Teori mbi temën përgatitja e trekëndëshit për Provimin e Bashkuar të Shtetit. Objektet themelore dhe aksiomat e planimetrisë

Tema e mësimit

Trapezoid

Objektivat e mësimit

Vazhdoni të prezantoni përkufizime të reja në gjeometri;
Konsolidimi i njohurive rreth formave gjeometrike të studiuara tashmë;
Prezantoni formulimin dhe evidentimin e vetive të trapezit;
Të mësojë përdorimin e vetive të figurave të ndryshme gjatë zgjidhjes së problemeve dhe kryerjes së detyrave;
Vazhdoni të zhvilloni vëmendjen tek nxënësit e shkollës, të menduarit logjik Dhe fjalim matematikor;
Kultivoni interes për këtë temë.

Objektivat e mësimit

Të ngjall interes për njohuritë e gjeometrisë;
Vazhdoni të trajnoni studentët në zgjidhjen e problemeve;
Thirrni interesi njohës për mësimet e matematikës.

Plani i mësimit

1. Rishikoni materialin e studiuar më parë.
2. Hyrje në trapez, vetitë dhe karakteristikat e tij.
3. Zgjidhja e problemeve dhe kryerja e detyrave.

Përsëritja e materialit të studiuar më parë

Në mësimin e mëparshëm, ju u njohët me një figurë të tillë si një katërkëndësh. Le të konsolidojmë materialin e trajtuar dhe t'u përgjigjemi pyetjeve të parashtruara:

1. Sa kënde dhe brinjë ka një katërkëndësh?
2. Formuloni përkufizimin e një 4-gon?
3. Cili është emri? anët e kundërta 4-gon?
4. Çfarë lloje katërkëndëshësh njihni? Rendisni ato dhe përcaktoni secilën prej tyre.
5. Vizatoni një shembull të katërkëndëshit konveks dhe jokonveks.

Trapezoid. Vetitë e përgjithshme dhe përkufizimi

Një trapez është një figurë katërkëndore në të cilën vetëm një palë brinjë të kundërta është paralele.

NË përkufizimi gjeometrik Një trapez është një katërkëndësh që ka dy anët paralele, por dy të tjerët nuk janë.

Emri është i tillë figurë e pazakontë, si "trapezoid" vjen nga fjala "trapezion", e cila është përkthyer nga gjuha greke, do të thotë fjala “tavolinë”, nga e cila vjen edhe fjala “vakt” dhe fjalë të tjera të lidhura me to.

Në disa raste në një trapezoid, një palë anët e kundërta janë paralele, por çifti tjetër i tij nuk është paralel. Në këtë rast, trapezi quhet lakor.

Elementet trapezoide

Një trapezoid përbëhet nga elementë të tillë si një bazë, vijat anësore, vija e mesit dhe lartësia e saj.

Baza e një trapezi është anët e tij paralele;
Faqet anësore janë dy anët e tjera të trapezit që nuk janë paralele;
Vija e mesit të një trapezi është segmenti që lidh mesin e anëve të tij;
Lartësia e një trapezi është distanca midis bazave të tij.

Llojet e trapezoideve

Ushtrimi:

1. Formuloni përkufizimin e një trapezi dykëndor.
2. Cili trapez quhet drejtkëndor?
3. Çfarë do të thotë një trapezoid me kënd akut?
4. Cili trapez është i mpirë?

Karakteristikat e përgjithshme të një trapezi

Së pari, vija e mesme e trapezit është paralele me bazën e figurës dhe është e barabartë me gjysmën e shumës së saj;

Së dyti, segmenti që lidh mesin e diagonaleve të një figure 4-gonale është i barabartë me gjysmëdiferencën e bazave të saj;

Së treti, në një trapez, linjat paralele që kryqëzojnë anët e këndit të një figure të caktuar priten. segmente proporcionale nga anët e këndit.

Së katërti, në çdo lloj trapezi, shuma e këndeve që janë ngjitur me anën e tij është e barabartë me 180°.

Ku tjetër është prezent trapezi?

Fjala "trapezoid" është e pranishme jo vetëm në gjeometri, por ka një aplikim më të gjerë në Jeta e përditshme.

Kjo fjalë e pazakontë Mund të takojmë, ndërsa shikojmë garat sportive, gjimnastët që kryejnë ushtrime akrobatike në trapez. Në gjimnastikë, një trapez është një aparat sportiv që përbëhet nga një shirit i varur në dy litarë.

Ju gjithashtu mund ta dëgjoni këtë fjalë kur punoni në palestër ose midis njerëzve që merren me bodybuilding, pasi trapezius nuk është vetëm një figurë gjeometrike ose një aparat akrobatik sportiv, por edhe muskuj të fuqishëm të shpinës që ndodhen në pjesën e pasme të qafës.

Fotografia tregon një trapez ajror, i cili u shpik për akrobatët e cirkut nga artisti Julius Leotard në shekullin e nëntëmbëdhjetë në Francë. Në fillim, krijuesi i këtij akti e vendosi predhën e tij në një lartësi të ulët, por në fund ajo u zhvendos pikërisht nën kupolën e cirkut.

Aerialistët në cirk kryejnë truket e fluturimit nga trapezi në trapez, kryejnë fluturime të kryqëzuara dhe kryejnë salto në ajër.

Në sportet e kuajve, trapezi është një ushtrim për shtrirjen ose shtrirjen e trupit të kalit, i cili është shumë i dobishëm dhe i këndshëm për kafshën. Kur kali qëndron në pozicionin e trapezit, shtrirja e këmbëve ose e muskujve të shpinës së kafshës funksionon. Kjo ushtrim i bukur mund të vëzhgojmë gjatë harkut ose të ashtuquajturit "përtypje e përparme", kur kali përkulet thellë.

Detyrë: Jepni shembujt tuaj se ku tjetër në jetën e përditshme mund të dëgjoni fjalët "trapezoid"?

A e dini se për herë të parë në vitin 1947, stilisti i famshëm francez Christian Dior zhvilloi një sfilatë në të cilën ishte e pranishme silueta e një fundi në linjë. Dhe megjithëse kanë kaluar më shumë se gjashtëdhjetë vjet, kjo siluetë është ende në modë dhe nuk e humbet rëndësinë e saj deri më sot.

Në gardërobë Mbretëresha e Anglisë fundi i linjës A u bë një artikull i domosdoshëm dhe karta e saj e vizitës.

Të kujton formë gjeometrike Fundi me të njëjtin emër me linjë A shkon në mënyrë perfekte me çdo bluzë, bluzë, bluzë dhe xhaketë. Klasicizmi dhe natyra demokratike e këtij stili popullor lejon që ai të vishet me xhaketa zyrtare dhe majat pak joserioze. Do të ishte e përshtatshme të vishni një fund të tillë si në zyrë ashtu edhe në një disko.

Probleme me trapezoidin

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e problemeve me trapezoidët, është e rëndësishme të mbani mend disa rregulla bazë:

Së pari, vizatoni dy lartësi: BF dhe CK.

Në një nga rastet, si rezultat do të merrni një drejtkëndësh - ВСФК, nga i cili është e qartë se FK = ВС.

AD=AF+FK+KD, pra AD=AF+BC+KD.

Përveç kësaj, është menjëherë e qartë se ABF dhe DCK janë trekëndësha kënddrejtë.

Një tjetër opsion është i mundur kur trapezi nuk është mjaft standard, ku

AD=AF+FD=AF+FK–DK=AF+BC–DK.

Por opsioni më i thjeshtë është nëse trapezi ynë është izosceles. Atëherë zgjidhja e problemit bëhet edhe më e lehtë, sepse ABF dhe DCK janë trekëndësha kënddrejtë dhe janë të barabartë. AB=CD, meqenëse trapezi është dykëndor, dhe BF=CK, si lartësia e trapezit. Nga barazia e trekëndëshave rrjedh barazia e brinjëve përkatëse.

Një trapez quhet katërkëndësh konveks, në të cilën një palë brinjë të kundërta janë paralele me njëra-tjetrën, dhe tjetra jo.

Bazuar në përkufizimin e një trapezi dhe karakteristikat e një paralelogrami, anët paralele të një trapezi nuk mund të jenë të barabarta me njëra-tjetrën. Përndryshe, çifti tjetër i anëve do të bëhej gjithashtu paralel dhe i barabartë me njëra-tjetrën. Në këtë rast do të kishim të bënim me një paralelogram.

Anët e kundërta paralele të një trapezi quhen arsye. Kjo do të thotë, trapezi ka dy baza. Anët e kundërta jo paralele të një trapezi quhen anët.

Varësisht se cilat faqe anësore, cilat kënde formojnë me bazat, dallohen lloje te ndryshme trapezoid. Më shpesh, trapezoidët ndahen në të pabarabarta (të njëanshme), izosceles (barabrinjës) dhe drejtkëndëshe.

U trapezoide anash palët nuk janë të barabarta me njëra-tjetrën. Për më tepër, me një bazë të madhe, të dy mund të formojnë vetëm kënde akute, ose një kënd do të jetë i mpirë dhe tjetri i mprehtë. Në rastin e parë quhet trapezi me kënd akute, në të dytën - i mpirë.

U trapezoide izosceles anët janë të barabarta me njëra-tjetrën. Për më tepër, me një bazë të madhe ato mund të formojnë vetëm kënde akute, d.m.th. Të gjithë trapezoidët izoscelorë janë me kënd akute. Prandaj, ato nuk ndahen në këndore akute dhe me kënd të mpirë.

U trapezoide drejtkëndëshe një anësor pingul me bazat. Ana e dytë nuk mund të jetë pingul me to, sepse në këtë rast do të kishim të bënim me një drejtkëndësh. Në trapezoidët drejtkëndëshe, ana jo pingule formon gjithmonë një kënd të mprehtë me bazën më të madhe. Një anë pingul është pingul me të dyja bazat sepse bazat janë paralele.

Trapezoid. Përkufizimi, formula dhe veti

Një trapez është një katërkëndësh, çifti i anëve të kundërta të të cilit janë paralele.

Shënim. Në këtë rast, paralelogrami është një rast i veçantë i një trapezi.

Anët e kundërta paralele quhen bazat e trapezit, dhe dy të tjerat quhen anët anësore.

Trapezet janë:

- i gjithanshëm ;

- barabrinjës;

- drejtkëndëshe

A - izosceles (izosceles, isosceles) trapezoid
B- trapez drejtkëndor
C - trapezoid skalen

Një trapez skalen i ka të gjitha anët me gjatësi të ndryshme dhe bazat janë paralele.

Brinjët janë të barabarta dhe bazat janë paralele.

Bazat janë paralele, njëra anë është pingul me bazat dhe ana e dytë është e prirur nga bazat.

Vetitë e një trapezi

• Vija e mesme e trapezit paralel me bazat dhe i barabartë me gjysmën e shumës së tyre
• Një segment që lidh mesin e diagonaleve, e barabartë me gjysmën dallimi i bazave dhe shtrihet në vija e mesme. Gjatësia e saj
• Vijat paralele që kryqëzojnë anët e çdo këndi të një trapezi prenë segmente proporcionale nga anët e këndit (shih Teoremën e Talesit)
• Pika e prerjes së diagonaleve trapezoide, pika e kryqëzimit të zgjatimeve të anëve të saj dhe mesi i bazave shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë (shih edhe vetitë e një katërkëndëshi)
• Trekëndëshat e shtrirë mbi baza trapezoidët kulmet e të cilëve janë pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij janë të ngjashme. Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të tillë është i barabartë me katrorin e raportit të bazave të trapezit
• Trekëndëshat e shtrirë në anët trapezoidët kulmet e të cilëve janë pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij janë të barabarta në sipërfaqe (të barabartë në sipërfaqe)
• Në trapez mund të futni një rreth, nëse shuma e gjatësive të bazave të një trapezi është e barabartë me shumën e gjatësive të brinjëve të tij. Vija e mesme në këtë rast është e barabartë me shumën e anëve të ndarë me 2 (pasi vija e mesme e një trapezi është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave)
• Një segment paralel me bazat dhe duke kaluar nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve, ndahet nga kjo e fundit në gjysmë dhe është e barabartë me dyfishin e produktit të bazave të pjesëtuar me shumën e tyre 2ab / (a ​​+ b) (formula e Burakov)

Kënde trapezoide

Një trapez drejtkëndor ka dy kënde të drejta, dhe dy të tjerët janë akute dhe të mpirë. Llojet e tjera të trapezëve kanë: dy kënde akute dhe dy budallenj.

Kënde të mprehta trapezoidët i përkasin atij më të vogël përgjatë gjatësisë së bazës, dhe pikante - më shumë bazë.

Mund të konsiderohet çdo trapezoid si një trekëndësh i cunguar, vija e prerjes së të cilit është paralele me bazën e trekëndëshit.
E rëndësishme. Ju lutemi vini re se në këtë mënyrë ( ndërtim shtesë trapezoidët në trekëndësha) mund të zgjidhen disa probleme rreth trapezit dhe mund të vërtetohen disa teorema.

Si të gjeni anët dhe diagonalet e një trapezi

Gjetja e anëve dhe diagonaleve të një trapezi bëhet duke përdorur formulat e dhëna më poshtë:

Në këto formula, shënimi i përdorur është si në figurë.

a - më e vogla nga bazat e trapezit
b - më e madhja nga bazat e trapezit
c, d - anët
h 1 h 2 - diagonale

Shuma e katrorëve të diagonaleve të një trapezi është e barabartë me dyfishin e produktit të bazave të trapezit plus shumën e katrorëve të anëve anësore (Formula 2)

1. Segmenti që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi është i barabartë me gjysmën e diferencës së bazave
2. Trekëndëshat e formuar nga bazat e një trapezi dhe segmentet e diagonaleve deri në pikën e kryqëzimit të tyre janë të ngjashëm
3. Trekëndëshat e formuar nga segmente të diagonaleve të një trapezi, anët e të cilave shtrihen në anët anësore të trapezit - të barabartë në madhësi (kanë të njëjtën zonë)
4. Nëse i zgjatni anët e trapezit anash bazë më e vogël, atëherë ato kryqëzohen në një pikë me vijën që lidh mesin e bazave
5. Një segment që lidh bazat e një trapezi dhe kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit ndahet me këtë pikë në një proporcion të barabartë me raportin e gjatësive të bazave të trapezit.
6. Një segment paralel me bazat e trapezit dhe i tërhequr përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve ndahet në gjysmë nga kjo pikë dhe gjatësia e tij është e barabartë me 2ab/(a + b), ku a dhe b janë bazat e trapezoid

Vetitë e një segmenti që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi

Le të lidhim mesin e diagonaleve të trapezit ABCD, si rezultat i të cilit do të kemi një segment LM.
Një segment që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi shtrihet në vijën e mesme të trapezit.

Ky segment paralel me bazat e trapezit.

Gjatësia e segmentit që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi është e barabartë me gjysmën e diferencës së bazave të tij.

LM = (AD - BC)/2
ose
LM = (a-b)/2

Vetitë e trekëndëshave të formuar nga diagonalet e një trapezi

Trekëndëshat që formohen nga bazat e një trapezi dhe pika e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit - janë të ngjashme.
Trekëndëshat BOC dhe AOD janë të ngjashëm. Meqenëse këndet BOC dhe AOD janë vertikale, ato janë të barabarta.
Këndet OCB dhe OAD janë kënde të brendshme që shtrihen në mënyrë tërthore me drejtëza paralele AD dhe BC (bazat e trapezit janë paralele me njëra-tjetrën) dhe një drejtëz sekante AC, prandaj janë të barabarta.
Këndet OBC dhe ODA janë të barabarta për të njëjtën arsye (të brendshme tërthore).

Meqenëse të tre këndet e një trekëndëshi janë të barabartë me këndet përkatëse të një trekëndëshi tjetër, atëherë këta trekëndësha janë të ngjashëm.

Çfarë rrjedh nga kjo?

Për të zgjidhur problemet në gjeometri, ngjashmëria e trekëndëshave përdoret si më poshtë. Nëse dimë gjatësitë e dy elementeve përkatës trekëndësha të ngjashëm, atëherë gjejmë koeficientin e ngjashmërisë (pjestojmë njërin me tjetrin). Nga ku gjatësitë e të gjithë elementëve të tjerë janë të lidhura me njëra-tjetrën me saktësisht të njëjtën vlerë.

Vetitë e trekëndëshave të shtrirë në anën anësore dhe diagonaleve të një trapezi

Konsideroni dy trekëndësha të shtrirë në anët anësore të trapezit AB dhe CD. Këta janë trekëndëshat AOB dhe COD. Edhe pse përmasat parti individuale këta trekëndësha mund të jenë krejtësisht të ndryshëm, por sipërfaqet e trekëndëshave të formuar nga anët anësore dhe pika e prerjes së diagonaleve të trapezit janë të barabarta, domethënë trekëndëshat janë të barabartë në madhësi.

Nëse anët e trapezit i zgjerojmë drejt bazës më të vogël, atëherë pika e kryqëzimit të anëve do të jetë përkojnë me një vijë të drejtë që kalon nga mesi i bazave.

Kështu, çdo trapezoid mund të zgjerohet në një trekëndësh. ku:

• Trekëndëshat e formuar nga bazat e një trapezi me maja e zakonshme në pikën e kryqëzimit të anëve anësore të zgjatura janë të ngjashme
• Vija e drejtë që lidh mesin e bazave të trapezit është, në të njëjtën kohë, mediana e trekëndëshit të ndërtuar

Vetitë e një segmenti që lidh bazat e një trapezi

Nëse vizatoni një segment, skajet e të cilit shtrihen në bazat e një trapezi, i cili shtrihet në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit (KN), atëherë raporti i segmenteve përbërës të tij nga ana e bazës në pikën e kryqëzimit i diagonaleve (KO/ON) do të jetë i barabartë me raportin e bazave të trapezit(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Kjo pronë rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave përkatës (shih më lart).

Vetitë e një segmenti paralel me bazat e një trapezi

Nëse vizatojmë një segment paralel me bazat e trapezit dhe që kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit, atëherë ai do të ketë vetitë e mëposhtme:

• Distanca e specifikuar (KM) të përgjysmuar nga pika e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit
• Gjatësia e segmentit, duke kaluar nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit dhe paralel me bazat, është e barabartë KM = 2ab/(a + b)

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezi

a, b- bazat trapezoide

c,d- faqet e trapezit

d1 d2- diagonalet e një trapezi

α β - kënde me bazë më të madhe të trapezit

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezi përmes bazave, brinjëve dhe këndeve në bazë

Grupi i parë i formulave (1-3) pasqyron një nga vetitë kryesore të diagonaleve trapezoide:

1. Shuma e katrorëve të diagonaleve të një trapezi është e barabartë me shumën e katrorëve të brinjëve plus dyfishin e produktit të bazave të tij. Kjo veti e diagonaleve trapezoide mund të vërtetohet si një teoremë më vete

2 . Kjo formulë fitohet duke transformuar formulën e mëparshme. Sheshi i diagonales së dytë hidhet përmes shenjës së barabartë, pas së cilës rrënja katrore nxirret nga ana e majtë dhe e djathtë e shprehjes.

3 . Kjo formulë për gjetjen e gjatësisë së diagonales së një trapezi është e ngjashme me atë të mëparshme, me ndryshimin se një diagonale tjetër lihet në anën e majtë të shprehjes.

Grupi tjetër i formulave (4-5) janë të ngjashëm në kuptim dhe shprehin një marrëdhënie të ngjashme.

Grupi i formulave (6-7) ju lejon të gjeni diagonalen e një trapezi nëse dihet baza më e madhe e trapezit, njëra anë dhe këndi në bazë.

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezi në lartësi

Detyrë.
Diagonalet e trapezit ABCD (AD | | BC) priten në pikën O. Gjeni gjatësinë e bazës BC të trapezit nëse baza AD = 24 cm, gjatësia AO = 9 cm, gjatësia OS = 6 cm.

Zgjidhje.
Zgjidhja e këtij problemi është ideologjikisht absolutisht identike me problemet e mëparshme.

Trekëndëshat AOD dhe BOC janë të ngjashëm në tre kënde - AOD dhe BOC janë vertikale, dhe këndet e mbetura janë të barabarta në çift, pasi ato formohen nga kryqëzimi i një drejtëze dhe dy drejtëzave paralele.

Meqenëse trekëndëshat janë të ngjashëm, të gjitha dimensionet e tyre gjeometrike janë të lidhura me njëra-tjetrën, ashtu si dimensionet gjeometrike të segmenteve AO dhe OC të njohura për ne sipas kushteve të problemit. Kjo eshte

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Përgjigju: 16 cm

Detyrë .
Në trapezin ABCD dihet se AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Gjeni zonën e trapezit.

Zgjidhje .
Për të gjetur lartësinë e një trapezi nga kulmet e bazës më të vogël B dhe C, ne ulim dy lartësi në bazën më të madhe. Meqenëse trapezi është i pabarabartë, shënojmë gjatësinë AM = a, gjatësinë KD = b ( të mos ngatërrohet me shënimin në formulë gjetja e zonës së një trapezi). Meqenëse bazat e trapezit janë paralele, dhe ne kemi rënë dy lartësi pingul më shumë arsye, atëherë MBCK është një drejtkëndësh.

Do të thotë
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trekëndëshat DBM dhe ACK janë drejtkëndëshe, kështu që këndet e tyre të drejta formohen nga lartësitë e trapezit. Lartësinë e trapezit le ta shënojmë me h. Pastaj, nga teorema e Pitagorës

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Dhe
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Le të marrim parasysh se a = 16 - b, pastaj në ekuacionin e parë
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Le të zëvendësojmë vlerën e katrorit të lartësisë në ekuacionin e dytë të marrë duke përdorur teoremën e Pitagorës. Ne marrim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Pra, KD = 12
Ku
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Gjeni sipërfaqen e trapezit në lartësinë e tij dhe gjysmën e shumës së bazave
, ku a b - baza e trapezit, h - lartësia e trapezit
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Përgjigju: sipërfaqja e trapezit është 80 cm2.

Për të qenë të sigurt dhe për të zgjidhur me sukses problemet në mësimet e gjeometrisë, nuk mjafton të mësosh formulat. Ato duhet të kuptohen së pari. Të kesh frikë, dhe aq më tepër të urresh formulat, është joproduktive. Në këtë artikull gjuhë e aksesueshme do të analizohen mënyra të ndryshme Gjetja e zonës së një trapezi. Për të kuptuar më mirë rregullat dhe teoremat përkatëse, do t'i kushtojmë pak vëmendje vetive të tij. Kjo do t'ju ndihmojë të kuptoni se si funksionojnë rregullat dhe në cilat raste duhet të zbatohen formula të caktuara.

Përcaktimi i një trapezi

Çfarë lloj figure është kjo në përgjithësi? Një trapez është një shumëkëndësh me katër qoshe dhe dy brinjë paralele. Dy anët e tjera të trapezit mund të priren në kënde të ndryshme. Anët e saj paralele quhen baza, dhe për anët jo paralele përdoret emri "anët" ose "ijet". Shifra të tilla janë mjaft të zakonshme në jeta e përditshme. Konturet e trapezoidit mund të shihen në siluetat e veshjeve, sendeve të brendshme, mobiljeve, enëve dhe shumë të tjera. Trapezi ndodh tipe te ndryshme: skalen, barabrinjës dhe drejtkëndor. Ne do të shqyrtojmë llojet dhe vetitë e tyre në më shumë detaje më vonë në artikull.

Vetitë e një trapezi

Le të ndalemi shkurtimisht në vetitë e kësaj figure. Shuma e këndeve ngjitur me çdo anë është gjithmonë 180°. Duhet të theksohet se të gjitha këndet e një trapezi shtohen deri në 360°. Trapezi ka konceptin e vijës së mesme. Nëse lidhni mesin e anëve me një segment, kjo do të jetë vija e mesme. Është caktuar m. Vija e mesme ka veti të rëndësishme: është gjithmonë paralel me bazat (kujtojmë se edhe bazat janë paralele me njëra-tjetrën) dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre:

Ky përkufizim duhet mësuar dhe kuptuar, sepse është çelësi i zgjidhjes së shumë problemeve!

Me një trapezoid, gjithmonë mund të ulni lartësinë në bazë. Një lartësi është një pingul, i shënuar shpesh me simbolin h, që tërhiqet nga çdo pikë e një baze në një bazë tjetër ose në shtrirjen e saj. Vija e mesit dhe lartësia do t'ju ndihmojnë të gjeni zonën e trapezit. Detyra të ngjashme janë më të zakonshmet në kursi shkollor gjeometrisë dhe shfaqen rregullisht mes fletëve të testimit dhe provimit.

Formulat më të thjeshta për sipërfaqen e një trapezi

Le të shohim dy më të njohurit dhe formula të thjeshta, me ndihmën e të cilit gjendet zona e një trapezi. Mjafton të shumëzoni lartësinë me gjysmën e shumës së bazave për të gjetur lehtësisht atë që kërkoni:

S = h*(a + b)/2.

Në këtë formulë, a, b tregojnë bazat e trapezit, h - lartësinë. Për lehtësinë e perceptimit, në këtë artikull, shenjat e shumëzimit shënohen me një simbol (*) në ​​formula, megjithëse në librat zyrtarë të referencës shenja e shumëzimit zakonisht hiqet.

Le të shohim një shembull.

Jepet: një trapez me dy baza të barabarta me 10 dhe 14 cm, lartësia është 7 cm.

Le të shohim zgjidhjen e këtij problemi. Duke përdorur këtë formulë, fillimisht duhet të gjeni gjysmën e bazave: (10+14)/2 = 12. Pra, gjysma e shumës është e barabartë me 12 cm. 12*7 = 84. Ajo që po kërkojmë është gjetur. Përgjigje: Sipërfaqja e trapezit është 84 metra katrorë. cm.

Së dyti formula e famshme thotë: sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e vijës së mesme dhe lartësinë e trapezit. Kjo do të thotë, në fakt rrjedh nga koncepti i mëparshëm i vijës së mesme: S=m*h.

Përdorimi i diagonaleve për llogaritjet

Një mënyrë tjetër për të gjetur zonën e një trapezi nuk është në fakt aq e komplikuar. Ajo është e lidhur me diagonalet e saj. Duke përdorur këtë formulë, për të gjetur zonën, duhet të shumëzoni gjysmën e produktit të diagonaleve të tij (d 1 d 2) me sinusin e këndit midis tyre:

S = ½ d 1 d 2 mëkat a.

Le të shqyrtojmë një problem që tregon zbatimin e kësaj metode. Jepet: një trapez me gjatësinë e diagonaleve përkatësisht 8 dhe 13 cm Këndi a ndërmjet diagonaleve është 30°. Gjeni zonën e trapezit.

Zgjidhje. Duke përdorur formulën e mësipërme, është e lehtë të llogaritet se çfarë kërkohet. Siç e dini, mëkati 30° është 0,5. Prandaj, S = 8*13*0.5=52. Përgjigje: sipërfaqja është 52 metra katrorë. cm.

Gjetja e sipërfaqes së një trapezi izoscelor

Një trapez mund të jetë izosceles (izosceles). Brinjët e tij janë të njëjta dhe këndet në bazat janë të barabarta, gjë që ilustrohet mirë nga figura. Trapezoid isosceles ka të njëjtat veti si ajo e zakonshme, plus një numër të veçantë. Një rreth mund të rrethohet rreth një trapezi izoscelular dhe një rreth mund të brendashkruhet brenda tij.

Cilat metoda ekzistojnë për llogaritjen e sipërfaqes së një figure të tillë? Metoda e mëposhtme do të kërkojë shumë llogaritje. Për ta përdorur atë, duhet të dini vlerat e sinusit (sin) dhe kosinusit (cos) të këndit në bazën e trapezit. Llogaritjet e tyre kërkojnë ose tabela Bradis ose kalkulator inxhinierik. Këtu është formula:

S= c*mëkat a*(a - c*cos a),

Ku Me- kofshë anësore, a- kënd në bazën e poshtme.

Një trapezoid barabrinjës ka diagonale me gjatësi të barabartë. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse një trapezoid ka diagonale të barabarta, atëherë ai është dykëndor. Nga këtu formulën e mëposhtme, e cila ndihmon për të gjetur sipërfaqen e një trapezi - gjysma e produktit të katrorit të diagonaleve dhe sinusit të këndit midis tyre: S = ½ d 2 sin a.

Gjetja e sipërfaqes së një trapezi drejtkëndor

I famshëm rast i veçantë trapez drejtkëndor. Ky është një trapezoid, në të cilin njëra anë (kofsha e saj) ngjitet me bazat në një kënd të drejtë. Ka vetitë e një trapezi të rregullt. Përveç kësaj, ajo ka shumë tipar interesant. Dallimi në katrorët e diagonaleve të një trapezi të tillë është i barabartë me ndryshimin në katrorët e bazave të tij. Për të përdoren të gjitha metodat e përshkruara më parë për llogaritjen e sipërfaqes.

Ne përdorim zgjuarsinë

Ekziston një truk që mund të ndihmojë nëse harroni formula specifike. Le të hedhim një vështrim më të afërt se çfarë është një trapezoid. Nëse e ndajmë mendërisht në pjesë, do të marrim forma gjeometrike të njohura dhe të kuptueshme: një katror ose drejtkëndësh dhe një trekëndësh (një ose dy). Nëse dihen lartësia dhe anët e trapezit, mund të përdorni formulat për sipërfaqen e një trekëndëshi dhe një drejtkëndëshi dhe më pas të shtoni të gjitha vlerat që rezultojnë.

Le ta ilustrojmë këtë shembullin e mëposhtëm. Jepet një trapez drejtkëndor. Këndi C = 45°, këndet A, D janë 90°. Baza e sipërme e trapezit është 20 cm, lartësia është 16 cm. Ju duhet të llogarisni sipërfaqen e figurës.

Kjo shifër padyshim përbëhet nga një drejtkëndësh (nëse dy kënde janë të barabarta me 90°) dhe një trekëndësh. Meqenëse trapezi është drejtkëndor, prandaj, lartësia e tij është e barabartë me anën e tij, domethënë 16 cm, kemi një drejtkëndësh me brinjë përkatësisht 20 dhe 16 cm. Tani merrni parasysh një trekëndësh këndi i të cilit është 45°. Ne e dimë se njëra anë e saj është 16 cm meqenëse kjo anë është edhe lartësia e trapezit (dhe dimë që lartësia zbret në bazë në kënd të drejtë), prandaj, këndi i dytë i trekëndëshit është 90°. Prandaj, këndi i mbetur i trekëndëshit është 45°. Si pasojë e kësaj marrim një drejtkëndëshe trekëndëshi dykëndësh, dy anët e të cilit janë të njëjta. Kjo do të thotë që ana tjetër e trekëndëshit është e barabartë me lartësinë, domethënë 16 cm Mbetet të llogaritet sipërfaqja e trekëndëshit dhe drejtkëndëshit dhe të shtohen vlerat që rezultojnë.

Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me gjysmën e produktit të këmbëve të tij: S = (16*16)/2 = 128. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e gjerësisë dhe gjatësisë së tij: S = 20*16 = 320. Gjetëm atë të kërkuar: sipërfaqja e trapezit S = 128 + 320 = 448 sq. shih Ju lehtë mund ta kontrolloni veten duke përdorur formulat e mësipërme, përgjigja do të jetë identike.

Ne përdorim formulën Peak

S = M/2 + N - 1,

në këtë formulë M është numri i nyjeve, d.m.th. kryqëzimet e vijave të figurës me vijat e qelizës në kufijtë e trapezit (pika portokalli në figurë), N është numri i nyjeve brenda figurës (pika blu). Është më i përshtatshëm për ta përdorur atë kur gjeni zonën shumëkëndësh i çrregullt. Megjithatë, sa më i madh të jetë arsenali i teknikave të përdorura, aq më pak gabime dhe rezultate më të mira.

Sigurisht, informacioni i dhënë nuk shter llojet dhe vetitë e një trapezi, si dhe metodat për gjetjen e zonës së tij. Ky artikull ofron një përmbledhje të karakteristikave të tij më të rëndësishme. Kur zgjidhni probleme gjeometrike, është e rëndësishme të veproni gradualisht, të filloni me formula dhe probleme të thjeshta, të konsolidoni vazhdimisht të kuptuarit tuaj dhe të kaloni në një nivel tjetër kompleksiteti.

Të mbledhura së bashku formulat më të zakonshme do t'i ndihmojnë studentët të lundrojnë në mënyra të ndryshme për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi dhe të përgatiten më mirë për teste dhe testet në këtë temë.