Vetitë binomiale të Njutonit të koeficientëve binomialë të trekëndëshit të Paskalit. Binomi i Njutonit duke përdorur shënimin faktorial

Natyrisht, për një sistem të n ekuacionet lineare Me n të panjohura marrim një matricë të koeficientëve të madhësisë:

Le të prezantojmë konceptin e përcaktorit n- urdhri.

Përkufizimi 4.1:

Përcaktues n- Rendi i th është një numër i barabartë me

Shuma n! termat;

Çdo term është një produkt n elementet e matricës të marra nga një nga çdo rresht dhe çdo kolonë;

Çdo term merret me shenjën “+” nëse ndërrimi i indekseve të dytë është çift, dhe me shenjë “-” nëse ndërrimi i indekseve të dytë është tek, me kusht që indekset e para të formojnë një seri natyrore numrash.

Se.

Këtu å merren mbi të gjitha permutacionet e mundshme të përbëra nga numrat 1,2,…, n.

5. Vetitë themelore të përcaktorëve.

Le të vendosim vetitë themelore të përcaktorëve, të cilat për thjeshtësi do t'i tregojmë duke përdorur një përcaktor të rendit të dytë.

1. Kur zëvendësohen rreshtat me kolonat përkatëse (quajtur transpozim) përcaktorja mbetet e pandryshuar. Vërtet:

Prandaj, , që ishte ajo që duhej vërtetuar.

shënim: Rezultati i marrë më sipër na jep të drejtën të pohojmë se rreshtat dhe kolonat e përcaktorit, në vijim të referuar si rreshta, janë të barabarta.

2. Kur dy rreshta riorganizohen, përcaktorja ndryshon shenjën në atë të kundërt.

Vërtet, Le të shkëmbejmë rreshtat dhe të llogarisim përcaktorin

Q.E.D.

3. Nëse dy seri paralele në përcaktor janë identike, atëherë ajo e barabartë me zero. Në të vërtetë, le të shkëmbejmë dy linja identike. Atëherë vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë, por shenja, për shkak të vetive 2, do të ndryshojë. Njëjës, e cila nuk ndryshon kur ndryshon shenja - zero.

4. Shumëzuesi total anëtarët e çdo serie mund të hiqen nga shenja përcaktuese.

Q.E.D.

5. Nëse të gjithë elementët e ndonjë serie janë shuma të njëjtin numër termat, pastaj përcaktorja e barabartë me shumën përcaktuesit në të cilët elementët e serisë në shqyrtim janë terma individualë.

Q.E.D.

6. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementet përkatëse të një serie paralele u shtohen elementeve të çdo serie, shumëzuar me një numër të caktuar.

Shumëzojeni rreshtin e dytë me dhe shtojeni në rreshtin e parë:

Në të vërtetë, për shkak të pronave 3,4,5

=

Q.E.D.

6. Të miturit dhe shtesat algjebrike elementet e përcaktorit.

Merrni parasysh përcaktorin n- urdhri:

.

Le të theksojmë në përcaktor i-linja e th dhe j kolona e th. Në kryqëzimin e këtyre rreshtave ka një element

Nëse në përcaktor kalojmë i- rregullimi dhe j kolona e -të, atëherë marrim përcaktorin e rendit P-1 (d.m.th., duke pasur një renditje më të vogël se përcaktorja fillestare), e quajtur e mitur element përcaktues Ne do të shënojmë e mitur element simbol.

Përkufizimi 6.1. Aplotësues algjebrik element Përcaktori quhet i vogël, merret me një shenjë dhe shënohet me simbolin. Sipas përkufizimit, marrim

.

Shembulli 6.1. Gjeni komplementin minor dhe algjebrik të përcaktorit

ortogonale matricë unitare shumëlineare

Llogaritja e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë.

Marrim formula për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë. Sipas përkufizimit, kur

Kur kalojmë rreshtin e parë dhe një kolonë, marrim një matricë që përmban një element, pra

Duke i zëvendësuar këto vlera në anën e djathtë, marrim formulën për llogaritjen e përcaktorit të rendit të dytë

Përcaktues i rendit të dytë e barabartë me diferencën prodhimi i elementeve në diagonalen kryesore dhe prodhimi i elementeve në diagonalen dytësore (Fig. 2.1).

Për përcaktorin e rendit të tretë kemi

Duke fshirë rreshtin e parë dhe një kolonë, marrim përcaktuesit e matricave katrore të rendit të dytë:

Ne i shkruajmë këto përcaktorë të rendit të dytë duke përdorur formulën (2.2) dhe marrim formulën për llogaritjen e përcaktorit të rendit të tretë

Përcaktori (2.3) është shuma e gjashtë termave, secili prej të cilëve është prodhim i tre elementeve të përcaktorit, të vendosur në rreshta dhe kolona të ndryshme. Për më tepër, tre terma merren me një shenjë plus, dhe tre të tjerët - me një shenjë minus.

Për të kujtuar formulën (2.3), përdoret rregulli i trekëndëshave: duhet të shtoni tre produkte të tre elementëve që qëndrojnë në diagonalen kryesore dhe në kulmet e dy trekëndëshave që kanë një anë paralele me diagonalen kryesore (Fig. 2.2a). dhe zbresim tre produkte të elementeve që qëndrojnë në diagonalet anësore dhe në kulmet e dy trekëndëshave që kanë një brinjë paralele me diagonalen anësore (Fig. 2.2,6).

Ju gjithashtu mund të përdorni skemën e llogaritjes së treguar në Fig. 2.3 (rregulli i Sarrusit): shtoni kolonën e parë dhe të dytë në të djathtë të matricës, llogaritni produktet e elementeve në secilën nga gjashtë rreshtat e treguar dhe më pas gjeni shumën algjebrike të këtyre produkteve, ndërsa produktin e elementeve në vijat paralele te diagonalja kryesore merret me shenjën plus, dhe prodhimi i elementeve në vija të drejta paralele me diagonalen anësore është me shenjën minus (sipas shënimit në Fig. 2.3).

Llogaritja e përcaktorëve të rendit N>3.

Pra, kemi marrë formula për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë. Ju mund të vazhdoni llogaritjet duke përdorur formulën (2.1) për dhe të merrni formula për llogaritjen e përcaktuesve të katërt, të pestë etj. urdhërat e madhësisë Rrjedhimisht, përcaktimi induktiv lejon llogaritjen e përcaktorit të çdo rendi. Një tjetër gjë është se formulat do të jenë të rënda dhe të papërshtatshme për llogaritjet praktike. Prandaj përcaktorët rendit të lartë(e katërta ose më shumë), si rregull, llogariten në bazë të vetive të përcaktorëve.

Shembulli 2.1. Llogaritni përcaktorët

Zgjidhje. Duke përdorur formulat (2.2) dhe (2.3) gjejmë;

Formula për zbërthimin e përcaktorit në elementet e një rreshti (kolone)

Le të jepet një matricë katrore e rendit.

Një minor shtesë i një elementi është përcaktuesi i një matrice të rendit të marrë nga një matricë duke fshirë rreshti i-të dhe kolona e j-të.

Komplementi algjebrik i një elementi matricë është minorja shtesë e këtij elementi shumëzuar me

Teorema 2.1 Formula për zbërthimin e përcaktorit në elementet e një rreshti (kolone). Përcaktori i matricës është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve të një rreshti (kolone) arbitrare dhe plotësimeve të tyre algjebrike:

(zbërthimi përgjatë rreshtit të i-të);

(zgjerimi në kolonën j).

Shënime 2.1.

1. Vërtetimi i formulës kryhet duke përdorur metodën e induksionit matematik.

2. Në përkufizimin induktiv (2.1), është përdorur në të vërtetë formula për zbërthimin e përcaktorit në elementet e rreshtit të parë.

Shembulli 2.2. Gjeni përcaktorin e matricës

Zgjidhje. Le të zgjerojmë përcaktorin përgjatë vijës së 3-të:

Tani le të zgjerojmë përcaktuesin e rendit të tretë në kolonën e fundit:

Përcaktori i rendit të dytë llogaritet duke përdorur formulën (2.2):

Përcaktues matricë në pamje trekëndore

Le të zbatojmë formulën e zbërthimit për të gjetur përcaktorin e matricës trekëndore të sipërme

Le të zgjerojmë përcaktorin përgjatë vijës së fundit (rreshti n):

ku është një element i vogël shtesë. Le të shënojmë Pastaj. Vini re se kur kalojmë rreshtin e fundit dhe kolonën e fundit të përcaktorit, marrim përcaktorin e matricës së sipërme trekëndore të të njëjtit lloj, por të rendit (n-1). Duke e zgjeruar përcaktorin përgjatë rreshtit të fundit ((n-1) rreshti), marrim. Duke vazhduar në mënyrë të ngjashme dhe duke marrë parasysh atë, arrijmë në formulën.e. përcaktor i një matrice trekëndore të sipërme e barabartë me produktin elementet në diagonalen kryesore.

Shënime 2.2

1. Përcaktori i një matrice trekëndore më të ulët është i barabartë me produktin e elementeve në diagonalen kryesore.

2. Përcaktori i matricës së identitetit është 1.

3. Përcaktorja e një matrice të formës trekëndore do të quhet përcaktor i formës trekëndore. Siç u tregua më lart, përcaktori i një matrice trekëndore (përcaktori i një matrice trekëndore të sipërme ose të poshtme, veçanërisht një diagonale) është e barabartë me produktin e elementeve në diagonalen kryesore.

Vetitë themelore të përcaktorëve (përcaktuesit)

1. Për këdo matricë katrore, d.m.th. Kur transpozohet, përcaktori nuk ndryshon. Nga kjo veti del se kolonat dhe rreshtat e përcaktorit janë "të barabarta": çdo veti që është e vërtetë për kolonat do të jetë e vërtetë për rreshtat.

2. Nëse në përcaktor njëra nga kolonat është zero (të gjithë elementët e kolonës janë të barabartë me zero), atëherë përcaktorja është e barabartë me zero:.

3. Kur riorganizoni dy kolona, ​​përcaktori ndryshon shenjën në të kundërtën (vetia e antisimetrisë):

4. Nëse përcaktorja ka dy kolona identike, atëherë është e barabartë me zero:

5. Nëse përcaktorja ka dy kolona proporcionale, atëherë është e barabartë me zero:

6. Kur shumëzohen të gjithë elementët e një kolone të përcaktorit me një numër, përcaktori shumëzohet me këtë numër:

7. Nëse kolona e j-të përcaktori përfaqësohet si shuma e dy kolonave, atëherë përcaktori është i barabartë me shumën e dy përcaktorëve, kolonat j-të të të cilëve janë dhe, përkatësisht, dhe kolonat e mbetura janë të njëjta:

8. Përcaktori është linear në çdo kolonë:

9. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementet përkatëse të një kolone tjetër u shtohen elementeve të një kolone, shumëzuar me të njëjtin numër:

10. Shuma e produkteve të elementeve të çdo kolone të përcaktorit nga plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse të një kolone tjetër është e barabartë me zero:

Shënime 2.3

1. Vetia e parë e përcaktorit vërtetohet me induksion. Vërtetimet e vetive të tjera kryhen duke përdorur formulën për zbërthimin e përcaktorit në elementë të kolonës. Për shembull, për të vërtetuar vetinë e dytë, mjafton të zgjeroni përcaktorin në elementët e kolonës zero (supozoni se kolona j është zero, d.m.th.):

Për të vërtetuar vetinë 10, duhet të lexoni formulën për zbërthimin e përcaktorit nga e djathta në të majtë, domethënë, shuma e produkteve të elementeve të kolonës së i-të nga plotësimet algjebrike të elementeve të kolonës j-të është e paraqitur si një zgjerim në kolonën j të përcaktorit

në të cilën elementet e kolonës j-ro zëvendësohen me elementët përkatës të kolonës i-të. Sipas vetive të katërt, një përcaktor i tillë është i barabartë me zero.

2. Nga vetia e parë rezulton se të gjitha vetitë 2-10 të formuluara për kolonat e përcaktorit do të vlejnë edhe për rreshtat e tij.

3. Duke përdorur formulat për zbërthimin e përcaktorit në elementet e rreshtit (kolonës) dhe vetisë 10, arrijmë në përfundimin se

4. Le të jetë një matricë katrore. Një matricë katrore e rendit të njëjtë siç thuhet se është e bashkuar nëse secili prej elementeve të tij është i barabartë me plotësimin algjebrik të një elementi të matricës. Me fjalë të tjera, për të gjetur matricën e bashkuar duhet:

a) zëvendësojmë çdo element të matricës me plotësuesin e tij algjebrik dhe marrim një matricë;

b) gjeni matricën adjoint duke transpozuar matricën.

Nga formulat (2.4) del se ku është matrica e identitetit e rendit të njëjtë si.

Shembulli 2.5. Gjeni përcaktuesin e një matrice bllok-diagonale, ku është një matricë arbitrare katrore, është matrica e identitetit dhe është një matricë zero e rendit përkatës, është transpozuar.

Zgjidhje. Le ta zgjerojmë përcaktorin mbi kolonën e fundit. Meqenëse të gjithë elementët në këtë kolonë janë zero, me përjashtim të atij të fundit, i cili është i barabartë me 1, marrim një përcaktor të së njëjtës formë si ai origjinal, por i rendit më të ulët. Duke zgjeruar përcaktorin që rezulton përgjatë kolonës së fundit, ne zvogëlojmë rendin e tij. Duke vazhduar në të njëjtën mënyrë, marrim përcaktorin e matricës. Prandaj,

Metodat për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të n-të.

Le të na jepet një grup i porositur n elementet. Çdo vendndodhje n elementet në në një rend të caktuar thirrur rirregullim nga këto elemente.

Meqenëse çdo element përcaktohet nga numri i tij, do të themi se është dhënë n numrat natyrorë.

Numri i permutacioneve të ndryshme nga n numrat janë të barabartë me n!

Nëse në ndonjë ndërrim të n numri i numrave i kushton më herët j, Por i > j, d.m.th. numër më i madh qëndron para më të voglit, pastaj thonë se dyshja i, j arrin në përmbysja.

Shembulli 1. Përcaktoni numrin e përmbysjeve në ndërrim (1, 5, 4, 3, 2)

Zgjidhje.

Numrat 5 dhe 4, 5 dhe 3, 5 dhe 2, 4 dhe 3, 4 dhe 2, 3 dhe 2 formojnë përmbysje. Numri i përgjithshëm i përmbysjeve në këtë ndërrim është 6.

Permutacioni quhet madje, Nëse numri i përgjithshëm përmbysjet e tij janë të njëtrajtshme, ndryshe quhet i çuditshëm. Në shembullin e diskutuar më sipër, jepet një ndërrim çift.

Le të jepet një ndryshim…, i, …, j, … (*) . Transformimi në cilin numra i Dhe j ndryshojnë vendet, dhe pjesa tjetër mbetet në vendet e tyre, quhet transpozim. Pas transpozimit të numrave i Dhe j në ndërrim (*) do të ketë një riorganizim…, j, …, i, ..., ku të gjithë elementët përveç i Dhe j, mbetën në vendet e tyre.

Nga çdo ndërrim nga n numrat, mund të shkoni te çdo ndryshim tjetër i këtyre numrave duke përdorur disa transpozime.

Çdo transpozim ndryshon barazinë e ndërrimit.

Në n ≥ 2 numri i permutacioneve çift dhe tek nga n numrat janë të njëjtë dhe të barabartë.

Le M– grup i porositur i n elementet. Çdo transformim bijektiv i një grupi M thirrur zëvendësimnshkalla e th.

Zëvendësimet janë shkruar kështu: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> dhe kjo eshte e gjitha ik janë të ndryshme.

Zëvendësimi thirrur madje, nëse të dy rreshtat (permutacionet) e tij kanë të njëjtin barazi, d.m.th., ose të dyja çift ose të dyja tek. Përndryshe zëvendësim thirrur i çuditshëm.

Në n ≥ 2 numri i zëvendësimeve çift dhe tek nth gradë e njëjtë dhe e barabartë me .

Përcaktori i një matrice katrore A të rendit të dytë A= është numri i barabartë me = a11a22–a12a21.

Përcaktori i një matrice quhet gjithashtu përcaktues. Për përcaktorin e matricës A përdoret shënimi i mëposhtëm: det A, ΔA.

Përcaktues katrore matricat A= rendit i tretë thirrni numrin e barabartë me │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Çdo mandat shuma algjebrike në anën e djathtë të formulës së fundit është prodhimi i elementeve të matricës, të marra një dhe vetëm një nga çdo kolonë dhe çdo rresht. Për të përcaktuar shenjën e produktit, është e dobishme të njihni rregullin (quhet rregulli i trekëndëshit), i paraqitur në mënyrë skematike në Fig. 1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Zgjidhje.

Le të jetë A një matricë e rendit të ntë me elemente komplekse:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .

Përcaktorja e rendit të n-të, ose përcaktorja e matricës katrore A=(aij) për n>1, është shuma algjebrike e të gjitha prodhimeve të mundshme të formës. (1) , dhe puna (1) merret me shenjën “+” nëse zëvendësimi përkatës (2) çift, dhe me shenjën “‑” nëse zëvendësimi është tek.

E mitura Mij element aij përcaktor është një përcaktor i marrë nga origjinali duke fshirë i rreshti i th dhe j- kolona e th.

Komplement algjebrik Aij element aij përcaktorja quhet numër Aij=(–1) i+ jMij, Ku Mij – element i vogël aij.

Vetitë e përcaktorëve

1. Përcaktori nuk ndryshon kur zëvendësohen të gjitha rreshtat me kolonat përkatëse (përcaktori nuk ndryshon gjatë transpozimit).

2. Kur riorganizoni dy rreshta (kolona), përcaktorja ndryshon shenjën.

3. Një përcaktor me dy rreshta (kolona) identike (proporcionale) është e barabartë me zero.

4. Faktori i përbashkët për të gjithë elementët e një rreshti (kolone) mund të merret përtej shenjës së përcaktorit.

5. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementet përkatëse të një rreshti (kolone) tjetër u shtohen elementeve të një rreshti (kolone) të caktuar, të shumëzuar me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

6. Nëse të gjithë elementët e një rreshti (kolone) të caktuar të një përcaktori janë të barabartë me zero, atëherë ai është i barabartë me zero.

7. Përcaktori është i barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të çdo rreshti (kolone) me plotësimet e tyre algjebrike (vetia e zbërthimit të përcaktorit në një rresht (kolona)).

Le të shohim disa metodat për llogaritjen e përcaktuesve të rendit n .

1. Nëse në një përcaktor të rendit të n-të të paktën një rresht (ose kolonë) përbëhet nga zero, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero.

2. Le të përmbajë disa rreshta në përcaktorin e rendit të n-të elemente jo zero. Llogaritja e përcaktorit të rendit n mund të reduktohet në këtë rast në llogaritjen e përcaktorit të rendit n-1. Në të vërtetë, duke përdorur vetitë e përcaktorit, mund të bëni të gjithë elementët e një rreshti, përveç një, zero, dhe më pas të zgjeroni përcaktorin përgjatë rreshtit të specifikuar. Për shembull, le të riorganizojmë rreshtat dhe kolonat e përcaktorit në mënyrë që të jenë në vend a11 kishte një element të ndryshëm nga zero.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Vini re se nuk është e nevojshme të riorganizoni rreshtat (ose kolonat). Ju mund të merrni zero në çdo rresht (ose kolonë) të përcaktorit.

Nuk ka asnjë metodë të përgjithshme për llogaritjen e përcaktorëve të rendit n, përveç llogaritjes së përcaktorit urdhër i dhënë drejtpërdrejt sipas përkufizimit. Tek përcaktorja e kësaj apo asaj lloj i veçantë aplikoni metoda të ndryshme llogaritjet që çojnë në përcaktues më të thjeshtë.

3. Le ta marrim në formë trekëndore. Duke përdorur vetitë e përcaktorit, ne e reduktojmë atë në të ashtuquajturën formë trekëndore, kur të gjithë elementët që qëndrojnë në njërën anë të diagonales kryesore janë të barabartë me zero. Përcaktori trekëndor që rezulton është i barabartë me produktin e elementeve në diagonalen kryesore. Nëse është më i përshtatshëm për të marrë zero në njërën anë të diagonales dytësore, atëherë do të jetë e barabartë me produktin e elementeve të diagonales dytësore, të marra me shenjën https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

Shembulli 3. Llogaritni përcaktorin sipas zgjerimit të rreshtit

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Shembulli 4. Llogaritni përcaktorin e rendit të katërt

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

Metoda e 2-të(duke llogaritur përcaktorin duke e zgjeruar atë përgjatë vijës):

Le ta llogarisim këtë përcaktor sipas zgjerimit të rreshtit, pasi e kemi transformuar më parë në mënyrë që në disa rreshta të gjithë elementët përveç njërit të bëhen zero. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e parë të përcaktorit në të tretën. Më pas shumëzojeni kolonën e tretë me (‑5) dhe shtojeni në kolonën e katërt. Zgjerojmë përcaktorin e transformuar përgjatë vijës së tretë. Ne e zvogëlojmë minorin e rendit të tretë në formën trekëndore në lidhje me diagonalen kryesore.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Zgjidhje.

Le të zbresim të dytin nga rreshti i parë, të tretën nga i dyti etj., dhe në fund, të fundit nga rreshti i parafundit (rreshti i fundit mbetet i pandryshuar).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Përcaktori i parë në shumë është trekëndësh në lidhje me diagonalen kryesore, pra është e barabartë me prodhimin e elementeve diagonale, pra (n–1)n. Përcaktorin e dytë e transformojmë në shumë duke mbledhur rreshti i fundit në të gjitha rreshtat e mëparshëm të përcaktorit. Përcaktori i marrë nga ky transformim do të jetë trekëndësh në lidhje me diagonalen kryesore, pra do të jetë i barabartë me prodhimin e elementeve diagonale, d.m.th. nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Llogaritja e përcaktorit duke përdorur teoremën e Laplasit. Nëse k rreshta (ose kolona) janë zgjedhur në përcaktuesin (1 £ k £ n-1), atëherë përcaktori është i barabartë me shumën e produkteve të të gjitha minoreve të rendit k-të të vendosura në k rreshtat (ose kolonat) e zgjedhura dhe plotësuesit algjebrikë të tyre.

Shembulli 6. Llogaritni përcaktorin

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

DETYRA INDIVIDUALE Nr. 2

“LLOGARITJA E PËRCAKTORËVE TË RENDIT NTH”

opsioni 1

Llogaritni përcaktorët

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

formula algjebrike, zbuluar nga Njutoni, duke shprehur çdo shkallë binomi, përkatësisht:

(x + a) n = x n + n/1(ax n-1) + (a 2 x n-2) + …(a n x n-m) + …

ose, në formë kompakte, duke përdorur simbolin n! = 1.2.3…n:

(x + a) n = ∑ m (!x n-m a m

Kjo formulë u dha për herë të parë nga Njutoni në 1676 pa prova. Është gdhendur në varrin e Njutonit, në Westminster Abbey, në Londër, megjithëse nuk mund të konsiderohet si një nga zbulimet më të rëndësishme Njutoni.

Vërtetimi i formulës së B. për një eksponent numër të plotë është i lehtë, si rast i veçantë nga më shumë formulë e përgjithshme, duke shprehur veprën çdo numër binomet. Është e lehtë të verifikohet me shumëzim të drejtpërdrejtë se për rastin n = 2 ose n = 3 formula vlen:

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n) = x n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + … + S n n

ku S n 1 është shuma e këtyre sasive a 1 , a 2 . . . dhe n, S n 2 është shuma e produkteve të tyre me dy, - S n n është prodhimi i të gjitha këtyre sasive. Dhe atëherë mund të vërtetoni se nëse është e vërtetë për n, atëherë është gjithashtu e vërtetë për faktorët n + 1. Sepse, duke shtuar një faktor x + a n+1, marrim me shumëzim të drejtpërdrejtë

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n-1) = x n-1 + (S n 1 + a n+1)x n + (S n 2 + S n 1 a n- 1)x n-1 + … + S n n a n

dhe në të njëjtën kohë është e qartë se

S n 1 + a n+1 + 1 = S 1 n+1

S n 2 + S n 1 a n+1 = S 2 n+1

etj., pra pjesa e djathtë barazia e fundit është

x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 x n-1 + … + (S n+1) n+1

etj. Tani le çdo gjë A të barabartë me njëri-tjetrin dhe të barabartë, për shembull, A, Pastaj:

S 2 = a 2 ...

dhe marrim (x + a) n = x n + nax n-1 + (a 2 x n-2) + ...

Kështu, vlefshmëria e formulës së Njutonit për n është një numër i plotë pozitiv dhe vërtetohet. Por vetë Njutoni tregoi tashmë se është e vërtetë si për pjesshme ashtu edhe për negative. Le të paraqesim vërtetimin e Euler-it për çdo n. Merrni parasysh shprehjen:

1+nx + + x 3 +…

Për n numër të plotë është e barabartë me (1 + x) n. Le të jetë për çdo n përgjithësisht f(n). Në të njëjtën mënyrë, le të jetë f(m) një shprehje e ngjashme me n e zëvendësuar me m. Duke shumëzuar, gjejmë, nga njëra anë, f(n)f(m), nga ana tjetër, një shprehje, ligji i përbërjes së koeficientit të së cilës na është i njohur nga rasti i numrave të plotë n, m, përkatësisht:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m - 1)/1.2]x 2 + [(n + m)(n + m - 1)(n + m - 2)/1.2.3]x 3 + …

dhe kjo është padyshim f(n+m). Pra kemi marrë f(n)f(m) = f(n + m); në të njëjtën mënyrë për një numër arbitrar faktorësh f(n 1)f(n 2)... f(n μ) = f(n 1 +n 2 +…+n μ); duke vënë n 1 = n 2 =…= n μ = λ/μ, kemi

f(n)f(–n) = f(0) = 1, pra f(–n) = 1/f(n) ose

f(–n) = (1 + x) –l = nx + x 2 - x 3 + … etj.

• - binom, shuma ose ndryshimi i dy algjebrave. shprehjet e quajtura anëtarë të B., për shembull. , etj. Për fuqitë e B., domethënë shprehjet, po, shih binomin e Njutonit...

  Enciklopedia Matematikore

• - një shprehje algjebrike e përbërë nga shuma ose ndryshimi i dy sasive, për shembull axm +...
• - një formulë algjebrike e zbuluar nga Njutoni, që shpreh çdo shkallë binomi, përkatësisht: n = xn + n/1 + + … + … ose, në formë kompakte, duke përdorur simbolin n! = 1.2...

  fjalor enciklopedik Brockhaus dhe Euphron

• - dhe lat. nomen - emër) binom, shuma ose ndryshimi i dy shprehjeve algjebrike që quhen terma të ekuacionit; për shembull a + b, etj. Për fuqitë e B., domethënë shprehjet e formës n, shihni binomin e Njutonit...
• - emri i një formule që shpreh çdo numër të plotë shkallë pozitive shuma e dy termave përmes shkallëve të këtyre termave, përkatësisht: ku n është një numër i plotë numër pozitiv, a dhe b - çfarëdo...

  Enciklopedia e Madhe Sovjetike

• - emri i një formule që ju lejon të shkruani zbërthimin e një shume algjebrike të dy termave të një shkalle arbitrare ...

  Enciklopedia e Collier

• - njësoj si binomi. Për një binom të formës n, shihni Art. Binomi i Njutonit...
• - një formulë që shpreh fuqinë e plotë pozitive të shumës së dy termave përmes fuqive të këtyre termave (koeficientët për ta quhen koeficientë binomialë...

  Fjalor i madh enciklopedik

• - Huamarrja. në gjysmën e parë të shekullit të 19-të. nga frëngjishtja lang., ku binôme është shtimi i lat. bi dhe greqisht nomē "pjesë, pjesë". e mërkurë llogaritja derivative e kësaj fjale është binom...

  Fjalor etimologjik Gjuha ruse

• - Nga romani "Mjeshtri dhe Margarita" nga Mikhail Afanasyevich Bulgakov. Fjalët e Koroviev-Fagot, duke komentuar dialogun midis Woland dhe banakierit Andrei Fokich Sokov...

  Fjalor fjalë me krahë dhe shprehjet

• - ; pl. bino/ne, R....

  fjalor drejtshkrimor Gjuha ruse

• - burri. binomi femër në shënimin e mirëfilltë: shprehje numerike, i përbërë nga dy anëtarë; binom, sasi binomiale...

  Fjalor Dahl

• - BINOM, burri. Në matematikë: binomi...

  Fjalori shpjegues i Ozhegovit

• - binom m. Shprehje algjebrike, që përfaqëson shumën ose ndryshimin e dy monomëve; binomi...

  Fjalor shpjegues i Efremovës

• - Razg. Duke bërë shaka. Rreth smb. komplekse, konfuze. Elistratov, 41...

  Fjalor i madh Thëniet ruse

• - BINOM, -a, m. Hekuri. Rreth smth. në dukje komplekse dhe konfuze. Posedojnë. u përhap nën ndikimin e romanit të M. Bulgakov "Mjeshtri dhe Margarita" ...

  Fjalori i argotit rus

"Binomi i Njutonit" në libra

Nga Kepleri në Njuton