Bundan sonra trigonometriden gerekli olan temel bilgileri hatırlayalım.

Trigonometrik fonksiyonlar başlangıçta açı fonksiyonları olarak kabul edilir, çünkü Sayısal değer her biri (eğer mantıklıysa) bir açı belirtilerek belirlenir. Bir dairenin yayları arasındaki bire bir yazışmalar ve merkezi açılar trigonometrik fonksiyonları yay fonksiyonları olarak değerlendirmenizi sağlar. Yani, örneğin, fonksiyon argümanı günah onu isteğe göre açı veya yay olarak yorumlama imkanımız var. Bu nedenle, başlangıçta trigonometrik fonksiyonun argümanı geometrik bir nesne (bir açı veya yay) gibi davranır. Ancak hem matematiğin kendisinde hem de uygulamalarında trigonometrik fonksiyonların sayısal argüman. Hatta okul matematik Trigonometrik bir fonksiyonun argümanı her zaman bir açı olarak kabul edilmez. Yani örneğin harmonik salınım hareketi denklem kullanılarak verilir: s = Bir günah at. Burada t argümanı açı değil zamandır (a katsayısı salınım frekansını karakterize eden bir sayıdır).

Açıları (veya yayları) ölçme işlemi, her açıya (yaya) ölçüsü olarak belirli bir sayı atar. Açının (yay) ölçülmesinin bir sonucu olarak, şunları elde edebilirsiniz: herhangi gerçek sayı, çünkü herhangi bir boyuttaki yönlendirilmiş açıları (yayları) dikkate alabiliriz. Açılar (yaylar) için belirli bir ölçü birimi seçerek, her açıyı (yayı) onu ölçen bir sayıyla ilişkilendirebilirsiniz; bunun tersine, her sayı, belirli bir sayıyla ölçülen bir açıyı (yay) ilişkilendirebilir. Bu, trigonometrik bir fonksiyonun argümanının bir sayı olarak yorumlanmasına olanak tanır. Bazı trigonometrik fonksiyonları, örneğin sinüsü ele alalım. X herhangi bir gerçek sayı olsun, bu sayı tamamen karşılık gelir; belli açı(yay), x sayısıyla ölçülür ve ortaya çıkan açı (yay), çok spesifik bir sinüs değerine, sin x'e karşılık gelir. Sonuçta sayılar arasında bir uygunluk elde edilir: her x gerçek sayısı, iyi tanımlanmış bir y = sin x gerçek sayısına karşılık gelir. Bu nedenle sin x bir fonksiyon olarak yorumlanabilir sayısal argüman. Revize ederek trigonometrik fonksiyonlar Sayısal bir argümanın işlevleri olarak yayların ve açıların ölçü birimi olarak alınması kararlaştırıldı radyan. Bu kural uyarınca, sin x, cos x, tgx ve ctg x sembolleri, radyan ölçüsü x sayısıyla ifade edilen bir açının (yay) sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı olarak yorumlanmalıdır. Örneğin, günah 2 iki radyan* cinsinden ölçülen bir yayın sinüsüdür.

* (Bazı kılavuzlarda radyan ölçüsünün, derece ölçüsünün aksine, son derece başarısız bir şekilde soyut olarak adlandırıldığını unutmayın. Her iki ölçüm yöntemi arasında temel bir fark yok, yalnızca farklı ölçü birimleri seçilir. Ne yazık ki, bugüne kadar bu soru bazen sözde bilimsel, zararlı "metodolojik" boş konuşmalara yol açmaktadır.)

Yaylar ve açılar için ölçü biriminin seçilmesi sahip değil temel öneme sahiptir. Radyan seçimi dikte edilmedi gereklilik. Radyan, yalnızca en uygun birim olarak ortaya çıkıyor, çünkü radyan ölçümünde formüller var. matematiksel analiz trigonometrik fonksiyonlarla ilgili olarak en basit biçimi alır *.

* (Bu basitleştirme, radyan ölçüsünde örneğin açı ölçü birimi olarak dereceyi almamızla açıklanmaktadır. t ve x sırasıyla derece ve radyan ölçüleri olsun verilen açı, o zaman elimizde:

Bir argümanın değerleri ile trigonometrik bir fonksiyon arasındaki yazışma yasası doğrudan gösterge ile oluşturulmamıştır. matematiksel işlemler(formül), argüman üzerinde yapılması gereken ve geometrik olarak *. Ancak bir fonksiyondan söz edebilmek için bir uygunluk kanununun olması gerekir. kabul edilebilir değer bağımsız değişken belirli bir işlev değerine karşılık gelir, ama gerekli değil bu yasa nasıl oluşturuldu.

* (Bu arada ilköğretim matematik kullanarak trigonometrik fonksiyonların değerlerini ifade eden formüller oluşturmak imkansızdır. cebirsel işlemler tartışmanın üzerine. Bilinen formüller yüksek Matematik trigonometrik fonksiyonların değerlerini doğrudan argümanın değeri aracılığıyla ifade etmek,

Sin x ve cos x fonksiyonları, x'in herhangi bir gerçek değeri için anlamlıdır ve bu nedenle bunların tanım alanı, hepsinin kümesidir. gerçek sayılar.

Tg x fonksiyonu x'in tüm gerçek değerleri için tanımlanır, dan farklıπ / 2 + kπ formundaki sayılar.

Ctg x fonksiyonu, x'in tüm gerçek değerleri için tanımlanır, dan farklı kπ formundaki sayılar.

Bu yüzden, Trigonometrik fonksiyonun argümanı, bizim takdirimize bağlı olarak, bir açı, bir yay veya son olarak bir sayı olarak yorumlanabilir. Bir argümanı yay (veya açı) olarak adlandırdığımızda, bununla yayın (veya açının) kendisini değil, onu ölçen sayıyı kastedebiliriz. Geometrik terminolojiyi koruyarak, örneğin şu ifade yerine kendimize izin veriyoruz: "π / 2 sayısının sinüsü" şunu söylemek için: "yayın sinüsü π / 2".

Geometrik terminoloji uygundur çünkü bize karşılık gelen geometrik görüntüleri hatırlatır.

Biri en önemli özellikler trigonometrik fonksiyonlar onların periyodikliğidir. Sin x ve cos x fonksiyonlarının periyodu 2π'dir. Bu, herhangi bir x değeri için eşitliklerin geçerli olduğu anlamına gelir:

günah x = günah (x + 2π) = günah (x + 4π) = ... = günah (x + 2kπ);

çünkü x = çünkü (x + 2π) = çünkü (x + 4π) = ... = çünkü (x + 2kπ),

Nerede k- herhangi bir tamsayı.

Açıkça söylemek gerekirse, sin x ve cos x fonksiyonları sonsuz küme dönemler:

±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,

En küçük pozitif periyot olan 2tr sayısına genellikle basitçe periyot denir.

Periyodiklik özelliği aşağıdaki geometrik yoruma sahiptir: trigonometrik fonksiyonların anlamı günah x Ve çünkü x x yayına tamsayı sayıda daire eklenirse (veya çıkarılırsa) değişmez. Eğer fonksiyon günah x veya çünkü x x = a argümanının değeri için herhangi bir özelliği varsa, bu durumda değerlerden herhangi biri için aynı özelliğe sahiptir a + 2kπ.

tg x ve ctg x fonksiyonları da periyodiktir; periyotları (en küçük pozitif) π sayısıdır.

Özellikleri incelerken periyodik fonksiyon onu döneme eşit büyüklükte bir aralıkta düşünmek yeterlidir.

Trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini listeleyelim.

1°. günah fonksiyonu segmentteki x (Ben ve ben negatif çeyrekler) artışlar. Segmentin uçlarındaki sinüs değerleri, yani x = π / 2 ve x = - π / 2'deki sinüs değerleri sırasıyla 1 ve -1'e eşittir.

2°. Buna göre k gerçek sayısı ne olursa olsun mutlak değer 1'den fazla değil, - π / 2 ≤x≤ π / 2 segmentinde sinüsü k'ye eşit olan tek bir yay x = x 1 vardır. Başka bir deyişle, segmentte sinüs, x = x 1 argümanının tek bir değeri için keyfi bir değere sahiptir değeri belirle Mutlak değeri 1'i geçmeyecek şekilde.

Aslında göre verilen değer sinüs I ve I negatif çeyreklerde mümkündür trigonometrik daire(trigonometrik dairenin yarıçapının her zaman 1'e eşit olduğunu varsayacağız) karşılık gelen yayı oluşturun. Dikey çap üzerine k boyutunda bir parça çizmek yeterlidir (k>0 için yukarı ve k için aşağı)

1° ve 2° özellikleri genellikle aşağıdaki koşullu ifade biçiminde birleştirilir.

- π / 2 ≤x≤ π / 2 segmentinde sinüs -1'den 1'e yükselir.

Benzer geometrik akıl yürütmeyi kullanma veya formülü kullanma günah atıyor(π - x) = sin x, π / 2 ≤x≤ 3π / 2 segmentinde (yani II ve III çeyreklerde) sinüsün 1'den -1'e düştüğünü tespit etmek kolaydır. Segmentler - π/2 ≤x≤ π/2 ve π/2 ≤x≤ 3π/2 birlikte oluşur tam daire yani sinüsün tüm periyodunu kapsar. Sinüs üzerinde daha fazla çalışma yapmak gereksiz hale gelir ve herhangi bir parça üzerinde [- π / 2 +2kπ, π / 2 +2kπ] sinüsün -1'den 1'e arttığını ve herhangi bir parça üzerinde [π / 2 +2kπ, 3π / 2 +2kπ] sinüs 1'den -1'e azalır. Sinüs grafiği Şekil 11'de gösterilmektedir.

Kosinüs çalışması da benzer şekilde gerçekleştirilir. Kosinüsün ana özellikleri şunlardır:

Bir segmentteki (yani 1. ve 2. çeyreklerdeki) cos x fonksiyonu 1'den -1'e düşer. [π, 2π] segmentinde (yani III ve IV çeyreklerinde) kosinüs -1'den 1'e yükselir. Periyodiklik nedeniyle kosinüs, segmentlerde 1'den -1'e düşer ve segmentlerde -1'den 1'e yükselir [(2k-1)π, 2kπ] (Şekil 12).

(- π / 2, π / 2) aralığında y = tan x fonksiyonunu düşünün.

±π/2 sınır değerleri hariç tutulmalıdır çünkü tg(±π/2) mevcut değildir.

1°. (- π / 2, π / 2) aralığında fonksiyon tgx artışlar.

2°. k gerçel sayısı ne olursa olsun, - - π / 2 aralığında

x 1 yayının varlığını ve tekliğini doğrulamak kolaydır. geometrik yapı, çizim 13'te sunulmuştur.

Yani (- π / 2, π / 2) aralığında teğet artar ve argümanın tek bir değeriyle keyfi bir veri elde edilir. Gerçek değer. 1° ve 2° özellikleri kısaca aşağıdaki ifadeyle formüle edilir:

(- π / 2, π / 2) aralığında teğet -∞'dan ∞'a artar.

Verilen ne olursa olsun (istediğiniz kadar büyük) pozitif sayı N, x'in tüm değerleri için teğet değerleri N'den büyüktür π/2'den küçüktür ve π/2'ye yeterince yakındır. Sembolik olarak bu ifade şu şekilde yazılmıştır:

X değerleri için - π / 2'den büyük ve - π / 2'ye yeterince yakın tg x'in y değerleri

* (Genellikle tan π / 2 = ∞ yazarlar ve π / 2'nin tanjant değerinin ∞'a eşit olduğunu söylerler. İlköğretim matematik dersindeki bu ifade, yalnızca saçma sapan bilim karşıtı fikirlere yol açabilir. ∞ sembolü bir sayı değildir ve bir fonksiyonun değeri olamaz. Tam anlam±∞ sembollerinin hangi durumlarda kullanılması gerektiği metin içerisinde açıklanmıştır.)

Teğetin daha fazla incelenmesi gereksizdir, çünkü aralığın değeri (- π / 2, π / 2) π'ye eşittir, yani. tam dönem teğet Sonuç olarak, herhangi bir aralıkta (- π / 2 + π, π / 2 + π) teğet -∞'dan ∞'a artar ve x = (2k+1)π / 2 noktalarında bu mantıklıdır. Teğet grafik Şekil 14'te gösterilmektedir.

(0, π) aralığında ve (kπ, (k+1)π) aralıklarının her birinde ctg x fonksiyonu ∞'dan -∞'a azalır ve x = kπ noktalarında kotanjantın hiçbir anlamı yoktur. . Kotanjant grafiği Şekil 15'te gösterilmektedir.

Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonları. Trigonometrik fonksiyonların özellikleri ve grafikleri.

Tanım1: Sayısal İşlev, formül tarafından verilen y=sin x'e sinüs denir.

Bu eğriye denir - sinüs dalgası.

y=sin x fonksiyonunun özellikleri

2. Fonksiyon değer aralığı: E(y)=[-1; 1]

3. Parite işlevi:

y=sin x – tek,.

4. Periyodiklik: sin(x+2πn)=sin x, burada n bir tamsayıdır.

Bu işlev belli bir süre sonra kabul edilir aynı değerler. Bir fonksiyonun bu özelliğine denir sıklık. Aralık, fonksiyonun periyodudur.

y=sin x fonksiyonu için periyot 2π'dir.

y=sin x fonksiyonu periyodiktir, periyodu Т=2πn'dir, n bir tamsayıdır.

En az pozitif dönem T=2π.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir: sin(x+2πn)=sin x, burada n bir tamsayıdır.

Tanım2: y=cosx formülüyle verilen sayısal fonksiyona kosinüs denir.

y=cos x fonksiyonunun özellikleri

1. Fonksiyon alanı: D(y)=R

2. Fonksiyon değeri alanı: E(y)=[-1;1]

3. Parite işlevi:

y=cos x – çift.

4. Periyodiklik: cos(x+2πn)=cos x, burada n bir tamsayıdır.

y=cos x fonksiyonu periyodiktir ve periyodu Т=2π'dir.

Tanım 3: y=tan x formülüyle verilen sayısal fonksiyona teğet denir.

y=tg x fonksiyonunun özellikleri

1. Fonksiyonun etki alanı: D(y) - π/2+πk dışındaki tüm gerçek sayılar, k – tamsayı. Çünkü bu noktalarda teğet tanımlı değildir.

2. Fonksiyon aralığı: E(y)=R.

3. Parite işlevi:

y=tg x – tek.

4. Periyodiklik: tg(x+πk)=tg x, burada k bir tamsayıdır.

y=tg x fonksiyonu π periyoduyla periyodiktir.

Tanım 4: y=ctg x formülüyle verilen sayısal fonksiyona kotanjant denir.

y=ctg x fonksiyonunun özellikleri

1. Fonksiyonun tanım alanı: D(y) - πk dışındaki tüm gerçek sayılar, k bir tamsayıdır. Çünkü bu noktalarda kotanjant tanımlı değildir.

Bu derste bunlara bakacağız temel trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri ve ayrıca listeleyin ana türler trigonometrik denklemler ve sistemler. Ayrıca şunu da belirtiyoruz En basit trigonometrik denklemlerin genel çözümleri ve özel durumları.

Bu ders görev türlerinden birine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır B5 ve C1.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık

Deney

Ders 10. Trigonometrik fonksiyonlar. Trigonometrik denklemler ve sistemleri.

Teori

Ders özeti

“Trigonometrik fonksiyon” terimini zaten birçok kez kullandık. Bu konunun ilk dersinde bunları kullanarak tanımlamıştık. dik üçgen ve bekar trigonometrik daire. Trigonometrik fonksiyonları belirlemeye yönelik bu yöntemleri kullanarak, onlar için argümanın bir değerinin (veya açının) tam olarak fonksiyonun bir değerine karşılık geldiği sonucuna varabiliriz, yani. sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarını çağırma hakkımız var.

Bu derste, trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplamak için daha önce tartışılan yöntemlerden soyutlamaya çalışmanın zamanı geldi. Bugün her zamanki gibi devam edeceğiz cebirsel yaklaşım Fonksiyonlarla çalışarak onların özelliklerine bakacağız ve grafiklerini çizeceğiz.

Trigonometrik fonksiyonların özelliklerine gelince, o zaman Özel dikkat not edilmeli:

Tanım alanı ve değerler aralığı, çünkü sinüs ve kosinüs için değer aralığında kısıtlamalar vardır ve teğet ve kotanjant için tanım aralığında kısıtlamalar vardır;

Tüm trigonometrik fonksiyonların periyodikliği, çünkü Eklemesi fonksiyonun değerini değiştirmeyen, sıfırdan farklı en küçük argümanın varlığını zaten belirtmiştik. Bu argümana fonksiyonun periyodu denir ve harfle gösterilir. Sinüs/kosinüs ve teğet/kotanjant için bu periyotlar farklıdır.

İşlevi düşünün:

1) Tanımın kapsamı;

2) Değer aralığı ;

3) Fonksiyon tektir ;

Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım. Bu durumda, grafiği yukarıdan 1 sayısıyla ve altında işlevin değer aralığıyla ilişkili sayıyla sınırlayan alanın görüntüsüyle inşaata başlamak uygundur. Ek olarak, inşaat için birkaç temel sinüsün değerlerini hatırlamakta fayda var. masa açıları, örneğin, Bu, grafiğin ilk tam "dalgasını" oluşturmanıza ve ardından resmin bir süre boyunca bir ofsetle tekrarlanacağı gerçeğinden yararlanarak onu sağa ve sola yeniden çizmenize olanak tanır; Açık .

Şimdi fonksiyona bakalım:

Bu fonksiyonun ana özellikleri:

1) Tanımın kapsamı;

2) Değer aralığı ;

3) Eşit işlev Bu, fonksiyonun grafiğinin ordinat etrafında simetrik olduğu anlamına gelir;

4) Fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca monoton değildir;

Fonksiyonun grafiğini oluşturalım. Bir sinüs oluştururken olduğu gibi, grafiği üstte 1 sayısıyla ve altta işlevin değer aralığıyla ilişkili sayıyla sınırlayan alanın görüntüsüyle başlamak uygundur. Ayrıca, birkaç ana tablo açısının kosinüs değerlerini hatırlamamız gereken grafik üzerinde birkaç noktanın koordinatlarını da çizeceğiz, örneğin bu noktaların yardımıyla ilk tam "dalgayı" oluşturabiliriz. " grafiğini çizin ve ardından resmin bir dönem kaymasıyla tekrarlanacağı gerçeğinden yararlanarak sağa ve sola yeniden çizin; Açık .

Fonksiyona geçelim:

Bu fonksiyonun ana özellikleri:

1) Etki alanı hariç, burada . Böyle bir şeyin olmadığını daha önceki derslerde belirtmiştik. Bu ifade teğet periyodu dikkate alınarak genelleştirilebilir;

2) Değer aralığı, yani. teğet değerler sınırlı değildir;

3) Fonksiyon tektir ;

4) Fonksiyon, şimdi şekilde göreceğimiz teğet dalları içerisinde monoton bir şekilde artar;

5) Fonksiyon bir periyotla periyodiktir

Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım. Bu durumda, bir görüntüden oluşturmaya başlamak uygundur dikey asimtotlar Tanım alanına dahil olmayan noktalardaki grafikler; vesaire. Daha sonra, asimptotların oluşturduğu şeritlerin her birinin içindeki teğetin dallarını sol asimptot ve sağa doğru bastırarak tasvir ediyoruz. Aynı zamanda her dalın monoton bir şekilde arttığını da unutmayın. Tüm dalları aynı şekilde tasvir ediyoruz çünkü fonksiyonun periyodu eşittir. Bu, her dalın komşusunun apsis ekseni boyunca kaydırılmasıyla elde edilmesinden görülebilir.

Ve fonksiyona bir göz atarak bitiriyoruz:

Bu fonksiyonun ana özellikleri:

1) Etki alanı hariç, burada . Trigonometrik fonksiyonların değer tablosundan bunun var olmadığını zaten biliyoruz. Bu ifade kotanjant periyodu dikkate alınarak genelleştirilebilir;

2) Değer aralığı, yani. kotanjant değerleri sınırlı değildir;

3) Fonksiyon tektir ;

4) Fonksiyon, teğet dallara benzer dalları içerisinde monoton olarak azalır;

5) Fonksiyon bir periyotla periyodiktir

Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım. Bu durumda teğete gelince, grafiğin dikey asimptotlarını tanım alanına dahil olmayan noktalarda tasvir ederek yapıya başlamak uygundur; vesaire. Daha sonra, asimptotların oluşturduğu şeritlerin her birinin içindeki kotanjantın dallarını sol asimptot ve sağa doğru bastırarak tasvir ediyoruz. Bu durumda her dalın monoton bir şekilde azaldığını dikkate alıyoruz. Tüm dalları teğete benzer şekilde aynı şekilde tasvir ediyoruz çünkü fonksiyonun periyodu eşittir.

Ayrı olarak, karmaşık argümanlara sahip trigonometrik fonksiyonların standart olmayan bir periyoda sahip olabileceğine dikkat edilmelidir. Hakkında formun işlevleri hakkında:

Periyotları eşittir. Ve işlevler hakkında:

Periyotları eşittir.

Gördüğünüz gibi, yeni bir dönemi hesaplamak için standart süre basitçe argümandaki faktöre bölünür. İşlevdeki diğer değişikliklere bağlı değildir.

Fonksiyonların grafiklerini oluşturma ve dönüştürme dersinde bu formüllerin nereden geldiğini daha detaylı anlayabilir ve anlayabilirsiniz.

Trigonometrik denklemlerin çözümüne ayıracağımız “Trigonometri” konusunun en önemli kısımlarından birine geldik. Bu tür denklemleri çözme yeteneği, örneğin açıklarken önemlidir. salınımlı süreçler fizikte. Bir spor araba ile go-kartta birkaç tur attığınızı düşünelim; trigonometrik bir denklemi çözmek, arabanın pistteki konumuna bağlı olarak ne kadar süredir yarışta olduğunuzu belirlemenize yardımcı olacaktır.

En basit trigonometrik denklemi yazalım:

Böyle bir denklemin çözümü sinüsü eşit olan argümanlardır. Ancak sinüsün periyodikliği nedeniyle bu tür argümanların sonsuz sayıda olduğunu zaten biliyoruz. Böylece bu denklemin çözümü vb. olacaktır. Aynı durum herhangi başka bir basit trigonometrik denklemin çözümü için de geçerlidir. sonsuz sayı.

Trigonometrik denklemler birkaç ana türe ayrılır. Ayrı ayrı, en basitleri üzerinde durmalıyız çünkü geri kalan her şey onlara düşüyor. Bu tür dört denklem vardır (temel trigonometrik fonksiyonların sayısına göre). Onlar için genel çözümler bilinmektedir; bunların hatırlanması gerekir.

En basit trigonometrik denklemler ve genel çözümleri Bunun gibi:

Sinüs ve kosinüs değerlerinin bizim bildiğimiz sınırlamaları dikkate alması gerektiğini lütfen unutmayın. Örneğin, denklemin çözümü yoksa ve belirtilen formül uygulanmamalıdır.

Ek olarak, belirtilen kök formüller isteğe bağlı bir tamsayı biçiminde bir parametre içerir. İÇİNDE Okul müfredatı Bu, parametresi olmayan bir denklemin çözümünün parametre içerdiği tek durumdur. Bu keyfi tam sayı, yukarıdaki denklemlerden herhangi birinin sonsuz sayıda kökünü, sırayla tüm tam sayıları değiştirerek yazmanın mümkün olduğunu gösterir.

10.sınıf cebir programında “Trigonometrik Denklemler” bölümünü tekrarlayarak bu formüllerin detaylı çıkarımını öğrenebilirsiniz.

Ayrı olarak, en basit denklemlerin özel durumlarını sinüs ve kosinüs ile çözmeye dikkat etmek gerekir. Bu denklemler şöyle görünür:

Bulma formülleri bunlara uygulanmamalı genel çözümler. Bu tür denklemler, genel çözüm formüllerinden daha basit bir sonuç veren trigonometrik daire kullanılarak en uygun şekilde çözülür.

Örneğin denklemin çözümü . Bu cevabı kendiniz bulmaya çalışın ve belirtilen kalan denklemleri çözün.

Belirtilen en yaygın trigonometrik denklem türüne ek olarak, birkaç standart denklem daha vardır. Bunları daha önce belirttiklerimizi dikkate alarak listeliyoruz:

1) Tek hücreli, Örneğin, ;

2) En basit denklemlerin özel durumları, Örneğin, ;

3) Karmaşık argümanlı denklemler, Örneğin, ;

4) Türetme yoluyla en basitine indirgenmiş denklemler ortak çarpan , Örneğin, ;

5) Trigonometrik fonksiyonları dönüştürerek denklemlerin en basit haline indirgenmesi, Örneğin, ;

6) Değiştirme yoluyla en basit haline indirgenmiş denklemler, Örneğin, ;

7) Homojen denklemler , Örneğin, ;

8) Fonksiyonların özellikleri kullanılarak çözülebilen denklemler, Örneğin, . Bu denklemde iki değişkenin olması paniğe kapılmayın; denklem kendi kendine çözülür;

Kullanılarak çözülebilecek denklemlerin yanı sıra çeşitli metodlar.

Trigonometrik denklemleri çözmenin yanı sıra sistemlerini de çözebilmelisiniz.

En yaygın sistem türleri şunlardır:

1) Denklemlerden hangisinde güç var, Örneğin, ;

2) Basit trigonometrik denklem sistemleri, Örneğin, .

Bugünkü dersimizde temel trigonometrik fonksiyonlara, özelliklerine ve grafiklerine baktık. Biz de tanıştık genel formüller en basit trigonometrik denklemlerin çözümleri, bu tür denklemlerin ana türlerini ve sistemlerini gösterdi.

Dersin pratik kısmında trigonometrik denklemleri ve sistemlerini çözme yöntemlerini inceleyeceğiz.

Kutu 1.En basit trigonometrik denklemlerin özel durumlarını çözme.

Dersin ana bölümünde zaten söylediğimiz gibi, sinüs ve kosinüs formundaki trigonometrik denklemlerin özel durumları:

daha fazlasına sahip olmak basit çözümler genel çözüm formüllerinin verdiği şey.

Bunun için trigonometrik daire kullanılır. Denklem örneğini kullanarak bunları çözme yöntemini analiz edelim.

Trigonometrik daire üzerinde kosinüs değerinin sıfır olduğu noktayı, yani apsis ekseni boyunca koordinatı da gösterelim. Gördüğünüz gibi böyle iki nokta var. Görevimiz ne olduğunu belirtmektir. açı eşittir, daire üzerindeki bu noktalara karşılık gelir.

Apsis ekseninin (kosinüs ekseni) pozitif yönünden saymaya başlıyoruz ve açıyı ayarlarken ilk gösterilen noktaya ulaşıyoruz, yani. çözümlerden biri bu açı değeri olabilir. Ama yine de ikinci noktaya karşılık gelen açıdan memnunuz. Nasıl girilir?

Bu derste bunlara bakacağız temel trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri ve ayrıca listeleyin temel trigonometrik denklem ve sistem türleri. Ayrıca şunu da belirtiyoruz En basit trigonometrik denklemlerin genel çözümleri ve özel durumları.

Bu ders görev türlerinden birine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır B5 ve C1.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık

Deney

Ders 10. Trigonometrik fonksiyonlar. Trigonometrik denklemler ve sistemleri.

Teori

Ders özeti

“Trigonometrik fonksiyon” terimini zaten birçok kez kullandık. Bu konunun ilk dersinde bunları bir dik üçgen ve birim trigonometrik daire kullanarak tanımlamıştık. Trigonometrik fonksiyonları belirlemeye yönelik bu yöntemleri kullanarak, onlar için argümanın bir değerinin (veya açının) tam olarak fonksiyonun bir değerine karşılık geldiği sonucuna varabiliriz, yani. sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarını çağırma hakkımız var.

Bu derste, trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplamak için daha önce tartışılan yöntemlerden soyutlamaya çalışmanın zamanı geldi. Bugün fonksiyonlarla çalışmaya yönelik olağan cebirsel yaklaşıma geçeceğiz, özelliklerine bakacağız ve grafikleri göstereceğiz.

Trigonometrik fonksiyonların özelliklerine ilişkin olarak aşağıdakilere özellikle dikkat edilmelidir:

Tanım alanı ve değerler aralığı, çünkü sinüs ve kosinüs için değer aralığında kısıtlamalar vardır ve teğet ve kotanjant için tanım aralığında kısıtlamalar vardır;

İşlevi düşünün:

1) Tanımın kapsamı;

2) Değer aralığı ;

3) Fonksiyon tektir ;

Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım. Bu durumda, grafiği yukarıdan 1 sayısıyla ve altında işlevin değer aralığıyla ilişkili sayıyla sınırlayan alanın görüntüsüyle inşaata başlamak uygundur. Ek olarak, inşaat için birkaç ana tablo açısının sinüs değerlerini hatırlamak faydalıdır; örneğin bu, grafiğin ilk tam "dalgasını" oluşturmanıza ve ardından onu sağa yeniden çizmenize olanak tanır ve resmin bir nokta kaydırmayla tekrarlanacağı gerçeğinden yararlanarak sola, yani. Açık .

Şimdi fonksiyona bakalım:

Bu fonksiyonun ana özellikleri:

1) Tanımın kapsamı;

2) Değer aralığı ;

3) Eşit işlev Bu, fonksiyonun grafiğinin ordinat etrafında simetrik olduğu anlamına gelir;

4) Fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca monoton değildir;

Fonksiyona geçelim:

Bu fonksiyonun ana özellikleri:

1) Etki alanı hariç, burada . Böyle bir şeyin olmadığını daha önceki derslerde belirtmiştik. Bu ifade teğet periyodu dikkate alınarak genelleştirilebilir;

2) Değer aralığı, yani. teğet değerler sınırlı değildir;

3) Fonksiyon tektir ;

4) Fonksiyon, şimdi şekilde göreceğimiz teğet dalları içerisinde monoton bir şekilde artar;

5) Fonksiyon bir periyotla periyodiktir

Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım. Bu durumda, grafiğin dikey asimptotlarını tanım alanına dahil olmayan noktalarda tasvir ederek yapıya başlamak uygundur; vesaire. Daha sonra, asimptotların oluşturduğu şeritlerin her birinin içindeki teğetin dallarını sol asimptot ve sağa doğru bastırarak tasvir ediyoruz. Aynı zamanda her dalın monoton bir şekilde arttığını da unutmayın. Tüm dalları aynı şekilde tasvir ediyoruz çünkü fonksiyonun periyodu eşittir. Bu, her dalın komşusunun apsis ekseni boyunca kaydırılmasıyla elde edilmesinden görülebilir.

Ve fonksiyona bir göz atarak bitiriyoruz:

Bu fonksiyonun ana özellikleri:

1) Etki alanı hariç, burada . Trigonometrik fonksiyonların değer tablosundan bunun var olmadığını zaten biliyoruz. Bu ifade kotanjant periyodu dikkate alınarak genelleştirilebilir;

2) Değer aralığı, yani. kotanjant değerleri sınırlı değildir;

3) Fonksiyon tektir ;

4) Fonksiyon, teğet dallara benzer dalları içerisinde monoton olarak azalır;

5) Fonksiyon bir periyotla periyodiktir

Ayrı olarak, karmaşık argümanlara sahip trigonometrik fonksiyonların standart olmayan bir periyoda sahip olabileceğine dikkat edilmelidir. Formun işlevlerinden bahsediyoruz:

Periyotları eşittir. Ve işlevler hakkında:

Periyotları eşittir.

Gördüğünüz gibi, yeni bir dönemi hesaplamak için standart süre basitçe argümandaki faktöre bölünür. İşlevdeki diğer değişikliklere bağlı değildir.

Fonksiyonların grafiklerini oluşturma ve dönüştürme dersinde bu formüllerin nereden geldiğini daha detaylı anlayabilir ve anlayabilirsiniz.

Trigonometrik denklemlerin çözümüne ayıracağımız “Trigonometri” konusunun en önemli kısımlarından birine geldik. Bu tür denklemleri çözme yeteneği, örneğin fizikteki salınımlı süreçleri tanımlarken önemlidir. Bir spor araba ile go-kartta birkaç tur attığınızı düşünelim; trigonometrik bir denklemi çözmek, arabanın pistteki konumuna bağlı olarak ne kadar süredir yarışta olduğunuzu belirlemenize yardımcı olacaktır.

En basit trigonometrik denklemi yazalım:

Böyle bir denklemin çözümü sinüsü eşit olan argümanlardır. Ancak sinüsün periyodikliği nedeniyle bu tür argümanların sonsuz sayıda olduğunu zaten biliyoruz. Böylece bu denklemin çözümü vb. olacaktır. Aynı şey başka herhangi bir basit trigonometrik denklemin çözümü için de geçerlidir; bunlardan sonsuz sayıda olacaktır.

En basit trigonometrik denklemler ve genel çözümleri Bunun gibi:

Sinüs ve kosinüs değerlerinin bizim bildiğimiz sınırlamaları dikkate alması gerektiğini lütfen unutmayın. Örneğin, denklemin çözümü yoksa ve belirtilen formül uygulanmamalıdır.

Ek olarak, belirtilen kök formüller isteğe bağlı bir tamsayı biçiminde bir parametre içerir. Okul müfredatında parametresi olmayan bir denklemin çözümünün parametre içerdiği tek durum budur. Bu keyfi tam sayı, yukarıdaki denklemlerden herhangi birinin sonsuz sayıda kökünü, sırayla tüm tam sayıları değiştirerek yazmanın mümkün olduğunu gösterir.

10.sınıf cebir programında “Trigonometrik Denklemler” bölümünü tekrarlayarak bu formüllerin detaylı çıkarımını öğrenebilirsiniz.

Ayrı olarak, en basit denklemlerin özel durumlarını sinüs ve kosinüs ile çözmeye dikkat etmek gerekir. Bu denklemler şöyle görünür:

Genel çözüm bulma formülleri bunlara uygulanmamalıdır. Bu tür denklemler, genel çözüm formüllerinden daha basit bir sonuç veren trigonometrik daire kullanılarak en uygun şekilde çözülür.

Örneğin denklemin çözümü . Bu cevabı kendiniz bulmaya çalışın ve belirtilen kalan denklemleri çözün.

Belirtilen en yaygın trigonometrik denklem türüne ek olarak, birkaç standart denklem daha vardır. Bunları daha önce belirttiklerimizi dikkate alarak listeliyoruz:

1) Tek hücreli, Örneğin, ;

2) En basit denklemlerin özel durumları, Örneğin, ;

3) Karmaşık argümanlı denklemler, Örneğin, ;

4) Ortak bir çarpan çıkarılarak en basit haline indirgenmiş denklemler, Örneğin, ;

5) Trigonometrik fonksiyonları dönüştürerek denklemlerin en basit haline indirgenmesi, Örneğin, ;

6) Değiştirme yoluyla en basit haline indirgenmiş denklemler, Örneğin, ;

7) Homojen denklemler, Örneğin, ;

8) Fonksiyonların özellikleri kullanılarak çözülebilen denklemler, Örneğin, . Bu denklemde iki değişkenin olması paniğe kapılmayın; denklem kendi kendine çözülür;

Çeşitli yöntemler kullanılarak çözülen denklemlerin yanı sıra.

Trigonometrik denklemleri çözmenin yanı sıra sistemlerini de çözebilmelisiniz.

En yaygın sistem türleri şunlardır:

1) Denklemlerden hangisinde güç var, Örneğin, ;

2) Basit trigonometrik denklem sistemleri, Örneğin, .

Bugünkü dersimizde temel trigonometrik fonksiyonlara, özelliklerine ve grafiklerine baktık. Ayrıca en basit trigonometrik denklemleri çözmek için genel formüller hakkında bilgi sahibi olduk ve bu tür denklemlerin ana türlerini ve sistemlerini belirttik.

Dersin pratik kısmında trigonometrik denklemleri ve sistemlerini çözme yöntemlerini inceleyeceğiz.

Kutu 1.En basit trigonometrik denklemlerin özel durumlarını çözme.

Dersin ana bölümünde zaten söylediğimiz gibi, sinüs ve kosinüs formundaki trigonometrik denklemlerin özel durumları:

genel çözüm formüllerinde verilenlerden daha basit çözümlere sahiptir.

Bunun için trigonometrik daire kullanılır. Denklem örneğini kullanarak bunları çözme yöntemini analiz edelim.

Trigonometrik daire üzerinde kosinüs değerinin sıfır olduğu noktayı, yani apsis ekseni boyunca koordinatı da gösterelim. Gördüğünüz gibi böyle iki nokta var. Görevimiz çember üzerindeki bu noktalara karşılık gelen açının neye eşit olduğunu belirtmektir.

11. sınıfta trigonometrik fonksiyonların grafiğinin çizilmesi

İlk önce matematik öğretmeni yeterlilik kategorisi MAOU "Spor Salonu No. 37", Kazan

Spiridonova L.V.

Sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
y=sin(x)+m Ve y=cos(x)+m
Formun fonksiyonlarının grafiklerini çizme y=sin(x+t) Ve y=cos(x+t)
Formun fonksiyonlarının grafiklerini çizme y=A · günah(x) Ve y=A · çünkü(x)
Örnekler

Trigonometrik fonksiyonlar sayısal argüman.

y=sin(x)

y=cos(x)

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi y = sinx .

Fonksiyonun özellikleri y = günah ( X ) .

tüm gerçek sayılar ( R )

2. Değişim Alanı (Değerler Alanı) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Fonksiyon y = günah ( X) tuhaf çünkü günah(-x ) = - günah x

π .

günah(x+2 π ) = günah(x).

5. Sürekli işlev

Azalan: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Artan: [ - π /2; π /2 ] .

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi y = çünkü x .

y = fonksiyonunun grafiği çünkü x transfer yoluyla elde edilen

y = fonksiyonunun grafiği günah x sol π /2.

y = co fonksiyonunun özellikleri S ( X ) .

1. Bir fonksiyonun tanım alanı kümedir

tüm gerçek sayılar ( R )

2. Değişim alanı (Değerlerin alanı), E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Fonksiyon y = çünkü (X) hatta çünkü çünkü(- X ) = çünkü (X)

Fonksiyon periyodiktir ve ana periyodu 2'dir. π .

çünkü( X + 2 π ) = çünkü (X) .

5. Sürekli işlev

Azalan: [ 0 ; π ] .

6. Artan: [ π ; 2 π ] .

Yapı

grafikler formun işlevleri

y = günah ( X ) +m

y = çünkü (X) + M.

0 veya m " genişlik = "640" ise aşağı

Grafiğin Oy ekseni boyunca paralel aktarımı

Bir fonksiyonun grafiği y=f(x) + M çıkıyor paralel aktarım fonksiyon grafikleri y=f(x) , üzerine M birimler ise M 0 ,

veya aşağı ise M .

0 y m 1 x" genişlik = "640"

Dönüştürmek: y= günah ( X ) +m

Vardiya y= günah ( X ) eksen boyunca sen eğer yukarı M 0

0 y m 1 x" genişlik = "640"

Dönüştürmek: y= çünkü ( X ) +m

Vardiya y= çünkü ( X ) eksen boyunca sen yukarı , Eğer M 0

Dönüştürmek: y=sin ( X ) +m

Vardiya y= günah ( X ) eksen boyunca sen aşağı, Eğer M 0

Dönüştürmek: y=cos ( X ) +m

Vardiya y= çünkü ( X ) eksen boyunca sen eğer aşağı M 0

Yapı

grafikler formun işlevleri

y = günah ( X + T )

y = çünkü ( X +t )

0 ve t 0 ise sağa." genişlik = "640"

Grafiğin Ox ekseni boyunca paralel aktarımı

Bir fonksiyonun grafiği y = f(x + t) fonksiyonun grafiğinin paralel aktarımıyla elde edilir y=f(x) eksen boyunca X Açık |t| ölçek birimleri sol, Eğer t 0

Ve Sağ , Eğer T 0.

0 y 1 x t" genişlik = "640"

Dönüştürmek: y = sin(x + t)

vardiya y= f(x) eksen boyunca X sol, Eğer T 0

0 y 1 x t" genişlik = "640"

Dönüştürmek: y= cos(x + t)

vardiya y= f(x) eksen boyunca X sol, Eğer T 0

Dönüştürmek: y=sin(x+t)

vardiya y= f(x) eksen boyunca X Sağ, Eğer T 0

Dönüştürmek: y= cos(x + t)

vardiya y= f(x) eksen boyunca X Sağ, Eğer T 0

1 ve 0 a 1" genişlik = "640"

Formun fonksiyonlarının grafiklerini çizme y = A · günah ( X ) Ve y= A · çünkü ( X ) , bir 1 ve 0 A 1

1 ve Ox eksenine 0 A katsayısıyla sıkıştırma." width="640"

Sıkıştırma ve germe Ox ekseni boyunca

Bir fonksiyonun grafiği y=A · f(x ) fonksiyonun grafiğini genişleterek elde ederiz y= f(x) katsayılı A Ox ekseni boyunca, eğer A 1 Ve Ox eksenine 0 katsayılı sıkıştırma A .