Pjesëtimi me 1. Shënime dhjetore ekuivalente

GBPOU "Dzerzhinsky" kolegj për trajnimin e mësuesve»

Përgatitur nga:

Studenti gr. PNK-4

Martyukhina Albina

Nikolaevna

Shënimet e mësimit të matematikës

Me temën: "Pjestimi i një numri me 1 dhe me vetveten"

Metodist:

Ulanova E.V.______

Dzerzhinsk, 2017

Përmbledhje e një mësimi të matematikës në klasën 2 "B"

Matematika

Tema e mësimit

"Pjestimi i një numri me 1 dhe me vetveten"

Klasa

2 "B"

UMK

"Planeti i dijes"

Lloji i mësimit

Një mësim për të mësuar gjëra të reja

Qëllimi, objektivat

Synimi:Krijimi atmosferë të favorshme të studiojë temën “Pjestimi me 1 dhe në vetvete”

Edukative:
1) Konsideroni rastet e pjesëtimit të çdo numri me 1, në vetvete, pjesëtimi i 0 me një numër, pamundësia e pjesëtimit me 0;

2) Vazhdoni të punoni për të kuptuarit e nxënësve për marrëdhënien midis përbërësve dhe rezultateve të shumëzimit dhe pjesëtimit;
3) Përmirësimi i aftësive për zgjidhjen e problemeve;

Edukative:
1) zhvillojnë shkrim-lexim fjalim monolog

Edukative:
1) kultivoni dashurinë për lëndën që studiohet.

Informacione të përgjithshme

UUD e formuar

Njihni rregullat për pjesëtimin e një numri me 1 dhe me vetveten

Metasubjekti UUD

Perceptoni detyrën mësimoreduke kursyertgjatë gjithë orës së mësimit.

Jini në gjendje të formuloni mendimet tuaja me kompetencë dhe qartësi

UUD personale

Të dinë të përdorin formularët e vetëvlerësimit

Komunikues: make up oral të vogël deklarata monologe

Personale

përdorin format e vetëvlerësimit në klasë

Rezultatet e planifikuara të mësimit

Literatura dhe burimet e internetit

Teksti mësimor i matematikës për klasën 2, Bashmakov M.I., Nefedova M.G.

Shtesë

Skemat, tabelat

Pajisjet

TCO-kompjuter (prezantim), libër shkollor,I zgjuar- bord

Për studentët:

tekstet shkollore

Plani i mësimit:

Momenti organizativ(2 min)

Numërimi oral (5 min)

Përditëso njohuri të sfondit(3 min)

Zbulimi i njohurive të reja (14min)

Minuta e edukimit fizik (2 min)

Konsolidimi parësor me shqiptimin në fjalimin e jashtëm (14 min)

Udhëzime për kryerjen e detyrave të shtëpisë (2 min)

Reflektimi (3 min)

Ecuria e mësimit:

Prezantimi multimedial

RUUD: pranoni një detyrë mësimore

2.Numërimi me gojë

Forconi aftësitë

Lojë "Zinxhiri"

Një vemje është zvarritur, ndihmojeni të gjejë kuptimin.

320 -300: 4 . 9 +9:9

Çfarë kujtove?

Nuk mund të hyj në " Qytet me diell" Ka një kod në portë që ai nuk mund ta deshifrojë. Ndihmoje atë.

Detyra në rrëshqitje

Ata e ndihmojnë Dunno-n të zgjidhë problemet

Numërimi me gojë

Puna në një fletore

demonstrim

PUUD: Të jetë në gjendje të riprodhohet teknikat orale shtesë

Të jetë në gjendje të llogarisë shumën dhe diferencën duke përdorur algoritme të shkruara shtesë.

të jetë në gjendje të zgjidhë shembuj.

RUUD:

pranoni një detyrë mësimore

RUUD:

pranoni një detyrë mësimore

WPMP:

Të njohë përbërësit e shumëzimit dhe pjesëtimit

3.Përditësimi i njohurive bazë

Përsëritja e materialit të mbuluar

Çfarë rregullash keni përdorur?

Si të gjeni një shumëzues të panjohur?

Si të gjeni pjesëtuesin? Si të gjeni dividentin?

Gjetja shumëzues i panjohur, divident dhe pjesëtues.

Ndani vlerën e produktit me një faktor të njohur.

Ju duhet të ndani dividentin me vlerën e koeficientit.

Shumëzoni vlerën e herësit me pjesëtuesin.

Anketa

Demonstrimi

4 .Zbulimi i njohurive të reja

Zbulimi i njohurive të reja

Masha dhe Misha në tabelë.

7:1=7 9:1=9

7:7=1 9:9=9

0:7=0 0:9=1

Si janë të ngjashme shprehjet e Mashës dhe Mishës? A kemi hasur më parë shprehje të tilla?

Kush mund të thotë se çfarë do të mësojmë sot?

Dhe ne do të zbulojmë diçka tjetër.

Cili fëmijë e bëri atë saktë? D. Masha.

Provoje atë.

konkluzioni:

Kur pjesëtojmë një numër me 1, marrim të njëjtin numër; a:1=a.

Kur pjesëtojmë një numër me vetveten, marrim 1. Me kusht që a=0; a: a=1, a=0.

Kur pjesëtojmë 0 me ndonjë numër, marrim 0, me kusht që a = 0; 0:a=0, a=0.

Kontrolloni përfundimin me rregullat në f. 54

Nuk vutë re asgjë? Mendoni pse nuk mund të pjesëtoni me 0.

Të dyja kanë një herës, pjesëtimi me 1, pjesëtimi me vetveten, pjesëtimi i 0 me një numër.

Nr.

Sot do të mësojmë se si të pjesëtojmë çdo numër me 1, në vetvete, të pjesëtojmë 0 me një numër ...

Nëse jemi 7 . 7=7, 0 . 7=0. Kjo do të thotë se është plotësuar, saktë, d.m.th. Vlera e herësit shumëzohet me pjesëtuesin për të marrë dividentin.

Unë i vendos rregullat në tabela ndërsa i shpjegoj dhe i shpjegojmë së bashku.

Ekziston edhe një rregull i katërt. Ju nuk mund të pjesëtoni me 0. një: 0

Për shembull: 3:0=3, do të kontrolloj.

3 . 0=0, por sipas rregullit duhet të jetë 3. Kjo nuk mund të ndodhë!

Prandaj, nuk mund të pjesëtoni me 0.

Anketa

bashkëbisedim

Prezantimi multimedial

Demonstrimi

RUUD:

pranoni një detyrë mësimore

WPMP:

Njihni rregullin e pjesëtimit me 0, veten dhe 1

5. Minuta fizike

Rivendosja e funksionalitetit

Regjistrim video

6 .Konsolidimi parësor me shqiptim në të folurit e jashtëm

Konsolidoni njohuritë e fituara

Dunno i ka zgjidhur të gjitha shprehjet në tabelë dhe po pret që ju të kontrolloni me të. Plotësoni punën në fletoret tuaja dhe kontrolloni me tabelën.

9:1=1 9 0:5=5 0

63:1=63 0:54=0

8:8=1 0:12=0

75:75=0 1 14:0=0

Çfarë keni vënë re?

Kush u kap në të?

Çfarë nuk e di?

konkluzioni

Çfarë nuk mësoi Dunno?

Problemi nr. 170

Lexoni problemin. Nënvizoni pyetjen e fundit. Çfarë do të mësojmë në problem? Çfarë dihet për problemin?

Si të tregohet në diagram?

Çfarë duhet të dini?

Kush do të shkojë në bord dhe do të zgjidhë problemin?

Zgjidhja është në tabelë dhe në fletore.

48-6=42 (ok.) i kapur nga Sasha.

42:7=6 (ok.) e kapi Kolya.

48+42+6=96 (përafërsisht)

Përgjigje: Të gjithë djemtë kapën 96 purteka.

Kush do të donte të provonte njohuritë e tyre në zgjidhjen e problemeve? kompleksiteti i shtuar? (një nxënës zgjidh problemin nëI zgjuar-në ​​tabelë, një tjetër në një kartë nga koleksioni - me temën "Shumëzimi dhe ndarja"

Një kurth.

Ju nuk mund të pjesëtoni me 0.

Shpjegoni shprehjet e mbetura.

Sa purteka kapën të tre djemtë?

Se ishin tre djem Misha, Sasha dhe Kolya.

Misha kapi 48 purteka. Sasha, nuk e dimë sa, por thuhet se janë 6 më pak.

Dhe Kolya - ne gjithashtu nuk e dimë sa, por e dimë që është 7 herë më pak se Sasha.

Sa purteka kapën të tre djemtë?

Ushtrime

bashkëbisedim

WPMP:

Njihni rregullën e pjesëtimit me 0, 1 dhe vetveten, të jeni në gjendje t'i zbatoni ato gjatë zgjidhjes së problemeve

RUUD:

pranoni një detyrë mësimore

KUUD: Jini në gjendje të formuloni saktë dhe me kompetencë pyetjet dhe përgjigjet tuaja, ndërtoni thëniet e të folurit;

LUUD: Të jetë në gjendje të shprehet mendimin e vet dhe pozicioni

6.Udhëzim për plotësimin e detyrave të shtëpisë

Shpjegimi i detyrave të shtëpisë

Hapni ditarët dhe shkruani detyrat e shtëpisë

№ 167 (6 shprehjet e fundit), Nr. 169 (5 z.)

Fjala e mësuesit

7.Reflektimi

Duke përmbledhur mësimin

Tani le të kthehemi te Misha jonë dhe të kontrollojmë se çfarë ka gabuar.

9:9=1 është e saktë sepse 9 . 1=9

9:9=9 1 është e pasaktë sepse Kur një numër pjesëtohet me vetveten, marrim 1.

0:9=1 0 është e pasaktë sepse kur pjesëtojmë 0 me një numër jo të barabartë me 0, marrim 0. Në cilën kurth nuk duhet të biem?. Faleminderit të gjithëve. Mësimi ka mbaruar.

Përgjigjuni pyetjeve të mësuesit

Ju nuk mund të pjesëtoni me 0.

bashkëbisedim

CUUD: dëgjoni të tjerët, ndiqni rregullat e komunikimit; dhe formulojnë saktë pyetjet dhe përgjigjet e tyre, ndërtojnë deklarata të të folurit;

shprehin mendimet dhe qëndrimet e tyre

LUUD: dëgjoni të tjerët, ndiqni rregullat e komunikimit

• të mësojë pjesëtimin me 0 dhe 1 në bazë të lidhjes me veprimin e shumëzimit; të konsolidojë njohuritë për lidhjen midis përbërësve të veprimeve të shumëzimit dhe pjesëtimit;
• përsëritni rastet e tabelave të studiuara të shumëzimit dhe pjesëtimit (me 2, 3, 4, 5); zhvillimi i operacioneve mendore;
• kultivojnë kontroll të ndërsjellë, vetëkontroll, vetëvlerësim; saktësi, vëmendje.

Pajisjet: Teksti mësimor “Matematika ime” klasa e dytë Sistemi arsimor"School 2100" nga T.E Demidova, S.A. Kozlova, A.P. Tonkikh, pjesa 3, fq. 10–11 (shih. Shtojca 2); prezantim për mësimin (shih Shtojca 1), diagrame, karta detyrash.

Detyra 1

Mësues: Bëni 4 barazi të mundshme me numrat 20, 4, 5; 18, 3, 6.

Kryen në mënyrë të pavarur në fletore dhe në tabelë nga 2 nxënës për kontroll të ndërsjellë. Për më tepër.* a, në, me (me letra)

– Si lidhet pjesëtimi me shumëzimin? Rrëshqitja 1(Nëse produkti pjesëtohet me një faktor, marrim një faktor tjetër).

a b = c c: c = a

2. Paraqitja e detyrës edukative dhe zgjidhja e saj

1) Ushtrimi 2

– Gjeni vlerën e shprehjes së dytë në secilën kolonë duke llogaritur vlerën e së parës.

Deklarata e detyrës edukative 1:

– Sa është herësi i pjesëtimit të ndonjë numri? A për njësi?

Zgjidhja e problemit arsimor:

– Kur pjesëtohet ndonjë numër A për njësi marrim të njëjtin numër.

Rrëshqitja 2

a: 1 = a, pasi, a 1 = a

Deklarata e detyrës edukative 2:

– A është e mundur të zgjedhim një numër që, nëse shumëzohet me 0, do të na jepte 5 ose 7? (Jo.)
– A ka kuptim shprehja: 5 pjesëtohet me 0, 7 pjesëtohet me 0? (Jo.)

Zgjidhja e problemit arsimor:
Rrëshqitja 3

Ju nuk mund të pjesëtoni me zero.

2) Detyra 3

– Gjeni vlerën e shprehjes së dytë në secilën kolonë duke llogaritur vlerën e së parës. Kryhet në rreshta në fletore dhe në tabelë për kontroll të ndërsjellë dhe vetëkontroll.

Deklarata e detyrës edukative 3:

– Sa është herësi i zeros i pjesëtuar me ndonjë numër? A, Jo e barabartë me zero?

Zgjidhja e problemit arsimor:

– Kur zero pjesëtohet me ndonjë numër që nuk është i barabartë me zero, marrim zero.

Rrëshqitja 4

0: a = 0, me a = 0, pasi a 0 = 0

3) Detyra 4

– Gjeni vlerën e shprehjes në secilën kolonë duke llogaritur vlerën e së parës.

Kryen në rreshta në fletore dhe në tabelë për kontroll të ndërsjellë dhe vetëkontroll.

Deklarata e detyrës edukative 4:

– Sa është herësi i pjesëtimit të çdo numri a, jo të barabartë me zero, me të njëjtin numër?

Zgjidhja e problemit arsimor:

– Kur pjesëtojmë një numër a që nuk është i barabartë me zero, marrim një në vetvete. Sllajdi nr. 5 i aplikacionit

a: a = 1, për a = 0, pasi a 1 = a

4) Mësimi i edukimit fizik "Ushtrimi"

Çdo ditë në mëngjes bëjmë ushtrime (duke ecur në vend).
Ne me të vërtetë na pëlqen ta bëjmë atë në rregull:
Argëtohu duke ecur (duke ecur),
Ngrini duart lart (Duart lart),
Uluni dhe ngrihuni në këmbë (squats 4-6 herë),
Kërce dhe galop (5–6 kërcime).

Numërimi ritmik. Ushtrime për sytë.

3. Konsolidimi primar

1) Detyra 5

Puna ekipore në bord me një shpjegim.

– Gjeni, nëse është e mundur, kuptimet e shprehjeve. Dilni me shprehje të ngjashme dhe gjeni kuptimet e tyre.*

2) Punë e pavarur sipas opsioneve

Rrëshqitja 6

25: 25 = 37: 1 = 0: 147 = 2: 0 = 0: 1 =

52: 52 = 73: 1 = 0: 741 = 5: 0 = 1: 1 =

– Provoni veten duke bërë të kundërtën.

Vetëtestimi në rrëshqitjen 7. Rishikimi nga kolegët. Vetëvlerësimi.

3) Mësimi i edukimit fizik "Ushtrimi"

Një herë - ngrihuni, shtrihuni,
Dy - përkuluni, drejtohuni,
Tre - tre duartrokitje të duarve tuaja,
Tre tundje të kokës.
Katër - krahët më të gjerë,
Pesë - tundni krahët,
Gjashtë - uluni në heshtje në tryezën tuaj.

Akupresura. Ushtrime të frymëmarrjes.

– Si do ta formulonit temën e mësimit tonë sot? E cila objektivat mësimore vendosur? Si do ta vlerësonit njohuritë tuaja të marra në mësim?

Zgjidhja e problemës (teksti mësimor nr. 7a)

Rrëshqitja 7

“Nga shtrati i kopshtit u mblodhën 72 karota, një pjesë e karotave u përdor dhe pjesa tjetër u lidh në 5 tufa me nga 9 karota secila. Sa karota keni përdorur?”

- Lexojeni. Për çfarë është detyra? Çfarë dihet? Si e shënojmë numrin e karotave të mbledhura? (i gjithë segmenti). Si e shënojmë numrin e karotave të konsumuara? (pjesë e një segmenti).

– Si e shënojmë numrin e karotave të lidhura? (pjesë e një segmenti). Cila pjesë mund të gjendet menjëherë? (le ta shkruajmë si veprim). Çfarë duhet të dini në problem? Si të gjeni një pjesë të panjohur? (zbrisni pjesën e njohur nga e tëra). Le të shkruajmë zgjidhjen dhe të llogarisim. Le të kujtojmë rendin e veprimeve në shprehje.

72 – 9 5 = 27 (m) – e përdorur.

– Si e gjetët pjesën e njohur?
– Si e gjetët pjesën e panjohur?

1) për të përforcuar temën e mësimit - kartat;
2) për të përmirësuar njohuritë e tabelave të shumëzimit dhe pjesëtimit me 2, 3, 4, 5 - karta.
3) për studentët e fortë ekuacioni ( Rrëshqitja 8):

1. x 1 = 45; y: y = 1; x 5 = 50
2. Nr 6 me 11, 1 dhe 2 kolona. (Në bord)

7. Detyrë shtëpie

F. 11 Nr. 8, Nr. 6 (3 f.).

8. Përmbledhje e mësimit

- Çfarë mësoi Kolya? (faqe 11, fushë me ngjyra) (Pjesëtoni me zero dhe një). Po ju? Si do ta vlerësoni punën tuaj në klasë?

(Vetëvlerësimi - fëmijët ngrenë rrathë të gjelbër, të verdhë, të kuq)

E gjelbër- Jam i kënaqur me veten time, gjithçka më funksionoi;
E verdha– Jam i kënaqur me veten, megjithëse nuk ia dola;
E kuqe- Kam nevojë për ndihmë.

Numri 0 mund të imagjinohet si një kufi i caktuar që ndan botën numra realë nga imagjinare ose negative. Për shkak të pozicionit të paqartë, shumë operacione me këtë vlerë numerike mos u bind logjika matematikore. Pamundësia e pjesëtimit me zero është shembulli kryesor i kësaj. Dhe e lejuara veprimet aritmetike me zero mund të bëhet duke përdorur përkufizime të pranuara përgjithësisht.

Historia e zeros

Zero është pikë referimi në të gjitha sistemet standarde llogaritje. Evropianët filluan ta përdorin këtë numër relativisht kohët e fundit, por të urtët India e lashtë po përdornin zeron një mijë vjet përpara se numri bosh të hynte në përdorim të rregullt nga matematikanët evropianë. Edhe para indianëve, zero ishte një vlerë e detyrueshme sistemi numerik Maja. Këta amerikanë përdorën sistemin e numrave duodecimal dhe dita e parë e çdo muaji fillonte me një zero. Është interesante që midis majave, shenja që tregon "zero" përkon plotësisht me shenjën që tregon "pafundësi". Kështu, majanët e lashtë arritën në përfundimin se këto sasi janë identike dhe të panjohura.

Veprime matematikore me zero

Standard operacionet matematikore me zero mund të reduktohet në disa rregulla.

Mbledhja: nëse i shtoni zero një numri arbitrar, ai nuk do të ndryshojë vlerën e tij (0+x=x).

Zbritja: Kur zbritni zero nga çdo numër, vlera e nëntrahendës mbetet e pandryshuar (x-0=x).

Shumëzimi: Çdo numër i shumëzuar me 0 prodhon 0 (a*0=0).

Pjesëtimi: Zero mund të pjesëtohet me çdo numër që nuk është i barabartë me zero. Në këtë rast, vlera e një fraksioni të tillë do të jetë 0. Dhe pjesëtimi me zero është i ndaluar.

Eksponentimi. Ky veprim mund të kryhet me çdo numër. Numri arbitrar, e ngritur në fuqinë zero, jep 1 (x 0 = 1).

Zero për çdo fuqi është e barabartë me 0 (0 a = 0).

Në këtë rast, lind menjëherë një kontradiktë: shprehja 0 0 nuk ka kuptim.

Paradokset e matematikës

Shumë njerëz e dinë nga shkolla se pjesëtimi me zero është i pamundur. Por për disa arsye është e pamundur të shpjegohet arsyeja e një ndalimi të tillë. Në fakt, pse formula e pjesëtimit me zero nuk ekziston, por veprimet e tjera me këtë numër janë mjaft të arsyeshme dhe të mundshme? Përgjigjen për këtë pyetje e japin matematikanët.

Puna është se veprimet e zakonshme aritmetike në të cilat mësojnë nxënësit e shkollës shkollën fillore, në fakt, nuk janë aq të barabartë sa mendojmë. Të gjitha operacione të thjeshta me numra mund të reduktohet në dy: mbledhje dhe shumëzim. Këto veprime përbëjnë thelbin e vetë konceptit të numrit dhe operacionet e tjera janë ndërtuar mbi përdorimin e këtyre dyve.

Mbledhja dhe shumëzimi

Le të marrim shembull standard për zbritjen: 10-2=8. Në shkollë ata e konsiderojnë thjesht: nëse zbritni dy nga dhjetë lëndë, mbeten tetë. Por matematikanët e shikojnë këtë operacion krejtësisht ndryshe. Në fund të fundit, një operacion i tillë si zbritja nuk ekziston për ta. Ky shembull mund të shkruhet në një mënyrë tjetër: x+2=10. Për matematikanët, ndryshimi i panjohur është thjesht numri që duhet të shtohet në dy për të bërë tetë. Dhe këtu nuk kërkohet zbritje, thjesht duhet të gjeni vlerën e duhur numerike.

Shumëzimi dhe pjesëtimi trajtohen njësoj. Në shembullin 12:4=3 mund ta kuptoni këtë ne po flasim për rreth ndarjes së tetë objekteve në dy grumbuj të barabartë. Por në realitet, kjo është vetëm një formulë e përmbysur për të shkruar 3x4 = 12. Shembuj të tillë të ndarjes mund të jepen pafundësisht.

Shembuj të pjesëtimit me 0

Këtu bëhet pak e qartë pse nuk mund të pjesëtosh me zero. Shumëzimi dhe pjesëtimi me zero ndjekin rregullat e tyre. Të gjithë shembujt e pjesëtimit të kësaj sasie mund të formulohen si 6:0 = x. Por ky është një shënim i përmbysur i shprehjes 6 * x = 0. Por, siç e dini, çdo numër i shumëzuar me 0 jep vetëm 0 në produkt. Kjo veti është e natyrshme në vetë konceptin e vlerës zero.

Rezulton se nuk ka një numër të tillë që, kur shumëzohet me 0, të japë ndonjë vlerë të prekshme, d.m.th. këtë detyrë nuk ka zgjidhje. Nuk duhet të keni frikë nga kjo përgjigje, është një përgjigje e natyrshme për problemet e këtij lloji. Vetëm se rekordi 6:0 nuk ka kuptim dhe nuk mund të shpjegojë asgjë. Shkurtimisht, kjo shprehje mund të shpjegohet me shprehjen e pavdekshme "pjestimi me zero është i pamundur".

A ka një operacion 0:0? Në të vërtetë, nëse veprimi i shumëzimit me 0 është i ligjshëm, a mund të pjesëtohet zero me zero? Në fund të fundit, një ekuacion i formës 0x 5=0 është mjaft i ligjshëm. Në vend të numrit 5 mund të vendosni 0, produkti nuk do të ndryshojë.

Në të vërtetë, 0x0=0. Por ju ende nuk mund të pjesëtoni me 0. Siç u tha, ndarja është e thjeshtë. operacion i kundërt shumëzimi. Kështu, nëse në shembullin 0x5=0, duhet të përcaktoni faktorin e dytë, marrim 0x0=5. Ose 10. Ose pafundësi. Pjestimi i pafundësisë me zero - si ju pëlqen?

Por nëse ndonjë numër përshtatet në shprehje, atëherë nuk ka kuptim, ne nuk mundemi numër i pafund numrat, zgjidhni një. Dhe nëse po, kjo do të thotë se shprehja 0:0 nuk ka kuptim. Rezulton se edhe vetë zeroja nuk mund të ndahet me zero.

Matematikë e lartë

Pjesëtimi me zero është dhimbje koke Për matematika shkollore. Ka studiuar në universitetet teknike analiza matematikore zgjeron pak konceptin e problemeve që nuk kanë zgjidhje. Për shembull, tashmë shprehje e famshme 0:0 shtohen të reja që nuk kanë zgjidhje kurse shkollore matematika:

• pafundësia pjesëtuar me pafundësinë: ?:?;
• pafundësi minus pafundësi: ???;
• njësi e ndërtuar shkallë e pafundme: 1 ? ;
• pafundësi shumëzuar me 0: ?*0;
• disa të tjerë.

Është e pamundur të zgjidhen shprehje të tilla duke përdorur metoda elementare. Por matematikë e lartë falë veçori shtesë për një rresht shembuj të ngjashëm jep zgjidhjet përfundimtare. Kjo është veçanërisht e dukshme në shqyrtimin e problemeve nga teoria e kufijve.

Zhbllokimi i pasigurisë

Në teorinë e kufijve, vlera 0 zëvendësohet nga një infinitezim i kushtëzuar e ndryshueshme. Dhe shprehjet në të cilat, kur zëvendësohen vlerën e dëshiruar fitohet pjesëtimi me zero dhe shndërrohet. Më poshtë është një shembull standard i zbulimit të një kufiri duke përdorur transformime të zakonshme algjebrike:

Siç mund ta shihni në shembull, thjesht reduktimi i një fraksioni e çon vlerën e tij në një përgjigje plotësisht racionale.

Kur merren parasysh kufijtë funksionet trigonometrike shprehjet e tyre priren të reduktohen në të parën kufi i mrekullueshëm. Kur merren parasysh kufijtë në të cilët emëruesi bëhet 0 kur kufiri zëvendësohet, përdoret një kufi i dytë i dukshëm.

Metoda L'Hopital

Në disa raste, kufijtë e shprehjeve mund të zëvendësohen me kufijtë e derivateve të tyre. Guillaume L'Hopital - Matematikan francez, themelues shkollë franceze analiza matematikore. Ai vërtetoi se kufijtë e shprehjeve janë të barabartë me kufijtë e derivateve të këtyre shprehjeve. NË shënimi matematik rregulli i tij është si më poshtë.

Aktualisht, metoda e L'Hopital përdoret me sukses për të zgjidhur pasiguritë e llojit 0:0 ose?:?

Si të pjesëtohet dhe shumëzohet me 0.1; 0,01; 0,001, etj.?

Shkruani rregullat për pjesëtimin dhe shumëzimin.

Për të shumëzuar një numër me 0.1, ju vetëm duhet të lëvizni pikën dhjetore.

Për shembull ishte 56 , u bë 5,6 .

Për të ndarë me të njëjtin numër, duhet të lëvizni presjen në drejtim të kundërt:

Për shembull ishte 56 , u bë 560 .

Me numrin 0.01 gjithçka është e njëjtë, por ju duhet ta zhvendosni atë në 2 shifra, jo një.

Në përgjithësi, transferoni aq zero sa ju nevojiten.

Për shembull, ekziston një numër 123456789.

Duhet ta shumëzoni me 0.000000001

Ka nëntë zera në numrin 0.000000001 (ne numërojmë gjithashtu zeron në të majtë të pikës dhjetore), që do të thotë se e zhvendosim numrin 123456789 me 9 shifra:

Ishte 123456789 dhe tani është 0.123456789.

Për të mos shumëzuar, por për të pjesëtuar me të njëjtin numër, ne zhvendosemi në drejtimin tjetër:

Ishte 123456789 dhe tani është 123456789000000000.

Për të zhvendosur një numër të plotë në këtë mënyrë, ne thjesht shtojmë një zero në të. Dhe në thyesore lëvizim presjen.

Pjestimi i një numri me 0.1 korrespondon me shumëzimin e atij numri me 10

Pjesëtimi i një numri me 0.01 korrespondon me shumëzimin e atij numri me 100

Pjestimi me 0.001 shumëzohet me 1000.

Për ta bërë më të lehtë për t'u mbajtur mend, ne lexojmë numrin me të cilin duhet të ndajmë nga e djathta në të majtë, duke mos i kushtuar vëmendje presjes dhe të shumëzojmë me numrin që rezulton.

Shembull: 50: 0.0001. Kjo është e njëjtë me 50 shumëzuar me (lexo nga e djathta në të majtë pa presje - 10000) 10000. Rezulton 500000.

E njëjta gjë me shumëzimin, vetëm në të kundërt:

400 x 0,01 është e njëjtë me ndarjen e 400 me (lexoni nga e djathta në të majtë pa presje - 100) 100: 400: 100 = 4.

Për ata që e shohin më të përshtatshëm për të lëvizur presjet në të djathtë kur pjesëtohen dhe në të majtë kur shumëzohen kur shumëzohen dhe pjesëtohen me numra të tillë, mund ta bëni këtë.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Pjesëtimi me dhjetor

I. Për të pjesëtuar një numër me një thyesë dhjetore, duhet të zhvendosni numrat dhjetorë në dividend dhe pjesëtues djathtas aq shifra sa ka pas pikës dhjetore në pjesëtues dhe më pas pjesëtoni me numrin natyror.

Primary.

Kryeni ndarjen: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Zgjidhje.

Shembull 1) 16,38: 0,7.

Në ndarës 0,7 ka një shifër pas presjes dhjetore, kështu që le të zhvendosim presjet në dividend dhe pjesëtojmë një shifër djathtas.

Atëherë do të na duhet të ndajmë 163,8 në 7 .

Të bëjmë ndarjen sipas rregullit të ndarjes dhjetore në një numër natyror.

Ne ndajmë siç ndajnë ata numrat natyrorë. Si të hiqni numrin 8 - shifra e parë pas presjes dhjetore (d.m.th. shifra në vendin e dhjetë), pra menjëherë vendos presje në herës dhe vazhdoni të ndani.

Përgjigje: 23.4.

Shembull 2) 15,6: 0,15.

Lëvizim presje në dividend ( 15,6 ) dhe pjesëtues ( 0,15 ) dy shifra në të djathtë, pasi në pjesëtues 0,15 ka dy shifra pas presjes dhjetore.

Kujtojmë që thyesën dhjetore në të djathtë mund t'i shtoni sa zero të doni, dhe kjo nuk do ta ndryshojë thyesën dhjetore.

15,6:0,15=1560:15.

Kryejmë pjesëtimin e numrave natyrorë.

Përgjigje: 104.

Shembull 3) 3,114: 4,5.

Zhvendosni presjet në dividend dhe pjesëtojini një shifër djathtas dhe ndajeni 31,14 në 45 sipas rregullit të pjesëtimit të një thyese dhjetore me një numër natyror.

3,114:4,5=31,14:45.

Në herës vendosim presje sapo heqim numrin 1 në vendin e dhjetë. Më pas vazhdojmë ndarjen.

Për të përfunduar ndarjen duhej të caktonim zero tek numri 9 - dallimet midis numrave 414 Dhe 405 . (ne e dimë se zero mund të shtohen në anën e djathtë të një thyese dhjetore)

Përgjigje: 0,692.

Shembull 4) 53,84: 0,1.

Zhvendosni presjet në dividend dhe pjesëtuesin në 1 numri në të djathtë.

Ne marrim: 538,4:1=538,4.

Le të analizojmë barazinë: 53,84:0,1=538,4. Kushtojini vëmendje presjes në divident në këtë shembull dhe presjes në herësin që rezulton. Vëmë re se presja në divident është zhvendosur në 1 numër në të djathtë, sikur të shumëzoheshim 53,84 në 10. (Shihni videon "Shumëzimi i një dhjetore me 10, 100, 1000, etj.") Prandaj rregulli për pjesëtimin e një dhjetore me 0,1; 0,01; 0,001 etj.

II. Për të pjesëtuar një dhjetore me 0,1; 0,01; 0,001, etj., duhet të zhvendosni pikën dhjetore djathtas me 1, 2, 3, etj. (Pjestimi i një dhjetori me 0,1, 0,01, 0,001, etj. është njësoj si të shumëzoni atë dhjetore me 10, 100, 1000, etj.)

Shembuj.

Kryeni ndarjen: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Zgjidhje.

Shembull 1) 617,35: 0,1.

Sipas rregullit II pjesëtimi nga 0,1 është e barabartë me shumëzimin me 10 , dhe zhvendosni presjen në divident 1 shifër në të djathtë:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Shembull 2) 0,235: 0,01.

Ndarja nga 0,01 është e barabartë me shumëzimin me 100 , që do të thotë se ne zhvendosim presjen në divident në 2 shifra në të djathtë:

2) 0,235:0,01=23,5.

Shembull 3) 2,7845: 0,001.

Sepse pjesëtimi nga 0,001 është e barabartë me shumëzimin me 1000 , më pas lëvizni presjen 3 shifra në të djathtë:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Shembull 4) 26,397: 0,0001.

Ndani një dhjetore me 0,0001 - është njësoj si ta shumëzosh me 10000 (lëvizni presjen me 4 shifra drejtë). Ne marrim:

www.mathematics-repetition.com

Shumëzimi dhe pjesëtimi me numra të formës 10, 100, 0,1, 0,01

Ky video tutorial është i disponueshëm me abonim

Keni tashmë një abonim? Identifikohu

Aktiv këtë mësim Ne do të shikojmë se si të kryejmë shumëzimin dhe pjesëtimin me numra të formës 10, 100, 0.1, 0.001. Do të vendoset gjithashtu shembuj të ndryshëm në këtë temë.

Shumëzimi i numrave me 10, 100

Ushtrimi. Si të shumëzojmë numrin 25.78 me 10?

Shënim dhjetor numri i dhënëështë një formë e shkurtuar e shumës. Është e nevojshme të përshkruhet më në detaje:

Kështu, ju duhet të shumëzoni shumën. Për ta bërë këtë, thjesht mund të shumëzoni çdo term:

Rezulton se...

Mund të konkludojmë se shumëzimi i një thyese dhjetore me 10 është shumë i thjeshtë: duhet të zhvendosni pikën dhjetore në pozicionin e duhur.

Ushtrimi. Shumëzo 25.486 me 100.

Shumëzimi me 100 është i njëjtë me shumëzimin me 10 dy herë.

Pjestimi i numrave me 10, 100

Ushtrimi. Ndani 25.78 me 10.

Si në rastin e mëparshëm, duhet të paraqisni numrin 25.78 si shumë:

Meqenëse ju duhet të ndani shumën, kjo është e barabartë me ndarjen e secilit term:

Rezulton se për të ndarë me 10, duhet të zhvendosni pikën dhjetore në pozicionin e majtë. Për shembull:

Ushtrimi. Ndani 124.478 me 100.

Pjestimi me 100 është i njëjtë me pjesëtimin me 10 dy herë, kështu që pika dhjetore zhvendoset në të majtë me 2 vende:

Rregulla e shumëzimit dhe pjesëtimit me 10, 100, 1000

Nëse një thyesë dhjetore duhet të shumëzohet me 10, 100, 1000, e kështu me radhë, ju duhet ta zhvendosni pikën dhjetore në të djathtë me aq pozicione sa ka zero në shumëzues.

Në të kundërt, nëse një thyesë dhjetore duhet të pjesëtohet me 10, 100, 1000, e kështu me radhë, ju duhet ta zhvendosni pikën dhjetore majtas me aq pozicione sa ka zero në shumëzues.

Shembuj kur është e nevojshme të zhvendoset një presje, por nuk ka mbetur më numra

Shumëzimi me 100 do të thotë të zhvendosësh numrin dhjetor dy vende djathtas.

Pas zhvendosjes, mund të zbuloni se nuk ka më shifra pas pikës dhjetore, që do të thotë se pjesë thyesore mungon. Atëherë nuk ka nevojë për presje, numri është një numër i plotë.

Ju duhet të lëvizni 4 pozicione në të djathtë. Por ka vetëm dy shifra pas presjes dhjetore. Vlen të kujtohet se ekziston një shënim ekuivalent për thyesën 56.14.

Tani shumëzimi me 10,000 është i lehtë:

Nëse nuk është shumë e qartë pse mund të shtoni dy zero në fraksionin në shembullin e mëparshëm, atëherë videoja shtesë në lidhje mund të ndihmojë me këtë.

Ekuivalente shënimet dhjetore

Hyrja 52 nënkupton sa vijon:

Nëse vendosim 0 përpara, marrim hyrjen 052. Këto shënime janë ekuivalente.

A është e mundur të vendosësh dy zero përpara? Po, këto shënime janë ekuivalente.

Tani le të shohim thyesën dhjetore:

Nëse caktoni zero, ju merrni:

Këto shënime janë ekuivalente. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të caktoni zero të shumta.

Kështu, çdo numër mund të ketë disa zero pas pjesës thyesore dhe disa zero para pjesës së plotë. Këto do të jenë shënime ekuivalente të të njëjtit numër.

Meqenëse ndodh ndarja me 100, është e nevojshme të zhvendosni pozicionet e pikës dhjetore 2 në të majtë. Nuk ka mbetur asnjë numër në të majtë të presjes dhjetore. E gjithë pjesa mungon. Ky shënim përdoret shpesh nga programuesit. Në matematikë, nëse nuk ka pjesë të plotë, atëherë ata vendosin një zero në vend të saj.

Ju duhet ta zhvendosni atë në të majtë me tre pozicione, por ka vetëm dy pozicione. Nëse shkruani disa zero para një numri, ai do të jetë një shënim ekuivalent.

Kjo do të thotë, kur zhvendoseni në të majtë, nëse numrat mbarojnë, duhet t'i mbushni me zero.

NË në këtë rast Vlen të kujtohet se një presje vjen gjithmonë pas të gjithë pjesës. Pastaj:

Duke shumëzuar dhe pjesëtuar me 0,1, 0,01, 0,001

Shumëzimi dhe pjesëtimi me numrat 10, 100, 1000 është një procedurë shumë e thjeshtë. Situata është saktësisht e njëjtë me numrat 0.1, 0.01, 0.001.

Shembull. Shumëzoni 25,34 me 0,1.

Le ta shkruajmë thyesën dhjetore 0.1 si një thyesë të zakonshme. Por shumëzimi me është njësoj si pjesëtimi me 10. Prandaj, duhet të zhvendosni pozicionin e pikës dhjetore 1 në të majtë:

Në mënyrë të ngjashme, shumëzimi me 0.01 pjesëtohet me 100:

Shembull. 5.235 pjesëtuar me 0.1.

Zgjidhje ky shembullështë ndërtuar në mënyrë të ngjashme: 0.1 shprehet si thyesë e zakonshme, dhe pjesëtimi me është i njëjtë me shumëzimin me 10:

Kjo do të thotë, për të pjesëtuar me 0.1, duhet të zhvendosni pikën dhjetore në pozicionin e duhur, i cili është i barabartë me shumëzimin me 10.

Rregulla e shumëzimit dhe pjesëtimit me 0,1, 0,01, 0,001

Shumëzimi me 10 dhe pjesëtimi me 0.1 është e njëjta gjë. Presja duhet të zhvendoset në të djathtë me 1 pozicion.

Ata thonë se ju mund të pjesëtoni me zero nëse përcaktoni rezultatin e pjesëtimit me zero. Ju vetëm duhet të zgjeroni algjebrën. Për një rastësi të çuditshme, nuk është e mundur të gjesh të paktën një shembull, ose më mirë të kuptueshëm dhe të thjeshtë, të një zgjerimi të tillë. Për të rregulluar internetin, ju duhet ose një demonstrim i njërës prej metodave për një shtrirje të tillë, ose një përshkrim se pse kjo nuk është e mundur.

Artikulli është shkruar në vazhdimësi të trendit:

Mohim përgjegjësie

Kuptimi i parimeve të aritmetikës, elementare, të përgjithshme dhe algjebër lineare, analiza matematikore dhe jo standarde, teoria e grupeve, topologjia e përgjithshme, gjeometria projektive dhe afine - e dëshirueshme, por jo e nevojshme.

Asnjë pafundësi nuk u dëmtua gjatë eksperimenteve.

Prologu

1. Në fakt, gjithçka tashmë është ndarë para nesh!

1.1 Zgjatja afine e rreshtit numerik

Në vend që të nxitojmë me kokë në pishinë, le të shohim se çfarë derdhet në të dhe çfarë del prej saj. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim kufirin - mjetin kryesor të analizës matematikore. "Mashtrimi" kryesor është se kufiri ju lejon të shkoni në pikë e dhënë sa më afër që të jetë e mundur pa "shkelur mbi të". Një "gardh" i tillë përballë "pishinës".

Origjinale

Mirë, "gardhi" është ngritur. Nuk është më aq e frikshme. Ne kemi dy shtigje për në pishinë. Le të shkojmë në të majtë - një zbritje e pjerrët, në të djathtë - një ngjitje e pjerrët. Sado të ecni drejt "gardhit", ai nuk afrohet më. Nuk ka asnjë mënyrë për të kapërcyer "asgjënë" e poshtme dhe të sipërme. Dyshimet lindin: ndoshta po shkojmë në qarqe? Edhe pse jo, numrat ndryshojnë, që do të thotë se ata nuk janë në një rreth. Le të gërmojmë pak më shumë në gjoksin e mjeteve të analizës matematikore. Përveç kufijve me një "gardh", kompleti përfshin pafundësi pozitive dhe negative. Sasitë janë krejtësisht abstrakte (jo numra), të mirëformalizuara dhe të gatshme për përdorim! Kjo na përshtatet. Le të plotësojmë "qenien" tonë (shumë numra realë) dy pafundësi të nënshkruara.

Është kjo shtrirje që ju lejon të merrni një kufi kur argumenti tenton në pafundësi dhe të merrni pafundësi si rezultat i marrjes së kufirit.

Ka dy degë të matematikës që përshkruajnë të njëjtën gjë duke përdorur terminologji të ndryshme.

Le të përmbledhim:

Përfundimi është. Qasjet e vjetra nuk funksionojnë më. Kompleksiteti i sistemit, në formën e një tufe "nëse", "për të gjithë, por" etj., është rritur. Ne kishim vetëm dy pasiguri 1/0 dhe 0/0 (ne nuk morëm parasysh operacionet e energjisë), kështu që ishin pesë. Zbulimi i një pasigurie krijoi edhe më shumë pasiguri.

1.2 Rrota

Nuk u ndal me futjen e pafundësisë së panënshkruar. Për të dalë nga pasiguritë, ju duhet një erë e dytë.

Pra, ne kemi një grup numrash realë dhe dy pasiguri 1/0 dhe 0/0. Për të eliminuar të parën, ne kryem një zgjerim projektues të vijës numerike (d.m.th., futëm pafundësinë e panënshkruar). Le të përpiqemi të merremi me pasigurinë e dytë të formës 0/0. Le të bëjmë të njëjtën gjë. Le të shtojmë një element të ri në grupin e numrave, që përfaqëson pasigurinë e dytë.

Përkufizimi i veprimit të pjesëtimit bazohet në shumëzimin. Kjo nuk na shkon. Le t'i shkëputim veprimet nga njëri-tjetri, por të mbajmë sjelljen e zakonshme për numrat realë. Le të përcaktojmë një operacion të ndarjes unare, të shënuar me shenjën "/".

Le të përcaktojmë operacionet.

Kjo strukturë quhet "Rrota". Termi është marrë për shkak të ngjashmërisë së tij me pamjen topologjike të shtrirjes projektive të vijës numerike dhe pikës 0/0.

Gjithçka duket se duket mirë, por djalli është në detaje:

Për të vendosur të gjitha tiparet, përveç zgjerimit të grupit të elementeve, i bashkëngjitet një bonus në formën e jo një, por dy identiteteve që përshkruajnë ligjin shpërndarës.

Në gjuhën matematikore:

Nga pikëpamja e algjebrës së përgjithshme, ne operuam me terren. Dhe në terren, siç e dini, përcaktohen vetëm dy operacione (mbledhja dhe shumëzimi). Koncepti i ndarjes rrjedh nga anasjelltas, dhe, edhe më thellë, përmes elementeve të njësisë. Ndryshimet e bëra po na kthejnë sistemi algjebrik në një monoid si nga operacioni i mbledhjes (me zero si element neutral) ashtu edhe nga operacioni i shumëzimit (me një si element neutral).

Punimet e pionierëve nuk përdorin gjithmonë simbolet ∞ dhe ⊥. Në vend të kësaj, mund të gjeni hyrje në formën /0 dhe 0/0.

Bota nuk është më aq e mrekullueshme, apo jo? Megjithatë, nuk ka nevojë të nxitoni. Le të kontrollojmë nëse identitetet e reja të ligjit shpërndarës mund të përballen me grupin tonë të zgjeruar .

Këtë herë rezultati është shumë më i mirë.

Le të përmbledhim:

Përfundimi është. Algjebra funksionon shumë. Mirëpo, si bazë u mor koncepti i “papërcaktuar”, të cilin ata filluan ta konsiderojnë si diçka ekzistuese dhe të veprojnë me të. Një ditë dikush do të thotë se gjithçka është e keqe dhe se kjo "e papërcaktuar" duhet të zbërthehet në disa të tjera "të papërcaktuara", por më të vogla. Algjebër e përgjithshme do të thotë: "Nuk ka problem, vëlla!"
Kjo është afërsisht se si janë postuluar shtesë (j dhe k). njësi imagjinare në kuaternione Shto etiketa