1 bölü 0 budur. Baba, neden sıfıra bölemiyorsun? Peki sıfıra bölmek mümkün mü?

“Sıfıra bölemezsin!” - Çoğu okul çocuğu bu kuralı soru sormadan ezberler. Tüm çocuklar “yapamazsınız”ın ne olduğunu ve buna yanıt olarak “Neden?” diye sorarsanız ne olacağını bilir. Ama aslında bunun neden mümkün olmadığını bilmek çok ilginç ve önemli.

Mesele şu ki, aritmetiğin dört işlemi (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) aslında eşit değildir. Matematikçiler bunlardan yalnızca ikisinin geçerli olduğunu kabul eder: toplama ve çarpma. Bu işlemler ve özellikleri sayı kavramının tanımının içinde yer almaktadır. Diğer tüm eylemler şu veya bu ikisinden inşa edilir.

Örneğin çıkarma işlemini düşünün. 5 – 3 ne anlama geliyor? Öğrenci buna basitçe cevap verecektir: Beş nesne almanız, üçünü almanız (çıkarmanız) ve kaç tane kaldığını görmeniz gerekir. Ancak matematikçiler bu soruna tamamen farklı bakıyorlar. Çıkarma yoktur, yalnızca ekleme vardır. Dolayısıyla 5 – 3 gösterimi, 3 sayısına eklendiğinde 5 sayısını verecek bir sayı anlamına gelir. Yani 5 – 3, denklemin kısaltılmış gösterimidir: x + 3 = 5. Çıkarma yoktur. bu denklemde. Sadece bir görev var - uygun bir numara bulmak.

Çarpma ve bölmede de aynı durum geçerlidir. Giriş 8:4, sekiz öğenin dört eşit kümeye bölünmesinin sonucu olarak anlaşılabilir. Fakat gerçekte bu sadece 4 x = 8 denkleminin kısa bir formudur.

Sıfıra bölmenin neden imkansız (veya daha doğrusu imkansız) olduğu burada netleşiyor. Kayıt 5: 0, 0 x = 5'in kısaltmasıdır. Yani bu görev, 0 ile çarpıldığında 5 verecek bir sayı bulmaktır. Ama biliyoruz ki, 0 ile çarpıldığında sonuç her zaman 0 olur. Bu sıfırın doğal bir özelliğidir, kesin olarak konuşursak, tanımının bir parçasıdır.

0 ile çarpıldığında sıfırdan başka bir şey verecek bir sayı yoktur. Yani sorunumuzun çözümü yok. (Evet, bu olur; her sorunun bir çözümü yoktur.) Bu, 5:0 girişinin belirli bir sayıya karşılık gelmediği ve hiçbir şey ifade etmediği ve dolayısıyla hiçbir anlamı olmadığı anlamına gelir. Sıfıra bölünemezsiniz denilerek bu girdinin anlamsızlığı kısaca ifade edilmiştir.

Buradaki en dikkatli okuyucular kesinlikle şunu soracaktır: Sıfırı sıfıra bölmek mümkün mü? Aslında 0 x = 0 denklemi güvenle çözülebilir. Örneğin, x = 0 alırsak 0 0 = 0 elde ederiz. Yani 0: 0=0? Ama acele etmeyelim. X = 1 almaya çalışalım. 0 1 = 0 elde ederiz. Doğru mu? Yani 0:0 = 1? Ancak bu şekilde herhangi bir sayıyı alıp 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 vb. elde edebilirsiniz.

Ancak herhangi bir sayı uygunsa o zaman bunlardan herhangi birini seçmemiz için hiçbir neden yoktur. Yani 0:0 girişinin hangi sayıya karşılık geldiğini söyleyemeyiz ve eğer öyleyse bu girdinin de hiçbir anlam ifade etmediğini kabul etmek zorunda kalıyoruz. Sıfırın bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı. (İÇİNDE matematiksel analiz teşekkür edildiği zamanlar vardır ek koşullar görevlerden birine tercih verilebilir olası seçenekler 0 x = 0 denkleminin çözümleri; Bu gibi durumlarda matematikçiler "belirsizliğin ortaya çıkmasından" bahseder, ancak aritmetikte bu tür durumlar meydana gelmez.)

Bölme işleminin özelliği budur. Daha doğrusu çarpma işlemi ve onunla ilişkili sayı sıfırdır.

Buraya kadar okuduktan sonra en titiz olanlar şunu sorabilir: Neden sıfıra bölmek mümkün değil de sıfırı çıkarmak mümkün oluyor? Bir bakıma gerçek matematiğin başladığı yer burasıdır. Buna ancak resmi ifadeye aşina olarak cevap verebilirsiniz. matematiksel tanımlar sayı setleri ve bunlara yönelik operasyonlar. O kadar da zor değil ama nedense okulda öğretilmiyor. Ama üniversitedeki matematik derslerinde her şeyden önce size tam olarak bunu öğretecekler.

Projeyi desteklemek için gönüllü okuyucu katkısı

“Sıfıra bölemezsin!” - Çoğu okul çocuğu bu kuralı soru sormadan ezberler. Tüm çocuklar “yapamazsınız”ın ne olduğunu ve buna yanıt olarak “Neden?” diye sorarsanız ne olacağını bilir. Ama aslında bunun neden mümkün olmadığını bilmek çok ilginç ve önemli.

Mesele şu ki, aritmetiğin dört işlemi (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) aslında eşit değildir. Matematikçiler bunlardan yalnızca ikisinin geçerli olduğunu kabul eder: toplama ve çarpma. Bu işlemler ve özellikleri sayı kavramının tanımının içinde yer almaktadır. Diğer tüm eylemler şu veya bu ikisinden inşa edilir.

Örneğin çıkarma işlemini düşünün. Bu ne anlama geliyor 5 – 3 ? Öğrenci buna basitçe cevap verecektir: Beş nesne almanız, üçünü almanız (çıkarmanız) ve kaç tane kaldığını görmeniz gerekir. Ancak matematikçiler bu soruna tamamen farklı bakıyorlar. Çıkarma yoktur, yalnızca ekleme vardır. Bu nedenle giriş 5 – 3 bir sayıya eklendiğinde bir sayı anlamına gelir 3 bir numara vereceğim 5 . yani 5 – 3 denklemin basitçe kısa versiyonudur: x + 3 = 5. Bu denklemde çıkarma işlemi yoktur. Sadece bir görev var - uygun bir numara bulmak.

Çarpma ve bölmede de aynı durum geçerlidir. Kayıt 8: 4 sekiz nesnenin dört eşit kümeye bölünmesi sonucu anlaşılabilir. Fakat gerçekte bu sadece denklemin kısaltılmış bir şeklidir 4x = 8.

Sıfıra bölmenin neden imkansız (veya daha doğrusu imkansız) olduğu burada netleşiyor. Kayıt 5: 0 için bir kısaltmadır 0 x = 5. Yani bu görev, ile çarpıldığında bir sayı bulmaktır. 0 verecek 5 . Ama şunu biliyoruz ki çarpıldığında 0 her zaman işe yarar 0 . Bu, kesin olarak konuşursak, tanımının bir parçası olarak sıfırın doğasında olan bir özelliktir.

Öyle bir sayı ki, çarpıldığında 0 sıfırdan başka bir şey verecek, basitçe mevcut değil. Yani sorunumuzun çözümü yok. (Evet bu olur; her sorunun çözümü yoktur.) Yani kayıtlar 5: 0 belirli bir sayıya karşılık gelmez ve hiçbir şey ifade etmez ve dolayısıyla hiçbir anlamı yoktur. Sıfıra bölünemezsiniz denilerek bu girdinin anlamsızlığı kısaca ifade edilmiştir.

Buradaki en dikkatli okuyucular kesinlikle şunu soracaktır: Sıfırı sıfıra bölmek mümkün mü? Gerçekten de denklem 0 x = 0 başarıyla çözüldü. Örneğin, şunları alabilirsiniz: x = 0 ve sonra şunu elde ederiz: 0 0 = 0. Görünüşe göre 0: 0=0 ? Ama acele etmeyelim. almaya çalışalım x = 1. Aldık 0 1 = 0. Sağ? Araç, 0: 0 = 1 ? Ama herhangi bir numarayı alıp alabilirsiniz 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 vesaire.

Ancak herhangi bir sayı uygunsa o zaman bunlardan herhangi birini seçmemiz için hiçbir neden yoktur. Yani girişin hangi numaraya karşılık geldiğini söyleyemeyiz 0: 0 . Ve eğer öyleyse, o zaman bu girişin de hiçbir anlam ifade etmediğini kabul etmek zorunda kalıyoruz. Sıfırın bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı. (Matematiksel analizde, problemin ek koşulları nedeniyle denklemin olası çözümlerinden birinin tercih edilebileceği durumlar vardır. 0 x = 0; Bu gibi durumlarda matematikçiler "belirsizliğin ortaya çıkmasından" bahseder, ancak aritmetikte bu tür durumlar meydana gelmez.)

Bölme işleminin özelliği budur. Daha doğrusu çarpma işlemi ve onunla ilişkili sayı sıfırdır.

Buraya kadar okuduktan sonra en titiz olanlar şunu sorabilir: Neden sıfıra bölmek mümkün değil de sıfırı çıkarmak mümkün oluyor? Bir bakıma gerçek matematiğin başladığı yer burasıdır. Bu soruyu ancak sayısal kümelerin resmi matematiksel tanımlarına ve bunlar üzerindeki işlemlere aşina olarak cevaplayabilirsiniz. O kadar da zor değil ama nedense okulda öğretilmiyor. Ama üniversitedeki matematik derslerinde size ilk olarak öğretilecek şey budur.

Ders Kitabı: M.I. Moreau'nun “Matematik”i

Ders hedefleri: 0'ı bir sayıya bölme yeteneğini geliştirmek için koşullar yaratın.

Ders hedefleri:

• Çarpma ve bölme arasındaki bağlantı üzerinden 0'ı bir sayıya bölmenin anlamını ortaya çıkarmak;
• bağımsızlığı, dikkati, düşünmeyi geliştirmek;
• Tabloda çarpma ve bölme örneklerini çözme becerilerini geliştirmek.

Hedefe ulaşmak için ders dikkate alınarak tasarlandı etkinlik yaklaşımı.

Dersin yapısı şunları içeriyordu:

1. Organizasyon an Amacı çocukları öğrenmeye olumlu bir şekilde motive etmekti.
2. Motivasyon bilgiyi güncellememize, dersin amaçlarını ve hedeflerini formüle etmemize izin verdi. Bu amaçla görevler önerildi. Fazladan bir sayı bulma, örnekleri gruplara ayırma, eksik sayıları ekleme. Bu görevleri çözerken çocuklar aşağıdaki sorunlarla karşı karşıya kaldılar: sorun: Mevcut bilginin çözmeye yetmediği bir örnek bulunmuştur. Bu bakımdan çocuklar bağımsız olarak bir hedef formüle etti ve kendilerine dersin öğrenme hedeflerini belirlerler.
3. Yeni bilginin araştırılması ve keşfiçocuklara fırsat verdi çeşitli seçenekler sunmak görev çözümleri. Daha önce incelenen materyale dayanarak, bulmayı başardılar doğru karar ve gel çözüm, yeni bir kuralın formüle edildiği.
4. Sırasında birincil konsolidasyonöğrenciler yorum yaptı eylemleriniz, kuralına göre çalışmak, ayrıca seçildi örnekleriniz bu kurala.
5. İçin eylemlerin otomasyonu Ve standart dışı kuralları kullanma yeteneği Görevlerde çocuklar denklemleri ve ifadeleri birkaç adımda çözdüler.
6. Bağımsız çalışma ve gerçekleştirildi karşılıklı doğrulamaçoğu çocuğun konuyu anladığını gösterdi.
7. Sırasında yansımalarÇocuklar dersin amacına ulaştığı sonucuna vardılar ve kartları kullanarak kendilerini değerlendirdiler.

Ders buna dayanıyordu bağımsız eylemlerÖğrenciler her aşamada tamamen daldırma V öğrenme görevi. Bu, gruplar halinde çalışmak, kendini ve karşılıklı olarak test etmek, bir başarı durumu yaratmak gibi tekniklerle kolaylaştırılmıştır. farklılaştırılmış görevler, kendini yansıtma.

Ders ilerlemesi

Aslında sıfıra bölme hikayesi, mucitlerini rahatsız etti (a). Ancak Hintliler soyut sorunlara alışkın filozoflardır. Hiçliğe bölmek ne anlama geliyor? O zamanın Avrupalıları için böyle bir soru hiç yoktu, çünkü ne sıfırı ne de negatif sayıları (ölçekte sıfırın solunda) biliyorlardı.

Hindistan'da büyük bir sayıyı küçük bir sayıdan çıkarıp negatif bir sayı elde etmek sorun değildi. Sonuçta 3-5 = -2 v ne anlama geliyor? sıradan hayat? Bu, birisinin hala birisine 2 borcu olduğu anlamına gelir. Negatif sayılar borç deniyordu.

Şimdi sıfıra bölme konusunu da aynı şekilde basit bir şekilde ele alalım. MS 598'de (bir düşünün, ne kadar uzun zaman önce, 1400 yıldan fazla bir zaman önce!) matematikçi Brahmagupta Hindistan'da doğdu ve kendisi de sıfıra bölme konusunu merak ediyordu.

Bir limonu alıp parçalara ayırmaya başlarsak er ya da geç dilimlerin çok küçük olacağı gerçeğine varacağımızı öne sürdü. Hayal gücümüzde dilimlerin sıfıra eşit olacağı noktaya gelebiliriz. Yani soru şu: Bir limonu 2, 4 veya 10 parçaya değil de sonsuz sayıda parçaya bölerseniz dilimler ne büyüklükte olur?

İşe yarayacak sonsuz sayı"sıfır loblar". Her şey oldukça basit, limonu çok ince kesiyoruz, sonsuz sayıda parçadan oluşan bir su birikintisi elde ediyoruz.

Ama eğer matematiğe başlarsan, bir şekilde mantıksız olduğu ortaya çıkıyor

a*0=0? Ya b*0=0 ise? Bunun anlamı: a*0=b*0. Ve buradan: a=b. Yani her sayı her sayıya eşittir. Sıfıra bölmenin ilk yanlışı, devam edelim. Matematikte bölme çarpma işleminin tersi olarak kabul edilir.

Bu şu anlama geliyor: 4'ü 2'ye bölersek, 2 ile çarpıldığında 4 veren bir sayı bulmalıyız. 4'ü sıfıra bölün - sıfırla çarpıldığında 4 verecek bir sayı bulmanız gerekir. Yani x*0=4? Ama x*0=0! Yine şanssızlık. O halde soruyoruz: “4 yapmak için kaç sıfıra ihtiyacımız var?” Sonsuzluk? Sonsuz miktar sıfırlar yine de sıfıra eşit olacaktır.

Ve 0'ı 0'a bölmek genellikle belirsizlik verir, çünkü 0 * x = 0, burada x temelde herhangi bir şeydir. Yani sayısız çözüm var.

Mantıksızlık ve soyutluk Cebirin dar çerçevesinde sıfırlı işlemlere izin verilmez; daha doğrusu tanımsız bir işlemdir. Bir cihaz gerektirir daha ciddi — yüksek matematik. Yani bir bakıma sıfıra bölemezsiniz ama gerçekten isterseniz sıfıra bölebilirsiniz ama Dirac delta fonksiyonu gibi şeyleri ve diğer anlaşılması zor şeyleri anlamaya hazırlıklı olmanız gerekir. Sağlığınız için paylaşın.

Birinci sınıfta herkese sıfıra bölme matematik kuralı öğretildi. ortaokul. Hepimize "Sıfıra bölemezsiniz" öğretildi ve sıfıra bölmemiz ve genel olarak bu konuyu tartışmamız kafamıza tokat atılacak bir acıyla yasaklandı. Her ne kadar bazı öğretmenler genç sınıfları Yine de neden sıfıra bölünemeyeceğini en basit örneklerle anlatmaya çalıştılar ama bu örnekler o kadar mantıksızdı ki bu kuralı hatırlayıp gereksiz sorular sormamak daha kolaydı. Ancak tüm bu örnekler mantıksızdı çünkü öğretmenler bunu bize birinci sınıfta mantıksal olarak açıklayamadılar, çünkü birinci sınıfta denklemin ne olduğunu bile bilmiyorduk ama mantıksal olarak öyleydi. matematik kuralı yalnızca denklemlerle açıklanabilir.

Herkes herhangi bir sayıyı sıfıra bölmenin boşlukla sonuçlanacağını bilir. Neden boşluk olduğuna daha sonra bakacağız.

Genel olarak matematikte sayılarla ilgili yalnızca iki prosedür bağımsız olarak kabul edilir. Bunlar toplama ve çarpmadır. Geri kalan prosedürler bu iki prosedürün türevleri olarak kabul edilir. Buna bir örnekle bakalım.

Söylesene ne kadar olacak mesela 11-10? Hepimiz hemen 1 olacak diye cevap vereceğiz. Böyle bir cevabı nasıl bulduk? Birisi 1 olacağının zaten belli olduğunu söyleyecek, birisi 11 elmadan 10'unu aldığını ve sonucun bir elma olduğunu hesapladığını söyleyecek. Mantıksal açıdan her şey doğrudur ancak matematik kanunlarına göre bu problem farklı şekilde çözülmektedir. Toplama ve çarpmanın ana prosedürler olarak kabul edildiğini hatırlamak gerekir, bu nedenle aşağıdaki denklemi oluşturmanız gerekir: x + 10 = 11 ve ancak o zaman x = 11-10, x = 1. Toplamanın önce geldiğini ve ancak o zaman denklemi temel alarak çıkarma yapabileceğimizi unutmayın. Görünüşe göre neden bu kadar çok prosedür var? Sonuçta cevap zaten belli. Ancak sıfıra bölmenin imkansızlığını yalnızca bu tür prosedürler açıklayabilir.

Örneğin bunu yapıyoruz matematik problemi: 20'yi sıfıra bölmek istiyoruz. Yani 20:0=x. Ne kadar olacağını öğrenmek için bölme prosedürünün çarpmadan sonra geldiğini hatırlamanız gerekir. Başka bir deyişle bölme, çarpma işleminden türetilmiş bir işlemdir. Bu nedenle çarpmadan bir denklem oluşturmanız gerekir. Yani 0*x=20. İşte çıkmazın geldiği yer burasıdır. Hangi sayıyı sıfırla çarparsak çarpalım yine 0 olacaktır ama 20 olmayacaktır. Burada kural şudur: sıfıra bölemezsiniz. Sıfırı herhangi bir sayıya bölebilirsiniz ama ne yazık ki bir sayıyı sıfıra bölemezsiniz.

Bu başka bir soruyu gündeme getiriyor: Sıfırı sıfıra bölmek mümkün mü? Yani 0:0=x, yani 0*x=0 demektir. Bu denklem çözülebilir. Örneğin 0*4=0 anlamına gelen x=4'ü ele alalım. Görünüşe göre sıfırı sıfıra bölerseniz 4 elde edersiniz. Ama burada da her şey o kadar basit değil. Mesela x=12 veya x=13 alırsak aynı cevap çıkacaktır (0*12=0). Genel olarak hangi sayıyı değiştirirsek değiştirelim yine de 0 çıkacaktır. Dolayısıyla 0:0 ise sonuç sonsuz olacaktır. Bu basit bir matematik. Ne yazık ki sıfırı sıfıra bölme işlemi de anlamsızdır.

Genel olarak matematikte sıfır sayısı en ilginç olanıdır. Örneğin, herkes bilir ki herhangi bir sayının sıfır üssü bir verir. Elbette böyle bir örnekle gerçek hayatçıkmıyoruz ama sıfıra bölmeyle yaşam durumlarıçok sık rastlıyoruz. Bu nedenle sıfıra bölünemeyeceğini unutmayın.