Çfarë veti kanë numrat e trekëndëshit të Paskalit? Më pëlqen matematika

Historia e trekëndëshit. Përmendja e parë e një sekuence trekëndore të koeficientëve binomialë të quajtur meru-prastaara ndodh në një koment nga matematikani indian Halayudha i shekullit të 10-të mbi veprat e një matematikani tjetër, Pingala. Trekëndëshi u eksplorua gjithashtu nga Omar Khayyam rreth vitit 1100, kjo është arsyeja pse në Iran ky model quhet trekëndëshi Khayyam. Në vitin 1303 u botua libri "Pasqyra e Jasperit". katër elemente" nga matematikani kinez Zhu Shijie, në të cilin trekëndëshi i Paskalit ishte përshkruar në një nga ilustrimet; Besohet se është shpikur nga një matematikan tjetër kinez, Yang Hui (kjo është arsyeja pse kinezët e quajnë trekëndëshi i Yang Hui). Aktiv faqe titulli Një libër shkollor aritmetik i shkruar në 1529 nga Peter Apian, një astronom në Universitetin e Ingoltstadt, përshkruan gjithashtu trekëndëshin e Paskalit. Dhe në 1653 (në burime të tjera në 1655) u botua libri i Blaise Pascal "Traktat mbi trekëndëshin aritmetik".

Vetitë trekëndëshi i Paskalit. Nëse përshkruani trekëndëshin e Paskalit, ju merrni trekëndëshi dykëndësh. Në këtë trekëndësh, ka në krye dhe në anët. Çdo numër është i barabartë me shumën e dy numrave mbi të. Trekëndëshi mund të vazhdohet pafundësisht. Vijat e trekëndëshit janë simetrike në lidhje me boshti vertikal. Ka aplikim në teoria e probabilitetit ka veti argëtuese.

Vetitë e trekëndëshit të Paskalit. Numrat e një trekëndëshi janë simetrik (të barabartë) rreth boshtit vertikal. së pari dhe numri i fundit janë të barabartë me 1. numri i dytë dhe i parafundit janë të barabartë me n. numri i tretë është i barabartë me numrin trekëndor, i cili është gjithashtu i barabartë me shumën e numrave të rreshtave të mëparshëm. numri i katërt është tetraedral. Shuma e numrave të diagonales rritëse duke filluar nga elementi i parë i rreshtit (n-1) është numri i n-të Fibonacci. Nëse zbritet nga numri qendror në një rresht me një numër çift, një numër ngjitur nga e njëjta rresht, atëherë ju merrni numrin katalan. Shuma numrat e n-të Rreshtat e trekëndëshit të Paskalit janë të barabartë me 2n. Faktorët kryesorë numrat e trekëndëshit të Paskalit formojnë struktura simetrike të vetëngjashme. Nëse në trekëndëshin e Paskalit gjithçka numra tek Ngjyrosni çiftet me ngjyrë të zezë dhe çiftet me ngjyrë të bardhë, atëherë formohet një trekëndësh Sierpinski. Të gjithë numrat në rreshtin e n-të, përveç atyre, pjesëtohen me numrin n nëse dhe vetëm nëse n është numër i thjeshtë. Nëse në një rresht me një numër tek mbledhim të gjithë numrat nga numrat serialë të formës 3n, 3n+1, 3n+2, atëherë dy shumat e para do të jenë të barabarta dhe e treta do të jetë 1 më pak. Çdo numër në trekëndësh është i barabartë me numrin e mënyrave për të arritur tek ai nga kulmi, duke lëvizur ose djathtas-poshtë ose majtas-poshtë.

Shkencëtari i famshëm amerikan Martin Gardner tha: “Trekëndëshi i Paskalit është aq i thjeshtë sa edhe një fëmijë dhjetëvjeçar mund ta shkruajë atë. Në të njëjtën kohë, ai fsheh thesare të pashtershme dhe lidh së bashku aspekte të ndryshme matematikanët që në shikim të parë nuk kanë asgjë të përbashkët me njëri-tjetrin. Veti të tilla të pazakonta na lejojnë ta konsiderojmë trekëndëshin e Paskalit një nga skemat më elegante në të gjithë matematikën.

Shqyrtoni shprehjet e mëposhtme me fuqi (a + b) n, ku a + b është çdo binom dhe n është një numër i plotë.

Çdo shprehje është një polinom. Mund të vëreni veçori në të gjitha shprehjet.

1. Në çdo shprehje ka një term më shumë se eksponenti n.

2. Në çdo term shuma e fuqive është e barabartë me n, d.m.th. fuqia në të cilën ngrihet një binom.

3. Fuqitë fillojnë nga fuqia binomiale n dhe ulen drejt 0. Termi i fundit nuk ka faktor a. Termi i parë nuk ka faktor b, d.m.th. gradë b fillojnë nga 0 dhe rriten në n.

4. Koeficientët fillojnë me 1 dhe rriten me vlera të caktuara deri në "gjysmë", dhe më pas ulen me të njëjtat vlera përsëri në 1.

Le të shohim më nga afër koeficientët. Le të themi se duam të gjejmë vlerën e (a + b) 6 . Sipas veçorisë që sapo vumë re, këtu duhet të jenë 7 anëtarë
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Por si mund ta përcaktojmë vlerën e secilit koeficient, c i ? Ne mund ta bëjmë këtë në dy mënyra. Metoda e parë përfshin shkrimin e koeficientëve në një trekëndësh, siç tregohet më poshtë. Kjo njihet si trekëndëshi i Paskalit :

Ka shumë veçori në trekëndësh. Gjeni sa më shumë që të mundeni.
Ju mund të keni gjetur një mënyrë për të shkruar vargun tjetër të numrave duke përdorur numrat në rreshtin e mësipërm. Njësitë janë gjithmonë të vendosura në anët. Çdo numër i mbetur është shuma e dy numrave mbi atë numër. Le të përpiqemi të gjejmë vlerën e shprehjes (a + b) 6 duke shtuar rreshtin e mëposhtëm, duke përdorur veçoritë që gjetëm:

Këtë e shohim në rreshtin e fundit

numrat e parë dhe të fundit 1 ;
numri i dytë është 1 + 5, ose 6 ;
numri i tretë është 5 + 10, ose 15 ;
numri i katërt është 10 + 10, ose 20 ;
numri i pestë është 10 + 5, ose 15 ; Dhe
numri i gjashtë është 5 + 1, ose 6 .

Pra shprehja (a + b) 6 do të jetë e barabartë me
(a + b) 6 = 1 një 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6.

Për të ngritur në fuqinë (a + b) 8, ne shtojmë dy rreshta në trekëndëshin e Paskalit:

Pastaj
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Ne mund t'i përmbledhim rezultatet tona si më poshtë.

Binomi i Njutonit duke përdorur trekëndëshin e Paskalit

Për çdo binom a+ b dhe cilindo numri natyror n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n ,
ku numrat c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n janë marrë nga seria (n + 1) e trekëndëshit të Paskalit.

Shembulli 1 Ngritja në një fuqi: (u - v) 5 .

Zgjidhje Kemi (a + b)n, ku a = u, b = -v dhe n = 5. Ne përdorim rreshtin e 6-të të trekëndëshit të Paskalit:
1 5 10 10 5 1
Pastaj kemi
(u - v) 5 = 5 = 1 (u) 5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
Vini re se shenjat e termave luhaten midis + dhe -. Kur shkalla -v është një numër tek, shenja është -.

Shembulli 2 Ngritja në një fuqi: (2t + 3/t) 4 .

Zgjidhje Kemi (a + b)n, ku a = 2t, b = 3/t dhe n = 4. Ne përdorim rreshtin e 5-të të trekëndëshit të Paskalit:
1 4 6 4 1
Pastaj kemi

Zgjerimi binomial duke përdorur vlera faktoriale

Le të themi se duam të gjejmë vlerën e (a + b) 11. Disavantazhi i përdorimit të trekëndëshit të Paskalit është se ne duhet të llogarisim të gjitha rreshtat e mëparshëm të trekëndëshit për të marrë rreshti i kërkuar. Metoda tjetër ju lejon të shmangni këtë. Gjithashtu ju lejon të gjeni një rresht specifik - le të themi rreshtin e 8-të - pa pasur nevojë të vlerësoni të gjitha rreshtat e tjerë. Kjo metodë është e dobishme në llogaritjet, statistikat dhe përdor shënimi i koeficientit binom .
Binomin e Njutonit mund ta formulojmë si më poshtë.

Binomi i Njutonit duke përdorur shënimin faktorial

Për çdo binom (a + b) dhe çdo numër natyror n,
.

Binomi i Njutonit mund të vërtetohet me metodën induksioni matematik. Tregon pse quhet koeficienti binomial .

Shembulli 3 Ngritja në një fuqi: (x 2 - 2y) 5 .

Zgjidhje Kemi (a + b) n , ku a = x 2 , b = -2y dhe n = 5. Pastaj, duke përdorur binomin e Njutonit, kemi

Së fundi, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

Shembulli 4 Ngritja në një fuqi: (2/x + 3√x) 4.

Zgjidhje Kemi (a + b)n, ku a = 2/x, b = 3√x dhe n = 4. Pastaj, duke përdorur binomin e Njutonit, marrim

Së fundi (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Gjetja e një anëtari specifik

Le të supozojmë se duam të përcaktojmë një ose një term tjetër nga një shprehje. Metoda që kemi zhvilluar do të na lejojë të gjejmë këtë term pa llogaritur të gjitha rreshtat e trekëndëshit të Paskalit ose të gjithë koeficientët e mëparshëm.

Vini re se në binomin e Njutonit na jep termin e parë, na jep termin e 2-të, na jep termin e 3-të e kështu me radhë. Kjo mund të përmblidhet si më poshtë.

Gjetja e termit (k + 1).

(k + 1) termi i shprehjes (a + b) n është .

Shembulli 5 Gjeni termin e 5-të në shprehjen (2x - 5y) 6 .

Zgjidhje Së pari, vini re se 5 = 4 + 1. Pastaj k = 4, a = 2x, b = -5y dhe n = 6. Atëherë termi i 5-të i shprehjes do të jetë

Shembulli 6 Gjeni termin e 8-të në shprehjen (3x - 2) 10.

Zgjidhje Së pari, vërejmë se 8 = 7 + 1. Pastaj k = 7, a = 3x, b = -2 dhe n = 10. Atëherë termi i 8-të i shprehjes do të jetë

Numri total i nëngrupeve

Supozoni se një grup ka n objekte. Numri i nëngrupeve që përmbajnë k elementë është . Numri i përgjithshëm i nëngrupeve të një grupi është numri i nëngrupeve me 0 elementë, si dhe numri i nëngrupeve me 1 element, si dhe numri i nëngrupeve me 2 elemente, e kështu me radhë. Numri i përgjithshëm i nëngrupeve të një bashkësie me n elementë është
.
Tani le të shohim ngritjen në fuqinë (1 + 1) n:

.
Pra. numri total i nëngrupeve është (1 + 1) n, ose 2 n. Ne kemi vërtetuar sa vijon.

Numri total i nëngrupeve

Numri i përgjithshëm i nëngrupeve të një grupi me n elementë është 2n.

Shembulli 7 Sa nëngrupe ka bashkësia (A, B, C, D, E)?

Zgjidhje Kompleti ka 5 elementë, atëherë numri i nëngrupeve është 2 5, ose 32.

Shembulli 8 Zinxhiri i restoranteve Wendy's ofron mbushjet e mëposhtme të hamburgerit:
{ketchup, mustardë, majonezë, domate, marule, qepë, kërpudha, ullinj, djathë}.
Sa shumë lloje të ndryshmeÇfarë burgerë mund të ofrojë Wendy, duke përjashtuar madhësinë e hamburgerëve apo numrin e hamburgerëve?

Zgjidhje Mbushjet në çdo hamburger janë anëtarë të një nëngrupi të grupit të të gjitha shtesave të mundshme, dhe grupi bosh është vetëm një hamburger. Numri i përgjithshëm i hamburgerëve të mundshëm do të jetë i barabartë me

. Kështu, Wendy's mund të ofrojë 512 hamburgerë të ndryshëm.

Botuar në revistën Hard"n"Soft Nr. 10 2003

Trekëndëshi mahnitës i francezit të madh

Më kujtohet mirë një profesor që kishte
vizion dhe mendoi se po çmendej.
Ai erdhi tek unë në një gjendje paniku të plotë.
Si përgjigje, thjesht mora një libër nga rafti i shkruar nga
rreth katërqind vjet më parë, dhe i tregoi pacientit
gdhendje në dru që përshkruan saktësisht
atë që ai imagjinonte.
Karl Gustav Jung. Njeriu dhe simbolet e tij.

Kur lexoj Paskalin, më duket
që po lexoj vetë.
Stendali

Formulimi poshtërues" njerëz të pazëvendësueshëm jo,” aq i dashur nga menaxherët e paaftë, mund të ishte i përshtatshëm nëse do të flisnim për gërmimin e një llogore ose pastrimin e plehrave, përkundrazi, do të tregonte pazëvendësueshmërinë dhe veçantinë e çdo personi po flasim për për gjenitë, atëherë të gjithë duhet të falënderojmë fatin për mundësinë për të shijuar frytet e veprimtarisë së tyre, për dritën që buron prej tyre, duke ndriçuar rrugët e zhvillimit njerëzor. Në faqen e internetit të revistës "Dituria është Fuqi" ka një votim se kë e konsideroni shkencëtarin më domethënës të 2000 viteve të fundit. (http://www.znanie-sila.ru/vote/?id=2 - shikoni, meqë ra fjala, është interesante të krahasoni preferencat tuaja me zgjedhjen e shumicës.) Dhe, natyrisht, ndër shkencëtarët më të njohur ne shih me të drejtë emrin e Blaise Pascal (1623 -1662).

Paskali vdiq kur ishte 39 vjeç, por pavarësisht nga kjo jetë e shkurtër, ai hyri në histori si matematikan i shquar, fizikan, filozof dhe shkrimtar. Një njësi presioni (paskal) dhe një gjuhë programimi jashtëzakonisht e përhapur janë emëruar pas tij nga pasardhësit e tij mirënjohës. Turbo Pascal 5.5 për DOS ishte veçanërisht i popullarizuar, tani Borland Pascal 7.0 dhe i tij zhvillimin e mëtejshëm në Delphi. Veprat e Paskalit shtrihen më së shumti zona të ndryshme . Ai është një nga krijuesit analiza matematikore

, gjeometria projektive, teoria e probabilitetit, hidrostatika (ligji i Pascalit është i njohur gjerësisht, sipas të cilit një ndryshim i presionit në një lëng në qetësi transmetohet në pikat e tjera të tij pa ndryshime), krijuesi i një pajisjeje llogaritëse mekanike - "rrota Pascal" - siç thanë bashkëkohësit. Pascal demonstroi se ajri ka elasticitet, vërtetoi se ka peshë dhe zbuloi se leximet e barometrit varen nga lagështia dhe temperatura e ajrit dhe për këtë arsye mund të përdoren për të parashikuar motin. Disa nga arritjet praktike Paskali u shpërblye- sot pak njerëz e dinë emrin e autorit të tyre. Për shembull, tani shumë pak njerëz do të thonë se makina më e zakonshme është shpikja e Blaise Pascal. Ai gjithashtu doli me idenë e omnibusëve - karroca me kuaj me shumë vende me rrugë fikse - lloji i parë i transportit të rregullt publik urban. Tashmë në moshën gjashtëmbëdhjetë vjeç, Pascal formuloi një teoremë për një gjashtëkëndësh të gdhendur në seksion konik(teorema e Paskalit). (Dihet se ai më vonë mori rreth 400 përfundime nga teorema e tij.) Disa vjet më vonë, Blaise Pascal krijoi një pajisje mekanike llogaritëse - një makinë përmbledhëse që bëri të mundur shtimin e numrave në sistemi dhjetor

Duke llogaritur. Në këtë makinë, numrat u vendosën nga kthesat përkatëse të disqeve (rrotave) me ndarje dixhitale, dhe rezultati i operacionit mund të lexohej në dritare - një për çdo shifër. Blaise Pascal dhe një francez tjetër i madh, Pierre Fermat, u bënë themeluesit e teorisë së probabilitetit, dhe viti i lindjes së saj shpesh quhet 1654, kur Pascal dhe Fermat dhanë në mënyrë të pavarur shpjegim i saktë i ashtuquajturi paradoksi i ndarjes së normës. Dy lojtarë luajnë një lojë "të padëmshme" (d.m.th., të dy kanë të njëjtin shans për të fituar), duke rënë dakord që i pari që do të fitojë gjashtë ndeshje do të marrë të gjithë çmimin. Le të supozojmë se loja ndaloi përpara se njëri prej tyre të fitonte një çmim (për shembull, lojtari i parë fitoi pesë ndeshje dhe lojtari i dytë fitoi tre). Si ta ndani çmimin në mënyrë të drejtë? Edhe pse, në përgjithësi, këtë problem

Ndërkohë, duhet të ndani në një raport 7:1. Si Pascal ashtu edhe Fermat e trajtuan paradoksin e ndarjes së basteve si një problem probabiliteti, duke përcaktuar se një ndarje e drejtë ishte proporcionale me shanset e lojtarit të parë për të fituar çmimin. Supozoni se lojtarit të parë i ka mbetur vetëm një lojë për të fituar, dhe i dyti duhet të fitojë edhe tre ndeshje të tjera për të fituar, dhe lojtarët vazhdojnë lojën dhe luajnë të tre ndeshjet, edhe nëse disa prej tyre rezultojnë të panevojshme për të përcaktuar fituesin. . Për një vazhdimësi të tillë, të gjitha 2 3 = 8 rezultatet e mundshme do të jenë po aq të mundshme. Meqenëse lojtari i dytë merr një çmim vetëm në një rezultat (nëse ai fiton të tre ndeshjet), dhe në raste të tjera lojtari i parë fiton, raporti 7: 1 është i drejtë (pascal dhe Fermat gjithashtu gjetën zgjidhje e përgjithshme

për rastin kur një lojtar duhet të fitojë n lojëra të tjera për të marrë një çmim, dhe tjetri duhet të fitojë m lojëra.)

Por ndoshta vepra matematikore më e famshme e Blaise Pascal është traktati i tij mbi "trekëndëshin aritmetik" të formuar nga koeficientët binomialë (trekëndëshi i Paskalit), i cili ka aplikime në teorinë e probabilitetit dhe ka veti befasuese dhe argëtuese. Ne do ta shqyrtojmë këtë trekëndësh magjik, ata që duan të thellojnë njohuritë e tyre për shkencëtarin e shkëlqyer, do të gjejnë një listë të literaturës për të në http://inf.1september.ru/2002/1/france.htm dhe në "Nëndetëse; http://schools techno.ru/sch444/MUSEUM/PRES/PL-4-98.htm një histori intriguese për Paskalin, babain, motrën dhe vetë kardinalin Richelieu.
Trekëndëshi do të jetë i dehur
Ju e jepni me zhurmë!
Edhe sikur të ishte një paralelipiped,
Nëse ai do të ishte një kub, ai do të ishte një morr

V.Vysotsky Në fakt, trekëndëshi i Paskalit ishte i njohur shumë përpara vitit 1653, data e botimit të Traktatit mbi Trekëndëshin Aritmetik. Kështu, ky trekëndësh riprodhohet në faqen e titullit të një libri shkollor aritmetik të shkruar në fillimi i XVI Peter Apian, një astronom në Universitetin e Ingoltstadt. Një trekëndësh është përshkruar gjithashtu në një ilustrim në një libër nga një matematikan kinez i botuar në 1303. Omar Khayyam

Martin Gardner shkruan në librin “Novelat matematikore” (M., Mir, 1974): “Trekëndëshi i Paskalit është aq i thjeshtë sa që edhe një fëmijë dhjetëvjeçar mund ta shkruajë atë në të njëjtën kohë, ai fsheh thesare të pashtershme Së bashku aspekte të ndryshme të matematikës që në shikim të parë nuk kanë asgjë të përbashkët me njëra-tjetrën, karakteristika të tilla të pazakonta na lejojnë ta konsiderojmë trekëndëshin e Paskalit një nga skemat më elegante në të gjithë matematikën.

Le të supozojmë se hyni në qytet siç tregohet në diagram me shigjetën blu, dhe mund të ecni vetëm përpara, ose më saktë, duke zgjedhur vazhdimisht, përpara në të majtë ose përpara në të djathtë. Nyjet që mund të arrihen vetëm në një mënyrë janë të shënuara me emoticona të gjelbra një pikë që mund të arrihet në dy mënyra tregohet me të kuqe, dhe në tre, përkatësisht, me ngjyrë rozë. Ky është një nga opsionet për ndërtimin e një trekëndëshi, i propozuar nga Hugo Steinhaus në "Kaleidoskopin Matematikor" të tij klasik.

Dhe struktura e trekëndëshit të Paskalit shpjegohet edhe më thjesht me fjalët e mëposhtme: çdo numër është i barabartë me shumën e dy numrave të vendosur mbi të. Gjithçka është elementare, por ka kaq shumë mrekulli të fshehura në të.

Kulmi i trekëndëshit është 1. Trekëndëshi mund të vazhdohet pafundësisht. Është simetrik në lidhje me një bosht vertikal që kalon përmes majës së tij. Përgjatë diagonaleve (për aq sa një trekëndësh mund të ketë diagonale, por le të mos grindemi, një terminologji e tillë gjendet në botime), paralel me anët trekëndësh (të shënuar me vija të gjelbra në figurë) ndërtohen numrat trekëndësh dhe përgjithësimet e tyre në rastin e hapësirave të të gjitha dimensioneve.

Numrat trekëndësh në formën më të zakonshme dhe të njohur tregojnë se sa rrathë prekës mund të organizohen në formën e një trekëndëshi - si shembull klasik rregullimi fillestar i topave në bilardo. Mund të bashkëngjitni dy të tjera në një monedhë - për një total prej tre - në dy mund të bashkëngjitni tre të tjera - për një total prej gjashtë. Duke vazhduar të rrisim rreshtat duke ruajtur formën e trekëndëshit, marrim rreshtin 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., gjë që tregon i dyti. vijë e gjelbër. Kjo seri e mrekullueshme, secili anëtar i së cilës është i barabartë me shumën e serisë natyrore të numrave (55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10), gjithashtu përmban shumë njohje që janë mirë. i njohur për dashamirët e matematikës: 6 dhe 28 - numra të përsosur, 36 - numër katror, 8 dhe 21 janë numra Fibonacci.

Vija tjetër e gjelbër do të na tregojë numra katërkëndësh - mund të vendosim një top në tre - gjithsej katër, nën tre mund të vendosim gjashtë (sforco veten dhe imagjino!) - gjithsej dhjetë, e kështu me radhë. Mund të lexoni më shumë rreth numrave trekëndësh në Hard"n"Soft Nr. 4 2002 në artikullin "Lepujt kanibalë, katërkëndëshat dhe rezerva e sekuencave" gjithashtu i disponueshëm në Shalqi.

Dhe vija tjetër e gjelbër (1, 5, 15, 35,...) do të demonstrojë një përpjekje për të vendosur një hipertetraedron në hapësirë katërdimensionale- një top prek katër, dhe ata, nga ana tjetër, prekin dhjetë... Në botën tonë kjo është e pamundur, vetëm në një katërdimensionale, virtuale. Dhe aq më tepër, tetraedri pesë-dimensional, i cili dëshmohet nga vija e gjelbër tjetër, mund të ekzistojë vetëm në arsyetimin e topologëve.

Por çfarë na tregon vija e sipërme jeshile, në të cilën ndodhen numrat e serive natyrore? Këta janë gjithashtu numra trekëndësh, por njëdimensional, që tregojnë se sa topa mund të vendosen përgjatë vijës - aq sa ka, shtroni aq shumë. Nëse shkojmë deri në fund, atëherë rreshti më i lartë i njësheve janë gjithashtu numra trekëndësh në hapësirën zero-dimensionale - pavarësisht sa topa marrim, nuk do të mund të vendosim më shumë se një, sepse thjesht nuk ka askund - ka pa gjatësi, pa gjerësi, pa lartësi.

Edhe një vështrim i shpejtë në trekëndëshin e Paskalit mjafton për të vënë re faktet e mëposhtme kurioze: 10 bërthama mund të palosen si në formën e një katërkëndëshi ashtu edhe në formën e një trekëndëshi të sheshtë. Dhe 56 hiperbërthamë që formojnë një tetraedron në hapësirën pesë-dimensionale mund të vendosen në katërkëndëshin e zakonshëm të njohur tre-dimensional, megjithatë, nëse do të përpiqeshim të shtronim një trekëndësh nga 56 bërthama, atëherë një bërthamë do të mbetej shtesë.

Si mund ta vizatojmë trekëndëshin e Paskalit për të luajtur me të? Është më mirë të përdoret ideja që kemi marrë parasysh kur programojmë jetën gjashtëkëndore në Hard"n"Soft Nr. 5 2002 (në Arbuz), domethënë, merret një grup i zakonshëm dydimensional, por kur shfaqet në ekran, rreshtat janë zhvendosur pas rreshtave një - çift në të djathtë me një çerek hap, teket në të majtë me një çerek hap, dhe më pas rreshtat zhvendosen me gjysmë hapi, gjë që na jep një strukturë fushe gjashtëkëndore me një grup drejtkëndor. Dhe dydimensionaliteti i grupit e bën shumë të lehtë punën me të, duke specifikuar veprimet në qelizë në një lak në rreshta dhe rreshta.

Pasi të lëvizni për disa minuta, do të shpërbleheni me një trekëndësh që shfaqet në ekran dhe, për rrjedhojë, jeni gati për eksperimentet e ardhshme të pazakonta. (Nuk duhet të specifikoni shumë rreshta, pasi nga 13-14 rreshtat katër dhe numra pesëshifrorë, ato bashkohen me ata që qëndrojnë pranë tyre dhe fotografia bëhet e paqartë. Ju, sigurisht, mund të rrisni rrezen e qelizës dhe të zvogëloni fontin, por megjithatë, numrat në mes të trekëndëshit rriten shpejt dhe do të bashkohen, megjithëse disa rreshta më të ulët.)

Por së pari disa të tjera veti interesante trekëndëshi i Paskalit. Për të gjetur shumën e numrave në çdo diagonale nga fillimi deri në vendin e interesit për ne, thjesht shikoni numrin e vendosur poshtë dhe në të majtë të termit të fundit. (në të majtë për diagonalen e djathtë, për diagonalen e majtë do të jetë në të djathtë, dhe në përgjithësi - më afër mesit të trekëndëshit). Le të duam, për shembull, të llogarisim shumën e numrave në serinë natyrore nga 1 në 9. Duke "zbritur" diagonalisht në numrin 9, do të shohim numrin 45 në pjesën e poshtme të majtë të tij shumën e kërkuar. Sa është shuma e tetë numrave të parë trekëndësh? Gjejmë numrin e tetë në diagonalen e dytë dhe lëvizim poshtë dhe majtas. Përgjigje: 120. Por, meqë ra fjala, 120 është një numër katërkëndor. Prandaj, duke marrë të gjithë topat që përbëjnë 8 trekëndëshat e parë, ne mund të formojmë një katërkëndësh. Provoni me qershi ose mollë

Shumat e numrave përgjatë diagonaleve jo aq të pjerrëta (të shënuara me vija të kuqe në figurë) formojnë sekuencën Fibonacci, e njohur mirë për lexuesit e rregullt. Shihni, për shembull, artikullin e lartpërmendur “Lepuj kanibalë, katërkëndësha...” ose materiale të shumta për Shalqinin.

Por në botimet e mëparshme nuk folëm për faktin se numrat Fibonacci gjenden shpesh në probleme kombinuese Oh. Konsideroni një rresht prej n karrigesh. Në sa mënyra mund të ulen burrat dhe gratë mbi to në mënyrë që të mos ulen dy gra pranë njëra-tjetrës? Kur n=1, 2, 3, 4, ... numri i mënyrave është përkatësisht 2, 3, 5, 8, ..., pra përkon me numrat Fibonacci. Paskali me sa duket nuk e dinte që numrat e Fibonaçit ishin fshehur në trekëndëshin e tij. Kjo rrethanë u zbulua vetëm në shekullin e 19-të. Numrat në vijat horizontale të trekëndëshit të Paskalit janë koeficientët binomialë, pra koeficientët e zgjerimit (x+y) n në fuqitë e x dhe y. Për shembull, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 dhe (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy2+y 3. Koeficientët e zgjerimit 1, 2, 2 janë në rreshtin e dytë, dhe 1, 3, 3, 1 janë në rreshtin e tretë të trekëndëshit. Për të gjetur koeficientët e zgjerimit (x+y) n, thjesht shikoni rreshtin e n-të të trekëndëshit.

Kjo është pikërisht ajo që pronë themelore Trekëndëshi i Paskalit e lidh atë me kombinatorikën dhe teorinë e probabilitetit, duke e kthyer atë në një mjet të përshtatshëm për kryerjen e llogaritjeve.

Supozoni (një shembull nga Martin Gardner) që një sheik i caktuar, duke ndjekur ligjet e mikpritjes, vendos t'ju japë tre nga shtatë gratë e tij. Sa zgjedhje të ndryshme mund të bëni midis banorëve të bukur të haremit? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetje emocionuese ju vetëm duhet të gjeni numrin në kryqëzimin e diagonales 3 dhe rreshtit 7: rezulton të jetë e barabartë me 35. Nëse, i kapërcyer me eksitim të gëzueshëm, ngatërroni numrat diagonale dhe rreshtore dhe kërkoni numrin në kryqëzimin e diagonales 7 me rreshtin 3, do të zbuloni se ato nuk kryqëzohen. Kjo është, vetë metoda nuk ju lejon të bëni gabime! NË rast i përgjithshëm

Ku n!=1*2*3*4*....*n është i ashtuquajturi faktorial i numrit n. Dhe të njëjtat tre gra nga shtatë mund të zgjidhen në shumë mënyra: C 3 7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1 *2*3 *4=5040/6/24=35, që është ajo që kemi marrë më herët. Dhe vlerat e koeficientëve binomial përcaktohen nga formula dhe, siç zbuluam, ato janë rreshtat e trekëndëshit të Pascal, duke e lidhur në mënyrë të pakuptueshme këtë trekëndësh me kombinatorikën dhe zgjerimin e binomeve në fuqi.

Nga rruga, nga formula e kombinimit rrjedh se numri i opsioneve për të zgjedhur tre nga shtatë është i barabartë me numrin e opsioneve për të zgjedhur katër nga shtatë, ose, numri i opsioneve për plotësimin e kartave Sportloto 5 nga 36 është e barabartë me numrin e zgjedhjes 31 nga 36, mendoni për këtë temë të këndshme.

Lidhja midis kombinatorikës dhe teorisë së probabilitetit bëhet e qartë nëse marrim parasysh tetë rezultatet e mundshme të hedhjes së tre monedhave: GGG, GGR, GRG, RGG, RGR, RRG, RRR. Nuk është e vështirë të shihet se tre stema shfaqen vetëm në një rast, dy stema në tre raste, një stemë në tre raste dhe asnjë stemë në një rast. Numrat e testeve të favorshme për marrjen e stemave 3, 2, 1 dhe 0 janë 1, 3, 3, 1. Këto janë numrat që shfaqen në rreshtin e tretë të trekëndëshit të Paskalit. Tani supozojmë se duam të dimë probabilitetin për të marrë saktësisht 5 stemë kur hedhim 10 monedha në të njëjtën kohë. Para së gjithash, duhet të numëroni sa janë në mënyra të ndryshme , duke ju lejuar të zgjidhni 5 monedha nga 10. Përgjigjen e marrim duke gjetur numrin në kryqëzimin e diagonales së 5-të dhe vijës së 10-të. Është e barabartë me 252. Duke mbledhur të gjithë numrat në rreshtin e 10-të, gjejmë se numri i rezultateve të mundshme mund të zvogëlohet shumë nëse përdorim vetinë e mëposhtme të koeficientëve binomialë: shuma e koeficientëve binomialë (x+y); ) n, dhe janë ata që qëndrojnë në n Rreshti i th i trekëndëshit të Paskalit është i barabartë me 2 n. Vërtet,, që qëndron në çdo rresht të trekëndëshit, është dyfishi i shumës së numrave në rreshtin e mëparshëm, pasi kur ndërtohet çdo rresht, numrat në rreshtin e mëparshëm hiqen dy herë. Shuma e numrave në rreshtin e parë (më të lartë) është e barabartë me 1. Prandaj, shumat e numrave në rreshtat e trekëndëshit të Paskalit formojnë një progresion gjeometrik me termin e parë të barabartë me 1 dhe emëruesin 2: 1, 2, 4, 8, .... Fuqia e dhjetë e 2 është 1024. Prandaj, probabiliteti për të marrë pesë koka kur hidhen 10 monedha është 252/1024= 63/256.

Ata që dëshirojnë të mësojnë më shumë rreth lidhjes midis trekëndëshit të Paskalit dhe kombinatorikës mund të vizitojnë faqen http://combinatorica.narod.ru/third.html. Trekëndëshi i Paskalit është dydimensional dhe shtrihet në një rrafsh. Sapuni shfaqet në mënyrë të pavullnetshme - por a është e mundur të zgjerohen modelet e tij në një analog tredimensional (dhe katër-...)? Rezulton se është e mundur! Artikulli nga O. V. Kuzmin (http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html) shqyrton një analog tre-dimensional të një trekëndëshi - piramidën e Paskalit, lidhjen e tij me koeficientët trinomial dhe jep shembuj të procesit

, të cilat një model i tillë mund të pasqyrojë. Tani, më në fund, le të kalojmë në pjesën më interesante për ne. pronë e mahnitshme

trekëndëshi i Paskalit. Le të zëvendësojmë çdo numër në trekëndëshin e Paskalit me një pikë. Për më tepër, ne do t'i shfaqim pikat tek në një ngjyrë të kundërta, dhe ato çiftet në një ngjyrë transparente ose sfondi. Rezultati do të jetë befasues i papritur: trekëndëshi i Pascal-it do të thyhet në trekëndësha më të vegjël, duke formuar një model elegant. Këto modele janë të mbushura me shumë surpriza. Ndërsa largohemi nga kulmi, do të hasim trekëndësha me përmasa gjithnjë në rritje, që nuk përmbajnë një pikë të vetme të theksuar, domethënë "të përbërë" vetëm nga numra çift. Në kulmin e trekëndëshit të Paskalit është një trekëndësh "i fshehur" i përbërë nga një pikë e vetme, pastaj ka trekëndësha që përmbajnë 6, 28, 120, 496, ... pika. Tre nga këta numra - 6, 28 dhe 496 - dihet se janë të përsosur, sepse secili prej tyre është i barabartë me shumën e të gjithë pjesëtuesve të tij përveç vetë numrit.

Pariteti i një numri mund të përcaktohet lehtësisht duke krahasuar pjesën e mbetur të pjesëtimit me dy me zero për një numër çift mbetja është zero, për një numër tek mbetja është një. Dhe për të përcaktuar pjesën e mbetur, mund të përdorni funksionin Mod, i disponueshëm në pothuajse të gjitha gjuhët e programimit. Nëse jeni shumë dembel për të programuar, por patjetër dëshironi të shihni këtë mrekulli, atëherë shkoni në http://www.informika.ru/text/inftech/edu/edujava/mathematics/Pascal/Pascal.html dhe do të gjeni atje një apleti që vizaton trekëndëshin e Paskalit me pika duke marrë parasysh barazinë.

Ekziston gjithashtu një lidhje me kodin burimor në Java, ju mund ta kuptoni dhe përmirësoni atë sipas gjykimit tuaj. Dashamirët e matematikës do të goditen menjëherë nga "fraktaliteti" i objektit që rezulton, ose më saktë, ne nuk shohim asgjë më shumë se "Trekëndëshi Sierpinski", një analog i "Qilimit Sierpinski" të famshëm. Këto modele janë veçanërisht të njohura, së bashku me setet "Koch Snowflake" dhe Mandelbrot dhe Julie Steel. vitet e fundit për shkak të manisë për fraktale dhe sinergjetikë. Le të shpjegojmë shkurtimisht për fillestarët.

Nga mjeshtri i matematikës popullore Martin Gardner ne gjejmë se në vitin 1905 në vjetore Olimpiada e matematikës në Hungari u propozua problemi: “Një katror ndahet në 9 pjesë (si për lojën tic-tac-toe) dhe sheshi qendror ndahet më pas secili nga 8 katrorët e mbetur ndahet në 9 pjesë, katrori qendror hiqet dhe procedura përsëritet shumë herë Gjeni kufirin në të cilin zona priret figurën që rezulton." Pra - figura që rezulton është tapeti i Sierpinskit - sheshi është aq i mbushur me vrima sa është tashmë më afër vijës. Trekëndëshi që pamë mund të merret në të njëjtën mënyrë - fillimisht pikat e mesit të anëve të trekëndëshit lidhen dhe trekëndëshi që rezulton hiqet.

Në fazën e dytë, i njëjti operacion kryhet me tre trekëndëshat e mbetur, pastaj me nëntë të mbeturit, e kështu me radhë. A mund ta gjeni kufirin në të cilin priret zona e mbetur? Dhe si të shpjegohet koincidenca e dy modeleve?

Autorët e faqes http://chaos.h1.ru/ChaosAndFractals/1/ propozojnë që menjëherë të ndërtohet trekëndëshi i Paskalit duke e mbushur jo me numra, por me zero ose njëshe sipas rregullit: shuma e dy zeros ose dy njësh. jep zero (d.m.th., shuma e dy numrave çift ose dy numrave tek është gjithmonë çift), dhe shuma e zeros dhe një jep një (si shuma e një numri çift me një tek). Kjo teknikë do të na lejojë të ndërtojmë një trekëndësh të madh arbitrarisht dhe kur e mbushim me numra "realë", mund të hasim një kufizim në përfaqësimi i makinës numrat, dhe me faktin se funksioni Mod është i ndezur kufiri i numrit deklaruar si Double fillon të dështojë. Autorët e faqes së përmendur propozojnë gjithashtu organizimin e trekëndëshit si një grup dydimensional (që është ajo që bëmë) dhe të përdorin fushën e tij për të modeluar Automata celulare, gjë që bëmë në artikullin për lojën Jeta (në shalqi) , edhe pse pa kufizuar fushën në një trekëndësh.

Ne vazhdojmë - ne përpiqemi të kontrollojmë jo barazinë, por pjesën e mbetur të pjesëtimit me numra të tjerë, dhe çdo herë ne habitemi nga pamja e trekëndëshit. Pasi të luajmë për një kohë, do të vërejmë se kur vendosni numrin me të cilin po kontrollojmë të jetë një numër i thjeshtë, ju merrni modele të bukura me një model të theksuar (provoni të vendosni 3, 5, 7, 11, 13, 17.. .), dhe kur pjesëtohet me numër i përbërë

Konsideroni një trekëndësh të ndërtuar "relativisht" me numrin 7, domethënë, numrat që nuk pjesëtohen me 7 pa mbetje vizatohen në të zezë, ata që janë të pjestueshëm vizatohen në të bardhë dhe përpiquni të shihni modelet.

Për ata që dëshirojnë të gërmojnë më thellë në lidhjet midis kombinatorikës, teorisë së probabilitetit dhe trekëndëshit të Paskalit, ne rekomandojmë artikullin e Gregory J. Chaitin "Randomness in Aritmetics" nga revista IN THE WORLD OF SCIENCE. (Scientific American. Botim në Rusisht). Nr. 9 1988, i vendosur në http://grokhovs2.chat.ru/arith/arith.html, por tani për tani do të bëjmë diçka të re - le të përpiqemi të ngjyrosim trekëndëshin e Pascal. Për ta bërë këtë, ne caktojmë tre variabla (r, g, b) përgjegjëse, përkatësisht, për përbërësit e kuq, jeshil dhe blu të ngjyrosjes së qelizës dhe lidhim vlerën e tyre (maksimumi mund të jetë i barabartë me 255) me kontrollin e pjesëtueshmërisë me numra të ndryshëm. Në listën e mësipërme të programit, ngjyra e kuqe varet, si më parë, nga barazia e numrit, ngjyra e gjelbër varet nga pjesëtueshmëria e tij me 9 dhe ngjyra blu varet nga pjesëtueshmëria e saj me 11. Variante të shumta eksperimentesh janë shënuar me apostrofa si komente, ju mund t'i "ringjallni" ose të dilni me "numrat e kontrollit" tuaj dhe nuancat e tyre të ngjyrave.

Dim a(100, 100) Si rreze e zbehtë e dyfishtë si bajt, i si bajt, kol si bajt Dim sdvig si numër i plotë, X si numër i plotë, Y si numër i plotë, X1 si numër i plotë, Y1 si numër i plotë Nën-formë private () Për Y = 1 Në kol Për X = 1 Në kol a(X, Y) = 0 Tjetra X Rrezja Y Tjetër = 5 " rrezja e qelizës në piksel kol = 20 " Numri i rreshtave a(Int(kol / 2), 0) = 1" së pari njësi , nga e cila rritet trekëndëshi DrawWidth = 1 "Trashësia e vijës Për Y = 0 Për kol Për X = 1 Për kol sdvig = rreze / 2 * (-1) ^ Y " Zhvendosni çdo rresht majtas, pastaj djathtas Nëse Y > 0 Atëherë nëse sdvig > 0 Atëherë a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Përndryshe a(X, Y) = a(X + 0 , Y - 1 ) + a(X - 1, Y - 1) Fundi If Fund Nëse X1 = 60 + X * rrezja * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * rrezja * 1.7 FillStyle = 0 r = 0: g = 0 : b = 0 Nëse a(X, Y) > 0 Atëherë nëse (a(X, Y) - Int(a(X, Y) / 2) * 2) = 0 Atëherë r = 250 "Nëse (a(X, Y) / 4 ) - Int(a(X, Y) / 4) = 0 Pastaj r = 120 "Nëse (a(X, Y) / 8) - Int(a(X, Y) / 8) = 0 Atëherë r = 180 " Nëse (a(X, Y) / 16) - Int(a(X, Y) / 16) = 0 Atëherë r = 250 "Nëse (a(X, Y) / 3) - Int(a( X, Y) / 3) = 0 Atëherë g = 60 Nëse (a(X, Y) / 9) - Int(a(X, Y) / 9) = 0 Pastaj g = 250 "Nëse (a(X, Y ) / 7) - Int(a(X, Y) / 7) = 0 Pastaj g = 180 "Nëse (a(X, Y) / 5) - Int(a(X, Y) / 5) = 0 Atëherë g = 250 Nëse (a(X, Y) / 11) - Int(a(X, Y) / 11) = 0 Pastaj b = 250 "Nëse (a(X, Y) / 13) - Int(a(X, Y) / 13 ) = 0 Pastaj b = 120 "Nëse (a(X, Y) / 17) - Int(a(X, Y) / 17) = 0 Atëherë b = 180 "Nëse (a(X, Y) / 19) - Int(a(X, Y) / 19) = 0 Pastaj b = 250 ForeColor = RGB(r, g, b) FillColor = RGB(r, g, b) " Plotëso rrethin me ngjyrë (X1, Y1) , rreze, RGB (90, 90, 90) Fund If Next X Next Y " Dil nga programi Private Sub Exit_Click() Fund End Fund Sub

Dhe këtu është rezultati i programit. A nuk është bukur? Janë të dukshme "Zonat Sierpinski" trekëndore të kuqe, të cilat, të mbivendosura në dritaret jeshile nga nëntë, japin zona të verdha, dhe me zonat blu nga ndarja me 11 japin zona jargavan. A ka kjo bukuri vlerë e aplikuar përveç modelit për letër-muri, nuk është ende e qartë, por nga trekëndëshi i Pascal-it, veçanërisht ai me ngjyrë, mund të pritet ndonjë mrekulli, ndoshta në të ardhmen e afërt. Dhe këtu është një tjetër opsioni i ngjyrosjes, kryhet sipas algoritmit

R = a(x, y) / 3 Mod 255 g = a(x, y) / 2 Mod 255 b = a(x, y) / 4 Mod 255

Shikoni foton, përpiquni ta lidhni atë me algoritmin, ose edhe më mirë, provoni versionin tuaj. Artikulli http://www.webbyawards.ru/pcworld/2001/07/130_print.htm sugjeron përdorimin e rekursionit për të ndërtuar trekëndëshin e Paskalit. Çfarë është rekursioni dhe sa optimal është për programim, mund të gjendet në http://arbuz.ferghana.ru/z_vetki.htm. Në faqet http://hcinsu.chat.ru/algoritm/mathem/binom.html dhe http://dkws.narod.ru/math/tpas.html do të gjeni programe për kompozimin e trekëndëshit të Paskalit dhe në faqen http :// galibin.chat.ru/Java/Pascal/index.html ekziston edhe një aplet që e vizaton atë në ekran, megjithatë, tashmë jeni plotësisht të armatosur, por këto faqe mund t'ju japin ide të reja.

Ka më shumë për trekëndëshin e Paskalit artikull i mirë drejtuesi i rubrikës argëtuese programore "Lajmet kompjuterike" A. Kolesnikov në http://www.kv.by/index2002151201.htm. Ne filluam shqyrtimin tonë të trekëndëshit të Paskalit me opsionet e lëvizjes dhe do të përfundojmë me to. Në faqe ka një libër kushtuar enigmave Evgenia Gika "Shahu dhe Matematika". Në kapitullin kushtuar gjeometrisë së tabelës së shahut (http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/05.shtml) autori jep shembuj të mahnitshëm

Dhe pyetja e fundit, e lidhur si me trekëndëshin e Paskalit ashtu edhe me shahun. Sa është shuma e të gjithë numrave mbi çdo rresht? Konsideroni këto shuma për veten tuaj, duke filluar nga lart, dhe do të shihni vlerat 1, 3, 7, 15, 31,... Nuk duhet të keni shumë imagjinatë për të parë një model të thjeshtë: shumën e të gjithë numrat për n rreshta janë 2 n -1. Dhe çfarë lidhje ka shahu me të? Sipas një legjende të njohur, Raja i premtoi krijuesit të shahut çdo shpërblim që ai kërkonte. Kur shahisti i parë kërkoi të vinte një kokërr grurë në katrorin e parë të tabelës, dy në të dytin, katër në të tretën, e kështu me radhë, duke vazhduar ta dyfishonte atë, deri në sheshin e 64-të, Raja madje u ofendua në së pari nga varfëria e shpërblimit të kërkuar. Kur magazinierët e tij vlerësuan sasinë e kërkuar, doli se kjo kokërr mund të mbulojë të gjithë Tokën deri në gjunjë, kjo është shumë më tepër se sa është mbledhur dhe do të mblidhet në të gjitha korrjet e njerëzimit. (Nga rruga, ju mund të vlerësoni lartësinë e shtresës së grurit, duke pasur parasysh vëllimin e grurit, për shembull, 1 mm 3, shumëzoni me 2 64, sigurisht zbrisni 1 dhe ndani me sipërfaqen e sipërfaqes së tokës.) Pra - në çdo katror të tabelës do të kishte (do të ishte) numri i kokrrave, e barabartë me shumën

numrat në rreshtin përkatës të trekëndëshit të Paskalit dhe shuma e të gjitha kokrrizave në n qelizat e para do të ishte e barabartë me shumën e numrave në këto n rreshta të këtij trekëndëshi magjik. Me këtë fantazi të bollshme do ta mbyllim shqyrtimin tonë.

Variacione në temën "Trekëndëshi i Paskalit"

Histori

Trekëndëshi i Paskalit është ndoshta një nga skemat numerike më të famshme dhe elegante në të gjithë matematikën.

Blaise Pascal, një matematikan dhe filozof francez, i kushtoi asaj një "Traktat mbi trekëndëshin aritmetik" të veçantë.

Sidoqoftë, kjo tabelë trekëndore ishte e njohur shumë përpara vitit 1665 - data e botimit të traktatit.

Kështu, në vitin 1529, trekëndëshi i Paskalit u riprodhua në faqen e titullit të një libri shkollor aritmetik të shkruar nga astronomi Peter Apian.

Një trekëndësh përshkruhet gjithashtu në ilustrimin e librit "Pasqyra e Jasper e Katër Elementeve" të matematikanit kinez Zhu Shijie, botuar në 1303.

Omar Khayyam, i cili nuk ishte vetëm një filozof dhe poet, por edhe një matematikan, dinte për ekzistencën e trekëndëshit në 1110, duke e huazuar atë nga burimet e mëparshme kineze ose indiane.

Ndërtimi i trekëndëshit të Paskalit Trekëndëshi i Paskalit është thjesht një i pafund "tabela e numrave", në të cilin ka një në krye dhe në anët, secili nga numrat e mbetur është i barabartë me shumën e dy numrave sipër tij në të majtë dhe në të djathtë në rreshtin e mëparshëm. Tabela ka simetri rreth boshtit duke kaluar nëpër majën e saj.

Vetitë e trekëndëshit të Paskalit

Vetitë e vargut

rreshti i n-të

pronë e radhës

Numrat trekëndësh
Numrat trekëndësh, katërkëndësh dhe të tjerë janë të rreshtuar përgjatë diagonaleve paralele me anët e trekëndëshit. Numrat trekëndësh tregojnë numrin e topave ose objekteve të tjera të renditura në formën e një trekëndëshi (këta numra formojnë sekuencën e mëposhtme: 1,3,6,10,15,21,..., në të cilën 1 është numri i parë trekëndësh, 3 është numri i dytë trekëndësh, 6-të treta, etj. deri në m-ro, që tregon se sa terma të trekëndëshit të Paskalit përmbahen në rreshtat e parë m - nga zero në (m-1)th).

Numrat katërkëndor
Anëtarët e vargut 1,4, 10, 20, 36, 56,... quhen numra piramidalë, ose më saktë tetraedralë: 1 është numri i parë katërkëndor, 4 është i dyti, 10 është i treti etj. deri në m-ro . Këta numra tregojnë se sa topa mund të grumbullohen në formë piramidë trekëndore(tetrahedron).

Numrat e Fibonaçit
Në vitin 1228, matematikani i shquar italian Leonardo i Pizës, i njohur më mirë tani si Fibonacci, shkroi "Librin e Abacus" të tij të famshëm. Një nga problemet në këtë libër, problemi i mbarështimit të lepurit, rezultoi në sekuencën e numrave 1,1,2,3,5,8,13,21..., në të cilin çdo term, duke filluar nga i treti, është shuma e dy termave të mëparshëm. Kjo sekuencë quhet seri Fibonacci, anëtarët e serisë Fibonacci quhen numra Fibonacci. Duke shënuar numrin e n-të të Fibonaçit me

Ekziston një lidhje interesante midis serisë Fibonacci dhe trekëndëshit të Pascal-it. Për çdo diagonale ngjitëse të trekëndëshit të Paskalit, ne formojmë shumën e të gjithë numrave në këtë diagonale. Ne marrim 1 për diagonalen e parë, 1 për të dytën, 2 për të tretën, 3 për të katërtin dhe 5 për të pestën. Rezulton se shuma e numrave është gjithmonë diagonalja e n-tëështë numri i n-të i Fibonaçit. Për të vërtetuar propozimin që na intereson, mjafton të tregojmë se shuma e të gjithë numrave që përbëjnë diagonalet n dhe (n+1) të trekëndëshit të Paskalit është e barabartë me shumën e numrave që përbëjnë m+ të tij. Diagonalja e 2-të.

Koeficientët binomialë
Numrat në vijat horizontale janë koeficientë binomialë. Vija e numëruar n përbëhet nga koeficientët e zgjerimit binomial (1+n)n. Le ta tregojmë këtë duke përdorur operacionin e Pascal. Por së pari, le të imagjinojmë se si përcaktohen koeficientët binomialë.

Le të marrim një binom 1 + x dhe të fillojmë ta ngremë atë në fuqitë 0, 1, 2, 3, etj., duke renditur polinomet që rezultojnë në fuqitë në rritje të shkronjës x. do marrim

1.(1+x)0=1,
2.(1+x)1=1+x,
3. (1 +x)2=(1 +x)(1 +x)= 1 +2x+x2,
4.(1+х)3=1+Зх+Зх2+хЗ
etj.

Në përgjithësi, për çdo tërësi numër jo negativ n
(1+x)n=a0+a1x+a2x2+...+apxp,
ku a0,a1,...,ap

Lidhja e fundit mund të rishkruhet në formën dhe nga relacionet 1-4 marrim

U formua trekëndëshi i Paskalit, secili element i të cilit

Është kjo veti themelore e trekëndëshit të Paskalit që e lidh atë jo vetëm me kombinatorikën dhe teorinë e probabilitetit, por edhe me fusha të tjera të matematikës dhe aplikimet e saj.

Zgjidhja e problemeve duke përdorur trekëndëshin e Paskalit

Probleme të vjetra në lidhje me rastësinë
Që nga kohërat e lashta, të ndryshme kumar. NË Greqia e lashtë dhe Romë, lojërat e astragalus u përhapën, kur lojtarët hidhnin eshtra kafshësh. Gjithashtu popullor zare- kube me pika të shënuara në skajet. Kumari më vonë u përhap në të gjithë Evropën mesjetare.

Këto lojëra u dhanë matematikanëve shumë detyra interesante, e cila më vonë formoi bazën e teorisë së probabilitetit. Problemet rreth ndarjes së bastit ishin shumë të njohura. Në fund të fundit, si rregull, loja luhej për para: lojtarët bënin baste dhe fituesi mori të gjithë shumën. Sidoqoftë, loja ndonjëherë ndërpritej para finales dhe lindte pyetja: si të ndahen paratë.

Për zgjidhjen e këtij problemi kanë punuar shumë matematikanë, por deri mesi i shekullit të 17-të shekuj nuk e gjetën kurrë. Në vitin 1654 ndërmjet Matematikanët francezë Blaise Pascal, tashmë i njohur për ne, dhe Pierre Fermat filluan një korrespondencë në lidhje me një sërë problemesh kombinuese, duke përfshirë problemet e ndarjes së bastit. Të dy shkencëtarët, edhe pse disa në mënyra të ndryshme, erdhi në vendimi i duhur, duke e ndarë bastin në proporcion me probabilitetin për të fituar të gjithë shumën nëse loja vazhdon.

Duhet të theksohet se para tyre, asnjë nga matematikanët nuk llogariti probabilitetin e ngjarjeve në korrespondencën e tyre, teoria e probabilitetit dhe kombinatorika u vërtetuan fillimisht shkencërisht, dhe për këtë arsye Pascal dhe Fermat konsiderohen si themelues të teorisë së probabilitetit.

Le të shqyrtojmë një nga problemet e Fermatit, të zgjidhur nga Pascal duke përdorur tabelën e tij numerike.

Lërini lojtarit A të nevojiten dy lojëra përpara se të fitojë të gjithë ndeshjen, dhe lojtarit B të duhen tre lojëra. Si ta ndani bastin në mënyrë të drejtë nëse loja ndërpritet?

Pascal mbledh numrin e lojërave që u mungojnë lojtarëve dhe merr një rresht tabele në të cilin numri i termave është i barabartë me shumën e gjetur, pra 5. Atëherë pjesa e lojtarit A do të jetë e barabartë me shumën e të treve (sipas numri i lojërave që i mungojnë lojtarit B) termat e parë të rreshtit të pestë, dhe pjesa e lojtarit B është shuma e dy numrave të mbetur. Le të shkruajmë këtë rresht: 1,4,6,4, 1. Pjesa e lojtarit A është 1+4+6=11, dhe pjesa e B është -1+4=5.

Trekëndësha të tjerë aritmetikë

Le të shqyrtojmë trekëndëshat, ndërtimi i të cilëve shoqërohet me numra të njohur kombinues njëparametërsh. Krijimi i trekëndëshave të tillë bazohet në parimin e ndërtimit të trekëndëshit të Paskalit të diskutuar më sipër.

Trekëndëshi i Lukës

Konsideroni të ndërtuara trekëndëshi aritmetik. Ky trekëndësh quhet trekëndëshi i Lucas, pasi shumat e numrave në diagonalet rritëse japin sekuencën e numrave të Lucas: 1, 3, 4, 7, 11, 18, / që mund të përkufizohet si

Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1

Çdo element i trekëndëshit përcaktohet me rregullën e Paskalit Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k me kushte fillestare L1,0=1, L1,1=2 dhe L0,k=0

dmth. rreshti i n-të mund të merret çelja e trekëndëshit duke shtuar n-tën dhe (n-1) rreshtat e trekëndëshit të Paskalit.

Trekëndëshi i Fibonaçit

Nga numrat (fm, n) që kënaqin ekuacionet
fm, n=fm-1,n+fm-2,n,
fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, ku c kushtet fillestare f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 ndërtohet trekëndëshi tjetër.

fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, ku fn është numri i n-të i Fibonaçit. Trekëndëshi i ndërtuar quhet trekëndëshi i Fibonaçit.

Trekëndëshi i Tribonaçit

Le të shqyrtojmë një trekëndësh tjetër, krijimi i të cilit bazohet në metodën e ndërtimit të trekëndëshit të Paskalit. Ky është trekëndëshi Tribonacci. Është emërtuar kështu sepse shumat e elementeve në diagonalet rritëse formojnë një sekuencë të numrave Tribonacci: 1,1,2,4,7,13,24,44,..., e cila mund të përcaktohet nga relacioni i mëposhtëm i përsëritjes : tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn me kushte fillestare t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2

"Trekëndëshi ikonë"

Ndërtimi i "trekëndëshit të shenjave"

Para nesh është një trekëndësh, i përbërë vetëm nga shenja, pluse dhe minuse, sipas parimit të formimit të trekëndëshit të Paskalit. Ndryshe nga kjo e fundit, ajo është e vendosur në bazë lart.

Së pari, vendoset rreshti i parë, i përbërë nga një numër arbitrar karakteresh dhe vendndodhjen e tyre. Çdo karakter i rreshtit tjetër fitohet duke shumëzuar dy karaktere më të larta.

Një nga detyrat tona është të përcaktojmë se në cilin numër të karaktereve në rreshtin e parë numri i minuseve dhe pluseve do të jetë i njëjtë. Sasia totale karakteret në tabelë mund të përcaktohen me formulë

ku n është numri i karaktereve në rreshtin e parë.

Formohet një sekuencë numrash në të cilën numri i minuseve dhe pluseve mund të jetë i barabartë: 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16,..., secila prej të cilave tregon numrin e karaktereve në rreshtin e parë. . Sidoqoftë, nuk është përcaktuar se në çfarë rregullimi të shenjave numri i minuseve dhe pluseve do të jetë në mënyrë unike i njëjtë.

Detyra jonë e dytë në lidhje me trekëndëshin e produktit të shenjave është të përcaktojmë numrin më të vogël të pluseve që mund të ketë një "trekëndësh i shenjës".

Ekziston një sekuencë interesante karakteresh në rreshtin e parë: +, -, -, +, -, -, ... (ose -, -, + ,- ,- ,+ , ...), në të cilën numri e pluseve, si më parë konsiderohet më e vogla dhe e barabartë me 1/3 e numri total shenja, pra të barabarta

Është e rëndësishme të theksohet se nëse kaloni gradualisht rreth trekëndëshit, sekuenca e shenjave +, -, -, ... do të mbetet.

Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se numri më i vogël i pluseve, i barabartë me 1/3 e numrit të përgjithshëm të shenjave, mund të shihet edhe në trekëndëshin me n = 2.