SEKUENCA NUMERIKE VI
§ l48. Shuma pafundësisht në rënie progresion gjeometrik
Deri më tani, kur flasim për shuma, gjithmonë kemi supozuar se numri i termave në këto shuma është i kufizuar (për shembull, 2, 15, 1000, etj.). Por kur zgjidhni disa probleme (veçanërisht matematikë e lartë) duhet të merret me shumat numër i pafund kushtet
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Cilat janë këto shuma? A-parësore shuma e një numri të pafund termash a 1 , a 2 , ..., a n , ... quhet kufiri i shumës S n së pari P numrat kur P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Kufiri (2), natyrisht, mund të ekzistojë ose jo. Prandaj, ata thonë se shuma (1) ekziston ose nuk ekziston.
Si mund të zbulojmë nëse shuma (1) ekziston në çdo rast specifik? Vendim i përbashkët Kjo çështje shkon përtej qëllimit të programit tonë. Megjithatë, ka një të rëndësishme rast i veçantë, të cilën tani duhet ta konsiderojmë. Ne do të flasim për përmbledhjen e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.
Le a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Kjo do të thotë se | q |< 1. Сумма первых P kushtet e këtij progresi janë të barabarta
Nga teoremat kryesore për kufijtë variablat(shih § 136) marrim:
Por 1 = 1, a qn = 0. Prandaj
Pra, shuma e një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie është e barabartë me termin e parë të këtij progresioni të ndarë me një minus emëruesin e këtij progresioni.
1) Shuma e progresionit gjeometrik 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... është e barabartë me
dhe shuma e progresionit gjeometrik është 12; -6; 3; - 3/2 , ... e barabartë
2) E thjeshtë fraksion periodik 0.454545 ... konvertohet në të zakonshme.
Për të zgjidhur këtë problem, le të imagjinojmë thyesë e dhënë si një shumë e pafundme:
Pjesa e djathtë Kjo barazi është shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, termi i parë i të cilit është i barabartë me 45/100, dhe emëruesi është 1/100. Kjo është arsyeja pse
Duke përdorur metodën e përshkruar, mund të merret një rregull i përgjithshëm për shndërrimin e thyesave të thjeshta periodike në thyesa të zakonshme (shih Kapitullin II, § 38):
Për të kthyer një thyesë të thjeshtë periodike në një thyesë të zakonshme, duhet të bëni sa më poshtë: vendosni pikën në numërues dhjetore, dhe emëruesi është një numër i përbërë nga nëntë të marra aq herë sa ka shifra në periudhën e thyesës dhjetore.
3) Shndërroje thyesën periodike të përzier 0,58333 .... në një thyesë të zakonshme.
Le ta imagjinojmë këtë thyesë si një shumë të pafundme:
Në anën e djathtë të kësaj barazie, të gjithë termat, duke filluar nga 3/1000, formojnë një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, termi i parë i të cilit është i barabartë me 3/1000 dhe emëruesi është 1/10. Kjo është arsyeja pse
Duke përdorur metodën e përshkruar, mund të merret një rregull i përgjithshëm për shndërrimin e fraksioneve periodike të përziera në fraksione të zakonshme (shih Kapitullin II, § 38). Ne nuk e paraqesim qëllimisht këtu. Nuk ka nevojë të mbani mend këtë rregull të rëndë. Është shumë më e dobishme të dihet se çdo thyesë periodike e përzier mund të përfaqësohet si shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie dhe një numri të caktuar. Dhe formula
për shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, sigurisht që duhet të mbani mend.
Si ushtrim, ju sugjerojmë që, përveç problematikave Nr.995-1000 të dhëna më poshtë, t'i drejtoheni edhe një herë problemit nr.301 § 38.
Ushtrime
995. Si quhet shuma e progresionit gjeometrik pafundësisht në rënie?
996. Gjeni shumat e progresioneve gjeometrike pafundësisht në rënie:
997. Në çfarë vlerash X progresion
është në rënie pafundësisht? Gjeni shumën e një progresion të tillë.
998.V trekëndësh barabrinjës me anën A një trekëndësh i ri është gdhendur duke lidhur mesin e brinjëve të tij; një trekëndësh i ri është brendashkruar në këtë trekëndësh në të njëjtën mënyrë, dhe kështu me radhë ad infinitum.
a) shuma e perimetrave të të gjithë këtyre trekëndëshave;
b) shuma e sipërfaqeve të tyre.
999. Sheshi me faqe A një katror i ri është gdhendur duke lidhur mesin e anëve të tij; një katror është i gdhendur në këtë katror në të njëjtën mënyrë, dhe kështu me radhë ad infinitum. Gjeni shumën e perimetrave të të gjithë këtyre katrorëve dhe shumën e sipërfaqeve të tyre.
1000. Hartoni një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie të tillë që shuma e tij të jetë e barabartë me 25/4 dhe shuma e katrorëve të termave të tij të jetë e barabartë me 625/24.
Duke prezantuar shënimin në fillim të kapitullit, ne i shmangëm me zgjuarsi pyetjes së shumave të pafundme duke thënë në thelb: “Le ta lëmë këtë për më vonë. Ndërkohë, mund të supozojmë se të gjitha shumat që ndodhin kanë vetëm një numër të kufizuar termash jo zero! Por më në fund ka ardhur koha e llogarisë - duhet të përballemi me faktin se
shumat mund të jenë të pafundme. Dhe, në të vërtetë, shumat e pafundme vijnë me rrethana të këndshme dhe të pakëndshme.
Së pari, për të pakëndshmen: rezulton se metodat që kemi përdorur gjatë trajtimit të shumave nuk janë gjithmonë të vlefshme për shuma të pafundme. Dhe tani për gjërat e mira: ka një të madhe klasë e rregulluar shuma të pafundme, për të cilat të gjitha operacionet që ne kryenim ishin plotësisht të ligjshme. Arsyet pas të dyja rrethanave do të bëhen të qarta pasi të zbulojmë kuptimin e vërtetë të përmbledhjes.
Të gjithë e dinë se çfarë është shumën përfundimtare: i shtojmë të gjithë termat në total, njëri pas tjetrit, derisa të mblidhen të gjithë. Por një sasi e pafund duhet të përcaktohet në mënyrë më delikate për të mos hyrë në telashe.
është e barabartë me 2, pasi kur e dyfishojmë fitojmë
Por më pas, duke ndjekur të njëjtën logjikë, do të na duhet të llogarisim shumën
e barabartë me -1, sepse kur e dyfishojmë fitojmë
Diçka e çuditshme po ndodh: si mund të merrni një numër negativ, duke përmbledhur vlerat pozitive? Duket më mirë të lëmë shumën e T të papërcaktuar, dhe ndoshta duhet të supozojmë se meqenëse termat në T bëhen më të mëdhenj se çdo numër i caktuar i caktuar. (Vini re se sasia është një tjetër "zgjidhje" e ekuacionit; ajo gjithashtu "zgjidh" ekuacionin
Le të përpiqemi të japim një përkufizim të duhur të vlerës së një shume arbitrare ku bashkësia K mund të jetë e pafundme. Për të filluar, supozoni se të gjitha termat e a janë jonegative. Në këtë rast, nuk është e vështirë të gjendet një përkufizim i përshtatshëm: nëse për ndonjë nënbashkësi të fundme ekziston një konstante kufizuese A e tillë që
atëherë supozojmë se shuma është më e vogla nga të gjitha A. (Siç del nga pusi vetitë e njohura numra realë, bashkësia e të gjitha A-ve të tilla përmban gjithmonë elementin më të vogël.) Por nëse një konstante e tillë kufizuese A nuk ekziston, ne e marrim këtë të thotë se nëse A -
një numër real, atëherë ka një numër të kufizuar të termave të a, shuma e të cilave e kalon A.
Përkufizimi në paragrafin e mëparshëm është formuluar aq delikate sa nuk varet nga asnjë rend që mund të ekzistojë në grupin e indeksit K. Prandaj, argumentet që do të japim do të jenë të vlefshme jo vetëm për shumat mbi një grup numrash të plotë, por edhe për shuma të shumëfishta me shumë indekse
Në veçanti, kur K është bashkësia e numrave të plotë jonegativë, përkufizimi ynë për termat jonegativë do të thotë që
Dhe ja pse: çdo sekuencë jo-zvogëluese e numrave realë ka një kufi (ndoshta e barabartë me Nëse ky kufi është i barabartë, një grup i fundëm i numrave të plotë jo negativë, të cilët janë të gjithë atëherë; prandaj, ose ose A është një konstante kufizuese. Por nëse A është një numër më i vogël kufiri i vendosur A, atëherë ekziston e tillë që, përveç kësaj, një grup i kufizuar dëshmon për faktin se A nuk është një konstante kufizuese.
Tani mund të llogaritni lehtësisht madhësitë e shumave specifike të pafundme në përputhje me përkufizimin e dhënë. Për shembull, nëse atëherë
Në veçanti, shumat e pafundme dhe T, të cilat u diskutuan pak më parë, janë të barabarta me 2 dhe, përkatësisht, siç prisnim. Një shembull tjetër i rëndësishëm:
Tani le të shqyrtojmë rastin kur, së bashku me shumat jo negative, shuma mund të përmbajë terma negativë. Sa, për shembull, duhet të jetë sasia e
Nëse i grupojmë termat në dyshe, marrim:
kështu që shuma rezulton të jetë e barabartë me zero; por nëse fillojmë të grupohemi në çifte një hap më vonë, marrim
dmth shuma është e barabartë me një.
Ne gjithashtu mund të përpiqemi të vendosim në formulë pasi e dimë se kjo formulë është e vlefshme, por atëherë do të detyrohemi të pranojmë se kjo shumë e pafundme është e barabartë sepse është shuma e numrave të plotë!
Një shembull tjetër interesant është shuma e pafundme në të dy drejtimet në të cilën në k 0 dhe në E mund të shkruhet si
Nëse e llogarisim këtë shumë duke u nisur nga elementi “qendror” dhe duke lëvizur jashtë,
atëherë marrim 1; dhe marrim të njëjtën 1 nëse lëvizim të gjitha kllapat një element në të majtë,
meqenëse shuma e të gjithë numrave të mbyllur në kllapa të brendshme është
Arsyetimi i ngjashëm tregon se vlera e shumës mbetet e barabartë me 1 nëse në këto kllapa zhvendoset ndonjë numër fiks elementësh majtas ose djathtas - kjo e forcon mendimin tonë se shuma është vërtet e barabartë me 1. Por, nga ana tjetër, nëse ne grupojmë termat si më poshtë:
atëherë çifti i kllapave të brendshme do të përmbajë numra
Në kap. 9 do të tregohet se, prandaj, këtë metodë grupimi të çon në idenë se një shumë që është e pafundme në të dy drejtimet duhet në fakt të jetë e barabartë me
Ka diçka të pakuptimtë në shumën që jep kuptime të ndryshme kur shton anëtarët e saj menyra te ndryshme. NË udhëzime moderne sipas analizës, ekziston një seri e tërë përkufizimesh me ndihmën e të cilave u caktohen kuptime kuptimore shumave të tilla patologjike; por nëse i huazojmë këto përkufizime, nuk do të jemi në gjendje të operojmë me shënimin - aq lirshëm sa kemi bërë deri tani. Qëllimet e këtij libri janë të tilla që nuk kemi nevojë për sqarime të rafinuara të konceptit " konvergjencë e kushtëzuar" - ne do t'i përmbahemi një përkufizimi të tillë të shumave të pafundme, i cili lë në fuqi të gjitha operacionet që kemi përdorur në këtë kapitull.
Në thelb, përkufizimi ynë i shumave të pafundme është mjaft i thjeshtë. Le të jetë K një bashkësi dhe le të jetë a një term me vlerë reale të shumës së përcaktuar për secilën . (Në fakt, mund të nënkuptojë disa indekse në mënyrë që vetë bashkësia K të jetë shumëdimensionale.) Çdo numër real x mund të përfaqësohet si ndryshim i pjesëve të tij pozitive dhe negative,
(Ose ose Ne kemi shpjeguar tashmë se si të përcaktojmë madhësitë e shumave të pafundme pasi ato janë jo negative. Prandaj, përkufizimi ynë i përgjithshëm është:
përveç nëse të dyja shumat në anën e djathtë janë të barabarta. NË rastin e fundit Shuma e Hlek mbetet e paqartë.
Le të Tskekak dhe Nëse shumat janë të fundme, atëherë ata thonë se shuma konvergon absolutisht në . Nëse është e fundme, atëherë ata thonë se shuma ndryshon në Ngjashëm, nëse është e fundme, atëherë ata thonë se ajo ndryshon në Nëse, atëherë ata nuk thonë asgjë.
Ne filluam me një përkufizim që "funksiononte" për termat jonegativë të shumës, dhe më pas e zgjeruam atë në çdo term me vlerë reale Nëse anëtarët e shumës janë numra kompleks, atëherë përkufizimi ynë padyshim mund të shtrihet në këtë rast: shuma përcaktohet si - pjesa reale dhe imagjinare a, me kusht që të ekzistojnë të dyja këto shuma, përndryshe, shuma Hkek nuk është e përcaktuar (Shih ushtrimin 18.)
Gjëja e pafat, siç u përmend tashmë, është se disa shuma të pafundme duhet të lihen të papërcaktuara, sepse operacionet që kryejmë me to mund të çojnë në absurditete. (Shih ushtrimin 34.) Gjëja e bukur është se të gjitha veprimet nga ky kapitull janë absolutisht të vlefshme sa herë që kemi të bëjmë me shuma që absolutisht konvergojnë në kuptimin e sapopërcaktuar.
Ne mund ta konfirmojmë këtë fakt të këndshëm duke demonstruar se secili prej rregullave tona të transformimit të shumës e lë të pandryshuar madhësinë e çdo shume absolutisht konvergjente. Më konkretisht, kjo do të thotë se duhet të kontrollohet përmbushja e ligjeve shpërndarëse, kombinuese dhe komutative, plus rregulli sipas të cilit mund të fillohet përmbledhja mbi çdo variabël; gjithçka tjetër që bëmë në këtë kapitull mund të nxirret nga këto katër operacione bazë të shumës.
Ligji i shpërndarjes (2.15) mund të formulohet në mënyrë më strikte si më poshtë: nëse shuma Hkek a konvergon absolutisht me dhe nëse c është një numër kompleks, atëherë Lkek konvergon absolutisht në Kjo mund të vërtetohet duke e ndarë së pari shumën në reale dhe imagjinare, pastaj në pjesë pozitive dhe negative, siç e zbërthenin më parë, dhe duke vërtetuar një rast të veçantë kur çdo term i shumës është jonegativ. Prova në këtë rast të veçantë funksionon për faktin se për ndonjë grup i kufizuar fakti i fundit vërtetohet me induksion në madhësinë e kompletit
Ligji i kombinimit (2.16) mund të formulohet si vijon: nëse shumat konvergojnë absolutisht në A dhe B, përkatësisht, atëherë shuma konvergon absolutisht në Rezulton se ky është një rast i veçantë i më shumë teorema e përgjithshme, të cilën do ta vërtetojmë së shpejti.
Në fakt nuk ka nevojë të provohet ligji komutativ (2.17), pasi kur diskutuam formulën (2.35) treguam se si ta nxjerrim atë si një rast të veçantë. rregull i përgjithshëm ndryshimet në rendin e mbledhjes.
Shuma e të gjithave numrat natyrorë mund të shkruhet duke përdorur seritë e mëposhtme të numrave
Ky, në shikim të parë, rezultat krejtësisht kundërintuitiv, megjithatë mund të vërtetohet rigorozisht. Por, përpara se të flasim për provën, duhet të bëjmë një hap prapa dhe të kujtojmë konceptet bazë.
Le të fillojmë me faktin se shuma "klasike" e një serie është kufiri shumat e pjesshme seri, nëse ekziston dhe është e fundme. Detajet mund të gjenden në Wikipedia dhe literaturën përkatëse. Nëse kufiri përfundimtar nuk ekziston, atëherë seria quhet divergjente.
Për shembull, shuma e pjesshme e k termave të parë të serisë së numrave 1 + 2 + 3 + 4 +... shkruhet si më poshtë
Është e lehtë të kuptohet se kjo shumë rritet pa kufi pasi k-ja priret drejt pafundësisë. Rrjedhimisht, seria origjinale është divergjente dhe, në mënyrë rigoroze, nuk ka shumë. Megjithatë, ka shumë mënyra për të caktuar vlera përfundimtare rreshta të ndryshëm.
Rreshti 1+2+3+4+... është larg nga rreshti i vetëm i ndryshëm. Merrni, për shembull, serinë Grundy
E cila gjithashtu divergon, por dihet se metoda e mbledhjes së Cesaros na lejon të caktojmë një vlerë të fundme prej 1/2 për këtë seri. Përmbledhja sipas Cesaros konsiston në veprimin jo me shumat e pjesshme të një serie, por me mesataret e tyre aritmetike. Nëse i lejojmë vetes të spekulojmë lirshëm, mund të themi se shumat e pjesshme të serisë Grundy luhaten midis 0 dhe 1, në varësi se cili anëtar i serisë është i fundit në shumë (+1 ose -1), pra vlera e 1/2, si një mesatare aritmetike prej dy vlerat e mundshme shumat e pjesshme.
Një shembull tjetër interesant i një serie divergjente është seri të alternuara 1 - 2 + 3 - 4 +... , shumat e pjesshme të të cilave luhaten gjithashtu. Përmbledhja me metodën e Abelit na lejon të caktojmë një vlerë përfundimtare prej 1/4 për një seri të caktuar. Vini re se metoda e Abelit është, në një farë mënyre, një zhvillim i metodës së përmbledhjes së Cesaros, kështu që rezultati 1/4 është i lehtë për t'u kuptuar nga pikëpamja e intuitës.
Është e rëndësishme të theksohet këtu se metodat e përmbledhjes nuk janë truket me të cilat matematikanët dolën për të përballuar disi seritë divergjente. Nëse aplikoni përmbledhjen Cesaro ose metodën e Abelit për një seri konvergjente, përgjigja që japin këto metoda është e barabartë me shumën klasike të një serie konvergjente.
Sidoqoftë, as përmbledhja e Cesaros dhe as metoda e Abelit nuk e lejojnë njeriun të punojë me seritë 1 + 2 + 3 + 4 +..., pasi mesataret aritmetike të shumave të pjesshme, si dhe mesataret aritmetike të mesatareve aritmetike ndryshojnë. Për më tepër, nëse vlerat 1/2 ose 1/4 mund të pranohen disi dhe të lidhen me seritë përkatëse, atëherë -1/12 është e vështirë të lidhet me serinë 1 + 2 + 3 + 4 +..., që është një sekuencë e pafundme numrash të plotë pozitivë.
Ka disa mënyra për të arritur në rezultatin -1/12. Në këtë shënim do të ndalem vetëm në njërën prej tyre, përkatësisht rregullimin nga funksioni zeta. Le të prezantojmë funksionin zeta
Zëvendësimi s = -1, marrim origjinalin seri numrash 1+2+3+4+…. Le të kryejmë një sërë veprimesh të thjeshta matematikore në këtë funksion
Ku është funksioni Dirichlet eta
Kur vlera s = -1 ky funksion bëhet seria tashmë e njohur 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... "shuma" e së cilës është e barabartë me 1/4. Tani mund ta zgjidhim lehtësisht ekuacionin
Është interesante se ky rezultat gjen zbatim në fizikë. Për shembull, në teorinë e fijeve. Le të kthehemi në faqen 22 të librit të Joseph Polchinskit "Teoria e fijeve":
Nëse për disa njerëz teoria e fijeve nuk është një shembull bindës për shkak të mungesës së provave për shumë pasoja të kësaj teorie, atëherë mund të përmendim gjithashtu se metoda të ngjashme shfaqen në teoria kuantike fushat kur përpiqeni të llogarisni efektin Casimir.
Për të mos shkuar dy herë, këtu janë disa shembuj më interesantë me funksionin zeta
Për ata që duan të marrin më shumë informacion Në lidhje me temën, do të vërej se vendosa të shkruaj këtë shënim pasi përktheva artikullin përkatës në Wikipedia, ku në seksionin "Lidhjet" mund të gjeni shumë material shtesë, kryesisht në anglisht.
David Berman, Marianne Freiberger
Një rezultat shumë i çuditshëm u diskutua së fundmi. Thuhet se kur mblidhni të gjithë numrat natyrorë
atëherë shuma do të jetë e barabartë me . Kjo ide tregohet në video Numberfile, i cili thekson se rezultati është vërtetuar dhe gjithashtu thotë se përdoret gjerësisht në fizikë. Kjo ide i mahniti njerëzit aq shumë sa përfundoi edhe në New York Times. Pra, çfarë do të thotë e gjithë kjo?
Matematika
Para së gjithash, shuma e pafundme e të gjithë numrave natyrorë nuk është e barabartë. Ju mund ta verifikoni këtë lehtësisht duke llogaritur shumat e pjesshme në kalkulator
e kështu me radhë. bëhet gjithnjë e më i madh me rritjen, pra me rritjen e numrit të numrave natyrorë të shtuar. Në fakt, nëse zgjidhni mjaftueshëm të madh, mund ta bëni sa më të madh të dëshironi. Për shembull, nëse merrni
Dhe kur të merrni
Kjo është arsyeja pse matematikanët thonë këtë këtë seri divergon. Ose, për ta thënë më lirshëm, se shuma është e barabartë me pafundësinë.
Srinivasa Ramanujan
Pra, nga vjen? Në fakt, rezultati i pasaktë u shfaq në punën e matematikanit të famshëm indian Srinivasa Ramanujan në 1913. Por Ramanujan e dinte se çfarë po bënte dhe kishte një arsye për ta shkruar atë. Ai studioi të ashtuquajturin funksion zeta të Euler-it. Për të kuptuar se çfarë është kjo, së pari le të shqyrtojmë një shumë të pafundme
Ju mund të shihni se kjo shumë fitohet kur shtoni reciproke të katrorëve të numrave natyrorë:
Tani kjo shumë nuk ndryshon. Nëse marrim parasysh sekuencën e shumave të pjesshme, siç bëmë më lart,
atëherë rezultatet që do të fitohen do të jenë sa më afër numrit të dëshiruar, por asnjëherë nuk do ta tejkalojnë atë. Matematikanët thonë se një seri konvergjon në , ose më lirshëm se shuma e serisë është e barabartë me .
Tani le të shohim se çfarë ndodh nëse, në vend që t'i kuadrojmë numrat natyrorë në emërues, i ngremë në një fuqi tjetër? Rezulton se shuma përkatëse
konvergon në një vlerë përfundimtare nëse shkalla është një numër më i madh se . Për çdo titull=" Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} matematikan i shquar Shekulli i 17-të nga Leonhard Euler.
Deri këtu mirë. Por çfarë ndodh nëse konsiderojmë numra më të vegjël se? Për shembull, çfarë ndodh nëse merrni? Le të hedhim një vështrim.
Pra, ne morëm shumën tonë origjinale, e cila e dimë se është divergjente. E njëjta gjë është e vërtetë për çdo vlerë tjetër më të vogël ose të barabartë me: shuma ndryshon.
Komentoni. Vazhdimi i funksionit zeta të Euler-it. Funksioni zeta i konsideruar i Euler-it është përcaktuar për numra realë më të mëdhenj se . Numrat realë janë pjesë e një familjeje më të madhe numrash të quajtur numra komplekse. Dhe ndërsa numrat realë korrespondojnë me të gjitha pikat në vijën numerike, numrat kompleksë korrespondojnë me të gjitha pikat në rrafshin që përmban vijën numerike reale. Ky rrafsh quhet plan kompleks. Ashtu si përcaktohen funksionet, argumentet e të cilëve janë numra realë, mund të përcaktohen edhe funksionet, argumentet e të cilëve janë numra kompleksë.
Një fakt mahnitës Gjëja për funksionet e variablave komplekse është se nëse e dini vlerën e një funksioni në një grup të dhënash, atëherë (deri në disa detaje teknike) mund të dini vlerën e funksionit në çdo moment. plan kompleks. Kjo metodë e zgjerimit të domenit të një funksioni njihet si vazhdimësi analitike. Funksioni zeta i Euler-it është përcaktuar për numra realë më të mëdhenj se . Meqenëse numrat realë janë numra kompleks, ne mund ta mendojmë këtë funksion si funksion kompleks, dhe më pas përdorni vazhdimin analitik për të marrë veçori e re, i përcaktuar në të gjithë rrafshin, por në përputhje me funksionin zeta të Euler-it për numra realë më të mëdhenj se . Ky është funksioni zeta i Riemann-it.
Ka edhe një gjë që mund të bëhet. Duke përdorur matematikë të fuqishme ( analizë gjithëpërfshirëse shih vërejtjen), ne mund të zgjerojmë domenin e përkufizimit të funksionit zeta të Euler në mënyrë që për numrat më të vegjël ose të barabartë ky funksion të marrë vlera të fundme. Me fjalë të tjera, ekziston një mënyrë për të përcaktuar një funksion të ri, le ta quajmë atë, në mënyrë që për title=" Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}
Dhe për funksionin do të merrte disa vlera përfundimtare. Kjo metodë quhet vazhdim analitik dhe funksioni i ri që prodhon quhet funksioni zeta i Riemann, i quajtur sipas matematikanit të shekullit të 18-të, Bernhard Riemann. (Krijimi i këtij funksioni të ri që merr vlera të fundme për të konsiston në zbritjen nga një seri divergjente një seri tjetër divergjente, në mënyrë që pafundësia që rezulton nga shuma e parë divergjente minus pafundësia që rezulton nga shuma e dytë divergjente të jetë e barabartë me diçka të fundme.)
Mirë. Tani kemi një funksion që për title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}
Dhe nëse bëni gabim duke supozuar se për , atëherë do të merrni barazinë (të pasaktë).
Kjo shpjegon pse Ramanujan e shkroi këtë shprehje misterioze.
Dinak
Pra, si e "provuan" njerëzit në video se shuma e të gjithë numrave natyrorë është e barabartë me ? Ata në fakt nuk e bënë këtë. Të shikosh këtë video është si të shikosh një magjistar dhe të përpiqesh të përcaktosh se kur lepuri po ulet në kapelë. Hapi i parë i "provës" përpiqet t'ju bindë për një gjë mjaft budallaqe, domethënë një sasi të pafundme
Videoja nuk ndalet në këtë për një kohë të gjatë dhe duket se nënkupton se është e qartë. Por le ta shohim këtë më nga afër për të parë nëse ka kuptim fare. Le të jetë shuma numër i kufizuar, le ta quajmë . Duke i shtuar vetes, marrim një shumë të pafundme
Por kjo është vetëm shuma fillestare, nga ku
Meqenëse, kjo nuk është e vërtetë. Kështu, pohimi se një shumë e pafundme mund të konsiderohet e barabartë me nuk është e saktë. Në fakt, ju mund të merrni rezultate të ndryshme duke përdorur sasi të pafundme që ndryshojnë. Ky është një truk!
Fizika
Por si përfundoi ky rezultat i pasaktë kurioz në një libër fizik, siç tregohet në video? Këtu gjërat bëhen vërtet interesante. Supozoni se merrni dy pllaka metalike përçuese dhe i rregulloni në vakum në mënyrë që të jenë paralele me njëra-tjetrën. Sipas fizikës klasike, nuk duhet të ketë asnjë forcë që vepron midis këtyre dy pllakave.
Efekti kazimir
Por fizikës klasike nuk merr parasysh efektet e çuditshme që shihni kur shikoni botën në përmasa shumë të vogla. Për t'i marrë parasysh ato, na duhet fizika kuantike, e cila pretendon shumë gjëra shumë të çuditshme. Një prej tyre është se vakuumi nuk është bosh, është plot aktivitet. Gjatë gjithë kohës të ashtuquajturat grimcat virtuale. Ky aktivitet jep të ashtuquajturat energji zero: Energjia më e ulët që mund të ketë diçka nuk është kurrë zero. Kur përpiqeni të llogaritni densitetin total të energjisë midis dy pllakave duke përdorur matematikën ose fizikën kuantike, ju merrni një shumë të pafundme
Kjo shumë e pafundme është gjithashtu ajo që merrni kur futni vlerën në funksionin zeta të Euler:
Është për të ardhur keq sepse këtë shumë divergon (ajo e bën atë edhe më shpejt se) që do të thotë dendësi e pafundme energji. Kjo është padyshim e pakuptimtë. Por, çfarë nëse supozoni paturpësisht se shuma e pafundme është e barabartë me funksionin zeta të Riemann-it, në vend të funksionit zeta të Euler-it, në ? Epo, atëherë ju merrni një densitet të kufizuar të energjisë. Kjo do të thotë se duhet të ketë një forcë tërheqëse midis pllakave metalike, e cila gjithashtu duket qesharake, pasi fizika klasike sugjeron që nuk duhet të ketë forca.
Por këtu është një surprizë. Kur fizikanët bënë eksperimentin, ata zbuluan se forca ekziston në të vërtetë, dhe ajo korrespondon me një densitet energjie saktësisht të barabartë me !
Kjo e mahnitshme rezultat fizik i njohur si efekti Casimir, i quajtur sipas fizikanit holandez Hendrik Casimir.
Merrni një moment për ta vlerësuar këtë. Fizika kuantike thotë se dendësia e energjisë duhet të jetë e barabartë me
Kjo është e pakuptimtë, por eksperimentet tregojnë se nëse e llogaritni (gabimisht) këtë shumë e barabartë me vlerën Funksioni zeta në , do të merrni përgjigjen e saktë. Pra duket se natyra po ndjek idetë e Ramanujan. Ajo zgjeroi funksionin zeta të Euler-it për të përfshirë vlera më të vogla se , duke zbritur me zgjuarsi pafundësinë për të arritur në një vlerë të fundme. Kjo është e mahnitshme!
Arsyeja që ne shohim si në videon Numberphile ashtu edhe në librin e fizikës dhe jo dhe është se kur imagjinoni efektin Casimir që ndodh në një dimension (përgjatë një linje, jo në 3D), dendësia e energjisë që konsideroni është e barabartë me, jo .
Pra, pse njerëzit në Numberphile po promovojnë këtë "rezultat" të çuditshëm? Sigurisht që ata dinë për vazhdimin analitik, gjë që e bën funksionin mjaft specifik, por kjo është diçka shumë teknike për videot e tyre. Duke ditur metodë analitike një vazhdim që e bën rezultatin përfundimtar të arsyeshëm duke e fshehur në xhepin e pasmë, ata shkuan me zgjuarsi përpara. Duke vepruar kështu, ata morën mbi një milion shikime dhe bota filloi të fliste për funksionin zeta dhe matematikën. Ata mund të përgëzohen për këtë. Matematika e funksionit zeta është fantastike, dhe ajo që kemi mbuluar këtu është vetëm fillimi. listë e gjatë e mahnitshme vetitë matematikore. Kur popullarizojmë matematikën dhe fizikën, gjithmonë duhet të bëjmë zgjedhje për atë që nuk themi dhe çfarë shpjegojmë. Se ku e tërheqim atë vijë varet nga ne.
