformimit është si më poshtë.
Cx,Cy – koordinatat e qendrës së ekranit.
raporti – raporti i madhësisë Y me madhësinë X, i ndryshëm për rezolucione të ndryshme të ekranit. Rezolucioni - numri i pikave për njësi sipërfaqe, në në këtë rast njësia - i gjithë ekrani i monitorit. Ekrani i monitorit ka një raport madhësia horizontale në vertikale 4/3, pra për rezolucionet me numrin e pikselave horizontale dhe vertikale që janë shumëfish i këtij numri raporti=1 (për shembull 640/480). Përndryshe raporti=(4*madhësi)/(3*madhësia) (320x200 =0,83).
S – faktori i shkallës, për projeksion paralel zgjedhur manualisht për projeksion perspektiv S është e barabartë me një, por d (distanca nga plani i projektimit) llogaritet bazuar në FOV (fusha e shikimit). FOV është këndi maksimal i formuar nga vijat e drejta në rreze, këndi i shikimit.
FOV zakonisht varion nga 50° në 100°, FOV e syrit të njeriut është 90°.
Bota, modeli dhe sistemet e koordinatave të ekranit
Bota është sistemi kryesor i koordinatave në të cilin specifikohen të gjitha objektet e skenës.
Modeli – sistemi koordinativ në të cilin struktura e brendshme objektet.
Ekrani 
– sistemi i koordinatave të vëzhguesit, i quajtur ndryshe edhe sistemi i koordinatave të kamerës.
Modeli zakonisht vendoset në sistemin e modelit në atë mënyrë që qendra e sistemit të përputhet ose me gjeometrinë ose qendrën e masës së modelit, boshti X përkon me drejtimin përpara, boshti Y përkon me drejtimin e duhur. , dhe boshti Z përkon me drejtimin lart.
Modeli specifikohet në sistemin e koordinatave botërore nga koordinatat e qendrës së modelit M (vektor) dhe orientimi (ose tre orte ose tre kënde rrotullimi (X), hapi (Y), kursi (Z), matrica është formuar si një sekuencë rrotullimesh). Për të transformuar nga koordinatat e modelit, së pari duhet të rrotulloheni sipas matricës orientuese dhe më pas të përktheni në .
Kursi Roll Pitch
Pozicioni dhe orientimi i kamerës mund të vendosen saktësisht në të njëjtën mënyrë si pozicioni i modelit. Por shpesh, mjafton vetëm drejtimi i pamjes së kamerës. Zakonisht (në jeta reale) kamera nuk ka rrotull, ᴛ.ᴇ. Boshti X (në të djathtë) është gjithmonë horizontal, dhe rrafshi YZ është për këtë arsye gjithmonë vertikal.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, nëse supozojmë se boshti Z i kamerës (drejtimi i shikimit) nuk është vertikal, atëherë mund të gjejmë boshtin X=Norm(Z´Up), ku Up(0,0,1) është një vektor vertikal ( X do të jetë pingul me vektorin vertikal Up, që do të thotë horizontale). Së fundi boshti Y=X´Z (lart). Sigurohuni që sistemi të mbetet i majtë.
Për të kthyer pikat nga sistemi botëror në pikat e ekranit, është thelbësore që së pari të aplikoni përkthimin dhe më pas të rrotulloheni nga matrica e orientimit të kamerës së transpozuar T.
Megjithatë, për të kthyer një pikë nga koordinatat e modelit në koordinatat e ekranit, është jashtëzakonisht e rëndësishme të kryhet transformimi i mëposhtëm T. Pas transformimeve të tilla, boshti Z do të drejtohet përgjatë drejtimit të pamjes dhe mund të bëhet projektimi.
Leksioni 6-7-8
Transformimet në aeroplan dhe në hapësirë - koncepti dhe llojet. Klasifikimi dhe veçoritë e kategorisë "Transformimet në aeroplan dhe në hapësirë" 2017, 2018.
Le të marrim një vektor në rrafsh (ose në hapësirë) (Fig. 142). Gjatë një transformimi afinal, pikat përkatësisht shndërrohen në pika që kanë të njëjtat koordinata në raport me kornizën e re që kishin pikat në raport me atë të vjetër. Meqenëse koordinatat e një vektori fitohen duke zbritur koordinatat e tij pikënisje nga koordinatat e fundit të tij, atëherë koordinatat e vektorit në raport me pikën e re të referimit janë të njëjta me koordinatat e vektorit në raport me pikën e vjetër. Kështu që:
Me një transformim afin, një vektor shoqërohet me një vektor që ka, në lidhje me kornizën e re, të njëjtat koordinata që kishte vektori në lidhje me atë të vjetër.
Menjëherë rrjedh se nën transformimin afin vektorë të barabartë përputhen të barabartë, pra:
2° Një transformim afin i një rrafshi (hapësirë) gjeneron një hartë një-me-një në vetvete (transformim) të varietetit V të të gjithë vektorëve të lirë të rrafshit (përkatësisht hapësirës).
Ky transformim ka pronën e mëposhtme lineariteti: nëse, me një transformim të dhënë, vektorët u, v korrespondojnë me vektorët u, v, atëherë vektori do t'i korrespondojë vektorit dhe vektori do t'i korrespondojë vektorit Lie (kjo mund të vërtetohet menjëherë duke shkuar në koordinatat). Nga vetia e linearitetit rezulton:
Nëse për një transformim të caktuar afine vektorët korrespondojnë me vektorët , atëherë çdo kombinim linear
vektorët korrespondojnë me një kombinim linear
vektorë (me koeficientë të njëjtë).
Meqenëse gjatë një transformimi afin, vektori zero padyshim korrespondon me zero, rrjedh nga ajo që është vërtetuar:
4° Me transformim afine varësia lineare vektorët ruhen, që do të thotë se çdo dy vektorë kolinearë kthehen në kolinear, çdo tre vektor koplanar bëhen koplanare).
5° Shndërrimi i anasjelltë në një transformim afine është një transformim afin.
Në fakt, nëse një transformim afin i dhënë A i rrafshit jepet nga kalimi nga korniza në kornizë, atëherë transformimi afin i dhënë nga kalimi nga korniza në kornizë është, siç mund të shihet lehtë, një transformim i kundërt në transformimin A.
E njëjta gjë vlen edhe për hapësirën.
Kemi parë se nën një transformim afinal është ruajtur varësia lineare e vektorëve. Të ruajtura dhe pavarësia lineare vektorët:
6° Nën një transformim afinal A, çdo linear Jo sistemi i varur vektorët e tyre,. kaloi në një të pavarur linearisht - përndryshe, me një transformim afinal të anasjelltë në A, një sistem linear i varur dhe, . do të bëhej linearisht i pavarur, gjë që, siç e dimë, është e pamundur.
Meqenëse korniza është një sistem linear vektorë të pavarur(dy në rrafsh, tre në hapësirë) aplikuar në një pikë të caktuar O, më pas nën një transformim afine çdo kornizë bëhet kornizë. Për më tepër, ekziston një propozim
7° Me një hartë afine (e dhënë nga kalimi nga korniza I në kornizë ) çdo kornizë II shkon në kornizë [ dhe çdo pikë M (çdo vektor u) shkon në pikën M (në vektor ) me të njëjtat koordinata në lidhje me kornizën si pika M dhe vektori dhe kishte në lidhje me pikën referuese II.
Prova në rastin e një avioni dhe në rastin e hapësirës është e njëjtë. Le të kufizohemi në rastin e një avioni. Le të jetë II korniza (Fig. 143), dhe korniza fillimisht le të jetë një deklaratë në lidhje me vektorët. Nëse vektori ka koordinata në lidhje me kornizën e referencës, atëherë . Por atëherë imazhi i vektorit është, nga vetia 3°, një vektor
që ka koordinata në lidhje me pikën referuese. Le të ketë pika M koordinata në lidhje me pikën e referencës.
Pastaj, në mënyrë që, sipas asaj të mëparshme, në lidhje me pikën e referencës, sektori OM, dhe rrjedhimisht pika M, të kenë koordinata. Deklarata është vërtetuar.
Deklarata e vërtetuar është domethënëse: prej saj rrjedh se, pasi të kemi përcaktuar një transformim afine nga një kalim nga një kornizë në një kornizë, ne mund ta përcaktojmë atë duke marrë çdo kornizë si fillestare dhe duke treguar kornizën në të cilën duhet të shkojë.
Si zbatim i vërejtjes së sapo bërë, vërtetojmë se produkti i dy transformimeve afine është një transformim afin.
Në të vërtetë, le të jepet transformimi afinal me kalimin nga korniza I në kornizën II. Sipas asaj që sapo është vërtetuar, ne mund të përcaktojmë një transformim afine duke lëvizur nga korniza II në një kornizë III. Pastaj transformimi afin i dhënë nga kalimi nga korniza I në kornizën III është padyshim produkt i transformimit dhe transformimit.
Vërejtje 1. Vetitë e sapo vërtetuara të transformimeve afinike 1° - 7° padyshim që vlejnë edhe për hartëzimin afinal të një rrafshi në tjetrin (një shembull i një hapësire tre-dimensionale në tjetrin).
Transformimi identik i një rrafshi, ose hapësire, është padyshim një transformim afin. Kujtoni se një transformim i anasjelltë me një afin është afin. Më në fund, siç sapo vërtetuam, produkti i dy transformimeve afine është një transformim afin. Nga këtu - bazuar në kushtin e dhënë në § 6, paragrafi 6, Shtojca - parimi kryesor vijon menjëherë:
Teorema 1. Në grupin e të gjitha shndërrimeve në rrafsh (hapësirë), shndërrimet afine formojnë një nëngrup.
Ndër transformimet afinale, lëvizjet dallohen nga fakti se ato mund të specifikohen me kalimin nga një sistem koordinativ drejtkëndor në tjetrin, gjithashtu drejtkëndor dhe me të njëjtën shkallë. Shndërrimi i kundërt në lëvizje është lëvizja, dhe produkti i dy lëvizjeve është lëvizja. Sepse transformimi i identitetit ka rast i veçantë lëvizje, atëherë (në analogji të plotë me Teoremën 1) kemi gjithashtu
Teorema 1. Në grupin e të gjitha shndërrimeve afine, lëvizjet formojnë një nëngrup.
Ne vazhdojmë të rendisim veçoritë më të thjeshta të transformimeve afine dhe pasqyrimeve.
Tri pika janë kolineare nëse dhe vetëm nëse vektorët janë kolinear. Dhe meqenëse kolineariteti i vektorëve ruhet gjatë një transformimi afin, ruhet edhe kolineariteti i pikave. Nga kjo rrjedh:
Me një hartë afinale (të një rrafshi ose hapësire), një vijë e drejtë bëhet një vijë e drejtë.
Tani do të japim një provë të dytë të këtij fakti.
Le të jepet një hartë afinale. Ai konsiston në faktin se çdo pikë M me koordinata (në sistemi i koordinatave) shkon në pikën M, e cila ka të njëjtat koordinata në sistemin e dytë. Kjo nënkupton:
9° Me një hartë të caktuar afine (të përcaktuar nga kalimi nga korniza në kornizë) bashkësia e të gjitha pikave, koordinatat e të cilave (në sistemin e koordinatave) plotësojnë disa Ekuacione hyn në bashkësinë e pikave, koordinatat e të cilave në sistem plotësojnë të njëjtin ekuacion. .
Në veçanti, vija e drejtë me ekuacionin
(në sistem) do të shkojë në një vijë të drejtë që ka të njëjtin ekuacion, por vetëm në sistemin koordinativ.
Në të njëjtën mënyrë, me një transformim afinal të hapësirës (të përcaktuar nga kalimi nga korniza në kornizë), një plan që ka në sistem ekuacionin
shkon në një plan që ka të njëjtin ekuacion (2), por vetëm në sistemin koordinativ .
Një vijë e drejtë e përcaktuar në hapësirë nga "ekuacioni i saj i përgjithshëm"
ose një ose një version tjetër të veçantë të tij, për shembull, ekuacioni kanonik
me një transformim të dhënë afine, ai do të shndërrohet në një vijë të drejtë që ka të njëjtat ekuacione, por vetëm në sistemin koordinativ . Pra është e provuar
Teorema 2. Me një transformim afinal të një rrafshi, përkatësisht të hapësirës, drejtëzat kalojnë në drejtëza, rrafshet në rrafshe.
Në të njëjtën kohë, paralelizmi ruhet.
Në fakt, nëse dy drejtëza (ose dy rrafshe, ose një drejtëz dhe një rrafsh) janë paralele, atëherë ekuacionet e tyre në lidhje me kornizën plotësojnë kushtet e njohura të paralelizmit; por imazhet e këtyre vijave (rrafsheve) kanë të njëjtat ekuacione në lidhje me kornizën, dhe, për rrjedhojë, plotësojnë të njëjtat kushte paralelizmi.
Vërejtje 2. Ruajtja e paralelizmit nën një transformim afine mund të konkludohet gjithashtu duke përdorur faktin se transformimi afinik është një me një.
Në të vërtetë, për çdo hartë një-për-një (për shembull, një hapësirë në vetvete), imazhi i kryqëzimit të dy (çdo) grupesh është kryqëzimi i imazheve të këtyre grupeve.
Kjo do të thotë që dy grupe kryqëzuese bëhen grupe kryqëzuese nën çdo hartë një-me-një.
Nga kjo rrjedh se me një transformim afinal të një rrafshi ka dy drejtëza paralele, dhe me një hartë afine të hapësirës janë dy plane paralele shkojnë në paralele; ruhet edhe vetia e paralelizmit ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit.
Le të jepen dy drejtëza paralele në hapësirë; ato shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kryqëzohen. Me një transformim afinal të hapësirës, këto dy drejtëza do të kthehen në dy drejtëza që gjithashtu shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kryqëzohen, pra në dy drejtëza paralele.
Teorema 3. Kur një transformim afin i një plani (hapësire) e shndërron drejtëzën d në drejtëz, një segment i drejtëzës d shkon në një segment të drejtëzës dhe pika M e drejtëzës d duke e ndarë segmentin në ne kete aspekt K, shkon në pikën
M është një vijë e drejtë d që ndan segmentin në të njëjtin raport (Fig. 144).
Dëshmi. Meqenëse për A pozitive marrim pika që shtrihen brenda segmentit (përkatësisht, dhe për negative - jashtë këtij segmenti), atëherë e para rrjedh nga pohimi i dytë i Teoremës 3. Ne vërtetojmë pohimin e dytë të Teoremës 3, duke u kufizuar në rastin e një rrafsh Le të (në sistemin koordinativ) kemi
Meqenëse pika M ndan segmentin në lidhje me , atëherë
në hapësirë këto barazi do të plotësohen nga barazia . Me këtë transformim afinal, pikat do të kthehen në pika me të njëjtat koordinata si pikat, por vetëm në sistemin koordinativ. Këto koordinata janë ende të lidhura me relacione (3), nga të cilat rezulton se segmenti MM ndahet në raport. Kjo vërteton teoremën 3.
Le të, nën një transformim afinal A të hapësirës, një plan të hartohet në një plan. Le të marrim një pikë referimi në rrafsh, d.m.th., një palë vektorësh jokoliarësh të aplikuar në një pikë o (Fig. 145). Kur transformohet A, pika rreth rrafshit do të shkojë në pikën rreth rrafshit, vektorët jokolinearë do të kalojnë në vektorë jokolinearë, d.m.th., pika e referencës nga rrafshi do të kalojë në pikën e referencës së planit.
Çdo vektor i shtrirë në rrafsh do të shndërrohet në një vektor që shtrihet në rrafsh me të njëjtat koordinata në lidhje me pikën e referencës që kishte vektori në lidhje me pikën e referencës. Nga kjo rezulton se çdo pikë M e rrafshit do të shkojë në një pikë M të rrafshit, e cila ka, në lidhje me pikën e referencës, të njëjtat koordinata që pika M kishte në plan në lidhje me pikën e referencës. Me fjalë të tjera, Teorema 4. Le të, nën një transformim afinal të hapësirës, rrafshi i shkon në rrafsh. Më pas, transformimi A harton një plan referimi arbitrar në një plan referencë të caktuar dhe i cakton secilës pikë M të rrafshit një pikë M të planit, e cila ka, në lidhje me pikën e referencës, të njëjtat koordinata që pika M kishte në lidhje me referencën. pikë. Me fjalë të tjera: transformimi A gjeneron një hartë afinale të planit në plan.
Siç mund ta merrni me mend, me hapësirën gjithçka është njësoj si me një aeroplan. Të gjitha rregullat që kishin të bënin me AP në koordinatat homogjene në aeroplan ruhen në hapësirë, të gjitha problemet që ishin në aeroplan mbeten në hapësirë. Mund të supozohet se të gjitha këto rregulla janë të vlefshme për cilindo hapësirë n-dimensionale. Ajo që duhet të mbani mend mirë: ekziston koncepte të ndryshme: vektori i rrezes është në thelb një pikë në CG, dhe vektori i lirë është thjesht drejtimi, dhe koncepti i tretë është normali. Transformimet janë përcaktuar ndryshe për ta. Në hapësirë gjithçka është e njëjtë, dhe në hapësirë është më e rëndësishme, sepse Ka shumë probleme në grafikat tredimensionale që nuk hasen shpesh ose nuk hasen në një aeroplan.
Pra, në hapësirë kemi tre koordinata x, y, z dhe koordinata W futet shtesë për të marrë vetinë e homogjenitetit. Gjithashtu për AP supozojmë se W=1 dhe më pas (x, y, z) = ( , ).
Transformimet në rastin e përgjithshëm mund të përfaqësohen si një produkt skalar i një vektori - një rresht dhe një matricë transformimi - rrëshqitje 29:
Ka 12 koeficientë në matricë. Blloku (3x3) (si në një bllok 2D (2x2)) është përgjegjës për transformimet - rrotullimin, shkallëzimin... Fundi është përgjegjës për përkthimin paralel, kolona e djathtë duhet të jetë përgjegjëse për transformimet e perspektivës, por ne nuk do të marrim parasysh këto çështje tani për tani. Matricat e transformimit kanë një pamje dhe kuptim të ngjashëm - (rrëshqitje 30)
dhe kthehet - (rrëshqitje 31)
Nëse kujtojmë shembullin e rrotullimit të një pike, atëherë kjo nuk mund të bëhet në hapësirë po aq lehtë. Rrotullimi i konsideruar në aeroplan është kryer në thelb rreth boshtit Z, dhe nëse është e nevojshme të rrotullohet një pikë në hapësirë, atëherë nuk mund të specifikohet pa mëdyshje veprim i thjeshtë. Do të përshkruhet nga tre matrica– rreth boshtit Z, boshtit X, boshtit Y, d.m.th. do të duhet të ndahet në një numër veprimesh të veçanta - në tre komponentë.
Një shënim tjetër - përcaktori i matricës është i barabartë me 1. Kjo do të thotë që gjatë procesit të rrotullimit objekti nuk do të ndryshojë madhësinë e tij dhe nuk do të pësojë asnjë deformim, d.m.th. sillet si një trup i fortë. Këtij trupi mund t'i jepet orientimi i kërkuar në hapësirë. E njëjta gjë mund të thuhet për transferimin paralel.
Ka më shumë metodë universale duke kryer një rrotullim rreth një boshti arbitrar që kalon nga origjina. Matrica e një transformimi të tillë është ndërtuar mbi QUATERNIONS dhe është dhënë më poshtë:
Ju duhet të njiheni me kuaternionet!
Një shënim për kuaternionet.
Gjatë nxjerrjes së relacionit të fundit, u përdor koncepti i kuaternioneve. Ky është një sistem numrash hiperkompleks (propozuar në 1843 nga Hamilton, në atë kohë astronomi kryesor i Anglisë).
Një kuaternion është një çift (a, ū ). a është një skalar, një numër real. ū - vektor i hapësirës tredimensionale. Kuaternionet formojnë një sistem (seri) numrash hiperkompleks, të ngjashëm me seritë e tjera të numrave. Me pak fjalë, ky është një 4-komponent abstraksioni matematik me vetitë dhe rregullat e veta për kryerjen e veprimeve të mbledhjes dhe shumëzimit. Një kuaternion në përgjithësi mund të përfaqësohet si shuma a+bi+cj+dk, ku a,b,c,d – numra realë, dhe i, j,k janë të pareduktueshme njësi imagjinare, dhe për ta përcaktohet se
i 2 =j 2 =k 2 =ijk= -1;
Shembuj seri numrash:
Natyrore: 1,2,3,4,5….
Numrat e plotë: 0,1,-1,2,-2,…
Racionale: 1;-1;1/2; 0.12,..
Real: racional + iracional: π, e, ,….
Kompleksi: -1; ½; π; 3i+z; -еiπ/3;… (përfshi të gjitha të mëparshmet)
Kuaternionet: 1; -1; 1/2; unë; j; k; πj-1/2k; ...
9. Një shembull i një transformimi tredimensional - ndërtimi i një matrice të kamerës -(rrëshqitje 34)
Shumë shpesh kërkohet një ndryshim nga vëzhgimi në skenë. Ato. Ekziston një skenë e caktuar dhe ju dëshironi të ndryshoni vëzhgimin në këtë skenë duke përdorur një matricë transformimi tredimensionale.
Supozojmë se vëzhguesi virtual (kamera) ndodhet në një pikë "C" në sistem ortogonal koordinatat U,V,N
dhe ekziston një sistem tjetër koordinativ - X,Y,Z (botë). Koordinatat botërore përshkruajnë pozicionin e vërtetë të objekteve në hapësirë. Sistemi i koordinatave të ekranit është krijuar për të sintetizuar (krijuar) një imazh në një kompjuter. aeroplan. Ky sistem mund të jetë dy-dimensional ose tre-dimensional. Ekzistojnë gjithashtu sisteme të tjera koordinative si sisteme të pajisjeve të imazhit që shfaqin imazhin në një formë të caktuar.
Projeksioni- një metodë për të shfaqur një objekt në një pajisje grafike: ekran, letër, pëlhurë ose medium tjetër material në një aeroplan ose sipërfaqe.
Ne do të supozojmë se të dy sistemet e koordinatave janë me dorën e djathtë, dhe ai në kamerë dhe ai botëror. Kjo do të thotë që boshti Z është përballë nesh. Të gjithë vektorët e drejtimit janë të normalizuar dhe, natyrisht, ortogonalë. Kjo kërkohet për të zvogëluar grupin e llogaritjeve. Kamera C duhet të konsiderohet si një abstraksion i disponueshëm që përcaktohet një herë në program. Mund të konfigurohet paraprakisht dhe më pas të aplikohet në të gjitha objektet.
Çfarë do të thotë të konfigurosh? Të rregullosh do të thotë të ortonormalizosh të gjithë vektorët dhe t'i bashkërendosh me vektorë - drejtime në një CS tjetër. Dhe më pas aplikojeni për aq kohë sa e kërkon situata.
Çfarë do të kërkojmë? Ne do të kërkojmë një transformim që transferon një objekt nga sistemi i koordinatave botërore në sistemin koordinativ të vëzhguesit.
Si do ta bëjmë?
Së pari, le ta zhvendosim kamerën në origjinën e koordinatave CS të Botës në (- C z), (- C y), (- C x); atëherë do të rrotullohemi, dhe në atë mënyrë që boshti -U të përputhet me boshtin X, V përputhet me boshtin Y dhe boshti N me boshtin Z; ato. Ne do të kërkojmë një matricë transformimi në formën: përkthim-rotacion.
Meqenëse kamera është në pozicionin "C" me koordinata (x,y,z), është e nevojshme të kryhet përkthimi i saj i kundërt: matrica e përkthimit shfaqet në rrëshqitjen 33.
ku T është matrica e transferimit
Një transformim afinal është ai që ruan paralelizmin e vijave, por jo domosdoshmërisht këndet ose gjatësitë.
Në grafikën kompjuterike, gjithçka që lidhet me rasti dydimensional, zakonisht shënohet me simbolin 2D (2-dimensionale). Supozoni se një sistem koordinativ drejtvizor është futur në plan. Pastaj secilës pikë M i caktohet një çift i renditur numrash (x, y) të koordinatave të saj (Fig. 1).
Formulat e mësipërme mund të konsiderohen në dy mënyra: ose pika ruhet dhe sistemi i koordinatave ndryshon, me ç'rast një pikë arbitrare M mbetet e njëjtë, vetëm koordinatat e saj (x, y) (x*, y*) ndryshojnë, ose pika ndryshon dhe sistemi i koordinatave në këtë rast ruhet Në këtë rast, formulat përcaktojnë një hartë që merr një pikë arbitrare M(x, y) në një pikë M*(x*, y*), koordinatat e së cilës janë të përcaktuara në të njëjtin sistem koordinativ. Në të ardhmen, ne do të interpretojmë formulat, si rregull, që pikat e rrafshit transformohen në një sistem të caktuar koordinatash drejtvizore.
Në shndërrimet afinale të rrafshit rol të veçantë luajnë disa raste të veçanta të rëndësishme që kanë karakteristika gjeometrike të gjurmueshme mirë. Gjatë eksplorimit të kuptimit gjeometrik koeficientët numerikë në formulat për këto raste është e përshtatshme të supozohet se sistemi i dhënë koordinatat janë karteziane drejtkëndëshe.
Teknikat më të përdorura janë: grafika kompjuterike: përkthim, shkallëzim, rrotullim, reflektim. Shprehje Algjebrike dhe figurat që shpjegojnë këto transformime janë përmbledhur në Tabelën 1.
Transformimet afine në aeroplan
Me transferim nënkuptojmë zhvendosjen e primitivëve të daljes në të njëjtin vektor.
Shkallëzimi është zmadhimi ose zvogëlimi i të gjithë imazhit ose pjesës së tij. Gjatë shkallëzimit, koordinatat e pikave të imazhit shumëzohen me një numër të caktuar.
Rrotullimi i referohet rrotullimit të primitivëve të daljes rreth një boshti të caktuar. (Në planin e vizatimit, rrotullimi ndodh rreth një pike.)
Reflektimi i referohet marrjes së një imazhi pasqyre të një imazhi në lidhje me një nga boshtet (për shembull, X).
Zgjedhja e këtyre katër rasteve të veçanta përcaktohet nga dy rrethana:
1. Secili nga shndërrimet e mësipërme ka një kuptim gjeometrik të thjeshtë dhe të qartë (të pajisur edhe me një kuptim gjeometrik numra konstante përfshirë në formulat e mësipërme).
2. Siç vërtetohet në rrjedhën e gjeometrisë analitike, çdo transformim i formës (*) mund të paraqitet gjithmonë si një ekzekutim (mbivendosje) vijues i shndërrimeve më të thjeshta të formës A, B, C dhe D (ose pjesë të këtyre transformimet).
Kështu, sa vijon është e vërtetë pronë e rëndësishme transformimet afinike të planit: çdo hartë e formës (*) mund të përshkruhet duke përdorur pasqyrat e specifikuara nga formula A, B, C dhe D.
Për përdorim efektiv këto formulat e njohura në detyrat e grafikës kompjuterike është më i përshtatshëm përdorimi i tyre shënimi i matricës.
Për të kombinuar këto transformime, futen koordinata homogjene. Koordinatat homogjene të një pike janë çdo treshe jo njëkohësisht e barabartë me zero numrat x1, x2, x3 të lidhur me numrat e dhënë x dhe y nga relacionet e mëposhtme:
Atëherë pika M(x, y) shkruhet si M(hX, hY, h), ku h 0 është faktori i shkallës. Dy dimensionale Koordinatat karteziane mund të gjendet si
Në gjeometrinë projektive, këto koordinata futen për të eliminuar pasiguritë që lindin kur specifikohen elementë pafundësisht të largët (të papërshtatshëm). Koordinatat homogjene mund të interpretohen si një futje e një plani të shkallëzuar nga një faktor h në rrafshin Z= h në hapësirë tredimensionale.
Pikat në koordinatat homogjene shkruhen në vektorë rreshtash me tre elementë. Matricat e transformimit duhet të kenë madhësi 3x3.
Duke përdorur treshe koordinatash homogjene dhe matrica të rendit të tretë, mund të përshkruhet çdo transformim afinal i një rrafshi.
Në fakt, duke supozuar h = 1, le të krahasojmë dy hyrje: atë të shënuar me simbolin (*) dhe matricën e mëposhtme një:
Tani mund të përdorni kompozime transformimesh, duke përdorur një rezultante në vend të një serie transformimesh që pasojnë njëri-tjetrin. Ju mund, për shembull, detyrë e vështirë zbërthejeni atë në disa të thjeshta. Rrotulloni pikën A rreth pikë arbitrare Mund të ndahet në tre detyra:
transferim, në të cilin B = 0 (ku 0 është origjina);
kthesë;
transferim i kundërt, në të cilin pika B kthehet në vendin e saj, etj.
Përbërja është më pamje e përgjithshme nga operacionet T, D, R, M ka një matricë:
Pjesa e sipërme 2x2 në madhësi - një matricë e kombinuar e rrotullimit dhe shkallëzimit, dhe tx dhe ty përshkruajnë përkthimin total.
Transformimet themelore të përshkruara janë si më poshtë:
rrotullimi lëvizja e një dritareje në sipërfaqen e interpretimit (nëse lëvizja kufizohet vetëm në drejtimet lart e poshtë, atëherë quhet lëvizje vertikale);
zmadhimi ndryshim gradual në shkallën e imazhit;
salto një imazh dinamik i primitivëve të daljes që rrotullohen rreth një boshti të caktuar, orientimi i të cilit ndryshon vazhdimisht në hapësirë;
tigan transferimi gradual i një imazhi për të krijuar një ndjenjë vizuale të lëvizjes.
