Cebirsel ifade

toplama, çıkarma, çarpma, bölme, tamsayıya çıkarma ve kök çıkarma işlemleri için işaretlerle birbirine bağlanan harf ve rakamlardan oluşan bir ifade (üsler ve kökler eşit olmalıdır) sabit sayılar). Av. örneğin kök çıkarma işareti altında içermiyorsa, içerdiği bazı harflere göre rasyonel olarak adlandırılır.

a, b ve c'ye göre rasyonel. Av. bazı harflere göre bu harfleri içeren ifadelere bölünmeyi içermiyorsa tam sayı olarak adlandırılır, örneğin 3a/c + bc 2 - 3ac/4 a ve b'ye göre tamsayıdır. Harflerden bazıları (veya tümü) değişken olarak kabul edilirse, A.c. Cebirsel bir fonksiyondur.

Büyük Sovyet ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde “Cebirsel ifadenin” ne olduğuna bakın:

İşaretlerle birbirine bağlanan harf ve rakamlardan oluşan bir ifade cebirsel işlemler: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma, kök çıkarma... Büyük Ansiklopedik Sözlük

cebirsel ifade- - Konular petrol ve gaz endüstrisi TR cebirsel ifade... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Cebirsel bir ifade, cebirsel işlem işaretleriyle birbirine bağlanan bir veya daha fazla cebirsel niceliktir (sayılar ve harfler): toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin yanı sıra kök alma ve tam sayılara yükseltme... ... Vikipedi

Cebirsel işlemlerin işaretleriyle birbirine bağlanan harf ve rakamlardan oluşan bir ifade: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma, kök çıkarma. * * * CEBİRSEL İFADE CEBİRSEL İFADE, ifade,... ... Ansiklopedik Sözlük

cebirsel ifade- cebirsel išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. cebirsel ifade vok. Cebir Ausdruck, m rus. cebirsel ifade, n pranc. ifade algébrique, f … Fizikos terminų žodynas

Cebirsel işaretlerle birbirine bağlanan harf ve rakamlardan oluşan bir ifade. işlemler: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma, kök çıkarma... Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük

Belirli bir değişken için cebirsel bir ifade, aşkın olanın aksine, diğer fonksiyonları içermeyen bir ifadedir. verilen miktar, bu miktarın toplamları, çarpımları veya güçleri hariç ve şartlar... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. Efron

İFADE, ifadeler, bkz. 1. Bölüm uyarınca eylem. ekspres ekspres. Minnettarlığımı ifade edecek kelime bulamıyorum. 2. daha sık birimler. Bir fikrin bir tür sanat (felsefe) biçiminde somutlaştırılması. Yalnızca büyük bir sanatçı böyle bir ifadeyi yaratabilir... ... Sözlük Uşakova

İki cebirsel ifadenin eşitlenmesinden kaynaklanan bir denklem (Bakınız Cebirsel ifade). A.u. bir bilinmeyene, bilinmeyenin paydaya dahil edilmesi durumunda kesirli denir ve bilinmeyenin paydaya dahil edilmesi durumunda irrasyonel denir ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

İFADE- öncelik matematiksel kavram işaretlerle birbirine bağlanan harf ve sayıların kaydı anlamına gelir aritmetik işlemler, bu durumda parantezler, fonksiyon tanımları vb. kullanılabilir; Genellikle formül milyonlarca parçadan oluşur. B (1) var… … Büyük Politeknik Ansiklopedisi

Sorunu çözelim.

Öğrenci 2 kopek karşılığında defter satın aldı. 8 kopek için bir defter ve ders kitabı için. Tüm satın alma işlemi için ne kadar ödedi?

Tüm defterlerin maliyetini öğrenmek için bir defterin fiyatını defter sayısıyla çarpmanız gerekir. Bu da defterlerin maliyetinin kuruş olacağı anlamına geliyor.

Tüm satın alma işleminin maliyeti eşit olacaktır

Bir harfle ifade edilen bir çarpandan önce çarpma işaretinin genellikle atlandığını unutmayın; bu sadece ima edilir. Bu nedenle, önceki giriş şu şekilde temsil edilebilir:

Sorunu çözmek için bir formül aldık. Sorunu çözmek için defterin fiyatını satın alınan defter sayısıyla çarpmanız ve ders kitabının maliyetini işe eklemeniz gerektiğini gösteriyor.

Bu tür kayıtlar için “formül” kelimesi yerine “cebirsel ifade” adı da kullanılmaktadır.

Cebirsel ifade, sayı veya harflerle gösterilen ve eylem işaretleriyle birbirine bağlanan sayılardan oluşan bir kayıttır.

Kısaca söylemek gerekirse, “cebirsel ifade” yerine bazen sadece “ifade” derler.

Cebirsel ifadelere birkaç örnek daha:

Bu örneklerden, cebirsel bir ifadenin yalnızca bir harften oluşabileceğini veya harflerle gösterilen (iki tane) rakam içermeyebileceğini görüyoruz. son örnekler). bunda ikinci durum ifadeye aritmetik ifade de denir.

Aldığımız cebirsel ifadede mektuba 5 değerini verelim (yani öğrenci 5 defter almış demektir). Bunun yerine 5 sayısını değiştirirsek şunu elde ederiz:

bu da 18'e (yani 18 kopek) eşittir.

18 sayısı bu cebirsel ifadenin değeridir.

Cebirsel bir ifadenin değeri, bu ifadedeki harflerin yerine verilen değerlerin yazıp sayılara uygulanması durumunda elde edilecek sayıdır. belirtilen eylemler.

Örneğin şunu söyleyebiliriz: at ifadesinin değeri 12'dir (12 kopek).

Aynı ifadenin değeri 14 (14 kopek) vb.'dir.

Cebirsel bir ifadenin anlamının, içinde yer alan harflere hangi değerleri verdiğimize bağlı olduğunu görüyoruz. Doğru, bazen bir ifadenin anlamının, içinde yer alan harflerin anlamına bağlı olmadığı görülür. Örneğin, a'nın herhangi bir değeri için ifade 6'ya eşittir.

Örnek olarak bulalım sayısal değerler için ifadeler farklı anlamlar a ve b harfleri.

yerine koyalım bu ifade a yerine 4 sayısını ve 6 yerine 2 sayısını bulun ve elde edilen ifadeyi hesaplayın:

Yani For ifadesinin değeri 16'ya eşit olduğunda.

Aynı şekilde ifadenin değerinin de 29, at ve 2'ye eşit olduğunu vb. buluyoruz.

Hesaplamaların sonuçları, içerisinde yer alan harflerin değerlerindeki değişime bağlı olarak ifadenin değerinin nasıl değiştiğini açıkça gösteren bir tablo şeklinde yazılabilir.

Üç satırdan oluşan bir tablo oluşturalım. İlk satıra a değerlerini yazacağız, ikinci satıra ise 6 ve değerlerini yazacağız.

üçüncüsünde - ifadenin değerleri böyle bir tablo elde ediyoruz.

Cebirsel ifadeler 7. sınıftan itibaren okumaya başlayın. Bir takım özelliklere sahiptirler ve problemlerin çözümünde kullanılırlar. Bu konuyu daha ayrıntılı olarak inceleyelim ve sorunu çözme örneğini ele alalım.

Kavramın tanımı

Hangi ifadelere cebirsel denir? Bu matematiksel gösterim sayılar, harfler ve aritmetik sembollerden oluşur. Harflerin varlığı sayısal ve cebirsel ifadeler arasındaki temel farktır. Örnekler:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Cebirsel ifadelerde harf bir sayıyı ifade eder. Bu yüzden ona değişken deniyor; ilk örnekte a harfi, ikincisinde b ve üçüncüsünde c harfi var. Cebirsel ifadenin kendisi de denir değişkenli ifade.

İfade değeri

Cebirsel ifadenin anlamı bu ifadede belirtilen aritmetik işlemlerin tamamının yapılması sonucunda elde edilen sayıdır. Ancak bunu elde etmek için harflerin sayılarla değiştirilmesi gerekir. Bu nedenle örneklerde her zaman hangi sayının harfe karşılık geldiği belirtilir. a=3 ise 8a-14*(5-a) ifadesinin değerini nasıl bulacağımıza bakalım.

a harfinin yerine 3 rakamını koyalım: 8*3-14*(5-3).

Sayısal ifadelerde olduğu gibi cebirsel bir ifadenin çözümü de aritmetik işlemleri gerçekleştirme kurallarına göre gerçekleştirilir. Her şeyi sırayla çözelim.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Dolayısıyla 8a-14*(5-a) ifadesinin a=3'teki değeri -4'e eşittir.

Bir değişkenin değeri, ifade onunla anlamlıysa, yani çözümünü bulmak mümkünse geçerli olarak adlandırılır.

5:2a ifadesi için geçerli bir değişken örneği 1 sayısıdır. Bunu ifadede yerine koyarsak 5:2*1=2,5 elde ederiz.

Bu ifadenin geçersiz değişkeni 0'dır. İfadeye sıfır koyarsak 5:2*0 yani 5:0 elde ederiz. Sıfıra bölemezsiniz, bu da ifadenin anlamlı olmadığı anlamına gelir.

Kimlik ifadeleri

İki ifade, kendilerini oluşturan değişkenlerin herhangi bir değeri için eşitse bunlara denir. birebir aynı.
Aynı ifadelere örnek :
4(a+c) ve 4a+4c.
A ve c harfleri ne kadar değer alırsa alsın ifadeler her zaman eşit olacaktır. Herhangi bir ifade, onunla aynı olan başka bir ifadeyle değiştirilebilir. Bu sürece kimlik dönüşümü denir.

Kimlik dönüşümü örneği .
4*(5a+14c) – bu ifade uygulanarak aynı ifadeyle değiştirilebilir matematik kanunuçarpma. Bir sayıyı iki sayının toplamı ile çarpmak için bu sayıyı her terimle çarpmanız ve sonuçları eklemeniz gerekir.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a+64s.

Dolayısıyla 4*(5a+14c) ifadesi 20a+64c ile aynıdır.

Cebirsel ifadede bir harf değişkeninin önünde yer alan sayıya katsayı denir. Katsayı ve değişken çarpanlardır.

Sorun çözme

Cebirsel ifadeler problemleri ve denklemleri çözmek için kullanılır.
Sorunu ele alalım. Petya bir sayı buldu. Petya, sınıf arkadaşı Sasha'nın bunu tahmin etmesi için ona şunları söyledi: Önce sayıya 7 ekledim, sonra 5 çıkardım ve 2 ile çarptım. Sonuç olarak 28 sayısını aldım. Hangi sayıyı tahmin ettim?

Sorunu çözmek için, gizli numarayı a harfiyle belirlemeniz ve ardından belirtilen tüm eylemleri onunla gerçekleştirmeniz gerekir.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Şimdi ortaya çıkan denklemi çözelim.

Petya 12 sayısını diledi.

Ne öğrendik?

Cebirsel ifade, harflerden, sayılardan ve aritmetik sembollerden oluşan bir kayıttır. Her ifadenin, ifadedeki tüm aritmetik işlemler gerçekleştirilerek bulunan bir değeri vardır. Cebirsel ifadedeki harfe değişken, önündeki sayıya ise katsayı denir. Cebirsel ifadeler problemlerin çözümünde kullanılır.

Derecelerin özellikleri:

(1) a m ⋅ an n = a m + n

Örnek:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Örnek:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

Örnek:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Örnek:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n

Örnek:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Örnekler:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1)))) = \frac(1)(a).$$

Özellikler karekök:

(1) a b = a ⋅ b, a ≥ 0 için, b ≥ 0

Örnek:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b, a ≥ 0 için, b > 0

Örnek:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a, a ≥ 0 için

Örnek:

(4) a 2 = | bir |

Örnekler:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

herhangi bir için Rasyonel ve

irrasyonel sayılar Rasyonel sayılar – şu şekilde temsil edilebilecek sayılar ortak kesir

m n burada m bir tam sayıdır (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 ...), n bir doğal sayıdır (ℕ = 1, 2, 3, 4 ...).

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Rasyonel sayılara örnekler: İrrasyonel sayılar

– m n ortak kesri olarak temsil edilemeyen sayılar; bunlar sonsuz, periyodik olmayan ondalık kesirlerdir.

İrrasyonel sayılara örnekler:

e = 2,71828182845…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

π = 3,1415926…

Basitçe söylemek gerekirse irrasyonel sayılar, gösterimlerinde karekök işareti içeren sayılardır. Ama bu o kadar basit değil. Bazı rasyonel sayılar irrasyonel sayı olarak gizlenmiştir, örneğin 4 sayısının notasyonunda karekök işareti bulunur, ancak 4 = 2 şeklindeki gösterimi basitleştirebileceğimizin çok iyi farkındayız. Bu da 4 sayısının rasyonel bir sayı olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde 4 81 = 4 81 = 2 9 sayısı da bir rasyonel sayıdır.

Bazı problemler hangi sayıların rasyonel, hangilerinin irrasyonel olduğunu belirlemenizi gerektirir. Görev, hangi sayıların irrasyonel olduğunu ve hangi sayıların onlar gibi gizlendiğini anlamaktır. Bunu yapmak için çarpanı karekök işaretinin altından çıkarma ve çarpanı kök işaretinin altına sokma işlemlerini gerçekleştirebilmeniz gerekir.

Karekök işaretinin ötesinde bir çarpan ekleme ve çıkarma

Örnek:

Faktörü karekök işaretinin ötesine taşıyarak bazı matematiksel ifadeleri önemli ölçüde basitleştirebilirsiniz.

2 8 2 ifadesini basitleştirin. 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Yöntem 1 (çarpanın kök işaretinin altından çıkarılması): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Yöntem 2 (kök işaretinin altına bir çarpan girme):

Kısaltılmış çarpma formülleri (FSU)

Toplamın karesi

Örnek:

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

Kare farkı

Örnek:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Karelerin toplamı çarpanlara ayrılmıyor

a 2 + b 2 ≠

Karelerin farkı

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Örnek:

25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 y) 2 = (5 x − 2 y) (5 x + 2 y)

Toplamın küpü

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Örnek:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

Fark küpü

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Örnek:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

Küplerin toplamı

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - a b + b 2)

Örnek:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Küplerin farkı

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Örnek:

x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Standart görünüm sayılar

Keyfinin nasıl getirileceğini anlamak için rasyonel sayı Standart forma göre bir sayının ilk anlamlı basamağının ne olduğunu bilmeniz gerekir.

Birinci önemli rakam sayılar buna soldaki sıfırdan farklı ilk rakam adını verin.

Örnekler:
2 5;

3, 05;

1. 0, 1 43;
2. 0,00 1 2. İlk önemli rakam kırmızı renkle vurgulanır.
3. Bir sayıyı standart forma getirmek için şunları yapmanız gerekir:
4. Ondalık noktayı ilk anlamlı rakamın hemen sonrasına gelecek şekilde hareket ettirin.< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. Ortaya çıkan sayıyı 10 n ile çarpın; burada n, aşağıdaki gibi tanımlanan bir sayıdır:

n > 0, eğer virgül sola kaydırılmışsa (10 n ile çarpmak, virgülün aslında daha sağa doğru olması gerektiğini gösterir);

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

N

n sayısının mutlak değeri, ondalık noktanın kaydırıldığı basamak sayısına eşittir.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Örnekler:

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

Virgül 1 basamak sola taşındı. Ondalık kaydırma sola olduğu için derece pozitiftir.

Cebirsel ifade- bu, anlamla oluşturulmuş herhangi bir harf, sayı, aritmetik işaret ve parantez kaydıdır. Temel olarak cebirsel ifade, sayıların yanı sıra harflerin de kullanıldığı sayısal bir ifadedir. Bu nedenle cebirsel ifadelere birebir ifadeler de denir.

Esas olarak gerçek ifadeler harfleri kullan Latin alfabesi. Bu mektuplar ne için? Bunun yerine ikame edebiliriz farklı sayılar. Bu nedenle bu harflere değişken adı verilmektedir. Yani anlamlarını değiştirebilirler.

Cebirsel ifade örnekleri.

$\begin(align) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac(a-b)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(hizala)$

Cebirsel ifadenin anlamını yitirdiği bir değişkenin değerleri vardır. Örneğin 1:x ifadesinde x yerine 0 değerini kullanırsak bu durum ortaya çıkar.
Çünkü sıfıra bölemezsiniz.

Cebirsel bir ifadenin tanım alanı.

İfadenin anlamını kaybetmediği bir değişkenin değer kümesine denir tanım alanı bu ifade. Bir ifadenin tanım alanının tüm ifadelerin kümesi olduğunu da söyleyebiliriz. kabul edilebilir değerler değişken.

Örneklere bakalım:

1. y+5 – tanım alanı y'nin herhangi bir değeri olacaktır.
2. 1:x – ifade, x'in 0 dışındaki tüm değerleri için anlamlı olacaktır. Bu nedenle tanım kümesi, sıfır dışındaki tüm x değerleri olacaktır.
3. (x+y):(x-y) – tanım alanı – x ≠ y olan herhangi bir x ve y değeri.

Rasyonel cebirsel ifadeler tamsayı ve kesirli cebirsel ifadelerdir.

1. Tam cebirsel ifade – üstel ifade içermez kesirli gösterge, bir değişkenin kökünü çıkarmanın yanı sıra bir değişkene bölme. Tamsayılı cebirsel ifadelerde tüm değişken değerleri geçerlidir. Örneğin ax + bx + c bir tamsayı cebirsel ifadesidir.
2. Kesirli – bir değişkene göre bölmeyi içerir. $\frac(1)(a)+bx+c$ kesirli cebirsel bir ifadedir. Kesirli cebirsel ifadelerde sıfıra bölünmeyen tüm değişken değerleri geçerlidir.

$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3))))+((b)^(\frac(1)(3)));$- irrasyonel cebirsel ifadeler. İrrasyonel cebirsel ifadelerde, çift kök işareti altındaki ifadenin negatif olmadığı değişkenlerin tüm değerleri geçerlidir.