3. Sarışınlar denklemleri böyle çözer!

Birkaç yıl önce yaptığım bu yazı muhtemelen bunun en kısa kanıtıdır... 2 = 3. Üzerine bir ayna koyun (ya da ışıktan bakın) ve "iki"nin nasıl döndüğünü göreceksiniz. “üç” e bölün

Başka bir alışılmadık formül:

on bir + iki = on iki + bir.

İngilizce'de 11 + 2 = 12 + 1 eşitliğinin, kelimelerle yazılsa bile doğru olduğu ortaya çıktı - sol ve sağdaki harflerin "toplamı" aynı! Bu demektir sağ kısım Bu eşitlik solun bir anagramıdır, yani harflerin yeniden düzenlenmesiyle ondan elde edilir.

Daha az ilginç olmasına rağmen benzer gerçek eşitlikler Rusça'da da elde edilebilir:

on beş + altı = on altı + beş.

1960'tan 1970'e kadar, "Moskova Özel Votkası" adı verilen ana ulusal içeceğin maliyeti: yarım litre 2,87 ve çeyrek litre 1,49. Bu rakamlar muhtemelen SSCB'nin neredeyse tüm yetişkin nüfusu tarafından biliniyordu. Sovyet matematikçiler, yarım litrenin fiyatı çeyreğin fiyatına eşit bir güce yükseltildiğinde "Pi" sayısının elde edildiğini fark ettiler:

1,49 2,87 ??

(B. S. Gorobets tarafından rapor edilmiştir).

Kitabın ilk baskısının yayınlanmasından sonra, Moskova Devlet Üniversitesi Kimya Fakültesi Doçenti Leenzon I. A. bana bu formülle ilgili şu ilginç yorumu gönderdi: “... yıllar önce, hesap makinelerinin olmadığı zamanlarda ve Fizik bölümünde sürgülü hesap cetveli üzerinde zorlu bir test yaptık (!) (hareketli cetveli kaç kez sola ve sağa hareket ettirmeniz gerekiyor?), ben, babamın en doğru tablolarının yardımıyla (o bir kadastrocuydu, hayatı boyunca yüksek jeodezi sınavı hayal etmişti), kırk dokuz rupinin iki seksen yedi kuvvetinin 3, 1408'e eşit olduğunu öğrendi. Bu beni tatmin etmedi. Sovyet Devlet Planlama Komitemiz bu kadar kaba davranamazdı. Kirovskaya konusunda Ticaret Bakanlığı ile yapılan istişareler, tüm fiyat hesaplamalarının ulusal ölçek bir kuruşun yüzde biri kadar doğru yapıldı. Ama ara kesin sayılar Gizlilik gerekçesiyle reddedildim (o zaman beni şaşırttı - bir kuruşun onda biri ve yüzde biri kadar ne tür bir gizlilik olabilir). 1990'ların başında arşivlerden, o zamana kadar özel bir kararnameyle gizliliği kaldırılan votkanın maliyetine ilişkin kesin rakamlar elde etmeyi başardım. Ve sonuç şu oldu: çeyrek: 1 ruble 49,09 kopek. Satışta - 1,49 ruble. Yarım litre: 2 ruble 86,63 kopek. Satışta - 2,87 ruble. Bir hesap makinesi kullanarak, bu durumda yarım litrenin dörtte birinin (5'e yuvarlandıktan sonra) verdiğini kolayca öğrendim. önemli rakamlar) sadece 3,1416! En popüler içeceğin tahmini maliyetini özel olarak ayarlayan (bundan bir an bile şüphe duymuyorum) Sovyet Devlet Planlama Komitesi çalışanlarının matematiksel yeteneklerine ancak hayret edilebilir. bilinen sonuç».

Bu bilmecede okuldan ünlü hangi matematikçi şifrelendi?

Bir matematikçi, fizikçi ve mühendise şu problem verildi: “Bir erkek ve bir kız, salonun karşıt duvarlarında duruyor. Bir noktada birbirlerine doğru yürümeye başlarlar ve her on saniyede bir aralarındaki mesafenin yarısını kat ederler. Soru şu; birbirlerine ulaşmaları ne kadar zaman alacak?”

Matematikçi tereddüt etmeden cevap verdi:

Asla.

Fizikçi biraz düşündükten sonra şöyle dedi:

Sonsuz zaman boyunca.

Mühendis, uzun hesaplamalardan sonra şunu yayınladı:

Yaklaşık iki dakika sonra tüm pratik amaçlar için yeterince yakın olacaklar.

Adil seksin büyük aşığı Landau'ya atfedilen aşağıdaki keskin formül, ünlü Landauved Profesör Gorobets tarafından dikkatimi çekti.

MSUIE doçenti A.I. Zyulkov'un bize söylediği gibi, Landau'nun getirdiğini duydu. aşağıdaki formül gösterge kadınsı çekicilik:

Nerede k- göğüs çevresi; M- kalçalarda; N- bel çevresinde, T- yükseklik, tamamı cm cinsinden; P- kg cinsinden ağırlık.

Yani, modelin (1960'lar) parametrelerini yaklaşık olarak alırsak: 80-80-60-170-60 (yukarıdaki değer dizisinde), o zaman formüle göre 5 elde ederiz. anti-model”, örneğin: 120 -120-120-170-60, o zaman 2 elde ederiz. Bu aralıkta okul notları ve kabaca söylemek gerekirse "Landau formülü" işe yarıyor.

(Kitaptan alıntı: Gorobets B. Landau çemberi. Bir dahinin hayatı. M.: LKI/URSS yayınevi, 2008.)

Dau'ya atfedilen, kadınların çekiciliğiyle ilgili başka bir bilimsel akıl yürütme.

Bir kadının çekiciliğini ona olan mesafeye göre belirleyelim. Argüman sonsuz olduğunda bu fonksiyon sıfır olur. Öte yandan sıfır noktasında da sıfırdır ( Hakkında konuşuyoruz dokunsal değil, dış çekicilik hakkında). Lagrange teoremine göre negatif olmayan sürekli fonksiyon Segmentin uçlarında sıfır değer alan , bu segmentte maksimuma sahiptir. Buradan:

1. Bir kadının en çekici olduğu mesafe vardır.

2. Bu mesafe her kadın için farklıdır.

3. Kadınlarla aranıza mesafe koymalısınız.

Teorem: Bütün atlar aynı renktedir.

Kanıt. Teoremin ifadesini tümevarımla kanıtlayalım.

Şu tarihte: N= 1 yani bir attan oluşan bir küme için ifadenin doğru olduğu açıktır.

Teoremin doğru olmasına izin verin N = k. için de doğru olduğunu kanıtlayalım. N = k+ 1. Bunu yapmak için keyfi bir dizi düşünün k+ 1 at. Eğer ondan bir atı çıkarırsanız, o zaman sadece k. Tümevarım hipotezine göre hepsi aynı renktedir. Şimdi kaldırılan atı yerine geri koyalım ve başka bir at alalım. Yine tümevarım hipotezine göre bunlar k geri kalan atlar aynı renktedir. Ama sonra hepsi bu k+1 adet at aynı renk olacaktır.

Dolayısıyla prensibe göre matematiksel tümevarım, bütün atlar aynı renktedir. Teorem kanıtlandı.

Uygulamanın bir başka harika örneği matematiksel yöntemler zoolojiye.

Teorem: Timsah genişliğinden daha uzundur.

Kanıt. Rastgele bir timsah alalım ve iki yardımcı lemmayı kanıtlayalım.

Lemma 1: Timsah yeşil olandan daha uzundur.

Kanıt. Timsah'a yukarıdan bakalım - uzun ve yeşil. Timsaha aşağıdan bakalım - uzun, ama o kadar da yeşil değil (aslında koyu gri).

Bu nedenle Lemma 1 kanıtlanmıştır.

Lemma 2: Timsah geniş olandan daha yeşildir.

Kanıt. Timsah'a tekrar yukarıdan bakalım. Yeşil ve geniştir. Timsahın yandan bakalım: yeşil ama geniş değil. Bu Lemma 2'yi kanıtlıyor.

Teoremin ifadesi açıkça kanıtlanmış lemmalardan kaynaklanmaktadır.

Tersi teorem (“Bir timsah uzundan daha geniştir”) benzer şekilde kanıtlanabilir.

İlk bakışta her iki teoremden de timsahın kare olduğu anlaşılıyor. Ancak formülasyonlarındaki eşitsizlikler katı olduğundan gerçek bir matematikçi tek doğru sonucu çıkaracaktır: TİMSAHLAR VAR DEĞİLDİR!

Teorem: Tüm doğal sayılar birbirine eşittir.

Kanıt. Herhangi iki doğal sayı için bunu kanıtlamak gerekir A Ve B eşitlik sağlandı A = B. Bunu şu şekilde yeniden formüle edelim: herhangi biri için N> 0 ve herhangi biri A Ve B, eşitliği sağlayan max( A, B) = N eşitlik de sağlanmalı A = B.

Bunu tümevarımla kanıtlayalım. Eğer N= 1 ise A Ve B doğal olduğundan her ikisi de 1'e eşittir. Bu nedenle A = B.

Şimdi bu ifadenin bir değer taşıdığının kanıtlandığını varsayalım. k. Hadi alalım A Ve Böyle ki maksimum( A, B) = k+ 1. Sonra maksimum( A–1, B–1) = k. Tümevarım hipotezine göre şu sonuca varır: ( A–1) = (B-1). Araç, A = B.

Dilbilimsel ve matematiksel bulmacaların hayranları muhtemelen dönüşlü veya kendini tanımlayan (kötü bir şey düşünmeyin), kendine gönderme yapan kelimeleri, cümleleri ve sayıları biliyorlardır. İkincisi, örneğin, 2100010006 sayısını içerir; burada ilk rakam, bu sayının kaydındaki birlerin sayısına eşittir, ikincisi - ikilerin sayısı, üçüncüsü - üçlerin sayısı, ..., onuncu - sıfır sayısı.

Kendini tanımlayan kelimeler arasında örneğin şu kelime yer alır: yirmi bir mektup, birkaç yıl önce benim tarafımdan icat edildi. Aslında 21 harften oluşuyor!

Kendini tanımlayan pek çok ifade vardır. Rusça'daki ilk örneklerden biri, yıllar önce ünlü karikatürist ve sözlü esprili Vagrich Bakhchanyan tarafından icat edildi: Bu cümlede otuz iki harf var. İşte çok daha sonra icat edilen birkaç tane daha: 1. On yedi harf. 2. Bu cümlenin sonunda hata var. 3. Bu cümle yedi kelime daha kısa olsaydı yedi kelime olurdu. 4. Okumayı bitirene kadar beni okuyacağın için benim kontrolüm altındasın. 5. ...Bu cümle üç noktayla başlıyor ve bitiyor..

Daha karmaşık tasarımlar da var. Örneğin bu canavara hayran kalın (bkz. S. Tabachnikov’un “Kvant” dergisindeki “Rahibin bir köpeği vardı” notu, No. 6, 1989): Bu cümlede “in” kelimesi iki defa, “this” kelimesi iki defa, “phrase” kelimesi iki defa, “meydana gelir” kelimesi on dört defa, “word” kelimesi on dört defa ve “word” kelimesi iki defa geçmektedir. "raz" kelimesi altı defa, "raza" kelimesi dokuz defa, "iki" kelimesi yedi defa, "on dört" kelimesi üç defa, "üç" kelimesi üç defa, "dokuz" kelimesi iki defa geçmektedir. , “yedi” kelimesi iki kez geçiyor, iki “altı” kelimesi birkaç kez geçiyor.

I. Akulich, Kvant'ta yayınlandıktan bir yıl sonra, yalnızca içerdiği kelimeleri değil, aynı zamanda noktalama işaretlerini de açıklayan, kendini tanımlayan bir ifade buldu: Okuduğunuz cümle şunları içeriyor: iki kelime “Cümle”, iki kelime “hangi”, iki kelime “Sen”, iki kelime “oku”, iki kelime “içerir”, yirmi beş kelime “kelimeler”, iki kelime “kelimeler” , iki kelime "iki nokta üst üste", iki kelime "virgül", iki kelime "by", iki kelime "sol", iki kelime "ve", iki kelime "sağ", iki kelime "tırnak", iki kelime "a", iki "ayrıca" kelimesi, iki kelime "nokta", iki kelime "bir", iki kelime "bir", yirmi iki kelime "iki", üç kelime "üç", iki kelime "dört", üç kelime "beş", dört kelime “yirmi”, iki kelime “otuz”, bir iki nokta üst üste, otuz virgül, yirmi beş sol ve sağ tırnak işareti ve bir nokta.

Sonunda, birkaç yıl sonra, aynı "Kvant" da A. Khanyan'ın, tüm harflerini titizlikle tanımlayan bir cümlenin verildiği bir notu ortaya çıktı: Bu ifadede on iki V, iki E, on yedi T, üç O, iki Y, iki F, yedi R, on dört A, iki 3, on iki E, on altı D, yedi H, yedi C, on üç B, sekiz C, altı M, beş I, iki H, iki S, üç I, üç Sh, iki P.

Daha önce bahsedilen canavarlardan birini doğuran I. Akulich bana özel bir mektupta, "Bir cümlenin daha eksik olduğu açıkça hissediliyor - tüm harflerini ve noktalama işaretlerini anlatacak bir cümle" diye yazdı. Belki okuyucularımızdan biri bu çok zor sorunu çözecektir.

Önceki konunun devamında dönüşlü paradokslardan bahsetmekte fayda var.

J. Littlewood'un daha önce bahsettiğimiz "Matematiksel Karışım" adlı kitabında haklı olarak "tüm dönüşlü paradoksların elbette mükemmel şakalar olduğu" söyleniyor. Ayrıca bunlardan alıntı yapmama izin vereceğim iki tane var:

1. On altı kelimeden daha kısa ifadelerle ifade edilemeyecek (pozitif) tamsayılar bulunmalıdır. Herhangi bir pozitif tam sayı kümesi şunları içerir: en küçük sayı ve bu nedenle bir sayı var N, "On altı kelimeden daha az bir ifadeyle ifade edilemeyen en küçük tam sayı." Ancak bu ifade 15 kelime içerir ve şunları tanımlar: N.

2. Dergide Seyirci“Sabah gazetenizi açtığınızda en çok neyi okumaktan hoşlanırsınız?” konulu bir yarışma açıklandı. Birincilik ödülü şu cevabı aldı:

Bu yılın ikinci yarışmasında birincilik ödülü, esprili cevabı kolaylıkla en iyi olarak değerlendirilebilecek olan Bay Arthur Robinson'a verildi. “Sabah gazetenizi açtığınızda en çok neyi okumaktan hoşlanırsınız?” sorusuna verdiği yanıt: "İkinci yarışmamız" başlığını taşıyordu ancak kağıt kısıtlamalarından dolayı tam olarak basamıyoruz.

O kadar muhteşem cümleler var ki, soldan sağa, sağdan sola aynı okunuyor. Herkes bir şeyi kesin olarak biliyor: Ve gül Azor'un pençesine düştü. Kaprisli Malvina'nın cahil Pinokyo'nun diktesini yazması istenen kişi oydu. Bu tür karşılıklı ifadelere palindrom adı verilir ve Yunancadan çevrildiğinde "geri koşmak, geri dönmek" anlamına gelir. İşte birkaç örnek daha: 1. Lilliput yayın balığı köprüde kesiliyor. 2. banyoya tırmanıyorum. 3. Tapınağa uzandı ve baş melek muhteşem ve görünmez. 4. Patlıcanın üzerine yaban domuzu bastırıldı. 5. Tecrübenin darbesiyle yaralanan Muse, mantık için dua edeceksin. (D. Avaliani). 6. Elimle nadiren sigara izmaritini tutarım... (B.Goldstein) 7. Süt kokusu aldığımda miyavlıyorum. (G. Lukomnikov). 8. O bir söğüt, ama o bir kütük. (S.F.)

Acaba matematikte palindromlar var mı? Bu soruyu cevaplamak için karşılıklı, simetrik okuma fikrini sayılara ve formüllere aktarmaya çalışalım. O kadar da zor olmadığı ortaya çıktı. Sadece birkaçıyla tanışalım tipik örnekler bu palindromik matematikten, palindromatik. Palindromik sayıları bir kenara bırakırsak - örneğin, 1991 , 666 vesaire. - hemen simetrik formüllere dönelim.

Önce şu problemi çözmeye çalışalım: Böyle iki basamaklı sayıların tüm çiftlerini bulun

(X 1 - ilk rakam, sen 1 - ikinci rakam) ve

böylece toplamın sağdan sola okunması sonucunda toplamalarının sonucu değişmez, yani.

Örneğin 42 + 35 = 53 + 24.

Sorun önemsiz bir şekilde çözülebilir: tüm bu sayı çiftlerinin ilk rakamlarının toplamı, ikinci rakamlarının toplamına eşittir. Artık kolayca oluşturabilirsiniz benzer örnekler: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 vb.

Benzer şekilde mantık yürüterek geri kalanlar için aynı sorunu kolayca çözebilirsiniz. Aritmetik işlemler.

Farklılık durumunda, yani.

boşaltmak aşağıdaki örnekler: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - bu sayıların rakamlarının toplamı eşittir ( X 1 + e 1 = x 2 + e 2 ).

Çarpma durumunda elimizde: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - bu durumda sayıların ilk rakamlarının çarpımı N 1 Ve N 2 ikinci rakamlarının çarpımına eşit ( X 1 X 2 = y 1 sen 2 ).

Son olarak bölme işlemi için aşağıdaki örnekleri alırız:

Bu durumda sayının ilk rakamının çarpımı N 1 sayının ikinci hanesine N 2 diğer iki rakamının çarpımına eşittir, yani. X 1 sen 2 = x 2 sen 1 .

"Az gelişmiş sosyalizm" çağında ortaya çıkan aşağıdaki "teoremin" kanıtı, Komünist Partinin rolüne ilişkin o yılların popüler tezlerine dayanmaktadır.

Teorem. Partinin rolü olumsuzdur.

Kanıt. Şu iyi bilinmektedir:

1. Partinin rolü sürekli artmaktadır.

2. Komünizm döneminde sınıfsız toplum partinin rolü sıfır olacaktır.

Böylece 0'a doğru sürekli artan bir fonksiyonumuz olur. Dolayısıyla negatiftir. Teorem kanıtlandı.

Aşağıdaki problemin görünüşte saçma olmasına rağmen, yine de tamamen kesin bir çözümü var.

Görev. Anne oğlumdan büyük 21 yıldır. Altı yıl sonra yaşının beş katı olacak. Soru şu: BABA NEREDE?!

Çözüm. İzin vermek X- oğlunun yaşı ve e- annenin yaşı. Daha sonra problem koşulu iki basit denklemden oluşan bir sistem olarak yazılır:

Değiştirme e = X+21 ikinci denklemde 5 elde ederiz X + 30 = X+ 21 + 6, nereden X= –3/4. Böylece oğul şimdi eksi 3/4 yaşında, yani. eksi 9 ay. Bu da demek oluyor ki baba şu an annemin üstünde!

İronik ifade "Madem bu kadar akıllısın, o zaman neden bu kadar fakirsin?" Çok iyi biliniyor ve ne yazık ki birçok insan için geçerli. Bu üzücü olgunun, aynı derecede tartışılmaz gerçeklere dayanan katı bir matematiksel gerekçeye sahip olduğu ortaya çıktı.

Yani, iki iyi bilinen varsayımla başlayalım:

Varsayım 1: Bilgi = Güç.

Varsayım 2: Zaman = Para.

Ayrıca, herhangi bir okul çocuğu bunu bilir

Yol s = Hız x Zaman = İş: Kuvvet,

İş: Zaman = Kuvvet x Hız (*)

Her iki önermedeki “zaman” ve “kuvvet” değerlerini (*) ile değiştirerek şunu elde ederiz:

İş: (Bilgi x Hız) = Para (**)

Ortaya çıkan eşitlikten (**) “bilgiyi” veya “hızı” sıfıra yönlendirerek herhangi bir “iş” karşılığında istediğimiz kadar para alabileceğimiz açıktır.

Dolayısıyla sonuç: ne kadar aptal ve tembel kişi, onlar daha fazla para para kazanabilir.

Birkaç yıl önce, "Bilim ve Yaşam" (No. 1, 2000) dergisi, Profesör B. Gorobets'in okuyucular arasında büyük ilgi uyandıran, Akademisyen Landau'nun seyahat ederken can sıkıntısını önlemek için icat ettiği harika bulmaca oyununa adanmış bir notunu yayınladı. araba. Sensörün olduğu bu oyunu oynayın rastgele numaralar hızla geçen arabaların plaka numaraları olarak hizmet ediyordu (daha sonra bu sayılar iki harf ve iki çift sayıdan oluşuyordu), bunları sık sık arkadaşlarına teklif ediyordu. Oyunun özü, tek ve aynı anlama ulaşmak için aritmetik işlemlerin işaretlerini ve temel fonksiyonların sembollerini (ör. +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, vb.) kullanmaktı. bu ikisi çift ​​haneli sayılar Geçen bir arabanın plakasından. Bu durumda faktöriyel () kullanılmasına izin verilir. N! = 1 x 2 x ... x N), ancak sekant, kosekant ve farklılaşma kullanımına izin verilmez.

Örneğin 75-33 çifti için istenen eşitlik şu şekilde elde edilir:

ve 00–38 çifti için - şöyle:

Ancak tüm sorunlar bu kadar basit bir şekilde çözülmez. Bunlardan bazıları (örneğin 75-65) oyunun yazarı Landau'nun yeteneğinin ötesindeydi. Bu nedenle, herhangi bir sayı çiftini "çözmenize" olanak tanıyan bazı evrensel yaklaşımlar, bazı tek formüllerle ilgili soru ortaya çıkıyor. Aynı soruyu Landau ve öğrencisi Prof. Kaganov. Özellikle şunu yazıyor: “Eşitliği sağlamak her zaman mümkün müdür? plaka numarası? - Landau'ya sordum. "Hayır" diye cevapladı çok kesin bir şekilde. - “Çözümün olmadığı teoremini kanıtladınız mı?” - Şaşırmıştım. "Hayır," dedi Lev Davidovich inançla, "ama tüm rakamlarda başarılı olamadım."

Ancak, Landau'nun yaşamı boyunca bunlardan biri olan bu tür çözümler bulundu.

Kharkovlu matematikçi Yu. Palant, sayı çiftlerini eşitlemek için bir formül önerdi.

tekrar tekrar kullanılması sonucunda herhangi bir sayının daha küçük olanla ifade edilmesine olanak sağlar. Kaganov bu karar hakkında "Landau'nun kanıtını getirdim" diye yazıyor. - "Gerçekten beğendi... ve yarı şaka yarı ciddi bir şekilde bunu bilimsel bir dergide yayınlayıp yayınlamamayı tartıştık."

Ancak Palant'ın formülü artık "yasaklanmış" sekantı kullanıyor (20 yıldan fazla bir süredir Okul müfredatı) ve bu nedenle tatmin edici olarak değerlendirilemez. Ancak değiştirilmiş bir formül kullanarak bunu kolayca düzeltmeyi başardım

Ortaya çıkan formül (yine gerekirse birkaç kez uygulanması gerekir), herhangi bir sayıyı başka sayılar kullanmadan herhangi bir büyük sayı cinsinden ifade etmenize olanak tanır ve bu da Landau'nun problemini açıkça tüketir.

1. Sayıların arasında sıfır olmasın. Bunlardan iki sayı yapalım ab Ve CD, (bunlar elbette iş değil). Bunu ne zaman gösterelim N ? 6:

günah[( ab)!]° = günah[( CD)!]° = 0.

Aslında günah( N!)° = 0 ise N? 6, çünkü sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Bu durumda 6! ile çarpılarak herhangi bir faktöriyel elde edilir. sonraki tam sayılara: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8 vb., sinüs bağımsız değişkeninde 360°'nin katını vererek onu (ve teğetini de) sıfıra eşitler.

2. Bazı sayı çiftlerinde sıfır olsun. Bunu bitişik rakamla çarpıyoruz ve sayının başka bir kısmındaki sayıdan alınan derece cinsinden faktöriyelin sinüsüne eşitliyoruz.

3. Sayının her iki tarafında da sıfır olsun. Bitişik rakamlarla çarpıldığında 0 = 0 önemsiz eşitliğini verirler.

Genel çözümün 2 ve 3 numaralı noktalarda sıfırla çarpılarak üç noktaya bölünmesi sin( N!)°? 0 ise N < 6».

Elbette benzer genel çözümler Landau'nun oyununu orijinal cazibesinden mahrum bırakıyor, yalnızca soyut bir ilgi sunuyor. Bu yüzden, kullanmadan bireysel zor sayılarla oynamayı deneyin. evrensel formüller. İşte bunlardan bazıları: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

Belirleyiciler hakkında daha fazla bilgi.

Bir zamanlar Makine ve Matematik Fakültesi birinci sınıf öğrencileri arasında paranın “determinantı” oyununun popüler olduğu söylendi. İki oyuncu boş hücreli kağıda 3 x 3'lük bir tanımlayıcı çizer. Daha sonra boş hücrelere 1'den 9'a kadar sayılar tek tek eklenir. Tüm hücreler dolduğunda determinant hesaplanır - işaret dikkate alınarak cevap ilk oyuncunun kazanmasıdır (veya kaybıdır). , ruble cinsinden ifade edilir. Yani, örneğin sayı -23 ise, o zaman ilk oyuncu ikinci 23 rubleyi öder ve eğer 34 ise, tam tersine, ikinci oyuncu ilk 34 rubleyi öder.

Oyunun kuralları şalgam kadar basit olsa da doğru kazanma stratejisini bulmak oldukça zordur.

Bu not bana harika "Ubiquitous Number Pi" kitabının yazarı matematikçi ve yazar A. Zhukov tarafından gönderildi.

İki Moskova üniversitesinde matematik dersi veren Profesör Boris Solomonovich Gorobets, büyük fizikçi Lev Davidovich Landau (1908–1968) - “Landau'nun Çevresi” hakkında bir kitap yazdı. İşte ne ilginç hikaye Fizik ve Teknolojiye giriş ödevlerinden biriyle ilgili olduğunu söyledi bize.

Landau'nun meslektaşı ve on ciltlik teorik fizik dersinin ortak yazarı Akademisyen Evgeniy Mihayloviç Lifshitz (1915–1985), 1959'da okul mezunu Bora Gorobets'in Moskova'nın önde gelen fizik üniversitelerinden birine kabul için hazırlanmasına yardımcı oldu.

Moskova Fizik ve Matematik Enstitüsü'ndeki matematik yazılı sınavında aşağıdaki problem önerildi: “SABC piramidinin tabanında dikdörtgen bir şekil yatıyor ikizkenar üçgen ABC, açısı C = 90°, AB tarafı = l. Yan yüzler taban düzlemi ile şekillenir dihedral açılar?, ?, ?. Piramidin içine yazılan topun yarıçapını bulun.”

Gelecekteki profesör o zaman görevle baş edemedi, ancak durumunu hatırladı ve daha sonra Evgeniy Mihayloviç'e bilgi verdi. Sorunu bir öğrencinin huzurunda çözdüğü için hemen çözemeyince evine götürdü ve akşam arayıp bir saat içinde çözemediği için bu sorunu teklif ettiğini söyledi. Lev Davidovich'e.

Landau, başkaları için zorluk yaratan sorunları çözmeyi seviyordu. Kısa süre sonra Lifshits'i geri aradı ve tatmin olmuş bir şekilde şunları söyledi: “Sorunu çözdüm. Karar vermek tam olarak bir saat sürdü. Zeldovich'i aradım, artık o karar veriyor." Şöyle açıklayalım: Kendisini Landau'nun öğrencisi olarak gören ünlü bir bilim adamı olan Yakov Borisovich Zeldovich (1914–1987), o yıllarda çok gizli Sovyet'in baş teorik fizikçisiydi. Atom projesi(elbette o zamanlar çok az kişi biliyordu). Yaklaşık bir saat sonra E.M. Lifshits tekrar aradı ve şunları söyledi: Zeldovich onu az önce aradı ve gurur duyarak şunları söyledi: “Sorununuzu çözdüm. Kırk dakikada karar verdim!”

Bu görevi tamamlamanız ne kadar sürer?

Fizik ve Teknoloji mizahı “Zany Scientific Humor” (Moskova, 2000) adlı esprili derlemede pek çok matematik şakası bulunmaktadır. İşte onlardan sadece bir tanesi.

Bir ürünün testi sırasında bir arıza meydana geldi. Ürünün hatasız çalışma olasılığı nedir?

Teorem. Tüm doğal sayılar ilginçtir.

Kanıt. Tam tersini varsayalım. O zaman en az ilgi çekici olan olmalı doğal sayı. Ha, bu çok ilginç!

1'in değeri yeterince büyük olduğunda 1 + 1 = 3'tür.

E = m c 2 = m(a 2 + b 2).

Bu Komik hikayeöğrencilik hayatımda bunu olasılık teorisi seminerlerinde bir problem olarak sunmak oldukça mümkün.

Yaz aylarında arkadaşlarımla dağlara yürüyüşe çıktık. Dört kişiydik: Volodya, iki Oleg ve ben. Bir çadırımız ve biri Volodya ve benim için iki kişilik olmak üzere üç uyku tulumumuz vardı. Bu uyku tulumlarında, daha doğrusu çadırdaki konumlarında bir sorun vardı. Gerçek şu ki yağmur yağıyordu, çadır sıkışıktı, yanlardan su sızıyordu ve kenarda yatanlar için pek rahat değildi. Bu nedenle bu sorunu “dürüstçe” kura kullanarak çözmeyi önerdim.

Bakın, Oleg'e, Volodya'ya ve bana kenarda veya ortada çift kişilik yatak alabileceğimizi söyledim. Bu nedenle, bir yazı tura atacağız: "tura" gelirse, çift kişilik yatağımız kenarda, "yazı" ise ortada olacaktır.

Olegler kabul etti, ancak sınırda geçen birkaç geceden sonra (toplam olasılık formülünü kullanarak Volodya ve benim için çadırın kenarında uyumama olasılığının 0,75 olduğunu hesaplamak kolaydır), Olegler bir şeylerin ters gittiğinden şüphelendiler ve anlaşmanın yeniden gözden geçirilmesini önerdi.

Aslında şansların eşit olmadığını söyledim. Aslında çift kişilik yatağımız için üç olasılık var: Sol kenarda, sağda ve ortada. Bu nedenle, her akşam üç çubuktan birini çekeceğiz - eğer kısa olanı çekersek, o zaman çiftimiz ortada olacaktır.

Olegler tekrar kabul etti, ancak bu kez geceyi sınırda geçirme şansımız (şimdi olasılık 0,66, daha kesin olarak üçte iki) her birinin şansına tercih edilebilirdi. İki gecenin sonunda (en iyi oranlar ve şans bizim tarafımızdaydı), Oleg'ler bir kez daha kandırıldıklarını anladılar. Ama sonra, neyse ki yağmurlar durdu ve sorun kendiliğinden ortadan kalktı.

Ama aslında çift uyku tulumumuz her zaman kenarda olmalı ve Volodya ve ben her seferinde kimin şanslı olduğunu belirlemek için bozuk para kullanırdık. Olegler de aynısını yapardı. Bu durumda kenarda uyuma şansı herkes için aynı ve 0,5'e eşit olacaktır.

Notlar:

Bazen Jean Charles Francois Sturm hakkında da benzer bir hikaye anlatılır.

Temel (sayısal) formül türleri

Kural olarak, bir formül değişkenleri (bir veya daha fazla) içerir ve formülün kendisi yalnızca bir ifade değil, bir tür yargıdır. Böyle bir yargı, değişkenler hakkında veya belki de ilgili işlemler hakkında bir şeyler öne sürebilir. Bir formülün tam anlamı çoğunlukla bağlamdan ima edilir ve doğrudan görünümünden anlaşılamaz. Üç yaygın durum vardır:

Denklemler

Denklem, dış (üst) bağlantısı ikili eşitlik ilişkisi olan bir formüldür. Fakat, önemli özellik denklem aynı zamanda içinde yer alan sembollerin değişkenlere bölünmesi ve seçenekler(ancak ikincisinin varlığı gerekli değildir). Örneğin, x'in değişken olduğu bir denklem. Eşitliğin doğru olduğu değişkenin değerlerine denklemin kökleri denir: bu durumda bunlar iki sayı ve −1. Kural olarak, eğer bir değişken için bir denklem bir özdeş değilse (aşağıya bakın), o zaman denklemin kökleri ayrık, çoğunlukla sonlu (muhtemelen boş) bir kümeyi temsil eder.

Denklem parametreler içeriyorsa anlamı, verilen parametrelerin köklerini (yani eşitliğin doğru olduğu değişkenin değerini) bulmaktır. Bazen bu, bir değişkenin bir parametreye/parametrelere örtülü bağımlılığını bulmak olarak formüle edilebilir. Örneğin, x cinsinden bir denklem olarak anlaşılır (bu, y, z ve t ile birlikte bir değişkeni ifade eden ortak bir harftir). Denklemin kökleri a'nın kareköküdür (ikisinin farklı işaretlere sahip olduğuna inanılmaktadır). Böyle bir formülün kendi içinde yalnızca şunları belirttiğine dikkat edilmelidir. ikili ilişki x ve a arasındadır ve şu şekilde anlaşılabilir: ters taraf a'nın x'e göre denklemi olarak. Bu temel durumda, a'dan x'e kadar tanımlama hakkında daha fazla konuşabiliriz:.

Kimlikler

Kimlik, şu durumlarda doğru olan bir önermedir: herhangi değişkenlerin değerleri. Genellikle kimlik, aynı gerçek eşitlik anlamına gelir; ancak kimliğin dışında eşitsizlik veya başka bir ilişki de olabilir. Çoğu durumda kimlik, içinde kullanılan işlemlerin belirli bir özelliği olarak anlaşılabilir; örneğin kimlik, toplamanın değişme özelliğini belirtir.

Matematiksel bir formül kullanarak oldukça karmaşık cümleler kompakt ve kullanışlı bir biçimde yazılabilir. Değişkenler belirli bir etki alanındaki belirli nesnelerle değiştirildiğinde doğru olan formüllere, o etki alanında aynı şekilde doğru denir. Örneğin: "herhangi bir a ve b için eşitlik geçerlidir." Bu özdeşlik, kendileri de özdeşlik biçimine sahip olan değişmeli bir halkadaki toplama ve çarpma aksiyomlarından türetilebilir.

Bir kimlik, değişkenler içermeyebilir ve bir aritmetik (veya başka bir) eşitlik olabilir (örneğin, .

Yaklaşık eşitlikler

7-8. Sınıflarda denklem çözme çalışmaları yapılıyor grafiksel olarak. Şu anda, özellikle grafikler kullanılarak kolayca bulunabilen basit denklemler (“iyi bir kök ile”) verilmektedir. kareli kağıt. Ancak kökün biraz farklı olduğu örnekler var. İki denklemi düşünün: √x=2-x ve √x=4-x. y =√x ve y =2-х fonksiyonlarının grafikleri bir A(1,1) noktasında kesiştiği için ilk denklemin tek bir x=1 kökü vardır. İkinci durumda, y =√x-fc y =4-x fonksiyonlarının grafikleri de bir A(1,1) noktasında kesişiyor, ancak koordinatları “kötü”. Çizimi kullanarak B noktasının apsisinin yaklaşık olarak 2,5'e eşit olduğu sonucuna varıyoruz. Bu gibi durumlarda denklemin kesin çözümünden değil yaklaşık çözümünden bahsederler ve bunu şu şekilde yazarlar: x≈2.5.

Eşitsizlikler

Bir eşitsizlik formülü, bölümün başında açıklanan her iki anlamda da anlaşılabilir: bir özdeşlik (örneğin, Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliği) veya bir denklem gibi, bir denklemin kümesini (veya daha doğrusu bir alt kümesini) bulma görevi olarak. Bir değişkenin veya değişkenlerin ait olabileceği tanım alanı.

Kullanılan işlemler

İÇİNDE bu bölüm cebirde kullanılan işlemlerin yanı sıra matematikte yaygın olarak kullanılan bazı işlevler listelenecektir.

Toplama ve çıkarma

Üs alma

Temel işlevler

Mutlak değer, işaret vb.

Operatör önceliği ve parantezler

Bir işlemin veya operatörün önceliği, sırası veya kıdemi, bir operatörün/işlemin, sıranın açık (parantez kullanılarak) belirtilmediği sürece, birkaç farklı operatörle bir ifadede yürütülme sırasını etkileyen resmi bir özelliğidir. değerlendirilirler. Örneğin, çarpma işlemine genellikle toplama işleminden daha yüksek öncelik verilir, dolayısıyla ifade önce y ve z'nin çarpımını, ardından toplamı elde eder.

Örnekler

Örneğin:

Bir gerçek argümanın veya tek değerli bir fonksiyonun fonksiyonu;

Birkaç argümandan oluşan bir fonksiyon veya çok değerli bir fonksiyon (en dikkat çekici eğrilerden birinin grafiği - Agnesi versière);

Bir noktada türevlenemeyen fonksiyon (sürekli bozuk hat teğeti yoktur) ;

- tamsayı işlevi;

- eşit işlev;

- Tek işlev;

Nokta fonksiyonu, bir noktadan orijine olan uzaklık (Kartezyen) koordinatlar;

noktada süreksiz fonksiyon;

Parametrik olarak Verilen fonksiyon(sikloid grafiği);

Doğrudan ve ters fonksiyonlar;

İntegral denklem;

Bağlantılar

• N. K. Vereshchagin, A. Shen. Matematiksel mantık ve algoritma teorisi üzerine dersler. Bölüm 1. Küme teorisinin başlangıcı.

Ayrıca bakınız

• Cebirsel ifade - matematiksel gösterim, tam bir düşünceyi ifade etmez.

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Matematiksel formülün” ne olduğunu görün:

- (Latince formül formundan, kuraldan, reçeteden): Matematiksel formül Formül Microsoft Excel Kimyasal Formül Epik Formül Fiziksel formül Diş formülü Çiçek formülü Sihirli formül Formül teknik türler... ... Vikipedi

Coran çarpımı formülü, bir eşlemenin türevinin çekirdeğinin belirli bir boyuta sahip olduğu noktalar kümesinin eş boyutunu, belirli bir eşlemenin koranklarının çarpımı biçiminde ifade eden matematiksel bir formüldür. ön görüntü ve görüntü.... ... Vikipedi

Grassmann formülü, sonlu boyutlu bir uzayın bir alt uzayının boyutunu tanımlayan matematiksel bir formüldür. Alman bilim adamı G. G. Grassmann tarafından geliştirildi. İfade: Eğer doğrusal uzay V sonlu boyutludur, sonra sonlu boyutludur... ... Vikipedi

Ostrogradsky formülü akışı ifade eden matematiksel bir formüldür. Vektör alanı kapalı bir yüzey boyunca, bu alanın bu yüzeyle sınırlı hacim üzerindeki diverjansının integrali: yani bir vektörün diverjansının integrali... ... Vikipedi

Modern mantığın ikinci sırada gelen isimlerinden biri. zemin. 19 başlangıç 20. yüzyıl geleneksel mantığın yerini alacak. Başka bir isim olarak modern sahne Mantık biliminin gelişmesinde sembolik mantık terimi de kullanılmaktadır. Tanım… … Felsefi Ansiklopedi

Daha fazla uzatmadan, işte burada:

Genellikle büyük İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'in (1707 - 1783) onuruna Euler'in kimliği denir. Tişörtlerde ve kahve kupalarında görülebiliyor ve matematikçiler ile fizikçiler tarafından yapılan çeşitli araştırmalar ona "en büyük denklem" adını veriyor (Crease, Robert P., "Şimdiye kadarki en büyük denklemler").

Kimliğin güzellik ve zarafet duygusu, matematiksel sabitlerin en önemli beş sayısını basit bir biçimde birleştirmesinden kaynaklanmaktadır: - temel doğal logaritma, ve'nin kareköküdür. Dikkatli bakıldığında çoğu insan üs hakkında düşünür: Bir sayıyı hayali bir kuvvete yükseltmek ne anlama gelir? Sabır, sabır, oraya varacağız.

Bu formülün nereden geldiğini açıklamak için önce Euler tarafından bulunan daha genel formülü elde etmeli, sonra da eşitliğimizin bu formülün sadece özel bir durumu olduğunu göstermeliyiz. Genel formül başlı başına şaşırtıcıdır ve matematik, fizik ve teknolojide birçok harika uygulamaya sahiptir.

Yolculuğumuzun ilk adımı, matematikteki çoğu fonksiyonun, argüman güçlerinin sonsuz toplamı olarak temsil edilebileceğini anlamaktır. Bu bir örnek:

Burada derece değil radyan cinsinden ölçülür. Serinin yalnızca ilk birkaç terimini kullanarak belirli bir değer için iyi bir yaklaşım elde edebiliriz. Bu Taylor serisinin bir örneğidir ve bu formülü matematiksel analiz kullanarak elde etmek oldukça kolaydır. Burada bilgi sahibi olduğumu varsaymıyorum matematiksel analiz bu yüzden okuyucunun buna inanmasını rica ediyorum.

Kosinüs için karşılık gelen formül:

Sayı, 'ye eşit bir sabittir ve Euler, bunun matematikteki temel önemini fark eden ve son formülü türeten ilk kişi oldu (önceki ikisi Isaac Newton tarafından bulundu). Sayılarla ilgili kitaplar yazılmıştır (örn. Maor, E. (1994). e, hikaye bir sayıdan. Princeton Üniversitesi Basın), bunun hakkında da okuyabilirsiniz.

1740 civarında Euler, yaklaşık olarak burada gördüğümüz gibi düzenlenmiş bu üç formüle baktı. Üçüncü formüldeki her terimin bir önceki formülde de yer aldığı hemen anlaşılıyor. Ancak ilk eşitlikteki terimlerin yarısı negatif, son eşitlikteki terimlerin ise tamamı pozitiftir. Çoğu insan bunu bu şekilde bırakırdı ama Euler tüm bunlarda bir model gördü. İlk iki formülü bir araya getiren ilk kişi oydu:

Bu serideki işaret sırasına dikkat edin: 4'lü gruplar halinde tekrarlanır. Euler, sanal birimi tamsayı kuvvetlerine yükselttiğimizde aynı işaret dizisinin elde edildiğini fark etti:

Bu, son formülü şununla değiştirebileceğimiz ve şunu elde edebileceğimiz anlamına geliyordu:

Artık işaretler önceki formüldeki işaretlere karşılık gelir ve genişleme terimlerinin ile çarpılması dışında yeni seri öncekiyle çakışır. Yani tam olarak anlıyoruz

Bu şaşırtıcı ve gizemli bir sonuçtur, varlığına işarettir. yakın bağlantı Trigonometride sayı ile sinüsler ve kosinüsler arasındaki ilişki, yalnızca geometri veya üçgen içermeyen problemlerden bilinmesine rağmen. Ancak zarafeti ve tuhaflığı bir yana bırakılırsa, bu formülün matematikte keşfinden bu yana artan önemini abartmak zor olacaktır. Her yerde karşımıza çıkıyor ve yakın zamanda bu formülün bazı uygulamalarını anlatan yaklaşık 400 sayfalık bir kitap (Nahin P. Dr. Euler's Fabulous Formula, 2006) yayımlandı.

Hayali üslerle ilgili eski sorunun artık çözüldüğüne dikkat edin: hayali bir güce yükseltmek için, basitçe ifade edin: hayali numara Euler formülüne. Tabanın dışında bir sayı olması durumunda yalnızca küçük bir değişiklik yapılması gerekir.

Eğitim, okulda öğretilen her şey unutulduktan sonra geriye kalan şeydir.

Şu anda Portekiz'de çalışan Novosibirsk'li bilim adamı Igor Khmelinsky, metinlerin ve formüllerin doğrudan ezberlenmesi olmadan gelişimin mümkün olduğunu kanıtlıyor soyut bellekçocuklar için zordur. Yazısından alıntılar yapacağım"Dersler eğitim reformları Avrupa'da ve eski SSCB ülkelerinde"

Ezberleme ve uzun süreli hafıza

Çarpım tablosunu bilmemenin, hesap makinesindeki hesaplamalardaki hataları tespit edememekten daha ciddi sonuçları vardır. Bizim uzun süreli hafıza ilişkisel bir veri tabanı ilkesine göre çalışır, yani bazı bilgi unsurları ezberlendiğinde, onlarla tanışma sırasında kurulan ilişkilere dayanarak diğerleriyle ilişkilendirilir. Bu nedenle herhangi bir konuda kafanızda bir bilgi tabanı oluşturmak için konu alanıörneğin aritmetikte önce en azından bir şeyi ezbere öğrenmeniz gerekir. Ayrıca, yeni gelen bilgiler kısa süreli hafıza kısa bir süre içinde (birkaç gün) birçok kez ve tercihen farklı koşullarda karşılaşırsak (bu da yararlı çağrışımların yaratılmasına katkıda bulunur). Ancak yokluğunda kalıcı hafıza aritmetikten gelen bilgi, yeni gelen bilgi unsurları aritmetikle hiçbir ilgisi olmayan unsurlarla ilişkilidir - örneğin öğretmenin kişiliği, dışarıdaki hava durumu vb. Açıkçası, böyle bir ezberleme öğrenciye gerçek bir fayda getirmeyecektir - çağrışımlar belirli bir konu alanından uzaklaştığından, öğrenci bir zamanlar onun hakkında bir şeyler bildiğine dair belirsiz fikirler dışında aritmetikle ilgili herhangi bir bilgiyi hatırlayamayacaktır. işitti. Bu tür öğrenciler için, eksik çağrışımların rolü genellikle çeşitli ipuçlarıyla oynanır - bir meslektaştan kopya almak, testin kendisinde öncü soruları kullanmak, kullanılmasına izin verilen formüller listesindeki formüller vb. İÇİNDE gerçek hayat Böyle bir kişinin, herhangi bir uyarıda bulunulmadan, tamamen çaresiz olduğu ve kafasındaki bilgiyi uygulayamadığı ortaya çıkar.

Formüllerin ezberlenmediği bir matematik aygıtının oluşumu diğerlerine göre daha yavaş gerçekleşir. Neden? Birincisi, yeni özellikler, teoremler, matematiksel nesneler arasındaki ilişkiler neredeyse her zaman daha önce çalışılan formül ve kavramların bazı özelliklerini kullanır. Bu özelliklerin hafızadan kısa sürede kurtarılamaması durumunda öğrencinin dikkatini yeni materyal üzerinde yoğunlaştırması daha zor olacaktır. İkincisi formülleri ezberlememek, anlamlı problemlere çözüm aramayı engellemektedir. büyük miktar Yalnızca belirli dönüşümleri gerçekleştirmenin değil, aynı zamanda bu hareketlerin sırasını belirlemenin, iki veya üç adım ilerideki çeşitli formüllerin uygulanmasını analiz etmenin de gerekli olduğu küçük operasyonlar.

Uygulama, bir çocuğun entelektüel ve matematiksel gelişiminin, bilgi tabanının ve becerilerinin oluşumunun çok daha hızlı gerçekleştiğini göstermektedir. çoğu kullanılan bilgiler (özellikler ve formüller) kafanın içindedir. Ve orada ne kadar güçlü ve uzun süre kalırsa o kadar iyidir.

Matematikçi Henri Poincaré, Bilim ve Yöntem adlı kitabında şöyle yazmıştı: “Doğa güzel olmasaydı bilmeye, hayat deneyimlemeye değmezdi. Burada gözünüze çarpan güzellikten bahsetmiyorum elbette... Daha fazlasını kastediyorum derin güzellik Parçaların uyumunda ortaya çıkan ve yalnızca akıl tarafından anlaşılabilen. Toprağı yaratan, duyularımızı okşayan görünür renklerin oyununun çerçevesini yaratan odur ve bu destek olmasaydı, belirsiz ve geçici olan her şey gibi, geçici izlenimlerin güzelliği de kusurlu olurdu. Tam tersine entelektüel güzellik başlı başına doyum verir.”

P.A.M. Dirac şunu yazdı: "Sen teorik fizik Başka bir doğru gelişme yolu daha var. Doğada bu var temel özellik en temel nelerdir fiziksel yasalar aparatı olan bir matematik teorisi ile tanımlanır. olağanüstü güç ve güzellik. Bu teoriyi anlamak için alışılmadık derecede yüksek düzeyde matematik becerisine sahip olmanız gerekir. Şunu sorabilirsiniz: Doğa neden bu şekilde çalışıyor? Bunun tek bir cevabı var: Bize göre modern bilgi doğa bu şekilde tasarlanmıştır, başka türlü değil.”

Yedi yıl önce Ukraynalı fizikçi (ve sanatçı) Natalia Kondratieva dünyanın önde gelen matematikçilerinden bazılarına şu soruyla hitap etti: “Ne üçü? matematiksel formüller, sizce en güzeli?"
Matematiksel formüllerin güzelliğinin anlatıldığı söyleşiye İngiltere'den Sir Michael Atiyah ve David Elvarsi, ABD'den Yakov Sinai ve Alexander Kirillov, Almanya'dan Friedrich Herzebruch ve Yuri Manin, Fransa'dan David Ruel, Rusya'dan Anatoly Vershik ve Robert Minlos katıldı. diğer matematikçiler Farklı ülkeler. Tartışmaya Ukraynalılar arasında NASU akademisyenleri Vladimir Korolyuk ve Anatoly Skorokhod katıldı. Bu şekilde elde edilen materyallerin bir kısmı Natalya Kondratyeva'nın yayınladığı kitabın temelini oluşturdu. bilimsel çalışma"En güzel üç matematik formülü."
— Matematikçilere güzel formüller sorduğunuzda amacınız neydi?
— Her yeni yüzyıl yenilenmeyi getirir bilimsel paradigma. Yüzyılın başında eşikte duruyormuşuz hissi ile yeni bilim, o yeni rol hayatta insan toplumu, matematiksel sembollerin ardındaki fikirlerin güzelliği hakkında bir soruyla matematikçilere döndüm. Matematiksel formüllerin güzelliği hakkında.
Şimdiden yeni bilimin bazı özelliklerini not edebiliriz. Yirminci yüzyılın biliminde çok varsa önemli rol Matematiğin fizikle “dostluğu”yla oynanan matematik, artık biyoloji, genetik, sosyoloji, ekonomi ile etkili bir şekilde işbirliği yapıyor... Sonuç olarak bilim, yazışmaları keşfedecek. Matematiksel yapılar elementlerin etkileşimleri arasındaki yazışmaları araştıracak Çeşitli bölgeler ve planlar. Ve daha önce inancı felsefi ifadeler olarak kabul ettiğimiz çoğu şey, bilim tarafından somut bilgi olarak doğrulanacaktır.
Bu süreç zaten yirminci yüzyılda başladı. Böylece Kolmogorov matematiksel olarak hiçbir şansın olmadığını, ancak çok büyük bir karmaşıklığın olduğunu gösterdi. Fraktal geometri, çeşitlilikte birlik ilkesini vb. doğruladı.
— Hangi formüllere en güzel denildi?
— Formüller için bir yarışma düzenlemenin bir amacı olmadığını hemen söyleyeceğim. Matematikçilere yazdığım mektubumda şunu yazdım: “Dünyayı hangi yasaların yönettiğini anlamak isteyen insanlar, dünyanın uyumunu bulma yolunu seçerler. Bu yol sonsuza gider (çünkü hareket sonsuzdur), ama insanlar yine de onu takip eder, çünkü... başka bir fikir veya fikirle tanışmanın özel bir keyfi vardır. Güzel formüllerle ilgili soruya verilen yanıtlardan, dünya güzelliğinin yeni bir yönünü sentezlemek mümkün olabilir. Ayrıca bu çalışma, dünyanın büyük uyumu ve bu güzelliği bulmanın bir yolu olarak matematik hakkında bir fikir olarak geleceğin bilim adamlarına faydalı olabilir.”
Bununla birlikte, formüller arasında açıkça favoriler vardı: Pisagor formülü ve Euler formülü.
Bunları takip eden, yirminci yüzyılda dünyaya dair anlayışımızı değiştiren matematiksel formüllerden ziyade fiziksel formüllerdi - Maxwell, Schrödinger, Einstein.
Ayrıca en güzelleri arasında, örneğin denklemler gibi hala tartışma aşamasında olan formüller vardı. fiziksel boşluk. Başka güzel matematik formüllerinden de bahsedildi.
— Sizce neden ikinci ve üçüncü binyılların başında Pisagor formülü en güzel formüllerden biri olarak adlandırıldı?
— Pisagor zamanında bu formül şu prensibin bir ifadesi olarak algılanıyordu: kozmik evrim: iki zıt prensip (dik olarak birbirine dokunan iki kare) toplamlarına eşit bir üçüncüyü oluşturur. Geometrik olarak çok güzel yorumlar verilebiliyor.
Belki bir tür bilinçaltı vardır genetik hafıza“Matematik” kavramının “bilim” anlamına geldiği, aritmetiğin, resmin, müziğin ve felsefenin sentez içinde çalışıldığı dönemleri anlatıyor.
Rafail Khasminsky mektubunda okulda Pisagor formülünün güzelliği karşısında hayran kaldığını ve bunun büyük ölçüde bir matematikçi olarak kaderini belirlediğini yazdı.
— Euler formülü hakkında ne söyleyebilirsiniz?
— Bazı matematikçiler bunun içinde "herkesin toplandığı" gerçeğine dikkat çekti; herkes en harikadır matematiksel sayılar ve biri sonsuzlukla doludur! - bunun derin bir felsefi anlamı var.
Euler'in bu formülü keşfetmesine şaşmamalı. Büyük matematikçi Güzelliğin bilime dahil edilmesi için çok şey yaptı, hatta “güzellik derecesi” kavramını matematiğe bile soktu. Daha doğrusu bu kavramı matematiğin bir parçası olarak gördüğü müzik teorisine dahil etti.
Euler estetik duygusunun geliştirilebileceğine ve bu duygunun bir bilim insanı için gerekli olduğuna inanıyordu.
Yetkililere başvuracağım... Grothendieck: "Matematikte belirli bir şeyi anlamak, onun güzelliğini hissetmenin mümkün olduğu kadar mükemmeldir."
Poincaré: "Matematikte duygu vardır." Matematikteki estetik duyguyu, birçok olası çözüm arasından en uyumlu olanı ve kural olarak doğru olanı seçen bir filtreyle karşılaştırdı. Güzellik ve uyum eşanlamlıdır ve uyumun en yüksek tezahürü dünya Denge yasasıdır. Matematik bu yasayı inceler farklı planlar olmak ve içinde farklı yönler. Her matematik formülünün eşittir işareti içermesi boşuna değildir.
İnsanın en yüksek uyumunun düşünce ve duygu uyumu olduğunu düşünüyorum. Belki de Einstein'ın yazar Dostoyevski'nin kendisine matematikçi Gauss'tan daha fazlasını verdiğini söylemesinin nedeni budur.
Dostoyevski'nin "Dünyayı güzellik kurtaracak" formülünü matematikte güzellik üzerine çalışmamın epigrafı olarak aldım. Ve bu aynı zamanda matematikçiler tarafından da tartışıldı.
- Ve bu ifadeye katıldılar mı?
— Matematikçiler bu ifadeyi ne doğruladı ne de yalanladı. Bunu şöyle açıkladılar: “Güzelliğin farkındalığı dünyayı kurtaracak.” Burada Eugene Wigner'in neredeyse elli yıl önce yazdığı kuantum ölçümlerinde bilincin rolü üzerine çalışmasını hemen hatırladım. Bu çalışmada Wigner şunu gösterdi: insan bilinci yani sadece dışarıdan bilgi almakla kalmıyoruz, aynı zamanda yanıt olarak düşüncelerimizi ve duygularımızı da gönderiyoruz. Bu çalışma hâlâ geçerliliğini koruyor ve hem destekçileri hem de rakipleri var. Umarım 21. yüzyılda bilim, güzellik bilincinin dünyamızın uyumuna katkıda bulunduğunu kanıtlayacaktır.

1. Euler formülü. Birçoğu bu formülde tüm matematiğin birliğinin bir sembolünü gördü, çünkü içinde "-1 aritmetiği, i - cebiri, π - geometriyi ve e - analizi temsil eder."

2. Bu basit eşitlik, 0,999 değerinin (ve bu şekilde sonsuza kadar) bire eşdeğer olduğunu gösterir. Limit teorisine dayanan bazı kanıtlar olmasına rağmen çoğu kişi bunun doğru olabileceğine inanmıyor. Ancak eşitlik sonsuzluk ilkesini gösterir.


3. Bu denklem Einstein tarafından yenilikçi bir çalışmanın parçası olarak formüle edilmiştir. genel teori 1915'te görelilik. Bu denklemin sağ tarafı, Evrenimizin içerdiği enerjiyi ("karanlık enerji" dahil) açıklar. Sol taraftaki uzay-zamanın geometrisini açıklar. Eşitlik, Einstein'ın genel görelilik teorisinde kütle ve enerjinin geometriyi ve aynı zamanda yerçekiminin bir tezahürü olan eğriliği belirlediği gerçeğini yansıtmaktadır. Einstein şunu söyledi Sol Taraf Genel görelilik teorisindeki yer çekimi alanını içeren yerçekimi denklemleri güzel ve mermerden oyulmuş gibi iken, maddeyi tanımlayan denklemlerin sağ tarafı ise sıradan ahşaptan yapılmış gibi hala çirkindir.


4. Bir diğer baskın fizik teorisi olan Standart Model, elektromanyetik, zayıf ve güçlü etkileşim herkes temel parçacıklar. Bazı fizikçiler bunun Evrende meydana gelen tüm süreçleri yansıttığına inanıyorlar. karanlık madde, karanlık enerji ve yer çekimini içermez. İÇİNDE Standart Model Geçen yıla kadar anlaşılması zor olan Higgs bozonu da buna uyuyor, ancak tüm uzmanlar onun varlığından emin değil.


5. Pisagor teoremi, kenarlar arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biridir. dik üçgen. Bunu okuldan hatırlıyoruz ve teoremin yazarının Pisagor olduğuna inanıyoruz. Aslında bu formül eskiden de kullanılmıştı. Antik Mısır piramitlerin inşası sırasında.


6. Euler teoremi. Bu teorem matematiğin yeni bir dalı olan topolojinin temelini attı. Denklem, topolojik olarak bir küreye eşdeğer olan çokyüzlülerin köşelerinin, kenarlarının ve yüzlerinin sayısı arasındaki ilişkiyi kurar.


7. Özel teori Görelilik, ışık hızına yakın olanlar da dahil olmak üzere boşluktaki ışığın hızından daha düşük keyfi hareket hızlarında hareketi, mekanik yasalarını ve uzay-zaman ilişkilerini tanımlar. Einstein, zaman ve uzayın olmadığını açıklayan bir formül oluşturdu. mutlak kavramlar ancak gözlemcinin hızına bağlı olarak görecelidir. Denklem, kişinin nasıl ve nereye hareket ettiğine bağlı olarak zamanın nasıl genişlediğini veya yavaşladığını gösterir.


8. Denklem 1750'lerde Euler ve Lagrange tarafından izokron problemini çözerken türetildi. Bu, ağır bir parçacığı sabit bir zamanda sabit bir noktaya götüren eğrinin belirlenmesi problemidir. başlangıç ​​noktası. İÇİNDE genel anlamda Eğer sisteminiz simetriye sahipse, buna karşılık gelen bir simetrinin korunumu yasası da vardır.


9. Callan-Symanzik denklemi. Temsil ediyor diferansiyel denklem evrimi anlatan n-korelasyon fonksiyonu teorinin tanımlandığı ve teorinin beta fonksiyonlarını ve anormal boyutlarını içeren enerji ölçeğini değiştirirken. Bu denklem kuantum fiziğinin daha iyi anlaşılmasına yardımcı oldu.


10. Minimum yüzey denklemi. Bu eşitlik sabun köpüğünün oluşumunu açıklamaktadır.


11. Euler düz çizgisi. Euler teoremi 1765'te kanıtlandı. Bir üçgenin kenarlarının orta noktaları ile yükseklik tabanlarının aynı çember üzerinde olduğunu keşfetti.


12. 1928'de P.A.M. Dirac, A. Einstein'ın teorisine karşılık gelen Schrödinger denkleminin kendi versiyonunu önerdi. Bilim dünyası şok oldu; Dirac, spinor olarak bilinen yüksek matematiksel nesnelerin tamamen matematiksel manipülasyonları yoluyla elektron denklemini keşfetti. Ve bu bir sansasyondu; şimdiye kadar fizikteki tüm büyük keşiflerin sağlam deneysel verilere dayanması gerekiyordu. Ancak Dirac, saf matematiğin, eğer yeterince güzelse, sonuçların doğruluğu için güvenilir bir kriter olduğuna inanıyordu. “Denklemlerin güzelliği deneysel verilerle uyumundan daha önemlidir. ... Öyle görünüyor ki, eğer denklemlerde güzelliğe ulaşmaya çalışırsanız ve sağlıklı bir sezgiye sahip olursanız, o zaman doğru yolda" Bir antielektron olan pozitron, hesaplamaları sayesinde keşfedildi ve bir elektronda bir "dönüş"ün varlığını, yani temel bir parçacığın dönüşünü tahmin etti.


13. J. Maxwell elektrik, manyetizma ve optiğin tüm olaylarını birleştiren şaşırtıcı denklemler elde etti. Yaratıcılardan biri olan olağanüstü Alman fizikçi istatistiksel fizik Ludwig Boltzmann, Maxwell'in denklemleri hakkında şunları söyledi: "Bu mektupları Tanrı yazmadı mı?"


14. Schrödinger denklemi Verilen bir saf durumun uzay ve zamandaki değişimini tanımlayan bir denklem. dalga fonksiyonu, Hamiltonyen cinsinden kuantum sistemleri. Oynamak Kuantum mekaniği klasik mekanikte Newton'un ikinci yasa denklemi kadar önemli bir rol oynar.